Particle Nature of Light : Photon Questions in Hindi

(B) यह अवधारणा कि फोटॉन ऊर्जा ले जाते हैं,पदार्थ के साथ विकिरण की परस्पर क्रिया से मौलिक रूप से जुड़ी हुई है। यद्यपि $Bohr$ का सिद्धांत परमाणुओं में ऊर्जा स्तरों का वर्णन करता है,लेकिन यह प्रयोगात्मक प्रमाण कि फोटॉन में संवेग और ऊर्जा होती है,और वे इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉनों में स्थानांतरित कर सकते हैं,$Compton$ प्रभाव द्वारा निश्चित रूप से स्थापित किया गया था। $Compton$ प्रभाव में,एक $X$-ray फोटॉन एक इलेक्ट्रॉन से टकराता है,जिससे उसकी ऊर्जा और संवेग का एक हिस्सा इलेक्ट्रॉन में स्थानांतरित हो जाता है,जो प्रकाश की कण-जैसी प्रकृति और फोटॉन की ऊर्जा ले जाने की क्षमता की पुष्टि करता है।

(B) पॉज़िट्रॉन,इलेक्ट्रॉन का प्रतिकण (antiparticle) है।
परिभाषा के अनुसार,एक प्रतिकण का द्रव्यमान उसके संबंधित कण के द्रव्यमान के बराबर होता है।
इसलिए,पॉज़िट्रॉन का द्रव्यमान बिल्कुल इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान के बराबर होता है,जो लगभग $9.11 \times 10^{-31} \; kg$ या $0.000548 \; a.m.u.$ है।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(A) किसी कण की विराम द्रव्यमान ऊर्जा आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सूत्र $E = m_e c^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का विराम द्रव्यमान $m_e = 9.109 \times 10^{-31} \, kg$ है और प्रकाश की गति $c \approx 3 \times 10^8 \, m/s$ है।
जूल में ऊर्जा की गणना:
$E = (9.109 \times 10^{-31} \, kg) \times (3 \times 10^8 \, m/s)^2 \approx 8.198 \times 10^{-14} \, J$.
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,हम इसे इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.602 \times 10^{-19} \, C)$ से विभाजित करते हैं:
$E = \frac{8.198 \times 10^{-14} \, J}{1.602 \times 10^{-19} \, J/eV} \approx 511,735 \, eV \approx 0.511 \, MeV = 511 \, keV$.
मानक मान के अनुसार,इलेक्ट्रॉन की विराम ऊर्जा लगभग $510 \, keV$ है।

(C) इलेक्ट्रॉन,जिसे $_{-1}e^{0}$ के रूप में दर्शाया जाता है,का प्रतिकण पॉज़िट्रॉन है,जिसे $_{+1}e^{0}$ के रूप में दर्शाया जाता है।
दोनों कणों का द्रव्यमान समान होता है,लेकिन पॉज़िट्रॉन पर धनात्मक प्राथमिक आवेश होता है,जबकि इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक प्राथमिक आवेश होता है।

(B) युग्म उत्पादन (pair production) की प्रक्रिया में एक गामा किरण फोटॉन नाभिक के साथ परस्पर क्रिया करके एक इलेक्ट्रॉन और एक पॉज़िट्रॉन उत्पन्न करता है।
गामा किरण फोटॉन की ऊर्जा $(E_{\gamma})$ का उपयोग इलेक्ट्रॉन की विराम द्रव्यमान ऊर्जा $(m_e c^2)$,पॉज़िट्रॉन की विराम द्रव्यमान ऊर्जा $(m_p c^2)$ और युग्म की कुल गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ प्रदान करने के लिए किया जाता है।
दिया गया है:
इलेक्ट्रॉन की विराम द्रव्यमान ऊर्जा $(m_e c^2)$ = $0.5\, MeV$.
पॉज़िट्रॉन की विराम द्रव्यमान ऊर्जा $(m_p c^2)$ = $0.5\, MeV$ (क्योंकि यह इलेक्ट्रॉन का प्रतिकण है)।
कुल गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ = $0.78\, MeV$.
अतः,गामा किरण फोटॉन की ऊर्जा है:
$E_{\gamma} = m_e c^2 + m_p c^2 + K.E.$
$E_{\gamma} = 0.5\, MeV + 0.5\, MeV + 0.78\, MeV = 1.78\, MeV$.

