Spectral Series of Hydrogen Atom Questions in Hindi

(N/A) उत्सर्जित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए बामर सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right]$
जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है और $n = 3, 4, 5, \dots$
चूंकि आवृत्ति $\nu$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और प्रकाश की गति $c$ के साथ $\nu = \frac{c}{\lambda}$ संबंध द्वारा जुड़ी हुई है,इसलिए हम बामर सूत्र में $\frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c}$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{\nu}{c} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right]$
दोनों पक्षों को $c$ से गुणा करने पर,हमें आवृत्ति के संदर्भ में बामर सूत्र प्राप्त होता है:
$\nu = Rc \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right]$

(N/A) प्रत्येक तत्व अपने तापमान के आधार पर अलग-अलग तरंगदैर्ध्य के विकिरण उत्सर्जित करता है। इसलिए,प्रत्येक तत्व के पास विकिरण का एक विशिष्ट स्पेक्ट्रम होता है जिसे वह उत्सर्जित करता है।
जब किसी परमाणु गैस या वाष्प को कम दबाव पर विद्युत धारा प्रवाहित करके उत्तेजित किया जाता है,तो उत्सर्जित विकिरण के स्पेक्ट्रम में केवल कुछ विशिष्ट तरंगदैर्ध्य ही मौजूद होती हैं।
इस प्रकार के स्पेक्ट्रम को उत्सर्जन रेखा स्पेक्ट्रम कहा जाता है।

(N/A) जब श्वेत प्रकाश,जिसमें दृश्य स्पेक्ट्रम की सभी तरंगदैर्घ्य होती हैं,को एक ठंडी गैस से गुजारा जाता है,तो गैस के परमाणु अपने इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा संक्रमण के अनुरूप प्रकाश की विशिष्ट तरंगदैर्घ्य को अवशोषित कर लेते हैं।
परिणामस्वरूप,ये विशिष्ट तरंगदैर्घ्य संचरित प्रकाश से अनुपस्थित होती हैं,जो स्पेक्ट्रम में एक निरंतर उज्ज्वल पृष्ठभूमि पर काली रेखाओं के रूप में दिखाई देती हैं।
काली रेखाओं के इस पैटर्न को गैस के पदार्थ का अवशोषण स्पेक्ट्रम कहा जाता है।

(B) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की बामर श्रेणी सबसे पहले विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में देखी गई थी। इसकी खोज जोहान बामर द्वारा $1885$ में हाइड्रोजन की दृश्य रेखाओं के अनुभवजन्य अवलोकनों के आधार पर की गई थी।

(A) बामर श्रेणी उन संक्रमणों के अनुरूप है जहाँ इलेक्ट्रॉन उच्च स्तरों $n_i = 3, 4, 5, \dots$ से $n_f = 2$ ऊर्जा स्तर पर कूदता है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,जहाँ $R \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ है।
$H_{\alpha}$ रेखा $n_i = 3$ से $n_f = 2$ के संक्रमण के अनुरूप है।
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{5}{36} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} \approx 1.5236 \times 10^6 \ m^{-1}$.
$\lambda \approx 6.563 \times 10^{-7} \ m = 656.3 \ nm$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रमी रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ $n_1$ निचला ऊर्जा स्तर है और $n_2$ उच्च ऊर्जा स्तर है।
सीमा तरंगदैर्ध्य (जिसे श्रेणी सीमा भी कहा जाता है) के लिए,तरंगदैर्ध्य न्यूनतम होती है,जो अधिकतम संभव ऊर्जा संक्रमण के अनुरूप होती है।
यह तब होता है जब इलेक्ट्रॉन अनंत ऊर्जा स्तर $(n_2 = \infty)$ से श्रेणी के विशिष्ट निचले ऊर्जा स्तर $(n_1)$ पर संक्रमण करता है।
इसलिए,सीमा तरंगदैर्ध्य के लिए,क्वांटम संख्याएँ $n_1$ (श्रेणी के लिए निश्चित) और $n_2 = \infty$ हैं।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की स्पेक्ट्रमी रेखाओं को इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण में शामिल ऊर्जा स्तरों के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।
$1$. लाइमन श्रेणी उच्च ऊर्जा स्तरों $(n_2 = 2, 3, 4, ...)$ से निम्नतम अवस्था $(n_1 = 1)$ में संक्रमण के अनुरूप है।
$2$. इन संक्रमणों के लिए ऊर्जा का अंतर बहुत अधिक होता है,जिससे उत्सर्जित फोटॉन विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के पराबैंगनी $(UV)$ क्षेत्र में आते हैं।
$3$. बामर श्रेणी दृश्य क्षेत्र में स्थित है,जबकि पाश्चन,ब्रेकेट और फंड श्रेणियां अवरक्त (infrared) क्षेत्र में स्थित हैं।
अतः,लाइमन श्रेणी सही उत्तर है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की स्पेक्ट्रमी श्रेणियाँ रिडबर्ग सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती हैं: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,क्षेत्र इस प्रकार हैं:
$1$. लाइमन श्रेणी $(n_f = 1)$: पराबैंगनी (अल्ट्रावायलेट) क्षेत्र।
$2$. बामर श्रेणी $(n_f = 2)$: दृश्य क्षेत्र।
$3$. पाश्चन श्रेणी $(n_f = 3)$: अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र।
$4$. ब्रैकेट श्रेणी $(n_f = 4)$: अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र।
$5$. फंड श्रेणी $(n_f = 5)$: अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र।
अतः,पाश्चन,ब्रैकेट और फंड श्रेणियाँ अवरक्त क्षेत्र में पाई जाती हैं।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की स्पेक्ट्रमी रेखाओं को इलेक्ट्रॉन संक्रमण में शामिल ऊर्जा स्तरों के आधार पर विभिन्न श्रेणियों में वर्गीकृत किया गया है।
$1$. लाइमन श्रेणी मूल अवस्था $(n_f = 1)$ में संक्रमण के अनुरूप है और यह पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र में स्थित है।
$2$. बामर श्रेणी दूसरे ऊर्जा स्तर $(n_f = 2)$ में संक्रमण के अनुरूप है और यह दृश्य प्रकाश क्षेत्र में स्थित है।
$3$. पाशन,ब्रैकेट और फंड श्रेणियां उच्च ऊर्जा स्तरों ($n_f = 3, 4, 5$ क्रमशः) में संक्रमण के अनुरूप हैं और ये अवरक्त (infrared) क्षेत्र में स्थित हैं।
अतः,बामर श्रेणी ही एकमात्र ऐसी श्रेणी है जो दृश्य प्रकाश क्षेत्र में पाई जाती है।

