Spectral Series of Hydrogen Atom Questions in Hindi

(B) हाइड्रोजन परमाणु में संक्रमण के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
$1$. पहली लाइमन रेखा के लिए,संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ है:
$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_L = \frac{4}{3R}$.
$2$. दूसरी बामर रेखा के लिए,संक्रमण $n_2 = 4$ से $n_1 = 2$ है:
$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{4-1}{16} \right) = \frac{3R}{16} \implies \lambda_B = \frac{16}{3R}$.
$3$. तरंगदैर्ध्य का अनुपात:
$\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{4/3R}{16/3R} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
अतः,अनुपात $1: 4$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
लघुतम तरंगदैर्ध्य के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1$ तक होता है।
अतः,$\frac{1}{\lambda} = \frac{R}{n_1^2}$,या $\lambda = \frac{n_1^2}{R}$.
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$,इसलिए $\lambda_{Balmer} = \frac{2^2}{R} = \frac{4}{R}$.
ब्रैकेट श्रेणी के लिए,$n_1 = 4$,इसलिए $\lambda_{Bracket} = \frac{4^2}{R} = \frac{16}{R}$.
ब्रैकेट श्रेणी और बामर श्रेणी की लघुतम तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{Bracket}}{\lambda_{Balmer}} = \frac{16/R}{4/R} = \frac{16}{4} = 4:1$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$। न्यूनतम तरंगदैर्ध्य के लिए $n_2 = \infty$ लेने पर,
$\frac{1}{\lambda_{\text{min, Balmer}}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4} \Rightarrow \lambda_{\text{min, Balmer}} = \frac{4}{R}$।
ब्रैकेट श्रेणी के लिए,$n_1 = 4$। अधिकतम तरंगदैर्ध्य के लिए $n_2 = 5$ लेने पर,
$\frac{1}{\lambda_{\text{max, Brackett}}} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} \right) = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{25 - 16}{400} \right) = \frac{9R}{400}$।
$\lambda_{\text{max, Brackett}} = \frac{400}{9R}$।
अनुपात $\frac{\lambda_{\text{min, Balmer}}}{\lambda_{\text{max, Brackett}}} = \frac{4/R}{400/9R} = \frac{4}{R} \times \frac{9R}{400} = \frac{36}{400} = \frac{9}{100}$।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की स्पेक्ट्रल रेखाओं को इलेक्ट्रॉन संक्रमण के अंतिम ऊर्जा स्तर $n_f$ के आधार पर श्रेणियों में वर्गीकृत किया जाता है।
लायमन श्रेणी के लिए,इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था $n_f = 1$ में संक्रमण करता है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
$n_f = 1$ में होने वाले संक्रमण उच्च ऊर्जा वाले फोटॉन उत्पन्न करते हैं जो विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के पराबैंगनी क्षेत्र में आते हैं।
दिए गए विकल्पों में से,$2 \rightarrow 1$ संक्रमण लायमन श्रेणी का हिस्सा है और इसलिए यह पराबैंगनी क्षेत्र में फोटॉन का उत्सर्जन करता है।

(B) लाइमैन श्रेणी के लिए,न्यूनतम तरंगदैर्घ्य $n_2 = \infty$ से $n_1 = 1$ तक के संक्रमण के अनुरूप है। रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{\lambda_1} = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R_H$ ...$(1)$
बामर श्रेणी के लिए,न्यूनतम तरंगदैर्घ्य $n_2 = \infty$ से $n_1 = 2$ तक के संक्रमण के अनुरूप है। रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{\lambda_2} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R_H}{4}$ ...$(2)$
समीकरणों को घटाने पर: $\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = R_H - \frac{R_H}{4} = \frac{3R_H}{4}$.
अतः,$R_H = \frac{4}{3} \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right) = \frac{4(\lambda_2 - \lambda_1)}{3 \lambda_1 \lambda_2}$.

