Mathematical analysis of cubic system and Bragg’s equation Questions in Gujarati

(C) $BCC$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{3}a$ છે.
આપેલ છે કે $a = 352 \ pm$.
કિંમત મૂકતા: $r = \frac{\sqrt{3} \times 352}{4}$.
$r = \frac{1.732 \times 352}{4} = 152.4 \ pm$.

(A) એકમ કોષ માટે ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \cdot M}{N_A \cdot a^3}$ છે.
$BCC$ બંધારણ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 2$ છે.
આપેલ છે: $d = 8.55 \ g \ cm^{-3}$,$M = 93 \ g \ mol^{-1}$,$N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
$a^3$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $a^3 = \frac{Z \cdot M}{d \cdot N_A}$.
કિંમતો મૂકતા: $a^3 = \frac{2 \times 93}{8.55 \times 6.022 \times 10^{23}} \approx 3.61 \times 10^{-23} \ cm^3$.
તેથી,ધારની લંબાઈ $a = (3.61 \times 10^{-23})^{1/3} \ cm$ થાય.

(A) ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \cdot M}{N_{A} \cdot a^3}$ છે。
$Z$ શોધવા માટે: $Z = \frac{d \cdot N_{A} \cdot a^3}{M}$。
આપેલ છે: $d = 7 \ g \ cm^{-3}$, $a = 300 \ pm = 3 \times 10^{-8} \ cm$, $M = 52 \ g \ mol^{-1}$, અને $N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$。
કિંમતો મૂકતા: $Z = \frac{7 \times 6.022 \times 10^{23} \times (3 \times 10^{-8})^3}{52} \approx 2$。
$Z = 2$ હોવાથી, એકમ કોષ બોડી સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ છે।

(A) $\text{ધાતુનું કદ} = \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{38.6 \ g}{19.3 \ g \ cm^{-3}} = 2 \ cm^{3}$
$\text{એકમ કોષોની સંખ્યા} = \frac{\text{ધાતુનું કુલ કદ}}{\text{એક એકમ કોષનું કદ}}$
$\text{એકમ કોષોની સંખ્યા} = \frac{2 \ cm^{3}}{6.18 \times 10^{-23} \ cm^{3}} \approx 3.236 \times 10^{22}$

(A) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(bcc)$ એકમ કોષ માટે,ધારની લંબાઈ $(a)$ અને ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\sqrt{3} a = 4r$ છે.
આપેલ છે $r = 1.86 \times 10^{-8} \text{ cm}$.
$a = \frac{4r}{\sqrt{3}} = \frac{4 \times 1.86 \times 10^{-8}}{1.732} \approx 4.3 \times 10^{-8} \text{ cm}$.

(D) એક એકમ કોષનું કદ $= (a)^{3} = (100 \ pm)^{3} = (100 \times 10^{-10} \ cm)^{3} = 10^{-24} \ cm^{3}$.
$100 \ g$ તત્વનું કુલ કદ $= \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{100 \ g}{10 \ g/cm^{3}} = 10 \ cm^{3}$.
એકમ કોષોની સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ કદ}}{\text{એક એકમ કોષનું કદ}} = \frac{10 \ cm^{3}}{10^{-24} \ cm^{3}} = 1 \times 10^{25}$ એકમ કોષો.

(D) $bcc$ સ્ફટિક માટે,પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $r$ અને ધારની લંબાઈ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ: $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$
તેથી,$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
આપેલ કિંમત $r = 1.33 \times 10^{-8} \ cm$ મૂકતા:
$a = \frac{4 \times 1.33 \times 10^{-8} \ cm}{1.732} = \frac{5.32 \times 10^{-8} \ cm}{1.732} \approx 3.07 \times 10^{-8} \ cm$.

