Properties of Electromagnetic Waves Questions in Hindi

(C) $P$ शक्ति वाले बिंदु स्रोत से $r$ दूरी पर तीव्रता $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ द्वारा दी जाती है।
साथ ही, विद्युत चुंबकीय तरंग की तीव्रता और rms विद्युत क्षेत्र $E_{rms}$ के बीच संबंध $I = \epsilon_0 c E_{rms}^2$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\epsilon_0 c E_{rms}^2 = \frac{P}{4 \pi r^2}$.
$E_{rms}$ के लिए सूत्र बनाने पर: $E_{rms} = \sqrt{\frac{P}{4 \pi r^2 \epsilon_0 c}}$.
यहाँ $P = 1080 \,W$, $r = 3 \,m$, $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \,F/m$, और $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ है।
$E_{rms} = \sqrt{\frac{1080}{4 \times 3.14159 \times 3^2 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}}$.
$E_{rms} = \sqrt{\frac{1080}{12.566 \times 9 \times 8.854 \times 10^{-4} \times 3}} = \sqrt{\frac{1080}{300.5}} \approx \sqrt{3594} \approx 59.95 \,Vm^{-1} \approx 60 \,Vm^{-1}$.

(B) दिया गया है, एंटीना की लंबाई, $l = 4 \, m$.
सिग्नल की तीव्रता, $I = 8 \times 10^{-16} \, W/m^2$.
विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता का सूत्र $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2$ है, जहाँ $E_0$ अधिकतम विद्युत क्षेत्र का आयाम है।
$E_0$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर, $E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\varepsilon_0 c}}$.
मान रखने पर ($\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$, $c = 3 \times 10^8 \, m/s$):
$E_0 = \sqrt{\frac{2 \times 8 \times 10^{-16}}{8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}} = \sqrt{\frac{16 \times 10^{-16}}{26.55 \times 10^{-4}}} = \sqrt{0.6026 \times 10^{-12}} \approx 0.776 \times 10^{-6} \, V/m$.
एंटीना पर अधिकतम विभवांतर $V_0 = E_0 \times l$ है।
$V_0 = 0.776 \times 10^{-6} \, V/m \times 4 \, m = 3.104 \times 10^{-6} \, V \approx 3.1 \, \mu V$.

(A) आयनमंडल को कई परतों में विभाजित किया गया है: $D$,$E$,$F_1$,और $F_2$।
$D$ परत आयनमंडल की सबसे निचली परत है,जो लगभग $65 \ km$ से $90 \ km$ की ऊंचाई पर स्थित है।
यह परत केवल दिन के समय ही मौजूद रहती है क्योंकि यह सौर विकिरण द्वारा आयनित होती है।
जैसे ही सूर्य अस्त होता है,आयनीकरण की प्रक्रिया रुक जाती है और आयनों और इलेक्ट्रॉनों के पुनर्संयोजन के कारण $D$ परत गायब हो जाती है।
यह परत निम्न आवृत्ति $(LF)$ विद्युत चुम्बकीय तरंगों के परावर्तन के लिए जिम्मेदार है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) आयनमंडल पृथ्वी के वायुमंडल का ऊपरी हिस्सा है,जिसमें मुक्त इलेक्ट्रॉनों और आयनों की सांद्रता बहुत अधिक होती है।
जब एक विद्युतचुंबकीय तरंग आयनमंडल से होकर गुजरती है,तो तरंग का फेज वेग (phase velocity) निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ से अधिक हो जाता है।
अपवर्तनांक $(n)$ को निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ और माध्यम में तरंग के फेज वेग $(v)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $n = c/v$।
चूंकि आयनमंडल में $v > c$ होता है,इसलिए अपवर्तनांक $n$ का मान $1$ से कम होता है।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंगें $(EMW)$ ऊर्जा और संवेग दोनों ले जाती हैं। जब ये तरंगें किसी सतह से टकराती हैं,तो वे सतह को संवेग स्थानांतरित करती हैं,जिसके परिणामस्वरूप विकिरण दबाव उत्पन्न होता है।
पूर्णतः परावर्तक सतह के लिए,विकिरण दबाव $p = 2I/c$ होता है,जहाँ $I$ तीव्रता है और $c$ प्रकाश की गति है।
पूर्णतः अवशोषक सतह के लिए,विकिरण दबाव $p = I/c$ होता है।
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ कहता है कि वे दबाव डालती हैं क्योंकि वे ऊर्जा ले जाती हैं। हालांकि यह सच है कि $EMW$ ऊर्जा ले जाती हैं,लेकिन दबाव विशेष रूप से इसलिए डाला जाता है क्योंकि वे संवेग ले जाती हैं $(p = E/c)$। इसलिए,यह तथ्य कि वे ऊर्जा ले जाती हैं,विकिरण दबाव के अस्तित्व के लिए सीधी या पूर्ण व्याख्या नहीं है।
अतः,$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं,लेकिन $R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) $\text{दिया गया है,औसत पावर आउटपुट,} P = 960 \,W$।
$\text{दूरी,} r = 400 \,cm = 4 \,m$।
$\text{एक बिंदु स्रोत से } r \text{ दूरी पर विद्युतचुंबकीय तरंगों की तीव्रता } I = \frac{P}{4 \pi r^2} \text{ द्वारा दी जाती है।}$
$\text{साथ ही,शिखर विद्युत क्षेत्र } E_0 \text{ के पदों में तीव्रता } I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c \text{ होती है।}$
$\text{दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: } \frac{P}{4 \pi r^2} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$।
$E_0 \text{ के लिए हल करने पर: } E_0 = \sqrt{\frac{P}{2 \pi r^2 \varepsilon_0 c}}$।
$\text{मान रखने पर: } E_0 = \sqrt{\frac{960}{2 \times 3.14 \times 4^2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}}$।
$\text{गणना करने पर, } E_0 = 60 \,Vm^{-1} \text{ प्राप्त होता है।}$

