Kirchhoff's Law and Whitestone Bridge Circuit solving Questions in Hindi

(D) $1$. परिपथ के ऊपरी भाग में ब्रिज संरचना का अवलोकन करें। चार $3\,\Omega$ के प्रतिरोध एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज बनाते हैं क्योंकि विपरीत भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान है $(3/3 = 3/3)$।
$2$. एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,मध्य शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। अतः,ऊपरी भुजाओं में दो $3\,\Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं $(3 + 3 = 6\,\Omega)$,और निचली भुजाओं में दो $3\,\Omega$ के प्रतिरोध भी श्रेणीक्रम में हैं $(3 + 3 = 6\,\Omega)$।
$3$. ये दो $6\,\Omega$ की शाखाएं समानांतर क्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p = (6 \times 6) / (6 + 6) = 36 / 12 = 3\,\Omega$ होगा।
$4$. अब,कुल परिपथ में यह $3\,\Omega$ का तुल्य प्रतिरोध और नीचे $A$ और $B$ टर्मिनल से जुड़े दो $3\,\Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। अतः कुल प्रतिरोध $R_{AB} = 3 + 3 + 3 = 9\,\Omega$ होगा।

(D) $1$. तार का कुल प्रतिरोध $16\,\Omega$ है। जब इसे एक वर्ग में मोड़ा जाता है,तो प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R = 16/4 = 4\,\Omega$ होता है।
$2$. मान लीजिए वर्ग $ABCD$ है। भुजाओं $AB, BC, CD,$ और $DA$ में से प्रत्येक का प्रतिरोध $4\,\Omega$ है।
$3$. $B$ और $D$ विपरीत कोनों के बीच $16\,\Omega$ का एक तार जोड़ा जाता है।
$4$. अब परिपथ में $A$ और $C$ के बीच दो समानांतर शाखाएं जुड़ी हुई हैं। ऊपरी शाखा में श्रेणीक्रम में दो $4\,\Omega$ के प्रतिरोधक ($AB$ और $BC$) हैं,जो $4 + 4 = 8\,\Omega$ देते हैं। निचली शाखा में श्रेणीक्रम में दो $4\,\Omega$ के प्रतिरोधक ($AD$ और $DC$) हैं,जो $4 + 4 = 8\,\Omega$ देते हैं।
$5$. $16\,\Omega$ का प्रतिरोधक $B$ और $D$ के बीच जुड़ा है। व्हीटस्टोन ब्रिज की समरूपता के कारण $(4/4 = 4/4)$,$B$ और $D$ पर विभव समान है,इसलिए $16\,\Omega$ के प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
$6$. इस प्रकार,$A$ और $C$ के बीच प्रभावी प्रतिरोध दो $8\,\Omega$ शाखाओं का समानांतर संयोजन है: $R_{eq} = (8 \times 8) / (8 + 8) = 64 / 16 = 4\,\Omega$।

(B) दिया गया परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन सेतु है।
मान लीजिए कि नोड्स को लेबल किया गया है। सेतु में चार $5 \ \Omega$ के प्रतिरोध भुजाओं के रूप में और एक केंद्रीय $5 \ \Omega$ का प्रतिरोध है।
चूंकि भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान है $(5/5 = 5/5)$,सेतु संतुलित है।
इसलिए,केंद्रीय $5 \ \Omega$ प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
हम केंद्रीय प्रतिरोध को हटा सकते हैं।
परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक में श्रेणीक्रम में दो $5 \ \Omega$ के प्रतिरोध हैं।
ऊपरी शाखा का प्रतिरोध = $5 \ \Omega + 5 \ \Omega = 10 \ \Omega$।
निचली शाखा का प्रतिरोध = $5 \ \Omega + 5 \ \Omega = 10 \ \Omega$।
ये दो शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$।
अतः,$R_{eq} = 5 \ \Omega$।

(B) यह परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज को दर्शाता है जहाँ $B$ और $D$ के बीच धारा शून्य है,जिसका अर्थ है कि ब्रिज संतुलित है।
दिए गए परिपथ में,भुजाएँ इस प्रकार हैं:
$AB = 12 \, \Omega + 4 \, \Omega = 16 \, \Omega$
$BC = X \, \Omega$
$AD = 1 \, \Omega + 3 \, \Omega = 4 \, \Omega$
$DC = 1 \, \Omega \parallel 1 \, \Omega = \frac{1 \times 1}{1 + 1} = 0.5 \, \Omega$
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,विपरीत भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DC}$
$\frac{16}{4} = \frac{X}{0.5}$
$4 = \frac{X}{0.5}$
$X = 4 \times 0.5 = 2 \, \Omega$

(A) यह परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। हम भुजाओं में लगे प्रतिरोधों का अनुपात जाँचते हैं: $\frac{R_{AC}}{R_{AD}} = \frac{5}{10} = 0.5$ और $\frac{R_{CB}}{R_{DB}} = \frac{4}{8} = 0.5$.
चूँकि $\frac{R_{AC}}{R_{AD}} = \frac{R_{CB}}{R_{DB}}$,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
अतः,बीच वाले $9\,\Omega$ के प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी और इसे परिपथ से हटाया जा सकता है।
अब,$5\,\Omega$ और $4\,\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं: $R_1 = 5 + 4 = 9\,\Omega$.
$10\,\Omega$ और $8\,\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं: $R_2 = 10 + 8 = 18\,\Omega$.
ये दो शाखाएँ $A$ और $B$ के बीच समांतर क्रम में हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ इस प्रकार होगा:
$R_{AB} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{9 \times 18}{9 + 18} = \frac{162}{27} = 6\,\Omega$.

