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Crystal packing Questions in Hindi
Class 12 Chemistry · Solid State · Crystal packing
281+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 281 questions in Hindi
151
Medium
संक्षिप्त टिप्पणी लिखिए: यौगिक का सूत्र और भरे हुए रिक्तियों (voids) की संख्या।
Solution
(N/A) $ccp$ या $hcp$ जैसी निविड संकुलित संरचनाओं में दो प्रकार की रिक्तियाँ बनती हैं: चतुष्फलकीय रिक्तियाँ और अष्टफलकीय रिक्तियाँ।
जालक (lattice) में उपस्थित अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या निविड संकुलित कणों की संख्या $(N)$ के बराबर होती है,जबकि चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या निविड संकुलित कणों की संख्या की दोगुनी $(2N)$ होती है।
आयनिक ठोसों में,बड़े आयन (आमतौर पर ऋणायन) निविड संकुलित संरचना बनाते हैं,जबकि छोटे आयन (आमतौर पर धनायन) रिक्तियों में स्थित होते हैं।
यदि धनायन छोटा है,तो वह चतुष्फलकीय रिक्तियों को भरता है; यदि वह बड़ा है,तो वह अष्टफलकीय रिक्तियों को भरता है।
किसी दिए गए यौगिक में कितनी अष्टफलकीय या चतुष्फलकीय रिक्तियाँ भरी हुई हैं,यह यौगिक के रासायनिक सूत्र पर निर्भर करता है। यह आवश्यक नहीं है कि सभी चतुष्फलकीय या अष्टफलकीय रिक्तियाँ भरी हों।
जालक (lattice) में उपस्थित अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या निविड संकुलित कणों की संख्या $(N)$ के बराबर होती है,जबकि चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या निविड संकुलित कणों की संख्या की दोगुनी $(2N)$ होती है।
आयनिक ठोसों में,बड़े आयन (आमतौर पर ऋणायन) निविड संकुलित संरचना बनाते हैं,जबकि छोटे आयन (आमतौर पर धनायन) रिक्तियों में स्थित होते हैं।
यदि धनायन छोटा है,तो वह चतुष्फलकीय रिक्तियों को भरता है; यदि वह बड़ा है,तो वह अष्टफलकीय रिक्तियों को भरता है।
किसी दिए गए यौगिक में कितनी अष्टफलकीय या चतुष्फलकीय रिक्तियाँ भरी हुई हैं,यह यौगिक के रासायनिक सूत्र पर निर्भर करता है। यह आवश्यक नहीं है कि सभी चतुष्फलकीय या अष्टफलकीय रिक्तियाँ भरी हों।
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Difficult
$ccp$ या $fcc$ संरचना में चतुष्फलकीय और अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या और स्थिति की गणना कीजिए।
Solution
(N/A) - $(A)$ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ: $ccp$ या $fcc$ जालक में,इकाई सेल को $8$ छोटे घनों में विभाजित किया जाता है। प्रत्येक छोटे घन में एकांतर कोनों पर परमाणु होते हैं। यदि इन्हें जोड़ा जाए,तो वे एक नियमित चतुष्फलक बनाते हैं। इस प्रकार,प्रत्येक छोटे घन में एक चतुष्फलकीय रिक्ति होती है,जिससे कुल $8$ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ होती हैं।
- $ccp$ संरचना में,प्रति इकाई सेल $4$ परमाणु होते हैं। चूंकि चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है,इसलिए $4 \times 2 = 8$ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ होती हैं।
- $(B)$ अष्टफलकीय रिक्तियाँ: घन के अंत:केंद्र पर एक अष्टफलकीय रिक्ति होती है। इसके अतिरिक्त,$12$ किनारों के केंद्र पर भी अष्टफलकीय रिक्तियाँ होती हैं। प्रत्येक किनारे का केंद्र $4$ निकटवर्ती इकाई सेलों द्वारा साझा किया जाता है,इसलिए एक इकाई सेल में प्रत्येक किनारे-केंद्रित रिक्ति का योगदान $\frac{1}{4}$ होता है।
- कुल अष्टफलकीय रिक्तियाँ = $1$ (अंत:केंद्र) $+ 12 \times \frac{1}{4}$ (किनारों के केंद्र) $= 1 + 3 = 4$.
- $ccp$ संरचना में,प्रति इकाई सेल $4$ परमाणु होते हैं। चूंकि चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है,इसलिए $4 \times 2 = 8$ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ होती हैं।
- $(B)$ अष्टफलकीय रिक्तियाँ: घन के अंत:केंद्र पर एक अष्टफलकीय रिक्ति होती है। इसके अतिरिक्त,$12$ किनारों के केंद्र पर भी अष्टफलकीय रिक्तियाँ होती हैं। प्रत्येक किनारे का केंद्र $4$ निकटवर्ती इकाई सेलों द्वारा साझा किया जाता है,इसलिए एक इकाई सेल में प्रत्येक किनारे-केंद्रित रिक्ति का योगदान $\frac{1}{4}$ होता है।
- कुल अष्टफलकीय रिक्तियाँ = $1$ (अंत:केंद्र) $+ 12 \times \frac{1}{4}$ (किनारों के केंद्र) $= 1 + 3 = 4$.
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MediumMCQ
एक यौगिक दो तत्वों $X$ और $Y$ से बना है। तत्व $Y$ (ऋणायन) के परमाणु $hcp$ संरचना बनाते हैं और तत्व $X$ (धनायन) के परमाणु सभी चतुष्फलकीय रिक्तियों को भरते हैं,तो यौगिक का सूत्र ज्ञात कीजिए।
A
$XY$
B
$X_2Y$
C
$XY_2$
D
$X_2Y_3$
Solution
(B) $hcp$ संरचना में,तत्व $Y$ के परमाणुओं की संख्या $N$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2N$ है।
चूंकि तत्व $X$ सभी चतुष्फलकीय रिक्तियों को भरता है,इसलिए $X$ के परमाणुओं की संख्या $2N$ है।
$X:Y$ का अनुपात $2N:N$ है,जो $2:1$ हो जाता है।
अतः,यौगिक का सूत्र $X_2Y$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2N$ है।
चूंकि तत्व $X$ सभी चतुष्फलकीय रिक्तियों को भरता है,इसलिए $X$ के परमाणुओं की संख्या $2N$ है।
$X:Y$ का अनुपात $2N:N$ है,जो $2:1$ हो जाता है।
अतः,यौगिक का सूत्र $X_2Y$ है।
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MediumMCQ
तत्व $B$ के परमाणु $ccp$ जालक बनाते हैं और तत्व $A$ के परमाणु चतुष्फलकीय रिक्तियों के $\frac{1}{2}$ भाग को घेरते हैं। तत्वों $A$ और $B$ द्वारा निर्मित यौगिक का सूत्र क्या है?
A
$A_2B$
B
$AB_2$
C
$A_4B$
D
$AB$
Solution
(D) मान लीजिए कि $ccp$ जालक में तत्व $B$ के परमाणुओं की संख्या $n$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2n$ के बराबर होती है।
तत्व $A$ के परमाणु चतुष्फलकीय रिक्तियों के $\frac{1}{2}$ भाग को घेरते हैं,इसलिए $A$ के परमाणुओं की संख्या $= \frac{1}{2} \times 2n = n$ है।
$A:B$ परमाणुओं का अनुपात $= n:n = 1:1$ है।
अतः,यौगिक का सूत्र $AB$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2n$ के बराबर होती है।
तत्व $A$ के परमाणु चतुष्फलकीय रिक्तियों के $\frac{1}{2}$ भाग को घेरते हैं,इसलिए $A$ के परमाणुओं की संख्या $= \frac{1}{2} \times 2n = n$ है।
$A:B$ परमाणुओं का अनुपात $= n:n = 1:1$ है।
अतः,यौगिक का सूत्र $AB$ है।
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MediumMCQ
तत्व $A$ के परमाणु अष्टफलकीय रिक्तियों का $\frac{1}{3}$ भाग घेरते हैं,जबकि तत्व $B$ के परमाणु $hcp$ संरचना बनाते हैं। $A$ और $B$ द्वारा निर्मित यौगिक का सूत्र ज्ञात कीजिए।
A
$A_2B_3$
B
$A_3B_2$
C
$A_2B$
D
$AB_3$
Solution
(D) $1$. मान लीजिए कि $hcp$ संरचना में तत्व $B$ के परमाणुओं की संख्या $n$ है।
$2$. अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $hcp$ जालक बनाने वाले परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है,जो $n$ है।
$3$. तत्व $A$ के परमाणु अष्टफलकीय रिक्तियों का $\frac{1}{3}$ भाग घेरते हैं,इसलिए $A$ के परमाणुओं की संख्या $= \frac{1}{3}n$ है।
$4$. परमाणुओं $A : B$ का अनुपात $= \frac{1}{3}n : n = 1 : 3$ है।
$5$. अतः,यौगिक का सूत्र $AB_3$ है।
$2$. अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $hcp$ जालक बनाने वाले परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है,जो $n$ है।
$3$. तत्व $A$ के परमाणु अष्टफलकीय रिक्तियों का $\frac{1}{3}$ भाग घेरते हैं,इसलिए $A$ के परमाणुओं की संख्या $= \frac{1}{3}n$ है।
$4$. परमाणुओं $A : B$ का अनुपात $= \frac{1}{3}n : n = 1 : 3$ है।
$5$. अतः,यौगिक का सूत्र $AB_3$ है।
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MediumMCQ
एक आयनिक ऑक्साइड में,ऑक्साइड ऋणायन $hcp$ व्यवस्था बनाते हैं,जबकि धातु धनायन अष्टफलकीय रिक्तियों का $\frac{2}{3}$ भाग घेरते हैं। इस ऑक्साइड का सूत्र ज्ञात कीजिए।
A
$M_2O_3$
B
$M_3O_2$
C
$MO_3$
D
$M_2O$
Solution
(A) मान लीजिए कि $hcp$ व्यवस्था में ऑक्साइड आयनों $(O^{2-})$ की संख्या $N$ है।
चूंकि ऑक्साइड आयन $hcp$ जालक बनाते हैं,इसलिए अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $N$ के बराबर होती है।
धातु धनायन $(M^{n+})$ अष्टफलकीय रिक्तियों का $\frac{2}{3}$ भाग घेरते हैं,इसलिए धातु आयनों की संख्या $\frac{2}{3}N$ है।
$M : O$ का अनुपात $\frac{2}{3}N : N$ है,जो सरल होकर $2 : 3$ हो जाता है।
अतः,ऑक्साइड का सूत्र $M_2O_3$ है।
चूंकि ऑक्साइड आयन $hcp$ जालक बनाते हैं,इसलिए अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $N$ के बराबर होती है।
धातु धनायन $(M^{n+})$ अष्टफलकीय रिक्तियों का $\frac{2}{3}$ भाग घेरते हैं,इसलिए धातु आयनों की संख्या $\frac{2}{3}N$ है।
$M : O$ का अनुपात $\frac{2}{3}N : N$ है,जो सरल होकर $2 : 3$ हो जाता है।
अतः,ऑक्साइड का सूत्र $M_2O_3$ है।
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MediumMCQ
एक क्रिस्टल जालक में,$C$ ऋणायन क्यूबिक क्लोज-पैक्ड $(CCP)$ संरचना बनाते हैं। धनायन $(A)$ $50\%$ चतुष्फलकीय रिक्तियों को और धनायन $(B)$ $50\%$ अष्टफलकीय रिक्तियों को घेरते हैं। यौगिक का आणविक सूत्र ज्ञात कीजिए।
A
$A_2BC_2$
B
$ABC_2$
C
$A_2B_2C$
D
$ABC$
Solution
(A) मान लीजिए कि $CCP$ संरचना में $C$ ऋणायनों की संख्या $N = 4$ है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या = $N = 4$.
