Spectral Series of Hydrogen Atom Questions in Hindi

(C) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में संक्रमण के लिए तरंग दैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग स्थिरांक है।
लाइमन श्रेणी की अंतिम रेखा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = \infty$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$,जिससे $\lambda_L = \frac{1}{R}$ प्राप्त होता है।
बामर श्रेणी की अंतिम रेखा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = \infty$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4}$,जिससे $\lambda_B = \frac{4}{R}$ प्राप्त होता है।
तरंग दैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{1/R}{4/R} = \frac{1}{4} = 0.25$ है।

(D) $n_i$ से $n_f$ अवस्था में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
पराबैंगनी विकिरण लाइमन श्रेणी $(n_f = 1)$ के अनुरूप है।
दृश्य प्रकाश विकिरण बामर श्रेणी $(n_f = 2)$ के अनुरूप है।
अवरक्त विकिरण पाश्चन श्रेणी $(n_f = 3)$,ब्रैकेट श्रेणी $(n_f = 4)$ या फुंड श्रेणी $(n_f = 5)$ के अनुरूप है।
विकल्पों को देखने पर:
विकल्प $A$: $n=3$ से $n=1$ लाइमन श्रेणी (पराबैंगनी) है।
विकल्प $B$: $n=4$ से $n=2$ बामर श्रेणी (दृश्य) है।
विकल्प $C$: $n=6$ से $n=2$ बामर श्रेणी (दृश्य) है।
विकल्प $D$: $n=5$ से $n=3$ पाश्चन श्रेणी (अवरक्त) है।
अतः,अवरक्त विकिरण के लिए सही संक्रमण $n=5$ से $n=3$ है।

(C) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है,जहाँ $R$ रिडबर्ग स्थिरांक है।
पाश्चन श्रेणी के लिए,$n_1 = 3$ है। पहली रेखा के लिए $n_2 = 4$ होता है। अतः,$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$। इसलिए,$\lambda_1 = \frac{144}{7R}$।
ब्रैकेट श्रेणी के लिए,$n_1 = 4$ है। पहली रेखा के लिए $n_2 = 5$ होता है। अतः,$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} \right) = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{25-16}{400} \right) = \frac{9R}{400}$। इसलिए,$\lambda_2 = \frac{400}{9R}$।
अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{144}{7R} \times \frac{9R}{400} = \frac{144 \times 9}{7 \times 400} = \frac{1296}{2800} = \frac{81}{175}$।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति $v = R c Z^2 (1/n_f^2 - 1/n_i^2)$ द्वारा दी जाती है।
बामर श्रेणी सीमा के लिए,$n_f = 2$ और $n_i = \infty$,इसलिए $v_1 = R c (1/2^2 - 1/\infty^2) = R c / 4$।
पाश्चन श्रेणी सीमा के लिए,$n_f = 3$ और $n_i = \infty$,इसलिए $v_3 = R c (1/3^2 - 1/\infty^2) = R c / 9$।
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_f = 2$ और $n_i = 3$,इसलिए $v_2 = R c (1/2^2 - 1/3^2) = R c (1/4 - 1/9) = R c (5/36)$।
मानों की तुलना करने पर: $v_1 - v_3 = R c (1/4 - 1/9) = R c (5/36) = v_2$।
अतः,सही संबंध $v_1 - v_3 = v_2$ है।

(D) रिडबर्ग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
लाइमैन श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = 2$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4}$.
पाश्चन श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 3$ और $n_2 = 4$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = \frac{7R}{144}$.
अब,अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ की गणना करते हुए:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{1}{\lambda_1} \times \lambda_2 = \left( \frac{3R}{4} \right) \times \left( \frac{144}{7R} \right) = \frac{3 \times 36}{7} = \frac{108}{7}$.
अतः,$\lambda_2 : \lambda_1 = 108 : 7$.

