Integration by substitution Questions in Hindi

(A) माना $t = 1 + \sin 6x$ है।
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $dt = 6 \cos 6x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\cos 6x \, dx = \frac{1}{6} \, dt$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \cos 6x \sqrt{1+\sin 6x} \, dx = \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{6} \, dt$
$= \frac{1}{6} \int t^{\frac{1}{2}} \, dt$
$= \frac{1}{6} \left( \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right) + C$
$= \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$
$= \frac{1}{9} (1 + \sin 6x)^{\frac{3}{2}} + C$

(A) हमारे पास $\int \frac{(x^{4}-x)^{\frac{1}{4}}}{x^{5}} dx = \int \frac{[x^{4}(1-\frac{1}{x^{3}})]^{\frac{1}{4}}}{x^{5}} dx = \int \frac{x(1-\frac{1}{x^{3}})^{\frac{1}{4}}}{x^{5}} dx = \int \frac{(1-\frac{1}{x^{3}})^{\frac{1}{4}}}{x^{4}} dx$ है।
माना $t = 1 - \frac{1}{x^{3}} = 1 - x^{-3}$।
तब $dt = -(-3)x^{-4} dx = \frac{3}{x^{4}} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x^{4}} = \frac{dt}{3}$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\int \frac{t^{\frac{1}{4}}}{3} dt = \frac{1}{3} \int t^{\frac{1}{4}} dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,हमें $\frac{1}{3} \times \frac{t^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C = \frac{1}{3} \times \frac{4}{5} t^{\frac{5}{4}} + C = \frac{4}{15} t^{\frac{5}{4}} + C$ प्राप्त होता है।
$t = 1 - \frac{1}{x^{3}}$ वापस रखने पर,हमें $\frac{4}{15}(1-\frac{1}{x^{3}})^{\frac{5}{4}} + C$ प्राप्त होता है।

(NONE) माना $I = \int \frac{\sin 2x \cos 2x \, dx}{\sqrt{9-\cos^{4}(2x)}}$ है।
$t = \cos^{2}(2x)$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब,$dt = 2 \cos(2x) \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 \, dx = -4 \sin(2x) \cos(2x) \, dx$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\sin(2x) \cos(2x) \, dx = -\frac{1}{4} dt$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-\frac{1}{4} dt}{\sqrt{9-t^{2}}} = -\frac{1}{4} \int \frac{dt}{\sqrt{3^{2}-t^{2}}}$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{1}{4} \sin^{-1}\left(\frac{t}{3}\right) + C$।
$t = \cos^{2}(2x)$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{4} \sin^{-1}\left(\frac{\cos^{2}(2x)}{3}\right) + C$।

माना $I = \int \frac{1}{x \sqrt{ax - x^{2}}} dx$.
$x = \frac{a}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{a}{t^{2}} dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकल में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{\frac{a}{t} \sqrt{a \cdot \frac{a}{t} - \left(\frac{a}{t}\right)^{2}}} \left(-\frac{a}{t^{2}} dt\right)$
$I = \int \frac{1}{\frac{a}{t} \sqrt{\frac{a^{2}}{t} - \frac{a^{2}}{t^{2}}}} \left(-\frac{a}{t^{2}} dt\right)$
$I = \int \frac{1}{\frac{a}{t} \cdot \frac{a}{t} \sqrt{t - 1}} \left(-\frac{a}{t^{2}} dt\right)$
$I = -\int \frac{1}{\sqrt{t - 1}} dt$
$I = -2 \sqrt{t - 1} + C$
$t = \frac{a}{x}$ वापस रखने पर:
$I = -2 \sqrt{\frac{a}{x} - 1} + C = -2 \sqrt{\frac{a - x}{x}} + C$.

$I = \int \frac{1}{x^{2}\left(x^{4}+1\right)^{\frac{3}{4}}} dx$ का समाकलन करने के लिए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिखते हैं।
$x^{-3}$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \int \frac{x^{-3}}{x^{2} x^{-3}\left(x^{4}+1\right)^{\frac{3}{4}}} dx = \int \frac{x^{-3}}{x^{-1}\left(x^{4}+1\right)^{\frac{3}{4}}} dx$
व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$I = \int \frac{x^{-3}}{\left(x^{4}\left(1+\frac{1}{x^{4}}\right)\right)^{\frac{3}{4}}} dx = \int \frac{x^{-3}}{x^{3} \left(1+\frac{1}{x^{4}}\right)^{\frac{3}{4}}} dx = \int x^{-6} \left(1+\frac{1}{x^{4}}\right)^{-\frac{3}{4}} dx$
माना $u = 1 + \frac{1}{x^{4}}$. तब $du = -4x^{-5} dx$,जिसका अर्थ है $x^{-5} dx = -\frac{du}{4}$.
$I = -\frac{1}{4} \int u^{-3/4} du = -\frac{1}{4} \left( \frac{u^{1/4}}{1/4} \right) + C = -u^{1/4} + C$
$u$ का मान वापस रखने पर:
$I = -\left(1+\frac{1}{x^{4}}\right)^{\frac{1}{4}} + C$

माना $x = t^{6}$,तब $dx = 6t^{5} dt$ है।
समाकल में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{x^{1/2} + x^{1/3}} dx = \int \frac{6t^{5}}{t^{3} + t^{2}} dt$
$= \int \frac{6t^{5}}{t^{2}(t + 1)} dt = 6 \int \frac{t^{3}}{t + 1} dt$
बहुपद विभाजन करने पर,$\frac{t^{3}}{t + 1} = t^{2} - t + 1 - \frac{1}{t + 1}$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकल इस प्रकार होगा:
$6 \int (t^{2} - t + 1 - \frac{1}{t + 1}) dt = 6 [\frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{2}}{2} + t - \log|t + 1|] + C$
$= 2t^{3} - 3t^{2} + 6t - 6 \log|t + 1| + C$
चूंकि $t = x^{1/6}$ है,मान वापस रखने पर:
$= 2x^{1/2} - 3x^{1/3} + 6x^{1/6} - 6 \log|x^{1/6} + 1| + C$