(C) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
पाश्चन श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 3$ ऊर्जा स्तर पर होता है।
सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य उच्चतम ऊर्जा स्तर $n_2 = \infty$ से होने वाले संक्रमण के अनुरूप होती है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_S} = R_H \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{9} - 0 \right) = \frac{R_H}{9}$.
अतः,$\lambda_S = \frac{9}{R_H}$.
दिए गए $R_H = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ के लिए:
$\lambda_S = \frac{9}{1.097 \times 10^7} \ m \approx 8.204 \times 10^{-7} \ m$.
नैनोमीटर में बदलने पर $(1 \ nm = 10^{-9} \ m)$:
$\lambda_S = 820.4 \ nm$.

(B) स्पेक्ट्रमी रेखाओं की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) Z^2$ है।
लायमन श्रेणी के लिए,इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था में संक्रमण करता है,इसलिए $n_1 = 1$ है।
लायमन श्रेणी की प्रथम स्पेक्ट्रमी रेखा प्रथम उत्तेजित अवस्था से मूल अवस्था में संक्रमण के अनुरूप है,इसलिए $n_2 = 2$ है।
हाइड्रोजन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) (1)^2 = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$।
अतः,$\lambda = \frac{4}{3R}$।
यह दिया गया है कि $\frac{1}{R} \approx 911.6 \mathring A$ (जिसे अक्सर $912 \mathring A$ के रूप में लिया जाता है),इसलिए:
$\lambda = \frac{4}{3} \times 911.6 \mathring A \approx 1215.5 \mathring A$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $1215 \mathring A$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था की ऊर्जा $E_1 = -13.6 eV$ है।
जब $\Delta E = 12.1 eV$ ऊर्जा प्रदान की जाती है,तो इलेक्ट्रॉन एक उच्च ऊर्जा स्तर $n$ में उत्तेजित हो जाता है,जहाँ $E_n = E_1 + \Delta E$ होता है।
$E_n = -13.6 eV + 12.1 eV = -1.5 eV$।
सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} eV$ का उपयोग करने पर,हमें $-\frac{13.6}{n^2} = -1.5$ प्राप्त होता है।
$n^2 = \frac{13.6}{1.5} \approx 9.07$,जिसका अर्थ है $n = 3$।
इलेक्ट्रॉन दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n = 3)$ में उत्तेजित होता है।
जब इलेक्ट्रॉन $n$ अवस्था से मूल अवस्था में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या $N = \frac{n(n-1)}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 3$ रखने पर,हमें $N = \frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$ रेखाएँ प्राप्त होती हैं।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल के अनुसार,ऊर्जा स्तरों को मुख्य क्वांटम संख्या $n$ द्वारा दर्शाया जाता है।
सबसे आंतरिक कक्षा मूल अवस्था (ground state) के अनुरूप है,जहाँ $n=1$ होता है।
जब एक इलेक्ट्रॉन किसी उच्च ऊर्जा स्तर $(n_2 > 1)$ से मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित विद्युत चुम्बकीय विकिरण स्पेक्ट्रम के पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र में आता है।
स्पेक्ट्रल रेखाओं के इस विशिष्ट समूह को लाइमन श्रेणी के रूप में जाना जाता है।

(B) बामर श्रेणी में स्पेक्ट्रल रेखाओं की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$
बामर श्रेणी की दूसरी रेखा के लिए,$n = 4$ है। दिया गया है $\lambda_2 = 4861 Å$:
$\frac{1}{4861} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right) \implies R = \frac{16}{3 \times 4861} \dots (i)$
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n = 3$ है:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$
समीकरण $(i)$ से $R$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_1} = \left( \frac{16}{3 \times 4861} \right) \times \left( \frac{5}{36} \right) = \frac{80}{108 \times 4861} = \frac{20}{27 \times 4861}$
$\lambda_1 = \frac{27 \times 4861}{20} = \frac{131247}{20} = 6562.35 Å \approx 6563 Å$.