(C) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$ है।
संक्रमण $1$ ($n_i = 3$ से $n_f = 1$) के लिए: $\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = \frac{8}{9} R$.
संक्रमण $2$ ($n_i = 2$ से $n_f = 1$) के लिए: $\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3}{4} R$.
दोनों तरंगदैर्ध्यों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1/\lambda_2}{1/\lambda_1} = \frac{\frac{3}{4} R}{\frac{8}{9} R} = \frac{3}{4} \times \frac{9}{8} = \frac{27}{32}$.
यह दिया गया है कि $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{x}{32}$,इसलिए $\frac{x}{32} = \frac{27}{32}$,जिसका अर्थ है कि $x = 27$.

(C) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को रिडबर्ग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right)$.
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य) के लिए,संक्रमण $m = \infty$ से श्रेणी की मूल अवस्था $n$ में होता है।
Lyman श्रेणी के लिए,$n = 1$ और $m = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \implies \lambda_{L} = \frac{1}{R}$.
Balmer श्रेणी के लिए,$n = 2$ और $m = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{B}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4} \implies \lambda_{B} = \frac{4}{R}$.
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{L}}{\lambda_{B}} = \frac{1/R}{4/R} = \frac{1}{4} = 0.25$ है।

(B) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
लाइमन श्रेणी के लिए,संक्रमण मूल अवस्था में होता है,इसलिए $n_1 = 1$ है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ के लिए,संक्रमण निकटतम ऊर्जा स्तर $n_2 = 2$ से होता है:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R \implies \lambda_{\max} = \frac{4}{3R}$।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ के लिए,संक्रमण उच्चतम ऊर्जा स्तर $n_2 = \infty$ से होता है:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R(1 - 0) = R \implies \lambda_{\min} = \frac{1}{R}$।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{4/3R}{1/R} = \frac{4}{3}$।

(C) बामर श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{R}{4}$.
अतः,$\lambda_B = \frac{4}{R}$.
पाशन श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य इस प्रकार है: $\frac{1}{\lambda_P} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{R}{9}$.
अतः,$\lambda_P = \frac{9}{R}$.
बामर श्रेणी की सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य और पाशन श्रेणी की सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_B}{\lambda_P} = \frac{4/R}{9/R} = \frac{4}{9}$.

(B) हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम में,लाइमैन श्रेणी पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र में आती है।
बामर श्रेणी दृश्य (visible) क्षेत्र में आती है।
पाश्चन,ब्रैकेट और फंड श्रेणियां अवरक्त (infrared) क्षेत्र में आती हैं।
इसलिए,सही उत्तर बामर श्रेणी है।

(A) बामर श्रेणी के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ बामर श्रेणी के लिए $n_1 = 2$ है।
श्रेणी सीमा के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से होता है।
इन मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{4}{R}$ है।
आवृत्ति $v$ प्रकाश के वेग $C$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से $v = \frac{C}{\lambda}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$\lambda$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $v = \frac{C}{4/R} = \frac{RC}{4}$।

(B) लायमन श्रेणी इलेक्ट्रॉनों के उच्च ऊर्जा स्तरों से मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में संक्रमण के अनुरूप होती है।
लायमन श्रेणी में सबसे कम ऊर्जा वाला फोटॉन प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n_2 = 2)$ से मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में संक्रमण के अनुरूप होता है।
इस संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 10.2 \text{ eV}$ दिया गया है।
ऊर्जा और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\lambda = \frac{1240 \text{ eV-nm}}{10.2 \text{ eV}}$.
$\lambda \approx 121.57 \text{ nm}$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर, $\lambda \approx 122 \text{ nm}$ प्राप्त होता है।

(A) पाश्चन श्रेणी के लिए,रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है,जहाँ $n_1 = 3$ और $n_2 = 4, 5, 6, \dots$
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ $n_2 = 4$ से $n_1 = 3$ के संक्रमण के लिए होती है:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144} \implies \lambda_{\max} = \frac{144}{7R}$
सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ $n_2 = \infty$ से $n_1 = 3$ के संक्रमण के लिए होती है:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - 0 \right) = \frac{R}{9} \implies \lambda_{\min} = \frac{9}{R}$
सबसे लंबी और सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{144/7R}{9/R} = \frac{144}{7 \times 9} = \frac{144}{63}$