(C) इलेक्ट्रॉन और पॉजिट्रॉन एक-दूसरे के प्रतिकण (anti-particles) होते हैं।
परिभाषा के अनुसार,एक कण और उसका संबंधित प्रतिकण समान द्रव्यमान और स्पिन रखते हैं,लेकिन उनके आवेश विपरीत होते हैं।
इसलिए,पॉजिट्रॉन का द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान के समान होता है,जो लगभग $9.11 \times 10^{-31} \ kg$ है।

(C) इलेक्ट्रॉन की विराम ऊर्जा $E_0 = m_0 c^2 = 0.511 \, MeV$ दी गई है।
जब इलेक्ट्रॉन को $v = 0.5 \, c$ के वेग तक त्वरित किया जाता है,तो इसकी कुल ऊर्जा $E$ सापेक्षतावादी सूत्र द्वारा दी जाती है:
$E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$
$v = 0.5 \, c$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{0.511}{\sqrt{1 - (0.5)^2}} = \frac{0.511}{\sqrt{1 - 0.25}} = \frac{0.511}{\sqrt{0.75}}$
$E = \frac{0.511}{0.866} \approx 0.590 \, MeV$
ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E$ कुल ऊर्जा और विराम ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$\Delta E = E - E_0 = 0.590 \, MeV - 0.511 \, MeV = 0.079 \, MeV$.

(A) दिया गया है,विराम द्रव्यमान ऊर्जा $E_0 = m_0 c^2 = 0.54 \, MeV$.
इलेक्ट्रॉन का वेग $v = 0.8 \, c$.
सापेक्षतावादी द्रव्यमान $m$ का सूत्र है: $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$.
$v = 0.8 \, c$ रखने पर:
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - (0.8)^2}} = \frac{m_0}{\sqrt{1 - 0.64}} = \frac{m_0}{\sqrt{0.36}} = \frac{m_0}{0.6}$.
कुल ऊर्जा $E = mc^2 = \frac{m_0 c^2}{0.6}$.
$m_0 c^2 = 0.54 \, MeV$ रखने पर:
$E = \frac{0.54}{0.6} = 0.9 \, MeV$.
गतिज ऊर्जा $K.E. = E - E_0$.
$K.E. = 0.9 \, MeV - 0.54 \, MeV = 0.36 \, MeV$.

(C) आइजैक न्यूटन द्वारा प्रस्तावित प्रकाश के कणिका सिद्धांत के अनुसार,प्रकाश 'कॉर्पसल्स' (corpuscles) नामक छोटे,द्रव्यमान रहित कणों से बना है।
न्यूटन ने यह प्रतिपादित किया था कि प्रकाश के विभिन्न रंग इन कणिकाओं के अलग-अलग आकार के कारण होते हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) प्रकाश की क्वांटम प्रकृति का विचार,जिसे मैक्स प्लैंक द्वारा प्रस्तावित किया गया था,कृष्णिका (black body) के विकिरण स्पेक्ट्रम को समझाने के लिए पेश किया गया था। शास्त्रीय भौतिकी (तरंग सिद्धांत) कम तरंग दैर्ध्य पर कृष्णिका विकिरण के ऊर्जा वितरण को समझाने में विफल रही थी (जिसे पराबैंगनी आपदा या 'ultraviolet catastrophe' कहा जाता है)। प्लैंक ने यह परिकल्पना की कि ऊर्जा 'क्वांटा' या 'फोटॉन' नामक असतत पैकेटों के रूप में उत्सर्जित या अवशोषित होती है,जिसने देखे गए स्पेक्ट्रम को सफलतापूर्वक समझाया।

(B) जब एक $X$-रे फोटॉन प्रोटॉन से टकराता है,तो वह कॉम्पटन प्रकीर्णन (Compton scattering) से गुजरता है।
इस प्रक्रिया में,फोटॉन अपनी कुछ ऊर्जा प्रोटॉन को स्थानांतरित कर देता है (रिकॉइल)।
चूंकि फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है,ऊर्जा में कमी होने से आवृत्ति में भी कमी आती है।
इसलिए,प्रकीर्णित फोटॉन की आवृत्ति घट जाती है।