(B) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ है।
हाइड्रोजन परमाणु $(H)$ के लिए,$Z = 1$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda} = R (1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$।
द्वि-आयनित लिथियम $(Li^{2+})$ के लिए,$Z = 3$ है। मान लीजिए तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ है।
तब,$\frac{1}{\lambda'} = R (3)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 9 R \left( \frac{5}{36} \right)$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$\frac{1}{\lambda'} = 9 \left( \frac{1}{\lambda} \right)$,जिसका अर्थ है कि $\lambda' = \frac{\lambda}{9}$।

(D) लाइमैन श्रेणी के लिए,तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 2, 3, 4, \dots$ है।
लघुत्तम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{L, min})$ $n = \infty$ पर होती है: $\frac{1}{\lambda_{L, min}} = R \implies \lambda_{L, min} = \frac{1}{R}$।
दीर्घतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{L, max})$ $n = 2$ पर होती है: $\frac{1}{\lambda_{L, max}} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{L, max} = \frac{4}{3R}$।
$\Delta \lambda_L = \lambda_{L, max} - \lambda_{L, min} = \frac{4}{3R} - \frac{1}{R} = \frac{1}{3R}$।
बामर श्रेणी के लिए,तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$ है।
लघुत्तम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{B, min})$ $n = \infty$ पर होती है: $\frac{1}{\lambda_{B, min}} = \frac{R}{4} \implies \lambda_{B, min} = \frac{4}{R}$।
दीर्घतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{B, max})$ $n = 3$ पर होती है: $\frac{1}{\lambda_{B, max}} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_{B, max} = \frac{36}{5R}$।
$\Delta \lambda_B = \lambda_{B, max} - \lambda_{B, min} = \frac{36}{5R} - \frac{4}{R} = \frac{36 - 20}{5R} = \frac{16}{5R}$।
अतः,$\frac{\Delta \lambda_B}{\Delta \lambda_L} = \frac{16/5R}{1/3R} = \frac{16}{5} \times 3 = \frac{48}{5} = 9.6$।

(B) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य के लिए,संक्रमण निकटतम ऊर्जा स्तरों के बीच होता है,अर्थात $n_2 = n_1 + 1$।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$,इसलिए $n_2 = 3$। सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $\lambda_{BL}$ है:
$\frac{1}{\lambda_{BL}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_{BL} = \frac{36}{5R} \quad ... (A)$
पाश्चन श्रेणी के लिए,$n_1 = 3$,इसलिए $n_2 = 4$। सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $\lambda_{PL}$ है:
$\frac{1}{\lambda_{PL}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{7}{144} \right) \implies \lambda_{PL} = \frac{144}{7R} \quad ... (B)$
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_{BL}}{\lambda_{PL}} = \frac{36}{5R} \times \frac{7R}{144} = \frac{36 \times 7}{5 \times 144} = \frac{7}{5 \times 4} = \frac{7}{20}$.

(D) हाइड्रोजन परमाणु में एक स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति $\nu$ इस प्रकार दी जाती है: $\nu = c \cdot \bar{\nu} = Rc \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
लाइमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$ है।
पहली लाइमन रेखा $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ तक के संक्रमण के अनुरूप है:
$\nu_1 = Rc \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = Rc \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3Rc}{4}$.
दूसरी लाइमन रेखा $n_2 = 3$ से $n_1 = 1$ तक के संक्रमण के अनुरूप है:
$\nu_2 = Rc \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = Rc \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{8Rc}{9}$.
आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta \nu = \nu_2 - \nu_1 = \frac{8Rc}{9} - \frac{3Rc}{4}$ है।
लघुत्तम समापवर्त्य $36$ लेने पर:
$\Delta \nu = \frac{32Rc - 27Rc}{36} = \frac{5Rc}{36}$.