(C) सौर विकिरण सूर्य द्वारा उत्सर्जित विद्युत चुम्बकीय तरंगों से बना है। विद्युत चुम्बकीय तरंगों के गुणों के अनुसार,वे प्रकृति में अनुप्रस्थ (transverse) होती हैं,जिसका अर्थ है कि दोलन करने वाले विद्युत और चुम्बकीय क्षेत्र तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होते हैं। इसलिए,सौर विकिरण एक अनुप्रस्थ विद्युत चुम्बकीय $(EM)$ तरंग है।

(A) समतल विद्युतचुंबकीय तरंग का सामान्य समीकरण $\vec{B} = B_0 \sin (kx + \omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $\vec{B} = 3 \times 10^{-7} \sin (100 \pi x + 10^{12} t)$ के साथ तुलना करने पर,हम तरंग संख्या $k = 100 \pi \ m^{-1}$ प्राप्त करते हैं।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ है।
$k$ का मान रखने पर: $100 \pi = \frac{2 \pi}{\lambda}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{2 \pi}{100 \pi} = \frac{2}{100} = 0.02 \ m$।
अतः,तरंग की तरंगदैर्ध्य $0.02 \ m$ है।

(A) निर्वात में संचरित होने वाली विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ के परिमाण के बीच का संबंध $E = cB$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है $(c \approx 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1})$।
यहाँ विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = 6.3 \text{ Vm}^{-1}$ दिया गया है।
हमें चुंबकीय क्षेत्र $B$ का परिमाण ज्ञात करना है।
सूत्र $B = \frac{E}{c}$ का उपयोग करते हुए,मान रखने पर:
$B = \frac{6.3}{3 \times 10^8} \text{ T}$.
$B = 2.1 \times 10^{-8} \text{ T}$.
अतः,चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $2.1 \times 10^{-8} \text{ T}$ है।

(C) मुक्त आकाश में यात्रा कर रही एक समतल विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के परिमाण के बीच का संबंध $E = cB$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ मुक्त आकाश में प्रकाश की गति है।
मुक्त आकाश में प्रकाश की गति $c$,पारगम्यता $\mu_0$ और विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ से $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$c$ के इस व्यंजक को $E = cB$ संबंध में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \left( \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \right) B$
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के परिमाण के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$B = E \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$।

(D) एक बिंदु स्रोत से $r$ दूरी पर विद्युत चुम्बकीय तरंग की तीव्रता $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ स्रोत की शक्ति है।
साथ ही,तीव्रता और rms विद्युत क्षेत्र $E_{rms}$ के बीच संबंध $I = \epsilon_0 c E_{rms}^2$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{P}{4 \pi r^2} = \epsilon_0 c E_{rms}^2$.
$P$ के लिए सूत्र बनाने पर: $P = 4 \pi r^2 \epsilon_0 c E_{rms}^2$.
दिया गया है: $r = 3 \ m$,$E_{rms} = 3 \ N C^{-1}$,$\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$,और $c = 3 \times 10^8 \ m s^{-1}$.
मान रखने पर: $P = 4 \times 3.14 \times (3)^2 \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (3 \times 10^8) \times (3)^2$.
$P = 4 \times 3.14 \times 9 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8 \times 9$.
$P \approx 113.04 \times 8.854 \times 10^{-4} \times 27 \approx 270.2 \times 10^{-2} \approx 2.7 \ W$.
अतः,स्रोत की शक्ति $2.7 \ W$ है।