(C) और $D$ के बीच विभवांतर शून्य है,जिसका अर्थ है कि व्हीटस्टोन ब्रिज संतुलित अवस्था में है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{R_{AB}}{R_{BC}} = \frac{R_{AD}}{R_{DC}}$
सबसे पहले,भुजाओं के तुल्य प्रतिरोधों की गणना करें:
$R_{AB} = 15 + 6 = 21 \, \Omega$
$R_{BC} = 3 + \frac{8X}{8 + X} \, \Omega$
$R_{AD} = 15 + (6 || 6) = 15 + 3 = 18 \, \Omega$
$R_{DC} = 4 + (4 || 4) = 4 + 2 = 6 \, \Omega$
अब,संतुलित अवस्था का उपयोग करें:
$\frac{21}{3 + \frac{8X}{8 + X}} = \frac{18}{6}$
$\frac{21}{3 + \frac{8X}{8 + X}} = 3$
$7 = 3 + \frac{8X}{8 + X}$
$4 = \frac{8X}{8 + X}$
$4(8 + X) = 8X$
$32 + 4X = 8X$
$4X = 32$
$X = 8 \, \Omega$

(A) दिया गया परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज है क्योंकि इसकी भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान है $(10/10 = 10/10)$।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,केंद्रीय विकर्ण प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर शून्य होता है,इसलिए इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
हम केंद्रीय $10\,\Omega$ प्रतिरोधक को परिपथ से हटा सकते हैं।
अब,ऊपर के दो $10\,\Omega$ प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे समतुल्य प्रतिरोध $10 + 10 = 20\,\Omega$ प्राप्त होता है।
नीचे के दो $10\,\Omega$ प्रतिरोधक भी श्रेणीक्रम में हैं,जिससे समतुल्य प्रतिरोध $10 + 10 = 20\,\Omega$ प्राप्त होता है।
ये दो शाखाएं अब बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में हैं।
कुल प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$।
अतः,$R_{eq} = 10\,\Omega$।

(B) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है।
व्हीटस्टोन ब्रिज में,यदि विपरीत भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान है,तो ब्रिज संतुलित होता है।
यहाँ,प्रतिरोध $R_{AB} = R$,$R_{BC} = R$,$R_{AD} = R$,और $R_{DC} = R$ हैं।
चूँकि $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R}{R} = 1$ और $\frac{R_{BC}}{R_{DC}} = \frac{R}{R} = 1$,इसलिए अनुपात समान है।
अतः,बिंदु $B$ पर विभव बिंदु $D$ पर विभव के बराबर है $(V_B = V_D)$।
चूँकि $B$ और $D$ के बीच कोई विभवांतर नहीं है,इसलिए भुजा $BD$ में जुड़े $4R$ प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,भुजा $BD$ में धारा $0$ है।

(D) दी गई सर्किट को व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में फिर से बनाया जा सकता है। मान लीजिए कि केंद्रीय नोड $O$ है। प्रतिरोधक नोड्स के बीच जुड़े हुए हैं। समरूपता का विश्लेषण करके,हम देख सकते हैं कि $A$ और $B$ से जुड़े नोड्स पर विभव हमें सर्किट को सरल बनाने की अनुमति देता है।
विशेष रूप से,सर्किट बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज संरचना बनाता है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,मध्य शाखा में प्रतिरोध विद्युत प्रवाह में योगदान नहीं करता है।
इस प्रकार,प्रभावी प्रतिरोध की गणना शेष प्रतिरोधकों के श्रेणी और समानांतर संयोजनों पर विचार करके की जाती है।
प्रत्येक शाखा में श्रेणी में दो $2\,\Omega$ के प्रतिरोधक होते हैं,जो प्रति शाखा $4\,\Omega$ देते हैं।
ये दो शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2\,\Omega$ है।

(A) दिया गया परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज है। मान लीजिए प्रतिरोध $R_1 = 2 \, \Omega$,$R_2 = 3 \, \Omega$,$R_3 = 4 \, \Omega$,$R_4 = 6 \, \Omega$ और मध्य प्रतिरोध $R_5 = 7 \, \Omega$ है।
प्रतिरोधों का अनुपात जाँचने पर: $R_1/R_3 = 2/4 = 1/2$ और $R_2/R_4 = 3/6 = 1/2$ है।
चूँकि $R_1/R_3 = R_2/R_4$ है,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,मध्य प्रतिरोध $R_5$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए इसे हटाया जा सकता है।
परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है: ऊपरी शाखा में $R_1$ और $R_2$ श्रेणीक्रम में हैं,और निचली शाखा में $R_3$ और $R_4$ श्रेणीक्रम में हैं।
ऊपरी शाखा का प्रतिरोध $R_{up} = R_1 + R_2 = 2 + 3 = 5 \, \Omega$ है।
निचली शाखा का प्रतिरोध $R_{low} = R_3 + R_4 = 4 + 6 = 10 \, \Omega$ है।
चूँकि ये दोनों शाखाएँ समानांतर में हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ इस प्रकार होगा:
$1/R_{AB} = 1/R_{up} + 1/R_{low} = 1/5 + 1/10 = (2+1)/10 = 3/10$ है।
अतः,$R_{AB} = 10/3 \, \Omega$।

(B) यह परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। जब गैल्वेनोमीटर कोई विक्षेप नहीं दिखाता है,तो ब्रिज संतुलित स्थिति में होता है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$.
यहाँ,प्रतिरोध $8\,\Omega, 2\,\Omega, 20\,\Omega,$ और $5\,\Omega$ हैं। ध्यान दें कि $\frac{8}{2} = 4$ और $\frac{20}{5} = 4$.
चूंकि ब्रिज संतुलित है,कुल धारा $I = 2.1\,A$ दो समानांतर शाखाओं में विभाजित हो जाती है: ऊपरी शाखा $(8\,\Omega + 2\,\Omega = 10\,\Omega)$ और निचली शाखा $(20\,\Omega + 5\,\Omega = 25\,\Omega)$.
मान लीजिए $I_1$ ऊपरी शाखा से प्रवाहित धारा है और $I_2$ निचली शाखा से प्रवाहित धारा है।
करंट डिवाइडर नियम का उपयोग करते हुए,निचली शाखा $(I_2)$ से प्रवाहित धारा है:
$I_2 = I \times \frac{R_{\text{upper}}}{R_{\text{upper}} + R_{\text{lower}}} = 2.1 \times \frac{10}{10 + 25} = 2.1 \times \frac{10}{35} = 2.1 \times \frac{2}{7} = 0.3 \times 2 = 0.6\,A$.