(A) रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right]$,जहाँ $R_H$ रिडबर्ग नियतांक है।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ की बामर श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए: $n=2, m=\infty$। अतः,$\frac{1}{\lambda_1} = R_H (1)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - 0 \right] = \frac{R_H}{4}$,जिससे $\lambda_1 = \frac{4}{R_H}$ प्राप्त होता है।
हाइड्रोजन जैसे परमाणु की ब्रैकेट श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए: $n=4, m=\infty$। अतः,$\frac{1}{\lambda_2} = R_H Z^2 \left[ \frac{1}{4^2} - 0 \right] = \frac{R_H Z^2}{16}$,जिससे $\lambda_2 = \frac{16}{R_H Z^2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\lambda_1 = \lambda_2$,इसलिए $\frac{4}{R_H} = \frac{16}{R_H Z^2}$।
सरल करने पर,$Z^2 = \frac{16}{4} = 4$,अतः $Z = 2$।

(D) Rydberg के सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right)$.
Lyman श्रेणी की श्रेणी सीमा के लिए,$n=1, m=\infty$,इसलिए $\frac{1}{\lambda_1} = R(1 - 0) = R$.
Lyman श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n=1, m=2$,इसलिए $\frac{1}{\lambda_2} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
Balmer श्रेणी की श्रेणी सीमा के लिए,$n=2, m=\infty$,इसलिए $\frac{1}{\lambda_3} = R \left( \frac{1}{2^2} - 0 \right) = \frac{R}{4}$.
इन मानों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = R - \frac{3R}{4} = \frac{R}{4}$.
चूंकि $\frac{R}{4} = \frac{1}{\lambda_3}$,इसलिए हमें $\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_3}$ संबंध प्राप्त होता है।

(C) स्पेक्ट्रल श्रेणी के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ है। $2^{\text{nd}}$ रेखा $n_2 = 4$ से $n_1 = 2$ के संक्रमण के अनुरूप है।
$\frac{1}{\lambda_1} = R Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R Z^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R Z^2 \left( \frac{3}{16} \right)$.
अतः,$\lambda_1 = \frac{16}{3 R Z^2}$।
पाश्चन श्रेणी के लिए,$n_1 = 3$ है। $1^{\text{st}}$ रेखा $n_2 = 4$ से $n_1 = 3$ के संक्रमण के अनुरूप है।
$\frac{1}{\lambda_2} = R Z^2 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R Z^2 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R Z^2 \left( \frac{7}{144} \right)$.
अतः,$\lambda_2 = \frac{144}{7 R Z^2}$।
अनुपात लेने पर,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{16}{3 R Z^2} \right) \times \left( \frac{7 R Z^2}{144} \right) = \frac{16 \times 7}{3 \times 144} = \frac{7}{27}$।

(D) बामर श्रेणी की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ बामर श्रेणी के लिए $n_1 = 2$ है।
श्रेणी सीमा के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$।
आवृत्ति $v$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और प्रकाश के वेग $c$ से $v = \frac{c}{\lambda}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
आवृत्ति के सूत्र में $\frac{1}{\lambda} = \frac{R}{4}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $v = c \times \frac{R}{4} = \frac{Rc}{4}$।

(C) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
लाइमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$। सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण के संगत होती है,जो $n_2 = 2$ पर होती है।
$\frac{1}{\lambda_{\max(L)}} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{\max(L)} = \frac{4}{3R}$।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$। सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण के संगत होती है,जो $n_2 = 3$ पर होती है।
$\frac{1}{\lambda_{\max(B)}} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{9-4}{36} \right] = \frac{5R}{36} \implies \lambda_{\max(B)} = \frac{36}{5R}$।
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{\max(L)}}{\lambda_{\max(B)}} = \frac{4}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{4 \times 5}{3 \times 36} = \frac{20}{108} = \frac{5}{27}$ है।

