फलन का समाकलन कीजिए: cos ^{3} x e^{log sin x} | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \cos ^{3} x e^{\log \sin x} dx$ है।गुणधर्म $e^{\log f(x)} = f(x)$ का उपयोग करने पर,हमें $e^{\log \sin x} = \sin x$ प्राप

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$-\frac{\cos ^{4} x}{4} + C$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \cos ^{3} x e^{\log \sin x} dx$ है।गुणधर्म $e^{\log f(x)} = f(x)$ का उपयोग करने पर,हमें $e^{\log \sin x} = \sin x$ प्राप्त होता है।अतः,समाकलन $I = \int \cos ^{3} x \sin x dx$ हो जाता है।माना $\cos x = t$ है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$-\sin x dx = dt$,या $\sin x dx = -dt$ प्राप्त होता है।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int t^{3} (-dt) = -\int t^{3} dt$ प्राप्त होता है।$t^{3}$ का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$I = -\frac{t^{4}}{4} + C$ प्राप्त होता है।$t = \cos x$ वापस रखने पर,हमें $I = -\frac{\cos ^{4} x}{4} + C$ प्राप्त होता है।

फलन का समाकलन कीजिए: $\cos ^{3} x e^{\log \sin x}$

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