(D) $bcc$ એકમ કોષ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ છે।
આપેલ ઘનતા $\rho = 4 \ g \ cm^{-3}$ અને ધારની લંબાઈ $a = 500 \ pm = 500 \times 10^{-10} \ cm = 5 \times 10^{-8} \ cm$.
એકમ કોષનું કદ $a^{3} = (5 \times 10^{-8} \ cm)^{3} = 125 \times 10^{-24} \ cm^{3}$.
પરમાણ્વીય દળ $M$ માટેનું સૂત્ર $M = \frac{\rho \times a^{3} \times N_{A}}{n}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{4 \times 125 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{2} = 150.55 \ g \ mol^{-1}$.
આમ, પરમાણ્વીય દળ આશરે $150.5 \ g \ mol^{-1}$ છે।

(D) $fcc$ એકમ કોષ માટે,પરમાણુની ત્રિજ્યા $(r)$ અને એકમ કોષની ધારની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.
આપેલ છે,$a = 0.3524 \ nm$.
સૂત્રમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$r = \frac{0.3524 \ nm}{2 \times 1.414} = \frac{0.3524 \ nm}{2.828} = 0.1246 \ nm$.

(B) $fcc$ પ્રકારના એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ છે.
$a$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $a = 2 \sqrt{2} \times r$.
આપેલ $r = 127.6 \ pm$ કિંમત મૂકતા:
$a = 2 \times 1.414 \times 127.6 \ pm = 360.85 \ pm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $a \approx 361 \ pm$.

(D) ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{n \times M}{a^{3} \times N_{A}}$ છે.
આપેલ છે: $a = 4 \ \mathring{A} = 4 \times 10^{-8} \ cm$,$\rho = 2.7 \ g \ cm^{-3}$,$M = 27 \ g \ mol^{-1}$,$N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
$n$ માટે સૂત્ર: $n = \frac{\rho \times a^{3} \times N_{A}}{M}$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{2.7 \times (4 \times 10^{-8})^{3} \times 6.022 \times 10^{23}}{27}$.
$n = \frac{2.7 \times 64 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{27} = 0.1 \times 64 \times 0.6022 \approx 3.85$.
એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી $n \approx 4$,જે ફલક કેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$ એકમ કોષ સૂચવે છે.

(A) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ એકમ કોષ માટે, ત્રિજ્યા $(r)$ અને ધારની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{\sqrt{3} a}{4}$ છે。
અહીં ધારની લંબાઈ $a = 351 \ pm$ આપેલ છે。
સૂત્રમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$r = \frac{\sqrt{3} \times 351}{4} = \frac{1.732 \times 351}{4} = \frac{607.932}{4} = 151.98 \ pm$.

(B) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ યુનિટ સેલ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ છે.
તેથી, ધારની લંબાઈ $a = 2 \sqrt{2} \times r$.
આપેલ છે કે $r = 125 \text{ pm}$, તેથી $a = 2 \times 1.414 \times 125 \text{ pm} = 353.5 \text{ pm}$.

(D) આપેલ છે: કોષની ધાર $a = 250 \ pm = 2.5 \times 10^{-8} \ cm$.
પરમાણ્વીય દળ $M = 90.3 \ g \ mol^{-1}$.
$fcc$ લેટીસ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 4$.
એવોગેડ્રો આંક $N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{n \times M}{a^{3} \times N_{A}}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{4 \times 90.3}{(2.5 \times 10^{-8})^{3} \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$\rho = \frac{361.2}{15.625 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}} = \frac{361.2}{9.409} \approx 38.40 \ g \ cm^{-3}$.

(C) આપેલ છે: ઘનતા $(\rho)$ = $2.8 \ g \ cm^{-3}$,ધારની લંબાઈ $(a)$ = $4 \times 10^{-8} \ cm$,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(n)$ = $4$ ($fcc$ માટે),એવોગેડ્રો આંક $(N_{A})$ = $6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
સૂત્ર: $\rho = \frac{n \times M}{a^{3} \times N_{A}}$.
મોલર દળ $(M)$ માટે સૂત્ર: $M = \frac{\rho \times a^{3} \times N_{A}}{n}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{2.8 \times (4 \times 10^{-8})^{3} \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$.
$M = \frac{2.8 \times 64 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$.
$M = 0.7 \times 64 \times 0.6022 = 26.97896 \approx 27 \ g \ mol^{-1}$.