(D) व्हीटस्टोन ब्रिज के संतुलित होने के लिए,भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{P}{Q} = \frac{S'}{R}$ की शर्त को पूरा करना चाहिए,जहाँ $S'$ उस भुजा का प्रभावी प्रतिरोध है जिसमें $S$ के साथ $r$ शंट समानांतर में जुड़ा है।
दिया गया है $P = 2\,\Omega$,$Q = 3\,\Omega$,$R = 6\,\Omega$,और $S = 8\,\Omega$।
$S$ और $r$ के समानांतर संयोजन का प्रभावी प्रतिरोध $S' = \frac{S \cdot r}{S + r} = \frac{8r}{8 + r}$ है।
संतुलन की स्थिति में मान रखने पर:
$\frac{2}{3} = \frac{8r / (8 + r)}{6}$
$\frac{2}{3} = \frac{8r}{6(8 + r)}$
$12(8 + r) = 24r$
$96 + 12r = 24r$
$12r = 96$
$r = 8\,\Omega$.
अतः,आवश्यक शंट प्रतिरोध $8\,\Omega$ है।

(D) $1$. बिंदुओं $B$ और $D$ के बीच तुल्य प्रतिरोध के लिए: परिपथ को $B$ और $D$ के बीच जुड़ी तीन समानांतर शाखाओं के रूप में देखा जा सकता है। एक शाखा $B$ और $D$ के बीच सीधे जुड़ा प्रतिरोध $R$ है। अन्य दो शाखाओं में श्रेणीक्रम में जुड़े दो प्रतिरोध $(R+R = 2R)$ हैं जो पहली शाखा के समानांतर हैं। अतः,$\frac{1}{R_{BD}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} = \frac{1+2+1}{2R} = \frac{4}{2R} = \frac{2}{R}$. इसलिए,$R_{BD} = \frac{R}{2}$.
$2$. बिंदुओं $A$ और $C$ के बीच तुल्य प्रतिरोध के लिए: परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज बनाता है जहाँ भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान है $(\frac{R}{R} = \frac{R}{R})$। $B$ और $D$ के बीच के मध्य प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। इसलिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{AC} = \frac{(R+R)(R+R)}{(R+R)+(R+R)} = \frac{2R \cdot 2R}{4R} = R$ है।

(B) यह सर्किट एक व्हीटस्टोन ब्रिज है जिसमें प्रतिरोध $P = 10 \, \Omega$,$Q = 100 \, \Omega$,$R = 2 \, \Omega$,और $S = 20 \, \Omega$ हैं। गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G = 20 \, \Omega$ है।
$1$. कुल धारा $i$ दो शाखाओं में धाराओं का योग है: $i = i_1 + i_2$। अतः,$i$ सबसे बड़ी धारा है।
$2$. नोड्स पर किरचॉफ के नियमों को लागू करने पर,हम विभव वितरण ज्ञात करते हैं। जिस शाखा का प्रतिरोध कम होता है,उसमें धारा अधिक बहती है। शाखाओं की तुलना करने पर:
- शाखा $1$ (ऊपर): $10 \, \Omega$ और $100 \, \Omega$ श्रेणीक्रम में।
- शाखा $2$ (नीचे): $2 \, \Omega$ और $20 \, \Omega$ श्रेणीक्रम में।
$3$. चूंकि दोनों शाखाओं के बीच विभवांतर समान $(2 \, V)$ है,और निचली शाखा का कुल प्रतिरोध $(22 \, \Omega)$ ऊपरी शाखा $(110 \, \Omega)$ की तुलना में बहुत कम है,इसलिए धारा $i_2$,$i_1$ से अधिक है।
$4$. गैल्वेनोमीटर धारा $i_g$ उच्च विभव बिंदु से निम्न विभव बिंदु की ओर बहती है। चूंकि ब्रिज असंतुलित है,गणना दर्शाती है कि $i_g$ इन सभी में सबसे छोटी है।
$5$. इसलिए,घटता क्रम $i > i_2 > i_1 > i_g$ है।

(C) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है।
मान लीजिए कि प्रतिरोध $P = 30 \ \Omega$ ($A$ और $B$ के बीच),$Q = 30 \ \Omega$ ($B$ और $C$ के बीच),$R = 30 \ \Omega$ ($A$ और $D$ के बीच),और $S = 30 \ \Omega$ ($D$ और $C$ के बीच) हैं।
व्हीटस्टोन ब्रिज के संतुलित होने की शर्त $\frac{P}{R} = \frac{Q}{S}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{30}{30} = \frac{30}{30}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $1 = 1$ हो जाता है।
चूंकि ब्रिज संतुलित है,इसलिए बिंदु $B$ पर विभव बिंदु $D$ पर विभव के बराबर है।
अतः,$B$ और $D$ के बीच विभवांतर $0 \ V$ है।
परिणामस्वरूप,$B$ और $D$ के बीच जुड़े $60 \ \Omega$ के प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।