(B) निर्वात में यात्रा करने वाली एक समतल विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के परिमाण के बीच संबंध $E = cB$ है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
यहाँ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ है।
हमें विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के $10^8$ गुना परिमाण का अनुपात ज्ञात करना है।
अनुपात $= E / (10^8 \times B) = (cB) / (10^8 \times B) = c / 10^8$.
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$ का मान रखने पर:
अनुपात $= (3 \times 10^8) / 10^8 = 3$.
अतः,अनुपात $3: 1$ है।

(C) एक विद्युतचुंबकीय तरंग में,दोलनशील विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ हमेशा एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
इसके अलावा,ये दोनों सदिश तरंग के संचरण की दिशा के भी लंबवत होते हैं।
ये क्षेत्र समान कला में दोलन करते हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक ही समय और एक ही स्थान पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करते हैं।
इसलिए,सही कथन यह है कि वे परस्पर लंबवत दिशाओं में होते हैं और समान कला में होते हैं।

(A) समतल प्रगामी तरंग के लिए मानक समीकरण $B = B_0 \sin(kx + \omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $B_y = 2 \times 10^{-7} \sin(0.5 \times 10^3 x + 1.5 \pi \times 10^{11} t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 1.5 \pi \times 10^{11} \ rad/s$ प्राप्त होती है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $f$ के बीच संबंध $\omega = 2 \pi f$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,$1.5 \pi \times 10^{11} = 2 \pi f$ प्राप्त होता है।
$f$ के लिए हल करने पर,$f = \frac{1.5 \pi \times 10^{11}}{2 \pi} = 0.75 \times 10^{11} \ Hz$ प्राप्त होता है।
इसे $f = 75 \times 10^9 \ Hz$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) सभी दिशाओं में समान रूप से शक्ति $P$ उत्सर्जित करने वाले बिंदु स्रोत की $r$ दूरी पर तीव्रता $I$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I = \frac{P}{4 \pi r^2}$
दिया गया है:
शक्ति $P = 10 \ W$
दूरी $r = 0.5 \ m$
मान रखने पर:
$I = \frac{10}{4 \times 3.14 \times (0.5)^2}$
$I = \frac{10}{4 \times 3.14 \times 0.25}$
$I = \frac{10}{3.14}$
$I \approx 3.18 \ W \ m^{-2}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माध्यम में विद्युतचुंबकीय तरंग की गति $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि $\mu = \mu_0 \mu_r$ और $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$.
अतः,$v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \varepsilon_0 \varepsilon_r}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}}$,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया है $v = 2 \times 10^8 \ m/s$ और $\mu_r = 1$.
इन मानों को रखने पर: $2 \times 10^8 = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{1 \times \varepsilon_r}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{9}{\varepsilon_r}$.
अतः,$\varepsilon_r = \frac{9}{4} = 2.25$.

(D) एक विद्युतचुंबकीय तरंग में तात्कालिक विद्युत ऊर्जा घनत्व $u_E = 1/2 \epsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$,इसलिए $u_E = 1/2 \epsilon_0 E_0^2 \sin^2(\omega t - kx)$ है।
एक पूर्ण चक्र पर $\sin^2(\theta)$ का औसत मान $1/2$ होता है।
इसलिए,औसत विद्युत ऊर्जा घनत्व $\langle u_E \rangle = 1/2 \epsilon_0 E_0^2 \times \langle \sin^2(\omega t - kx) \rangle$ है।
$\langle u_E \rangle = 1/2 \epsilon_0 E_0^2 \times 1/2 = 1/4 \epsilon_0 E_0^2$।

(D) विद्युतचुंबकीय तरंग का औसत ऊर्जा घनत्व $U_{av}$ सूत्र $U_{av} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E_0$ अधिकतम विद्युत क्षेत्र है।
दिया गया है $E_{rms} = 660 \ NC^{-1}$।
हम जानते हैं कि $E_0 = \sqrt{2} E_{rms} = \sqrt{2} \times 660 \ NC^{-1}$।
इसे ऊर्जा घनत्व के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$U_{av} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 (\sqrt{2} E_{rms})^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_0 (2 E_{rms}^2) = \varepsilon_0 E_{rms}^2$।
$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$ का उपयोग करने पर:
$U_{av} = 8.85 \times 10^{-12} \times (660)^2$।
$U_{av} = 8.85 \times 10^{-12} \times 435600$।
$U_{av} \approx 3.85 \times 10^{-6} \ J \ m^{-3}$।