(A) ધારની લંબાઈ $a = 16 \times 10^{-8} \ cm$.
એક એકમ કોષનું કદ $= a^{3} = (16 \times 10^{-8} \ cm)^{3} = 4096 \times 10^{-24} \ cm^{3}$.
એકમ કોષમાં $24$ અણુઓ હોવાથી,$24$ અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ $4096 \times 10^{-24} \ cm^{3}$ છે.
$1$ મોલ અણુઓનું કદ $= (24 \text{ અણુઓનું કદ} / 24) \times N_{A}$.
$1$ મોલનું કદ $= (4096 \times 10^{-24} / 24) \times 6.022 \times 10^{23} \ cm^{3} \ mol^{-1}$.
$1$ મોલનું કદ $\approx 170.67 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 102.77 \ cm^{3} \ mol^{-1}$.

(A) $bcc$ એકમ કોષ માટે,ત્રિજ્યા $r$ અને ધારની લંબાઈ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{\sqrt{3} a}{4}$ છે.
$a$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,$a = \frac{4 r}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
આપેલ કિંમત $r = 1.86 \times 10^{-8} \ cm$ મૂકતા:
$a = \frac{4 \times 1.86 \times 10^{-8} \ cm}{1.732} = 4.29 \times 10^{-8} \ cm$.

(B) આપેલ ધારની લંબાઈ $a = 300 \ pm = 3 \times 10^{-8} \ cm$.
$bcc$ એકમ કોષ માટે, ત્રિજ્યા $r$ અને ધારની લંબાઈ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{\sqrt{3} a}{4}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{1.732 \times 3 \times 10^{-8} \ cm}{4}$.
$r = \frac{5.196 \times 10^{-8} \ cm}{4} = 1.299 \times 10^{-8} \ cm$.

(B) $1$. ધારની લંબાઈ $a = 3 \mathring{A} = 3 \times 10^{-8} \ cm$.
$2$. એકમ કોષનું કદ $V = a^{3} = (3 \times 10^{-8} \ cm)^{3} = 27 \times 10^{-24} \ cm^{3}$.
$3$. એક એકમ કોષનું દળ = $\text{કદ} \times \text{ઘનતા} = 27 \times 10^{-24} \ cm^{3} \times 8 \ g/cm^{3} = 216 \times 10^{-24} \ g$.
$4$. $100 \ g$ માં એકમ કોષોની સંખ્યા = $\frac{100 \ g}{216 \times 10^{-24} \ g/\text{એકમ કોષ}} = 0.4629 \times 10^{24} = 4.63 \times 10^{23}$ એકમ કોષો.

(A) $fcc$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ છે.
આપેલ છે કે ધારની લંબાઈ $a = 620 \ pm$.
કિંમત મૂકતા: $r = \frac{620}{2 \times 1.414} = \frac{620}{2.828} \approx 219.2 \ pm$.
આમ, $Xe$ પરમાણુની ત્રિજ્યા $219.2 \ pm$ છે.

(B) $fcc$ બંધારણ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
ઘનતા $d = \frac{Z \cdot M}{a^3 \cdot N_A}$.
ધારની લંબાઈ $a$ માટે સૂત્ર: $a^3 = \frac{Z \cdot M}{d \cdot N_A}$.
કિંમતો મૂકતા: $a^3 = \frac{4 \times 98.99}{3.4 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$a^3 = 193.389 \times 10^{-24} \text{ cm}^3$.
$a = \sqrt[3]{193.389} \times 10^{-8} \text{ cm} = 5.783 \times 10^{-8} \text{ cm}$.
$1 \text{ cm} = 10^8 \mathring A$ હોવાથી,$a = 5.783 \mathring A$.