(B) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
पराबैंगनी विकिरण लाइमन श्रेणी $(n_1 = 1)$ के अनुरूप है।
अवरक्त विकिरण पाश्चन श्रेणी $(n_1 = 3)$,ब्रैकेट श्रेणी $(n_1 = 4)$ या फुंड श्रेणी $(n_1 = 5)$ के अनुरूप है।
विकल्पों की तुलना करने पर:
$(A)$ $n=6$ से $n=2$ बामर श्रेणी (दृश्य प्रकाश) है।
$(B)$ $n=5$ से $n=3$ पाश्चन श्रेणी (अवरक्त) है।
$(C)$ $n=3$ से $n=5$ एक अवशोषण प्रक्रिया है,उत्सर्जन नहीं।
$(D)$ $n=4$ से $n=2$ बामर श्रेणी (दृश्य प्रकाश) है।
अतः,$n=5$ से $n=3$ का संक्रमण अवरक्त विकिरण प्रदान करता है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु के लिए तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
लाइमन श्रेणी के लिए,संक्रमण मूल अवस्था में होता है,इसलिए $n_1 = 1$ है।
लाइमन श्रेणी की पहली रेखा पहली उत्तेजित अवस्था से मूल अवस्था में होने वाले संक्रमण के अनुरूप है,इसलिए $n_2 = 2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$
$\bar{\nu} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right)$
$\bar{\nu} = R \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3 R}{4}$.

(B) बामर श्रेणी में दृश्य विकिरण की तरंग दैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{m^2} \right)$ जहाँ $m = 3, 4, 5, ...$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{m^2} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{m^2 - 4}{4 m^2} \right)$
$\lambda$ ज्ञात करने के लिए व्युत्क्रम लेने पर:
$\lambda = \frac{4 m^2}{R(m^2 - 4)}$
दिए गए समीकरण $\lambda = \frac{k m^2}{m^2 - 4}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$k = \frac{4}{R}$

(C) बामर श्रेणी में एक स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$ और $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
बामर श्रेणी के लिए,$n=2$ कक्षा में संक्रमण रेखा को निर्धारित करता है:
- $n=3$ से $n=2$ के लिए,हमें बामर श्रेणी की पहली रेखा प्राप्त होती है।
- $n=4$ से $n=2$ के लिए,हमें बामर श्रेणी की दूसरी रेखा प्राप्त होती है।
अतः,चौथी कक्षा से दूसरी कक्षा में संक्रमण बामर श्रेणी की दूसरी रेखा को दर्शाता है।

(A) तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 2$ ऊर्जा स्तर पर होता है।
स्पेक्ट्रल श्रेणी की अंतिम रेखा अनंत ऊर्जा स्तर से होने वाले संक्रमण के अनुरूप होती है,इसलिए $n_2 = \infty$ है।
मान रखने पर: $\bar{\nu} = 10^7 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)$.
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,हमें प्राप्त होता है: $\bar{\nu} = 10^7 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = 0.25 \times 10^7 \, m^{-1}$।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\bar{\nu} = 2.5 \times 10^6 \, m^{-1}$।

(D) इलेक्ट्रॉन प्रारंभ में तीसरी उत्तेजित अवस्था में है,जो मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ के अनुरूप है (क्योंकि मूल अवस्था $n = 1$ है,पहली उत्तेजित अवस्था $n = 2$ है,दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$ है,और तीसरी उत्तेजित अवस्था $n = 4$ है)।
जब इलेक्ट्रॉन एक उत्तेजित अवस्था $n$ से मूल अवस्था में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की अधिकतम संख्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
सूत्र में $n = 4$ रखने पर:
$N = \frac{4(4 - 1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$
अतः,उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की अधिकतम संख्या $6$ है।