(A) समतल विद्युतचुंबकीय तरंगों के लिए,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ परस्पर लंबवत होते हैं,अर्थात $\vec{E} \cdot \vec{B} = 0$. साथ ही,संचरण की दिशा $\vec{E} \times \vec{B}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि संचरण $+Z$-दिशा $(\hat{k})$ में है,इसलिए $\vec{E} \times \vec{B} \propto \hat{k}$ होना चाहिए।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $\vec{E} = (-2 \hat{i} - 3 \hat{j})$ और $\vec{B} = (3 \hat{i} - 2 \hat{j})$.
अदिश गुणनफल: $\vec{E} \cdot \vec{B} = (-2)(3) + (-3)(-2) = -6 + 6 = 0$. यह लंबवतता की शर्त को पूरा करता है।
सदिश गुणनफल: $\vec{E} \times \vec{B} = (-2 \hat{i} - 3 \hat{j}) \times (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) = 4(\hat{i} \times \hat{j}) - 9(\hat{j} \times \hat{i}) = 4\hat{k} - 9(-\hat{k}) = 13\hat{k}$.
चूंकि परिणाम $+Z$-दिशा में है,इसलिए विकल्प $A$ सही है।

(B) मुक्त आकाश में विद्युतचुंबकीय तरंगों की गति निम्नलिखित संबंध द्वारा दी जाती है:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$
समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$
विद्युतशीलता और चुंबकशीलता के गुणनफल को ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\epsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c^2}$
अतः, सही संबंध $\epsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c^2}$ है।

(C) एक विद्युतचुंबकीय तरंग में,विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ समान कला में दोलन करते हैं और एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
विद्युतचुंबकीय तरंगों के गुणों के अनुसार,ऊर्जा संचरण की दिशा (पॉइंटिंग सदिश $\vec{S}$ की दिशा) विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा दी जाती है।
विशेष रूप से,संचरण की दिशा $\vec{E} \times \vec{B}$ के समानांतर होती है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) विद्युत क्षेत्र $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $E_0 = 36 \sqrt{\pi} \ V/m$ है।
विद्युत क्षेत्र के कारण औसत ऊर्जा घनत्व $U_{av} = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ होता है।
दिया गया है $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$,इसलिए $\varepsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \ F/m$ होगा।
मान रखने पर:
$U_{av} = \frac{1}{4} \times \left( \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \right) \times (36 \sqrt{\pi})^2$
$U_{av} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \times 1296 \pi$
$U_{av} = \frac{1296}{144 \times 10^9} = 9 \times 10^{-9} \ J/m^3$.
नोट: यदि हम $U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ सूत्र का उपयोग करते हैं,तो उत्तर $18 \times 10^{-9} \ J/m^3$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(C) विद्युत चुम्बकत्व के सिद्धांतों के अनुसार,$f$ आवृत्ति के साथ दोलन करने वाला एक विद्युत आवेश उसी आवृत्ति $f$ की विद्युत चुम्बकीय तरंगें उत्पन्न करता है।
चूंकि विद्युत आवेश $750 kHz$ की आवृत्ति के साथ दोलन कर रहा है,इसलिए उत्पन्न विद्युत चुम्बकीय तरंगों की आवृत्ति भी $750 kHz$ होगी।

(C) निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंग की चाल विद्युत क्षेत्र $E_o$ और चुंबकीय क्षेत्र $B_o$ के परिमाणों के बीच संबंध द्वारा इस प्रकार दी जाती है:
$E_o = c B_o$,जहाँ $c$ प्रकाश की चाल है।
इसलिए,$c = \frac{E_o}{B_o}$.
मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार,निर्वात में प्रकाश की चाल,निर्वात की पारगम्यता $\mu_0$ और विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ से इस प्रकार संबंधित है:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
$c$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{E_o}{B_o} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$E_o \sqrt{\varepsilon_0} = \frac{B_o}{\sqrt{\mu_0}}$.
अतः,विकल्प $C$ सही संबंध है।

(C) विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए प्रति इकाई क्षेत्रफल औसत शक्ति (तीव्रता) का सूत्र है: $I = \frac{c B_{max}^2}{2 \mu_0}$,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \ m/s)$,$\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता $(4 \pi \times 10^{-7} \ T \ m/A)$ और $B_{max}$ दोलनशील चुम्बकीय क्षेत्र का आयाम है।
$B_{max}$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$B_{max} = \sqrt{\frac{2 \mu_0 I}{c}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$B_{max} = \sqrt{\frac{2 \times 4 \pi \times 10^{-7} \times 9240}{3 \times 10^8}}$
$B_{max} = \sqrt{\frac{8 \pi \times 9240 \times 10^{-15}}{3}}$
$B_{max} \approx 8.798 \times 10^{-6} \ T \approx 8.8 \ \mu T$.