(C) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति का सूत्र: $\nu = Rc \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
पाश्चन श्रेणी के लिए,निचला ऊर्जा स्तर $n_1 = 3$ है।
पहली पाश्चन रेखा $n_2 = 4$ से $n_1 = 3$ के संक्रमण के अनुरूप है। इसकी आवृत्ति $\nu_1 = Rc \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = \frac{7Rc}{144}$ है।
दूसरी पाश्चन रेखा $n_2 = 5$ से $n_1 = 3$ के संक्रमण के अनुरूप है। इसकी आवृत्ति $\nu_2 = Rc \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{25} \right) = \frac{16Rc}{225}$ है।
आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta \nu = \nu_2 - \nu_1 = Rc \left( \frac{16}{225} - \frac{7}{144} \right) = Rc \left( \frac{256 - 175}{3600} \right) = \frac{81Rc}{3600} = \frac{9Rc}{400}$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में $n_i$ से $n_f$ कक्षा में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
$3 \rightarrow 2$ संक्रमण के लिए: $\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$. अतः,$\lambda_1 = \frac{36}{5R}$.
$2 \rightarrow 1$ संक्रमण के लिए: $\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$. अतः,$\lambda_2 = \frac{4}{3R}$.
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{36/5R}{4/3R} = \frac{36}{5R} \times \frac{3R}{4} = \frac{9 \times 3}{5} = \frac{27}{5}$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति $f = R c \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है और $c$ प्रकाश की गति है।
लाइमैन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$। पहली रेखा $n_2 = 2$ और दूसरी रेखा $n_2 = 3$ है।
$f_1 = R c \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3}{4} R c$
$f_2 = R c \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \frac{8}{9} R c$
अंतर $f = f_2 - f_1 = R c \left( \frac{8}{9} - \frac{3}{4} \right) = \frac{5}{36} R c$। अतः,$R c = \frac{36 f}{5}$।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$। पहली रेखा $n_2 = 3$ और दूसरी रेखा $n_2 = 4$ है।
$f'_1 = R c \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \frac{5}{36} R c$
$f'_2 = R c \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = \frac{3}{16} R c$
अंतर $f' = f'_2 - f'_1 = R c \left( \frac{3}{16} - \frac{5}{36} \right) = \frac{7}{144} R c$।
$R c = \frac{36 f}{5}$ रखने पर,$f' = \frac{7}{144} \times \frac{36 f}{5} = \frac{7 f}{20}$।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में संक्रमण के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
बामर श्रेणी की दूसरी रेखा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 4$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right)$। इसलिए,$\lambda_B = \frac{16}{3R}$।
लाइमन श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = 2$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$। इसलिए,$\lambda_L = \frac{4}{3R}$।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_B}{\lambda_L} = \frac{16/3R}{4/3R} = \frac{16}{4} = 4:1$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
कमरे के तापमान पर, हाइड्रोजन परमाणु मूल अवस्था $(n=1)$ में होते हैं, जहाँ ऊर्जा $E_1 = -13.6 \ eV$ होती है।
जब परमाणु पर $13.6 \ eV$ ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉनों की बौछार की जाती है, तो परमाणु इस ऊर्जा को अवशोषित करके उत्तेजित हो सकता है।
जब एक उत्तेजित इलेक्ट्रॉन किसी उच्च ऊर्जा स्तर $(n > 1)$ से मूल अवस्था $(n=1)$ में वापस आता है, तो उत्सर्जित विकिरण लाइमन श्रेणी में आता है।
अतः, उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाएं लाइमन श्रेणी से संबंधित हैं।

(B) हाइड्रोजन परमाणु से उत्सर्जित विकिरण की तरंग दैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
प्रथम स्थिति के लिए ($n_2 = 4$ से $n_1 = 2$):
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$.
द्वितीय स्थिति के लिए ($n_2 = 3$ से $n_1 = 2$):
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = \frac{5R}{36}$.
अब,तरंग दैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1/\lambda_2}{1/\lambda_1} = \frac{5R/36}{3R/16} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{20}{27}$.
अतः,अनुपात $20:27$ है।