$(A)$ $bcc$ એકમ કોષ માટે, પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $(n)$ $2$ છે।
ધારની લંબાઈ $(a)$ $288 \ pm = 2.88 \times 10^{-8} \ cm$ છે।
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{n \times M}{a^{3} \times N_{A}}$ છે।
મોલર દળ $(M)$ માટે સૂત્ર: $M = \frac{\rho \times a^{3} \times N_{A}}{n}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{7.2 \times (2.88 \times 10^{-8})^{3} \times 6.022 \times 10^{23}}{2} \approx 51.78 \ g \ mol^{-1}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2 \sqrt{2} r$ અથવા $r = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ છે.
આપેલ ધારની લંબાઈ $a = 316.5 \text{ pm}$.
કિંમત મૂકતા: $r = \frac{316.5 \text{ pm}}{2 \times 1.414} = \frac{316.5 \text{ pm}}{2.828} \approx 111.91 \text{ pm}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $bcc$ લેટીસ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ છે।
આપેલ છે: ધારની લંબાઈ $a = 500 \ pm = 5 \times 10^{-8} \ cm$, ઘનતા $\rho = 7.5 \ g \ cm^{-3}$, દળ $m = 300 \ g$.
એકમ કોષનું કદ $a^{3} = (5 \times 10^{-8} \ cm)^{3} = 125 \times 10^{-24} \ cm^{3}$.
ઘનતાના સૂત્ર $\rho = \frac{nM}{a^{3} N_{A}}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે મોલર દળ $M$ શોધીએ છીએ:
$M = \frac{\rho \times a^{3} \times N_{A}}{n} = \frac{7.5 \times 125 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{2} \approx 282.3 \ g \ mol^{-1}$.
$300 \ g$ ધાતુમાં પરમાણુઓની સંખ્યા = $\frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} \times N_{A} = \frac{300}{282.3} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 6.4 \times 10^{23} \ \text{પરમાણુઓ}$.

(A) આપેલ નમૂનાનું કદ આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $\text{Volume} = \frac{\text{Mass}}{\text{Density}} = \frac{36 \ g}{7.2 \ g \ cm^{-3}} = 5 \ cm^{3}$.
નમૂનામાં એકમ કોષોની સંખ્યા નમૂનાના કુલ કદ અને એક એકમ કોષના કદના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$\text{Number of unit cells} = \frac{\text{Total Volume}}{\text{Volume of one unit cell}} = \frac{5 \ cm^{3}}{24.99 \times 10^{-24} \ cm^{3}}$.
$\text{Number of unit cells} \approx 0.20008 \times 10^{24} = 2.0 \times 10^{23}$.

(B) $bcc$ (અંતઃકેન્દ્રિત ઘન) બંધારણ માટે,ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$
આપેલ છે,$a = 4.29 \times 10^{-8} \ cm$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4.29 \times 10^{-8} \ cm$
$r = 0.433 \times 4.29 \times 10^{-8} \ cm$
$r \approx 1.857 \times 10^{-8} \ cm$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$r \approx 1.86 \times 10^{-8} \ cm$ મળે છે.

(B) એકમ કોષ માટે ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{nM}{a^3 N_{A}}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.96 = \frac{n \times 23}{48}$.
$n$ માટે ગણતરી કરતા: $n = \frac{0.96 \times 48}{23}$.
$n = \frac{46.08}{23} \approx 2.003$.
આમ,એકમ કોષમાં રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $2$ છે.

(D) એકમ કોષની ઘનતા $(\rho)$ માટેનું સૂત્ર: $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$
જ્યાં $M$ મોલર દળ છે,$n$ એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા છે,$a^3$ એકમ કોષનું કદ છે અને $N_A$ એવોગેડ્રો અચળાંક છે.
આપેલ છે: $\rho = 20 \ g \ cm^{-3}$,$M = 190 \ g \ mol^{-1}$,અને $a^3 \cdot N_A = 38 \ cm^3 \ mol^{-1}$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $20 = \frac{190 \times n}{38}$
$n = \frac{20 \times 38}{190}$
$n = \frac{760}{190} = 4$
તેથી,એકમ કોષમાં રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે.

