Spectral Series of Hydrogen Atom Questions in Hindi

(C) ब्रैकेट श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_2$ से $n_1 = 4$ में होता है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य (न्यूनतम ऊर्जा) के लिए,संक्रमण निकटतम ऊर्जा स्तर यानी $n_2 = 5$ से होना चाहिए।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} \right) = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{25 - 16}{400} \right) = R \left( \frac{9}{400} \right)$.
अतः,$\lambda_{\max} = \frac{400}{9R}$.
यहाँ $R \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ लेने पर,$\lambda_{\max} = \frac{400}{9 \times 1.097 \times 10^7} \approx 4.05 \times 10^{-6} \ m = 40500 \ \mathring A$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $40400 \ \mathring A$ है।

(C) ब्रैकेट श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य के लिए,इलेक्ट्रॉन $n_2 = \infty$ से $n_1 = 4$ कक्षा में संक्रमण करता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
$n_1 = 4$ और $n_2 = \infty$ रखने पर:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R \left[ \frac{1}{16} - 0 \right] = \frac{R}{16}$.
अतः,$\lambda = \frac{16}{R}$.
रिडबर्ग नियतांक $R \approx 1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}$ लेने पर,
$\lambda = \frac{16}{1.097 \times 10^7} \approx 14.58 \times 10^{-7} \, \text{m} = 1.458 \times 10^{-6} \, \text{m} \approx 1.46 \, \mu\text{m}$.

(D) लाइमन श्रेणी के लिए,अधिकतम तरंगदैर्ध्य $n = 2$ से $n = 1$ के संक्रमण के लिए प्राप्त होती है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
अतः,$(\lambda_L)_{\max} = \frac{4}{3R}$.
बामर श्रेणी के लिए,अधिकतम तरंगदैर्ध्य $n = 3$ से $n = 2$ के संक्रमण के लिए प्राप्त होती है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
अतः,$(\lambda_B)_{\max} = \frac{36}{5R}$.
अनुपात $\frac{(\lambda_L)_{\max}}{(\lambda_B)_{\max}} = \frac{4}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{4 \times 5}{3 \times 36} = \frac{20}{108} = \frac{5}{27}$ है।

(C) तरंगदैर्घ्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
यहाँ $\lambda = 975 \, \mathring{A} = 975 \times 10^{-10} \, m$ और $R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ है।
मूल अवस्था के लिए $n_1 = 1$ लेने पर:
$\frac{1}{975 \times 10^{-10}} = 1.097 \times 10^7 \left[ 1 - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
$0.911 \times 10^7 = 1.097 \times 10^7 \left[ 1 - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
$0.83 = 1 - \frac{1}{n_2^2} \implies \frac{1}{n_2^2} = 0.17 \implies n_2^2 \approx 5.88 \approx 16 \implies n_2 = 4$.
जब इलेक्ट्रॉन $n$ अवस्था से मूल अवस्था में आता है,तो उत्सर्जित वर्णक्रमीय रेखाओं की संख्या $N = \frac{n(n-1)}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 4$ के लिए,$N = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
संभव संक्रमण: $4 \to 3, 4 \to 2, 4 \to 1, 3 \to 2, 3 \to 1, 2 \to 1$ हैं।

(B) उत्सर्जित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र है: $\frac{1}{\lambda} = R\left[ {\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}} \right]$।
$n = 3$ से $n = 2$ संक्रमण के लिए:
$\frac{1}{{\lambda _0}} = R\left[ {\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}} \right] = R\left[ {\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \right] = \frac{5}{36}R$ ---$(i)$
$n = 4$ से $n = 2$ संक्रमण के लिए:
$\frac{1}{{\lambda '}} = R\left[ {\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}} \right] = R\left[ {\frac{1}{4} - \frac{1}{16}} \right] = \frac{3}{16}R$ ---(ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda '}{{\lambda _0}} = \frac{5R}{36} \times \frac{16}{3R} = \frac{5 \times 16}{36 \times 3} = \frac{80}{108} = \frac{20}{27}$।
अतः,$\lambda ' = \frac{20}{27}{\lambda _0}$।

(C) जब एक इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ से उत्तेजित अवस्था $(n_2 = 3)$ में जाता है,तो वह फोटॉन उत्सर्जित करके वापस मूल अवस्था में लौटता है।
जब इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $n_2$ से निचली अवस्था $n_1$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या इस सूत्र द्वारा दी जाती है:
$N = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$
यहाँ,$n_2 = 3$ और $n_1 = 1$ है।
मान रखने पर:
$N = \frac{(3 - 1)(3 - 1 + 1)}{2}$
$N = \frac{2 \times 3}{2} = 3$
संभावित संक्रमण इस प्रकार हैं:
$1$. $n = 3 \rightarrow n = 2$
$2$. $n = 3 \rightarrow n = 1$
$3$. $n = 2 \rightarrow n = 1$
अतः,कुल स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या $3$ है।