(A) लाइमन श्रेणी की श्रेणी सीमा $n = \infty$ से $n = 1$ तक के संक्रमण के अनुरूप है। रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2})$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{\lambda_1} = R(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2}) = R$
बामर श्रेणी की श्रेणी सीमा $n = \infty$ से $n = 2$ तक के संक्रमण के अनुरूप है:
$\frac{1}{\lambda_3} = R(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2}) = \frac{R}{4}$
लाइमन श्रेणी की पहली रेखा $n = 2$ से $n = 1$ तक के संक्रमण के अनुरूप है:
$\frac{1}{\lambda_2} = R(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = R(1 - \frac{1}{4}) = R - \frac{R}{4}$
पिछले समीकरणों से $R$ और $\frac{R}{4}$ के मान रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_3}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_3}$

(D) स्पेक्ट्रल रेखा के लिए तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ है।
बामर श्रेणी की अंतिम रेखा $n_2 = \infty$ से $n_1 = 2$ तक के संक्रमण के अनुरूप है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$.
दिया गया है कि $R = 10^7 \ m^{-1}$,अतः $\bar{\nu} = \frac{10^7}{4} = 0.25 \times 10^7 \ m^{-1} = 25 \times 10^5 \ m^{-1}$.

(C) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3, 4, 5, \dots$ है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{max})$ संक्रमण $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ के लिए प्राप्त होती है:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_{max} = \frac{36}{5R}$.
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{min})$ संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1 = 2$ के लिए प्राप्त होती है:
$\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4} \implies \lambda_{min} = \frac{4}{R}$.
अधिकतम और न्यूनतम तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}} = \frac{36/5R}{4/R} = \frac{36}{5R} \times \frac{R}{4} = \frac{9}{5}$.

(C) Lyman श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $n = \infty$ से $n = 1$ के संक्रमण के लिए होती है:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R$
$\therefore \lambda_{L} = \frac{1}{R} = 912 \ \text{Å}$
Paschen श्रेणी में सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $n = 4$ से $n = 3$ के संक्रमण के लिए होती है:
$\frac{1}{\lambda_{P}} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = \frac{7R}{144}$
$\therefore \lambda_{P} = \frac{144}{7R}$
$\frac{1}{R} = 912 \ \text{Å}$ रखने पर:
$\lambda_{P} = \frac{144}{7} \times 912 \ \text{Å} \approx 18760 \ \text{Å}$

(B) हाइड्रोजन परमाणु की लाइमन श्रेणी मूल अवस्था $(n_f = 1)$ पर समाप्त होने वाले संक्रमणों के अनुरूप है,जिसके परिणामस्वरूप पराबैंगनी क्षेत्र में फोटॉन का उत्सर्जन होता है।
बामर श्रेणी दृश्य क्षेत्र में स्थित है।
पाश्चन,ब्रेकेट और फंड श्रेणियां अवरक्त (infrared) क्षेत्र में स्थित हैं।

(B) रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_{1} = 2$. श्रेणी सीमा $n_{2} = \infty$ पर प्राप्त होती है। अतः,$\frac{1}{\lambda_{1}} = R \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = \frac{R}{4}$,जिसका अर्थ है $\lambda_{1} = \frac{4}{R}$।
ब्रैकेट श्रेणी के लिए,$n_{1} = 4$. सबसे लंबी तरंग दैर्ध्य $n_{2} = 5$ पर प्राप्त होती है। अतः,$\frac{1}{\lambda_{2}} = R \left( \frac{1}{4^{2}} - \frac{1}{5^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{25 - 16}{400} \right) = \frac{9R}{400}$।
इसका अर्थ है $\lambda_{2} = \frac{400}{9R}$।
अब,अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{4}{R} \times \frac{9R}{400} = \frac{36}{400} = 0.09$।
अतः,$\lambda_{1} = 0.09 \lambda_{2}$।

(B) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
दिए गए समीकरण $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n_1 = 4$ प्राप्त होता है।
$n_1 = 4$ के अनुरूप स्पेक्ट्रल श्रृंखला ब्रैकेट श्रृंखला है।
ब्रैकेट श्रृंखला में संक्रमण उच्च ऊर्जा स्तरों $(n_2 = 5, 6, 7, \ldots)$ और $n_1 = 4$ स्तर के बीच होता है।
यह श्रृंखला विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र में स्थित है।

