Crystal packing Questions in Hindi

(C) $hcp$ व्यवस्था में,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $6$ होती है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या जालक में परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है,जो $6$ है।
धनायन $M$ अष्टफलकीय रिक्तियों के दो-तिहाई भाग को घेरते हैं,इसलिए प्रति इकाई सेल $M$ धनायनों की संख्या $\frac{2}{3} \times 6 = 4$ है।
प्रति इकाई सेल ऑक्साइड आयनों $(O)$ की संख्या $6$ है।
अतः,$M:O$ का अनुपात $4:6$ है,जिसे सरल करने पर $2:3$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,यौगिक का सूत्र $M_2O_3$ है।

(B) परमाणुओं की क्लोज पैकिंग में (जैसे $fcc$ या $ccp$),प्रति यूनिट सेल परमाणुओं की संख्या $n = 4$ होती है।
टेट्राहेड्रल वॉइड्स $(TV)$ की संख्या $2n = 2 \times 4 = 8$ होती है।
ऑक्टाहेड्रल वॉइड्स $(OV)$ की संख्या $n = 4$ होती है।
इसलिए,प्रति परमाणु $TV$ की संख्या $\frac{8}{4} = 2$ है।
प्रति परमाणु $OV$ की संख्या $\frac{4}{4} = 1$ है।
अतः,प्रति परमाणु $2$ टेट्राहेड्रल वॉइड और $1$ ऑक्टाहेड्रल वॉइड होते हैं।

(B) काय-केंद्रित घनीय $(bcc)$ जालक में,गोले इस प्रकार व्यवस्थित होते हैं कि दूसरी परत पहली परत के अवनमनों (depressions) में रखी जाती है,लेकिन तीसरी परत सीधे पहली परत के ऊपर रखी जाती है। यह $A-B-A-B$ प्रकार का संकुलन पैटर्न बनाता है।

(C) धातुओं की क्रिस्टल संरचना परमाणुओं की व्यवस्था पर निर्भर करती है।
$Na$ (सोडियम) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(bcc)$ संरचना में क्रिस्टलीकृत होता है।
$Cu$ (कॉपर) और $Ag$ (सिल्वर) फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$ या क्यूबिक क्लोज पैकिंग $(ccp)$ संरचना में क्रिस्टलीकृत होते हैं।
$Mg$ (मैग्नीशियम) हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग $(hcp)$ संरचना में क्रिस्टलीकृत होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दी गई धातुओं की क्रिस्टल संरचनाएं इस प्रकार हैं:
$1$. $Na$ (सोडियम) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ संरचना में क्रिस्टलीकृत होता है।
$2$. $Zn$ (जिंक) हेक्सागोनल क्लोज-पैक्ड $(HCP)$ संरचना में क्रिस्टलीकृत होता है।
$3$. $Mg$ (मैग्नीशियम) हेक्सागोनल क्लोज-पैक्ड $(HCP)$ संरचना में क्रिस्टलीकृत होता है।
$4$. $Ag$ (सिल्वर) क्यूबिक क्लोजेस्ट पैकिंग $(CCP)$ या फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(FCC)$ संरचना में क्रिस्टलीकृत होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) फलक-केंद्रित घनीय $(FCC)$ या क्यूबिक क्लोज-पैक्ड $(CCP)$ संरचना में,व्यवस्था $ABCABC...$ पैटर्न का पालन करती है।
$ABC$ व्यवस्था में,पहली परत $A$ है,दूसरी परत $B$ है,और तीसरी परत $C$ है।
दूसरी परत $(B)$ पहली परत $(A)$ की चतुष्फलकीय रिक्तियों को ढकती है।
तीसरी परत $(C)$ पहली और दूसरी परत के बीच बनने वाली अष्टफलकीय रिक्तियों को ढकती है।

(A) षट्कोणीय क्लोज पैक्ड $(HCP)$ संरचना में,परतों की व्यवस्था $ABAB...$ पैटर्न का पालन करती है।
जब दूसरी परत को पहली परत के ऊपर रखा जाता है,तो चतुष्फलकीय छिद्र बनते हैं।
तीसरी परत को पहली परत के ठीक ऊपर रखा जाता है,जिसका अर्थ है कि यह पहली और दूसरी परत द्वारा बनाए गए चतुष्फलकीय छिद्रों को ढक लेती है।

(B) $FCC$ एकक कोष्ठिका में,प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $4$ होती है।
कोर की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ है।
$4$ परमाणुओं का आयतन = $4 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{16}{3} \pi r^3$ है।
एकक कोष्ठिका का आयतन = $a^3 = (2\sqrt{2}r)^3 = 16\sqrt{2}r^3$ है।
संकुलन क्षमता = $\frac{\text{परमाणुओं का आयतन}}{\text{एकक कोष्ठिका का आयतन}} = \frac{\frac{16}{3} \pi r^3}{16\sqrt{2}r^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}$.