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या = $2N = 8$.
धनायन $(A)$ $50\%$ चतुष्फलकीय रिक्तियों को घेरते हैं: $A = 0.50 \times 8 = 4$.
धनायन $(B)$ $50\%$ अष्टफलकीय रिक्तियों को घेरते हैं: $B = 0.50 \times 4 = 2$.
अनुपात $A:B:C = 4:2:4 = 2:1:2$.
अतः,आणविक सूत्र $A_2BC_2$ है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या = $N = 4$.
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या = $2N = 8$.
धनायन $(A)$ $50\%$ चतुष्फलकीय रिक्तियों को घेरते हैं: $A = 0.50 \times 8 = 4$.
धनायन $(B)$ $50\%$ अष्टफलकीय रिक्तियों को घेरते हैं: $B = 0.50 \times 4 = 2$.
अनुपात $A:B:C = 4:2:4 = 2:1:2$.
अतः,आणविक सूत्र $A_2BC_2$ है।
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MediumMCQ
$AB_2O_4$ सूत्र वाले एक क्रिस्टलीय ठोस में,ऑक्साइड आयन क्यूबिक क्लोज-पैक $(CCP)$ जालक में व्यवस्थित हैं,जबकि धनायन $A$ चतुष्फलकीय रिक्तियों में और धनायन $B$ अष्टफलकीय रिक्तियों में उपस्थित हैं। $A$ और $B$ द्वारा अधिकृत चतुष्फलकीय और अष्टफलकीय रिक्तियों का प्रतिशत क्रमशः कितना है?
A
$12.5 \%$ और $50 \%$
B
$25 \%$ और $50 \%$
C
$50 \%$ और $25 \%$
D
$12.5 \%$ और $25 \%$
Solution
(A) $N$ ऑक्साइड आयनों $(O^{2-})$ के $CCP$ जालक में,अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $N$ और चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2N$ होती है।
$AB_2O_4$ सूत्र के अनुसार,$4$ ऑक्साइड आयनों के लिए,$1$ $A$ आयन और $2$ $B$ आयन हैं।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या = $2 \times 4 = 8$.
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या = $4$.
$A$ द्वारा अधिकृत चतुष्फलकीय रिक्तियों का प्रतिशत = $(1 / 8) \times 100 = 12.5 \%$.
$B$ द्वारा अधिकृत अष्टफलकीय रिक्तियों का प्रतिशत = $(2 / 4) \times 100 = 50 \%$.
$AB_2O_4$ सूत्र के अनुसार,$4$ ऑक्साइड आयनों के लिए,$1$ $A$ आयन और $2$ $B$ आयन हैं।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या = $2 \times 4 = 8$.
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या = $4$.
$A$ द्वारा अधिकृत चतुष्फलकीय रिक्तियों का प्रतिशत = $(1 / 8) \times 100 = 12.5 \%$.
$B$ द्वारा अधिकृत अष्टफलकीय रिक्तियों का प्रतिशत = $(2 / 4) \times 100 = 50 \%$.
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MediumMCQ
एक $fcc$ क्रिस्टल जालक में,परमाणु $A$ घन के कोनों पर हैं और परमाणु $B$ फलक के केंद्रों पर हैं। यदि एक फलक केंद्र से एक परमाणु हटा दिया जाए,तो यौगिक का सूत्र ज्ञात कीजिए।
A
$A_2B_5$
B
$A_4B_5$
C
$A_8B_5$
D
$A_2B_3$
Solution
(A) एक $fcc$ इकाई सेल में,कोनों पर परमाणुओं $A$ की संख्या $8 \times \frac{1}{8} = 1$ है।
प्रारंभ में,फलक केंद्रों पर परमाणुओं $B$ की संख्या $6 \times \frac{1}{2} = 3$ है।
यदि एक फलक केंद्र से एक परमाणु $B$ हटा दिया जाता है,तो शेष परमाणुओं $B$ की संख्या $3 - \frac{1}{2} = 2.5 = \frac{5}{2}$ है।
$A:B$ का अनुपात $1 : \frac{5}{2}$ है,जो $2 : 5$ में सरल हो जाता है।
अतः,यौगिक का सूत्र $A_2B_5$ है।
प्रारंभ में,फलक केंद्रों पर परमाणुओं $B$ की संख्या $6 \times \frac{1}{2} = 3$ है।
यदि एक फलक केंद्र से एक परमाणु $B$ हटा दिया जाता है,तो शेष परमाणुओं $B$ की संख्या $3 - \frac{1}{2} = 2.5 = \frac{5}{2}$ है।
$A:B$ का अनुपात $1 : \frac{5}{2}$ है,जो $2 : 5$ में सरल हो जाता है।
अतः,यौगिक का सूत्र $A_2B_5$ है।
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EasyMCQ
एक-विमीय निविड संकुलित व्यवस्था की उपसहसंयोजन संख्या क्या है?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) एक-विमीय निविड संकुलित व्यवस्था में,प्रत्येक गोला अपने दो निकटवर्ती गोलों के संपर्क में होता है।
अतः,उपसहसंयोजन संख्या $2$ है।
अतः,उपसहसंयोजन संख्या $2$ है।
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EasyMCQ
क्लोज-पैक्ड संरचना में अष्टफलकीय रिक्ति कितने गोलों द्वारा बनती है?
A
$4$
B
$6$
C
$8$
D
$12$
Solution
(B) एक अष्टफलकीय रिक्ति $6$ गोलों के संपर्क से बनती है।
क्लोज-पैक्ड व्यवस्था में,ये $6$ गोले इस प्रकार व्यवस्थित होते हैं कि $4$ गोले एक तल में,$1$ गोला इस तल के ऊपर और $1$ गोला इस तल के नीचे होता है,जो रिक्ति के चारों ओर एक अष्टफलकीय ज्यामिति बनाता है।
क्लोज-पैक्ड व्यवस्था में,ये $6$ गोले इस प्रकार व्यवस्थित होते हैं कि $4$ गोले एक तल में,$1$ गोला इस तल के ऊपर और $1$ गोला इस तल के नीचे होता है,जो रिक्ति के चारों ओर एक अष्टफलकीय ज्यामिति बनाता है।
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EasyMCQ
$hcp$ (षट्कोणीय क्लोज-पैक्ड) संरचना में क्रिस्टलीकृत होने वाली दो धातुओं के उदाहरण दीजिए।
A
$Mg$ और $Zn$
B
$Cu$ और $Ag$
C
$Fe$ और $Na$
D
$Al$ और $Pb$
Solution
(A) $hcp$ (षट्कोणीय क्लोज-पैक्ड) संरचना कई धातुओं में पाई जाने वाली एक सामान्य क्रिस्टल जालक है।
$hcp$ संरचना में क्रिस्टलीकृत होने वाली धातुओं के उदाहरणों में मैग्नीशियम $(Mg)$,जिंक $(Zn)$,बेरिलियम $(Be)$ और टाइटेनियम $(Ti)$ शामिल हैं।
$hcp$ संरचना में क्रिस्टलीकृत होने वाली धातुओं के उदाहरणों में मैग्नीशियम $(Mg)$,जिंक $(Zn)$,बेरिलियम $(Be)$ और टाइटेनियम $(Ti)$ शामिल हैं।
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EasyMCQ
$ccp$ व्यवस्था में प्रति परमाणु अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या क्या है?
A
$1$
B
$2$
C
$4$
D
$6$
Solution
(A) $ccp$ (क्यूबिक क्लोज पैकिंग) या $fcc$ (फेस-सेंटर्ड क्यूबिक) व्यवस्था में,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ होती है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या जालक (lattice) में उपस्थित परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है।
इसलिए,प्रति परमाणु अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $1$ होती है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या जालक (lattice) में उपस्थित परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है।
इसलिए,प्रति परमाणु अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $1$ होती है।
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MediumMCQ
$ccp$ व्यवस्था में,गोलों द्वारा घेरे गए स्थान का प्रतिशत ........ ( $\%$ में) है।
A
$52.4$
B
$68$
C
$74$
D
$47.6$
Solution
(C) $ccp$ (क्यूबिक क्लोज पैकिंग) या $fcc$ (फेस-सेंटर्ड क्यूबिक) व्यवस्था में,पैकिंग दक्षता इकाई सेल के कुल आयतन का वह अंश है जो गोलों द्वारा घेरा जाता है।
$ccp$ संरचनाओं के लिए,पैकिंग दक्षता की गणना $74 \%$ के रूप में की जाती है।
$ccp$ संरचनाओं के लिए,पैकिंग दक्षता की गणना $74 \%$ के रूप में की जाती है।
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MediumMCQ
यदि एक इकाई सेल में परमाणुओं की संख्या $2$ है,तो इसके चतुष्फलकीय और अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या क्रमशः ....... और ....... होगी।
A
$4$ और $2$
B
$2$ और $4$
C
$8$ और $4$
D
$4$ और $8$
Solution
(A) क्रिस्टल जालक में,यदि परमाणुओं की संख्या $N$ है,तो अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $N$ और चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2N$ होती है।
यहाँ परमाणुओं की संख्या $(N)$ $2$ दी गई है।
इसलिए,अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $= N = 2$.
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $= 2N = 2 \times 2 = 4$.
अतः,चतुष्फलकीय और अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या क्रमशः $4$ और $2$ होगी।
यहाँ परमाणुओं की संख्या $(N)$ $2$ दी गई है।
इसलिए,अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $= N = 2$.
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $= 2N = 2 \times 2 = 4$.
अतः,चतुष्फलकीय और अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या क्रमशः $4$ और $2$ होगी।
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Easy
परिभाषा लिखिए: संकुलन क्षमता (Packing Efficiency).