(C) बामर श्रेणी के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ है,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$ है।
सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य $\lambda_1$ के लिए,$n = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4} \implies R = \frac{4}{\lambda_1}$.
सबसे लंबी तरंगदैर्घ्य $\lambda_2$ के लिए,$n = 3$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies R = \frac{36}{5\lambda_2}$.
विकल्पों की जाँच करने पर,यदि हम $R = \frac{9}{\lambda_1} - \frac{9}{\lambda_2}$ लेते हैं,तो:
$R = 9 \left( \frac{R}{4} - \frac{5R}{36} \right) = 9 \left( \frac{9R - 5R}{36} \right) = 9 \left( \frac{4R}{36} \right) = R$.
अतः,सही विकल्प $R = \frac{9}{\lambda_1} - \frac{9}{\lambda_2}$ है।

(A) सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य निकटतम ऊर्जा स्तरों के बीच संक्रमण के अनुरूप होती है।
लाइमैन श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ तक होता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
अतः,$\lambda_L = \frac{4}{3R}$.
बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ तक होता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36}$.
अतः,$\lambda_B = \frac{36}{5R}$.
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$ है।

(C) $n_i = 3$ से $n_f = 2$ के संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right] \text{ eV}$
$n_f = 2$ और $n_i = 3$ मान रखने पर:
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] \text{ eV}$
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] \text{ eV}$
$E = 13.6 \left[ \frac{9 - 4}{36} \right] \text{ eV}$
$E = 13.6 \times \frac{5}{36} \text{ eV} \approx 1.89 \text{ eV}$
प्रकाश वैद्युत प्रभाव (photoelectric effect) होने के लिए, आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए।
अतः, अधिकतम कार्य फलन $\Phi_{\text{max}} = 1.89 \text{ eV}$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $\nu = cR \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ द्वारा दी जाती है।
श्रेणी सीमा के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1$ तक होता है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$,इसलिए $\nu_{B} = cR \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{cR}{4}$।
ब्रैकेट श्रेणी के लिए,$n_1 = 4$,इसलिए $\nu' = cR \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{cR}{16}$।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{\nu'}{\nu_{B}} = \frac{cR/16}{cR/4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$।
अतः,$\nu' = \frac{\nu_{B}}{4}$।

(B) बामर श्रेणी के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ है,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$
अधिकतम तरंगदैर्ध्य (न्यूनतम ऊर्जा) के लिए,हम $n = 3$ लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = 10^7 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 10^7 \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_{max} = \frac{36}{5} \times 10^{-7} \ m = 7.2 \times 10^{-7} \ m = 7200 \ Å$.
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (अधिकतम ऊर्जा) के लिए,हम $n = \infty$ लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{min}} = 10^7 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = 10^7 \left( \frac{1}{4} \right) \implies \lambda_{min} = 4 \times 10^{-7} \ m = 4000 \ Å$.
तरंगदैर्ध्य में अंतर $\Delta \lambda = \lambda_{max} - \lambda_{min} = 7200 \ Å - 4000 \ Å = 3200 \ Å$ है।

(D) बोर के मॉडल के अनुसार,जब कोई इलेक्ट्रॉन $n_2$ कक्षा से $n_1$ कक्षा में कूदता है,तो उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
लाइमैन श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = 2$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_1 = \frac{4}{3R}$
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_2 = \frac{36}{5R}$
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 9 \alpha$ दिया गया है:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{4}{3R} \right) \times \left( \frac{5R}{36} \right) = \frac{4 \times 5}{3 \times 36} = \frac{20}{108} = \frac{5}{27}$
चूंकि $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 9 \alpha$ है,इसलिए:
$9 \alpha = \frac{5}{27} \implies \alpha = \frac{5}{27 \times 9} = \frac{5}{243} \approx 0.02057 \approx 0.021$