(C) $fcc$ संरचना में संकुलन क्षमता (packing efficiency) $\frac{\pi}{3\sqrt{2}}$ होती है।
रिक्त स्थान $= 1 - \text{संकुलन क्षमता}$.
रिक्त स्थान $= 1 - \frac{\pi}{3\sqrt{2}}$.
अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
रिक्त स्थान $= 1 - \frac{\sqrt{2}\pi}{6}$.

(B) क्रिस्टल संरचना का पैकिंग अंश $(PF)$ परमाणुओं द्वारा घेरे गए कुल आयतन का अंश है।
$bcc$ के लिए,$Z_1 = 2$ और $4r = \sqrt{3}a_1$,इसलिए $PF_{bcc} = \frac{2 \times \frac{4}{3} \pi r^3}{a_1^3} = \frac{\sqrt{3}\pi}{8} \approx 0.68$.
$fcc$ के लिए,$Z_2 = 4$ और $4r = \sqrt{2}a_2$,इसलिए $PF_{fcc} = \frac{4 \times \frac{4}{3} \pi r^3}{a_2^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.74$.
घेरे गए आयतन के अंश का अनुपात $\frac{PF_{bcc}}{PF_{fcc}} = \frac{3\sqrt{6}}{8} \approx 0.91$ है।

(C) सरल घनीय जालक की संकुलन क्षमता (packing efficiency) $52.36\%$ होती है।
इसका अर्थ है कि कुल आयतन का $52.36\%$ भाग गोलों द्वारा घेरा जाता है।
खाली छोड़े गए स्थान (रिक्तिका) का प्रतिशत इस प्रकार है:
$\text{रिक्त स्थान} = 100\% - \text{संकुलन क्षमता}$
$\text{रिक्त स्थान} = 100\% - 52.36\% = 47.64\%$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) क्लोज-पैक्ड संरचना में,यदि परमाणुओं की संख्या $N$ है,तो अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $N$ और चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2N$ होती है।
अतः,अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या की आधी होती है।

(C) एक निविड संकुलित संरचना में,यदि गोलों की संख्या $n$ है,तो चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2n$ होती है।
यहाँ चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $N$ दी गई है,इसलिए $2n = N$।
अतः,गोलों की संख्या $n = N/2$ होगी।

(C) भुजा की लंबाई वाले एक घन में,कोने से घन के केंद्र तक की दूरी मुख्य विकर्ण की आधी होती है।
मुख्य विकर्ण = $\sqrt{3}a$.
कोने से केंद्र तक की दूरी $(x)$ = $\frac{\sqrt{3}a}{2}$.
चतुष्फलकीय रिक्तियाँ कोनों से $\frac{\sqrt{3}a}{4}$ की दूरी पर स्थित होती हैं।
दोनों की तुलना करने पर,कोने से चतुष्फलकीय रिक्ति की दूरी $\frac{1}{2} \times (\frac{\sqrt{3}a}{2}) = \frac{x}{2}$ होती है।

(B) मान लीजिए कि $ccp$ संरचना में तत्व $Y$ के परमाणुओं की संख्या $n = 4$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों $(T.V.)$ की संख्या $2n = 2 \times 4 = 8$ होती है।
दिया गया है कि तत्व $X$ चतुष्फलकीय रिक्तियों का $2/3$ भाग घेरता है,इसलिए $X$ परमाणुओं की संख्या = $8 \times \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$ है।
$X:Y$ का अनुपात $\frac{16}{3} : 4$ है,जिसे सरल करने पर $16:12$ या $4:3$ प्राप्त होता है।
अतः,यौगिक का आणविक सूत्र $X_4Y_3$ है।