(D) એક $CsCl$ આયન જોડને અનુરૂપ ઘનનું કદ $V = 7.014 \times 10^{-23} \ cm^{3}$ આપેલ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સૌથી નાનું $Cs^{+}-Cs^{+}$ આંતર-પરમાણ્વીય અંતર $(a)$ એ આ ઘનની બાજુની લંબાઈ જેટલું છે.
તેથી,$a^{3} = 7.014 \times 10^{-23} \ cm^{3}$.
$a = (7.014 \times 10^{-23})^{1/3} \ cm$.
$a = 4.124 \times 10^{-8} \ cm$.
$1 \ \mathring{A} = 10^{-8} \ cm$ હોવાથી,$a = 4.124 \ \mathring{A}$ થાય.
નજીકના મૂલ્ય મુજબ,અંતર આશરે $4.1 \ \mathring{A}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સાદા ઘન એકમ કોષ માટે,ત્રિજ્યા '$r$' અને ધારની લંબાઈ '$a$' વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{a}{2}$ છે.
અંતઃકેન્દ્રિત ઘન $(bcc)$ એકમ કોષ માટે,સંબંધ $r = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ છે.
ફલક-કેન્દ્રિત ઘન $(fcc)$ એકમ કોષ માટે,સંબંધ $r = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ છે.
આમ,સાદા ઘન : $bcc$ : $fcc$ ની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{1}{2} \ a : \frac{\sqrt{3}}{4} \ a : \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ a$ થશે.

(D) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(FCC)$ સ્ફટિક માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે।
ધારની લંબાઈ $a = 300 \ pm = 300 \times 10^{-10} \ cm = 3 \times 10^{-8} \ cm$.
ઘનતા $d = 10 \ g \ cm^{-3}$.
ઘનતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$, જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે।
$M = \frac{d \times N_A \times a^3}{Z} = \frac{10 \times 6.022 \times 10^{23} \times (3 \times 10^{-8})^3}{4}$.
$M = \frac{10 \times 6.022 \times 10^{23} \times 27 \times 10^{-24}}{4} = \frac{162.594}{4} = 40.6485 \ g \ mol^{-1}$.
હવે, $4.5 \ g$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{પરમાણુઓની સંખ્યા} = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} \times N_A = \frac{4.5}{40.6485} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 6.66 \times 10^{22}$ પરમાણુઓ.

(C) આપેલ છે,ધાત્વિક ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3} \ \mathring{A} = \sqrt{3} \times 10^{-10} \ m$.
બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ લેટીસ માટે,ત્રિજ્યા $r$ અને ધારની લંબાઈ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{\sqrt{3} a}{4}$ છે.
$a$ માટે ગણતરી કરતા: $a = \frac{4r}{\sqrt{3}} = \frac{4 \times \sqrt{3} \times 10^{-10} \ m}{\sqrt{3}} = 4 \times 10^{-10} \ m$.
યુનિટ સેલનું કદ $V = a^3 = (4 \times 10^{-10} \ m)^3 = 64 \times 10^{-30} \ m^3 = 6.4 \times 10^{-29} \ m^3$ થાય.

(A) આપેલ છે કે, ધાતુ $bcc$ લેટીસમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે, તેથી $Z = 2$.
ધારની લંબાઈ $a = 300 \ pm = 300 \times 10^{-10} \ cm$.
ઘનતા $d = 6.15 \ g \ cm^{-3}$.
ઘનતા માટેનું સૂત્ર: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$.
મોલર દળ $M$ માટે સૂત્ર: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{6.15 \times (300 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{2}$.
$M = \frac{6.15 \times 27 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{2} = \frac{99.965}{2} \approx 49.98 \ g \ mol^{-1}$.
આમ, મોલર દળ આશરે $50 \ g \ mol^{-1}$ છે.