$I = \int \frac{\sin x}{\sin (x-a)} dx$ का समाकलन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे।
माना $t = x-a$,जिसका अर्थ है $x = t+a$ और $dx = dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{\sin (t+a)}{\sin t} dt$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin t \cos a + \cos t \sin a}{\sin t} dt$
प्रत्येक पद को $\sin t$ से विभाजित करने पर:
$I = \int (\cos a + \cot t \sin a) dt$
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \cos a \int dt + \sin a \int \cot t dt$
$I = t \cos a + \sin a \ln |\sin t| + C_1$
$t = x-a$ वापस रखने पर:
$I = (x-a) \cos a + \sin a \ln |\sin (x-a)| + C_1$
$I = x \cos a - a \cos a + \sin a \ln |\sin (x-a)| + C_1$
चूंकि $-a \cos a$ एक स्थिरांक है,इसे $C_1$ के साथ जोड़कर एक नया स्थिरांक $C$ प्राप्त किया जा सकता है:
$I = x \cos a + \sin a \ln |\sin (x-a)| + C$

(B) फलन $\int \frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin ^{2} x}} dx$ का समाकलन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $\sin x = t$ है।
तब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\cos x dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int \frac{dt}{\sqrt{2^2 - t^2}}$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 2$ और $x = t$ है,हमें प्राप्त होता है:
$\sin^{-1}(\frac{t}{2}) + C$।
$t = \sin x$ वापस रखने पर,अंतिम परिणाम है:
$\sin^{-1}(\frac{\sin x}{2}) + C$।

(A) $\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{8}}} dx$ का समाकलन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे।
माना $t = x^{4}$ है।
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dt}{dx} = 4x^{3}$,जिसका अर्थ है कि $x^{3} dx = \frac{1}{4} dt$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-(x^{4})^{2}}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} \cdot \frac{1}{4} dt$
$= \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} dt$
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} dt = \sin^{-1}(t) + C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{4} \sin^{-1}(t) + C$
अब $t = x^{4}$ का मान वापस रखने पर:
$= \frac{1}{4} \sin^{-1}(x^{4}) + C$

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \cos ^{3} x e^{\log \sin x} dx$ है।
गुणधर्म $e^{\log f(x)} = f(x)$ का उपयोग करने पर,हमें $e^{\log \sin x} = \sin x$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकलन $I = \int \cos ^{3} x \sin x dx$ हो जाता है।
माना $\cos x = t$ है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$-\sin x dx = dt$,या $\sin x dx = -dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int t^{3} (-dt) = -\int t^{3} dt$ प्राप्त होता है।
$t^{3}$ का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$I = -\frac{t^{4}}{4} + C$ प्राप्त होता है।
$t = \cos x$ वापस रखने पर,हमें $I = -\frac{\cos ^{4} x}{4} + C$ प्राप्त होता है।

दिया गया समाकलन $I = \int e^{3 \log x}(x^{4}+1)^{-1} dx$ है।
लघुगणक के गुणधर्म $n \log x = \log x^{n}$ का उपयोग करते हुए,हमें $e^{3 \log x} = e^{\log x^{3}} = x^{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकलन $I = \int \frac{x^{3}}{x^{4}+1} dx$ हो जाता है।
माना $t = x^{4}+1$ है। तब $dt = 4x^{3} dx$,जिसका अर्थ है कि $x^{3} dx = \frac{dt}{4}$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{4} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{t} dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,हमें $I = \frac{1}{4} \log |t| + C$ प्राप्त होता है।
$t = x^{4}+1$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{4} \log |x^{4}+1| + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^{4}+1 > 0$ है,इसलिए हम $I = \frac{1}{4} \log (x^{4}+1) + C$ लिख सकते हैं।

$I = \int f^{\prime}(ax+b)[f(ax+b)]^n \, dx$ का समाकलन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे।
माना $u = f(ax+b)$ है।
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$du = f^{\prime}(ax+b) \cdot a \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(ax+b) \, dx = \frac{1}{a} \, du$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int u^n \cdot \frac{1}{a} \, du$
$I = \frac{1}{a} \int u^n \, du$
समाकलन के घात नियम $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \neq -1$ के लिए) का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{a} \cdot \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$
$u = f(ax+b)$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{[f(ax+b)]^{n+1}}{a(n+1)} + C$

माना $I = \int \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} dx$.
$x = \cos^2 \theta$ रखने पर,अतः $dx = -2 \sin \theta \cos \theta d\theta$.
$I = \int \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} (-2 \sin \theta \cos \theta) d\theta$
$= -2 \int \sqrt{\frac{2 \sin^2 (\theta/2)}{2 \cos^2 (\theta/2)}} \sin \theta \cos \theta d\theta$
$= -2 \int \tan(\theta/2) \cdot (2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)) \cos \theta d\theta$
$= -4 \int \sin^2(\theta/2) \cos \theta d\theta$
$= -4 \int \left(\frac{1-\cos \theta}{2}\right) \cos \theta d\theta$
$= -2 \int (\cos \theta - \cos^2 \theta) d\theta$
$= -2 \int \cos \theta d\theta + 2 \int \left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right) d\theta$
$= -2 \sin \theta + \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} + C$
$= -2 \sin \theta + \theta + \sin \theta \cos \theta + C$
चूंकि $x = \cos^2 \theta$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{x}$ और $\sin \theta = \sqrt{1-x}$ है।
$I = -2 \sqrt{1-x} + \cos^{-1}(\sqrt{x}) + \sqrt{1-x} \cdot \sqrt{x} + C$
$= \cos^{-1}(\sqrt{x}) - \sqrt{1-x} (2 - \sqrt{x}) + C$