(D) फोटॉन विद्युत चुंबकीय विकिरण का एक क्वांटम है। यह एक प्राथमिक कण है जो ऊर्जा और संवेग वहन करता है,लेकिन इसका विराम द्रव्यमान शून्य होता है और विद्युत आवेश भी शून्य होता है। चूंकि इस पर कोई आवेश नहीं होता है,इसलिए इसमें कोई आंतरिक चुंबकीय आघूर्ण नहीं होता है। अतः,फोटॉन न तो विद्युत आवेश और न ही चुंबकीय आघूर्ण के साथ जुड़ा होता है।

(D) इलेक्ट्रॉन $(e^-)$ की विराम द्रव्यमान ऊर्जा (rest mass energy) $0.51 \, MeV$ है।
चूंकि पॉज़िट्रॉन $(e^+)$ का द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन के समान होता है,इसलिए इसकी विराम द्रव्यमान ऊर्जा भी $0.51 \, MeV$ होती है।
युग्म उत्पादन (pair production) के लिए,फोटॉन को इलेक्ट्रॉन और पॉज़िट्रॉन की विराम द्रव्यमान ऊर्जाओं के योग के बराबर ऊर्जा प्रदान करनी चाहिए।
न्यूनतम ऊर्जा $E = m_e c^2 + m_p c^2 = 0.51 \, MeV + 0.51 \, MeV = 1.02 \, MeV$।

(D) फोटॉन का संवेग $p$,डी-ब्रोग्ली संबंध द्वारा दिया जाता है: $p = \frac{h}{\lambda}$।
दिया गया है:
प्लांक नियतांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 0.010 \ \mathring A = 0.010 \times 10^{-10} \ m = 10^{-12} \ m$।
मान रखने पर:
$p = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{10^{-12}} \ kg \cdot m/s$।
$p = 6.626 \times 10^{-22} \ kg \cdot m/s$।

(A) स्रोत की शक्ति $P$ को $P = n \cdot E_{photon} = n \cdot \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या है।
अतः,प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $n = \frac{P \lambda}{hc}$ है।
यहाँ $P_{UV} = P_{IR} = 130 \ W$,$\lambda_{UV} = 400 \ nm$,और $\lambda_{IR} = 700 \ nm$ दिया गया है।
प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या का अनुपात:
$\frac{n_{UV}}{n_{IR}} = \frac{P_{UV} \lambda_{UV} / hc}{P_{IR} \lambda_{IR} / hc} = \frac{\lambda_{UV}}{\lambda_{IR}}$.
मान रखने पर:
$\frac{n_{UV}}{n_{IR}} = \frac{400 \ nm}{700 \ nm} = \frac{4}{7} \approx 0.57$.

(C) स्रोत की शक्ति $P$ को $P = n \cdot E_{photon}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या है और $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ है।
इसलिए,प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $n = \frac{P \cdot \lambda}{hc}$ है।
चूंकि शक्ति $P$ और स्थिरांक $h$ तथा $c$ तीनों स्रोतों के लिए समान हैं,इसलिए फोटॉनों की संख्या $n$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे आनुपातिक है $(n \propto \lambda)$।
तरंगदैर्ध्य की तुलना करने पर: $\lambda_{UV} \approx 400 \ nm$,$\lambda_{Visible} \approx 550 \ nm$ और $\lambda_{IR} \approx 700 \ nm$।
चूंकि $\lambda_{IR} > \lambda_{Visible} > \lambda_{UV}$,इसलिए अवरक्त (इन्फ्रारेड) स्रोत के लिए प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या अधिकतम होगी।