(A) यह परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। मान लीजिए प्रतिरोध $P = 3 \, \Omega$,$Q = 4 \, \Omega$,$R = 6 \, \Omega$,और $S = 8 \, \Omega$ हैं। मध्य का प्रतिरोध $G = 7 \, \Omega$ है।
भुजाओं के अनुपात की जाँच करें: $\frac{P}{R} = \frac{3}{6} = 0.5$ और $\frac{Q}{S} = \frac{4}{8} = 0.5$ है।
चूँकि $\frac{P}{R} = \frac{Q}{S}$ है,इसलिए व्हीटस्टोन ब्रिज संतुलित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,मध्य के $7 \, \Omega$ प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। इसलिए,इसे परिपथ से हटाया जा सकता है।
$7 \, \Omega$ के प्रतिरोध को हटाने के बाद,परिपथ दो समानांतर शाखाओं से बना है:
शाखा $1$ (ऊपरी): $3 \, \Omega$ और $4 \, \Omega$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए $R_1 = 3 + 4 = 7 \, \Omega$।
शाखा $2$ (निचली): $6 \, \Omega$ और $8 \, \Omega$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए $R_2 = 6 + 8 = 14 \, \Omega$।
$A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{7} + \frac{1}{14}$।
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{2 + 1}{14} = \frac{3}{14}$।
अतः,$R_{eq} = \frac{14}{3} \, \Omega$।

(A) एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,शर्त $\frac{A}{B} = \frac{D}{C}$ होती है।
दिए गए मान: $A = 10 \,\Omega $,$B = 5 \,\Omega $,$C = 4 \,\Omega $,$D = 4 \,\Omega $.
संतुलन की स्थिति की जाँच करने पर: $\frac{A}{B} = \frac{10}{5} = 2$ और $\frac{D}{C} = \frac{4}{4} = 1$.
चूंकि $\frac{A}{B} \neq \frac{D}{C}$,इसलिए ब्रिज वर्तमान में असंतुलित है।
ब्रिज को संतुलित करने के लिए,हमें $A$ को एक नए मान $A'$ में बदलने की आवश्यकता है ताकि $\frac{A'}{B} = \frac{D}{C}$ हो सके।
$\frac{A'}{5} = \frac{4}{4} \Rightarrow A' = 5 \,\Omega $.
$A$ को $10 \,\Omega $ से $5 \,\Omega $ में बदलने के लिए,हम $A$ के साथ समानांतर क्रम में एक प्रतिरोध $R$ जोड़ते हैं ताकि $\frac{1}{A'} = \frac{1}{A} + \frac{1}{R}$ हो।
$\frac{1}{5} = \frac{1}{10} + \frac{1}{R} \Rightarrow \frac{1}{R} = \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$.
अतः,$10 \,\Omega $ के प्रतिरोध को $A$ के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाना चाहिए।

(B) दी गई सर्किट एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए शर्त $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ है।
यहाँ,$P = 1 \, \Omega$,$Q = 3 \, \Omega$,$R = 7 \, \Omega$,और $S = 21 \, \Omega$ है।
चूंकि $\frac{1}{3} = \frac{7}{21}$,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,केंद्रीय प्रतिरोधक $(10 \, \Omega)$ से कोई करंट प्रवाहित नहीं होता है। इसलिए,समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ $(1 \, \Omega + 3 \, \Omega)$ और $(7 \, \Omega + 21 \, \Omega)$ का समानांतर संयोजन है।
$R_{eq} = \frac{(1+3) \times (7+21)}{(1+3) + (7+21)} = \frac{4 \times 28}{4 + 28} = \frac{112}{32} = 3.5 \, \Omega$.
बैटरी का वोल्टेज $V = I \times R_{eq} = 4 \, A \times 3.5 \, \Omega = 14 \, V$ है।
जब $10 \, \Omega$ के प्रतिरोधक को $20 \, \Omega$ के प्रतिरोधक से बदला जाता है,तो ब्रिज संतुलित ही रहता है क्योंकि अनुपात $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ अभी भी संतुष्ट है।
इस प्रकार,$20 \, \Omega$ के प्रतिरोधक से कोई करंट प्रवाहित नहीं होता है,और सर्किट का समतुल्य प्रतिरोध $3.5 \, \Omega$ ही रहता है।
बैटरी से लिया गया नया करंट $I' = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{14 \, V}{3.5 \, \Omega} = 4 \, A$ है।

(A) दिया गया परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज जैसी संरचना है। परिपथ की समरूपता के कारण,ऊर्ध्वाधर $3 \, \Omega$ प्रतिरोधों से जुड़े नोड्स पर विभव समान है। इसलिए,इन ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधों से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
हम इन ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधों को परिपथ से हटा सकते हैं।
अब,ऊपरी शाखा में श्रेणीक्रम में तीन $3 \, \Omega$ के प्रतिरोध हैं,जिससे कुल प्रतिरोध $3 + 3 + 3 = 9 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,निचली शाखा में श्रेणीक्रम में तीन $3 \, \Omega$ के प्रतिरोध हैं,जिससे कुल प्रतिरोध $3 + 3 + 3 = 9 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
ये दोनों शाखाएँ $A$ और $B$ बिंदुओं के बीच समांतर क्रम में हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ का मान $\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$R_{AB} = \frac{9}{2} \, \Omega$ है।

(D) दिया गया परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज है।
व्हीटस्टोन ब्रिज में,यदि विपरीत भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान है,तो मध्य प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
यहाँ,चारों बाहरी प्रतिरोधक $20 \ \Omega$ हैं,इसलिए अनुपात $20/20 = 20/20 = 1$ है।
चूंकि ब्रिज संतुलित है,इसलिए मध्य $20 \ \Omega$ के प्रतिरोधक को हटाया जा सकता है।
अब,परिपथ में दो समानांतर शाखाएं हैं,जिनमें से प्रत्येक में दो $20 \ \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं।
ऊपरी शाखा का प्रतिरोध = $20 \ \Omega + 20 \ \Omega = 40 \ \Omega$.
निचली शाखा का प्रतिरोध = $20 \ \Omega + 20 \ \Omega = 40 \ \Omega$.
ये दो शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$1/R_{eq} = 1/40 + 1/40 = 2/40 = 1/20$.
अतः,$R_{eq} = 20 \ \Omega$.