(C) $fcc$ संरचना में,प्रति इकाई सेल $Y$ तत्व के परमाणुओं की संख्या $4$ होती है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों $(T.V.)$ की संख्या $= 2 \times ( {\text{परमाणुओं की संख्या}}) = 2 \times 4 = 8$ होती है।
तत्व $X$ चतुष्फलकीय रिक्तियों का $25\%$ घेरता है,इसलिए $X$ परमाणुओं की संख्या $= 8 \times \frac{25}{100} = 8 \times \frac{1}{4} = 2$ है।
$X:Y$ का अनुपात $2:4$ है,जो $1:2$ के बराबर है।
अतः,यौगिक का आणविक सूत्र $XY_2$ होगा।

(C) कोनों पर $A$ आयनों की संख्या = $8 \times \frac{1}{8} = 1$
फलक के केंद्रों पर $B$ आयनों की संख्या = $6 \times \frac{1}{2} = 3$
अतः,$A:B$ का अनुपात $1:3$ है।
यौगिक का आणविक सूत्र $AB_3$ होगा।

(A) $fcc$ जालक में,प्रति इकाई सेल $A$ परमाणुओं की संख्या $4$ होती है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या जालक में परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है,जो $4$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या जालक में परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है,जो $2 \times 4 = 8$ है।
यह दिया गया है कि $B$ सभी अष्टफलकीय रिक्तियों $(4)$ और आधी चतुष्फलकीय रिक्तियों $(8 \times \frac{1}{2} = 4)$ पर स्थित है,इसलिए $B$ परमाणुओं की कुल संख्या $4 + 4 = 8$ है।
अतः,$A:B$ का अनुपात $4:8$ है,जिसे सरल करने पर $1:2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,आणविक सूत्र $AB_2$ है।

(A) मान लीजिए कि $ccp$ जालक में ऑक्साइड आयनों $(O^{2-})$ की संख्या $N = 4$ है।
अष्टफलकीय रिक्तियों $(OV)$ की संख्या = $N = 4$.
चतुष्फलकीय रिक्तियों $(TV)$ की संख्या = $2N = 8$.
दिया गया है कि $TV$ का $1/8$ भाग $X^{+2}$ आयनों द्वारा भरा है:
$X^{+2}$ आयनों की संख्या = $\frac{1}{8} \times 8 = 1$.
दिया गया है कि $OV$ का $50\%$ भाग $Y^{+3}$ आयनों द्वारा भरा है:
$Y^{+3}$ आयनों की संख्या = $\frac{50}{100} \times 4 = 2$.
अतः,$X : Y : O$ का अनुपात $1 : 2 : 4$ है।
ऑक्साइड का सूत्र $X{Y_2}{O_4}$ होगा।

(C) $1$. $fcc$ इकाई सेल में,कोनों पर $A$ परमाणुओं की संख्या $8 \times (1/8) = 1$ और फलक-केंद्रों पर $6 \times (1/2) = 3$ है। कुल $A = 4$.
$2$. चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या = $2 \times 4 = 8$. अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या = $4$.
$3$. $B$ परमाणु $25\%$ चतुष्फलकीय रिक्तियों $(8 \times 0.25 = 2)$ और $50\%$ अष्टफलकीय रिक्तियों $(4 \times 0.50 = 2)$ को घेरते हैं। कुल $B = 4$.
$4$. यदि एक अक्ष पर स्थित परमाणु हटा दिए जाएं,तो दो फलक-केंद्रित परमाणु हट जाते हैं। $A$ की नई संख्या = $4 - 2 = 2$. कोने वाले परमाणु $1$ ही रहते हैं। कुल $A = 3$.
$5$. रिक्तियों की संख्या अपरिवर्तित रहती है क्योंकि जालक ढांचा बरकरार है। कुल $B = 4$.
$6$. परिणामी सूत्र $A_3B_4$ है।

(B) $ccp$ संरचना में,प्रति इकाई सेल $X$ परमाणुओं की संख्या $4$ होती है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या परमाणुओं की संख्या के बराबर यानी $4$ होती है।
$Y$ परमाणु अष्टफलकीय रिक्तियों का आधा भाग घेरते हैं,इसलिए $Y$ परमाणुओं की संख्या $4 \times \frac{1}{2} = 2$ है।
यदि एक $X$ परमाणु को $Z$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है,तो शेष $X$ परमाणु = $4 - 1 = 3$ होंगे।
यदि एक $Y$ परमाणु को $Z$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है,तो शेष $Y$ परमाणु = $2 - 1 = 1$ होंगे।
कुल $Z$ परमाणुओं की संख्या $1 + 1 = 2$ है।
अतः,$X:Y:Z$ का अनुपात $3:1:2$ है।
इसलिए आणविक सूत्र $X_3YZ_2$ होगा।