(C) बल्ब की शक्ति $P$ प्रति सेकंड उत्सर्जित कुल ऊर्जा द्वारा दी जाती है,जो $P = \frac{nE}{\Delta t}$ है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड फोटॉनों की संख्या है और $E = \frac{hc}{\lambda}$ एक फोटॉन की ऊर्जा है।
दिया गया है:
शक्ति $P = 100 \ W = 100 \ J/s$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 540 \ nm = 540 \times 10^{-9} \ m$
प्लांक नियतांक $h = 6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ m/s$
इन मानों को सूत्र $P = \frac{n \cdot hc}{\lambda \cdot t}$ में रखने पर:
$100 = \frac{n \times (6 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{540 \times 10^{-9}}$
$n$ के लिए हल करने पर:
$n = \frac{100 \times 540 \times 10^{-9}}{6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$
$n = \frac{54000 \times 10^{-9}}{18 \times 10^{-26}}$
$n = 3000 \times 10^{17} = 3 \times 10^{20}$
अतः,प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $3 \times 10^{20}$ है।

(A) हरे प्रकाश के एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{5000 \ \mathring{A}} = 2.48 \ eV$ है।
इसे जूल में बदलने पर: $E \approx 2.48 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J \approx 4 \times 10^{-19} \ J$।
आँख द्वारा पहचानी जा सकने वाली न्यूनतम तीव्रता $I_{Eye} = (5 \times 10^4 \ photons/m^2 \cdot s) \times (4 \times 10^{-19} \ J/photon) = 2 \times 10^{-14} \ W/m^2$ है।
संवेदनशीलता का अनुपात तीव्रता के अनुपात द्वारा प्राप्त होता है: $\frac{S_{Eye}}{S_{Ear}} = \frac{I_{Ear}}{I_{Eye}} = \frac{10^{-13} \ W/m^2}{2 \times 10^{-14} \ W/m^2} = 5$।
अतः,आँख कान की तुलना में $5$ गुना अधिक संवेदनशील है।

(C) फोटॉन का संवेग $p$ ज्ञात करने का सूत्र $p = \frac{h}{\lambda}$ है।
चूंकि प्रकाश की गति $c = \nu \lambda$ होती है,इसलिए $\lambda = \frac{c}{\nu}$ होगा।
इस मान को संवेग के सूत्र में रखने पर,$p = \frac{h\nu}{c}$ प्राप्त होता है।
यहाँ आवृत्ति $\nu = 10^9 \ Hz$,प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ और प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ दी गई है।
$p = \frac{(6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (10^9 \ Hz)}{3 \times 10^8 \ m/s}$.
$p = \frac{6.6}{3} \times 10^{-34 + 9 - 8} \ kg \ m/s$.
$p = 2.2 \times 10^{-33} \ kg \ m/s$.

(A) दिया गया है: आवृत्ति $f = 880 \ kHz = 880 \times 10^3 \ Hz$, शक्ति $P = 10 \ kW = 10^4 \ J/s$.
एक फोटॉन की ऊर्जा $E_{photon} = hf$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ है।
मान लीजिए $n$ प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या है। कुल शक्ति $P$ प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा के बराबर है, इसलिए $P = n \times E_{photon} = n \times hf$.
$n$ के लिए सूत्र: $n = \frac{P}{hf} = \frac{10^4}{(6.626 \times 10^{-34}) \times (880 \times 10^3)}$.
$n = \frac{10^4}{5.83 \times 10^{-28}} \approx 1.715 \times 10^{31} \approx 1.72 \times 10^{31}$ फोटॉन/सेकंड।

(C) बल्ब की शक्ति $P = 60 \ W$ है,जिसका अर्थ है कि प्रति सेकंड $60 \ J$ ऊर्जा उत्सर्जित होती है।
माना प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $n$ है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
प्रति सेकंड उत्सर्जित कुल ऊर्जा $E = n \times E_{photon} = n \frac{hc}{\lambda}$ है।
$n$ के लिए सूत्र व्यवस्थित करने पर,$n = \frac{E \lambda}{hc}$ प्राप्त होता है।
दी गई मानों को रखने पर: $E = 60 \ J$,$\lambda = 660 \times 10^{-9} \ m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$n = \frac{60 \times 660 \times 10^{-9}}{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$n = \frac{39600 \times 10^{-9}}{19.8 \times 10^{-26}} = 2000 \times 10^{17} = 2 \times 10^{20}$ फोटॉन/सेकंड।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
शॉर्टकट सूत्र $E \approx \frac{12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}}{\lambda (\mathring{A} \text{ में})}$ का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}}{4000 \ \mathring{A}}$
$E = 3.1 \ \text{eV}$.