(N/A) विभिन्न परमाणु ऊर्जा स्तरों के बीच संक्रमण के दौरान उत्सर्जित प्रकाश की तरंग दैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda_{if}} = R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$
जहाँ $R$ रिडबर्ग स्थिरांक है,$n_f$ अंतिम ऊर्जा स्तर है और $n_i$ प्रारंभिक ऊर्जा स्तर $(n_i > n_f)$ है।
$1$. लाइमन श्रेणी: यदि $n_f = 1$ और $n_i = 2, 3, 4, \ldots$ है,तो स्पेक्ट्रल रेखाएं पराबैंगनी क्षेत्र में प्राप्त होती हैं।
$2$. बामर श्रेणी: यदि $n_f = 2$ और $n_i = 3, 4, 5, \ldots$ है,तो स्पेक्ट्रल रेखाएं दृश्य क्षेत्र में प्राप्त होती हैं।
$3$. पाशन श्रेणी: यदि $n_f = 3$ और $n_i = 4, 5, 6, \ldots$ है,तो स्पेक्ट्रल रेखाएं अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र में प्राप्त होती हैं।
$4$. ब्रैकेट श्रेणी: यदि $n_f = 4$ और $n_i = 5, 6, 7, \ldots$ है,तो स्पेक्ट्रल रेखाएं अवरक्त क्षेत्र में प्राप्त होती हैं।
$5$. फंड श्रेणी: यदि $n_f = 5$ और $n_i = 6, 7, 8, \ldots$ है,तो स्पेक्ट्रल रेखाएं अवरक्त क्षेत्र में प्राप्त होती हैं।
हाइड्रोजन परमाणु में इन संक्रमणों के परिणामस्वरूप प्राप्त स्पेक्ट्रल रेखाओं को नीचे दिए गए आरेख में दर्शाया गया है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6/n^2 \ eV$ द्वारा दी जाती है।
दूसरी कक्षा $(n_2 = 2)$ से पहली कक्षा $(n_1 = 1)$ में संक्रमण के लिए,उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = -13.6(1/2^2 - 1/1^2) = -13.6(1/4 - 1) = -13.6(-3/4) = 10.2 \ eV$ है।
यह संक्रमण लाइमैन श्रेणी की पहली रेखा के अनुरूप है।
हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की लाइमैन श्रेणी विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र में स्थित होती है।

(A-B) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ ऊर्जा अंतर $\Delta E$ से $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
किसी भी स्पेक्ट्रल श्रेणी के लिए,ऊर्जा अंतर $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. अधिकतम तरंगदैर्ध्य: अधिकतम तरंगदैर्ध्य के लिए,ऊर्जा अंतर $\Delta E$ न्यूनतम होना चाहिए। यह सबसे निकटतम ऊर्जा स्तरों के बीच संक्रमण के लिए होता है,अर्थात $n_2 = n_1 + 1$ से $n_1$ (श्रेणी की पहली रेखा)।
$2$. अधिकतम आवृत्ति: चूंकि आवृत्ति $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ है,इसलिए अधिकतम आवृत्ति अधिकतम ऊर्जा अंतर के अनुरूप होती है। यह $n_2 = \infty$ से $n_1$ के संक्रमण के लिए होता है (श्रेणी की सीमा या श्रेणी की अंतिम रेखा)।