Solution
(N/A) अभियवी कणों (परमाणु,अणु या आयन) के किसी भी प्रकार के संकुलन में,रिक्तियों के रूप में कुछ खाली स्थान हमेशा होता है।
संकुलन क्षमता कणों द्वारा घेरे गए कुल स्थान का प्रतिशत है।
संकुलन क्षमता कणों द्वारा घेरे गए कुल स्थान का प्रतिशत है।
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Difficult
सरल घनीय एकक कोष्ठिका में संकुलन क्षमता (packing efficiency) की गणना कीजिए।
Solution
(N/A) एक सरल घनीय एकक कोष्ठिका में,घन के कोनों पर स्थित दो गोले किनारे पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
माना घन के किनारे की लंबाई $a$ है।
माना गोले की त्रिज्या $r$ है।
गोले की त्रिज्या और घन के किनारे की लंबाई के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$a = 2r$
घनीय एकक कोष्ठिका का आयतन $= a^{3} = (2r)^{3} = 8r^{3}$ है।
चूंकि एक सरल घनीय एकक कोष्ठिका में केवल $1$ परमाणु होता है,इसलिए घेरे गए स्थान का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^{3}$ है।
$\text{संकुलन क्षमता} = \frac{\text{एक परमाणु का आयतन}}{\text{घनीय एकक कोष्ठिका का आयतन}} \times 100$
$\text{संकुलन क्षमता} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^{3}}{8r^{3}} \times 100 = \frac{\pi}{6} \times 100$
$\text{संकुलन क्षमता} \approx 52.4 \%$
माना घन के किनारे की लंबाई $a$ है।
माना गोले की त्रिज्या $r$ है।
गोले की त्रिज्या और घन के किनारे की लंबाई के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$a = 2r$
घनीय एकक कोष्ठिका का आयतन $= a^{3} = (2r)^{3} = 8r^{3}$ है।
चूंकि एक सरल घनीय एकक कोष्ठिका में केवल $1$ परमाणु होता है,इसलिए घेरे गए स्थान का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^{3}$ है।
$\text{संकुलन क्षमता} = \frac{\text{एक परमाणु का आयतन}}{\text{घनीय एकक कोष्ठिका का आयतन}} \times 100$
$\text{संकुलन क्षमता} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^{3}}{8r^{3}} \times 100 = \frac{\pi}{6} \times 100$
$\text{संकुलन क्षमता} \approx 52.4 \%$
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Advanced
बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ संरचना में पैकिंग दक्षता की गणना कीजिए।
Solution
(N/A) बॉडी-सेंटर्ड यूनिट सेल में,कोनों पर स्थित गोले एक-दूसरे को स्पर्श नहीं करते हैं लेकिन वे बॉडी-सेंटर्ड परमाणु के संपर्क में होते हैं।
$\Delta EFD$ में,
$b^2 = a^2 + a^2 = 2 a^2$
$b = \sqrt{2} a$
$\Delta AFD$ में,
$c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + 2 a^2 = 3 a^2$
$c = \sqrt{3} a$
बॉडी विकर्ण $c$ की लंबाई $4 r$ के बराबर है,जहाँ $r$ गोले की त्रिज्या है,क्योंकि विकर्ण पर स्थित तीनों गोले एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
इसलिए,$\sqrt{3} a = 4 r$
$a = \frac{4 r}{\sqrt{3}}$
$BCC$ यूनिट सेल में परमाणुओं की संख्या = $2$ है।
दो गोलों का आयतन = $2 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{8}{3} \pi r^3$
यूनिट सेल का आयतन = $a^3 = (\frac{4 r}{\sqrt{3}})^3 = \frac{64 r^3}{3 \sqrt{3}}$
पैकिंग दक्षता = $\frac{\text{दो गोलों का आयतन}}{\text{यूनिट सेल का आयतन}} \times 100$
पैकिंग दक्षता = $\frac{\frac{8}{3} \pi r^3}{\frac{64 r^3}{3 \sqrt{3}}} \times 100 = \frac{\sqrt{3} \pi}{8} \times 100 \approx 68\%$
$\Delta EFD$ में,
$b^2 = a^2 + a^2 = 2 a^2$
$b = \sqrt{2} a$
$\Delta AFD$ में,
$c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + 2 a^2 = 3 a^2$
$c = \sqrt{3} a$
बॉडी विकर्ण $c$ की लंबाई $4 r$ के बराबर है,जहाँ $r$ गोले की त्रिज्या है,क्योंकि विकर्ण पर स्थित तीनों गोले एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
इसलिए,$\sqrt{3} a = 4 r$
$a = \frac{4 r}{\sqrt{3}}$
$BCC$ यूनिट सेल में परमाणुओं की संख्या = $2$ है।
दो गोलों का आयतन = $2 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{8}{3} \pi r^3$
यूनिट सेल का आयतन = $a^3 = (\frac{4 r}{\sqrt{3}})^3 = \frac{64 r^3}{3 \sqrt{3}}$
पैकिंग दक्षता = $\frac{\text{दो गोलों का आयतन}}{\text{यूनिट सेल का आयतन}} \times 100$
पैकिंग दक्षता = $\frac{\frac{8}{3} \pi r^3}{\frac{64 r^3}{3 \sqrt{3}}} \times 100 = \frac{\sqrt{3} \pi}{8} \times 100 \approx 68\%$
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Advanced
$hcp$ और $ccp$ संरचनाओं में संकुलन क्षमता की गणना आरेख बनाकर समझाइए।
Solution
(N/A) $\triangle EFD$ में,
$AC^2 = b^2 = BC^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$b = \sqrt{2}a$
यदि गोले की त्रिज्या $r$ है,तो $b = 4r = \sqrt{2}a$,या $a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r$।
हम जानते हैं कि $ccp$ संरचना में प्रत्येक इकाई सेल में प्रभावी रूप से $4$ गोले होते हैं।
चार गोलों का कुल आयतन = $4 \times \frac{4}{3} \pi r^3$।
इकाई सेल का आयतन = $a^3 = (2\sqrt{2}r)^3 = 16\sqrt{2}r^3$।
संकुलन क्षमता = $\frac{\text{इकाई सेल में चार गोलों द्वारा घेरा गया आयतन} \times 100}{\text{इकाई सेल का कुल आयतन}} \%$
$= \frac{4 \times (4/3) \pi r^3 \times 100}{16\sqrt{2}r^3} \% = 74 \%$.
$AC^2 = b^2 = BC^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$b = \sqrt{2}a$
यदि गोले की त्रिज्या $r$ है,तो $b = 4r = \sqrt{2}a$,या $a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r$।
हम जानते हैं कि $ccp$ संरचना में प्रत्येक इकाई सेल में प्रभावी रूप से $4$ गोले होते हैं।
चार गोलों का कुल आयतन = $4 \times \frac{4}{3} \pi r^3$।
इकाई सेल का आयतन = $a^3 = (2\sqrt{2}r)^3 = 16\sqrt{2}r^3$।
संकुलन क्षमता = $\frac{\text{इकाई सेल में चार गोलों द्वारा घेरा गया आयतन} \times 100}{\text{इकाई सेल का कुल आयतन}} \%$
$= \frac{4 \times (4/3) \pi r^3 \times 100}{16\sqrt{2}r^3} \% = 74 \%$.
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Difficult
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
$(a)$ $ccp$ संरचना में $a = \dots \dots r$.
$(b)$ $hcp$ संरचना में संकुलन क्षमता $= \dots \dots \%$.
$(c)$ $bcc$ संरचना में संकुलन क्षमता का प्रतिशत $= \dots \dots \%$.
$(a)$ $ccp$ संरचना में $a = \dots \dots r$.
$(b)$ $hcp$ संरचना में संकुलन क्षमता $= \dots \dots \%$.
$(c)$ $bcc$ संरचना में संकुलन क्षमता का प्रतिशत $= \dots \dots \%$.
Solution
(N/A) $ccp$ (क्यूबिक क्लोज़-पैक्ड) संरचना में,कोर की लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच का संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ है।
$(b)$ $hcp$ (हेक्सागोनल क्लोज़-पैक्ड) संरचना की संकुलन क्षमता $74\%$ होती है।
$(c)$ $bcc$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) संरचना की संकुलन क्षमता $68\%$ होती है।
$(b)$ $hcp$ (हेक्सागोनल क्लोज़-पैक्ड) संरचना की संकुलन क्षमता $74\%$ होती है।
$(c)$ $bcc$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) संरचना की संकुलन क्षमता $68\%$ होती है।
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EasyMCQ
संकुलन क्षमता (Packing efficiency) का सूत्र बताइए।
A
$\frac{\text{इकाई सेल का आयतन}}{\text{इकाई सेल में परमाणुओं का आयतन}} \times 100$
B
$\frac{\text{इकाई सेल में परमाणुओं का आयतन}}{\text{इकाई सेल का आयतन}} \times 100$
C
$\frac{\text{इकाई सेल का आयतन}}{\text{इकाई सेल में परमाणुओं का आयतन}}$
D
$\frac{\text{इकाई सेल में परमाणुओं का आयतन}}{\text{इकाई सेल का आयतन}}$
Solution
(B) संकुलन क्षमता को क्रिस्टल जालक में घटक कणों (परमाणुओं) द्वारा घेरे गए कुल स्थान के प्रतिशत के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसका सूत्र इस प्रकार है:
$\text{संकुलन क्षमता} = \frac{\text{इकाई सेल में परमाणुओं का आयतन}}{\text{इकाई सेल का कुल आयतन}} \times 100$.
इसका सूत्र इस प्रकार है:
$\text{संकुलन क्षमता} = \frac{\text{इकाई सेल में परमाणुओं का आयतन}}{\text{इकाई सेल का कुल आयतन}} \times 100$.
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MediumMCQ
एक यौगिक में,नाइट्रोजन परमाणु $(N)$ एक क्यूबिक क्लोज-पैक्ड जालक बनाते हैं और धातु परमाणु $(M)$ उपस्थित चतुष्फलकीय रिक्तियों के एक-तिहाई भाग को घेरते हैं। $M$ और $N$ द्वारा निर्मित यौगिक का सूत्र ज्ञात कीजिए।
A
$M_3N_2$
B
$M_2N_3$
C
$M_1N_3$
D
$M_3N_1$
Solution
(B) माना कि क्यूबिक क्लोज-पैक्ड (ccp) जालक में $N$ परमाणुओं की संख्या $4$ है।
चूंकि चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या जालक में परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है,इसलिए चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $= 2 \times 4 = 8$ है।
धातु परमाणु $(M)$ इन चतुष्फलकीय रिक्तियों के एक-तिहाई भाग को घेरते हैं,इसलिए $M$ परमाणुओं की संख्या $= \frac{1}{3} \times 8 = \frac{8}{3}$ है।
$M$ परमाणुओं और $N$ परमाणुओं का अनुपात $M:N = \frac{8}{3}: 4$ है।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,हमें $M:N = 8: 12$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2: 3$ मिलता है।
अतः,यौगिक का सूत्र $M_2N_3$ है।
चूंकि चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या जालक में परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है,इसलिए चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $= 2 \times 4 = 8$ है।
धातु परमाणु $(M)$ इन चतुष्फलकीय रिक्तियों के एक-तिहाई भाग को घेरते हैं,इसलिए $M$ परमाणुओं की संख्या $= \frac{1}{3} \times 8 = \frac{8}{3}$ है।
$M$ परमाणुओं और $N$ परमाणुओं का अनुपात $M:N = \frac{8}{3}: 4$ है।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,हमें $M:N = 8: 12$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2: 3$ मिलता है।
अतः,यौगिक का सूत्र $M_2N_3$ है।
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Advanced
नामांकित चित्र की सहायता से दर्शाइए कि एक क्यूबिक क्लोज-पैक्ड $(CCP)$ संरचना में प्रति यूनिट सेल $4$ अष्टफलकीय रिक्तियाँ होती हैं।
Solution
(N/A) क्यूबिक क्लोज-पैक्ड $(CCP)$ या फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(FCC)$ संरचना में,अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या यूनिट सेल में मौजूद परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है।
$1$. $CCP$ में प्रति यूनिट सेल परमाणुओं की संख्या $4$ होती है।
$2$. एक अष्टफलकीय रिक्ति घन के बॉडी सेंटर (केंद्र) पर स्थित होती है। यह रिक्ति पूरी तरह से यूनिट सेल के भीतर होती है और $6$ परमाणुओं द्वारा निर्मित होती है (प्रत्येक फलक के केंद्र पर एक)।
$3$. इसके अतिरिक्त,घन के किनारों पर $12$ अष्टफलकीय रिक्तियाँ स्थित होती हैं। प्रत्येक किनारे के केंद्र वाली रिक्ति $4$ निकटवर्ती यूनिट सेल द्वारा साझा की जाती है। इसलिए,एक यूनिट सेल में प्रत्येक किनारे के केंद्र वाली रिक्ति का योगदान $1/4$ होता है।
$4$. अष्टफलकीय रिक्तियों की कुल संख्या = (बॉडी सेंटर पर रिक्तियों की संख्या $\times 1$) + (किनारों के केंद्रों पर रिक्तियों की संख्या $\times 1/4$)
$5$. अष्टफलकीय रिक्तियों की कुल संख्या = $(1 \times 1) + (12 \times 1/4) = 1 + 3 = 4$.