(B) हाइड्रोजन उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
किसी भी श्रेणी के लिए अधिकतम तरंगदैर्ध्य तब प्राप्त होती है जब ऊर्जा का अंतर न्यूनतम हो। यह $n_2 = n+1$ से $n_1 = n$ के संक्रमण के लिए होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right]$
$= R \left[ \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right]$
$= R \left[ \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right]$
$= \frac{R(2n+1)}{n^2(n+1)^2}$
अतः,अधिकतम तरंगदैर्ध्य है:
$\lambda_{\max} = \frac{n^2(n+1)^2}{R(2n+1)}$

(A) बामर श्रेणी के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ है,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$ है।
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n = 3$:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36} \implies R = \frac{36}{5\lambda}$।
बामर श्रेणी की दूसरी रेखा के लिए,$n = 4$:
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{4-1}{16} \right) = \frac{3R}{16}$।
पहले समीकरण से $R$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{\lambda'} = \frac{3}{16} \times \left( \frac{36}{5\lambda} \right) = \frac{3 \times 9}{4 \times 5 \lambda} = \frac{27}{20\lambda}$।
अतः,$\lambda' = \frac{20}{27} \lambda$।

(A) स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति $f = Rc \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
बामर श्रेणी की श्रेणी सीमा के लिए $(n_1=2, n_2=\infty)$: $f_1 = Rc \left( \frac{1}{2^2} - 0 \right) = \frac{Rc}{4}$।
पाश्चन श्रेणी की श्रेणी सीमा के लिए $(n_1=3, n_2=\infty)$: $f_3 = Rc \left( \frac{1}{3^2} - 0 \right) = \frac{Rc}{9}$।
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए $(n_1=2, n_2=3)$: $f_2 = Rc \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$।
$f_2$ के समीकरण में $f_1$ और $f_3$ के मान रखने पर:
$f_2 = \frac{Rc}{4} - \frac{Rc}{9} = f_1 - f_3$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $f_1 - f_2 = f_3$ प्राप्त होता है।

(B) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
प्रथम संक्रमण के लिए: इलेक्ट्रॉन दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 3)$ से पहली उत्तेजित अवस्था $(n_f = 2)$ में कूदता है।
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$. अतः,$\lambda = \frac{36}{5R}$.
दूसरे संक्रमण के लिए: इलेक्ट्रॉन तीसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 4)$ से दूसरी कक्षा $(n_f = 2)$ में कूदता है।
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right)$. अतः,$\lambda' = \frac{16}{3R}$.
हमें $\lambda' = \frac{20 \lambda}{x}$ दिया गया है। मान रखने पर:
$\frac{16}{3R} = \frac{20}{x} \cdot \frac{36}{5R} \implies \frac{16}{3} = \frac{20 \cdot 36}{5x} \implies \frac{16}{3} = \frac{4 \cdot 36}{x} \implies \frac{16}{3} = \frac{144}{x}$.
$x = \frac{144 \cdot 3}{16} = 9 \cdot 3 = 27$.

(B) अवधारणा: उत्सर्जित विद्युत चुम्बकीय विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R_{H} \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \quad \dots(1)$
उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $f$ और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध:
$f = \frac{c}{\lambda} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$f = c R_{H} \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
दिए गए मान: $c = 3 \times 10^8 \ m/s$,$R_{H} = 10^7 \ m^{-1}$,$n_1 = 2$,और $n_2 = 4$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f = (3 \times 10^8) \times 10^7 \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right)$
$f = 3 \times 10^{15} \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right)$
$f = 3 \times 10^{15} \times \left( \frac{4-1}{16} \right)$
$f = 3 \times 10^{15} \times \frac{3}{16}$
$f = \frac{9}{16} \times 10^{15} \ Hz$

(A) बामर श्रेणी के लिए तरंगदैर्घ्य का सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ है,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$
पहली रेखा के लिए,$n = 3$ लेने पर:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \Rightarrow \lambda_1 = \frac{36}{5R}$
ब्रैकेट श्रेणी के लिए तरंगदैर्घ्य का सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ है,जहाँ $n = 5, 6, 7, \dots$
पहली रेखा के लिए,$n = 5$ लेने पर:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{9}{400} \right) \Rightarrow \lambda_2 = \frac{400}{9R}$
अब,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{36}{5R} \times \frac{9R}{400} = \frac{324}{2000} = 0.162$

