Properties of Electromagnetic Waves Questions in Hindi

(B) बल्ब की कुल शक्ति $P_{total} = 100 \ W$ है।
चूंकि शक्ति का $20 \%$ दृश्य विकिरण में परिवर्तित होता है,इसलिए दृश्य विकिरण की शक्ति $P_{vis}$ है:
$P_{vis} = 100 \ W \times \frac{20}{100} = 20 \ W$.
बिंदु स्रोत से $r$ दूरी पर समदैशिक रूप से उत्सर्जित विकिरण की तीव्रता $I$ का सूत्र है:
$I = \frac{P_{vis}}{4 \pi r^2}$.
यहाँ $r = 5 \ m$ दिया गया है,मान रखने पर:
$I = \frac{20}{4 \pi \times (5)^2} = \frac{20}{4 \pi \times 25} = \frac{5}{25 \pi} \ W/m^2$.
दिए गए व्यंजक $\frac{\alpha}{25 \pi} \ W/m^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 5$ प्राप्त होता है।

(D) सही कथन विकल्प $(D)$ में दिया गया है।
विकल्पों का विश्लेषण:
विकल्प $(A)$ गलत है क्योंकि फोटॉन का विराम द्रव्यमान शून्य होता है,फिर भी अपनी ऊर्जा के कारण वे संवेग रखते हैं $(p = E/c)$।
विकल्प $(B)$ गलत है क्योंकि विद्युतचुंबकीय बल,दुर्बल नाभिकीय बल और गुरुत्वाकर्षण बल दोनों की तुलना में बहुत अधिक शक्तिशाली होता है।
विकल्प $(C)$ गलत है क्योंकि नाभिक के स्थायित्व के लिए प्रबल नाभिकीय बल जिम्मेदार होता है,न कि दुर्बल नाभिकीय बल।
विकल्प $(D)$ सही है क्योंकि विद्युतचुंबकीय बल लंबी दूरी के बल हैं और इन्हें संचरण के लिए किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ को $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c = \frac{1}{2} \frac{B_0^2 c}{\mu_0}$ द्वारा दिया जाता है।
पूर्णतः अवशोषक सतह पर विकिरण दाब $P$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में स्थानांतरित संवेग के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $P = \frac{I}{c}$ है।
तीव्रता के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P = \frac{\frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c}{c} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में स्थानांतरित औसत संवेग का परिमाण $\frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ है।

(D) माध्यम में विद्युत चुम्बकीय तरंग की गति $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \epsilon_0 \epsilon_r}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$,हम लिख सकते हैं $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$.
यहाँ $\epsilon_r = 8$ और $\mu_r = 200$ दिया गया है,इसलिए अपवर्तनांक $n = \sqrt{\mu_r \epsilon_r} = \sqrt{200 \times 8} = \sqrt{1600} = 40$.
अतः,गति $v = \frac{3 \times 10^8}{40} = 0.075 \times 10^8 = 7.5 \times 10^6 \text{ m/s}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f}$ द्वारा प्राप्त होती है।
यहाँ $f = 100 \text{ MHz} = 10^8 \text{ Hz}$ दिया गया है।
इसलिए,$\lambda = \frac{7.5 \times 10^6}{10^8} = 7.5 \times 10^{-2} \text{ m} = 7.5 \text{ cm}$.

(C) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ और विद्युत क्षेत्र के आयाम $E_0$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$.
दिया गया है: $I = \frac{15}{\pi} \text{ W m}^{-2}$, $c = 3 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}$, और $\epsilon_0 = \frac{1}{36\pi} \times 10^{-9} \text{ F m}^{-1}$.
मान रखने पर: $\frac{15}{\pi} = \frac{1}{2} \times (3 \times 10^8) \times (\frac{1}{36\pi} \times 10^{-9}) \times E_0^2$.
$\frac{15}{\pi} = \frac{3 \times 10^{-1}}{72\pi} \times E_0^2$.
$\frac{15}{\pi} = \frac{1}{240\pi} \times E_0^2$.
$E_0^2 = 15 \times 240 = 3600$.
$E_0 = \sqrt{3600} = 60 \text{ N C}^{-1}$.