माना $I = \int \frac{\sqrt{x^{2}+1}\left[\log \left(x^{2}+1\right)-2 \log x\right]}{x^{4}} dx$
$\frac{\sqrt{x^{2}+1}\left[\log \left(x^{2}+1\right)-\log x^{2}\right]}{x^{4}} = \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{4}} \log \left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}}\right) = \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{4}} \log \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)$
$= \frac{1}{x^{3}} \sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}}} \log \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right) = \frac{1}{x^{3}} \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} \log \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)$
माना $1+\frac{1}{x^{2}} = t$. तब $-\frac{2}{x^{3}} dx = dt$,अतः $\frac{1}{x^{3}} dx = -\frac{1}{2} dt$.
$I = -\frac{1}{2} \int \sqrt{t} \log t \, dt = -\frac{1}{2} \int t^{\frac{1}{2}} \log t \, dt$
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर: $\int u v \, dt = u \int v \, dt - \int (u' \int v \, dt) dt$
$I = -\frac{1}{2} \left[ \log t \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} - \int \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} \, dt \right] = -\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} \log t - \frac{2}{3} \int t^{1/2} \, dt \right]$
$I = -\frac{1}{3} t^{3/2} \log t + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = -\frac{1}{3} t^{3/2} \log t + \frac{2}{9} t^{3/2} + C$
$t = 1+\frac{1}{x^{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = -\frac{1}{3} \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)^{3/2} \left[ \log \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right) - \frac{2}{3} \right] + C$

(A) माना $I = \int \frac{(2 x-1) \cos \sqrt{(2 x-1)^{2}+5}}{\sqrt{4 x^{2}-4 x+6}} d x$.
ध्यान दें कि $4x^2 - 4x + 6 = (2x-1)^2 + 5$.
अतः,$I = \int \frac{(2 x-1) \cos \sqrt{(2 x-1)^{2}+5}}{\sqrt{(2 x-1)^{2}+5}} d x$.
माना $u = \sqrt{(2 x-1)^{2}+5}$.
तब $u^2 = (2x-1)^2 + 5$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $2u \frac{du}{dx} = 2(2x-1) \cdot 2 = 4(2x-1)$.
इस प्रकार,$(2x-1) dx = \frac{u}{2} du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{\cos u}{u} \cdot \frac{u}{2} du = \frac{1}{2} \int \cos u du$.
$I = \frac{1}{2} \sin u + c$.
$u = \sqrt{(2 x-1)^{2}+5}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{2} \sin \sqrt{(2 x-1)^{2}+5} + c$.

(C) दिया गया है $f(x) = \int \frac{5x^{8} + 7x^{6}}{(x^{2} + 1 + 2x^{7})^{2}} dx$.
समाकलन के अंदर अंश और हर को $x^{14}$ से विभाजित करने पर:
$f(x) = \int \frac{5x^{-6} + 7x^{-8}}{(x^{-5} + x^{-7} + 2)^{2}} dx$.
माना $t = x^{-5} + x^{-7} + 2$.
तब $dt = (-5x^{-6} - 7x^{-8}) dx$,जिसका अर्थ है $-(5x^{-6} + 7x^{-8}) dx = dt$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \int -\frac{dt}{t^{2}} = \frac{1}{t} + C = \frac{1}{x^{-5} + x^{-7} + 2} + C = \frac{x^{7}}{1 + x^{2} + 2x^{7}} + C$.
चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{x^{7}}{x^{2} + 1 + 2x^{7}}$.
$x = 1$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f(1) = \frac{1^{7}}{1^{2} + 1 + 2(1)^{7}} = \frac{1}{1 + 1 + 2} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $f(1) = \frac{1}{K}$,इसलिए $K = 4$ है।

(B) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{e^{3 \log_{e} 2x} + 5e^{2 \log_{e} 2x}}{e^{4 \log_{e} x} + 5e^{3 \log_{e} x} - 7e^{2 \log_{e} x}} dx$
गुणधर्म $e^{\log_{e} f(x)} = f(x)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{(2x)^{3} + 5(2x)^{2}}{x^{4} + 5x^{3} - 7x^{2}} dx$
$I = \int \frac{8x^{3} + 20x^{2}}{x^{4} + 5x^{3} - 7x^{2}} dx$
अंश से $4x^{2}$ और हर से $x^{2}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \int \frac{4x^{2}(2x + 5)}{x^{2}(x^{2} + 5x - 7)} dx$
$I = 4 \int \frac{2x + 5}{x^{2} + 5x - 7} dx$
माना $u = x^{2} + 5x - 7$,तब $du = (2x + 5) dx$ होगा।
$I = 4 \int \frac{1}{u} du = 4 \log_{e} |u| + c$
$I = 4 \log_{e} |x^{2} + 5x - 7| + c$

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(x-1)^{3/4}(x+2)^{5/4}}$.
समाकल्य को इस प्रकार लिखें: $I = \int \frac{dx}{\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{5/4} \cdot (x-1)^{3/4} \cdot (x-1)^{5/4}} = \int \frac{dx}{\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{5/4} \cdot (x-1)^2}$.
माना $t = \frac{x+2}{x-1}$. तब $dt = \frac{(x-1)(1) - (x+2)(1)}{(x-1)^2} dx = \frac{-3}{(x-1)^2} dx$,अतः $\frac{dx}{(x-1)^2} = -\frac{1}{3} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{-1/3}{t^{5/4}} dt = -\frac{1}{3} \int t^{-5/4} dt$.
समाकलन करने पर: $I = -\frac{1}{3} \left( \frac{t^{-1/4}}{-1/4} \right) + C = \frac{4}{3} t^{-1/4} + C$.
$t = \frac{x+2}{x-1}$ वापस रखने पर: $I = \frac{4}{3} \left( \frac{x+2}{x-1} \right)^{-1/4} + C = \frac{4}{3} \left( \frac{x-1}{x+2} \right)^{1/4} + C$.