(A) $ccp$ एकक कोष्ठिका में,कोनों और फलक केंद्रों पर $X$ परमाणुओं की कुल संख्या $4$ होती है। अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या परमाणुओं की संख्या के बराबर यानी $4$ होती है।
$2$ कोनों के परमाणुओं को प्रतिस्थापित करने के बाद शेष $X$ परमाणुओं की संख्या: $X = 4 - (2 \times \frac{1}{8}) = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$.
अष्टफलकीय रिक्तियों में $Y$ परमाणुओं की संख्या: $Y = 4$.
कोनों के परमाणुओं को प्रतिस्थापित करने वाले $Z$ परमाणुओं की संख्या: $Z = 2 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$.
अनुपात $X : Y : Z = \frac{15}{4} : 4 : \frac{1}{4}$ है।
$4$ से गुणा करने पर,हमें $X_{15}Y_{16}Z$ प्राप्त होता है।

(B) $CCP$ संरचना में, $A$ परमाणु कोनों और फलक के केंद्र पर होते हैं। घन का केंद्र बॉडी सेंटर है。
कोने पर स्थित परमाणु की केंद्र से दूरी $\frac{\sqrt{3}a}{2}$ है。
फलक के केंद्र पर स्थित परमाणु की केंद्र से दूरी $\frac{a}{\sqrt{2}}$ है。
चूंकि $A$ कोनों और फलक के केंद्र दोनों पर स्थित है, इसलिए फलक के केंद्र पर स्थित $A$ परमाणु की दूरी $\frac{115}{\sqrt{2}} \approx 81.3 \ pm$ है।

(D) त्रिकोणीय रिक्ति के लिए समन्वय संख्या (coordination number) $3$ होती है।
समन्वय संख्या $3$ के लिए सीमांत त्रिज्या अनुपात $(r_+ / r_-)$ $0.155$ है।
अतः,त्रिकोणीय रिक्ति के लिए सीमा $0.155 \le r_+ / r_- < 0.225$ है।

(D) $ZnS$ (जिंक ब्लेंड) संरचना में,$S^{2-}$ आयन एक $ccp$ (क्यूबिक क्लोज़ पैकिंग) जालक बनाते हैं।
प्रति इकाई सेल $4$ $S^{2-}$ आयन होते हैं।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2 \times (\text{परमाणुओं की संख्या}) = 2 \times 4 = 8$ है।
$ZnS$ में,$Zn^{2+}$ आयन आधी चतुष्फलकीय रिक्तियों को घेरते हैं,इसलिए $4$ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ भरी होती हैं।
$Na_2O$ (एंटीफ्लोराइट) संरचना में,$O^{2-}$ आयन एक $ccp$ जालक बनाते हैं।
प्रति इकाई सेल $4$ $O^{2-}$ आयन होते हैं।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $8$ है।
$Na_2O$ में,$Na^{+}$ आयन सभी $8$ चतुष्फलकीय रिक्तियों को घेरते हैं।
इसलिए,$Na_2O$ में,सभी चतुष्फलकीय रिक्तियाँ भरी होती हैं।

(C) स्पिनल संरचना $AB_2O_4$ सामान्य सूत्र वाली एक क्रिस्टल संरचना है। इस संरचना में,ऑक्साइड आयन $(O^{2-})$ एक क्यूबिक क्लोज-पैक्ड $(ccp)$ या फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$ जालक बनाते हैं। धातु धनायन इस जालक के भीतर चतुष्फलकीय और अष्टफलकीय रिक्तियों में स्थित होते हैं।

(C) $hcp$ और $ccp$ व्यवस्थाओं में,पैकिंग दक्षता $74\%$ होती है।
इसलिए,रिक्त स्थान (void space) $100\% - 74\% = 26\%$ है।
कथन $C$ कहता है कि $hcp$ में रिक्त स्थान $32\%$ है,जो गलत है।

(A) कथन सही है क्योंकि एक चतुष्फलकीय रिक्ति $4$ गोलों के संपर्क से बनती है,और एक अष्टफलकीय रिक्ति $6$ गोलों के संपर्क से बनती है।
कारण भी सही है क्योंकि 'चतुष्फलकीय' और 'अष्टफलकीय' नाम रिक्ति को घेरने वाले गोलों की ज्यामितीय व्यवस्था से लिए गए हैं।
अतः,कारण कथन की सही व्याख्या है।