(A) दिया गया विद्युत क्षेत्र $E_z = 60 \sin(0.5 \times 10^3 x + 1.5 \times 10^{11} t) \ Vm^{-1}$ है।
इसे मानक समीकरण $E_z = E_0 \sin(kx + \omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $E_0 = 60 \ Vm^{-1}$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0$,$B_0 = \frac{E_0}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$ प्रकाश की गति है।
$B_0 = \frac{60}{3 \times 10^8} = 20 \times 10^{-8} = 2 \times 10^{-7} \ T$.
चूंकि तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में संचरित होती है (जो $+kx$ पद द्वारा इंगित है) और विद्युत क्षेत्र $z$-दिशा में है,इसलिए संचरण की दिशा $\vec{E} \times \vec{B} \propto \vec{v}$ को संतुष्ट करने के लिए चुंबकीय क्षेत्र को $y$-दिशा में होना चाहिए।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $B_y = 2 \times 10^{-7} \sin(0.5 \times 10^3 x + 1.5 \times 10^{11} t) \ T$ होगा।

(B) निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए विद्युत क्षेत्र के आयाम $(E_0)$ और चुंबकीय क्षेत्र के आयाम $(B_0)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $E_0 = c B_0$,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया है:
$B_0 = 270 \ nT = 270 \times 10^{-9} \ T$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
मान रखने पर:
$E_0 = (3 \times 10^8 \ m/s) \times (270 \times 10^{-9} \ T)$
$E_0 = 810 \times 10^{-1} \ NC^{-1} = 81 \ NC^{-1}$
अतः,विद्युत क्षेत्र का आयाम $81 \ NC^{-1}$ है।

(B) जब एक विद्युतचुंबकीय तरंग पूर्णतः अवशोषक सतह पर आपतित होती है,तो प्राप्त संवेग $p = \frac{U}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $U$ स्थानांतरित ऊर्जा है और $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
हम जानते हैं कि विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र आयाम $E_0$ और चुंबकीय क्षेत्र आयाम $B_0$ के बीच संबंध $c = \frac{E_0}{B_0}$ होता है।
संवेग के समीकरण में $c$ का यह मान रखने पर:
$p = \frac{U}{E_0 / B_0} = \frac{U B_0}{E_0}$.
अतः,सतह को प्राप्त कुल संवेग का परिमाण $\frac{U B_0}{E_0}$ है।

(D) एक विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,शिखर विद्युत क्षेत्र $E_0$ और शिखर चुंबकीय क्षेत्र $B_0$ के बीच का संबंध $E_0 = c B_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया है:
$B_0 = 30 \times 10^{-9} \ T$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E_0 = (3 \times 10^8 \ m/s) \times (30 \times 10^{-9} \ T)$
$E_0 = 90 \times 10^{-1} \ Vm^{-1}$
$E_0 = 9 \ Vm^{-1}$
अतः,विद्युत क्षेत्र का शिखर मान $9 \ Vm^{-1}$ है।

(A) दी गई आवृत्ति, $f = 3 \text{ GHz} = 3 \times 10^9 \text{ Hz}$.
प्रकाश की गति, $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda$, आवृत्ति $f$ और प्रकाश की गति $c$ के बीच का संबंध $\lambda = \frac{c}{f}$ है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{3 \times 10^8}{3 \times 10^9} = 10^{-1} \text{ m} = 0.1 \text{ m}$.

(D) गलत है क्योंकि विद्युतचुंबकीय $(EM)$ तरंगों को यात्रा करने के लिए किसी माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है; अतः वे निर्वात में यात्रा कर सकती हैं।
$B$ गलत है क्योंकि $EM$ तरंगें अनुप्रस्थ तरंगें होती हैं,अनुदैर्ध्य नहीं।
$C$ गलत है क्योंकि $EM$ तरंगें त्वरित आवेश द्वारा उत्पन्न होती हैं,न कि एकसमान वेग से गतिमान आवेश द्वारा।
$D$ सही है क्योंकि $EM$ तरंगें अंतरिक्ष में संचरण करते समय ऊर्जा और संवेग दोनों का वहन करती हैं।

(C) माध्यम में विद्युतचुंबकीय तरंग की गति का सूत्र $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$ है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है,$\mu_r$ सापेक्ष पारगम्यता (relative permeability) है और $\epsilon_r$ सापेक्ष विद्युतशीलता है।
दिया गया है: $v = 1.5 \times 10^8 \ m/s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $\epsilon_r = 2$.
मान रखने पर: $1.5 \times 10^8 = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{\mu_r \times 2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1.5)^2 = \frac{3^2}{2\mu_r} \Rightarrow 2.25 = \frac{9}{2\mu_r}$.
$\mu_r$ के लिए हल करने पर: $2\mu_r = \frac{9}{2.25} = 4 \Rightarrow \mu_r = 2$.
चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m$ और सापेक्ष पारगम्यता के बीच संबंध $\mu_r = 1 + \chi_m$ है।
अतः,$\chi_m = \mu_r - 1 = 2 - 1 = 1$.

