જો $Z = 7x + y$ માટે શરતો $5x + y \geq 5$,$x + y \geq 3$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ હોય,તો $Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

એક પ્રકારની કેક બનાવવા માટે $200 \,g$ મેંદો અને $25 \,g$ ચરબીની જરૂર પડે છે,અને બીજા પ્રકારની કેક બનાવવા માટે $100 \,g$ મેંદો અને $50 \,g$ ચરબીની જરૂર પડે છે. જો કેક બનાવવા માટે વપરાતી અન્ય સામગ્રીની કોઈ અછત ન હોય,તો $5 \,kg$ મેંદા અને $1 \,kg$ ચરબીમાંથી બનાવી શકાતી કેકની મહત્તમ સંખ્યા શોધો.

એક આહાર નિષ્ણાત બે પ્રકારના ખોરાકને એવી રીતે મિશ્ર કરવા માંગે છે કે મિશ્રણમાં ઓછામાં ઓછા $8$ એકમ વિટામિન $A$ અને $10$ એકમ વિટામિન $C$ હોય. ખોરાક $'I'$ માં $2$ એકમ/કિગ્રા વિટામિન $A$ અને $1$ એકમ/કિગ્રા વિટામિન $C$ છે. ખોરાક $'II'$ માં $1$ એકમ/કિગ્રા વિટામિન $A$ અને $2$ એકમ/કિગ્રા વિટામિન $C$ છે. ખોરાક $'I'$ ખરીદવા માટે રૂ. $50$ પ્રતિ કિગ્રા અને ખોરાક $'II'$ ખરીદવા માટે રૂ. $70$ પ્રતિ કિગ્રા ખર્ચ થાય છે. આ મિશ્રણનો ખર્ચ ઘટાડવા માટે આ સમસ્યાને સુરેખ આયોજન સમસ્યા તરીકે દર્શાવો.

એક ઉત્પાદન એકમ તાંબુ અને પિત્તળને જોડીને એક ખાસ પ્રકારની મેટલ ચિપ બનાવે છે. ચિપનું પ્રમાણભૂત વજન ઓછામાં ઓછું $5 \text{ gms}$ હોવું જોઈએ. મૂળભૂત ઘટકો,એટલે કે તાંબુ અને પિત્તળ,અનુક્રમે $₹8$ અને $₹5$ પ્રતિ $\text{gm}$ છે. ટકાઉપણું ધ્યાનમાં લેતા,મેટલ ચિપમાં $4 \text{ gms}$ થી વધુ પિત્તળ ન હોવું જોઈએ અને ઓછામાં ઓછું $2 \text{ gms}$ તાંબુ હોવું જોઈએ. તો,ઉપરની શરતોને સંતોષતી મેટલ ચિપની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી છે?

અસમતાઓ $x-y \geqslant 0$,$x-5y \leqslant -5$,$x \geqslant 0$,$y \geqslant 0$ માટે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ આકૃતિ દ્વારા દર્શાવેલ છે:

એક ડાયેટિશિયન બે ખોરાક $P$ અને $Q$ નો ઉપયોગ કરીને ખાસ આહાર તૈયાર કરે છે. ખોરાક $P$ ના દરેક પેકેટ $(30 \, g)$ માં $12$ એકમ કેલ્શિયમ,$4$ એકમ આયર્ન,$6$ એકમ કોલેસ્ટ્રોલ અને $6$ એકમ વિટામિન $A$ હોય છે. ખોરાક $Q$ ના દરેક પેકેટમાં $3$ એકમ કેલ્શિયમ,$20$ એકમ આયર્ન,$4$ એકમ કોલેસ્ટ્રોલ અને $3$ એકમ વિટામિન $A$ હોય છે. આહારમાં ઓછામાં ઓછા $240$ એકમ કેલ્શિયમ,ઓછામાં ઓછા $460$ એકમ આયર્ન અને વધુમાં વધુ $300$ એકમ કોલેસ્ટ્રોલની જરૂર છે. આહારમાં વિટામિન $A$ નું પ્રમાણ મહત્તમ કરવા માટે દરેક ખોરાકના કેટલા પેકેટનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ? આહારમાં વિટામિન $A$ નું મહત્તમ પ્રમાણ કેટલું છે?