(C) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में स्पेक्ट्रल लाइनों की तरंगदैर्घ्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
पाश्चन श्रेणी के लिए,$n_1 = 3$ और $n_2 = 4, 5, 6, \dots$ है।
पहली तरंगदैर्घ्य (अधिकतम तरंगदैर्घ्य) $n_2 = 4$ से $n_1 = 3$ में संक्रमण के अनुरूप है:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$.
अतः,$\lambda_{\max} = \frac{144}{7R} = 18,800 \, \mathring A$.
न्यूनतम तरंगदैर्घ्य (श्रेणी सीमा) $n_2 = \infty$ से $n_1 = 3$ में संक्रमण के अनुरूप है:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{9}$.
अतः,$\lambda_{\min} = \frac{9}{R}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_{\min}}{\lambda_{\max}} = \frac{9/R}{144/7R} = \frac{9}{R} \times \frac{7R}{144} = \frac{63}{144} = \frac{7}{16}$.
इस प्रकार,$\lambda_{\min} = \frac{7}{16} \times \lambda_{\max} = \frac{7}{16} \times 18,800 = 8,225 \, \mathring A$.

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में संक्रमण के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
लाइमन श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = 2$:
$\frac{1}{\lambda_{L_1}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{L_1} = \frac{4}{3R}$.
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3$:
$\frac{1}{\lambda_{B_1}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_{B_1} = \frac{36}{5R}$.
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{L_1}}{\lambda_{B_1}} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$ है।

(C) जब एक इलेक्ट्रॉन एक उत्तेजित अवस्था $n$ से मूल अवस्था में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित वर्णक्रमीय रेखाओं की संख्या $N = \frac{n(n-1)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $N = 6$ दिया गया है,इसलिए $\frac{n(n-1)}{2} = 6$,जिसका अर्थ है $n^2 - n - 12 = 0$। इस द्विघात समीकरण को हल करने पर,हमें $(n-4)(n+3) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $n = 4$ है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_i - E_f = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$,तरंग दैर्ध्य $\lambda$ तब अधिकतम होती है जब ऊर्जा का अंतर $\Delta E$ न्यूनतम होता है।
$n=4$ से संभावित संक्रमण हैं: $(4 \to 3), (4 \to 2), (4 \to 1), (3 \to 2), (3 \to 1), (2 \to 1)$।
ऊर्जा अंतराल की तुलना करने पर,संक्रमण $n=4 \to n=3$ में ऊर्जा का अंतर सबसे कम है,और इसलिए यह उत्सर्जित विकिरण की अधिकतम तरंग दैर्ध्य के अनुरूप है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए लाइमैन श्रेणी की पहली रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4}$
परमाणु संख्या $Z$ वाले हाइड्रोजन जैसे आयन के लिए बामर श्रेणी की दूसरी रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{\lambda'} = R Z^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R Z^2 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = R Z^2 \left[ \frac{4-1}{16} \right] = \frac{3 R Z^2}{16}$
प्रश्न के अनुसार,$\lambda = \lambda'$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda'}$:
$\frac{3R}{4} = \frac{3 R Z^2}{16}$
दोनों पक्षों को $\frac{3R}{4}$ से विभाजित करने पर:
$1 = \frac{Z^2}{4}$
$Z^2 = 4$
$Z = 2$
अतः,हाइड्रोजन जैसे आयन की परमाणु संख्या $2$ है।

(D) संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
पराबैंगनी $(UV)$ विकिरण उच्च ऊर्जा संक्रमणों (लाइमैन श्रेणी) के अनुरूप है,जबकि अवरक्त $(IR)$ विकिरण कम ऊर्जा संक्रमणों (पाशन,ब्रैकेट या फंड श्रेणी) के अनुरूप है।
अवरक्त विकिरण प्राप्त करने के लिए,ऊर्जा का अंतर $n=3$ से $n=1$ के संक्रमण की तुलना में काफी कम होना चाहिए।
आइए संक्रमणों का मूल्यांकन करें:
$1. 2 \to 1$: यह लाइमैन श्रेणी का हिस्सा है,जो $UV$ क्षेत्र में है।
$2. 3 \to 1$: यह भी लाइमैन श्रेणी का हिस्सा है,जो $UV$ क्षेत्र में है।
$3. 4 \to 2$: यह बामर श्रेणी का हिस्सा है,जो दृश्य क्षेत्र में है।
$4. 4 \to 3$: यह पाशन श्रेणी का हिस्सा है,जो अवरक्त $(IR)$ क्षेत्र के अनुरूप है।
चूंकि दिए गए विकल्पों में $4 \to 3$ के लिए ऊर्जा का अंतर सबसे कम है,इसलिए यह सबसे लंबी तरंग दैर्ध्य के अनुरूप है,जो अवरक्त क्षेत्र में आती है।

(A) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में स्पेक्ट्रल रेखाओं की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
लाइमैन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$। सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य सबसे कम ऊर्जा संक्रमण के संगत होती है,जो $n_2 = 2$ है।
$\frac{1}{\lambda_L} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4} \implies \lambda_L = \frac{4}{3R}$.
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$। सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य सबसे कम ऊर्जा संक्रमण के संगत होती है,जो $n_2 = 3$ है।
$\frac{1}{\lambda_B} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{9-4}{36} \right] = \frac{5R}{36} \implies \lambda_B = \frac{36}{5R}$.
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य का अनुपात:
$\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{4 \times 5}{3 \times 36} = \frac{20}{108} = \frac{5}{27}$.