(B) हम जानते हैं कि एक विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के आयामों के बीच संबंध $E_0 = B_0 c$ होता है।
यहाँ $B_0 = 2 \times 10^{-8} \text{ T}$ और $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ दिया गया है।
अतः,$E_0 = (2 \times 10^{-8}) \times (3 \times 10^8) = 6 \text{ V m}^{-1}$।
तरंग के संचरण की दिशा $\vec{E} \times \vec{B}$ सदिश की दिशा द्वारा दी जाती है।
यहाँ,तरंग $-\hat{j}$ दिशा में संचरित हो रही है और चुंबकीय क्षेत्र $\hat{k}$ दिशा में है।
मान लीजिए $\vec{E}$ की दिशा $\hat{n}$ है। तो $\hat{n} \times \hat{k} = -\hat{j}$।
चूंकि $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ होता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $\hat{i}$ दिशा में होना चाहिए।
तरंग का चरण (phase) समान रहता है,इसलिए कोसाइन फलन का तर्क $\pi \times 10^{15}(t + \frac{y}{c})$ रहेगा।
अतः,$\vec{E} = (6) \cos [\pi \times 10^{15}(t + \frac{y}{c})] \hat{i} \text{ V m}^{-1}$।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग के संचरण की दिशा पॉइंटिंग सदिश (Poynting vector) की दिशा द्वारा दी जाती है,जो $\vec{E} \times \vec{B}$ की दिशा है।
सबसे पहले,हम विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के लिए इकाई सदिश ज्ञात करते हैं:
$\hat{E} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$
$\hat{B} = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}$
संचरण की दिशा $\hat{n}$,$\hat{E} \times \hat{B}$ द्वारा दी जाती है:
$\hat{n} = \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) \times \left( \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} \right)$
$\hat{n} = \frac{1}{2} [(\hat{i} \times \hat{i}) - (\hat{i} \times \hat{j}) + (\hat{j} \times \hat{i}) - (\hat{j} \times \hat{j})]$
क्रॉस प्रोडक्ट के नियमों $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ का उपयोग करते हुए:
$\hat{n} = \frac{1}{2} [0 - \hat{k} - \hat{k} - 0] = \frac{1}{2} [-2\hat{k}] = -\hat{k}$.

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ और चुंबकीय क्षेत्र के आयाम $B_0$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $I = \frac{B_0^2}{2 \mu_0} c$.
दिया गया है: $I = 2.1 \times 10^{15} \ W/m^2$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
मान रखने पर: $2.1 \times 10^{15} = \frac{B_0^2 \times 3 \times 10^8}{2 \times 4 \pi \times 10^{-7}}$.
$2.1 \times 10^{15} = \frac{B_0^2 \times 3 \times 10^8}{8 \pi \times 10^{-7}}$.
$B_0^2 = \frac{2.1 \times 10^{15} \times 8 \pi \times 10^{-7}}{3 \times 10^8} = \frac{16.8 \pi \times 10^8}{3 \times 10^8} = 5.6 \pi \approx 5.6 \times 3.14 = 17.584 \approx 17.64$.
$B_0 = \sqrt{17.64} = 4.2 \ T$.

(B) विद्युत चुम्बकीय तरंग की औसत तीव्रता $I$ और चुंबकीय क्षेत्र के आयाम $B_0$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $I = \frac{B_0^2 C}{2 \mu_0}$.
दिया गया है,$I = \frac{6}{\pi} \times 10^3 \text{ W/m}^2$,$C = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$B_0^2$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $B_0^2 = \frac{2 \mu_0 I}{C}$.
मान रखने पर: $B_0^2 = \frac{2 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (\frac{6}{\pi} \times 10^3)}{3 \times 10^8}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $B_0^2 = \frac{8\pi \times 10^{-7} \times 6 \times 10^3}{\pi \times 3 \times 10^8} = \frac{48 \times 10^{-4}}{3 \times 10^8} = 16 \times 10^{-12}$.
वर्गमूल लेने पर: $B_0 = \sqrt{16 \times 10^{-12}} = 4 \times 10^{-6} \text{ T}$.

(B) दिया गया है: $E_0 = 150 \text{ V/m}$,$f = 30 \text{ MHz} = 30 \times 10^6 \text{ Hz}$.
$1$. चुंबकीय क्षेत्र का आयाम: $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{150}{3 \times 10^8} = 5 \times 10^{-7} \text{ T}$.
$2$. कोणीय आवृत्ति: $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 30 \times 10^6 = 60\pi \times 10^6 \text{ rad/s} = 6\pi \times 10^7 \text{ rad/s}$.
$3$. तरंग संख्या: $k = \frac{\omega}{c} = \frac{6\pi \times 10^7}{3 \times 10^8} = 0.2\pi = \frac{\pi}{5} \text{ rad/m}$.
$4$. दिशा: तरंग $\hat{i}$ ($x$-अक्ष) दिशा में संचरित होती है और $\vec{E}$,$\hat{j}$ ($y$-अक्ष) दिशा में है। $\vec{B}$ को $\vec{E}$ और संचरण की दिशा दोनों के लंबवत होना चाहिए,इसलिए $\vec{B}$,$z$-अक्ष की दिशा में होगा।
$5$. तरंग समीकरण: $\vec{B} = B_0 \sin(kx - \omega t) \hat{k} = 5 \times 10^{-7} \sin \left[\pi \left(\frac{x}{5} - 6 \times 10^7 t\right)\right] \hat{z} \text{ T}$.