(C) एक फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ और $\nu = 6 \times 10^{14} \ Hz$ है।
$E = (6.63 \times 10^{-34}) \times (6 \times 10^{14}) \approx 3.98 \times 10^{-19} \ J$.
आंख में प्रवेश करने वाली शक्ति $P = I \times A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I = 10^{-10} \ W/m^2$ और $A = 0.4 \ cm^2 = 0.4 \times 10^{-4} \ m^2 = 4 \times 10^{-5} \ m^2$ है।
$P = 10^{-10} \times 4 \times 10^{-5} = 4 \times 10^{-15} \ W$.
प्रति सेकंड फोटॉनों की संख्या $n = P / E$ द्वारा दी जाती है।
$n = (4 \times 10^{-15}) / (3.98 \times 10^{-19}) \approx 1.005 \times 10^4 \approx 10^4$ फोटॉन प्रति सेकंड।

(A) दिया गया है: शक्ति $P = 100 \ W$,दक्षता $\eta = 5\% = 0.05$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5.6 \times 10^{-5} \ cm = 5.6 \times 10^{-7} \ m$.
दृश्य प्रकाश के रूप में उत्सर्जित शक्ति $P' = P \times \eta = 100 \times 0.05 = 5 \ W$ है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों (क्वांटम) की संख्या $n = \frac{P'}{E} = \frac{P' \lambda}{hc}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $n = \frac{5 \times 5.6 \times 10^{-7}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$n = \frac{28 \times 10^{-7}}{19.89 \times 10^{-26}} \approx 1.407 \times 10^{19} \text{ क्वांटम/सेकंड}$।

(A) ट्रांसमीटर की शक्ति $P = nE$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या है और $E$ एक फोटॉन की ऊर्जा है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
इसलिए,$P = n \frac{hc}{\lambda}$,जिसका अर्थ है $n = \frac{P\lambda}{hc}$।
दिया गया है: $P = 10 \ kW = 10^4 \ W$,$\lambda = 500 \ m$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$।
मान रखने पर:
$n = \frac{10^4 \times 500}{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$
$n = \frac{5 \times 10^6}{19.878 \times 10^{-26}}$
$n \approx 0.2515 \times 10^{32} \ s^{-1} = 2.515 \times 10^{31} \ s^{-1}$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,हमें $2.5 \times 10^{31} \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6.20 \times 10^{-5} \ cm = 6.20 \times 10^{-7} \ m = 620 \ nm$ है।
फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
यहाँ $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{620 \ nm} = 2.0 \ eV$.
अतः,फोटॉन की ऊर्जा $2 \ eV$ है।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E = hv$ द्वारा दी जाती है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत और फोटॉन के लिए ऊर्जा और संवेग के बीच संबंध के अनुसार,$E = pc$,जहाँ $p$ संवेग है और $c$ प्रकाश की गति है।
इसलिए,संवेग $p = E/c$ होता है।
$E$ का मान रखने पर,हमें $p = hv/c$ प्राप्त होता है।

(A) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ होता है।
चूंकि $h$ (प्लांक नियतांक) और $c$ (प्रकाश की गति) नियत हैं,इसलिए ऊर्जा $E$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $E \propto \frac{1}{\lambda}$।
अतः,ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{300 \ nm}{150 \ nm} = 2$।
इस प्रकार,ऊर्जाओं का अनुपात $2$ है।

(C) विशेष सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार,$v$ वेग से गतिमान किसी वस्तु का सापेक्ष द्रव्यमान $m$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
चूंकि गति $v = 0.8 c$ दी गई है,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{(0.8c)^2}{c^2}}}$
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - 0.64}}$
$m = \frac{m_0}{\sqrt{0.36}}$
$m = \frac{m_0}{0.6}$
$m = \frac{m_0}{6/10} = \frac{10}{6} m_0 = \frac{5}{3} m_0$
अतः,इस गति पर इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $\frac{5}{3} m_0$ होगा।