अतः,एक $CCP$ संरचना में प्रति यूनिट सेल $4$ अष्टफलकीय रिक्तियाँ होती हैं।
$1$. $CCP$ में प्रति यूनिट सेल परमाणुओं की संख्या $4$ होती है।
$2$. एक अष्टफलकीय रिक्ति घन के बॉडी सेंटर (केंद्र) पर स्थित होती है। यह रिक्ति पूरी तरह से यूनिट सेल के भीतर होती है और $6$ परमाणुओं द्वारा निर्मित होती है (प्रत्येक फलक के केंद्र पर एक)।
$3$. इसके अतिरिक्त,घन के किनारों पर $12$ अष्टफलकीय रिक्तियाँ स्थित होती हैं। प्रत्येक किनारे के केंद्र वाली रिक्ति $4$ निकटवर्ती यूनिट सेल द्वारा साझा की जाती है। इसलिए,एक यूनिट सेल में प्रत्येक किनारे के केंद्र वाली रिक्ति का योगदान $1/4$ होता है।
$4$. अष्टफलकीय रिक्तियों की कुल संख्या = (बॉडी सेंटर पर रिक्तियों की संख्या $\times 1$) + (किनारों के केंद्रों पर रिक्तियों की संख्या $\times 1/4$)
$5$. अष्टफलकीय रिक्तियों की कुल संख्या = $(1 \times 1) + (12 \times 1/4) = 1 + 3 = 4$.
अतः,एक $CCP$ संरचना में प्रति यूनिट सेल $4$ अष्टफलकीय रिक्तियाँ होती हैं।
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Advanced
दर्शाइए कि क्यूबिक क्लोज पैक्ड $(ccp)$ संरचना में,प्रति इकाई सेल आठ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ (tetrahedral voids) उपस्थित होती हैं।
Solution
(N/A) $ccp$ संरचना में,इकाई सेल को $8$ छोटे घनों में विभाजित किया जाता है।
प्रत्येक छोटे घन में एकांतर कोनों पर परमाणु होते हैं [चित्र $(a)$ में]।
कुल मिलाकर,प्रत्येक छोटे घन में $4$ परमाणु होते हैं।
जब वे एक-दूसरे से जुड़ते हैं,तो वे एक नियमित चतुष्फलक बनाते हैं।
इस प्रकार,प्रत्येक छोटे घन में एक चतुष्फलकीय रिक्ति होती है और कुल $8$ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ होती हैं।
आठ छोटे घनों में से प्रत्येक में एक रिक्ति होती है। हम जानते हैं कि $ccp$ संरचना में प्रति इकाई सेल $4$ परमाणु होते हैं। अतः,चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है $(2 \times 4 = 8)$।
प्रत्येक छोटे घन में एकांतर कोनों पर परमाणु होते हैं [चित्र $(a)$ में]।
कुल मिलाकर,प्रत्येक छोटे घन में $4$ परमाणु होते हैं।
जब वे एक-दूसरे से जुड़ते हैं,तो वे एक नियमित चतुष्फलक बनाते हैं।
इस प्रकार,प्रत्येक छोटे घन में एक चतुष्फलकीय रिक्ति होती है और कुल $8$ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ होती हैं।
आठ छोटे घनों में से प्रत्येक में एक रिक्ति होती है। हम जानते हैं कि $ccp$ संरचना में प्रति इकाई सेल $4$ परमाणु होते हैं। अतः,चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है $(2 \times 4 = 8)$।
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EasyMCQ
निम्नलिखित में से पैकिंग दक्षता का सही क्रम कौन सा है?
A
$HCP = FCC > BCC > SC$
B
$SC > BCC > HCP = FCC$
C
$BCC > SC > HCP < FCC$
D
$FCC = HCP > SC > BCC$
Solution
(A) $SC$ की पैकिंग दक्षता $52 \%$,$BCC$ की $68 \%$,$HCP$ की $74 \%$ और $FCC$ की $74 \%$ है।
अतः,पैकिंग दक्षता का सही क्रम $HCP = FCC > BCC > SC$ है।
अतः,पैकिंग दक्षता का सही क्रम $HCP = FCC > BCC > SC$ है।
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EasyMCQ
$0.5 \ mole$ $hcp$ क्रिस्टल संरचना में उपस्थित चतुष्फलकीय रिक्तियों (tetrahedral voids) की संख्या है:
A
$3.6 \times 10^{23}$
B
$9 \times 10^{23}$
C
$3.6 \times 10^{24}$
D
$6.02 \times 10^{23}$
Solution
(D) क्रिस्टल जालक में,चतुष्फलकीय रिक्तियों $(TV)$ की संख्या परमाणुओं की संख्या $(N)$ की दोगुनी होती है।
$hcp$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 6$ होती है।
इसलिए,प्रति इकाई सेल $TV$ की संख्या $2 \times 6 = 12$ है।
$1 \ mole$ परमाणुओं में,$TV$ की संख्या $2 \times N_A$ होती है।
$0.5 \ mole$ $hcp$ क्रिस्टल संरचना के लिए,परमाणुओं की संख्या $0.5 \times N_A$ है।
$TV$ की संख्या $= 2 \times (0.5 \times N_A) = 1 \times N_A = 6.022 \times 10^{23}$.
$hcp$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 6$ होती है।
इसलिए,प्रति इकाई सेल $TV$ की संख्या $2 \times 6 = 12$ है।
$1 \ mole$ परमाणुओं में,$TV$ की संख्या $2 \times N_A$ होती है।
$0.5 \ mole$ $hcp$ क्रिस्टल संरचना के लिए,परमाणुओं की संख्या $0.5 \times N_A$ है।
$TV$ की संख्या $= 2 \times (0.5 \times N_A) = 1 \times N_A = 6.022 \times 10^{23}$.
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MediumMCQ
$FCC$ में,निकटतम चतुष्फलकीय रिक्तियों (tetrahedral voids) के बीच की दूरी क्या है?
A
$a/2$
B
$a$
C
$\frac{\sqrt{3}a}{2}$
D
$\frac{\sqrt{3}a}{4}$
Solution
(A) $FCC$ इकाई सेल में,$8$ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ होती हैं जो प्रत्येक कोने से बॉडी डायगोनल पर $\frac{a}{4}$ की दूरी पर स्थित होती हैं।
प्रत्येक बॉडी डायगोनल की लंबाई $\sqrt{3}a$ होती है।
निकटतम दो चतुष्फलकीय रिक्तियों के बीच की दूरी,एक ही बॉडी डायगोनल पर स्थित दो रिक्तियों के बीच की दूरी है,जो $\frac{a}{4} + \frac{a}{4} = \frac{a}{2}$ है।
प्रत्येक बॉडी डायगोनल की लंबाई $\sqrt{3}a$ होती है।
निकटतम दो चतुष्फलकीय रिक्तियों के बीच की दूरी,एक ही बॉडी डायगोनल पर स्थित दो रिक्तियों के बीच की दूरी है,जो $\frac{a}{4} + \frac{a}{4} = \frac{a}{2}$ है।
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DifficultMCQ
एक द्विआधारी यौगिक में,तत्व $A$ के परमाणु $hcp$ संरचना बनाते हैं और तत्व $M$ के परमाणु $hcp$ संरचना के $2/3$ चतुष्फलकीय रिक्तियों पर कब्जा करते हैं। द्विआधारी यौगिक का सूत्र है
A
$M_2 A_3$
B
$M_4 A_3$
C
$M_4 A$
D
$MA_3$
Solution
(B) $hcp$ संरचना में,तत्व $A$ के परमाणुओं की संख्या $N = 6$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2N = 2 \times 6 = 12$ है।
तत्व $M$ चतुष्फलकीय रिक्तियों का $2/3$ भाग घेरता है,इसलिए $M$ परमाणुओं की संख्या $\frac{2}{3} \times 12 = 8$ है।
$M:A$ का अनुपात $8:6$ है,जिसे सरल करने पर $4:3$ प्राप्त होता है।
अतः,यौगिक का सूत्र $M_4 A_3$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2N = 2 \times 6 = 12$ है।
तत्व $M$ चतुष्फलकीय रिक्तियों का $2/3$ भाग घेरता है,इसलिए $M$ परमाणुओं की संख्या $\frac{2}{3} \times 12 = 8$ है।
$M:A$ का अनुपात $8:6$ है,जिसे सरल करने पर $4:3$ प्राप्त होता है।
अतः,यौगिक का सूत्र $M_4 A_3$ है।
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MediumMCQ
$Ga$ (परमाणु द्रव्यमान $70 \, u$) षट्कोणीय क्लोज़ पैक्ड $(HCP)$ संरचना में क्रिस्टलीकृत होता है। $0.581 \, g$ $Ga$ में रिक्तियों (voids) की कुल संख्या $\dots \dots \dots \dots \dots \times 10^{21}$ है। (निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करें)।
A
$14$
B
$13$
C
$15$
D
$15.9$
Solution
(C) $HCP$ संरचना में,प्रत्येक $1$ परमाणु के लिए $1$ अष्टफलकीय रिक्ति $(OV)$ और $2$ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ $(TV)$ होती हैं।
अतः,प्रति परमाणु रिक्तियों की कुल संख्या $1 + 2 = 3$ है।
$Ga$ के मोलों की संख्या $= \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{0.581 \, g}{70 \, g/mol} = 0.0083 \, mol$.
$Ga$ परमाणुओं की संख्या $= \text{मोल} \times N_A = 0.0083 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 4.998 \times 10^{21}$ परमाणु।
रिक्तियों की कुल संख्या $= 3 \times \text{परमाणुओं की संख्या} = 3 \times 4.998 \times 10^{21} = 14.994 \times 10^{21}$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $15 \times 10^{21}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रति परमाणु रिक्तियों की कुल संख्या $1 + 2 = 3$ है।
$Ga$ के मोलों की संख्या $= \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{0.581 \, g}{70 \, g/mol} = 0.0083 \, mol$.