(A) हम जानते हैं कि विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ के परिमाणों का अनुपात मुक्त आकाश में प्रकाश की गति $(c)$ के बराबर होता है, जो संबंध $c = \frac{E}{B}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $E = 8.7 \ V \ m^{-1}$ और $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $B = \frac{E}{c}$।
मान रखने पर: $B = \frac{8.7}{3 \times 10^8} = 2.9 \times 10^{-8} \ T$।
चूंकि तरंग $z$-अक्ष के अनुदिश यात्रा करती है और विद्युत क्षेत्र $x$-अक्ष के अनुदिश है, इसलिए संचरण की दिशा ($\vec{E} \times \vec{B}$ दिशा) को संतुष्ट करने के लिए चुंबकीय क्षेत्र $y$-अक्ष के अनुदिश होना चाहिए।

(A) हम जानते हैं कि तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} . . . (i)$ द्वारा दी जाती है।
और निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंग की गति $c = \frac{E_0}{B_0} . . . (ii)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि विद्युत चुम्बकीय तरंग की गति $c$ है,इसलिए हम दोनों समीकरणों की तुलना कर सकते हैं:
$\frac{\omega}{k} = \frac{E_0}{B_0}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E_0 k = B_0 \omega$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है,समतल विद्युतचुंबकीय तरंग में चुंबकीय क्षेत्र $B = (3 \times 10^{-7} \text{ T}) \sin (3 \times 10^4 x + 9 \times 10^{12} t) \hat{j}$ है।
यहाँ,चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0 = 3 \times 10^{-7} \text{ T}$ है।
विद्युत क्षेत्र का आयाम $E_0 = B_0 c$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ प्रकाश की गति है।
$E_0 = (3 \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^8) = 90 \text{ V/m}$.
तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा कर रही है (फेज में $+kx$ पद द्वारा इंगित)।
प्रसार की दिशा $\vec{E} \times \vec{B}$ की दिशा द्वारा दी जाती है।
चूंकि तरंग $-\hat{i}$ दिशा में यात्रा करती है और $\vec{B}$,$\hat{j}$ दिशा में है,इसलिए $\hat{n}_E \times \hat{j} = -\hat{i}$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\hat{n}_E = \hat{k}$ है।
अतः,विद्युत क्षेत्र $E = E_0 \sin (kx + \omega t) \hat{k} = 90 \sin (3 \times 10^4 x + 9 \times 10^{12} t) \hat{k} \text{ Vm}^{-1}$ होगा।

(A) विद्युत क्षेत्र का औसत ऊर्जा घनत्व $K_{E} = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र का औसत ऊर्जा घनत्व $K_{B} = \frac{B_0^2}{4 \mu_0}$ द्वारा दिया जाता है।
विद्युतचुंबकीय तरंग में,विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के आयामों के बीच संबंध $E_0 = c B_0$ है,जहाँ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ है।
$E_0 = c B_0$ को $K_{E}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$K_{E} = \frac{1}{4} \varepsilon_0 (c B_0)^2 = \frac{1}{4} \varepsilon_0 \left(\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\right) B_0^2 = \frac{B_0^2}{4 \mu_0}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $K_{E} = K_{B}$।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग के चुंबकीय क्षेत्र का समीकरण $B = B_0 \sin (\omega t - kx) \hat{k}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $E_0 = 60 \,Vm^{-1}$ और $c = 3 \times 10^8 \,ms^{-1}$,अतः चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{60}{3 \times 10^8} = 2 \times 10^{-7} \,T$ है।
तरंग $x$-दिशा में संचरित हो रही है और विद्युत क्षेत्र $y$-दिशा में है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $z$-दिशा (इकाई सदिश $\hat{k}$) में होना चाहिए।
तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है। यहाँ $\lambda = 10 \,mm = 10^{-2} \,m$ है,इसलिए $k = \frac{2\pi}{10^{-2}} = 200\pi \,rad/m$ प्राप्त होता है।
सामान्य समीकरण $B = B_0 \sin [k(ct - x)] \hat{k}$ है।
मान रखने पर: $B = (2 \times 10^{-7}) \sin [200\pi(ct - x)] \hat{k} \,T$।

(C) एक समतल विद्युतचुंबकीय तरंग में,कुल ऊर्जा विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र के बीच समान रूप से विभाजित होती है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र का औसत ऊर्जा घनत्व $(U_E)$ चुंबकीय क्षेत्र के औसत ऊर्जा घनत्व $(U_B)$ के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$U_E = U_B$।
इसे $\frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{rms}^2 = \frac{1}{2 \mu_0} B_{rms}^2$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र आयाम $B_0$ के पदों में विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ का सूत्र है: $I = \frac{B_0^2 c}{2 \mu_0}$.
दिया गया है: $B_0 = 2.2 \times 10^{-4} \ T$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
मान रखने पर:
$I = \frac{(2.2 \times 10^{-4})^2 \times 3 \times 10^8}{2 \times 4 \pi \times 10^{-7}}$
$I = \frac{4.84 \times 10^{-8} \times 3 \times 10^8}{8 \pi \times 10^{-7}}$
$I = \frac{14.52}{25.13 \times 10^{-7}} \approx 5.77 \times 10^6 \ W/m^2$.
निकटतम मान लेने पर,हमें $I \approx 5.8 \times 10^6 \ W/m^2$ प्राप्त होता है।