(A) बल्ब की कुल शक्ति $P = 100 \pi \ W$ है।
दृश्य विकिरण में परिवर्तित शक्ति कुल शक्ति का $10 \%$ है,इसलिए $P' = 0.10 \times 100 \pi \ W = 10 \pi \ W$ है।
बिंदु स्रोत से $d = 10 \ m$ की दूरी पर तीव्रता $I$ का सूत्र $I = \frac{P'}{4 \pi d^2}$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{10 \pi}{4 \pi (10)^2} = \frac{10 \pi}{4 \pi \times 100} = \frac{10}{400} = 0.025 \ W \ m^{-2}$।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ और विद्युत क्षेत्र के आयाम $E_0$ के बीच संबंध निम्नलिखित है:
$I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$
दिया गया है:
$I = 17.7 \times 10^{14} \ W/m^2$
$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 / (N \cdot m^2)$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$17.7 \times 10^{14} = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times E_0^2 \times (3 \times 10^8)$
$17.7 \times 10^{14} = \frac{26.55 \times 10^{-4}}{2} \times E_0^2$
$17.7 \times 10^{14} = 13.275 \times 10^{-4} \times E_0^2$
$E_0^2 = \frac{17.7 \times 10^{14}}{13.275 \times 10^{-4}} = \frac{17.7}{13.275} \times 10^{18} \approx 1.333 \times 10^{18} = \frac{4}{3} \times 10^{18}$
वर्गमूल लेने पर:
$E_0 = \sqrt{\frac{4}{3} \times 10^{18}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 10^9 \ N \ C^{-1}$

(A) प्रकाश के समानांतर पुंज की तीव्रता $I$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$ ... $(i)$
जहाँ $E_0$ विद्युत क्षेत्र का आयाम है,$\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है,और $c$ प्रकाश की गति है।
दिया गया है:
$I = \frac{15}{\pi} \text{ W/m}^2$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2 \implies \varepsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \text{ F/m}$
$c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$
समीकरण $(i)$ को $E_0^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$E_0^2 = \frac{2I}{\varepsilon_0 c} = \frac{2I \times 4 \pi}{(4 \pi \varepsilon_0) c}$
मान रखने पर:
$E_0^2 = \frac{2 \times (15/\pi) \times 4 \pi}{(1 / (9 \times 10^9)) \times 3 \times 10^8}$
$E_0^2 = \frac{120}{3 \times 10^8 / 9 \times 10^9} = \frac{120}{1/30} = 120 \times 30 = 3600$
$E_0 = \sqrt{3600} = 60 \text{ N/C}$

(D) विद्युतचुंबकीय तरंग के संचरण की दिशा पॉइंटिंग सदिश की दिशा द्वारा दी जाती है,जो $\vec{E} \times \vec{B}$ के समानांतर होती है।
दिया गया है कि चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $\hat{B} = \hat{i} - \hat{j}$ है।
दिया गया है कि विद्युत क्षेत्र की दिशा $\hat{E} = \hat{i} + \hat{j}$ है।
संचरण की दिशा $\hat{n}$ विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के इकाई सदिशों के क्रॉस उत्पाद द्वारा दी जाती है:
$\hat{n} = \hat{E} \times \hat{B} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (\hat{i} - \hat{j})$.
क्रॉस उत्पाद का विस्तार करने पर:
$\hat{n} = (\hat{i} \times \hat{i}) - (\hat{i} \times \hat{j}) + (\hat{j} \times \hat{i}) - (\hat{j} \times \hat{j})$.
इकाई सदिशों के गुणों $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ का उपयोग करने पर:
$\hat{n} = 0 - \hat{k} - \hat{k} - 0 = -2\hat{k}$.
चूंकि दिशा $-2\hat{k}$ है,इसलिए तरंग $-z$-दिशा में यात्रा कर रही है।