(A) बामर श्रेणी में स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$ और $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
बामर श्रेणी के लिए,$n = 2$ कक्षा में संक्रमण श्रेणी को परिभाषित करता है।
बामर श्रेणी की पहली रेखा $n = 3$ से $n = 2$ के संक्रमण के अनुरूप है।
बामर श्रेणी की दूसरी रेखा $n = 4$ से $n = 2$ के संक्रमण के अनुरूप है।
इसलिए,चौथी बोहर कक्षा से दूसरी बोहर कक्षा में संक्रमण बामर श्रेणी की दूसरी रेखा को दर्शाता है।

(D) रिडबर्ग के सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
प्रथम स्थिति में,इलेक्ट्रॉन $2^{\text{nd}}$ उत्तेजित अवस्था $(n_2 = 3)$ से $1^{\text{st}}$ उत्तेजित अवस्था $(n_1 = 2)$ में कूदता है:
$\frac{1}{\lambda_0} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
द्वितीय स्थिति में,इलेक्ट्रॉन $3^{\text{rd}}$ उत्तेजित अवस्था $(n_2 = 4)$ से $2^{\text{nd}}$ कक्षा $(n_1 = 2)$ में कूदता है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right)$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda}{\lambda_0} = \frac{R(5/36)}{R(3/16)} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{20}{27}$.
अतः,$\lambda = \frac{20}{27} \lambda_0$.
$\frac{20}{x} \lambda_0$ से तुलना करने पर,$x = 27$ प्राप्त होता है।

(D) पाश्चन श्रेणी के लिए,रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{n^2} \right]$ है,जहाँ $n = 4, 5, 6, \dots$
सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य ज्ञात करने के लिए,हम $n = \infty$ लेते हैं।
सूत्र में $n = \infty$ रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left[ \frac{1}{9} - 0 \right] = \frac{R}{9}$.
अतः,$\lambda_{\min} = \frac{9}{R}$.
रिडबर्ग नियतांक $R \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_{\min} = \frac{9}{1.097 \times 10^7} \approx 8.204 \times 10^{-7} \ m$.
नैनोमीटर में बदलने पर:
$\lambda_{\min} \approx 820.4 \ nm \approx 820 \ nm$.

(B) जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $n_2$ से निचली अवस्था $n_1$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित वर्णक्रमीय रेखाओं की संख्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$N = \frac{(n_2 - n_1 + 1)(n_2 - n_1)}{2}$
यहाँ,मूल अवस्था $n_1 = 1$ है और उत्तेजित अवस्था $n_2 = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$N = \frac{(4 - 1 + 1)(4 - 1)}{2}$
$N = \frac{(4)(3)}{2}$
$N = \frac{12}{2} = 6$
अतः,प्रेक्षित वर्णक्रमीय रेखाओं की कुल संख्या $6$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु में, एक इलेक्ट्रॉन अनंत संख्या के ऊर्जा स्तरों $(n = 1, 2, 3, \dots, \infty)$ में से किसी में भी रह सकता है।
जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर से निम्न ऊर्जा स्तर में संक्रमण करता है, तो वह एक स्पेक्ट्रमी रेखा के अनुरूप फोटॉन उत्सर्जित करता है।
चूंकि संभावित ऊर्जा स्तरों की संख्या अनंत है, इसलिए इन स्तरों के बीच संभावित संक्रमणों की संख्या भी अनंत है।
अतः, हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रमी रेखाओं की कुल संख्या अनंत $(\infty)$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु में दो कक्षाओं के बीच ऊर्जा का अंतर तरंग संख्या के लिए रिडबर्ग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
चूंकि आवृत्ति $f$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से $f = \frac{C}{\lambda}$ द्वारा संबंधित है,हम लिख सकते हैं $\frac{f}{C} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
आवृत्ति के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $f = RC \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
यहाँ $n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ दिया गया है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$f = RC \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = RC \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$.
भिन्न की गणना करने पर: $\frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9-4}{36} = \frac{5}{36}$.
अतः,उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $f = \frac{5RC}{36}$ है।