(A) तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग नियतांक $R$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जो समानीत द्रव्यमान (reduced mass) $\mu = \frac{m_e M}{m_e + M}$ पर निर्भर करता है।
अतः,$\lambda \propto \frac{1}{\mu} = \frac{m_e + M}{m_e M} = \frac{1}{M} + \frac{1}{m_e}$.
हाइड्रोजन $(H)$ और ड्यूटेरियम $(D)$ के लिए:
$\frac{\lambda_D}{\lambda_H} = \frac{\frac{1}{M_H} + \frac{1}{m_e}}{\frac{1}{M_D} + \frac{1}{m_e}} = \frac{M_D(m_e + M_H)}{M_H(m_e + M_D)}$.
समानीत द्रव्यमान सुधार के लिए मानक सूत्र $\lambda_D = \lambda_H \frac{\mu_H}{\mu_D}$ है।
$\frac{\mu_H}{\mu_D} = \frac{M_H(m_e + M_D)}{M_D(m_e + M_H)} \approx 1 - \frac{m_e}{M_H} + \frac{m_e}{M_D} \approx 1 - 2.717 \times 10^{-4}$.
$\lambda_D = 1218 \times (1 - 0.0002717) = 1217.669 \, \mathring{A}$.
प्रतिशत परिवर्तन $= \frac{\lambda_H - \lambda_D}{\lambda_H} \times 100\% = \frac{1218 - 1217.669}{1218} \times 100\% \approx 0.0272\%$.

(A) तरंगदैर्घ्य $\lambda$ का सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है। मान लीजिए $C = \frac{1}{R}$। अतः $\lambda = C \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)^{-1}$।
लायमैन श्रेणी के लिए $(n_1 = 1)$:
सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य $\lambda_{L,s} = C \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)^{-1} = C$।
सबसे बड़ी तरंगदैर्घ्य $\lambda_{L,l} = C \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)^{-1} = \frac{4C}{3}$।
अंतर $\Delta \lambda_L = \frac{4C}{3} - C = \frac{C}{3} = 304\,\mathring{A} \implies C = 912\,\mathring{A}$।
पाश्चन श्रेणी के लिए $(n_1 = 3)$:
सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य $\lambda_{P,s} = C \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)^{-1} = 9C$।
सबसे बड़ी तरंगदैर्घ्य $\lambda_{P,l} = C \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right)^{-1} = C \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right)^{-1} = \frac{144C}{7}$।
अंतर $\Delta \lambda_P = \frac{144C}{7} - 9C = \frac{81C}{7}$।
$C = 912\,\mathring{A}$ रखने पर:
$\Delta \lambda_P = \frac{81 \times 912}{7} \approx 10553.14\,\mathring{A}$।

(B) बामर श्रेणी हाइड्रोजन परमाणु में उच्च ऊर्जा स्तरों $(n = 3, 4, 5, 6, \dots)$ से $n = 2$ ऊर्जा स्तर में इलेक्ट्रॉनों के संक्रमण के अनुरूप है।
इनमें से,$n = 3, 4, 5,$ और $6$ से $n = 2$ तक के संक्रमण दृश्य स्पेक्ट्रम के भीतर आते हैं।
विशेष रूप से,संक्रमण इस प्रकार हैं:
$1$. $n = 3 \to n = 2$ ($H_{\alpha}$ रेखा,लाल)
$2$. $n = 4 \to n = 2$ ($H_{\beta}$ रेखा,नीला-हरा)
$3$. $n = 5 \to n = 2$ ($H_{\gamma}$ रेखा,नीला-बैंगनी)
$4$. $n = 6 \to n = 2$ ($H_{\delta}$ रेखा,बैंगनी)
$n > 6$ से $n = 2$ तक के संक्रमणों की तरंग दैर्ध्य $364.6 \ nm$ से कम होती है,जो पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र में स्थित होती है।
इसलिए,बामर श्रेणी में कुल $4$ दृश्य रेखाएं होती हैं।

(D) बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए $(n_1 = 2, n_2 = 3)$:
$\frac{1}{\lambda_{1}} = R \left(\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}}\right) = R \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = R \left(\frac{5}{36}\right) \implies \lambda_{1} = \frac{36}{5R}$.
बामर श्रेणी की तीसरी रेखा के लिए $(n_1 = 2, n_2 = 5)$:
$\frac{1}{\lambda_{3}} = R \left(\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{5^{2}}\right) = R \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{25}\right) = R \left(\frac{21}{100}\right) \implies \lambda_{3} = \frac{100}{21R}$.
अनुपात $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{3}}$ की गणना:
$\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{3}} = \left(\frac{36}{5R}\right) \times \left(\frac{21R}{100}\right) = \frac{36 \times 21}{500} = \frac{756}{500} = 1.512$.
$x \times 10^{-1}$ के रूप में व्यक्त करने पर:
$1.512 = 15.12 \times 10^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक में,$x \approx 15$.