(B) $FCC$ એકમ કોષ માટે,ધારની લંબાઈ $a$ અને ધાત્વિક ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{2}a$ છે.
આપેલ છે કે $r = \sqrt{2} \ \mathring{A}$.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = \frac{4 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4 \ \mathring{A}$.
એકમ કોષનું કદ $V = a^{3} = (4 \ \mathring{A})^{3} = 64 \ \mathring{A}^{3}$ થાય.
કારણ કે $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,તેથી $1 \ \mathring{A}^{3} = 10^{-30} \ m^{3}$.
તેથી,$V = 64 \times 10^{-30} \ m^{3} = 6.4 \times 10^{-29} \ m^{3}$.

(C) $BCC$ સ્ફટિક માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા,$Z = 2$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ છે.
આપેલ છે: $d = 10 \ g \ cm^{-3}$,$a = 200 \ pm = 2 \times 10^{-8} \ cm$,$N_A = 6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$,$Z = 2$.
મોલર દળ $(M)$ ની ગણતરી:
$M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z} = \frac{10 \times (2 \times 10^{-8})^3 \times 6 \times 10^{23}}{2} = 24 \ g \ mol^{-1}$.
$2.4 \ g$ માં મોલની સંખ્યા = $\frac{2.4}{24} = 0.1 \ mol$.
પરમાણુઓની સંખ્યા = $0.1 \times 6 \times 10^{23} = 6 \times 10^{22}$ $\text{પરમાણુઓ}$.

(C) ઘનનો મુખ્ય વિકર્ણ શોધવાનું સૂત્ર $\sqrt{3} \times a$ છે, જ્યાં $a$ એ ઘનની ધારની લંબાઈ છે。
આપેલ છે, $a = 300 \ pm$.
મુખ્ય વિકર્ણ $= \sqrt{3} \times 300 \ pm$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા:
મુખ્ય વિકર્ણ $= 1.732 \times 300 \ pm = 519.6 \ pm$.

(D) $B.C.C.$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) લેટીસ માટે,ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ છે.
આપેલ ધારની લંબાઈ $a = 4.29 \ \mathring{A}$ છે.
સૂત્રમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4.29$
$r = 0.433 \times 4.29$
$r \approx 1.857 \ \mathring{A}$.

(C) $bcc$ લેટીસ માટે,ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{3}a$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
આપેલ છે કે $r = 2.598 \ \mathring{A} = 2.598 \times 10^{-8} \ cm$.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $a = \frac{4 \times 2.598 \times 10^{-8}}{\sqrt{3}} = 6 \times 10^{-8} \ cm$.
એકમ કોષનું કદ $V = a^3 = (6 \times 10^{-8} \ cm)^3 = 2.16 \times 10^{-22} \ cm^3$ થાય.

(C) સાદા ઘન લેટીસમાં, પરમાણુઓ ઘનના ખૂણાઓ પર હાજર હોય છે.
સાદા ઘન એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણુની ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2r$ છે.
આપેલ છે કે ધાતુના પરમાણુની ત્રિજ્યા $r = x \ pm$ છે.
તેથી, ધારની લંબાઈ $a = 2 \times x = 2x \ pm$ થશે.
એકમ કોષનું કદ $V = a^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $V = (2x)^3 = 8x^3 \ pm^3$ મળે છે.

(C) બ્રેગના નિયમ મુજબ: $n \lambda = 2 d \sin \theta$.
આપેલ છે: $n = 1$,$\lambda = 1.54 \mathring{A}$,અને $2 \theta = 60^{\circ}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $1 \times 1.54 \mathring{A} = 2 \times d \times \sin 30^{\circ}$.
$\sin 30^{\circ} = 0.5$ હોવાથી: $1.54 \mathring{A} = 2 \times d \times 0.5$.
$1.54 \mathring{A} = d$.
$\mathring{A}$ ને $cm$ માં ફેરવતા $(1 \mathring{A} = 10^{-8} \ cm)$:
$d = 1.54 \times 10^{-8} \ cm$.