(B) फोटॉन का संवेग $p = E/c$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ होती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
संवेग समीकरण में $E$ का मान रखने पर: $p = (h\nu)/c$।
आवृत्ति $\nu$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\nu = (pc)/h$।

(C) बल्ब की शक्ति $P = 100 \ W$ है,जिसका अर्थ है कि यह प्रति सेकंड $100 \ J$ ऊर्जा उत्सर्जित करता है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $\lambda = 410 \times 10^{-9} \ m$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{410 \times 10^{-9}} \approx 4.85 \times 10^{-19} \ J$ प्राप्त होती है।
प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $(n)$ की गणना $n = \frac{P}{E}$ द्वारा की जाती है।
$n = \frac{100}{4.85 \times 10^{-19}} \approx 2.06 \times 10^{20}$ फोटॉन प्रति सेकंड।

(C) यहाँ,$E = 2 \ cal/cm^2 \cdot min = 2 \times 4.2 \ J/cm^2 \cdot min = 8.4 \ J/cm^2 \cdot min$.
एक फोटॉन की ऊर्जा $\epsilon = \frac{hc}{\lambda}$ है।
कुल ऊर्जा $E = n \epsilon = n \frac{hc}{\lambda}$,जहाँ $n$ फोटॉनों की संख्या है।
अतः,$n = \frac{E \lambda}{hc}$.
मान रखने पर: $n = \frac{8.4 \times 5500 \times 10^{-10}}{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$n = \frac{46200 \times 10^{-10}}{19.8 \times 10^{-26}} = 2.33 \times 10^{19}$.
अतः,फोटॉनों की संख्या $2.3 \times 10^{19} \ photons/cm^2 \cdot min$ है।

(D) फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 0.01 \ \mathring A = 0.01 \times 10^{-10} \ m = 10^{-12} \ m$ दी गई है।
डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,फोटॉन का संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
$\lambda$ का मान रखने पर:
$p = \frac{h}{10^{-12}} = h \times 10^{12} \ kg \ m/s$.

(A) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = hf = \frac{hc}{\lambda}$ है।
दिया गया है:
प्लांक नियतांक $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \, m/s$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 450 \, nm = 450 \times 10^{-9} \, m$
मान रखने पर:
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{450 \times 10^{-9}}$
$E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{450 \times 10^{-9}}$
$E = 0.0442 \times 10^{-17} \, J = 4.42 \times 10^{-19} \, J$
दो सार्थक अंकों तक लेने पर,$E \approx 4.4 \times 10^{-19} \, J$।

(B) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = hf$ है,जहाँ $E$ ऊर्जा है,$h$ प्लांक नियतांक है और $f$ आवृत्ति है।
सबसे पहले,ऊर्जा को $eV$ से जूल में बदलें: $E = 100 \ eV = 100 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 1.6 \times 10^{-17} \ J$.
अब,आवृत्ति ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें: $f = \frac{E}{h}$.
मान रखने पर: $f = \frac{1.6 \times 10^{-17} \ J}{6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s}$.
$f \approx 0.2417 \times 10^{17} \ Hz$.
$f = 2.417 \times 10^{16} \ Hz$.

$(A)$ बल्ब द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P$, प्रति सेकंड उत्सर्जित $n$ फोटॉनों की कुल ऊर्जा है: $P = n \cdot E = n \cdot \frac{hc}{\lambda}$.
$n$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $n = \frac{P \lambda}{hc}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $P = 60 \, mW = 60 \times 10^{-3} \, W$, $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m$, $h = 6.62 \times 10^{-34} \, J \cdot s$, और $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
इन मानों को रखने पर:
$n = \frac{(60 \times 10^{-3}) \times (6000 \times 10^{-10})}{(6.62 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}$
$n = \frac{360000 \times 10^{-13}}{19.86 \times 10^{-26}}$
$n \approx 1.812 \times 10^{17} \approx 1.8 \times 10^{17} \, \text{फोटॉन/सेकंड}$।