(C) हेक्सागोनल क्लोज पैक्ड $(hcp)$ जालक में,प्रति इकाई सेल ऋणायनों $(A)$ की संख्या $6$ होती है।
$hcp$ जालक में अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है,जो $6$ है।
धनायन $(C)$ इन अष्टफलकीय रिक्तियों का $75 \%$ भाग घेरते हैं।
धनायनों $(C)$ की संख्या $= 6 \times \frac{75}{100} = 6 \times \frac{3}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$ या $\frac{9}{2}$ है।
धनायनों $(C)$ और ऋणायनों $(A)$ का अनुपात $\frac{9}{2} : 6$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $9 : 12$ प्राप्त होता है।
$3$ से विभाजित करके अनुपात को सरल करने पर,हमें $3 : 4$ प्राप्त होता है।
अतः,यौगिक का सूत्र $C_{3}A_{4}$ है।

(A) $ccp$ जालक का निर्माण तत्व $Y$ द्वारा होता है।
उत्पन्न अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या इसमें उपस्थित $Y$ के परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है।
चूंकि सभी अष्टफलकीय रिक्तियां $X$ के परमाणुओं द्वारा भरी गई हैं,इसलिए उनकी संख्या भी $Y$ के परमाणुओं के बराबर होगी।
अतः,$X$ और $Y$ तत्वों के परमाणु समान संख्या में या $1:1$ के अनुपात में उपस्थित हैं।
इसलिए,यौगिक का सूत्र $XY$ है।

(A) माना कि $hcp$ जालक में तत्व $B$ के परमाणुओं की संख्या $n$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या = $2n$ है।
तत्व $A$ के परमाणुओं द्वारा घेरी गई चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या = $(2/3) \times 2n = 4n/3$ है।
परमाणुओं का अनुपात $A : B = (4n/3) : n = 4/3 : 1 = 4 : 3$ है।
अतः,यौगिक का सूत्र $A_4B_3$ है।

माना कि क्लोज-पैक्ड कणों की संख्या $N$ है।
दिया गया है,$N = 0.5 \ mol = 0.5 \times 6.022 \times 10^{23} = 3.011 \times 10^{23}$ कण।
क्लोज-पैक्ड संरचना में:
अष्टफलकीय (octahedral) रिक्तियों की संख्या $= N = 3.011 \times 10^{23}$।
चतुष्फलकीय (tetrahedral) रिक्तियों की संख्या $= 2N = 2 \times 3.011 \times 10^{23} = 6.022 \times 10^{23}$।
रिक्तियों की कुल संख्या $= N + 2N = 3N = 3 \times 3.011 \times 10^{23} = 9.033 \times 10^{23}$।
अतः,रिक्तियों की कुल संख्या $9.033 \times 10^{23}$ है और चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $6.022 \times 10^{23}$ है।

(B) $ccp$ जालक तत्व $N$ के परमाणुओं द्वारा बनता है। मान लीजिए $N$ के परमाणुओं की संख्या $x$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$M$ के परमाणु $1/3$ चतुष्फलकीय रिक्तियों को घेरते हैं,इसलिए $M$ के परमाणुओं की संख्या $(1/3) \times 2x = 2x/3$ है।
परमाणुओं $M:N$ का अनुपात $(2x/3) : x = 2/3 : 1 = 2:3$ है।
अतः,यौगिक का सूत्र $M_2N_3$ है।

(C) क्रिस्टल जालक की संकुलन क्षमता घटक कणों द्वारा घेरे गए स्थान का अंश है।
- सरल घनीय जालक: $52.4 \%$
- काय-केंद्रित घनीय $(BCC)$ जालक: $68 \%$
- षट्कोणीय निविड संकुलित $(HCP)$ जालक: $74 \%$
अतः,षट्कोणीय निविड संकुलित जालक की संकुलन क्षमता सबसे अधिक है।

(N/A) $(i)$ $hcp$ में,तीसरी परत को दूसरी परत के ऊपर इस प्रकार रखा जाता है कि तीसरी परत के गोले दूसरी परत के चतुष्फलकीय रिक्तियों (tetrahedral voids) को भरते हैं। इसके परिणामस्वरूप परतों का $ABAB...$ पैटर्न बनता है,जहाँ तीसरी परत के गोले पहली परत के गोलों के ठीक ऊपर होते हैं।
$ccp$ में,तीसरी परत को दूसरी परत के ऊपर इस प्रकार रखा जाता है कि तीसरी परत के गोले दूसरी परत की अष्टफलकीय रिक्तियों (octahedral voids) को भरते हैं। इसके परिणामस्वरूप परतों का $ABCABC...$ पैटर्न बनता है,जहाँ चौथी परत के गोले पहली परत के गोलों के ठीक ऊपर होते हैं।