(A) माना $I = \int \frac{(x^8-x^2) dx}{(x^{12}+3x^6+1) \tan^{-1}(x^3+\frac{1}{x^3})}$.
अंश और हर को $x^6$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{(x^2 - x^{-4}) dx}{(x^6 + 3 + x^{-6}) \tan^{-1}(x^3 + x^{-3})}$.
माना $t = \tan^{-1}(x^3 + x^{-3})$.
तब $dt = \frac{1}{1 + (x^3 + x^{-3})^2} \cdot (3x^2 - 3x^{-4}) dx$.
$dt = \frac{3(x^2 - x^{-4})}{1 + x^6 + 2 + x^{-6}} dx = \frac{3(x^2 - x^{-4})}{x^6 + 3 + x^{-6}} dx$.
अतः,$\frac{(x^2 - x^{-4}) dx}{x^6 + 3 + x^{-6}} = \frac{1}{3} dt$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{3t} dt = \frac{1}{3} \ln |t| + C$.
$I = \frac{1}{3} \ln |\tan^{-1}(x^3 + x^{-3})| + C = \ln |\tan^{-1}(x^3 + x^{-3})|^{1/3} + C$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया समाकलन $y(x) = \int \frac{\frac{1}{\sin x} + \sin x}{\frac{1}{\sin x \cos x} + \frac{\sin^3 x}{\cos x}} \, dx$ है।
समाकल्य को सरल करने पर:
$y(x) = \int \frac{\frac{1+\sin^2 x}{\sin x}}{\frac{1+\sin^4 x}{\sin x \cos x}} \, dx = \int \frac{(1+\sin^2 x) \cos x}{1+\sin^4 x} \, dx$.
माना $\sin x = t$,तब $\cos x \, dx = dt$.
$y(t) = \int \frac{1+t^2}{1+t^4} \, dt = \int \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{t^2 + \frac{1}{t^2}} \, dt = \int \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{(t - \frac{1}{t})^2 + 2} \, dt$.
माना $u = t - \frac{1}{t}$,तब $du = (1 + \frac{1}{t^2}) \, dt$.
$y(u) = \int \frac{du}{u^2 + 2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{t - \frac{1}{t}}{\sqrt{2}}\right) + C$.
जैसे $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,$t \rightarrow 1$,इसलिए $u \rightarrow 0$.
दिया है $\lim_{x \rightarrow (\frac{\pi}{2})^-} y(x) = 0$,अतः $\frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(0) + C = 0 \implies C = 0$.
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$t = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$u = \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} = \frac{1-2}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{-1/\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$.

(B) दिया गया है $I(x)=\int \frac{6}{\sin ^2 x(1-\cot x)^2} d x$.
हम समाकलन को $I(x)=\int \frac{6 \operatorname{cosec}^2 x}{(1-\cot x)^2} d x$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $t = 1-\cot x$. तब $dt = \operatorname{cosec}^2 x d x$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें $I(x) = \int \frac{6}{t^2} dt = -\frac{6}{t} + C = -\frac{6}{1-\cot x} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$I(x) = \frac{6}{\cot x - 1} + C$.
$x = \frac{\pi}{12}$ के लिए,$\cot(\frac{\pi}{12}) = 2+\sqrt{3}$.
$I(\frac{\pi}{12}) = \frac{6}{2+\sqrt{3}-1} + C = \frac{6}{1+\sqrt{3}} + C = 3(\sqrt{3}-1) + C$.
यदि $C=3$ लें,तो $I(\frac{\pi}{12}) = 3\sqrt{3}-3+3 = 3\sqrt{3}$.

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}$.
तब $f(f(x)) = \frac{f(x)}{(1+f(x)^n)^{1/n}} = \frac{x/(1+x^n)^{1/n}}{(1 + x^n/(1+x^n))^{1/n}} = \frac{x}{(1+x^n+x^n)^{1/n}} = \frac{x}{(1+2x^n)^{1/n}}$.
गणितीय आगमन द्वारा,$g(x) = (f \circ f \circ \ldots \circ f)(x) = \frac{x}{(1+nx^n)^{1/n}}$.
अब,हमें $I = \int x^{n-2} g(x) \, dx = \int \frac{x^{n-1}}{(1+nx^n)^{1/n}} \, dx$ का मूल्यांकन करना है।
माना $u = 1+nx^n$,तो $du = n^2 x^{n-1} \, dx$,जिसका अर्थ है कि $x^{n-1} \, dx = \frac{du}{n^2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{u^{1/n}} \cdot \frac{du}{n^2} = \frac{1}{n^2} \int u^{-1/n} \, du$.
$I = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{u^{1 - 1/n}}{1 - 1/n} + K = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{u^{(n-1)/n}}{(n-1)/n} + K$.
$I = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n}{n-1} u^{(n-1)/n} + K = \frac{1}{n(n-1)} (1+nx^n)^{1 - 1/n} + K$.

(A) माना $t = \sec x + \tan x$. तब $dt = (\sec x \tan x + \sec^2 x) dx = \sec x(\tan x + \sec x) dx = \sec x \cdot t \cdot dx$.
अतः,$\sec x dx = \frac{dt}{t}$.
साथ ही,$\sec x - \tan x = \frac{1}{t}$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2 \sec x = t + \frac{1}{t} \implies \sec x = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right)$.
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int \frac{\sec x \cdot (\sec x dx)}{t^{9/2}} = \int \frac{\frac{1}{2}(t + \frac{1}{t}) \cdot \frac{dt}{t}}{t^{9/2}} = \frac{1}{2} \int \frac{t + t^{-1}}{t^{11/2}} dt = \frac{1}{2} \int (t^{-9/2} + t^{-13/2}) dt$.
समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{-7/2}}{-7/2} + \frac{t^{-11/2}}{-11/2} \right] + K = -\left[ \frac{1}{7 t^{7/2}} + \frac{1}{11 t^{11/2}} \right] + K$.
$-\frac{1}{t^{11/2}}$ कॉमन लेने पर:
$I = -\frac{1}{t^{11/2}} \left[ \frac{t^2}{7} + \frac{1}{11} \right] + K$.
$t = \sec x + \tan x$ वापस रखने पर,हमें विकल्प $A$ प्राप्त होता है।