$Ga$ परमाणुओं की संख्या $= \text{मोल} \times N_A = 0.0083 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 4.998 \times 10^{21}$ परमाणु।
रिक्तियों की कुल संख्या $= 3 \times \text{परमाणुओं की संख्या} = 3 \times 4.998 \times 10^{21} = 14.994 \times 10^{21}$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $15 \times 10^{21}$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
षट्कोणीय आद्य एकक कोष्ठिका में चतुष्फलकीय और अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या के लिए सही विकल्प है:
A
$8, 4$
B
$6, 12$
C
$2, 1$
D
$12, 6$
Solution
(D) षट्कोणीय निविड संकुलित $(HCP)$ एकक कोष्ठिका में,प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $6$ होती है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $(OHV)$ प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है,इसलिए $OHV = Z = 6$।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $(THV)$ प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है,इसलिए $THV = 2 \times Z = 2 \times 6 = 12$।
अतः,चतुष्फलकीय और अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या क्रमशः $12$ और $6$ है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $(OHV)$ प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है,इसलिए $OHV = Z = 6$।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $(THV)$ प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है,इसलिए $THV = 2 \times Z = 2 \times 6 = 12$।
अतः,चतुष्फलकीय और अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या क्रमशः $12$ और $6$ है।
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MediumMCQ
$Mg$,$Al$ और $O$ द्वारा निर्मित एक यौगिक में ऑक्साइड आयनों की क्यूबिक क्लोज-पैक्ड $(CCP)$ संरचना पाई जाती है,जिसमें $Mg^{2+}$ आयन चतुष्फलकीय रिक्तियों के $\frac{1}{8}$ भाग को और $Al^{3+}$ आयन अष्टफलकीय रिक्तियों के $\frac{1}{2}$ भाग को घेरते हैं। यौगिक का सूत्र क्या है?
A
$MgAl_4O_2$
B
$Mg_2Al_3O_2$
C
$MgAl_2O_4$
D
$MgAlO$
Solution
(C) मान लीजिए कि $CCP$ जालक में ऑक्साइड आयनों $(O^{2-})$ की संख्या $N = 4$ है।
अष्टफलकीय रिक्तियों $(OV)$ की संख्या = $N = 4$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों $(TV)$ की संख्या = $2N = 8$ है।
दिया गया है कि $Mg^{2+}$ आयन चतुष्फलकीय रिक्तियों के $\frac{1}{8}$ भाग को घेरते हैं:
$Mg^{2+}$ की संख्या = $\frac{1}{8} \times 8 = 1$ है।
दिया गया है कि $Al^{3+}$ आयन अष्टफलकीय रिक्तियों के $\frac{1}{2}$ भाग को घेरते हैं:
$Al^{3+}$ की संख्या = $\frac{1}{2} \times 4 = 2$ है।
अतः,$Mg : Al : O$ का अनुपात $1 : 2 : 4$ है।
यौगिक का सूत्र $MgAl_2O_4$ है।
अष्टफलकीय रिक्तियों $(OV)$ की संख्या = $N = 4$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों $(TV)$ की संख्या = $2N = 8$ है।
दिया गया है कि $Mg^{2+}$ आयन चतुष्फलकीय रिक्तियों के $\frac{1}{8}$ भाग को घेरते हैं:
$Mg^{2+}$ की संख्या = $\frac{1}{8} \times 8 = 1$ है।
दिया गया है कि $Al^{3+}$ आयन अष्टफलकीय रिक्तियों के $\frac{1}{2}$ भाग को घेरते हैं:
$Al^{3+}$ की संख्या = $\frac{1}{2} \times 4 = 2$ है।
अतः,$Mg : Al : O$ का अनुपात $1 : 2 : 4$ है।
यौगिक का सूत्र $MgAl_2O_4$ है।
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Medium
द्विविमीय षट्कोणीय निविड संकुलन से त्रिविमीय निविड संकुलन की व्याख्या कीजिए। त्रिविम में फलक-केंद्रित घनीय $(FCC)$ एकक कोष्ठिका और षट्कोणीय निविड संकुलन $(HCP)$ के निर्माण की व्याख्या कीजिए।
Solution
(N/A) $1$. द्विविमीय षट्कोणीय परतों से त्रिविमीय निविड संकुलन परतों को एक-दूसरे के ऊपर रखकर प्राप्त किया जाता है।
$2$. जब दूसरी परत $(B)$ को पहली परत $(A)$ के ऊपर रखा जाता है,तो यह त्रिकोणीय रिक्तियों के एक सेट (चतुष्फलकीय रिक्तियों) को ढक लेती है। दूसरी परत के ऊपर तीसरी परत रखने से दो पैटर्न प्राप्त हो सकते हैं:
- $ABAB...$ पैटर्न: तीसरी परत के गोले पहली परत $(A)$ के साथ संरेखित होते हैं,जिससे षट्कोणीय निविड संकुलन $(HCP)$ प्राप्त होता है।
- $ABCABC...$ पैटर्न: तीसरी परत के गोले दूसरी परत की अष्टफलकीय रिक्तियों के ऊपर रखे जाते हैं,जिससे घनीय निविड संकुलन $(CCP)$ या फलक-केंद्रित घनीय $(FCC)$ संरचना प्राप्त होती है।
$2$. जब दूसरी परत $(B)$ को पहली परत $(A)$ के ऊपर रखा जाता है,तो यह त्रिकोणीय रिक्तियों के एक सेट (चतुष्फलकीय रिक्तियों) को ढक लेती है। दूसरी परत के ऊपर तीसरी परत रखने से दो पैटर्न प्राप्त हो सकते हैं:
- $ABAB...$ पैटर्न: तीसरी परत के गोले पहली परत $(A)$ के साथ संरेखित होते हैं,जिससे षट्कोणीय निविड संकुलन $(HCP)$ प्राप्त होता है।
- $ABCABC...$ पैटर्न: तीसरी परत के गोले दूसरी परत की अष्टफलकीय रिक्तियों के ऊपर रखे जाते हैं,जिससे घनीय निविड संकुलन $(CCP)$ या फलक-केंद्रित घनीय $(FCC)$ संरचना प्राप्त होती है।
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Medium
अंतराकाशी स्थलों या रिक्तियों (voids) पर एक टिप्पणी लिखिए।
Solution
(N/A) $(i)$ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ (Tetrahedral Voids):
$fcc$ या $ccp$ संरचना में,इकाई सेल को आठ छोटे घनों में विभाजित किया जाता है। प्रत्येक छोटे घन में एकांतर कोनों पर चार परमाणु होते हैं। जब इन चार परमाणुओं को जोड़ा जाता है,तो वे एक नियमित चतुष्फलक बनाते हैं,जो एक चतुष्फलकीय रिक्ति को घेरता है। इस प्रकार,एक $fcc$ इकाई सेल में आठ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ होती हैं।
$(ii)$ अष्टफलकीय रिक्तियाँ (Octahedral Voids):
$fcc$ संरचना में,काय केंद्र (body centre) छह परमाणुओं से घिरा होता है जो फलकों के केंद्रों पर स्थित होते हैं। इन परमाणुओं को जोड़ने पर एक नियमित अष्टफलक बनता है,जिसके परिणामस्वरूप घन के काय केंद्र में एक अष्टफलकीय रिक्ति होती है।
इसके अतिरिक्त,घन के प्रत्येक $12$ किनारों के केंद्र में एक अष्टफलकीय रिक्ति होती है। प्रत्येक किनारे-केंद्र रिक्ति चार निकटवर्ती इकाई सेलों के बीच साझा की जाती है। इसलिए,प्रत्येक किनारे-केंद्रित अष्टफलकीय रिक्ति का केवल $\left(\frac{1}{4}\right)$ भाग ही एक विशिष्ट इकाई सेल का होता है। एक $fcc$ इकाई सेल में अष्टफलकीय रिक्तियों की कुल संख्या $1 + (12 \times \frac{1}{4}) = 4$ है।
$fcc$ या $ccp$ संरचना में,इकाई सेल को आठ छोटे घनों में विभाजित किया जाता है। प्रत्येक छोटे घन में एकांतर कोनों पर चार परमाणु होते हैं। जब इन चार परमाणुओं को जोड़ा जाता है,तो वे एक नियमित चतुष्फलक बनाते हैं,जो एक चतुष्फलकीय रिक्ति को घेरता है। इस प्रकार,एक $fcc$ इकाई सेल में आठ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ होती हैं।
$(ii)$ अष्टफलकीय रिक्तियाँ (Octahedral Voids):
$fcc$ संरचना में,काय केंद्र (body centre) छह परमाणुओं से घिरा होता है जो फलकों के केंद्रों पर स्थित होते हैं। इन परमाणुओं को जोड़ने पर एक नियमित अष्टफलक बनता है,जिसके परिणामस्वरूप घन के काय केंद्र में एक अष्टफलकीय रिक्ति होती है।
इसके अतिरिक्त,घन के प्रत्येक $12$ किनारों के केंद्र में एक अष्टफलकीय रिक्ति होती है। प्रत्येक किनारे-केंद्र रिक्ति चार निकटवर्ती इकाई सेलों के बीच साझा की जाती है। इसलिए,प्रत्येक किनारे-केंद्रित अष्टफलकीय रिक्ति का केवल $\left(\frac{1}{4}\right)$ भाग ही एक विशिष्ट इकाई सेल का होता है। एक $fcc$ इकाई सेल में अष्टफलकीय रिक्तियों की कुल संख्या $1 + (12 \times \frac{1}{4}) = 4$ है।
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EasyMCQ
तत्व $X$ के परमाणु $hcp$ जालक बनाते हैं और तत्व $Y$ के परमाणु इसके $\frac{2}{3}$ चतुष्फलकीय रिक्तियों को घेरते हैं। जालक में तत्व $X$ का प्रतिशत ..... है। (निकटतम पूर्णांक)
A
$34$
B
$24$
C
$43$
D
$42$
Solution
(C) $hcp$ जालक में,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $6$ होती है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $= 2 \times \text{परमाणुओं की संख्या} = 2 \times 6 = 12$.
$Y$ परमाणुओं की संख्या $= \frac{2}{3} \times 12 = 8$.
जालक में कुल परमाणुओं की संख्या $= 6 (X) + 8 (Y) = 14$.
तत्व $X$ का प्रतिशत $= \frac{6}{14} \times 100 = 42.85 \%$.
निकटतम पूर्णांक में बदलने पर,हमें $43 \%$ प्राप्त होता है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $= 2 \times \text{परमाणुओं की संख्या} = 2 \times 6 = 12$.
$Y$ परमाणुओं की संख्या $= \frac{2}{3} \times 12 = 8$.
जालक में कुल परमाणुओं की संख्या $= 6 (X) + 8 (Y) = 14$.
तत्व $X$ का प्रतिशत $= \frac{6}{14} \times 100 = 42.85 \%$.