(D) हाइड्रोजन परमाण्वीय स्पेक्ट्रम में स्पेक्ट्रमी रेखाओं की कई श्रेणियाँ होती हैं,जिन्हें इलेक्ट्रॉन संक्रमण में शामिल ऊर्जा स्तरों के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।
$1$. $Lyman$ श्रेणी मूल अवस्था $(n_f = 1)$ में संक्रमण के अनुरूप है और यह पराबैंगनी क्षेत्र में स्थित है।
$2$. $Balmer$ श्रेणी दूसरे ऊर्जा स्तर $(n_f = 2)$ में संक्रमण के अनुरूप है और यह दृश्य क्षेत्र में स्थित है।
$3$. $Paschen$ श्रेणी $(n_f = 3)$,$Brackett$ श्रेणी $(n_f = 4)$ और $Pfund$ श्रेणी $(n_f = 5)$ सभी अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र में स्थित हैं।
अतः,दृश्य क्षेत्र में स्थित सही श्रेणी $Balmer$ श्रेणी है।

(C) संक्रमण $A$,$n = \infty$ से $n = 1$ तक है,जो लाइमन श्रेणी की श्रेणी सीमा को दर्शाता है।
संक्रमण $B$,$n = 5$ से $n = 2$ तक है,जो बामर श्रेणी का तीसरा सदस्य है (पहला: $3 \rightarrow 2$,दूसरा: $4 \rightarrow 2$,तीसरा: $5 \rightarrow 2$)।
संक्रमण $C$,$n = 5$ से $n = 3$ तक है,जो पाश्चन श्रेणी का दूसरा सदस्य है (पहला: $4 \rightarrow 3$,दूसरा: $5 \rightarrow 3$)।

(C) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right)$ है।
लाइमन श्रेणी के तीसरे सदस्य के लिए,$n_{f} = 1$ और $n_{i} = 1 + 3 = 4$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_{1}} = R \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{4^{2}} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{15}{16} \right)$।
पाश्चन श्रेणी के पहले सदस्य के लिए,$n_{f} = 3$ और $n_{i} = 3 + 1 = 4$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_{2}} = R \left( \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16 - 9}{144} \right) = R \left( \frac{7}{144} \right)$।
अनुपात लेने पर,$\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{1/\lambda_{2}}{1/\lambda_{1}} = \frac{R(7/144)}{R(15/16)} = \frac{7}{144} \times \frac{16}{15} = \frac{7}{9 \times 15} = \frac{7}{135}$।
अतः,$\lambda_{1} : \lambda_{2} = 7 : 135$।

(D) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ है, जहाँ $R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ रिडबर्ग नियतांक है。
$n_i = 2$ से $n_f = 1$ के संक्रमण के लिए:
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( 1 - 0.25 \right) = 1.097 \times 10^7 \times 0.75$
$\frac{1}{\lambda} = 0.82275 \times 10^7 \, m^{-1}$
$\lambda = \frac{1}{0.82275 \times 10^7} \approx 1.215 \times 10^{-7} \, m = 121.5 \, nm$.
$R$ के सटीक मान और ऊर्जा स्तरों का उपयोग करने पर, मानक मान लगभग $121.8 \, nm$ प्राप्त होता है。

(B) जब एक इलेक्ट्रॉन मुख्य क्वांटम संख्या $n$ वाली उत्तेजित अवस्था से निम्न ऊर्जा स्तरों में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित होने वाली विभिन्न तरंगदैर्घ्यों की संख्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$X = \frac{n(n - 1)}{2}$
यह दिया गया है कि परमाणु $n = 6$ अवस्था में उत्तेजित हैं,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$X = \frac{6(6 - 1)}{2}$
$X = \frac{6 \times 5}{2}$
$X = \frac{30}{2}$
$X = 15$
अतः,देखी जाने वाली विभिन्न तरंगदैर्घ्यों की संख्या $15$ है।

(A) लायमन श्रेणी की पहली रेखा के लिए $(n_1=1, n_2=2)$:
$\frac{1}{\lambda} = R \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) = R \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda = \frac{4}{3R} \quad \dots(1)$
पाश्चन श्रेणी की $3^{\text{rd}}$ रेखा के लिए $(n_1=3, n_2=6)$:
$\frac{1}{\lambda_3} = R \left(\frac{1}{3^2} - \frac{1}{6^2}\right) = R \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{36}\right) = R \left(\frac{4-1}{36}\right) = \frac{3R}{36} = \frac{R}{12} \implies \lambda_3 = \frac{12}{R} \quad \dots(2)$
बामर श्रेणी की $2^{\text{nd}}$ रेखा के लिए $(n_1=2, n_2=4)$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}\right) = R \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{16}\right) = R \left(\frac{4-1}{16}\right) = \frac{3R}{16} \implies \lambda_2 = \frac{16}{3R} \quad \dots(3)$
तरंगदैर्ध्य का अंतर $\lambda_3 - \lambda_2 = a\lambda$ द्वारा दिया गया है:
$a\lambda = \frac{12}{R} - \frac{16}{3R} = \frac{36 - 16}{3R} = \frac{20}{3R}$
$\lambda = \frac{4}{3R}$ को समीकरण में रखने पर:
$a \left(\frac{4}{3R}\right) = \frac{20}{3R} \implies a = \frac{20}{4} = 5$

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में संक्रमण के लिए तरंग दैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
लाइमन-अल्फा $(Ly-\alpha)$ रेखा के लिए,संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ है:
$\frac{1}{\lambda_{Ly-\alpha}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
बामर-अल्फा $(Ba-\alpha)$ रेखा के लिए,संक्रमण $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ है:
$\frac{1}{\lambda_{Ba-\alpha}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
अब,अनुपात $\frac{\lambda_{Ly-\alpha}}{\lambda_{Ba-\alpha}}$ की गणना करने पर:
$\frac{\lambda_{Ly-\alpha}}{\lambda_{Ba-\alpha}} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$.