(A) माना $x = t^4$,तब $dx = 4t^3 dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{t(1+t)} \cdot 4t^3 dt = \int \frac{4t^2}{1+t} dt$.
बहुपद विभाजन या समायोजन का उपयोग करने पर:
$\int \frac{4(t^2-1+1)}{t+1} dt = 4 \int (t-1 + \frac{1}{t+1}) dt$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$f(x) = 4(\frac{t^2}{2} - t + \log_e|t+1|) + C = 2t^2 - 4t + 4\log_e(t+1) + C$.
$t = x^{1/4}$ रखने पर:
$f(x) = 2x^{1/2} - 4x^{1/4} + 4\log_e(1+x^{1/4}) + C$.
दिया है $f(0) = -6$:
$2(0) - 4(0) + 4\log_e(1) + C = -6 \implies C = -6$.
अतः,$f(x) = 2x^{1/2} - 4x^{1/4} + 4\log_e(1+x^{1/4}) - 6$.
$f(1)$ की गणना करने पर:
$f(1) = 2(1) - 4(1) + 4\log_e(2) - 6 = 2 - 4 + 4\log_e 2 - 6 = 4\log_e 2 - 8 = 4(\log_e 2 - 2)$.

(D) मान लीजिए $3-x^2 = t^2$ है। तब $-2x dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है $x dx = -t dt$।
साथ ही,$x^2 = 3-t^2$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \int (3-t^2) \cdot t \cdot (-t dt) + C$
$f(x) = \int (t^4 - 3t^2) dt + C$
$f(x) = \frac{t^5}{5} - t^3 + C$
$t = \sqrt{3-x^2}$ वापस रखने पर:
$f(x) = \frac{(3-x^2)^{5/2}}{5} - (3-x^2)^{3/2} + C$
दिया गया है कि $5f(\sqrt{2}) = -4$,अतः $f(\sqrt{2})$ की गणना करते हैं:
$f(\sqrt{2}) = \frac{(3-2)^{5/2}}{5} - (3-2)^{3/2} + C = \frac{1}{5} - 1 + C = -\frac{4}{5} + C$।
चूंकि $5f(\sqrt{2}) = -4$ है,इसलिए $5(-\frac{4}{5} + C) = -4$,जिससे $-4 + 5C = -4$ प्राप्त होता है,अतः $C = 0$।
इस प्रकार,$f(x) = \frac{(3-x^2)^{5/2}}{5} - (3-x^2)^{3/2}$।
अब,$f(1)$ की गणना करते हैं:
$f(1) = \frac{(3-1)^{5/2}}{5} - (3-1)^{3/2} = \frac{2^{5/2}}{5} - 2^{3/2} = \frac{4\sqrt{2}}{5} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}(\frac{4}{5} - 2) = \sqrt{2}(\frac{4-10}{5}) = -\frac{6\sqrt{2}}{5}$।

(A) माना $I = \int \frac{\sin x}{\sin (x-\alpha)} dx$.
अंश को $\sin x = \sin ((x-\alpha) + \alpha)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\sin ((x-\alpha) + \alpha) = \sin (x-\alpha) \cos \alpha + \cos (x-\alpha) \sin \alpha$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{\sin (x-\alpha) \cos \alpha + \cos (x-\alpha) \sin \alpha}{\sin (x-\alpha)} dx$.
$I = \int \cos \alpha dx + \int \sin \alpha \frac{\cos (x-\alpha)}{\sin (x-\alpha)} dx$.
$I = \cos \alpha \int dx + \sin \alpha \int \cot (x-\alpha) dx$.
समाकलन करने पर,$I = x \cos \alpha + \sin \alpha \log |\sin (x-\alpha)| + c$ प्राप्त होता है।
दिए गए रूप $Ax + B \log |\sin (x-\alpha)| + c$ से तुलना करने पर,$A = \cos \alpha$ और $B = \sin \alpha$ प्राप्त होते हैं।

(B) माना $I = \int \frac{\sin 2x}{(a+b \cos x)^2} dx = \int \frac{2 \sin x \cos x}{(a+b \cos x)^2} dx$.
$t = a + b \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = -b \sin x dx$,अतः $\sin x dx = -\frac{dt}{b}$.
साथ ही,$\cos x = \frac{t-a}{b}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2 (\frac{t-a}{b})}{t^2} (-\frac{dt}{b}) = -\frac{2}{b^2} \int \frac{t-a}{t^2} dt$.
$I = -\frac{2}{b^2} \int (\frac{1}{t} - \frac{a}{t^2}) dt$.
$I = -\frac{2}{b^2} [\log |t| + \frac{a}{t}] + C$.
$t = a + b \cos x$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{2}{b^2} [\log |a+b \cos x| + \frac{a}{a+b \cos x}] + C$.

(A) माना $I = \int \sin^5 x \, dx = \int \sin^4 x \cdot \sin x \, dx$.
हम $\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (1 - \cos^2 x)^2$ लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int (1 - \cos^2 x)^2 \sin x \, dx$.
माना $u = \cos x$,तब $du = -\sin x \, dx$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \, dx = -du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int (1 - u^2)^2 (-du) = -\int (1 - 2u^2 + u^4) \, du$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = -(u - \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}) + c = -u + \frac{2}{3} u^3 - \frac{1}{5} u^5 + c$.
$u = \cos x$ वापस रखने पर:
$I = -\cos x + \frac{2}{3} \cos^3 x - \frac{1}{5} \cos^5 x + c$.

(A) माना $I = \int \frac{e^{\tan ^{-1} 2 x}}{1+4 x^2} dx$.
$u = \tan ^{-1} 2 x$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब,$du = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(2x) dx = \frac{2}{1+4x^2} dx$.
इसका अर्थ है कि $\frac{dx}{1+4x^2} = \frac{1}{2} du$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du$.
$I = \frac{1}{2} e^u + c$.
$u = \tan ^{-1} 2 x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2} e^{\tan ^{-1} 2 x} + c$.