(C) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रल रेखाओं की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$। सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य तब होती है जब $n_2 = \infty$ हो।
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4} \implies \lambda = \frac{4}{R} \quad \dots (i)$
ब्रैकेट श्रेणी के लिए,$n_1 = 4$। सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य तब होती है जब $n_2 = \infty$ हो।
$\frac{1}{\lambda_{\text{Brackett}}} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{16}$
$\lambda_{\text{Brackett}} = \frac{16}{R}$
समीकरण $(i)$ से $\frac{1}{R} = \frac{\lambda}{4}$ का मान रखने पर:
$\lambda_{\text{Brackett}} = 16 \times \left( \frac{\lambda}{4} \right) = 4 \lambda$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए स्पेक्ट्रमी रेखाओं की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3, 4, 5, \ldots$ है।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (श्रेणी सीमा) के लिए,$n_2 = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$
$\lambda_{\min} = \frac{4}{R}$
अधिकतम तरंगदैर्ध्य के लिए,$n_2 = 3$:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$
$\lambda_{\max} = \frac{36}{5R}$
अब,अधिकतम और न्यूनतम तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{36 / 5R}{4 / R} = \frac{36}{5R} \times \frac{R}{4} = \frac{9}{5}$

(C) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रमी रेखा की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
बामर श्रेणी के लिए,अंतिम अवस्था $n_f = 2$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
दिया गया है कि $\lambda = \frac{16}{3 R}$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{1}{(16 / 3 R)} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n_i^2} \right) \Rightarrow \frac{3 R}{16} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
दोनों पक्षों को $R$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है: $\frac{3}{16} = \frac{1}{4} - \frac{1}{n_i^2}$.
$n_i^2$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{n_i^2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{16} = \frac{4 - 3}{16} = \frac{1}{16}$.
अतः,$n_i^2 = 16$,जिससे $n_i = 4$ प्राप्त होता है।

(C) $H$-परमाणु के लिए, Lyman श्रेणी का Rydberg सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए, $n_2 = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{\text{min}}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R(1 - 0) = R$
दिया गया है कि $\lambda_{\text{min}} = 912 \ \text{Å}$, इसलिए $R = \frac{1}{912} \ \text{Å}^{-1}$।
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य के लिए, संक्रमण निकटतम ऊर्जा स्तर से होता है, अर्थात $n_2 = 2$:
$\frac{1}{\lambda_{\text{max}}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$
$R$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_{\text{max}}} = \frac{1}{912} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{3648} = \frac{1}{1216}$
अतः, $\lambda_{\text{max}} = 1216 \ \text{Å}$।

(A) लाइमन श्रेणी के लिए तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
लाइमन श्रेणी की पहली रेखा के लिए,संक्रमण $n = 2$ से $n = 1$ होता है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$.
अतः,$R = \frac{4}{3\lambda}$ (समीकरण $i$)।
बामर श्रेणी के लिए तरंगदैर्ध्य का सूत्र: $\frac{1}{\lambda^{\prime}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए,संक्रमण $n = 3$ से $n = 2$ होता है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{\lambda^{\prime}} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
समीकरण $i$ से $R$ का मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda^{\prime}} = \left( \frac{4}{3\lambda} \right) \left( \frac{5}{36} \right) = \frac{20}{108\lambda} = \frac{5}{27\lambda}$.
इसलिए,$\lambda^{\prime} = \frac{27}{5} \lambda$।

(C) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
पाश्चन श्रेणी के लिए,$n_1 = 3$ है। सबसे लंबी तरंगदैर्घ्य $n_2 = 4$ से संक्रमण के अनुरूप होती है।
$\frac{1}{\lambda_P} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = \frac{7R}{144}$.
अतः,$\lambda_P = \frac{144}{7R}$.
लाइमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$ है। सबसे लंबी तरंगदैर्घ्य $n_2 = 2$ से संक्रमण के अनुरूप होती है।
$\frac{1}{\lambda_L} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4}$.
अतः,$\lambda_L = \frac{4}{3R}$.
अब,अनुपात $\frac{\lambda_P}{\lambda_L}$ की गणना करने पर:
$\frac{\lambda_P}{\lambda_L} = \frac{144 / 7R}{4 / 3R} = \frac{144}{7R} \times \frac{3R}{4} = \frac{36 \times 3}{7} = \frac{108}{7} \approx 15.42$.
चूंकि $15 < 15.42 < 16$,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(C) जब परमाणुओं को मूल अवस्था से मुख्य क्वांटम संख्या $n = 20$ वाली उत्तेजित अवस्था में उत्तेजित किया जाता है,तो संभावित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या इस सूत्र द्वारा दी जाती है:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
सूत्र में $n = 20$ का मान रखने पर:
$N = \frac{20(20 - 1)}{2}$
$N = \frac{20 \times 19}{2}$
$N = 10 \times 19 = 190$
अतः,स्पेक्ट्रम में देखी जा सकने वाली विभिन्न तरंगदैर्घ्यों की संख्या $190$ है।