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$hc \approx 12400 \; \text{eV} \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करने पर,हमें $E = \frac{12400}{975} \approx 12.75 \; \text{eV}$ प्राप्त होता है।
हाइड्रोजन परमाणु के ऊर्जा स्तर $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \; \text{eV}$ द्वारा दिए जाते हैं।
ग्राउंड स्टेट $(n=1)$ के लिए,$E_1 = -13.6 \; \text{eV}$ है।
फोटॉन को अवशोषित करने के बाद,नया ऊर्जा स्तर $E_n = E_1 + E = -13.6 + 12.75 = -0.85 \; \text{eV}$ है।
चूंकि $E_n = -\frac{13.6}{n^2} = -0.85 \; \text{eV}$,इसलिए $n^2 = \frac{13.6}{0.85} = 16$,अर्थात $n = 4$ है।
इलेक्ट्रॉन $n = 4$ स्तर में उत्तेजित हो जाता है।
जब इलेक्ट्रॉन $n$ स्तर से ग्राउंड स्टेट में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $\frac{n(n-1)}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 4$ के लिए,स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $\frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ है।

(A) लायमन श्रेणी में स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\lambda_{L}} = R\left(\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{n^{2}}\right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 2, 3, 4, \dots$ है।
लायमन श्रेणी में सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य के लिए,हम $n = 2$ लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R\left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{L} = \frac{4}{3R}$।
बामर श्रेणी में स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\lambda_{B}} = R\left(\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{n^{2}}\right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$ है।
बामर श्रेणी में सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य के लिए,हम $n = 3$ लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{B}} = R\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = R\left(\frac{9-4}{36}\right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_{B} = \frac{36}{5R}$।
लायमन श्रेणी की सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य और बामर श्रेणी की सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_{L}}{\lambda_{B}} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{5}{27}$।

(B) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लिए तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 2$ पर समाप्त होता है।
बामर श्रेणी की अंतिम रेखा $n_2 = \infty$ से $n_1 = 2$ तक के संक्रमण के अनुरूप है।
दिया गया है $R = 10^7 \, m^{-1}$,मान रखने पर:
$\bar{\nu} = 10^7 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 10^7 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{10^7}{4} = 0.25 \times 10^7 \, m^{-1}$.

(A) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right)$ है।
$n_i = 3$ से $n_f = 2$ के संक्रमण के लिए:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
$n_i = 4$ से $n_f = 3$ के संक्रमण के लिए:
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{5R/36}{7R/144} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$.
अतः,$\lambda' = \frac{20}{7}\lambda$.

(C) पराबैंगनी क्षेत्र (लाइमैन श्रेणी) में सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ के संक्रमण के लिए होती है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda_{0}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R$.
अतः,$R = \frac{4}{3 \lambda_{0}}$.
अवरक्त क्षेत्र (पाशन श्रेणी) में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $n_2 = \infty$ से $n_1 = 3$ के संक्रमण के लिए होती है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} \right) = \frac{R}{9}$.
$R = \frac{4}{3 \lambda_{0}}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{\lambda'} = \frac{1}{9} \times \frac{4}{3 \lambda_{0}} = \frac{4}{27 \lambda_{0}}$.
इसलिए,$\lambda' = \frac{27}{4} \lambda_{0}$.

(B) बामर श्रेणी की अंतिम रेखा की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda_{B}} = R \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = \frac{R}{4}$
$\lambda_{B} = \frac{4}{R}$
लाइमन श्रेणी की अंतिम रेखा की तरंगदैर्ध्य इस प्रकार है:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = R$
$\lambda_{L} = \frac{1}{R}$
दोनों तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_{B}}{\lambda_{L}} = \frac{4/R}{1/R} = 4$
अतः,अनुपात $4$ है.

(B) उत्सर्जित विकिरण की तरंग दैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए लाइमन श्रेणी की श्रेणी सीमा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = \infty$ लेने पर:
$\frac{1}{\lambda_L} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty} \right] = R$.
अतः,$\lambda_L = \frac{1}{R}$.
हाइड्रोजन-समान परमाणु (परमाणु संख्या $Z$) के लिए बामर श्रेणी की श्रेणी सीमा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = \infty$ लेने पर:
$\frac{1}{\lambda_B} = R Z^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{R Z^2}{4}$.
अतः,$\lambda_B = \frac{4}{R Z^2}$.
दिया गया है कि श्रेणी सीमाएं समान हैं,इसलिए $\lambda_L = \lambda_B$:
$\frac{1}{R} = \frac{4}{R Z^2} \Rightarrow Z^2 = 4 \Rightarrow Z = 2$.