(C) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रल रेखाओं की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ $R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3, 4, 5, \dots$
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य (न्यूनतम ऊर्जा) के लिए,हम $n_2 = 3$ लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
$\lambda_{\max} = \frac{36}{5R} \approx 6563 \,\mathring A$.
सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य (श्रेणी सीमा,अधिकतम ऊर्जा) के लिए,हम $n_2 = \infty$ लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{R}{4}$.
$\lambda_{\min} = \frac{4}{R} \approx 3647 \,\mathring A$.
अतः,तरंगदैर्ध्य $3647 \,\mathring A$ और $6563 \,\mathring A$ के बीच होती है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति $F = R c \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है और $c$ प्रकाश की गति है।
लाइमन श्रेणी की दूसरी रेखा के लिए $(n_f = 1, n_i = 3)$:
$F_1 = R c \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R c \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] \quad \dots (i)$
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए $(n_f = 2, n_i = 3)$:
$F_2 = R c \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R c \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$F_1 - F_2 = R c \left[ \left( 1 - \frac{1}{9} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) \right]$
$F_1 - F_2 = R c \left[ 1 - \frac{1}{4} \right]$
लाइमन श्रेणी की पहली रेखा की आवृत्ति $(n_f = 1, n_i = 2)$ है:
$F = R c \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R c \left[ 1 - \frac{1}{4} \right]$
अतः,लाइमन श्रेणी की पहली रेखा की आवृत्ति $F = F_1 - F_2$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की स्पेक्ट्रमी श्रेणियों को उस विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के क्षेत्र के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है जिसमें वे स्थित होती हैं:
$1$. लाइमन श्रेणी: पराबैंगनी (अल्ट्रावायलेट) क्षेत्र।
$2$. बामर श्रेणी: दृश्य क्षेत्र।
$3$. पाश्चन श्रेणी: अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र।
$4$. ब्रैकेट श्रेणी: अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र।
$5$. फंड श्रेणी: अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र।
अतः,पाश्चन,ब्रैकेट और फंड श्रेणियाँ अवरक्त क्षेत्र में स्थित होती हैं। इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(C) जब एक इलेक्ट्रॉन मुख्य क्वांटम संख्या $n$ वाली उत्तेजित अवस्था से मूल अवस्था में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन मुख्य क्वांटम संख्या $n = 5$ तक उत्तेजित होता है:
$N = \frac{5(5 - 1)}{2}$
$N = \frac{5 \times 4}{2}$
$N = \frac{20}{2} = 10$
अतः,प्रेक्षित कुल स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या $10$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की स्पेक्ट्रमी रेखाओं की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
लाइमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$ होता है। लाइमन श्रेणी की पहली रेखा $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ में संक्रमण के अनुरूप है।
$R \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ का उपयोग करते हुए,तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 1.097 \times 10^7 \times 0.75 \approx 8.2275 \times 10^6 \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
अतः,$\lambda \approx 1.215 \times 10^{-7} \ m = 121.5 \ nm$ है।
चूंकि तरंगदैर्ध्य $121.5 \ nm$ पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र में आती है,इसलिए यह लाइमन श्रेणी से संबंधित है।

(A) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र है: $\frac{1}{\lambda} = RZ^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$ है।
संक्रमण $1$,$n = 3$ से $n = 1$ तक है। अतः,$\frac{1}{\lambda_1} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = \frac{8R}{9}$।
संक्रमण $2$,$n = 2$ से $n = 1$ तक है। अतः,$\frac{1}{\lambda_2} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4}$।
अब,अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{\lambda_1}{1} \times \frac{1}{\lambda_2} = \left( \frac{9}{8R} \right) \times \left( \frac{3R}{4} \right) = \frac{27}{32}$।
दिया गया है कि $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{x}{32}$,इसलिए $\frac{x}{32} = \frac{27}{32}$।
अतः,$x = 27$ है।

(A) $H$-परमाणु में स्पेक्ट्रमी रेखाओं की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ है।
$H_\alpha$ रेखा के लिए,$n_2 = 3$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_{H_\alpha}} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = \frac{5R}{36}$ होता है।
$H_\beta$ रेखा के लिए,$n_2 = 4$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_{H_\beta}} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$ होता है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_{H_\alpha}}{\lambda_{H_\beta}} = \frac{\lambda_{H_\beta}^{-1}}{\lambda_{H_\alpha}^{-1}} = \frac{3R/16}{5R/36} = \frac{3}{16} \times \frac{36}{5} = \frac{3 \times 9}{4 \times 5} = \frac{27}{20}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{x}{20}$ से करने पर,हमें $x = 27$ प्राप्त होता है।