(D) यह परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज है। मान लीजिए नोड्स $P$ (ऊपर) और $Q$ (नीचे) हैं। सभी प्रतिरोध $3 \, \Omega$ के हैं। भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{3}{3} = \frac{3}{3}$ है,इसलिए बीच वाले $3 \, \Omega$ के प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
बीच वाले प्रतिरोध को हटाने पर,हमारे पास दो समानांतर शाखाएं हैं। ऊपरी शाखा में दो $3 \, \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं,जो $3 + 3 = 6 \, \Omega$ देते हैं। निचली शाखा में भी दो $3 \, \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं,जो $3 + 3 = 6 \, \Omega$ देते हैं।
ये दो $6 \, \Omega$ की शाखाएं समानांतर क्रम में हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ के लिए $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ होता है।
अतः,$R_{eq} = 3 \, \Omega$ प्राप्त होता है।

(B) व्हीटस्टोन ब्रिज संतुलित अवस्था में है क्योंकि भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान है $(R/R = R/R)$।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,गैल्वेनोमीटर भुजा $(BD)$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,तुल्य प्रतिरोध की गणना के लिए गैल्वेनोमीटर के प्रतिरोध $R$ को नगण्य माना जा सकता है।
परिपथ बिंदु $A$ और $C$ के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है।
ऊपरी शाखा में श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध $R$ हैं: $R_{AB} + R_{BC} = R + R = 2R$।
निचली शाखा में श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध $R$ हैं: $R_{AD} + R_{CD} = R + R = 2R$।
ये दोनों शाखाएं ($2R$ और $2R$) समानांतर क्रम में हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = \frac{(2R \times 2R)}{(2R + 2R)} = \frac{4R^2}{4R} = R$।

(B) यह परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज को दर्शाता है। जब ब्रिज संतुलित होता है तो $B$ और $D$ के बीच विभवांतर शून्य होता है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,विपरीत भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए: $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{DC}}$.
यहाँ,$R_{AB} = 12 \, \Omega$.
$R_{AD} = X + 6 \, \Omega$.
$R_{BC}$ में समानांतर क्रम में जुड़े दो $1 \, \Omega$ प्रतिरोध हैं,इसलिए $R_{BC} = \frac{1 \times 1}{1 + 1} = 0.5 \, \Omega$.
$R_{DC}$ में समानांतर क्रम में जुड़े दो $1 \, \Omega$ प्रतिरोध हैं,इसलिए $R_{DC} = \frac{1 \times 1}{1 + 1} = 0.5 \, \Omega$.
संतुलन की स्थिति लागू करने पर: $\frac{12}{X + 6} = \frac{0.5}{0.5}$.
$\frac{12}{X + 6} = 1$.
$12 = X + 6$.
$X = 6 \, \Omega$.

(B) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। मान लीजिए नोड्स $A, B, C, D$ हैं। यदि विपरीत भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान है तो ब्रिज संतुलित है। यहाँ,प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{4}{2} = 2$ और $\frac{6}{3} = 2$ है। चूंकि अनुपात समान हैं,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,मध्य के $4\,\Omega$ प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। अतः,इसे परिपथ से हटाया जा सकता है।
अब,परिपथ में दो समानांतर शाखाएं हैं: एक $(4\,\Omega + 2\,\Omega) = 6\,\Omega$ और दूसरी $(6\,\Omega + 3\,\Omega) = 9\,\Omega$ के साथ।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3+2}{18} = \frac{5}{18}$.
इसलिए,$R_{eq} = \frac{18}{5}\,\Omega$.
बैटरी से कुल धारा $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{V}{18/5} = \frac{5V}{18}$ है।

(B) गैल्वेनोमीटर $G$ में कोई धारा प्रवाहित न होने के लिए,$G$ और $E$ वाली शाखा में धारा शून्य होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि प्रतिरोध $X$ के सिरों पर विभवांतर बैटरी $E$ के $e.m.f.$ के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए कि $E_1$,$500 \, \Omega$ और $X$ वाले लूप में प्रवाहित धारा $I$ है।
ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = \frac{E_1}{500 + X}$ है।
$X$ के सिरों पर विभवांतर $V_X = I \cdot X = \left( \frac{E_1}{500 + X} \right) X$ है।
चूंकि $V_X = E$,इसलिए $\left( \frac{12}{500 + X} \right) X = 2$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,$\left( \frac{6}{500 + X} \right) X = 1$ प्राप्त होता है।
$6X = 500 + X$.
$5X = 500$.
$X = 100 \, \Omega$.

(A) किरचॉफ का प्रथम नियम,जिसे किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ भी कहा जाता है,यह बताता है कि विद्युत परिपथ में किसी जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है,अर्थात् $\Sigma i = 0$।
यह नियम दर्शाता है कि जंक्शन में प्रवेश करने वाला कुल आवेश उसी समय अंतराल में जंक्शन से बाहर निकलने वाले कुल आवेश के बराबर होना चाहिए।
चूंकि जंक्शन पर विद्युत आवेश न तो उत्पन्न किया जा सकता है और न ही नष्ट,इसलिए यह नियम आवेश संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।

(B) किरचॉफ का दूसरा नियम,जिसे किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ भी कहा जाता है,यह बताता है कि किसी परिपथ के किसी भी बंद लूप में विभवांतर का बीजगणितीय योग शून्य होता है।
यह नियम ऊर्जा संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है,क्योंकि यह दर्शाता है कि एक इकाई आवेश को एक बंद लूप में घुमाने में किया गया कार्य शून्य होता है।