निकटतम पूर्णांक में बदलने पर,हमें $43 \%$ प्राप्त होता है।
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AdvancedMCQ
एक यौगिक दो तत्वों $M$ और $N$ द्वारा बनता है। तत्व $N$ षट्कोणीय क्लोज पैक्ड $(HCP)$ सरचना बनाता है जिसमें $M$ द्वारा $2/3$ अष्टफलकीय रिक्तियां भरी हुई हैं। यौगिक का सूत्र $....$ है।
A
$M_4 N_3$
B
$M_2 N_3$
C
$M_3 N_2$
D
$M_3 N_4$
Solution
(B) षट्कोणीय क्लोज पैक्ड $(HCP)$ संरचना में,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $6$ होती है।
चूंकि अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या क्लोज पैक्ड संरचना में परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है,इसलिए अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $6$ है।
यह दिया गया है कि $M$,$2/3$ अष्टफलकीय रिक्तियों को भरता है,इसलिए प्रति इकाई सेल $M$ परमाणुओं की संख्या $\frac{2}{3} \times 6 = 4$ है।
$M$ परमाणुओं और $N$ परमाणुओं का अनुपात $4:6$ है,जिसे सरल करने पर $2:3$ प्राप्त होता है।
अतः,यौगिक का सूत्र $M_2 N_3$ है।
चूंकि अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या क्लोज पैक्ड संरचना में परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है,इसलिए अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $6$ है।
यह दिया गया है कि $M$,$2/3$ अष्टफलकीय रिक्तियों को भरता है,इसलिए प्रति इकाई सेल $M$ परमाणुओं की संख्या $\frac{2}{3} \times 6 = 4$ है।
$M$ परमाणुओं और $N$ परमाणुओं का अनुपात $4:6$ है,जिसे सरल करने पर $2:3$ प्राप्त होता है।
अतः,यौगिक का सूत्र $M_2 N_3$ है।
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DifficultMCQ
एक द्वि-आयामी ठोस $a$ और $b$ त्रिज्या वाले वृत्तों को एकांतर रूप से व्यवस्थित करके बनाया जाता है ताकि वृत्तों की भुजाएँ एक-दूसरे को स्पर्श करें। पैकिंग अंश को वृत्तों द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल और $x$ तथा $y$ लंबाई वाले आयत के क्षेत्रफल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। वह अनुपात $r=b/a$ जिसके लिए पैकिंग अंश न्यूनतम होता है,वह $.....$ के सबसे निकट है।
A
$0.41$
B
$1.0$
C
$0.50$
D
$0.32$
Solution
(A) पैकिंग अंश $(PF)$ को वृत्तों के क्षेत्रफल और आयत के क्षेत्रफल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
$PF = \frac{\pi a^{2} + \pi b^{2}}{(2a + 2b)(2a)} = \frac{\pi(a^{2} + b^{2})}{4a(a + b)}$
$a^{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $PF = \frac{\pi(1 + r^{2})}{4(1 + r)}$ प्राप्त होता है,जहाँ $r = \frac{b}{a}$ है।
पैकिंग अंश को न्यूनतम करने के लिए,हम $PF$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{d(PF)}{dr} = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{(1+r)(2r) - (1+r^{2})(1)}{(1+r)^{2}} \right] = 0$
$2r + 2r^{2} - 1 - r^{2} = 0$
$r^{2} + 2r - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-B \pm \sqrt{B^{2} - 4AC}}{2A}$ का उपयोग करते हुए:
$r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$
चूंकि $r$ धनात्मक होना चाहिए,$r = \sqrt{2} - 1 \approx 1.414 - 1 = 0.414$ है।
अतः,यह मान $0.41$ के सबसे निकट है।
$PF = \frac{\pi a^{2} + \pi b^{2}}{(2a + 2b)(2a)} = \frac{\pi(a^{2} + b^{2})}{4a(a + b)}$
$a^{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $PF = \frac{\pi(1 + r^{2})}{4(1 + r)}$ प्राप्त होता है,जहाँ $r = \frac{b}{a}$ है।
पैकिंग अंश को न्यूनतम करने के लिए,हम $PF$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{d(PF)}{dr} = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{(1+r)(2r) - (1+r^{2})(1)}{(1+r)^{2}} \right] = 0$
$2r + 2r^{2} - 1 - r^{2} = 0$
$r^{2} + 2r - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-B \pm \sqrt{B^{2} - 4AC}}{2A}$ का उपयोग करते हुए:
$r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$
चूंकि $r$ धनात्मक होना चाहिए,$r = \sqrt{2} - 1 \approx 1.414 - 1 = 0.414$ है।
अतः,यह मान $0.41$ के सबसे निकट है।
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MediumMCQ
एक तत्व $Z$ के परमाणु हेक्सागोनल क्लोज पैक्ड $(hcp)$ जालक बनाते हैं और तत्व $X$ के परमाणु सभी चतुष्फलकीय रिक्तियों (tetrahedral voids) को घेरते हैं। यौगिक का सूत्र क्या है?
A
$XZ$
B
$XZ_{2}$
C
$X_{2}Z$
D
$X_{4}Z_{3}$
Solution
(C) $hcp$ जालक में,चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या जालक बनाने वाले परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है।
मान लीजिए कि तत्व $Z$ के परमाणुओं की संख्या $n$ है।
तो,चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $= 2n$ होगी।
चूंकि तत्व $X$ सभी चतुष्फलकीय रिक्तियों को घेरता है,इसलिए $X$ के परमाणुओं की संख्या $= 2n$ होगी।
$X:Z$ परमाणुओं का अनुपात $= 2n:n = 2:1$ है।
अतः,यौगिक का सूत्र $X_{2}Z$ है।
मान लीजिए कि तत्व $Z$ के परमाणुओं की संख्या $n$ है।
तो,चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $= 2n$ होगी।
चूंकि तत्व $X$ सभी चतुष्फलकीय रिक्तियों को घेरता है,इसलिए $X$ के परमाणुओं की संख्या $= 2n$ होगी।
$X:Z$ परमाणुओं का अनुपात $= 2n:n = 2:1$ है।
अतः,यौगिक का सूत्र $X_{2}Z$ है।
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DifficultMCQ
बॉडी सेंटर्ड क्यूबिक $(bcc)$ संरचना में पैकिंग दक्षता $.... \, \%$ के सबसे निकट है।
A
$74$
B
$63$
C
$68$
D
$52$
Solution
(C) सही विकल्प $(C)$ है।
$bcc$ जालक के लिए,काय विकर्ण (body diagonal) $c = \sqrt{3} a$ है।
साथ ही,परमाणु काय विकर्ण पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,इसलिए $c = 4r$,जहाँ $r$ गोले की त्रिज्या है।
अतः,$\sqrt{3} a = 4r$,जिससे $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
$bcc$ इकाई सेल में,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $2$ है।
दो गोलों का आयतन $2 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{8}{3} \pi r^3$ है।
इकाई सेल का कुल आयतन $a^3 = (\frac{4r}{\sqrt{3}})^3 = \frac{64r^3}{3\sqrt{3}}$ है।
पैकिंग दक्षता = $\frac{\text{दो गोलों का आयतन}}{\text{इकाई सेल का कुल आयतन}} \times 100$
$= \frac{\frac{8}{3} \pi r^3}{\frac{64r^3}{3\sqrt{3}}} \times 100 = \frac{\sqrt{3} \pi}{8} \times 100 \approx 0.68 \times 100 = 68 \, \%$
$bcc$ जालक के लिए,काय विकर्ण (body diagonal) $c = \sqrt{3} a$ है।
साथ ही,परमाणु काय विकर्ण पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,इसलिए $c = 4r$,जहाँ $r$ गोले की त्रिज्या है।
अतः,$\sqrt{3} a = 4r$,जिससे $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
$bcc$ इकाई सेल में,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $2$ है।
दो गोलों का आयतन $2 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{8}{3} \pi r^3$ है।
इकाई सेल का कुल आयतन $a^3 = (\frac{4r}{\sqrt{3}})^3 = \frac{64r^3}{3\sqrt{3}}$ है।
पैकिंग दक्षता = $\frac{\text{दो गोलों का आयतन}}{\text{इकाई सेल का कुल आयतन}} \times 100$
$= \frac{\frac{8}{3} \pi r^3}{\frac{64r^3}{3\sqrt{3}}} \times 100 = \frac{\sqrt{3} \pi}{8} \times 100 \approx 0.68 \times 100 = 68 \, \%$
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DifficultMCQ
एक खनिज $O^{2-}$ आयनों द्वारा निर्मित क्यूबिक क्लोज-पैक्ड $(CCP)$ संरचना से बना है,जिसमें अष्टफलकीय रिक्तियों के आधे भाग में $Al^{3+}$ और चतुष्फलकीय रिक्तियों के एक-आठवें भाग में $Mn^{2+}$ स्थित हैं। खनिज का रासायनिक सूत्र है
A
$Mn_{3}Al_{2}O_{6}$
B
$MnAl_{2}O_{4}$
C
$MnAl_{4}O_{7}$
D
$Mn_{2}Al_{2}O_{5}$
Solution
(B) क्यूबिक क्लोज-पैक्ड $(CCP)$ संरचना में,प्रति इकाई सेल $O^{2-}$ आयनों की संख्या $4$ होती है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $O^{2-}$ आयनों की संख्या के बराबर यानी $4$ होती है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $O^{2-}$ आयनों की संख्या की दोगुनी यानी $8$ होती है।
$Al^{3+}$ आयनों की संख्या = $\frac{1}{2} \times 4 = 2$.
$Mn^{2+}$ आयनों की संख्या = $\frac{1}{8} \times 8 = 1$.
अतः,$Mn : Al : O$ का अनुपात $1 : 2 : 4$ है।
खनिज का रासायनिक सूत्र $MnAl_{2}O_{4}$ है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $O^{2-}$ आयनों की संख्या के बराबर यानी $4$ होती है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $O^{2-}$ आयनों की संख्या की दोगुनी यानी $8$ होती है।
$Al^{3+}$ आयनों की संख्या = $\frac{1}{2} \times 4 = 2$.
$Mn^{2+}$ आयनों की संख्या = $\frac{1}{8} \times 8 = 1$.
अतः,$Mn : Al : O$ का अनुपात $1 : 2 : 4$ है।
खनिज का रासायनिक सूत्र $MnAl_{2}O_{4}$ है।
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DifficultMCQ
दो अलग-अलग परमाणुओं $X$ और $Y$ द्वारा निर्मित एक द्वि-आयामी ठोस पैटर्न नीचे दिखाया गया है। काले और सफेद वर्ग क्रमशः $X$ और $Y$ परमाणुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। पैटर्न से इकाई सेल (unit cell) के आधार पर यौगिक का सबसे सरल सूत्र क्या है?