(B) एक समतल विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$
जहाँ:
$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$ (निर्वात की विद्युतशीलता)
$E_0 = 4.4 \ Vm^{-1}$ (अधिकतम विद्युत क्षेत्र)
$c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$ (प्रकाश की गति)
मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (4.4)^2 \times (3 \times 10^8)$
$I = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 19.36 \times 3 \times 10^8$
$I = 25.7052 \times 10^{-3} \ W \ m^{-2}$
$I \approx 25.7 \ mW \ m^{-2}$

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग का कुल औसत ऊर्जा घनत्व $U_{avg} = \frac{B_0^2}{2 \mu_0}$ होता है।
यहाँ $B_0 = 400 \ \mu T = 400 \times 10^{-6} \ T$ और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \ m/A$ दिया गया है।
मान रखने पर: $U_{avg} = \frac{(400 \times 10^{-6})^2}{2 \times 4 \pi \times 10^{-7}} = \frac{16 \times 10^{-8}}{8 \pi \times 10^{-7}} = \frac{2 \times 10^{-1}}{\pi} \approx 0.06366 \ J \ m^{-3} = 63.66 \times 10^{-3} \ J \ m^{-3}$.
एक विद्युतचुंबकीय तरंग में,औसत ऊर्जा घनत्व विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र के बीच समान रूप से विभाजित होता है।
अतः,विद्युत क्षेत्र के अनुरूप औसत ऊर्जा घनत्व $U_E = \frac{U_{avg}}{2} = \frac{63.66 \times 10^{-3}}{2} = 31.83 \times 10^{-3} \ J \ m^{-3}$ है।

(A) एक विद्युत चुम्बकीय तरंग में,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुम्बकीय क्षेत्र $\vec{B}$ एक-दूसरे के लंबवत होते हैं और तरंग के संचरण की दिशा के भी लंबवत होते हैं।
तरंग के संचरण की दिशा $(\vec{E} \times \vec{B})$ के सदिश गुणनफल द्वारा दी जाती है।
चूंकि तरंग $Z$-अक्ष ($\hat{k}$ दिशा) के अनुदिश संचरित हो रही है,इसलिए $(\vec{E} \times \vec{B})$ की दिशा $\hat{k}$ होनी चाहिए।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$। यह संचरण की दिशा से मेल खाता है।
अतः,क्षेत्रों को $\vec{E} = E_0 \hat{i}$ और $\vec{B} = B_0 \hat{j}$ द्वारा दर्शाया जा सकता है।

(A) निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंग के विद्युत क्षेत्र का दिया गया समीकरण $E = (3.1 \text{ NC}^{-1}) \cos [(1.8 \text{ rad m}^{-1}) y + (5.4 \times 10^6 \text{ rad s}^{-1}) t] \hat{i}$ है।
हम इसकी तुलना सामान्य तरंग समीकरण $E = E_0 \cos (ky + \omega t) \hat{i}$ से करते हैं।
तुलना करने पर,संचरण नियतांक $k = 1.8 \text{ rad m}^{-1}$ प्राप्त होता है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और संचरण नियतांक $k$ के बीच का संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
इसलिए,$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2 \times 3.14159}{1.8} \approx 3.49 \text{ m}$।
अतः,विद्युतचुंबकीय तरंग की तरंगदैर्ध्य $3.49 \text{ m}$ है।

(B) मुक्त आकाश में $EM$ तरंग का औसत विद्युत ऊर्जा घनत्व $\mu_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{rms}^2 = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,औसत चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $\mu_B = \frac{1}{2\mu_0} B_{rms}^2 = \frac{B_0^2}{4\mu_0}$ है।
संबंध $E_0 = cB_0$ और $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ का उपयोग करके,हम $\mu_B$ के व्यंजक में $B_0 = \frac{E_0}{c} = E_0 \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
इससे $\mu_B = \frac{(E_0 \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0})^2}{4\mu_0} = \frac{E_0^2 \mu_0 \varepsilon_0}{4\mu_0} = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\mu_E = \mu_B$,इसलिए विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों दोनों का ऊर्जा योगदान समान होता है।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग की आवृत्ति $v = 8.2 \times 10^6 \,Hz$ दी गई है。
हम जानते हैं कि निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंगों की चाल $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ होती है。
चाल, आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के बीच का संबंध $c = v \lambda$ सूत्र द्वारा दिया जाता है。
अतः, तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\lambda = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8}{8.2 \times 10^6} \,m$.
$\lambda = \frac{300}{8.2} \,m \approx 36.58 \,m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $\lambda = 36.5 \,m$ है。