$(A)$ आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = e V_{0} = E - \phi_{0}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है, $V_{0}$ निरोधी विभव है, और $\phi_{0}$ कार्य फलन है।
दिया गया है: $V_{0} = 10.4 \ V$ और $\phi_{0} = 1.7 \ eV$.
अतः, $E = e V_{0} + \phi_{0} = 10.4 \ eV + 1.7 \ eV = 12.1 \ eV$.
हाइड्रोजन परमाणु में ऊर्जा स्तर $n_{i}$ से $n_{f}$ तक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right) \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$n = 3$ से $n = 1$ के संक्रमण के लिए:
$\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{3^{2}} \right) = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \times \frac{8}{9} \approx 12.09 \ eV \approx 12.1 \ eV$.
इसलिए, $n = 3$ से $n = 1$ का संक्रमण आपतित फोटॉनों की ऊर्जा के अनुरूप है।

(B) $n^{th}$ उत्तेजित अवस्था मुख्य क्वांटम संख्या $N = n + 1$ के अनुरूप होती है।
जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $N$ से निचले ऊर्जा स्तरों में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित कुल स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $\frac{N(N - 1)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
इस सूत्र में $N = n + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
रेखाओं की संख्या $= \frac{(n + 1)((n + 1) - 1)}{2} = \frac{(n + 1)n}{2}$।
यह व्यंजक प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के बराबर है: $1 + 2 + 3 + \dots + n$।

(A) कमरे के तापमान पर,हाइड्रोजन परमाणु अपनी मूल अवस्था (ground state) में होते हैं,जहाँ इलेक्ट्रॉन $n = 1$ ऊर्जा स्तर में होता है।
जब विकिरण गैस से गुजरता है,तो परमाणु केवल उन फोटॉनों को अवशोषित कर सकते हैं जो इलेक्ट्रॉन को $n = 1$ से उच्च ऊर्जा स्तरों $(n = 2, 3, 4, \dots)$ में उत्तेजित करने के लिए पर्याप्त ऊर्जा प्रदान करते हैं।
$n = 1$ से किसी भी उच्च ऊर्जा स्तर $(n > 1)$ तक के संक्रमण अवशोषण स्पेक्ट्रम में लाइमन श्रेणी के अनुरूप होते हैं।
चूंकि कमरे के तापमान पर $n = 2$ या उससे उच्च स्तर में कोई इलेक्ट्रॉन नहीं होता है,इसलिए बामर श्रेणी (जिसके लिए $n = 2$ से संक्रमण की आवश्यकता होती है) के अनुरूप कोई अवशोषण रेखाएं नहीं देखी जाएंगी।
इसलिए,केवल लाइमन श्रेणी ही देखी जाती है।

(D) ऊर्जा स्तरों $n_i$ और $n_f$ के बीच संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 Z^2 (\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
पराबैंगनी विकिरण उच्च ऊर्जा संक्रमणों (लाइमैन श्रेणी) के अनुरूप है,जबकि अवरक्त विकिरण कम ऊर्जा संक्रमणों (पाशन,ब्रैकेट,या फंड श्रेणी) के अनुरूप है।
यह दिया गया है कि इस परमाणु के लिए $n=4 \rightarrow n=3$ संक्रमण से पराबैंगनी विकिरण प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि ऊर्जा अंतराल $\Delta E_{4 \rightarrow 3}$ काफी बड़ा है।
अवरक्त विकिरण प्राप्त करने के लिए,हमें $\Delta E_{4 \rightarrow 3}$ की तुलना में बहुत कम ऊर्जा अंतराल वाले संक्रमण की आवश्यकता है।
विकल्पों की तुलना करने पर:
$(A)$ $2 \rightarrow 1$: यह निचले ऊर्जा स्तरों के बीच का संक्रमण है,जिसके परिणामस्वरूप $4 \rightarrow 3$ की तुलना में बड़ा ऊर्जा अंतराल होता है।
$(B)$ $3 \rightarrow 2$: यह भी निचले ऊर्जा स्तरों के बीच का संक्रमण है,जिसके परिणामस्वरूप $4 \rightarrow 3$ की तुलना में बड़ा ऊर्जा अंतराल होता है।
$(C)$ $4 \rightarrow 2$: इसमें क्वांटम संख्याओं में बड़ा अंतर है,जिसके परिणामस्वरूप बड़ा ऊर्जा अंतराल होता है।
$(D)$ $5 \rightarrow 4$: यह संक्रमण उच्च ऊर्जा स्तरों के बीच होता है जहाँ क्रमिक स्तरों के बीच ऊर्जा का अंतर बहुत कम होता है। अतः,$5 \rightarrow 4$ में सबसे कम ऊर्जा अंतराल होगा और यह अवरक्त विकिरण उत्पन्न करेगा।

(B) जब एक इलेक्ट्रॉन $n$ मुख्य क्वांटम संख्या वाली उत्तेजित अवस्था से निचले ऊर्जा स्तरों में संक्रमण करता है,तो संभावित स्पेक्ट्रल रेखाओं की कुल संख्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
यह दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन $n = 4$ अवस्था में उत्तेजित है,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$N = \frac{4(4 - 1)}{2}$
$N = \frac{4 \times 3}{2}$
$N = \frac{12}{2} = 6$
अतः,उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की कुल संख्या $6$ है।

(C) संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $h\nu = E_n - E_m$ द्वारा दी जाती है।
श्रेणी सीमा के लिए,इलेक्ट्रॉन $n = \infty$ से श्रेणी की मूल अवस्था में संक्रमण करता है।
लाइमन श्रेणी के लिए,मूल अवस्था $n_1 = 1$ है। अतः,$h\nu_L = E_{\infty} - E_1 = 0 - E_1 = -E_1$.
फंड श्रेणी के लिए,मूल अवस्था $n_5 = 5$ है। अतः,$h\nu_f = E_{\infty} - E_5 = 0 - E_5 = -E_5$.
चूंकि $E_n = \frac{E_1}{n^2}$,इसलिए $E_5 = \frac{E_1}{5^2} = \frac{E_1}{25}$।
इस मान को $\nu_f$ के व्यंजक में रखने पर:
$h\nu_f = -\left(\frac{E_1}{25}\right) = \frac{-E_1}{25}$।
चूंकि $h\nu_L = -E_1$,इसलिए हमें $h\nu_f = \frac{h\nu_L}{25}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\nu_f = \frac{\nu_L}{25}$।