(C) એકમ કોષની ઘનતા $(d)$ માટેનું સૂત્ર: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
જ્યાં $Z$ એ એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા છે,$M$ એ મોલર દળ $(23 \ g \ mol^{-1})$,$a$ એ ધારની લંબાઈ $(5 \ \mathring{A} = 5 \times 10^{-8} \ cm)$,અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક $(6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ છે.
$Z$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $Z = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M}$
કિંમતો મૂકતા: $Z = \frac{0.613 \times (5 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{23}$
ગણતરી કરતા: $Z \approx 2$
આમ,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની અસરકારક સંખ્યા $2$ છે.

(B) $fcc$ લેટીસ માટે,ધારની લંબાઈ $a = 4 \ \mathring{A} = 4 \times 10^{-8} \ cm$.
$1$. $fcc$ લેટીસમાં પરમાણુઓ વચ્ચેનું નજીકનું અંતર $(x)$ $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ \mathring{A} \approx 2.828 \ \mathring{A}$.
$2$. ઘનતા $(y)$ સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$fcc$ માટે,$Z = 4$. આપેલ છે $M = 197 \ g \ mol^{-1}$,$N_A = 6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$,અને $a = 4 \times 10^{-8} \ cm$.
$y = \frac{4 \times 197}{6 \times 10^{23} \times (4 \times 10^{-8})^3} = \frac{788}{6 \times 10^{23} \times 64 \times 10^{-24}} = \frac{788}{38.4} \approx 20.52 \ g \ cm^{-3}$.
આમ,$x = 2\sqrt{2}$ અને $y = 20.52$.

(C) સાદા ઘન લેટીસ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $1$ છે.
ઘનતા $(d)$ નું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે,જ્યાં $M$ પરમાણ્વીય દળ છે,$N_A$ એવોગેડ્રો આંક છે,અને $a$ ધારની લંબાઈ છે.
કિંમતો મૂકતા: $7.2 = \frac{1 \times 250}{6.02 \times 10^{23} \times a^3}$.
$a^3 = \frac{250}{7.2 \times 6.02 \times 10^{23}} \approx 5.767 \times 10^{-23} \ cm^3$.
$a = (57.67 \times 10^{-24})^{1/3} \approx 3.86 \times 10^{-8} \ cm = 3.86 \ \mathring{A}$.
સાદા ઘન લેટીસ માટે,ત્રિજ્યા $(r)$ અને ધારની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{a}{2}$ છે.
$r = \frac{3.86}{2} = 1.93 \ \mathring{A}$.

(A) $1$. $BCC$ એકમ કોષ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $2$ છે।
$2$. ધારની લંબાઈ $(a)$ $288 \ pm = 288 \times 10^{-10} \ cm$ છે।
$3$. એકમ કોષનું કદ $(V)$ $a^3 = (288 \times 10^{-10} \ cm)^3 \approx 2.39 \times 10^{-23} \ cm^3$ છે।
$4$. ઘનતા $(\rho)$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે।
$5$. મોલર દળ $(M)$ શોધવા માટે: $M = \frac{\rho \times N_A \times a^3}{Z} = \frac{7.2 \times 6.022 \times 10^{23} \times 2.39 \times 10^{-23}}{2} \approx 51.8 \ g \ mol^{-1}$.
$6$. $208 \ g$ માં મોલની સંખ્યા $n = \frac{\text{દળ}}{M} = \frac{208}{51.8} \approx 4.015 \ mol$ છે।
$7$. પરમાણુઓની સંખ્યા $n \times N_A = 4.015 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 24.18 \times 10^{23} \approx 24.2 \times 10^{23}$ છે.

(B) સાદા ઘન લેટિસ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુની ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2r$ છે।
એકમ કોષનું કદ $(V)$ $V = a^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે કે $V = 6.4 \times 10^7 \ pm^3$.
તેથી, $a^3 = 6.4 \times 10^7 \ pm^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા, $a = (64 \times 10^6)^{1/3} \ pm = 400 \ pm$.
કારણ કે $a = 2r$, તેથી $r = a / 2 = 400 / 2 = 200 \ pm$.