(A) किरचॉफ के प्रथम नियम (जंक्शन नियम) के अनुसार,किसी जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग उस जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
$1$. जंक्शन $A$ पर,$2\,A$ की दो धाराएँ प्रवेश करती हैं। इसलिए,जंक्शन $A$ से जंक्शन $B$ की ओर जाने वाली धारा $i_{AB} = 2\,A + 2\,A = 4\,A$ है।
$2$. जंक्शन $B$ पर,$A$ से $4\,A$ की धारा प्रवेश करती है और $1\,A$ की धारा बाहर निकलती है। इसलिए,जंक्शन $B$ से जंक्शन $C$ की ओर जाने वाली धारा $i_{BC} = 4\,A - 1\,A = 3\,A$ है।
$3$. जंक्शन $C$ पर,$B$ से $3\,A$ की धारा प्रवेश करती है और $1.3\,A$ की धारा बाहर निकलती है। शेष धारा $i$ भी जंक्शन $C$ से बाहर निकलती है। इसलिए,$3\,A = 1.3\,A + i$,जिससे हमें $i = 3\,A - 1.3\,A = 1.7\,A$ प्राप्त होता है।

(A) किरचॉफ के लूप नियम का उपयोग करते हुए:
$(2 + 2) = (0.1 + 0.3 + 0.2)i$
$4 = 0.6i$
$i = \frac{4}{0.6} = \frac{20}{3}\,A$
सेल के सिरों पर विभवांतर $V = E - ir$ (डिस्चार्जिंग) द्वारा दिया जाता है।
सेल $A$ के लिए $(E_A = 2\,V, r_A = 0.1\,\Omega)$: $V_A = 2 - (20/3) \times 0.1 = 2 - 0.66 = 1.33\,V$.
सेल $B$ के लिए $(E_B = 2\,V, r_B = 0.3\,\Omega)$: $V_B = 2 - (20/3) \times 0.3 = 2 - 2 = 0\,V$.
अतः,सेल $B$ के सिरों पर विभवांतर शून्य है।

(C) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन पर आने वाली धाराओं का योग जंक्शन से बाहर जाने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
मान लीजिए कि वर्ग के चार कोने $A$ (ऊपर-बाएं),$B$ (ऊपर-दाएं),$C$ (नीचे-दाएं),और $D$ (नीचे-बाएं) हैं।
$1$. नोड $A$ पर: आने वाली धारा $15 \ A$ है। बाहर जाने वाली धाराएं $8 \ A$ (नीचे की ओर) और $x$ (दाईं ओर) हैं। अतः,$15 = 8 + x \implies x = 7 \ A$.
$2$. नोड $B$ पर: आने वाली धाराएं $3 \ A$ और $x = 7 \ A$ हैं। बाहर जाने वाली धारा $y$ (नीचे की ओर) है। अतः,$y = 3 + 7 = 10 \ A$.
$3$. नोड $D$ पर: आने वाली धाराएं $5 \ A$ और $8 \ A$ (ऊपर की ओर) हैं। बाहर जाने वाली धारा $z$ (दाईं ओर) है। अतः,$z = 5 + 8 = 13 \ A$.
$4$. नोड $C$ पर: आने वाली धाराएं $y = 10 \ A$ और $z = 13 \ A$ हैं। बाहर जाने वाली धारा $i$ है। अतः,$i = 10 + 13 = 23 \ A$.

(B) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन पर आने वाली धाराओं का योग उस जंक्शन से जाने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
जंक्शन $A$ पर,धारा $i_1$ प्रवेश करती है और $i_2$ तथा $i_3$ में विभाजित हो जाती है,इसलिए $i_1 = i_2 + i_3$ है।
अब,जंक्शन $C$ पर विचार करें। धारा $i_3$ शाखा $AC$ के माध्यम से $C$ पर पहुँचती है। धारा $i_2$ शाखा $AB$ और फिर शाखा $BC$ से होकर जंक्शन $C$ तक पहुँचती है।
इसलिए,जंक्शन $C$ में प्रवेश करने वाली कुल धारा $i_2 + i_3$ है।
यह संयुक्त धारा फिर भुजा $CD$ से होकर प्रवाहित होती है।
अतः,भुजा $CD$ में धारा का मान $i_2 + i_3$ है।

(D) मान लीजिए कि परिपथ के बाएं और दाएं लूप में प्रवाहित धाराएं क्रमशः ${i_1}$ और ${i_2}$ हैं,जो दक्षिणावर्त दिशा में बह रही हैं। मध्य शाखा से नीचे की ओर बहने वाली धारा ${i_3}$ है।
बाएं लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$28{i_1} + 6 + 8 = 0$
$28{i_1} = -14$
${i_1} = -14/28 = -0.5 \, A$
दाएं लूप के लिए $KVL$ लागू करने पर:
$54{i_2} + 6 + 12 = 0$
$54{i_2} = -18$
${i_2} = -18/54 = -1/3 \, A$
अब ऊपरी जंक्शन पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
${i_3} = {i_1} + {i_2} = -0.5 - 1/3 = -3/6 - 2/6 = -5/6 \, A$.

(D) बिंदु $A$ और $B$ के बीच विभवांतर को समानांतर शाखाओं के लिए सूत्र द्वारा दिया जाता है:
${V_{AB}} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}}$
यहाँ,$E_1 = 5\,V$,$r_1 = 10\,\Omega$,$E_2 = 2\,V$,और $r_2 = X\,\Omega$ है।
मान रखने पर:
$4 = \frac{\frac{5}{10} + \frac{2}{X}}{\frac{1}{10} + \frac{1}{X}}$
$4 = \frac{\frac{X + 4}{2X}}{\frac{X + 10}{10X}}$
$4 = \frac{X + 4}{2X} \times \frac{10X}{X + 10}$
$4 = \frac{5(X + 4)}{X + 10}$
$4(X + 10) = 5X + 20$
$4X + 40 = 5X + 20$
$X = 20\,\Omega$.