(C) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के अनुसार, जब इलेक्ट्रॉन $n_2$ कक्षा से $n_1$ कक्षा में संक्रमण करता है, तो उत्सर्जित तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ होता है।
लाइमन श्रेणी के लिए, $n_1 = 1$। पहली रेखा के लिए $n_2 = 2$ लेने पर, $\frac{1}{\lambda_L} = R Z^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3}{4} R Z^2$।
बामर श्रेणी के लिए, $n_1 = 2$। पहली रेखा के लिए $n_2 = 3$ लेने पर, $\frac{1}{\lambda_B} = R Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R Z^2 \left( \frac{5}{36} \right)$।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_B}{\lambda_L} = \frac{3/4}{5/36} = \frac{3}{4} \times \frac{36}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$।
दिया गया है कि $\lambda_L = 1215.4 \text{ Å}$, इसलिए $\lambda_B = 5.4 \times 1215.4 \text{ Å} = 6563.16 \text{ Å} \approx 6563 \text{ Å}$।

(A) बामर श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए, संक्रमण $n_{i} = \infty$ से $n_{f} = 2$ तक होता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R_{H} \left( \frac{1}{n_{f}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{1}{4} = 2742500 \ \text{m}^{-1}$.
$\lambda = \frac{1}{2742500} \ \text{m} \approx 3.646 \times 10^{-7} \ \text{m}$.
एंग्स्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda = 3.646 \times 10^{-7} \times 10^{10} \ \text{Å} = 3646 \ \text{Å}$.

(A) रिडबर्ग के समीकरण के अनुसार,इलेक्ट्रॉन संक्रमण के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$
यहाँ,संक्रमण $n_i = 5$ से $n_f = 1$ तक हो रहा है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{5^2} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( 1 - \frac{1}{25} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{25 - 1}{25} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = \frac{24 R}{25}$
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{25}{24 R}$ होगी।

(A) लायमन श्रेणी के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,जहाँ $n = 2, 3, 4, \dots$
$1$. न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ $n = \infty$ से $n = 1$ के संक्रमण के लिए होती है:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$
दिया गया है कि $\lambda_{\min} = P$,इसलिए $P = \frac{1}{R}$।
$2$. अधिकतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ $n = 2$ से $n = 1$ के संक्रमण के लिए होती है:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$
$3$. $R = \frac{1}{P}$ को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = \frac{1}{P} \cdot \frac{3}{4}$
$\lambda_{\max} = \frac{4 P}{3}$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु द्वारा उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$.
प्रत्येक स्पेक्ट्रमी श्रेणी के लिए,तरंगदैर्ध्य की सीमा $n_i = n_f + 1$ से $n_i = \infty$ तक के संक्रमण द्वारा निर्धारित की जाती है।
$1$. लाइमन श्रेणी $(n_f = 1)$: $\lambda$ की सीमा $\frac{1}{R}$ से $\frac{4}{3R}$ है।
$2$. बामर श्रेणी $(n_f = 2)$: $\lambda$ की सीमा $\frac{4}{R}$ से $\frac{36}{5R}$ है।
$3$. पाश्चन श्रेणी $(n_f = 3)$: $\lambda$ की सीमा $\frac{9}{R}$ से $\frac{144}{7R}$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$\frac{7}{5R}$ से $\frac{19}{5R}$ की सीमा हाइड्रोजन परमाणु की किसी भी स्पेक्ट्रमी श्रेणी से मेल नहीं खाती है।