(C) स्पेक्ट्रल रेखाओं की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (श्रेणी सीमा) के लिए,$n_2 = \infty$ लें।
लायमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_L} = R Z^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R Z^2$।
दिया गया है $\lambda_L = 917 \mathring A$,इसलिए $R Z^2 = \frac{1}{917}$।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_B} = R Z^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{R Z^2}{4}$।
$R Z^2 = \frac{1}{917}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{\lambda_B} = \frac{1}{4 \times 917}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda_B = 4 \times 917 = 3668 \mathring A$।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2}\,eV$ द्वारा दी जाती है।
$n=1$ के लिए,$E_1 = -13.6\,eV$.
$n=2$ के लिए,$E_2 = -3.4\,eV$.
$n=3$ के लिए,$E_3 = -1.51\,eV$.
$n=4$ के लिए,$E_4 = -0.85\,eV$.
ग्राउंड स्टेट $(n=1)$ से $n$ वीं अवस्था में इलेक्ट्रॉन को उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_n - E_1$ है।
$n=2$ के लिए,$\Delta E = -3.4 - (-13.6) = 10.2\,eV$.
$n=3$ के लिए,$\Delta E = -1.51 - (-13.6) = 12.09\,eV$.
$n=4$ के लिए,$\Delta E = -0.85 - (-13.6) = 12.75\,eV$.
चूंकि आपतित इलेक्ट्रॉन बीम की ऊर्जा $12.5\,eV$ है,यह हाइड्रोजन परमाणुओं को $n=3$ अवस्था तक उत्तेजित कर सकता है,लेकिन $n=4$ अवस्था तक नहीं।
जब इलेक्ट्रॉन $n=3$ से $n=1$ में वापस आते हैं,तो संभावित संक्रमण $3 \to 2$,$2 \to 1$,और $3 \to 1$ हैं।
स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $N = \frac{n(n-1)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n=3$ के लिए,$N = \frac{3(3-1)}{2} = 3$.

(C) बामर श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य तब प्राप्त होती है जब इलेक्ट्रॉन $n = \infty$ से $n = 2$ में संक्रमण करता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{R}{4} \implies \lambda = \frac{4}{R}$.
ब्रैकेट श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य तब प्राप्त होती है जब इलेक्ट्रॉन $n = \infty$ से $n = 4$ में संक्रमण करता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{\lambda'} = R \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{R}{16} \implies \lambda' = \frac{16}{R}$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{16/R}{4/R} = \frac{16}{4} = 4$.
अतः,$\lambda' = 4\lambda$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु में उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
पाश्चन श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 3$ ऊर्जा स्तर पर होता है।
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य निकटतम ऊर्जा स्तर $n_2 = 4$ से होने वाले संक्रमण के अनुरूप होती है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{16 - 9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$.
अतः,$\lambda = \frac{144}{7R}$.
इसकी तुलना $\frac{\alpha}{7R}$ से करने पर,हमें $\alpha = 144$ प्राप्त होता है।

(A) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
लाइमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$ है।
प्रथम सदस्य $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ में संक्रमण के अनुरूप है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies R = \frac{4}{3\lambda}$.
दूसरा सदस्य $n_2 = 3$ से $n_1 = 1$ में संक्रमण के अनुरूप है:
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{8R}{9}$.
$\lambda'$ के समीकरण में $R = \frac{4}{3\lambda}$ रखने पर:
$\frac{1}{\lambda'} = \frac{8}{9} \times \left( \frac{4}{3\lambda} \right) = \frac{32}{27\lambda}$.
अतः,$\lambda' = \frac{27}{32} \lambda$ प्राप्त होता है।

(B) लायमन श्रेणी के लिए, सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $(\lambda_0)$ $n = \infty$ से $n = 1$ तक के संक्रमण के अनुरूप होती है।
फोटॉन की ऊर्जा $\frac{hc}{\lambda_0} = 13.6 \text{ eV} \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 13.6 \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\lambda_0 = 915 \text{ Å}$।
बामर श्रेणी के लिए, सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $(\lambda_1)$ $n = 3$ से $n = 2$ तक के संक्रमण के अनुरूप होती है।
फोटॉन की ऊर्जा $\frac{hc}{\lambda_1} = 13.6 \text{ eV} \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \text{ eV} \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \text{ eV} \times \frac{5}{36}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_0} = \frac{13.6}{13.6 \times \frac{5}{36}} = \frac{36}{5}$।
$\lambda_1 = \lambda_0 \times \frac{36}{5} = 915 \times \frac{36}{5} = 183 \times 36 = 6588 \text{ Å}$।

(A) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्घ्य के लिए रिडबर्ग सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
न्यूनतम तरंगदैर्घ्य के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1$ पर होता है।
लाइमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_L} = R (1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$.
इसलिए,$\lambda_L = \frac{1}{R}$.
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_B} = R (1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4}$.
इसलिए,$\lambda_B = \frac{4}{R}$.
बामर श्रेणी की न्यूनतम तरंगदैर्घ्य और लाइमन श्रेणी की न्यूनतम तरंगदैर्घ्य का अनुपात $\frac{\lambda_B}{\lambda_L} = \frac{4/R}{1/R} = 4: 1$ है।

(D) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
पाश्चन श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 3$ ऊर्जा स्तर पर होता है।
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य सबसे कम ऊर्जा अंतर के अनुरूप होती है,जो निकटतम उच्च ऊर्जा स्तर यानी $n_2 = 4$ से संक्रमण के दौरान होती है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R_H \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = R_H \left[ \frac{7}{144} \right]$
$\lambda = \frac{144}{7 R_H} = \frac{144}{7 \times 1.097 \times 10^7}$
$\lambda \approx 1.876 \times 10^{-6} \ m$.