(B) स्रोत द्वारा उत्सर्जित औसत शक्ति $P_{\text{avg}} = 4 \% \text{ of } 100 \,W = \frac{4}{100} \times 100 \,W = 4 \,W$ है।
$r = 2 \,m$ की दूरी पर, विकिरण $A = 4 \pi r^2 = 4 \pi (2)^2 = 16 \pi \,m^2$ के गोलाकार पृष्ठीय क्षेत्रफल पर फैलता है।
औसत तीव्रता $I_{\text{avg}} = \frac{P_{\text{avg}}}{A} = \frac{4}{16 \pi} = \frac{1}{4 \pi} \,W/m^2$ है।
साथ ही, विद्युत चुम्बकीय तरंग की औसत तीव्रता और rms विद्युत क्षेत्र $E_{\text{rms}}$ के बीच संबंध $I_{\text{avg}} = \varepsilon_0 c E_{\text{rms}}^2$ है, जहाँ $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ प्रकाश की गति है।
तीव्रता के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{1}{4 \pi} = \varepsilon_0 c E_{\text{rms}}^2$.
$E_{\text{rms}}^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $E_{\text{rms}}^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 c} = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \right) \times \frac{1}{c}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $E_{\text{rms}}^2 = (9 \times 10^9) \times \frac{1}{3 \times 10^8} = 3 \times 10 = 30$.
अतः, $E_{\text{rms}} = \sqrt{30} \,V/m$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,विद्युत चुम्बकीय $(EM)$ तरंग की आवृत्ति,$f = 3 \ MHz = 3 \times 10^6 \ Hz$ है।
अचुंबकीय माध्यम की विद्युतशीलता,$\epsilon = 16 \epsilon_0$ है।
निर्वात में $EM$ तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{3 \times 10^6 \ Hz} = 100 \ m$ है।
माध्यम का अपवर्तनांक $n = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ है। चूंकि माध्यम अचुंबकीय है,इसलिए $\mu_r = 1$ है।
अतः,$n = \sqrt{\frac{\epsilon}{\epsilon_0}} = \sqrt{16} = 4$ है।
माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{n} = \frac{100 \ m}{4} = 25 \ m$ है।
तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = 25 \ m - 100 \ m = -75 \ m$ है।

(B) दिया गया है,अधिकतम चुंबकीय क्षेत्र,$B_0 = 1.26 \times 10^{-4} \ T$ और निर्वात की पारगम्यता,$\mu_0 = 1.26 \times 10^{-6} \ H/m$ है। प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ है।
विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I = \frac{1}{2} \frac{B_0^2 c}{\mu_0}$
मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times \frac{(1.26 \times 10^{-4})^2 \times 3 \times 10^8}{1.26 \times 10^{-6}}$
$I = \frac{1}{2} \times \frac{1.26 \times 1.26 \times 10^{-8} \times 3 \times 10^8}{1.26 \times 10^{-6}}$
$I = \frac{1}{2} \times 1.26 \times 3 \times 10^2 \times 10^6$
$I = 0.63 \times 3 \times 10^6 = 1.89 \times 10^6 \ W/m^2$.

(B) समतल विद्युतचुंबकीय तरंग का सामान्य समीकरण $B = B_0 \sin(kx + \omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $B = 5 \times 10^{-6} \sin(0.6 \times 10^2 x + 0.5 \times 10^{10} t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
तरंग संख्या $k = 0.6 \times 10^2 \text{ m}^{-1}$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 0.5 \times 10^{10} \text{ rad/s}$
तरंग की गति $v$,$v = \frac{\omega}{k}$ संबंध द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$v = \frac{0.5 \times 10^{10}}{0.6 \times 10^2}$
$v = \frac{5}{6} \times 10^8 \text{ m/s}$
$v \approx 0.833 \times 10^8 \text{ m/s}$.

(C) विद्युत चुम्बकीय तरंग का ऊर्जा घनत्व $u$, $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$, $E = E_0 \sin(\omega t)$ और $B = B_0 \sin(\omega t)$ के रूप में दोलन करते हैं, इसलिए ऊर्जा घनत्व में $\sin^2(\omega t)$ जैसे पद शामिल होते हैं।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2(\omega t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2}$ का उपयोग करने पर, हम देखते हैं कि ऊर्जा घनत्व $2\omega$ की कोणीय आवृत्ति के साथ दोलन करता है।
अतः, ऊर्जा दोलन की आवृत्ति $f_{energy} = 2f = 2 \times (4 \times 10^{14} \,Hz) = 8 \times 10^{14} \,Hz$ है।

(C) विद्युत क्षेत्र के लिए दिया गया समीकरण $E = i 30 \cos (k z - 5 \times 10^8 t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $E = E_0 \cos (k z - \omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 5 \times 10^8 \ rad/s$ प्राप्त होती है।
प्रकाश की गति $c$,कोणीय आवृत्ति $\omega$ और तरंग सदिश $k$ के बीच का संबंध $c = \frac{\omega}{k}$ है।
$k$ के लिए हल करने पर,हमें $k = \frac{\omega}{c}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $k = \frac{5 \times 10^8 \ rad/s}{3 \times 10^8 \ m/s}$।
अतः,$k = \frac{5}{3} \approx 1.66 \ rad/m$ है।

(A) मुक्त स्थान में विद्युत चुम्बकीय तरंग का वेग निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$
चूंकि $c$ प्रकाश की गति को दर्शाता है,इसकी विमाएँ $[LT^{-1}]$ हैं।
अतः,$\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ की विमाएँ $c^2$ की विमाओं के समान हैं:
$[\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}] = [c^2] = [LT^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}]$.