A
$X Y_{8}$
B
$X_{4} Y_{9}$
C
$X Y_{2}$
D
$X Y_{4}$
Solution
(A) यह पैटर्न एक पुनरावर्ती इकाई सेल से बना है। ग्रिड का अवलोकन करके,हम एक $3 \times 3$ पुनरावर्ती इकाई सेल की पहचान कर सकते हैं।
इस $3 \times 3$ इकाई सेल में,$1$ काला वर्ग ($X$ परमाणु) और $8$ सफेद वर्ग ($Y$ परमाणु) हैं।
$\therefore$ प्रति इकाई सेल $X$ परमाणुओं की संख्या $= 1$
प्रति इकाई सेल $Y$ परमाणुओं की संख्या $= 8$
अतः,यौगिक का सबसे सरल सूत्र $X Y_{8}$ है।
इस $3 \times 3$ इकाई सेल में,$1$ काला वर्ग ($X$ परमाणु) और $8$ सफेद वर्ग ($Y$ परमाणु) हैं।
$\therefore$ प्रति इकाई सेल $X$ परमाणुओं की संख्या $= 1$
प्रति इकाई सेल $Y$ परमाणुओं की संख्या $= 8$
अतः,यौगिक का सबसे सरल सूत्र $X Y_{8}$ है।
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MediumMCQ
फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$,बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(bcc)$ और सिंपल/प्रिमिटिव क्यूबिक $(pc)$ जालक (lattices) की संकुलन क्षमता (packing efficiency) का सही क्रम है:
A
$fcc > bcc > pc$
B
$bcc > fcc > pc$
C
$pc > bcc > fcc$
D
$bcc > pc > fcc$
Solution
(A) क्यूबिक जालक की संकुलन क्षमता का सूत्र है:
$PE = \frac{\text{जालक में गोलों द्वारा घेरा गया आयतन} \times 100}{\text{इकाई सेल का कुल आयतन}}$
$1$. $fcc$ की संकुलन क्षमता = $74\ \%$
$2$. $bcc$ की संकुलन क्षमता = $68\ \%$
$3$. $pc$ की संकुलन क्षमता = $52.4\ \%$
अतः,संकुलन क्षमता का सही क्रम $fcc > bcc > pc$ है।
$PE = \frac{\text{जालक में गोलों द्वारा घेरा गया आयतन} \times 100}{\text{इकाई सेल का कुल आयतन}}$
$1$. $fcc$ की संकुलन क्षमता = $74\ \%$
$2$. $bcc$ की संकुलन क्षमता = $68\ \%$
$3$. $pc$ की संकुलन क्षमता = $52.4\ \%$
अतः,संकुलन क्षमता का सही क्रम $fcc > bcc > pc$ है।
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MediumMCQ
एक क्यूबिक क्लोज पैक्ड संरचना में,यूनिट सेल में कोने पर और फलक (face) पर स्थित परमाणु का आंशिक योगदान क्रमशः कितना होता है?
A
$1/8$ और $1/2$
B
$1/2$ और $1/4$
C
$1/4$ और $1/2$
D
$1/4$ और $1/8$
Solution
(A) एक घनीय इकाई सेल में $8$ कोने और $6$ फलक होते हैं।
कोने पर स्थित प्रत्येक परमाणु $8$ निकटवर्ती इकाई सेलों द्वारा साझा किया जाता है,इसलिए इसका आंशिक योगदान $\frac{1}{8}$ है।
फलक के केंद्र पर स्थित प्रत्येक परमाणु $2$ निकटवर्ती इकाई सेलों द्वारा साझा किया जाता है,इसलिए इसका आंशिक योगदान $\frac{1}{2}$ है।
अतः,आंशिक योगदान क्रमशः $\frac{1}{8}$ और $\frac{1}{2}$ है।
कोने पर स्थित प्रत्येक परमाणु $8$ निकटवर्ती इकाई सेलों द्वारा साझा किया जाता है,इसलिए इसका आंशिक योगदान $\frac{1}{8}$ है।
फलक के केंद्र पर स्थित प्रत्येक परमाणु $2$ निकटवर्ती इकाई सेलों द्वारा साझा किया जाता है,इसलिए इसका आंशिक योगदान $\frac{1}{2}$ है।
अतः,आंशिक योगदान क्रमशः $\frac{1}{8}$ और $\frac{1}{2}$ है।
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DifficultMCQ
एक आयनिक यौगिक एक धातु $M$ और एक अधातु $Y$ के बीच बनता है। यदि $M$,$Y$ द्वारा निर्मित क्यूबिक क्लोज-पैक्ड $(CCP)$ व्यवस्था में आधे अष्टफलकीय रिक्तियों (octahedral voids) को घेरता है,तो आयनिक यौगिक का रासायनिक सूत्र क्या है?
A
$MY$
B
$MY_2$
C
$M_2Y$
D
$MY_3$
Solution
(B) क्यूबिक क्लोज-पैक्ड $(CCP)$ व्यवस्था में,प्रति यूनिट सेल परमाणुओं की संख्या $4$ होती है।
चूंकि $Y$,$CCP$ व्यवस्था बनाता है,इसलिए $Y$ परमाणुओं की संख्या $= 4$ है।
$CCP$ व्यवस्था में अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है,जो कि $4$ है।
यह दिया गया है कि $M$ आधी अष्टफलकीय रिक्तियों को घेरता है,इसलिए $M$ परमाणुओं की संख्या $= \frac{1}{2} \times 4 = 2$ है।
इस प्रकार,$M:Y$ का अनुपात $2:4$ है,जिसे सरल करने पर $1:2$ प्राप्त होता है।
अतः,आयनिक यौगिक का रासायनिक सूत्र $MY_2$ है।
चूंकि $Y$,$CCP$ व्यवस्था बनाता है,इसलिए $Y$ परमाणुओं की संख्या $= 4$ है।
$CCP$ व्यवस्था में अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है,जो कि $4$ है।
यह दिया गया है कि $M$ आधी अष्टफलकीय रिक्तियों को घेरता है,इसलिए $M$ परमाणुओं की संख्या $= \frac{1}{2} \times 4 = 2$ है।
इस प्रकार,$M:Y$ का अनुपात $2:4$ है,जिसे सरल करने पर $1:2$ प्राप्त होता है।
अतः,आयनिक यौगिक का रासायनिक सूत्र $MY_2$ है।
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MediumMCQ
क्रिस्टलीय सिलिकॉन में,$Si$ परमाणु सभी $ccp$ साइटों और प्रत्येक एकांतर चतुष्फलकीय रिक्ति (tetrahedral void) पर कब्जा करते हैं। पैकिंग दक्षता का मान $....\%$ के सबसे निकट है।
A
$40$
B
$28$
C
$54$
D
$34$
Solution
(D) सही विकल्प $D$ है।
$ccp$ जालक में,प्रति इकाई सेल $4$ परमाणु होते हैं।
सिलिकॉन परमाणु सभी $ccp$ साइटों ($4$ परमाणु) और प्रत्येक एकांतर चतुष्फलकीय रिक्ति ($4$ परमाणु) पर कब्जा करते हैं।
प्रति इकाई सेल परमाणुओं की कुल संख्या,$Z = 4 + 4 = 8$.
कोने पर स्थित $Si$ परमाणु और चतुष्फलकीय रिक्ति पर स्थित $Si$ परमाणु के बीच की दूरी $\frac{\sqrt{3}a}{4}$ है,जो $2r$ के बराबर है।
अतः,$2r = \frac{\sqrt{3}a}{4} \implies r = \frac{\sqrt{3}a}{8}$.
पैकिंग दक्षता $(PE)$ = $\frac{Z \times \frac{4}{3} \pi r^3}{a^3} \times 100$.
मान रखने पर: $PE = \frac{8 \times \frac{4}{3} \pi (\frac{\sqrt{3}a}{8})^3}{a^3} \times 100$.
$PE = \frac{8 \times \frac{4}{3} \pi \times \frac{3\sqrt{3}a^3}{512}}{a^3} \times 100 = \frac{\pi \sqrt{3}}{16} \times 100 \approx 34\%$.
$ccp$ जालक में,प्रति इकाई सेल $4$ परमाणु होते हैं।
सिलिकॉन परमाणु सभी $ccp$ साइटों ($4$ परमाणु) और प्रत्येक एकांतर चतुष्फलकीय रिक्ति ($4$ परमाणु) पर कब्जा करते हैं।
प्रति इकाई सेल परमाणुओं की कुल संख्या,$Z = 4 + 4 = 8$.
कोने पर स्थित $Si$ परमाणु और चतुष्फलकीय रिक्ति पर स्थित $Si$ परमाणु के बीच की दूरी $\frac{\sqrt{3}a}{4}$ है,जो $2r$ के बराबर है।
अतः,$2r = \frac{\sqrt{3}a}{4} \implies r = \frac{\sqrt{3}a}{8}$.
पैकिंग दक्षता $(PE)$ = $\frac{Z \times \frac{4}{3} \pi r^3}{a^3} \times 100$.
मान रखने पर: $PE = \frac{8 \times \frac{4}{3} \pi (\frac{\sqrt{3}a}{8})^3}{a^3} \times 100$.
$PE = \frac{8 \times \frac{4}{3} \pi \times \frac{3\sqrt{3}a^3}{512}}{a^3} \times 100 = \frac{\pi \sqrt{3}}{16} \times 100 \approx 34\%$.
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DifficultMCQ
एक धातु $M$ हेक्सागोनल क्लोज-पैक्ड $(hcp)$ संरचना बनाती है। इसके $0.02 \ mol$ में रिक्तियों (voids) की कुल संख्या $......... \times 10^{21}$ है (निकटतम पूर्णांक) (दिया गया है $N_{A} = 6.02 \times 10^{23}$)
A
$18$
B
$9$
C
$36$
D
$54$
Solution
(C) हेक्सागोनल क्लोज-पैक्ड $(hcp)$ संरचना में,अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या परमाणुओं की संख्या $(N)$ के बराबर होती है,और चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2N$ होती है।
प्रति परमाणु कुल रिक्तियों की संख्या $= N + 2N = 3N$.
धातु की दी गई मात्रा $= 0.02 \ mol$.
परमाणुओं की संख्या $= 0.02 \times 6.02 \times 10^{23} = 1.204 \times 10^{22}$.
रिक्तियों की कुल संख्या $= 3 \times (1.204 \times 10^{22}) = 3.612 \times 10^{22} = 36.12 \times 10^{21}$.
निकटतम पूर्णांक $36$ है।
प्रति परमाणु कुल रिक्तियों की संख्या $= N + 2N = 3N$.
धातु की दी गई मात्रा $= 0.02 \ mol$.
परमाणुओं की संख्या $= 0.02 \times 6.02 \times 10^{23} = 1.204 \times 10^{22}$.
रिक्तियों की कुल संख्या $= 3 \times (1.204 \times 10^{22}) = 3.612 \times 10^{22} = 36.12 \times 10^{21}$.
निकटतम पूर्णांक $36$ है।
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MediumMCQ
एक यौगिक दो तत्वों $X$ और $Y$ से बना है। तत्व $Y$ क्यूबिक क्लोज पैक्ड $(CCP)$ व्यवस्था बनाता है और तत्व $X$ के परमाणु चतुष्फलकीय रिक्तियों के एक-तिहाई भाग को घेरते हैं। यौगिक का सूत्र क्या है?