(D) कॉम्पटन प्रभाव एक आवेशित कण,आमतौर पर एक इलेक्ट्रॉन द्वारा फोटॉन का प्रकीर्णन है।
इसके परिणामस्वरूप फोटॉन की ऊर्जा में कमी (तरंगदैर्ध्य में वृद्धि) होती है,जिसे कॉम्पटन शिफ्ट कहा जाता है।
इस घटना को प्रकाश के शास्त्रीय तरंग सिद्धांत द्वारा नहीं समझाया जा सकता है।
इसे केवल प्रकाश को कणों (फोटॉन) के प्रवाह के रूप में मानकर समझाया जा सकता है जो इलेक्ट्रॉनों से टकराते हैं।
इस टक्कर में ऊर्जा और संवेग दोनों संरक्षित रहते हैं।
इसलिए,कॉम्पटन प्रभाव प्रत्यक्ष प्रमाण प्रदान करता है कि फोटॉन में संवेग होता है,जो विद्युत चुम्बकीय विकिरण की कण प्रकृति की पुष्टि करता है।

(C) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = hf = \frac{hc}{\lambda}$ होता है।
अतः, $E \propto \frac{1}{\lambda}$ है।
यहाँ $\lambda_1 = 6000 \ \mathring{A}$ और $E_1 = 3.32 \times 10^{-19} \ J$ दिया गया है।
दूसरे फोटॉन के लिए $\lambda_2 = 4000 \ \mathring{A}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{6000}{4000} = 1.5$.
इसलिए, $E_2 = 1.5 \times E_1 = 1.5 \times 3.32 \times 10^{-19} \ J = 4.98 \times 10^{-19} \ J$.
ऊर्जा को जूल से $eV$ में बदलने के लिए $1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ से विभाजित करने पर:
$E_2 (eV \text{ में}) = \frac{4.98 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 3.1125 \ eV \approx 3.1 \ eV$.

(A) दिया गया है: शक्ति $P = 100\, W$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 694\, nm = 694 \times 10^{-9}\, m$.
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$.
प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $n = \frac{P}{E} = \frac{P\lambda}{hc}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34}\, J\cdot s$,$c = 3 \times 10^8\, m/s$.
$n = \frac{100 \times 694 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$n = \frac{69400 \times 10^{-9}}{19.89 \times 10^{-26}} \approx 3489.19 \times 10^{17} \approx 3.49 \times 10^{20}$ फोटॉन/सेकंड।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ (जूल इकाई में) द्वारा दी जाती है।
इसे $eV$ में बदलने के लिए,हम इसे प्राथमिक आवेश $e$ से विभाजित करते हैं: $E_{(eV)} = \frac{hc}{e\lambda}$।
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J\cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ के मान रखने पर,और $\lambda$ को $\mathring{A}$ $(1 \, \mathring{A} = 10^{-10} \, m)$ में व्यक्त करने पर:
$E_{(eV)} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times \lambda_{(\mathring{A})} \times 10^{-10}} \approx \frac{12400}{\lambda_{(\mathring{A})}} \, eV$।
चूंकि $1 \, KeV = 1000 \, eV$,इसलिए $E_{(KeV)} = \frac{12400}{1000 \times \lambda_{(\mathring{A})}} = \frac{12.4}{\lambda_{(\mathring{A})}}$।
अतः,$KeV$ में ऊर्जा $E = \frac{12.4}{\lambda}$ द्वारा ज्ञात की जा सकती है।

(C) आधुनिक क्वांटम सिद्धांत के अनुसार,प्रकाश द्वैत प्रकृति प्रदर्शित करता है।
$(1)$ तरंग प्रकृति: व्यतिकरण,विवर्तन और ध्रुवण जैसी घटनाओं में प्रकाश एक विद्युत चुंबकीय तरंग के रूप में व्यवहार करता है।
$(2)$ कण प्रकृति: प्रकाश विद्युत प्रभाव और कॉम्पटन प्रकीर्णन जैसी घटनाओं में प्रकाश फोटॉन नामक कणों के प्रवाह के रूप में व्यवहार करता है।

(A) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
हम जानते हैं कि प्रकाश की गति $c$ (या फोटॉन का वेग $v$) आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के साथ $v = \nu\lambda$ के रूप में संबंधित है,इसलिए $\nu = v/\lambda$ है।
इस मान को ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $E = h(v/\lambda) = (h/\lambda)v$ प्राप्त होता है।
हमें फोटॉन का संवेग $p = h/\lambda$ दिया गया है।
$p$ के मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $E = pv$ प्राप्त होता है।
अतः,फोटॉन का वेग $v = E/p$ है।