(D) दिया गया है: बल्ब की शक्ति $P = 60 \ W$,दक्षता $\eta = 16 \% = 0.16$,दूरी $r = 2 \ m$।
सबसे पहले,$r$ दूरी पर बल्ब द्वारा उत्सर्जित विद्युत चुम्बकीय विकिरण की तीव्रता की गणना करें:
विद्युत चुम्बकीय तरंगों के रूप में उत्सर्जित शक्ति $P_{rad} = \eta \times P = 0.16 \times 60 = 9.6 \ W$ है।
$r$ दूरी पर तीव्रता $I = \frac{P_{rad}}{4 \pi r^2} = \frac{9.6}{4 \pi (2)^2} = \frac{9.6}{16 \pi} = \frac{0.6}{\pi} \ W/m^2$ है।
विद्युत चुम्बकीय तरंग की तीव्रता और शिखर विद्युत क्षेत्र $E_0$ के बीच का संबंध $I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$ है।
तीव्रता के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{0.6}{\pi} = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$।
हम जानते हैं कि $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ और $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9$,इसलिए $\epsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9}$ है।
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$ का उपयोग करते हुए,$E_0^2 = \frac{2 \times I}{c \epsilon_0} = \frac{2 \times 0.6 / \pi}{3 \times 10^8 \times (1 / (36 \pi \times 10^9))}$ है।
$E_0^2 = \frac{1.2}{\pi} \times \frac{36 \pi \times 10^9}{3 \times 10^8} = 1.2 \times 12 \times 10 = 144$ है।
अतः,$E_0 = \sqrt{144} = 12 \ Vm^{-1}$।

(B) दिया गया विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E_0 \hat{n} e^{i k_0[(x+y+z) - ct]}$ है।
इसे मानक रूप $\vec{E} = E_0 \hat{n} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}$ के साथ तुलना करने पर,हम तरंग सदिश $\vec{k} = k_0(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ प्राप्त करते हैं।
तरंग सदिश का परिमाण $k = |k_0(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})| = k_0 \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = k_0 \sqrt{3}$ है।
माध्यम में तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{k_0 c}{k_0 \sqrt{3}} = \frac{c}{\sqrt{3}}$ है।
अपवर्तनांक $n = \frac{c}{v} = \sqrt{3}$ है।
चूंकि तरंग अनुप्रस्थ है,$\vec{E} \cdot \vec{k} = 0$,जिसका अर्थ है $\hat{n} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$।
यह दिया गया है कि $\vec{E}$ $x-z$ तल में ध्रुवीकृत है,इसलिए $\hat{n}$ को $x-z$ तल में होना चाहिए,अर्थात $\hat{n} = a\hat{i} + b\hat{k}$।
$\hat{n} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$ से,हमें $a + b = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = -b$।
$\hat{n}$ का सामान्यीकरण करने पर,हमें $\hat{n} = \frac{\hat{i} - \hat{k}}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ और $C$ दोनों सही हैं।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,संचरण की दिशा सदिश $\vec{k}_{dir} = \hat{k}$ द्वारा दी जाती है (क्योंकि कला $kz - \omega t$ है)।
विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E} = E_0(\hat{i} + \hat{j})$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ संचरण की दिशा और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ दोनों के लंबवत होता है।
$\vec{B}$ की दिशा क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{k}_{dir} \times \vec{E}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$\vec{B}_{dir} = \hat{k} \times (\hat{i} + \hat{j}) = (\hat{k} \times \hat{i}) + (\hat{k} \times \hat{j}) = \hat{j} - \hat{i} = -\hat{i} + \hat{j}$.
अतः,चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $-\hat{i} + \hat{j}$ है।

(B) दिया गया है,$\vec{E} = 90 \sin (0.5 \times 10^{3} x + 1.5 \times 10^{11} t) \hat{k} \text{ V/m}$.
इसे मानक तरंग समीकरण $\vec{E} = E_{0} \sin (kx + \omega t) \hat{n}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $E_{0} = 90 \text{ V/m}$ प्राप्त होता है।
तरंग के संचरण की दिशा $-\hat{i}$ है (क्योंकि तर्क $kx + \omega t$ है)।
चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_{0} = \frac{E_{0}}{c} = \frac{90}{3 \times 10^{8}} = 3 \times 10^{-7} \text{ T}$ है।
संचरण की दिशा $\vec{E} \times \vec{B}$ की दिशा द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{E}$,$\hat{k}$ के अनुदिश है और संचरण की दिशा $-\hat{i}$ है।
इसलिए,$\hat{k} \times \hat{B} = -\hat{i}$.
हम जानते हैं कि $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$,इसलिए $\vec{B}$,$\hat{j}$ की दिशा में होना चाहिए।
अतः,$\vec{B} = 3 \times 10^{-7} \sin (0.5 \times 10^{3} x + 1.5 \times 10^{11} t) \hat{j} \text{ T}$.