A
$X_2Y_3$
B
$X_3Y$
C
$X_3Y_2$
D
$XY_3$
Solution
(A) मान लीजिए कि $CCP$ व्यवस्था में तत्व $Y$ के परमाणुओं की संख्या $n = 4$ है।
चूंकि चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $CCP$ व्यवस्था में परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है,इसलिए चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $= 2 \times 4 = 8$ है।
तत्व $X$ चतुष्फलकीय रिक्तियों का $1/3$ भाग घेरता है,इसलिए $X$ परमाणुओं की संख्या $= 1/3 \times 8 = 8/3$ है।
$X:Y$ का अनुपात $= 8/3 : 4 = 8:12 = 2:3$ है।
अतः,यौगिक का सूत्र $X_2Y_3$ है।
चूंकि चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $CCP$ व्यवस्था में परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है,इसलिए चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $= 2 \times 4 = 8$ है।
तत्व $X$ चतुष्फलकीय रिक्तियों का $1/3$ भाग घेरता है,इसलिए $X$ परमाणुओं की संख्या $= 1/3 \times 8 = 8/3$ है।
$X:Y$ का अनुपात $= 8/3 : 4 = 8:12 = 2:3$ है।
अतः,यौगिक का सूत्र $X_2Y_3$ है।
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एक यौगिक दो तत्वों $A$ और $B$ द्वारा बनता है। तत्व $B$ एक क्यूबिक क्लोज-पैक्ड $(CCP)$ संरचना बनाता है और $A$ के परमाणु टेट्राहेड्रल रिक्तियों (tetrahedral voids) के $\frac{1}{3}$ भाग पर कब्जा करते हैं। यदि यौगिक का सूत्र $A_x B_y$ है,तो $x+y$ का मान क्या है?
A
$4$
B
$5$
C
$2$
D
$3$
Solution
(B) $CCP$ संरचना में,मान लीजिए कि $B$ के परमाणुओं की संख्या $n$ है।
टेट्राहेड्रल रिक्तियों की संख्या $2n$ होती है।
$A$ के परमाणु टेट्राहेड्रल रिक्तियों के $\frac{1}{3}$ भाग पर कब्जा करते हैं,इसलिए $A$ के परमाणुओं की संख्या $= \frac{1}{3} \times 2n = \frac{2n}{3}$ है।
$A:B$ का अनुपात $= \frac{2n}{3} : n = 2:3$ है।
अतः,सूत्र $A_2 B_3$ है।
$A_x B_y$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2$ और $y = 3$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$x + y = 2 + 3 = 5$।
टेट्राहेड्रल रिक्तियों की संख्या $2n$ होती है।
$A$ के परमाणु टेट्राहेड्रल रिक्तियों के $\frac{1}{3}$ भाग पर कब्जा करते हैं,इसलिए $A$ के परमाणुओं की संख्या $= \frac{1}{3} \times 2n = \frac{2n}{3}$ है।
$A:B$ का अनुपात $= \frac{2n}{3} : n = 2:3$ है।
अतः,सूत्र $A_2 B_3$ है।
$A_x B_y$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2$ और $y = 3$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$x + y = 2 + 3 = 5$।
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$fcc$ की एक इकाई कोशिका में एक कोर-केंद्रित अष्टफलकीय रिक्ति का कितना भाग स्थित होता है?
A
$\frac{1}{12}$
B
$\frac{1}{2}$
C
$\frac{1}{3}$
D
$\frac{1}{4}$
Solution
(D) $fcc$ इकाई कोशिका में,अष्टफलकीय रिक्तियाँ काय केंद्र और प्रत्येक कोर के केंद्र पर स्थित होती हैं।
एक घन में $12$ कोर होते हैं,और प्रत्येक कोर $4$ निकटवर्ती इकाई कोशिकाओं द्वारा साझा किया जाता है।
इसलिए,कोर केंद्र पर स्थित एक अष्टफलकीय रिक्ति का एक इकाई कोशिका में योगदान $\frac{1}{4}$ होता है।
एक घन में $12$ कोर होते हैं,और प्रत्येक कोर $4$ निकटवर्ती इकाई कोशिकाओं द्वारा साझा किया जाता है।
इसलिए,कोर केंद्र पर स्थित एक अष्टफलकीय रिक्ति का एक इकाई कोशिका में योगदान $\frac{1}{4}$ होता है।
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क्रिस्टल की षट्कोणीय प्रणाली में,परमाणुओं की अक्सर देखी जाने वाली व्यवस्था को एक षट्कोणीय प्रिज्म के रूप में वर्णित किया जाता है। यहाँ,सेल के ऊपर और नीचे नियमित षट्कोण हैं और उनके बीच में तीन परमाणु सैंडविच किए गए हैं। इस संरचना का एक स्पेस-फिलिंग मॉडल,जिसे हेक्सागोनल क्लोज-पैक्ड $(HCP)$ कहा जाता है,एक सपाट सतह पर एक गोले और उसी तल में उसके चारों ओर छह समान गोलों से बना है। फिर पहली परत के ऊपर तीन गोले इस तरह रखे जाते हैं कि वे एक-दूसरे को स्पर्श करें और दूसरी परत का प्रतिनिधित्व करें। इन तीन गोलों में से प्रत्येक नीचे की परत के तीन गोलों को स्पर्श करता है। अंत में,दूसरी परत को तीसरी परत से ढका जाता है जो सापेक्ष स्थिति में नीचे की परत के समान होती है। प्रत्येक गोले की त्रिज्या $r$ मानिए।
$1.$ इस $HCP$ यूनिट सेल में परमाणुओं की संख्या है
$(A)$ $4$ $(B)$ $6$ $(C)$ $12$ $(D)$ $17$
$2.$ इस $HCP$ यूनिट सेल का आयतन है
$(A)$ $24 \sqrt{2} r^3$ $(B)$ $16 \sqrt{2} r^3$
$(C)$ $12 \sqrt{2} r^3$ $(D)$ $\frac{64 r^3}{3 \sqrt{3}}$
$3.$ इस $HCP$ यूनिट सेल में खाली स्थान है
$(A)$ $74 \%$ $(B)$ $47.6 \%$ $(C)$ $32 \%$ $(D)$ $26 \%$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ इस $HCP$ यूनिट सेल में परमाणुओं की संख्या है
$(A)$ $4$ $(B)$ $6$ $(C)$ $12$ $(D)$ $17$
$2.$ इस $HCP$ यूनिट सेल का आयतन है
$(A)$ $24 \sqrt{2} r^3$ $(B)$ $16 \sqrt{2} r^3$
$(C)$ $12 \sqrt{2} r^3$ $(D)$ $\frac{64 r^3}{3 \sqrt{3}}$
$3.$ इस $HCP$ यूनिट सेल में खाली स्थान है
$(A)$ $74 \%$ $(B)$ $47.6 \%$ $(C)$ $32 \%$ $(D)$ $26 \%$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
A
$(B, A, D)$
B
$(B, B, D)$
C
$(C, A, A)$
D
$(C, D, A)$
Solution
(B) $1.$ परमाणुओं की कुल प्रभावी संख्या $= 12 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{2} + 3 = 6$
$2.$ यूनिट सेल की ऊँचाई $= 4r \sqrt{\frac{2}{3}}$
आधार का क्षेत्रफल $= 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}(2r)^2 = 6\sqrt{3}r^2$
आयतन $= \text{ऊँचाई} \times \text{आधार का क्षेत्रफल} = 4r \sqrt{\frac{2}{3}} \times 6\sqrt{3}r^2 = 24\sqrt{2}r^3$
$3.$ पैकिंग अंश $= 74 \%$
खाली स्थान $= 100 \% - 74 \% = 26 \%$
$2.$ यूनिट सेल की ऊँचाई $= 4r \sqrt{\frac{2}{3}}$
आधार का क्षेत्रफल $= 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}(2r)^2 = 6\sqrt{3}r^2$
आयतन $= \text{ऊँचाई} \times \text{आधार का क्षेत्रफल} = 4r \sqrt{\frac{2}{3}} \times 6\sqrt{3}r^2 = 24\sqrt{2}r^3$
$3.$ पैकिंग अंश $= 74 \%$
खाली स्थान $= 100 \% - 74 \% = 26 \%$
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क्यूबिक क्लोज पैक्ड $(ccp)$ त्रि-आयामी संरचना के लिए सही कथन है/हैं:
$(A)$ सबसे ऊपरी परत में मौजूद परमाणु के निकटतम पड़ोसियों की संख्या $12$ है
$(B)$ परमाणु पैकिंग की दक्षता $74 \%$ है
$(C)$ प्रति परमाणु अष्टफलकीय और चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या क्रमशः $1$ और $2$ है
$(D)$ इकाई सेल की कोर लंबाई परमाणु की त्रिज्या की $2\sqrt{2}$ गुना है
$(A)$ सबसे ऊपरी परत में मौजूद परमाणु के निकटतम पड़ोसियों की संख्या $12$ है
$(B)$ परमाणु पैकिंग की दक्षता $74 \%$ है
$(C)$ प्रति परमाणु अष्टफलकीय और चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या क्रमशः $1$ और $2$ है
$(D)$ इकाई सेल की कोर लंबाई परमाणु की त्रिज्या की $2\sqrt{2}$ गुना है
A
$B, C, D$
B
$B, C, A$
C
$B, D$
D
$B, C$
Solution
(A) परमाणु पैकिंग की दक्षता $74 \%$ है।
$(C)$ प्रति परमाणु अष्टफलकीय और चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या क्रमशः $1$ और $2$ है।
$(D)$ इकाई सेल की कोर लंबाई परमाणु की त्रिज्या की $2\sqrt{2}$ गुना है।
हल:
$ccp$ संरचना में,बल्क में मौजूद परमाणु की समन्वय संख्या $12$ होती है। हालाँकि,सबसे ऊपरी परत में मौजूद परमाणु के निकटतम पड़ोसियों की संख्या कम $(9)$ होती है,इसलिए कथन $(A)$ गलत है।
पैकिंग दक्षता $= 74 \%$ है। अतः,$(B)$ सही है।
$ccp$ में,अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या परमाणुओं की संख्या $(N)$ के बराबर होती है और चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2N$ होती है। अतः,$(C)$ सही है।
$fcc/ccp$ इकाई सेल के लिए,कोर लंबाई '$a$' और त्रिज्या '$r$' के बीच का संबंध $4r = \sqrt{2}a$ है,जिसका अर्थ है $a = 2\sqrt{2}r$। अतः,$(D)$ सही है।
इसलिए,कथन $(B)$,$(C)$ और $(D)$ सही हैं।
$(C)$ प्रति परमाणु अष्टफलकीय और चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या क्रमशः $1$ और $2$ है।
$(D)$ इकाई सेल की कोर लंबाई परमाणु की त्रिज्या की $2\sqrt{2}$ गुना है।
हल:
$ccp$ संरचना में,बल्क में मौजूद परमाणु की समन्वय संख्या $12$ होती है। हालाँकि,सबसे ऊपरी परत में मौजूद परमाणु के निकटतम पड़ोसियों की संख्या कम $(9)$ होती है,इसलिए कथन $(A)$ गलत है।
पैकिंग दक्षता $= 74 \%$ है। अतः,$(B)$ सही है।
$ccp$ में,अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या परमाणुओं की संख्या $(N)$ के बराबर होती है और चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2N$ होती है। अतः,$(C)$ सही है।
$fcc/ccp$ इकाई सेल के लिए,कोर लंबाई '$a$' और त्रिज्या '$r$' के बीच का संबंध $4r = \sqrt{2}a$ है,जिसका अर्थ है $a = 2\sqrt{2}r$। अतः,$(D)$ सही है।
इसलिए,कथन $(B)$,$(C)$ और $(D)$ सही हैं।
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View SolutionSolid State — Crystal packing · Frequently Asked Questions
1Are these Solid State questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
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