(A) हाइड्रोजन-समान परमाणु के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र रिडबर्ग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
हाइड्रोजन $(Z=1)$ के लिए लाइमन श्रेणी की लघुतम तरंगदैर्ध्य के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = \infty$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_L} = R (1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$.
हाइड्रोजन-समान परमाणु $(Z)$ के लिए बामर श्रेणी की लघुतम तरंगदैर्ध्य के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = \infty$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_B} = R Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \frac{Z^2}{4}$.
यह दिया गया है कि $\lambda_L = \lambda_B$,इसलिए $\frac{1}{\lambda_L} = \frac{1}{\lambda_B}$.
अतः,$R = R \frac{Z^2}{4}$,जिसका अर्थ है $Z^2 = 4$.
$Z$ के लिए हल करने पर,हमें $Z = 2$ प्राप्त होता है।

(B) बामर श्रेणी की स्पेक्ट्रमी रेखाएं दृश्य सीमा में होती हैं।
ये रेखाएं किसी भी उच्च ऊर्जा स्तर $(n > 2)$ से $n = 2$ अवस्था में इलेक्ट्रॉन के संक्रमण के कारण प्राप्त होती हैं।
दिए गए चित्र के अनुसार,शामिल ऊर्जा स्तर $n = 1$ से $n = 7$ तक हैं।
इसलिए,$n = 2$ अवस्था में संभावित संक्रमण $n = 3, 4, 5, 6, \text{ और } 7$ से होते हैं।
यह दृश्य सीमा में कुल $5$ संभावित उत्सर्जन रेखाएं देता है $(3$ $\rightarrow 2, 4$ $\rightarrow 2, 5$ $\rightarrow 2, 6$ $\rightarrow 2, 7$ $\rightarrow 2)$।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की स्पेक्ट्रल श्रेणी इलेक्ट्रॉन संक्रमण के अंतिम ऊर्जा स्तर $(n_f)$ द्वारा निर्धारित की जाती है।
$1$. $n_f = 1$ पर संक्रमण लायमन श्रेणी में परिणामित होते हैं।
$2$. $n_f = 2$ पर संक्रमण बामर श्रेणी में परिणामित होते हैं।
$3$. $n_f = 3$ पर संक्रमण पाश्चन श्रेणी में परिणामित होते हैं।
इस मामले में,इलेक्ट्रॉन $n_i = 4$ से $n_f = 2$ में संक्रमण करता है। चूंकि अंतिम अवस्था $n_f = 2$ है,इसलिए यह उत्सर्जन बामर श्रेणी का हिस्सा है।
बामर श्रेणी की रेखाएं $n_i = 3, 4, 5, ...$ से $n_f = 2$ तक के संक्रमण द्वारा परिभाषित होती हैं:
- पहली रेखा $n_i = 3$ से $n_f = 2$ के संक्रमण के लिए है।
- दूसरी रेखा $n_i = 4$ से $n_f = 2$ के संक्रमण के लिए है।
अतः,$n=4$ से $n=2$ का संक्रमण बामर श्रेणी की दूसरी रेखा को दर्शाता है।

(A) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = RZ^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ है।
दिए गए परमाणु के लिए $R$ और $Z$ स्थिर हैं,इसलिए $\frac{1}{\lambda} \propto \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ प्राप्त होता है।
प्रथम संक्रमण ($n=5$ से $n=2$) के लिए: $\frac{1}{434} = k \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = k \left( \frac{21}{100} \right)$.
द्वितीय संक्रमण ($n=4$ से $n=2$) के लिए: $\frac{1}{x} = k \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = k \left( \frac{3}{16} \right)$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{x}{434} = \frac{21/100}{3/16} = \frac{21}{100} \times \frac{16}{3} = 1.12$.
अतः,$x = 434 \times 1.12 = 486.08 \, nm \approx 486 \, nm$.

(C) ऊर्जा स्तरों $n_2$ और $n_1$ के बीच संक्रमण के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)$.
$Li^{2+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है,इसलिए $Z^2 = 9$.
$\frac{1}{\lambda_{32}} = R(9) \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) = 9R \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = 9R \left(\frac{5}{36}\right) = \frac{5R}{4} \implies \lambda_{32} = \frac{4}{5R}$.
$\frac{1}{\lambda_{31}} = R(9) \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}\right) = 9R \left(1 - \frac{1}{9}\right) = 9R \left(\frac{8}{9}\right) = 8R \implies \lambda_{31} = \frac{1}{8R}$.
$\frac{1}{\lambda_{21}} = R(9) \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) = 9R \left(1 - \frac{1}{4}\right) = 9R \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{27R}{4} \implies \lambda_{21} = \frac{4}{27R}$.
अब,अनुपात की गणना करने पर:
$\frac{\lambda_{32}}{\lambda_{31}} = \frac{4/5R}{1/8R} = \frac{4}{5} \times 8 = \frac{32}{5} = 6.4$.
$\frac{\lambda_{21}}{\lambda_{31}} = \frac{4/27R}{1/8R} = \frac{4}{27} \times 8 = \frac{32}{27} \approx 1.185 \approx 1.2$.
अतः,अनुपात $6.4$ और $1.2$ हैं।