(A) ઘન સ્ફટિક માટે ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે.
આપેલ મૂલ્યો $\rho = 7.6 \ g \ cm^{-3}$,$M = 56 \ g \ mol^{-1}$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$,અને $a = 290 \ pm = 290 \times 10^{-10} \ cm$ છે.
$Z$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $Z = \frac{\rho \times N_A \times a^3}{M}$.
કિંમતો મૂકતા: $Z = \frac{7.6 \times 6.022 \times 10^{23} \times (290 \times 10^{-10})^3}{56}$.
ગણતરી કરતા $Z \approx 1.99$ મળે છે.
આમ,$Z$ નું મૂલ્ય આશરે $2$ છે.

(C) $CCP$ બંધારણ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{ZM}{N_A a^3}$ છે.
$a^3$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $a^3 = \frac{ZM}{N_A d} = \frac{4 \times 107.9}{(6.022 \times 10^{23}) \times 10.5}$
$a^3 = \frac{431.6}{63.231 \times 10^{23}} \approx 6.825 \times 10^{-23} \ cm^3$
$cm^3$ ને $\mathring{A}^3$ માં ફેરવતા: $1 \ cm^3 = (10^8 \ \mathring{A})^3 = 10^{24} \ \mathring{A}^3$
$a^3 = 6.825 \times 10^{-23} \times 10^{24} \ \mathring{A}^3 = 68.25 \ \mathring{A}^3$
તેથી,$a = \sqrt[3]{68.25} \ \mathring{A}$.

(B) આપેલ છે: ઘનતા $(d) = 8.92 \ g \ cm^{-3}$,ધારની લંબાઈ $(a) = 3.61 \times 10^{-8} \ cm$,એવોગેડ્રો આંક $(N_A) = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
$fcc$ લેટિસ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z) = 4$.
ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ છે,જ્યાં $M$ એ પરમાણ્વીય દળ છે.
$M$ માટે સૂત્ર: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{8.92 \times (3.61 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$.
$M = \frac{8.92 \times 47.0458 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$.
$M = \frac{252.712}{4} = 63.178 \ u$.

(A) $210 \ g$ $A$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા $\frac{210}{M_A} \times N_A$ છે અને $594 \ g$ $B$ માં $\frac{594}{M_B} \times N_A$ છે,જ્યાં $M_A$ અને $M_B$ મોલર દળ છે.
આપેલ છે: $\frac{210}{M_A} = \frac{594}{M_B} \implies \frac{M_B}{M_A} = \frac{594}{210} = 2.828$.
ઘનતાનું સૂત્ર: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
$A$ ($fcc$,$Z=4$) માટે: $7 = \frac{4 \times M_A}{N_A \times a^3}$.
$B$ ($bcc$,$Z=2$) માટે: $d_B = \frac{2 \times M_B}{N_A \times a^3}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{d_B}{7} = \frac{2 \times M_B}{4 \times M_A} = \frac{1}{2} \times \frac{M_B}{M_A}$.
ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{d_B}{7} = \frac{1}{2} \times \frac{594}{210} = 1.414$.
$d_B = 7 \times 1.414 = 9.9 \ g \ cm^{-3}$.

(C) $fcc$ એકમ કોષમાં પરમાણુઓની અસરકારક સંખ્યા $Z = 4$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^3}$ છે.
આપેલ છે: $d = 11.21 \ g \ cm^{-3}$,$a = 4 \ \mathring{A} = 4 \times 10^{-8} \ cm$,$N_{A} = 6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
મોલર દળ $(M)$ માટે સૂત્ર: $M = \frac{d \times N_{A} \times a^3}{Z}$.
$M = \frac{11.21 \times 6.023 \times 10^{23} \times (4 \times 10^{-8})^3}{4}$.
$M = \frac{11.21 \times 6.023 \times 10^{23} \times 64 \times 10^{-24}}{4}$.
$M = 11.21 \times 6.023 \times 16 \times 0.1 = 108.0 \ g \ mol^{-1}$.