$(A)\ \text{माना } I = \int \frac{x^3}{(x+1)^2} dx.$
$u = x+1\ \text{प्रतिस्थापित करने पर},\ x = u-1\ \text{और } dx = du\ \text{प्राप्त होता है।}$
$I = \int \frac{(u-1)^3}{u^2} du = \int \frac{u^3 - 3u^2 + 3u - 1}{u^2} du.$
$I = \int \left(u - 3 + \frac{3}{u} - \frac{1}{u^2}\right) du.$
$\text{प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:}$
$I = \frac{u^2}{2} - 3u + 3\log|u| + \frac{1}{u} + C.$
$u = x+1\ \text{वापस रखने पर:}$
$I = \frac{(x+1)^2}{2} - 3(x+1) + 3\log|x+1| + \frac{1}{x+1} + C.$
$I = \frac{x^2 + 2x + 1}{2} - 3x - 3 + 3\log|x+1| + \frac{1}{x+1} + C.$
$I = \frac{x^2}{2} - 2x + 3\log|x+1| + \frac{1}{x+1} + C.$
$\text{अतः, सही विकल्प } A \text{ है।}$

(D) माना $I = \int \frac{\sin x}{\sqrt{5 \sin ^2 x+6 \cos ^2 x}} \,d x$.
$\sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{\sin x}{\sqrt{5(1 - \cos ^2 x) + 6 \cos ^2 x}} \,d x$
$I = \int \frac{\sin x}{\sqrt{5 - 5 \cos ^2 x + 6 \cos ^2 x}} \,d x$
$I = \int \frac{\sin x}{\sqrt{5 + \cos ^2 x}} \,d x$.
माना $u = \cos x$,तब $du = -\sin x \,d x$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \,d x = -du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{-du}{\sqrt{5 + u^2}} = -\int \frac{du}{\sqrt{(\sqrt{5})^2 + u^2}}$.
मानक सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \log |x + \sqrt{a^2 + x^2}| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = -\log |u + \sqrt{5 + u^2}| + c$.
$u = \cos x$ वापस रखने पर:
$I = -\log |\cos x + \sqrt{5 + \cos ^2 x}| + c$.

(B) माना $I = \int \frac{\sin 2x \cos 2x}{\sqrt{4-\cos^4 2x}} \, dx$ है।
$u = \cos^2 2x$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब $du = 2 \cos 2x (-\sin 2x) \cdot 2 \, dx = -4 \sin 2x \cos 2x \, dx$।
अतः,$\sin 2x \cos 2x \, dx = -\frac{1}{4} du$।
समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int \frac{-\frac{1}{4} du}{\sqrt{4-u^2}} = -\frac{1}{4} \int \frac{du}{\sqrt{2^2-u^2}}$।
मानक सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{1}{4} \sin^{-1}\left(\frac{u}{2}\right) + c$।
$u = \cos^2 2x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = -\frac{1}{4} \sin^{-1}\left(\frac{\cos^2 2x}{2}\right) + c$।

(A) माना $I = \int \sec^{\frac{2}{3}} x \cdot \operatorname{cosec}^{\frac{4}{3}} x \, dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{1}{\cos^{\frac{2}{3}} x} \cdot \frac{1}{\sin^{\frac{4}{3}} x} \, dx$.
अंश और हर को $\cos^{\frac{4}{3}} x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1}{\cos^{\frac{2}{3}} x \cdot \sin^{\frac{4}{3}} x} \cdot \frac{\cos^{\frac{4}{3}} x}{\cos^{\frac{4}{3}} x} \, dx = \int \frac{\cos^{\frac{4}{3}} x}{\cos^2 x \cdot \sin^{\frac{4}{3}} x} \, dx$.
$I = \int \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^{-\frac{4}{3}} \, dx = \int \sec^2 x \cdot (\tan x)^{-\frac{4}{3}} \, dx$.
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x \, dx$.
$I = \int u^{-\frac{4}{3}} \, du = \frac{u^{-\frac{4}{3} + 1}}{-\frac{4}{3} + 1} + c = \frac{u^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + c = -3u^{-\frac{1}{3}} + c$.
$u = \tan x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = -3 \tan^{-\frac{1}{3}} x + c$.

(B) माना $I = \int \frac{d x}{e^x-1}$.
अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} d x$.
माना $u = 1-e^{-x}$. तब $du = e^{-x} d x$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{u} d u = \log |u| + c = \log |1-e^{-x}| + c$.
चूँकि $1-e^{-x} = \frac{e^x-1}{e^x}$,इसलिए:
$I = \log \left| \frac{e^x-1}{e^x} \right| + c = \log |e^x-1| - \log |e^x| + c$.
$I = \log |e^x-1| - x + c$.

(D) समाकल $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x} + x}$ को हल करने के लिए,हम हर में से $\sqrt{x}$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं।
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})}$
माना $u = 1 + \sqrt{x}$. तब,$du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$.
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2 du}{u} = 2 \int \frac{du}{u} = 2 \log |u| + c$.
$u = 1 + \sqrt{x}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = 2 \log (1 + \sqrt{x}) + c$.

(A) समाकलन $I = \int \frac{x}{1+x^4} \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कर सकते हैं।
माना $u = x^2$ है। तब,अवकलन $du = 2x \, dx$ होगा,जिसका अर्थ है कि $x \, dx = \frac{1}{2} \, du$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot (x \, dx) = \int \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{1}{2} \, du$
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+u^2} \, du$
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{1+u^2} \, du = \tan^{-1}(u) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}(u) + c$
अब $u = x^2$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}(x^2) + c$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना $I = \int \frac{(5 \sin \theta-2) \cos \theta}{5-\cos ^2 \theta-4 \sin \theta} d \theta$.
$u = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = \cos \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
हर $5 - (1 - \sin^2 \theta) - 4 \sin \theta = 5 - 1 + u^2 - 4u = u^2 - 4u + 4 = (u-2)^2$ हो जाता है।
अतः,$I = \int \frac{5u-2}{(u-2)^2} du$.
$u-2 = t$ रखने पर,$u = t+2$ और $du = dt$ प्राप्त होता है।
$I = \int \frac{5(t+2)-2}{t^2} dt = \int \frac{5t+8}{t^2} dt = \int (\frac{5}{t} + 8t^{-2}) dt$.
$I = 5 \log |t| - \frac{8}{t} + c$.
$t = u-2 = \sin \theta - 2$ का मान वापस रखने पर,$I = 5 \log |\sin \theta - 2| - \frac{8}{\sin \theta - 2} + c$ प्राप्त होता है।