(C) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ है।
पहली बामर रेखा के लिए $(n_i = 3, n_f = 2)$: $\frac{1}{660} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36}$ .... $(1)$
दूसरी बामर रेखा के लिए $(n_i = 4, n_f = 2)$: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = \frac{3R}{16}$ .... $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda}{660} = \frac{5R/36}{3R/16} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{80}{108} = \frac{20}{27}$
$\lambda = 660 \times \frac{20}{27} = \frac{13200}{27} \approx 488.88\,nm \approx 488.9\,nm$.

(B) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
बामर श्रेणी के लिए,पहली रेखा $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ के संक्रमण के अनुरूप है।
चूंकि दोनों परमाणुओं के लिए संक्रमण समान है,इसलिए पद $\left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ स्थिर रहेगा।
अतः,$\frac{1}{\lambda} \propto Z^2$,जिसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$।
हाइड्रोजन $(Z_H = 1)$ के लिए,$\lambda_H = \lambda$ है।
द्वि-आयनित लिथियम $(Z_{Li} = 3)$ के लिए,$\lambda_{Li} = \lambda_H \times \left( \frac{Z_H}{Z_{Li}} \right)^2$ होगा।
$\lambda_{Li} = \lambda \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{\lambda}{9}$।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में संक्रमण के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
लाइमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$। सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ तक के संक्रमण के अनुरूप है:
$\frac{1}{\lambda_{Lyman}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{Lyman} = \frac{4}{3R}$.
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$। सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ तक के संक्रमण के अनुरूप है:
$\frac{1}{\lambda_{Balmer}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_{Balmer} = \frac{36}{5R}$.
लाइमन श्रेणी की सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य और बामर श्रेणी की सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_{Lyman}}{\lambda_{Balmer}} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{27}$.

(A) बामर श्रेणी के लिए,रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ है,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$
प्रथम रेखा (अधिकतम तरंगदैर्घ्य) के लिए,$n = 3$: $\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
दूसरी रेखा के लिए,$n = 4$: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{4-1}{16} \right) = \frac{3R}{16}$.
अतः,$\lambda = \frac{16}{3R}$.

(A) Lyman श्रेणी की सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1 = 1$ तक होता है।
Rydberg सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R = \frac{1}{91.2 \, nm}$।
Lyman श्रेणी की सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य के लिए,संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ तक होता है।
Rydberg सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R$।
$R = \frac{1}{91.2 \, nm}$ को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{91.2 \, nm}$।
$\lambda_{max} = \frac{4}{3} \times 91.2 \, nm = 121.6 \, nm$।

(B) लाइमन श्रेणी उच्च ऊर्जा स्तरों से मूल अवस्था $(n_f = 1)$ में संक्रमण के अनुरूप है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
सबसे कम ऊर्जा वाला फोटॉन सबसे कम ऊर्जा अंतर के अनुरूप होता है,जो पहली उत्तेजित अवस्था $(n_i = 2)$ से मूल अवस्था $(n_f = 1)$ में संक्रमण के लिए होता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
अतः,$\lambda = \frac{4}{3R}$.
$R \approx 1.097 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$ का उपयोग करने पर,$\lambda = \frac{4}{3 \times 1.097 \times 10^7} \approx 1.216 \times 10^{-7} \text{ m} = 121.6 \text{ nm}$.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $122 \text{ nm}$ प्राप्त होता है।

(A) लाइमन श्रेणी उन संक्रमणों के अनुरूप है जहाँ अंतिम अवस्था $n_f = 1$ है। तरंगदैर्घ्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,जहाँ $R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ है।
सबसे लंबी तरंगदैर्घ्य (न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण) के लिए,हम $n_i = 2$ लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
$\lambda_{\max} = \frac{4}{3R} \approx 1213 \, \mathring{A}$.
सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य (अधिकतम ऊर्जा संक्रमण) के लिए,हम $n_i = \infty$ लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$.
$\lambda_{\min} = \frac{1}{R} \approx 910 \, \mathring{A}$.
अतः,सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य $910 \, \mathring{A}$ और सबसे लंबी $1213 \, \mathring{A}$ है।

(A) बामर श्रेणी के लिए तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right]$,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$
अधिकतम तरंगदैर्ध्य के लिए $(n=3)$:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{5}{36} \right]$
$\lambda_{\max} = \frac{36}{5R} \approx 6563 \, \mathring{A}$
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य के लिए $(n \to \infty)$:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left[ \frac{1}{4} - 0 \right] = \frac{R}{4}$
$\lambda_{\min} = \frac{4}{R} \approx 3646 \, \mathring{A}$
$3646 \, \mathring{A}$ से $6563 \, \mathring{A}$ की सीमा विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में आती है। अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(A) रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
लाइमन श्रेणी के लिए,निम्नतम अवस्था $n_{1} = 1$ है।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य) के लिए,$n_{2} = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = R \implies \lambda_{min} = \frac{1}{R}$.
अधिकतम तरंगदैर्ध्य (सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य) के लिए,$n_{2} = 2$:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{max} = \frac{4}{3R}$.
न्यूनतम और अधिकतम तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{min}}{\lambda_{max}} = \frac{1/R}{4/3R} = \frac{3}{4}$ है।
अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण लाइमन श्रेणी के संक्रमणों की सही व्याख्या करता है।