(A) दिया गया है: आवृत्ति $v = 880 \times 10^3 \ Hz$,शक्ति $P = 10 \times 10^3 \ W$.
मान लीजिए $n$ प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या है।
शक्ति $P$ को $P = n \times E$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E = hv$ एक फोटॉन की ऊर्जा है।
$E = (6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (880 \times 10^3 \ Hz) = 5.8344 \times 10^{-28} \ J$.
अब,$n = \frac{P}{E} = \frac{10 \times 10^3}{5.8344 \times 10^{-28}}$.
$n \approx 1.71 \times 10^{31} \ \text{फोटॉन/सेकंड}$.

(D) फोटॉन की ऊर्जा $E = hv$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $v$ आवृत्ति है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता के अनुसार,$E = mc^2$ होता है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $mc^2 = hv$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $mc = hv/c$।
चूंकि संवेग $p = mc$ होता है,इसलिए हमें $p = hv/c$ प्राप्त होता है।

(A) फोटॉन का संवेग $p$,$p = \frac{h}{\lambda}$ संबंध द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रकाश की गति $c = f \lambda$ है,इसलिए हमारे पास $\lambda = \frac{c}{f}$ है।
इसे संवेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $p = \frac{hf}{c}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$,$f = 1.5 \times 10^{13} \ Hz$,और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$p = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 1.5 \times 10^{13}}{3 \times 10^8}$.
$p = \frac{9.945 \times 10^{-21}}{3 \times 10^8} \approx 3.315 \times 10^{-29} \ kg \ m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $3.3 \times 10^{-29} \ kg \ m/s$ है।

(B) एक फोटॉन की ऊर्जा $E$ और संवेग $p$ उसकी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से निम्नलिखित समीकरणों द्वारा संबंधित हैं:
$E = \frac{hc}{\lambda}$
$p = \frac{h}{\lambda}$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $c$ प्रकाश की गति है।
चूंकि $E$ और $p$ दोनों तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती हैं ($E \propto \frac{1}{\lambda}$ और $p \propto \frac{1}{\lambda}$),इसलिए यदि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को कम किया जाता है,तो ऊर्जा $E$ और संवेग $p$ दोनों बढ़ जाएंगे।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
यहाँ $hc = 12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}$ और $\lambda = 4000 \ \mathring{A}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{12400}{4000} \ \text{eV} = 3.1 \ \text{eV}$.
इस ऊर्जा को जूल में बदलने के लिए,हम इसे इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \ \text{C})$ से गुणा करते हैं:
$E = 3.1 \times 1.6 \times 10^{-19} \ \text{J} = 4.96 \times 10^{-19} \ \text{J}$.

(C) किसी कण का आपेक्षिक द्रव्यमान $m$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$,जहाँ $m_0$ विराम द्रव्यमान है,$v$ वेग है,और $c$ प्रकाश की गति है।
दिया गया है कि द्रव्यमान उसके विराम द्रव्यमान का दोगुना हो जाता है,इसलिए $m = 2m_0$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $2m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$.
दोनों पक्षों को $m_0$ से विभाजित करने पर: $2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4}$.
अतः,$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
वर्गमूल लेने पर: $v = \frac{\sqrt{3}}{2}c$.

(A) फोटॉन का संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $p = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4400 \times 10^{-10}} \approx 1.5 \times 10^{-27} \ kg \ m/s$.
फोटॉन का प्रभावी द्रव्यमान $m = \frac{p}{c}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $m = \frac{1.5 \times 10^{-27}}{3 \times 10^8} = 5 \times 10^{-36} \ kg$.

(A) दृश्य प्रकाश स्पेक्ट्रम लगभग $380 \, nm$ (बैंगनी) से $750 \, nm$ (लाल) तक होता है।
दृश्य स्पेक्ट्रम में अधिकतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{max})$ $750 \, nm$ है।
फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$hc \approx 1240 \, eV \cdot nm$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{750 \, nm} \approx 1.65 \, eV$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1.6 \, eV$ है।