(N/A) $(iii)$ $4$ गोलों से घिरी रिक्ति को चतुष्फलकीय रिक्ति कहा जाता है,जबकि $6$ गोलों से घिरी रिक्ति को अष्टफलकीय रिक्ति कहा जाता है। चतुष्फलकीय रिक्ति तब बनती है जब $4$ गोले एक नियमित चतुष्फलक के कोनों पर व्यवस्थित होते हैं,जबकि अष्टफलकीय रिक्ति तब बनती है जब $6$ गोले एक नियमित अष्टफलक के कोनों पर व्यवस्थित होते हैं।

(N/A) सिंपल क्यूबिक जालक:
सिंपल क्यूबिक जालक में,कण केवल घन के कोनों पर स्थित होते हैं और किनारे के साथ एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
मान लीजिए कि घन के किनारे की लंबाई $a$ है और प्रत्येक कण की त्रिज्या $r$ है।
अतः,हम लिख सकते हैं: $a = 2r$।
अब,घन इकाई सेल का आयतन $= a^3 = (2r)^3 = 8r^3$।
हम जानते हैं कि प्रति इकाई सेल कणों की संख्या $1$ है।
इसलिए,अधिकृत इकाई सेल का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$।
अतः,पैकिंग दक्षता $= \frac{\text{एक कण का आयतन}}{\text{घन इकाई सेल का आयतन}} \times 100 \%$।
पैकिंग दक्षता $= \frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{8r^3} \times 100 \% = \frac{\pi}{6} \times 100 \%$।
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करते हुए,पैकिंग दक्षता $\approx \frac{3.14159}{6} \times 100 \% \approx 52.36 \% \approx 52.4 \%$।

(N/A) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ यूनिट सेल में,केंद्र में स्थित परमाणु बॉडी डायगोनल पर तिरछे व्यवस्थित अन्य दो परमाणुओं के संपर्क में होता है।
घन की ज्यामिति से,मान लें कि किनारे की लंबाई $a$ है और परमाणु की त्रिज्या $r$ है।
फेस डायगोनल $b$ इस प्रकार है:
$b^{2} = a^{2} + a^{2} = 2a^{2}$
$b = \sqrt{2}a$
बॉडी डायगोनल $c$ इस प्रकार है:
$c^{2} = a^{2} + b^{2} = a^{2} + 2a^{2} = 3a^{2}$
$c = \sqrt{3}a$
चूंकि बॉडी डायगोनल पर स्थित परमाणु एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,इसलिए बॉडी डायगोनल की लंबाई $c = 4r$ है।
अतः,$\sqrt{3}a = 4r$,जिससे $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
यूनिट सेल का आयतन $a^{3} = \left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3} = \frac{64r^{3}}{3\sqrt{3}}$ है।
एक $BCC$ यूनिट सेल में $2$ परमाणु होते हैं। इन $2$ परमाणुओं द्वारा घेरा गया आयतन:
$V_{occupied} = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{8}{3} \pi r^{3}$ है।
पैकिंग दक्षता की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{Packing Efficiency} = \frac{\text{Volume of } 2 \text{ atoms}}{\text{Total volume of unit cell}} \times 100\%$
$= \frac{\frac{8}{3} \pi r^{3}}{\frac{64r^{3}}{3\sqrt{3}}} \times 100\%$
$= \frac{8\pi}{3} \times \frac{3\sqrt{3}}{64} \times 100\%$
$= \frac{\sqrt{3}\pi}{8} \times 100\% \approx 68\%$.