(D) रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ होता है। पहली रेखा $n_2 = 3$ के लिए और दूसरी रेखा $n_2 = 4$ के लिए होती है।
$\frac{1}{\lambda_B} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = R \left( \frac{3}{16} \right)$.
दिया गया है $\lambda_B = 600 \ nm$,इसलिए $\frac{1}{600} = R \left( \frac{3}{16} \right) \implies R = \frac{16}{1800} \ nm^{-1}$.
लाइमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$ होता है। तीसरी रेखा $n_2 = 4$ के लिए होती है (क्योंकि $n_2 = 2, 3, 4, \dots$)।
$\frac{1}{\lambda_L} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{16} \right] = R \left( \frac{15}{16} \right)$.
$R$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_L} = \left( \frac{16}{1800} \right) \left( \frac{15}{16} \right) = \frac{15}{1800} = \frac{1}{120}$.
अतः,$\lambda_L = 120 \ nm$.
चूंकि $120 \ nm$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) Rydberg सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
Lyman श्रेणी के लिए,सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $n_1 = 1$ और $n_2 = \infty$ के अनुरूप है।
$\frac{1}{\lambda_{L,min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R = \frac{1}{91} \ nm^{-1}$.
Balmer श्रेणी के लिए,सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य $n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ के अनुरूप है।
$\frac{1}{\lambda_{B,max}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \frac{1}{91} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{1}{91} \left( \frac{5}{36} \right)$.
$\lambda_{B,max} = \frac{91 \times 36}{5} = 655.2 \ nm$.
Paschen श्रेणी के लिए,सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य $n_1 = 3$ और $n_2 = 4$ के अनुरूप है।
$\frac{1}{\lambda_{P,max}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = \frac{1}{91} \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = \frac{1}{91} \left( \frac{7}{144} \right)$.
$\lambda_{P,max} = \frac{91 \times 144}{7} = 1872 \ nm$.
अंतर $\Delta\lambda = \lambda_{P,max} - \lambda_{B,max} = 1872 - 655.2 = 1216.8 \ nm \approx 1217 \ nm$ है।

(B) किसी संक्रमण के लिए तरंगदैर्घ्य $\lambda$ का सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ है।
लायमन श्रेणी $(n_f = 1)$ के लिए,अधिकतम तरंगदैर्घ्य $n_i = 2$ पर प्राप्त होती है: $\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{max} = \frac{4}{3R}$। अतः,कथन $A$ सही है।
बामर श्रेणी $(n_f = 2)$ दृश्य क्षेत्र में स्थित है। अतः,कथन $B$ सही है।
पाश्चन श्रेणी $(n_f = 3)$ के लिए,न्यूनतम तरंगदैर्घ्य $n_i = \infty$ पर प्राप्त होती है: $\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( \frac{1}{3^2} - 0 \right) = \frac{R}{9} \implies \lambda_{min} = \frac{9}{R}$। अतः,कथन $C$ सही है।
लायमन श्रेणी $(n_f = 1)$ के लिए,न्यूनतम तरंगदैर्घ्य $n_i = \infty$ पर प्राप्त होती है: $\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( 1 - 0 \right) = R \implies \lambda_{min} = \frac{1}{R}$। अतः,कथन $D$ गलत है।
इसलिए,कथन $A, B$ और $C$ सही हैं।

(D) बामर श्रेणी $n_f = 2$ के अनुरूप है।
$1$ली रेखा $n_i = 3$ के अनुरूप है,और $2$जी रेखा $n_i = 4$ के अनुरूप है।
संवेग $p = E/c = (h\nu)/c = h/\lambda$.
चूंकि $1/\lambda = R(1/2^2 - 1/n_i^2)$,इसलिए $p \propto (1/4 - 1/n_i^2)$.
$1$ली रेखा के लिए,$p_1 \propto (1/4 - 1/9) = 5/36$.
$2$जी रेखा के लिए,$p_2 \propto (1/4 - 1/16) = 3/16$.
अनुपात $p_1/p_2 = (5/36) / (3/16) = (5/36) \times (16/3) = (5 \times 4) / (9 \times 3) = 20/27$.
अतः,$\alpha = 20$ और $\beta = 27$ है।