(A) रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
लाइमन श्रेणी के लिए,मूल अवस्था $n_1 = 1$ है।
न्यूनतम तरंगदैर्घ्य (सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य) के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1 = 1$ तक होता है:
$\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \implies \lambda_{min} = \frac{1}{R}$.
अधिकतम तरंगदैर्घ्य (सबसे लंबी तरंगदैर्घ्य) के लिए,संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ तक होता है:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{max} = \frac{4}{3R}$.
न्यूनतम और अधिकतम तरंगदैर्घ्य का अनुपात $\frac{\lambda_{min}}{\lambda_{max}} = \frac{1/R}{4/3R} = \frac{3}{4}$ है।
कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण लाइमन श्रेणी की उत्पत्ति की सही व्याख्या करता है।

(C) बामर श्रेणी के लिए,रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_{H} \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{n^{2}} \right)$ है,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$ है।
प्रथम सदस्य के लिए $n = 3$ लेने पर: $\frac{1}{\lambda_{1}} = R_{H} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R_{H} \left( \frac{5}{36} \right)$.
दूसरे सदस्य के लिए $n = 4$ लेने पर: $\frac{1}{\lambda_{2}} = R_{H} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R_{H} \left( \frac{3}{16} \right)$.
अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} = \frac{5/36}{3/16} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{20}{27}$.
यहाँ $\lambda_{1} = 6561 \; \mathring{A}$ दिया गया है,इसलिए $\lambda_{2} = \frac{20}{27} \times 6561 = 4860 \; \mathring{A}$.
नैनोमीटर में बदलने पर: $4860 \; \mathring{A} = 486 \; nm$.

रीडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_H \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ है।
लाइमैन श्रेणी के लिए,अंतिम ऊर्जा स्तर $n_f = 1$ है। पहली चार स्पेक्ट्रल रेखाएं $n_i = 2, 3, 4, 5$ से $n_f = 1$ तक के संक्रमणों के अनुरूप हैं।
$\lambda = \frac{1}{R_H \left( 1 - \frac{1}{n_i^2} \right)} = \frac{n_i^2}{R_H (n_i^2 - 1)}$ का उपयोग करते हुए:
$1$. $n_i = 2$ के लिए: $\lambda_{21} = \frac{4}{1.097 \times 10^7 (3)} \approx 1.216 \times 10^{-7} \, m = 1216 \, \mathring{A}$.
$2$. $n_i = 3$ के लिए: $\lambda_{31} = \frac{9}{1.097 \times 10^7 (8)} \approx 1.026 \times 10^{-7} \, m = 1026 \, \mathring{A}$.
$3$. $n_i = 4$ के लिए: $\lambda_{41} = \frac{16}{1.097 \times 10^7 (15)} \approx 0.972 \times 10^{-7} \, m = 972 \, \mathring{A}$.
$4$. $n_i = 5$ के लिए: $\lambda_{51} = \frac{25}{1.097 \times 10^7 (24)} \approx 0.950 \times 10^{-7} \, m = 950 \, \mathring{A}$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रमी रेखाओं की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
पाश्चन श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 3$ ऊर्जा स्तर पर होता है।
सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य उच्चतम ऊर्जा स्तर से होने वाले संक्रमण के अनुरूप होती है,अर्थात $n_2 = \infty$।
रिडबर्ग नियतांक $R \approx 1.097 \times 10^7 \;m^{-1}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{1}{9}$
$\lambda = \frac{9}{1.097 \times 10^7} \approx 8.204 \times 10^{-7} \;m = 820.4 \;nm$।
दिए गए संदर्भ के अनुसार ऊर्जा रूपांतरण कारक $13.6 \;eV = 21.76 \times 10^{-19} \;J$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{hc}{\lambda} = 21.76 \times 10^{-19} \left( \frac{1}{3^2} - 0 \right)$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8 \times 9}{21.76 \times 10^{-19}} \approx 8.22 \times 10^{-7} \;m = 822 \;nm$।
दिए गए विकल्पों में से,$818.9 \;nm$ सबसे निकटतम मान है।