(N/A) फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(FCC)$ यूनिट सेल के लिए:
मान लीजिए यूनिट सेल की किनारे की लंबाई $a$ है और फेस डायगोनल $AC$ की लंबाई $b$ है।
$\triangle ABC$ से,हमारे पास है:
$AC^{2} = BC^{2} + AB^{2}$
$\Rightarrow b^{2} = a^{2} + a^{2}$
$\Rightarrow b^{2} = 2a^{2}$
$\Rightarrow b = \sqrt{2}a$
मान लीजिए $r$ परमाणु की त्रिज्या है।
आकृति से,यह देखा जा सकता है कि फेस डायगोनल $b = 4r$ है।
$\Rightarrow \sqrt{2}a = 4r$
$\Rightarrow a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r$
यूनिट सेल का आयतन = $a^{3} = (2\sqrt{2}r)^{3} = 16\sqrt{2}r^{3}$।
एक $FCC$ यूनिट सेल में $4$ परमाणु होते हैं।
$4$ परमाणुओं का आयतन = $4 \times \frac{4}{3}\pi r^{3} = \frac{16}{3}\pi r^{3}$।
पैकिंग दक्षता = $\frac{\text{4 परमाणुओं का आयतन}}{\text{यूनिट सेल का कुल आयतन}} \times 100\%$
$= \frac{\frac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}r^{3}} \times 100\%$
$= \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \times 100\% \approx 74\%$

(N/A) क्लोज पैकिंग में चार परमाणुओं के एक वर्गाकार समतल पर विचार करें,जिसके केंद्र $O$ पर एक अष्टफलकीय रिक्ति है। मान लीजिए कि दो निकटवर्ती परमाणुओं के केंद्र $P$ और $Q$ हैं।
अष्टफलकीय रिक्ति की ज्यामिति से,हम एक समकोण त्रिभुज $\triangle POQ$ बना सकते हैं जहाँ कर्ण $PQ = 2R$ है और भुजाएँ $PO = OQ = R + r$ हैं।
$\triangle POQ$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:
$PQ^{2} = PO^{2} + OQ^{2}$
$(2R)^{2} = (R + r)^{2} + (R + r)^{2}$
$4R^{2} = 2(R + r)^{2}$
$2R^{2} = (R + r)^{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{2}R = R + r$
$r = \sqrt{2}R - R$
$r = (\sqrt{2} - 1)R$
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,हमें प्राप्त होता है:
$r = 0.414R$

(D) माना कि ऑक्साइड $(O^{2-})$ आयनों की संख्या $x$ है।
चूंकि ऑक्साइड आयन हेक्सागोनल क्लोज-पैक्ड $(HCP)$ सरणी बनाते हैं,इसलिए अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या ऑक्साइड आयनों की संख्या के बराबर यानी $x$ होती है।
यह दिया गया है कि हर तीन में से दो अष्टफलकीय छिद्र फेरिक आयनों द्वारा भरे हुए हैं।
अतः,फेरिक $(Fe^{3+})$ आयनों की संख्या $= \frac{2}{3}x$ है।
इसलिए,$Fe^{3+}$ आयनों और $O^{2-}$ आयनों की संख्या का अनुपात $Fe^{3+} : O^{2-} = \frac{2}{3}x : x = \frac{2}{3} : 1 = 2 : 3$ है।
अतः,फेरिक ऑक्साइड का सूत्र $Fe_{2}O_{3}$ है।

(C) एक साधारण घनीय क्रिस्टल जालक में,इकाई सेल का प्रत्येक कोना $8$ निकटवर्ती इकाई सेल द्वारा साझा किया जाता है।
इसका कारण यह है कि प्रत्येक कोने का बिंदु त्रिविमीय स्थान में उस बिंदु पर मिलने वाले $8$ घनों के लिए सामान्य होता है।

(B) क्रिस्टल रसायन विज्ञान में,एक खुली संरचना उस क्रिस्टल जालक व्यवस्था को संदर्भित करती है जहां परमाणु कुल उपलब्ध आयतन का अपेक्षाकृत छोटा हिस्सा घेरते हैं।
यह आमतौर पर कम पैकिंग दक्षता वाली संरचनाओं में होता है,जैसे कि सरल घनीय $(sc)$ जालक,जिसमें पैकिंग अंश केवल $52.4\%$ होता है।
ऐसी संरचनाओं में,घटक कणों के बीच काफी मात्रा में खाली स्थान (voids) होता है।

(A) $fcc$ का पूर्ण रूप $Face-centered \ cubic$ एकक कोष्ठिका है। इस प्रकार की एकक कोष्ठिका में,अवयवी कण सभी कोनों पर और घन के प्रत्येक फलक के केंद्र में उपस्थित होते हैं।