(D) दिए गए परिपथ में,टर्मिनल $A$ और $B$ खुले हैं (ओपन सर्किट)।
चूंकि परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है $(I = 0)$,इसलिए सेल के आंतरिक प्रतिरोध में कोई वोल्टेज ड्रॉप नहीं होता है (आदर्श सेल मानते हुए)।
अतः,खुले टर्मिनलों $A$ और $B$ के बीच विभवांतर सेल के विद्युत वाहक बल $(EMF)$ के बराबर होता है।
इस प्रकार,विभवांतर $20 \ V$ है।

(B) परिपथ का विश्लेषण किरचॉफ के नियमों का उपयोग करके किया जा सकता है।
मान लीजिए कि ऊपरी शाखा में धारा $I_1$ (ऊपर की ओर बह रही है),मध्य शाखा में धारा $I_3$ (बाईं ओर बह रही है),और निचली शाखा में धारा $I_2$ (नीचे की ओर बह रही है)।
बाईं जंक्शन पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$I_3 = I_1 + I_2$ ........... $(i)$
ऊपरी लूप $(ABCDA)$ के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$-30I_1 - 40I_3 + 40 = 0$
$I_3 = I_1 + I_2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-30I_1 - 40(I_1 + I_2) + 40 = 0$
$-70I_1 - 40I_2 = -40$
$7I_1 + 4I_2 = 4$ ........... $(ii)$
निचले लूप $(ADEFA)$ के लिए $KVL$ लागू करने पर:
$-40I_2 - 40I_3 + 80 + 40 = 0$
$-40I_2 - 40(I_1 + I_2) = -120$
$40I_1 + 80I_2 = 120$
$I_1 + 2I_2 = 3$ ........... $(iii)$
समीकरण $(iii)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$2I_1 + 4I_2 = 6$ ........... $(iv)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(iv)$ को घटाने पर:
$(7I_1 - 2I_1) + (4I_2 - 4I_2) = 4 - 6$
$5I_1 = -2$
$I_1 = -0.4 \, A$.

(A) परिपथ में धारा $i$ ज्ञात करने के लिए,हम लूप पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करते हैं।
बिंदु $A$ से शुरू करके और ऊपरी शाखा में दक्षिणावर्त दिशा में चलते हुए:
$-10i + 5 - 20i - 2 = 0$
पदों को संयोजित करने पर:
$-30i + 3 = 0$
$30i = 3$
$i = \frac{3}{30} = 0.1 \, A$
अतः,परिपथ में धारा $0.1 \, A$ है।

(B) माना बैटरी से कुल धारा $i$ है और एमीटर से प्रवाहित धारा $i_1$ है। $4\, \Omega$ प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $(i - i_1)$ है।
बाहरी लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$10 - 1i - 4(i - i_1) = 0$
$10 = 5i - 4i_1$...... $(i)$
एमीटर और $4\, \Omega$ प्रतिरोधक वाले लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$5i_1 - 4(i - i_1) = 0$
$5i_1 = 4i - 4i_1$
$9i_1 = 4i \implies i = \frac{9}{4}i_1$...... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$10 = 5(\frac{9}{4}i_1) - 4i_1$
$10 = \frac{45}{4}i_1 - \frac{16}{4}i_1$
$10 = \frac{29}{4}i_1$
$i_1 = \frac{40}{29}\, A$

(C) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन पर आने वाली धाराओं का योग,जंक्शन से जाने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
मान लीजिए कि जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराएं धनात्मक हैं और बाहर निकलने वाली धाराएं ऋणात्मक हैं।
चित्र से,$4 \, A$,$2 \, A$ और $I$ धाराएं जंक्शन में प्रवेश कर रही हैं,जबकि $5 \, A$ और $3 \, A$ धाराएं जंक्शन से बाहर निकल रही हैं।
$KCL$ लागू करने पर: $4 + 2 + I = 5 + 3$
$6 + I = 8$
$I = 8 - 6 = 2 \, A$
अतः,$I$ का मान $2 \, A$ है।

(C) यह परिपथ दो अलग-अलग लूप से बना है जो $2\,\Omega$ के प्रतिरोध द्वारा जुड़े हुए हैं।
मान लीजिए कि $2\,\Omega$ प्रतिरोध के बाईं ओर के नोड पर विभव $V_1$ है और दाईं ओर के नोड पर विभव $V_2$ है।
बाएं लूप के लिए,धारा $10\,V$ की बैटरी से $5\,\Omega$ के प्रतिरोध से होकर बहती है। चूंकि $2\,\Omega$ प्रतिरोध के माध्यम से परिपथ को पूरा करने के लिए कोई वापसी मार्ग नहीं है (बाएं लूप का दाहिना सिरा खुला है),इसलिए बाईं ओर से $2\,\Omega$ प्रतिरोध में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसी प्रकार,दाएं लूप के लिए,धारा $20\,V$ की बैटरी से $10\,\Omega$ के प्रतिरोध से होकर बहती है। चूंकि दाएं लूप का बायां सिरा खुला है,इसलिए दाईं ओर से $2\,\Omega$ प्रतिरोध में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,$2\,\Omega$ प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $0\,A$ है।

(C) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन पर आने वाली धाराओं का योग जंक्शन से बाहर जाने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
आइए सर्किट के जंक्शनों का विश्लेषण करें।
बाएं जंक्शन पर,$10 \, A$ की धारा प्रवेश करती है और $6 \, A$ की धारा नीचे की ओर बाहर निकलती है। इसलिए,ऊपर के जंक्शन की ओर बहने वाली धारा $10 \, A - 6 \, A = 4 \, A$ है।
ऊपरी जंक्शन पर,ऊपर से $1 \, A$ की धारा प्रवेश करती है और बाईं शाखा से $4 \, A$ की धारा प्रवेश करती है। इस प्रकार,ऊपरी जंक्शन से दाएं जंक्शन की ओर जाने वाली कुल धारा $1 \, A + 4 \, A = 5 \, A$ है।
निचले जंक्शन पर,बाईं ओर से $6 \, A$ की धारा प्रवेश करती है और नीचे से $2 \, A$ की धारा प्रवेश करती है। इस प्रकार,निचले जंक्शन से दाएं जंक्शन की ओर जाने वाली कुल धारा $6 \, A + 2 \, A = 8 \, A$ है।
अंत में,दाएं जंक्शन पर,धारा $I$ ऊपरी जंक्शन $(5 \, A)$ और निचले जंक्शन $(8 \, A)$ से आने वाली धाराओं का योग है।
इसलिए,$I = 5 \, A + 8 \, A = 13 \, A$.