(D) हाइड्रोजन परमाणु की ग्राउंड स्टेट की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \ eV$ होती है।
जब $10.2 \ eV$ की ऊर्जा प्रदान की जाती है,तो नया ऊर्जा स्तर $E_n = E_1 + 10.2 \ eV = -13.6 \ eV + 10.2 \ eV = -3.4 \ eV$ होता है।
चूंकि $E_n = -13.6/n^2 \ eV$,इसलिए $-3.4 = -13.6/n^2$,जिससे $n^2 = 4$ प्राप्त होता है,अतः $n = 2$ है।
इलेक्ट्रॉन पहली उत्तेजित अवस्था $(n = 2)$ में चला जाता है।
जब इलेक्ट्रॉन $n$ अवस्था से ग्राउंड स्टेट में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या $N = n(n-1)/2$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n = 2$ के लिए,$N = 2(2-1)/2 = 1$ है।
अतः,केवल $1$ स्पेक्ट्रमी रेखा उत्सर्जित होगी।

$(A)$ संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए, तरंगदैर्ध्य ऊर्जा के अंतर के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\lambda \propto \frac{1}{\Delta E}$.
जैसे-जैसे ऊर्जा का अंतर बढ़ता है, तरंगदैर्ध्य घटती जाती है।
बामर श्रेणी $(n_1=2)$ के लिए, ऊर्जा के अंतर इस प्रकार हैं:
$(\Delta E)_{3-2} < (\Delta E)_{4-2} < (\Delta E)_{5-2} < (\Delta E)_{6-2}$.
परिणामस्वरूप, तरंगदैर्ध्य निम्नलिखित क्रम का पालन करती हैं:
$\lambda_{3-2} > \lambda_{4-2} > \lambda_{5-2} > \lambda_{6-2}$.
मानों का मिलान करने पर:
$A$ ($n_2=3$ से $n_1=2$) $656.3 \, nm$ $(III)$ के अनुरूप है।
$B$ ($n_2=4$ से $n_1=2$) $486.1 \, nm$ $(IV)$ के अनुरूप है।
$C$ ($n_2=5$ से $n_1=2$) $434.1 \, nm$ $(II)$ के अनुरूप है।
$D$ ($n_2=6$ से $n_1=2$) $410.2 \, nm$ $(I)$ के अनुरूप है।
अतः, सही मिलान $A-III, B-IV, C-II, D-I$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ है।
पराबैंगनी क्षेत्र लाइमैन श्रेणी $(n_f = 1)$ के अनुरूप है। सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण के अनुरूप होती है,जो $n_i = 2$ से $n_f = 1$ है।
दिया गया है $\lambda_{max, UV} = 122 \ nm$,इसलिए $\frac{1}{122} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$।
अतः,$\frac{1}{R} = 122 \times \frac{3}{4} = 91.5 \ nm$।
अवरक्त क्षेत्र में पाशन श्रेणी $(n_f = 3)$,ब्रैकेट श्रेणी $(n_f = 4)$ और फंड श्रेणी $(n_f = 5)$ शामिल हैं। पूरे अवरक्त क्षेत्र में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य अधिकतम ऊर्जा संक्रमण के अनुरूप होती है,जो पाशन श्रेणी की सीमा ($n_f = 3$ से $n_i = \infty$) है।
$\frac{1}{\lambda_{min, IR}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{9}$।
$\lambda_{min, IR} = \frac{9}{R} = 9 \times 91.5 = 823.5 \ nm$।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $823 \ nm$ प्राप्त होता है। इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(A) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
हाइड्रोजन परमाणु की बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए $(Z=1, n_1=2, n_2=3)$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R (1)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_1 = \frac{36}{5R} = 6561 \mathring A$.
एकल-आयनित हीलियम परमाणु की बामर श्रेणी की दूसरी रेखा के लिए $(Z=2, n_1=2, n_2=4)$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R (2)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = 4R \left( \frac{3}{16} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right) \implies \lambda_2 = \frac{4}{3R}$.
$\lambda_2$ को $\lambda_1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$.
अतः,$\lambda_2 = \frac{5}{27} \times 6561 \mathring A = 1215 \mathring A$.