(C) दिया गया है: विद्युत चुम्बकीय तरंग की आवृत्ति $f = 1.0 \times 10^{14} \,Hz$ है।
विद्युत क्षेत्र का आयाम $E_0 = 4 \,Vm^{-1}$ है।
निर्वात की विद्युतशीलता $\varepsilon_0 = 8.8 \times 10^{-12} \,C^2 \,N^{-1} \,m^{-2}$ है।
विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $u_E$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$u_E = \frac{1}{2} \times (8.8 \times 10^{-12}) \times (4)^2$
$u_E = \frac{1}{2} \times 8.8 \times 10^{-12} \times 16$
$u_E = 4.4 \times 16 \times 10^{-12}$
$u_E = 70.4 \times 10^{-12} \,Jm^{-3}$
अतः,विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $70.4 \times 10^{-12} \,Jm^{-3}$ होगा।

(B) मुक्त आकाश में एकवर्णी विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए:
$1$. विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र समान कला में दोलन करते हैं,इसलिए कलांतर $0$ है,$\frac{\pi}{2}$ नहीं। कथन $1$ गलत है।
$2$. विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ है और चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $u_B = \frac{1}{2\mu_0} B^2$ है। चूँकि $E = cB$ और $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ है,इसलिए $u_E = u_B$ होता है। अतः,ऊर्जा समान रूप से वितरित है। कथन $2$ सही है।
$3$. विकिरण दबाव $P = \frac{I}{c} = u_{avg}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u_{avg}$ औसत ऊर्जा घनत्व है। यह गति और ऊर्जा घनत्व का गुणनफल नहीं है। कथन $3$ गलत है।
$4$. तरंग की गति $c = \frac{E}{B}$ है। कथन $4$ गलत है क्योंकि यह चुंबकीय और विद्युत क्षेत्र का अनुपात $(B/E = 1/c)$ बताता है।
इसलिए,केवल कथन $2$ सही है।

(D) समतल विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ और विद्युत क्षेत्र के आयाम $E_0$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$.
$E_0$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $E_0 = \sqrt{\frac{2 I}{\epsilon_0 c}}$.
दिए गए मान हैं: $I = 53.1 \ W \ m^{-2}$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 \ N^{-1} \ m^{-2}$,और $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $E_0 = \sqrt{\frac{2 \times 53.1}{8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}}$.
$E_0 = \sqrt{\frac{106.2}{26.55 \times 10^{-4}}} = \sqrt{4 \times 10^4} = 200 \ N \ C^{-1}$.

(C) विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र के कारण औसत ऊर्जा घनत्व का सूत्र निम्नलिखित है:
$U_E = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$
जहाँ $E_0$ विद्युत क्षेत्र का आयाम है।
दिया गया है:
$E_0 = 40 \,Vm^{-1}$
$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,Fm^{-1}$
मान रखने पर:
$U_E = \frac{1}{4} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (40)^2$
$U_E = \frac{1}{4} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 1600$
$U_E = 8.85 \times 10^{-12} \times 400$
$U_E = 3540 \times 10^{-12} \,Jm^{-3}$
$U_E = 3.54 \times 10^{-9} \,Jm^{-3}$

(D) निर्वात में,तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{2 \times 10^6 \text{ Hz}} = 150 \text{ m}$ है।
गैर-चुम्बकीय माध्यम में,सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 1$ है। माध्यम में तरंग की गति $v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}} = \frac{c}{\sqrt{9 \times 1}} = \frac{c}{3}$ है।
$c$ का मान रखने पर,$v = \frac{3 \times 10^8}{3} = 1 \times 10^8 \text{ m/s}$ प्राप्त होता है।
जब तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में प्रवेश करती है तो आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है। इसलिए,माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{10^8 \text{ m/s}}{2 \times 10^6 \text{ Hz}} = 50 \text{ m}$ है।
तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन $\Delta \lambda = \lambda_0 - \lambda = 150 \text{ m} - 50 \text{ m} = 100 \text{ m}$ है।
अतः,तरंगदैर्ध्य $100 \text{ m}$ घट जाती है।

(B) समतल विद्युतचुंबकीय तरंग का मानक समीकरण $E_y = E_0 \sin(\omega t + kx)$ होता है।
दिए गए समीकरण $E_y = 30 \sin(2 \times 10^{11} t + 300 \pi x)$ के साथ तुलना करने पर,हम तरंग संख्या $k = 300 \pi \ rad/m$ प्राप्त करते हैं।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ है।
$\lambda$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\lambda = \frac{2 \pi}{k}$ प्राप्त होता है।
$k$ का मान रखने पर,$\lambda = \frac{2 \pi}{300 \pi} = \frac{1}{150} \ m$ होता है।
गणना करने पर,$\lambda = 0.00666... \ m = 6.67 \times 10^{-3} \ m$ प्राप्त होता है।