(C) संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,शर्त $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S'}$ है,जहाँ $S'$ प्रतिरोध $S$ और $r$ का समानांतर संयोजन है।
दिया गया है $P = 9 \, \Omega$,$Q = 11 \, \Omega$,और $R = 4 \, \Omega$.
संतुलन की स्थिति में इन मानों को रखने पर: $\frac{9}{11} = \frac{4}{S'}$.
$S'$ के लिए हल करने पर,हमें $S' = \frac{4 \times 11}{9} = \frac{44}{9} \, \Omega$ प्राप्त होता है।
चूंकि $S'$,$S = 6 \, \Omega$ और $r$ का समानांतर संयोजन है,इसलिए $\frac{1}{S'} = \frac{1}{S} + \frac{1}{r}$.
मान रखने पर: $\frac{9}{44} = \frac{1}{6} + \frac{1}{r}$.
$r$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{r} = \frac{9}{44} - \frac{1}{6} = \frac{54 - 44}{264} = \frac{10}{264} = \frac{5}{132}$.
अतः,$r = \frac{132}{5} = 26.4 \, \Omega$.

(B) व्हीटस्टोन ब्रिज सर्किट में,संतुलन की स्थिति प्रतिरोधों के अनुपात $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ द्वारा दी जाती है।
यह संतुलन स्थिति सेल और गैल्वेनोमीटर की स्थितियों से स्वतंत्र होती है।
विद्युत नेटवर्क में पारस्परिकता (reciprocity) के सिद्धांत के अनुसार,यदि स्रोत (सेल) और डिटेक्टर (गैल्वेनोमीटर) की स्थितियों को आपस में बदल दिया जाए,तो दिए गए विभवांतर के लिए गैल्वेनोमीटर से होकर बहने वाली धारा समान रहती है।
इसलिए,व्हीटस्टोन ब्रिज का संतुलन बिंदु अपरिवर्तित रहता है।

(B) सही उत्तर $B$ है। एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,गैल्वेनोमीटर और सेल की स्थितियों को ब्रिज की संतुलन स्थिति को प्रभावित किए बिना आपस में बदला जा सकता है। इसलिए,विकल्प $B$ में दिया गया कथन गलत है।

(C) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज विन्यास को दर्शाता है।
व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत के अनुसार,जब गैल्वेनोमीटर में कोई विक्षेप (शून्य बिंदु) नहीं होता है,तो भुजाओं के प्रतिरोध का अनुपात तार के खंडों की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है।
मान लीजिए $R_{AC}$ और $R_{CB}$ क्रमशः तार के खंडों $AC$ और $CB$ के प्रतिरोध हैं।
चूंकि तार एकसमान है,इसलिए प्रतिरोध उसकी लंबाई के समानुपाती होता है: $\frac{R_{AC}}{R_{CB}} = \frac{AC}{CB}$.
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,शर्त है: $\frac{R}{80\,\Omega} = \frac{R_{AC}}{R_{CB}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{R}{80} = \frac{20}{80}$.
$R$ के लिए हल करने पर: $R = 20\,\Omega$.

(B) मान लीजिए $c$ पर विभव $V_c$ है और $d$ पर विभव $V_d$ है। चूंकि बैटरी $c$ और $d$ के बीच जुड़ी है,इसलिए $V_c > V_d$ है।
शाखा $c-b-d$ के लिए,प्रतिरोध $X$ और $Y$ श्रेणीक्रम में हैं। चूंकि $X = Y$ है,इसलिए $b$ पर विभव मध्य-बिंदु विभव होगा: $V_b = \frac{V_c + V_d}{2}$।
शाखा $c-a-d$ के लिए,प्रतिरोध $A$ और $B$ श्रेणीक्रम में हैं। $a$ पर विभव पोटेंशियल डिवाइडर सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_a = V_d + (V_c - V_d) \frac{B}{A + B}$।
चूंकि $A > B$ है,इसलिए $\frac{B}{A + B} < \frac{1}{2}$ होगा।
अतः,$V_a < V_d + (V_c - V_d) \frac{1}{2} = \frac{V_c + V_d}{2}$।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $V_b > V_a$ प्राप्त होता है। चूंकि विद्युत धारा उच्च विभव से निम्न विभव की ओर बहती है,इसलिए धारा $b$ से $a$ की ओर बहेगी।

(C) व्हीटस्टोन ब्रिज में,जब गैल्वेनोमीटर के सिरों पर विभवांतर शून्य होता है,तो ब्रिज को संतुलित कहा जाता है।
जब ब्रिज संतुलित होता है,तो गैल्वेनोमीटर शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
दिए गए सर्किट में,स्विच $S$ गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणीक्रम में है।
यदि ब्रिज संतुलित है,तो गैल्वेनोमीटर शाखा के दोनों सिरों पर विभव समान होता है।
इसलिए,यदि स्विच $S$ बंद भी है,तो गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी और यह कोई विक्षेप नहीं दिखाएगा।
अतः,यदि $\frac{P}{Q} = \frac{R}{G}$ की शर्त पूरी होती है,तो स्विच $S$ खुला हो या बंद,विक्षेप शून्य ही रहता है।

(A) स्विच $S$ के खुले या बंद होने पर गैल्वेनोमीटर का पाठ्यांक समान रहता है।
इसका तात्पर्य यह है कि स्विच $S$ के सिरों के बीच विभवांतर शून्य है,या स्विच बंद होने पर इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
यदि स्विच से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,तो $R$ वाली शाखा और गैल्वेनोमीटर $G$ वाली शाखा प्रभावी रूप से एक श्रेणी परिपथ की तरह कार्य करती हैं।
इसलिए,$R$ और $G$ दोनों से समान धारा प्रवाहित होनी चाहिए।
अतः,$I_R = I_G$.