(B) के लिए: बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n=2$ स्तर पर होता है। सबसे लंबी तरंगदैर्घ्य $n=3 \to n=2$ के लिए और सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य $n=\infty \to n=2$ के लिए होती है।
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = R(\frac{5}{36}) \Rightarrow \lambda_{\max} = \frac{36}{5R}$.
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R(\frac{1}{2^2} - 0) = \frac{R}{4} \Rightarrow \lambda_{\min} = \frac{4}{R}$.
अनुपात $\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{36/5R}{4/R} = \frac{9}{5}$. कथन $(A)$ सही है।
$(B)$ के लिए: बामर श्रेणी की सीमा $[364.6 \ nm, 656.3 \ nm]$ है। पाश्चन श्रेणी की सीमा $[820.4 \ nm, 1875.1 \ nm]$ है। वे अतिव्यापित नहीं होती हैं। कथन $(B)$ गलत है।
$(C)$ के लिए: लाइमन श्रेणी के लिए,$\frac{1}{\lambda} = R(1 - \frac{1}{m^2})$ जहाँ $m=2, 3, \dots$ है। चूँकि $\frac{1}{\lambda_0} = R$,इसलिए $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_0}(1 - \frac{1}{m^2}) \Rightarrow \lambda = \frac{\lambda_0}{1 - 1/m^2}$. कथन $(C)$ सही है।
$(D)$ के लिए: लाइमन श्रेणी की सीमा $[91.2 \ nm, 121.6 \ nm]$ है। बामर श्रेणी की सीमा $[364.6 \ nm, 656.3 \ nm]$ है। वे अतिव्यापित नहीं होती हैं। कथन $(D)$ सही है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में संक्रमण के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
लायमैन श्रेणी के लिए,सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य $n_i = 2$ से $n_f = 1$ के संक्रमण के अनुरूप होती है:
$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_L = \frac{4}{3R}$.
बामर श्रेणी के लिए,सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य $n_i = 3$ से $n_f = 2$ के संक्रमण के अनुरूप होती है:
$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_B = \frac{36}{5R}$.
लायमैन श्रेणी की सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य और बामर श्रेणी की सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$.
अतः,अनुपात $5: 27$ है।

(B) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 2$ पर समाप्त होता है।
सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए,संक्रमण उच्चतम संभव ऊर्जा स्तर यानी $n_2 = \infty$ से होना चाहिए।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z = 1)$ के लिए इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right]$.
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,इसलिए: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{4} - 0 \right] = \frac{R}{4}$.
अतः,सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{4}{R}$ प्राप्त होती है।

(B) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
लाइमन श्रेणी के लिए,सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ के संक्रमण के संगत है। अतः,$\frac{1}{\lambda_{\text{Lyman}}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
बामर श्रेणी के लिए,सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ के संक्रमण के संगत है। अतः,$\frac{1}{\lambda_{\text{Balmer}}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_{\text{Lyman}}}{\lambda_{\text{Balmer}}} = \frac{5R/36}{3R/4} = \frac{5}{36} \times \frac{4}{3} = \frac{5}{27}$.

(A) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = RZ^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
चूंकि परमाणु समान है,$RZ^2$ स्थिर है,इसलिए $\frac{1}{\lambda} \propto \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$।
प्रथम संक्रमण ($n=5$ से $n=2$) के लिए: $\frac{1}{434} = k \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = k \left( \frac{21}{100} \right)$।
द्वितीय संक्रमण ($n=4$ से $n=2$) के लिए: $\frac{1}{x} = k \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = k \left( \frac{3}{16} \right)$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{x}{434} = \frac{21/100}{3/16} = \frac{21}{100} \times \frac{16}{3} = 1.12$।
अतः,$x = 434 \times 1.12 = 486.08 \ nm \approx 486 \ nm$।

(B) बामर श्रेणी उन संक्रमणों के अनुरूप है जहाँ अंतिम कक्षा $n_1 = 2$ है।
किसी भी स्पेक्ट्रल श्रेणी के लिए,$k$-वीं रेखा $n_2 = n_1 + k$ से होने वाले संक्रमण के अनुरूप होती है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ है।
तीसरी रेखा $(k = 3)$ $n_2 = 2 + 3 = 5$ से होने वाले संक्रमण के अनुरूप है।
अतः,यह संक्रमण $5^{th}$ बोहर कक्षा से $2^{nd}$ बोहर कक्षा के बीच होता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
पाश्चन श्रेणी की अंतिम रेखा के लिए,$n_1 = 3$ और $n_2 = \infty$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_P} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{9}$,जिससे $\lambda_P = \frac{9}{R}$ प्राप्त होता है।
बामर श्रेणी की अंतिम रेखा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = \infty$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4}$,जिससे $\lambda_B = \frac{4}{R}$ प्राप्त होता है।
पाश्चन श्रेणी की अंतिम रेखा और बामर श्रेणी की अंतिम रेखा की तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_P}{\lambda_B} = \frac{9/R}{4/R} = \frac{9}{4}$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रमी रेखा की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
आवृत्ति $f$ को $f = \frac{c}{\lambda} = Rc \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
बामर श्रेणी के प्रथम सदस्य के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ है। अतः,$f_1 = Rc \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = Rc \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5Rc}{36}$।
पाश्चन श्रेणी के प्रथम सदस्य के लिए,$n_1 = 3$ और $n_2 = 4$ है। अतः,$f_2 = Rc \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = Rc \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7Rc}{144}$।
आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{5Rc/36}{7Rc/144} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$ है।