(B) समाकलन $I = \int \frac{1}{e^x + 1} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करते हैं:
$I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(e^x + 1)} \, dx = \int \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} \, dx$
मान लीजिए $u = 1 + e^{-x}$. तब $du = -e^{-x} \, dx$,जिसका अर्थ है कि $e^{-x} \, dx = -du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{-du}{u} = -\log|u| + c$
$I = -\log(1 + e^{-x}) + c$
चूँकि $1 + e^{-x} = 1 + \frac{1}{e^x} = \frac{e^x + 1}{e^x}$,इसलिए:
$I = -\log\left(\frac{e^x + 1}{e^x}\right) + c = -[\log(e^x + 1) - \log(e^x)] + c$
$I = -\log(e^x + 1) + x + c$
अतः,$I = x - \log(e^x + 1) + c$.

(A) माना $I = \int \frac{x^4 \cos \left(\tan ^{-1} x^5\right)}{1+x^{10}} \,d x$.
$u = \tan^{-1}(x^5)$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,$du = \frac{1}{1+(x^5)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^5) \,dx = \frac{5x^4}{1+x^{10}} \,dx$.
इसका अर्थ है कि $\frac{x^4}{1+x^{10}} \,dx = \frac{du}{5}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \cos(u) \cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{5} \int \cos(u) \,du$.
$I = \frac{1}{5} \sin(u) + c$.
$u = \tan^{-1}(x^5)$ वापस रखने पर:
$I = \frac{\sin \left(\tan ^{-1} x^5\right)}{5} + c$.

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(x+a)^{\frac{9}{7}}(x-b)^{\frac{5}{7}}}$.
समाकल्य को इस प्रकार लिखें: $I = \int \frac{dx}{(x+a)^{\frac{9}{7}} \cdot (x+a)^{\frac{5}{7}} \cdot \left(\frac{x-b}{x+a}\right)^{\frac{5}{7}}} = \int \frac{dx}{(x+a)^2 \left(\frac{x-b}{x+a}\right)^{\frac{5}{7}}}$.
माना $t = \frac{x-b}{x+a}$. तब $dt = \frac{(x+a)(1) - (x-b)(1)}{(x+a)^2} dx = \frac{a+b}{(x+a)^2} dx$.
अतः,$\frac{dx}{(x+a)^2} = \frac{dt}{a+b}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int \frac{1}{t^{\frac{5}{7}}} \cdot \frac{dt}{a+b} = \frac{1}{a+b} \int t^{-\frac{5}{7}} dt$.
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \frac{1}{a+b} \cdot \frac{t^{-\frac{5}{7}+1}}{-\frac{5}{7}+1} + c = \frac{1}{a+b} \cdot \frac{t^{\frac{2}{7}}}{\frac{2}{7}} + c = \frac{7}{2(a+b)} \left(\frac{x-b}{x+a}\right)^{\frac{2}{7}} + c$.

(B) $\text{माना } I = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} \,dx$.
$\text{अंश और हर को } \cos^2 x \text{ से विभाजित करने पर:}$
$I = \int \frac{\sqrt{\tan x} / \cos^2 x}{(\sin x \cos x) / \cos^2 x} \,dx = \int \frac{\sqrt{\tan x} \cdot \sec^2 x}{\tan x} \,dx$.
$I = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} \,dx$.
$\text{माना } u = \tan x, \text{तब } du = \sec^2 x \,dx$.
$\text{इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:}$
$I = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \,du = \int u^{-1/2} \,du$.
$\text{घात नियम } \int u^n \,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + c \text{ का उपयोग करने पर:}$
$I = \frac{u^{1/2}}{1/2} + c = 2 \sqrt{u} + c$.
$u = \tan x \text{ वापस रखने पर:}$
$I = 2 \sqrt{\tan x} + c$.

(A) समाकलन $I = \int \frac{dx}{x^{1/2} + x^{1/3}}$ को हल करने के लिए,हम $x = t^6$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं,जिससे $dx = 6t^5 dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{6t^5 dt}{t^3 + t^2} = \int \frac{6t^5}{t^2(t+1)} dt = \int \frac{6t^3}{t+1} dt$.
बहुपद विभाजन का उपयोग करते हुए,$\frac{t^3}{t+1} = t^2 - t + 1 - \frac{1}{t+1}$.
अतः,$I = 6 \int (t^2 - t + 1 - \frac{1}{t+1}) dt = 6 [\frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + t - \log|t+1|] + k$.
$I = 2t^3 - 3t^2 + 6t - 6 \log|t+1| + k$.
$t = x^{1/6}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = 2(x^{1/6})^3 - 3(x^{1/6})^2 + 6(x^{1/6}) - 6 \log(x^{1/6} + 1) + k$.
$I = 2x^{1/2} - 3x^{1/3} + 6x^{1/6} - 6 \log(x^{1/6} + 1) + k$.
दिए गए रूप $A x^{1/2} + B x^{1/3} + C x^{1/6} + D \log(x^{1/6} + 1) + k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 2, B = -3, C = 6, D = -6$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}+4e^x+13}} dx$.
$u = e^x$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = e^x dx$ प्राप्त होता है।
अतः समाकलन $I = \int \frac{du}{\sqrt{u^2+4u+13}}$ हो जाता है।
द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने पर: $u^2+4u+13 = (u+2)^2 + 9 = (u+2)^2 + 3^2$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \log |x + \sqrt{x^2+a^2}| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \log |(u+2) + \sqrt{(u+2)^2 + 3^2}| + c$.
$u = e^x$ वापस रखने पर:
$I = \log |e^x + 2 + \sqrt{e^{2x}+4e^x+13}| + c$.
दिए गए व्यंजक $\log |e^{ax}+2+\sqrt{e^{2x}+4e^x+13}| + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int 3^{3^x} \cdot 3^x \, dx$.
$t = 3^x$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,$dt = 3^x \log 3 \, dx$,जिसका अर्थ है कि $3^x \, dx = \frac{1}{\log 3} \, dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int 3^t \cdot \frac{1}{\log 3} \, dt$.
$I = \frac{1}{\log 3} \int 3^t \, dt$.
सूत्र $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log a} + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\log 3} \cdot \frac{3^t}{\log 3} + c$.
$I = \frac{3^t}{(\log 3)^2} + c$.
$t = 3^x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{3^{3^x}}{(\log 3)^2} + c$.