(A) इलेक्ट्रॉन बीम की ऊर्जा $12.5\; eV$ है। हाइड्रोजन की मूल अवस्था ऊर्जा $E_1 = -13.6\; eV$ है।
बमबारी करने पर,हाइड्रोजन परमाणु उत्तेजित अवस्था $E_n = E_1 + 12.5\; eV = -13.6 + 12.5 = -1.1\; eV$ तक पहुँचने के लिए ऊर्जा को अवशोषित कर सकता है।
सूत्र $E_n = -13.6 / n^2$ का उपयोग करते हुए,हमें $n^2 = -13.6 / -1.1 \approx 12.36$ मिलता है,जिसका अर्थ है $n \approx 3.5$। अतः,इलेक्ट्रॉन $n = 3$ स्तर तक उत्तेजित हो सकता है।
$n = 3$ से डी-एक्साइटेशन के दौरान,संभावित संक्रमण $n = 3 \to 2$,$n = 2 \to 1$,और $n = 3 \to 1$ हैं।
$1$. $n = 3 \to 1$ (लाइमैन श्रृंखला) के लिए: $\frac{1}{\lambda} = R_y (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) = 1.097 \times 10^7 \times \frac{8}{9} \implies \lambda \approx 102.6\; nm$.
$2$. $n = 2 \to 1$ (लाइमैन श्रृंखला) के लिए: $\frac{1}{\lambda} = R_y (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = 1.097 \times 10^7 \times \frac{3}{4} \implies \lambda \approx 121.6\; nm$.
$3$. $n = 3 \to 2$ (बामर श्रृंखला) के लिए: $\frac{1}{\lambda} = R_y (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = 1.097 \times 10^7 \times \frac{5}{36} \implies \lambda \approx 656.3\; nm$.
इस प्रकार,लाइमैन और बामर दोनों श्रृंखलाओं की तरंग दैर्ध्य उत्सर्जित होती हैं।

(N/A) प्रत्येक तत्व अपने तापमान के आधार पर अलग-अलग तरंगदैर्ध्य का विकिरण उत्सर्जित करता है। इसलिए,प्रत्येक तत्व के पास उत्सर्जित विकिरण का एक विशिष्ट स्पेक्ट्रम होता है।
जब किसी परमाण्विक गैस या वाष्प को कम दबाव पर विद्युत धारा प्रवाहित करके उत्तेजित किया जाता है,तो उत्सर्जित विकिरण के स्पेक्ट्रम में केवल कुछ विशिष्ट तरंगदैर्ध्य ही मौजूद होते हैं। इस प्रकार के स्पेक्ट्रम को उत्सर्जन रेखा स्पेक्ट्रम कहा जाता है।
परमाण्विक हाइड्रोजन का उत्सर्जन रेखा स्पेक्ट्रम चित्र में दर्शाया गया है।
किसी भी गैस के उत्सर्जन रेखा स्पेक्ट्रम का अध्ययन उस गैस की पहचान करने के लिए किया जाता है।
जब श्वेत प्रकाश किसी गैस से होकर गुजरता है,तो हम पाते हैं कि संचरित प्रकाश में कुछ विशिष्ट तरंगदैर्ध्य अनुपस्थित होते हैं,जो उस परमाणु की विशेषता हैं। इस प्रकार,संचरित प्रकाश के स्पेक्ट्रम में कुछ काली रेखाएँ दिखाई देती हैं। इन काली रेखाओं द्वारा निर्मित स्पेक्ट्रम को गैस के पदार्थ का अवशोषण स्पेक्ट्रम कहा जाता है।

(N/A) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रल श्रेणी हाइड्रोजन परमाणुओं द्वारा उत्सर्जित विद्युत चुम्बकीय विकिरण की उन असतत तरंग दैर्ध्यों का समूह है,जो तब उत्पन्न होती हैं जब इलेक्ट्रॉन विभिन्न ऊर्जा स्तरों के बीच संक्रमण करते हैं। जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर $(n_i)$ से निम्न ऊर्जा स्तर $(n_f)$ में कूदता है,तो $E = E_{n_i} - E_{n_f} = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ ऊर्जा का एक फोटॉन उत्सर्जित होता है।
तरंग दैर्ध्य $\lambda$ को रिडबर्ग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक $(1.097 \times 10^7 \ m^{-1})$ है।
मुख्य श्रेणियाँ इस प्रकार हैं:
$1$. लाइमन श्रेणी: $n_f = 1$,$n_i = 2, 3, 4, \dots$ (पराबैंगनी क्षेत्र)।
$2$. बामर श्रेणी: $n_f = 2$,$n_i = 3, 4, 5, \dots$ (दृश्य क्षेत्र)।
$3$. पाशन श्रेणी: $n_f = 3$,$n_i = 4, 5, 6, \dots$ (अवरक्त क्षेत्र)।
$4$. ब्रैकेट श्रेणी: $n_f = 4$,$n_i = 5, 6, 7, \dots$ (अवरक्त क्षेत्र)।
$5$. फंड श्रेणी: $n_f = 5$,$n_i = 6, 7, 8, \dots$ (अवरक्त क्षेत्र)।

(N/A) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में देखी जाने वाली विभिन्न श्रेणियाँ इस प्रकार हैं:
$1$. लाइमन श्रेणी: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,जहाँ $n = 2, 3, 4, \dots$
$2$. बामर श्रेणी: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$
$3$. पाशन श्रेणी: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,जहाँ $n = 4, 5, 6, \dots$
$4$. ब्रैकेट श्रेणी: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,जहाँ $n = 5, 6, 7, \dots$
$5$. फंड श्रेणी: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{5^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,जहाँ $n = 6, 7, 8, \dots$
तरंग संख्या $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda}$ के लिए सामान्य रिडबर्ग सूत्र है:
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक $(1.097 \times 10^7 \ m^{-1})$ है,$n_1$ निचली ऊर्जा स्तर है और $n_2$ उच्च ऊर्जा स्तर है $(n_2 > n_1)$.