(A) तरंग के संचरण की दिशा तरंग सदिश $\vec{k}$ द्वारा दी जाती है,जो $z$-अक्ष ($+\hat{k}$ दिशा) के अनुदिश है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ और संचरण की दिशा $\hat{c}$ के बीच संबंध $\vec{B} = \frac{1}{c} (\hat{c} \times \vec{E})$ है।
यहाँ,$\hat{c} = \hat{k}$ और $\vec{E} = E_0 \sin(kz - \omega t) \hat{j}$ है।
$\vec{B}$ की दिशा $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$ होगी।
चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{54}{3 \times 10^8} = 18 \times 10^{-8} = 1.8 \times 10^{-7} \ T$ है।
अतः,$\vec{B} = -1.8 \times 10^{-7} \sin(kz - \omega t) \hat{i} \ T$ होगा।

(C) तरंग का सामान्य समीकरण $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $\overline{E}(x,t) = 25 \sin(2.0 \times 10^{15}t - 10^{7}x)\hat{n}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\omega = 2.0 \times 10^{15} \text{ rad/s}$
$k = 10^{7} \text{ m}^{-1}$
माध्यम में तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k}$ है।
$v = \frac{2.0 \times 10^{15}}{10^7} = 2.0 \times 10^8 \text{ m/s}$.
अपवर्तनांक $\mu$ को $\mu = \frac{c}{v}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
$\mu = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^8} = 1.5$.

(D) निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंगों की चाल $C = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}$ होती है।
माध्यम में विद्युतचुंबकीय तरंगों की चाल $V = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$ होती है।
चाल का अनुपात $\frac{C}{V} = \sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{\mu_{0}\varepsilon_{0}}} = \sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}$ होता है।
यहाँ,परावैद्युतांक $K = \varepsilon_{r} = 3$ और सापेक्ष पारगम्यता $\mu_{r} = \frac{\mu}{\mu_{0}} = 2$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{C}{V} = \sqrt{3 \times 2} = \sqrt{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\sqrt{6} : 1$ है।

(D) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ का सूत्र $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$ है।
इससे,विद्युत क्षेत्र का आयाम $E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c}}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र के आयामों के बीच का संबंध $E_0 = B_0 c$ है,जिसका अर्थ है $B_0 = \frac{E_0}{c}$।
$E_0$ का मान रखने पर,हमें $B_0 = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c}} = \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c^3}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $I = 4.0 \times 10^{14} \ W/m^2$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2/Nm^2$,और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ दिया गया है:
$B_0 = \sqrt{\frac{2 \times 4.0 \times 10^{14}}{8.85 \times 10^{-12} \times (3 \times 10^8)^3}} = \sqrt{\frac{8.0 \times 10^{14}}{8.85 \times 10^{-12} \times 27 \times 10^{24}}} = \sqrt{\frac{8.0 \times 10^{14}}{238.95 \times 10^{12}}} = \sqrt{\frac{800}{238.95}} \approx \sqrt{3.348} \approx 1.83 \ T$.

(D) समतल तरंग का सामान्य समीकरण $E = E_0 \sin(kx - \omega t)$ है।
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 4.5 \times 10^{14} \text{ rad/s}$ और तरंग संख्या $k = 3 \times 10^6 \text{ rad/m}$ प्राप्त होती है।
माध्यम में तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{4.5 \times 10^{14}}{3 \times 10^6} = 1.5 \times 10^8 \text{ m/s}$ है।
माध्यम का अपवर्तनांक $n = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8}{1.5 \times 10^8} = 2$ है।
गैर-चुंबकीय माध्यम के लिए,सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 1$ होती है। अपवर्तनांक और परावैद्युतांक (सापेक्ष विद्युतशीलता) $\varepsilon_r$ के बीच संबंध $n = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r} = \sqrt{\varepsilon_r}$ है।
अतः,$\varepsilon_r = n^2 = 2^2 = 4$ होगा।