(C) विद्युत चुम्बकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच का संबंध $B = \frac{E}{c}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है, $E = 750 \text{ NC}^{-1}$।
मुक्त आकाश में प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}$ है।
इन मानों को रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{750}{3 \times 10^8} = 250 \times 10^{-8} = 2.5 \times 10^{-6} \text{ T}$।
विद्युत चुम्बकीय तरंग $X$-अक्ष ($\hat{i}$ दिशा) के अनुदिश यात्रा करती है और विद्युत क्षेत्र $Y$-अक्ष ($\hat{j}$ दिशा) के अनुदिश है।
चूंकि तरंग के संचरण की दिशा विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के सदिश गुणनफल $(\vec{E} \times \vec{B})$ द्वारा दी जाती है, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $Z$-अक्ष ($\hat{k}$ दिशा) के अनुदिश होनी चाहिए क्योंकि $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$।
अतः, चुंबकीय क्षेत्र $2.5 \times 10^{-6} \hat{k} \text{ T}$ है।

(A) माध्यम में विद्युतचुंबकीय तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda_0$ निर्वात में तरंगदैर्ध्य है और $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
गैर-चुंबकीय परावैद्युत माध्यम के लिए,अपवर्तनांक $n$ सापेक्ष विद्युतशीलता $\epsilon_r$ से $n = \sqrt{\epsilon_r}$ द्वारा संबंधित है।
दिया गया है $\lambda_0 = 2 \times 10^{-10} \,m$ और $\epsilon_r = 4$.
इसलिए,$n = \sqrt{4} = 2$.
नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_m = \frac{2 \times 10^{-10}}{2} = 1 \times 10^{-10} \,m$ होगी।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) मुक्त आकाश में यात्रा करने वाली विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए, विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का संबंध $B = \frac{E}{c}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है $(c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s})$।
यहाँ $E = 6.3 \text{ V/m}$ दिया गया है, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{6.3}{3 \times 10^8} = 2.1 \times 10^{-8} \text{ T}$ है।
तरंग के प्रसार की दिशा $X$-दिशा $(\hat{i})$ है और विद्युत क्षेत्र $Y$-दिशा $(\hat{j})$ में है।
चूँकि तरंग $\vec{E} \times \vec{B}$ की दिशा में आगे बढ़ती है, इसलिए $\hat{i} = \hat{j} \times \hat{B}$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\hat{B} = \hat{k}$।
अतः, चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 2.1 \times 10^{-8} \hat{k} \text{ T}$ है।

(C) निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंगों की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$ द्वारा दी जाती है।
सापेक्ष पारगम्यता $\mu_{r}$ और परावैद्युतांक $K$ (जहाँ $K = \epsilon_{r}$) वाले माध्यम में,गति $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ होती है।
यहाँ,$\mu = \mu_{0} \mu_{r}$ और $\epsilon = \epsilon_{0} \epsilon_{r} = \epsilon_{0} K$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v = \frac{1}{\sqrt{(\mu_{0} \mu_{r}) (\epsilon_{0} K)}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}} \sqrt{\mu_{r} K}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$,इसलिए $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_{r} K}}$ होता है।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र के आयाम $(E_0)$ और चुंबकीय क्षेत्र के आयाम $(B_0)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $B_0 = \frac{E_0}{c}$।
यहाँ $E_0 = 60 \ Vm^{-1}$ और प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B_0 = \frac{60}{3 \times 10^8}$
$B_0 = 20 \times 10^{-8} \ T$
$B_0 = 2 \times 10^{-7} \ T$।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $2 \times 10^{-7} \ T$ है।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ का सूत्र $I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$ है।
हम जानते हैं कि $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$,जिसका अर्थ है $\epsilon_0 = \frac{1}{\mu_0 c^2}$।
इस मान को तीव्रता के सूत्र में रखने पर: $I = \frac{1}{2} c \left(\frac{1}{\mu_0 c^2}\right) E_0^2 = \frac{E_0^2}{2 \mu_0 c}$।
दिया गया है: $E_0 = 300 \ Vm^{-1}$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ Hm^{-1}$,और $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$।
$I = \frac{(300)^2}{2 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^8)}$।
$I = \frac{90000}{2 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 3 \times 10^8} = \frac{90000}{24\pi \times 10} = \frac{9000}{24\pi} = \frac{375}{\pi}$।
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,$I \approx \frac{375}{3.14159} \approx 119.36 \ Wm^{-2}$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,$I \approx 119.4 \ Wm^{-2}$।