(D) माना $I = \int \frac{\log \sqrt{x}}{3 x} \,d x$ है।
हम जानते हैं कि $\log \sqrt{x} = \log (x^{1/2}) = \frac{1}{2} \log x$ होता है।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{\frac{1}{2} \log x}{3 x} \,d x = \frac{1}{6} \int \frac{\log x}{x} \,d x$ प्राप्त होता है।
माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} \,d x$ होगा।
अब समाकलन $I = \frac{1}{6} \int u \,du = \frac{1}{6} \cdot \frac{u^2}{2} + c = \frac{u^2}{12} + c$ हो जाएगा।
$u = \log x$ का मान वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{12} (\log x)^2 + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{x+1}{\sqrt{2x-1}} \, dx$.
$2x-1 = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $x = \frac{t^2+1}{2}$ और $dx = t \, dt$ प्राप्त होता है।
अतः $x+1 = \frac{t^2+1}{2} + 1 = \frac{t^2+3}{2}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{(\frac{t^2+3}{2}) t \, dt}{t} = \int \frac{t^2+3}{2} \, dt$.
$I = \frac{1}{2} (\frac{t^3}{3} + 3t) + c = \frac{t^3}{6} + \frac{3t}{2} + c$.
$\frac{t}{6}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \frac{t}{6} (t^2 + 9) + c$.
$t = \sqrt{2x-1}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{\sqrt{2x-1}}{6} (2x-1+9) + c = \frac{\sqrt{2x-1}}{6} (2x+8) + c$.
$I = \sqrt{2x-1} \cdot \frac{2(x+4)}{6} + c = \sqrt{2x-1} \cdot \frac{x+4}{3} + c$.
$f(x) \sqrt{2x-1} + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{x+4}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int(2x+4)\sqrt{x-1}dx$.
$t = x-1$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t+1$ और $dx = dt$ प्राप्त होता है।
अतः $I = \int(2(t+1)+4)\sqrt{t}dt = \int(2t+6)\sqrt{t}dt$.
$I = \int(2t^{3/2} + 6t^{1/2})dt$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = 2 \cdot \frac{t^{5/2}}{5/2} + 6 \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + c$.
$I = \frac{4}{5}t^{5/2} + 4t^{3/2} + c$.
$t = x-1$ वापस रखने पर:
$I = \frac{4}{5}(x-1)^{5/2} + 4(x-1)^{3/2} + c$.
इसकी तुलना $a(x-1)^{5/2} + b(x-1)^{3/2} + c$ से करने पर,हमें $a = \frac{4}{5}$ और $b = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$2a+b = 2(\frac{4}{5}) + 4 = \frac{8}{5} + 4 = \frac{8+20}{5} = \frac{28}{5}$.

(A) माना $I = \int \frac{\operatorname{cosec} x \, dx}{\cos ^2\left(1+\log \tan \frac{x}{2}\right)}$.
माना $t = 1+\log \left(\tan \frac{x}{2}\right)$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \sec ^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos ^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.
अतः,$\operatorname{cosec} x \, dx = dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{\cos ^2 t} \, dt = \int \sec ^2 t \, dt$.
समाकलन करने पर,$I = \tan t + c$.
$t = 1+\log \left(\tan \frac{x}{2}\right)$ का मान वापस रखने पर,$I = \tan \left(1+\log \tan \frac{x}{2}\right)+c$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \sec^{\frac{2}{3}} x \operatorname{cosec}^{\frac{4}{3}} x \, dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{1}{\cos^{\frac{2}{3}} x \sin^{\frac{4}{3}} x} \, dx$.
अंश और हर को $\cos^{\frac{4}{3}} x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1}{\left(\frac{\sin^{\frac{4}{3}} x}{\cos^{\frac{4}{3}} x}\right) \cdot \cos^{\frac{2}{3}} x \cdot \cos^{\frac{4}{3}} x} \, dx = \int \frac{1}{(\tan x)^{\frac{4}{3}} \cdot \cos^2 x} \, dx$.
चूँकि $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$,इसलिए:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{(\tan x)^{\frac{4}{3}}} \, dx$.
माना $t = \tan x$,तो $dt = \sec^2 x \, dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int t^{-\frac{4}{3}} \, dt = \frac{t^{-\frac{4}{3} + 1}}{-\frac{4}{3} + 1} + c = \frac{t^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + c = -3t^{-\frac{1}{3}} + c$.
$t = \tan x$ वापस रखने पर:
$I = -3(\tan x)^{-\frac{1}{3}} + c$.

(C) माना $a+b x=t$. तब $x=\frac{t-a}{b}$ और $dx=\frac{dt}{b}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{(\frac{t-a}{b})^2}{t^2} \cdot \frac{dt}{b} = \frac{1}{b^3} \int \frac{t^2-2at+a^2}{t^2} dt$
$I = \frac{1}{b^3} \int (1 - \frac{2a}{t} + \frac{a^2}{t^2}) dt$
$I = \frac{1}{b^3} [t - 2a \log |t| - \frac{a^2}{t}] + c$
अब $t=a+bx$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{b^3} [a+bx - 2a \log |a+bx| - \frac{a^2}{a+bx}] + c$