(A) दिया गया विद्युत क्षेत्र $E_y = E_0 \sin(kx - \omega t)$ है, जहाँ $E_0 = 69 \text{ V/m}$, $k = 0.6 \times 10^3 \text{ rad/m}$, और $\omega = 1.8 \times 10^{11} \text{ rad/s}$ है।
चूंकि तरंग $+x$ दिशा $(\hat{i})$ में संचरित होती है और विद्युत क्षेत्र $y$ दिशा $(\hat{j})$ में है, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $z$ दिशा $(\hat{k})$ में होना चाहिए क्योंकि $\vec{B} = \frac{1}{c} (\hat{c} \times \vec{E}) = \frac{1}{c} (\hat{i} \times E_y \hat{j}) = \frac{E_y}{c} \hat{k}$।
चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{69}{3 \times 10^8} = 23 \times 10^{-8} = 2.3 \times 10^{-7} \text{ T}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र का चरण (phase) विद्युत क्षेत्र के समान ही होता है, इसलिए $B_z = B_0 \sin(kx - \omega t) = 2.3 \times 10^{-7} \sin[0.6 \times 10^3 x - 1.8 \times 10^{11} t] \text{ T}$ होगा।

(B) $r$ दूरी पर एक बिंदु स्रोत की तीव्रता $I$ को सूत्र $I = \frac{P}{4\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ स्रोत की शक्ति है।
चूंकि डिटेक्टर को $L$ त्रिज्या वाली उसी गोलाकार सतह पर दूसरे स्थान पर स्थानांतरित किया जाता है,इसलिए स्रोत से दूरी $r$ स्थिर रहती है $(r = L)$।
चूंकि एक समदैशिक (isotropic) बिंदु स्रोत के लिए तीव्रता $I$ केवल दूरी $r$ पर निर्भर करती है,इसलिए नए स्थान पर तीव्रता प्रारंभिक तीव्रता $I_o$ के समान ही रहती है।
अतः,नए स्थान पर मापी गई तीव्रता $I_o$ है।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का संबंध $\vec{E} = c(\vec{B} \times \hat{n})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{n}$ तरंग संचरण की दिशा है।
यहाँ,तरंग $+x$ दिशा में संचरित हो रही है,इसलिए $\hat{n} = \hat{i}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B_0 \sin(2\pi vt - \frac{2\pi x}{\lambda}) \hat{j}$ के रूप में दिया गया है।
संबंध $\vec{E} = c(\vec{B} \times \hat{i})$ का उपयोग करते हुए,हम $\vec{B}$ का मान रखते हैं:
$\vec{E} = c B_0 \sin(2\pi vt - \frac{2\pi x}{\lambda}) (\hat{j} \times \hat{i})$.
चूंकि $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ और प्रकाश की गति $c = v\lambda$ (जहाँ $v$ आवृत्ति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है),हमें प्राप्त होता है:
$\vec{E} = -v\lambda B_0 \sin(2\pi vt - \frac{2\pi x}{\lambda}) \hat{k}$.

(A) इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला विद्युत बल $F_e = eE$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $E$ विद्युत क्षेत्र का आयाम है।
इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला चुंबकीय बल $F_m = evB$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ इलेक्ट्रॉन की गति है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र का आयाम है।
विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए,विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के आयामों के बीच संबंध $E = cB$ है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति $(c = 3 \times 10^8 \text{ m/s})$ है।
इसलिए,अधिकतम बलों का अनुपात $\frac{F_e}{F_m} = \frac{eE}{evB} = \frac{E}{v(E/c)} = \frac{c}{v}$ है।
दिया गया है कि $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ और $v = 1.5 \times 10^6 \text{ m/s}$,इसलिए अनुपात $\frac{3 \times 10^8}{1.5 \times 10^6} = \frac{300 \times 10^6}{1.5 \times 10^6} = 200$ है।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का संबंध $\vec{E} = c(\vec{B} \times \hat{n})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{n}$ तरंग प्रसार की दिशा में इकाई सदिश है।
यहाँ,तरंग $x$-दिशा में गमन करती है,इसलिए $\hat{n} = \hat{i}$.
मुक्त आकाश में प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ है।
दिया गया है $\vec{B} = 2 \times 10^{-7} \hat{j} \text{ T}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\vec{E} = (3 \times 10^8 \text{ m/s}) \times (2 \times 10^{-7} \hat{j} \text{ T} \times \hat{i})$.
चूँकि $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,इसलिए $\vec{E} = (3 \times 10^8) \times (2 \times 10^{-7}) \times (-\hat{k}) = 60 \times (-\hat{k}) = -60\hat{k} \text{ V/m}$.

(B) एक विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ और संचरण सदिश $\vec{k}$ के बीच का संबंध मैक्सवेल-फैराडे समीकरण द्वारा दिया जाता है।
अवकलन रूप में फैराडे के नियम के अनुसार,$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ होता है।
एक समतल विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,$\vec{E} = \vec{E}_0 \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)$ और $\vec{B} = \vec{B}_0 \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)$ होता है।
इन मानों को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\vec{k} \times \vec{E} = \omega \vec{B}$ प्राप्त होता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = \frac{\vec{k} \times \vec{E}}{\omega}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।