(A) स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति $v = RC \left[ \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right]$ द्वारा दी जाती है।
लाइमन श्रेणी की श्रेणी सीमा के लिए $(n_{1}=1, n_{2}=\infty)$: $v_{1} = RC \left[ 1 - \frac{1}{\infty} \right] = RC$.
लाइमन श्रेणी की पहली रेखा के लिए $(n_{1}=1, n_{2}=2)$: $v_{2} = RC \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3}{4} RC$.
बामर श्रेणी की श्रेणी सीमा के लिए $(n_{1}=2, n_{2}=\infty)$: $v_{3} = RC \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{RC}{4}$.
इन मानों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $v_{1} - v_{2} = RC - \frac{3}{4} RC = \frac{1}{4} RC = v_{3}$.
अतः,$v_{1} - v_{2} = v_{3}$.

(B) हाइड्रोजन परमाणु की स्पेक्ट्रमी रेखाओं को उस विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के क्षेत्र के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है जिसमें वे स्थित होती हैं:
$1$. लायमन श्रेणी: पराबैंगनी (Ultraviolet) क्षेत्र
$2$. बामर श्रेणी: दृश्य (Visible) क्षेत्र
$3$. पाश्चन श्रेणी: अवरक्त (Infrared) क्षेत्र
$4$. ब्रैकेट श्रेणी: अवरक्त (Infrared) क्षेत्र
$5$. फंड श्रेणी: अवरक्त (Infrared) क्षेत्र
इस वर्गीकरण से यह स्पष्ट है कि बामर श्रेणी विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में स्थित है।

(A) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right)$ है।
यहाँ,अंतिम अवस्था मूल अवस्था है,इसलिए $n_{f} = 1$,और प्रारंभिक उत्तेजित अवस्था $n_{i} = n$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{n^{2}} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{n^{2}} \right)$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{\lambda R} = 1 - \frac{1}{n^{2}}$.
इसका अर्थ है $\frac{1}{n^{2}} = 1 - \frac{1}{\lambda R} = \frac{\lambda R - 1}{\lambda R}$.
व्युत्क्रम और वर्गमूल लेने पर,हमें $n = \sqrt{\frac{\lambda R}{\lambda R - 1}}$ प्राप्त होता है।

(C) $n_2$ से $n_1$ में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = hc / \lambda$ द्वारा दी जाती है। ऊर्जा तब सबसे कम होती है जब संक्रमण निकटतम ऊर्जा स्तरों के बीच होता है।
लाइमैन श्रेणी के लिए, संक्रमण $n_1 = 1$ पर होता है। सबसे कम ऊर्जा वाला फोटॉन $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ के संक्रमण के अनुरूप होता है।
ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 13.6 \text{ eV} \times (1/n_1^2 - 1/n_2^2) = 13.6 \times (1/1^2 - 1/2^2) = 13.6 \times (3/4) = 10.2 \text{ eV}$ है।
संबंध $\lambda = hc / \Delta E$ का उपयोग करते हुए:
$\lambda = 1240 \text{ eV nm} / 10.2 \text{ eV} \approx 121.57 \text{ nm} \approx 122 \text{ nm}$.

(D) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में पाँच मुख्य स्पेक्ट्रमी श्रेणियाँ होती हैं: लाइमन,बामर,पाशन,ब्रैकेट और फंड।
$1$. लाइमन श्रेणी पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र में स्थित होती है।
$2$. बामर श्रेणी दृश्य (visible) क्षेत्र में स्थित होती है।
$3$. पाशन,ब्रैकेट और फंड श्रेणियाँ अवरक्त (infrared) क्षेत्र में स्थित होती हैं।
अतः,बामर श्रेणी सही उत्तर है।