(N/A) एक विमा में गोलों को केवल एक ही तरीके से व्यवस्थित किया जा सकता है,अर्थात उन्हें एक पंक्ति में एक-दूसरे को स्पर्श करते हुए रखना।
एक विमा में गोलों की क्लोज पैकिंग:
इस व्यवस्था में,प्रत्येक गोला अपने दो पड़ोसियों के संपर्क में होता है। किसी कण के निकटतम पड़ोसियों की संख्या को समन्वय संख्या (coordination number) कहा जाता है। अतः,एक-विमीय व्यवस्था में,समन्वय संख्या $2$ होती है।
दो विमाओं में क्लोज पैकिंग दो तरीकों से की जा सकती है:
$(i)$ वर्ग क्लोज पैकिंग,$(ii)$ षट्कोणीय क्लोज पैकिंग $(HCP)$।
$(i)$ वर्ग क्लोज पैकिंग: इसमें,दूसरी पंक्ति के गोलों को पहली पंक्ति के गोलों के ठीक ऊपर इस प्रकार रखा जाता है कि इन दो पंक्तियों के गोले क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों रूप से एक सीध में हों।
यदि पहली पंक्ति को $A$ प्रकार की पंक्ति कहा जाए,तो दूसरी पंक्ति भी पहली के समान होने के कारण $A$ प्रकार की ही होती है और इस प्रकार और पंक्तियाँ रखने पर $AAAA...$ प्रकार की व्यवस्था प्राप्त होती है।
इस व्यवस्था में,प्रत्येक गोला अपने चार पड़ोसियों के संपर्क में होता है और इसलिए गोले की समन्वय संख्या $4$ होती है।
यदि चार निकटतम पड़ोसियों के केंद्रों को जोड़ा जाए तो एक वर्ग बनता है,इसलिए इसे वर्ग क्लोज पैकिंग कहा जाता है।
$(ii)$ षट्कोणीय क्लोज पैकिंग $(HCP)$:
इसमें,दूसरी पंक्ति के गोले पहली पंक्ति के गोलों के बीच की खाली जगहों (depressions) में फिट होते हैं।
यदि पहली पंक्ति के गोलों को $A$ प्रकार का कहा जाए,तो दूसरी पंक्ति के गोलों को $B$ प्रकार का कहा जा सकता है। तीसरी पंक्ति के गोलों को दूसरी पंक्ति के गोलों की खाली जगहों में इस प्रकार रखा जाता है कि पहली और तीसरी पंक्ति के गोले क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रूप से एक ही सीध में हों।
चूंकि तीसरी पंक्ति बिल्कुल पहली पंक्ति के समान है,इसलिए इसे $A$ प्रकार कहा जाता है। इस प्रकार,हमें $ABABAB...$ प्रकार की व्यवस्था प्राप्त होती है।
इस व्यवस्था में प्रत्येक गोला अपने छह पड़ोसियों के संपर्क में होता है और इस प्रकार दो विमाओं में समन्वय संख्या $6$ होती है। इन छह गोलों के केंद्र एक नियमित षट्कोण के कोनों पर होते हैं,इसलिए इस पैकिंग को द्विविमीय षट्कोणीय क्लोज पैकिंग कहा जाता है।

(N/A) त्रिविमीय संरचनाएं द्विविमीय परतों को एक-दूसरे के ऊपर रखकर प्राप्त की जाती हैं।
सरल घनीय जालक $AAA \dots$ व्यवस्था द्वारा बनता है।
इस प्रकार की व्यवस्था में,दूसरी वर्ग निविड संकुलित परत को पहली वर्ग निविड संकुलित परत के ठीक ऊपर इस प्रकार रखा जाता है कि पहली और दूसरी परत के गोले क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रूप से एक ही सीध में हों। इसी तरह,और अधिक परतें एक-दूसरे के ऊपर रखी जा सकती हैं।
यदि पहली परत में गोलों की व्यवस्था को $A$ प्रकार कहा जाता है,तो सभी परतों की व्यवस्था समान होती है। इस प्रकार,इस जालक में $AAAAA \dots$ प्रकार की व्यवस्था होती है और इस प्रकार उत्पन्न जालक सरल घनीय एकक कोष्ठिका या आद्य घनीय एकक कोष्ठिका होती है। प्रत्येक गोले की समन्वय संख्या (coordination number) $6$ है।

(N/A) $1$. चतुष्फलकीय रिक्तियाँ: जब गोलों की दूसरी परत को पहली परत के ऊपर इस प्रकार रखा जाता है कि दूसरी परत के गोले पहली परत के अवनमन (depressions) में स्थित हों,तो चतुष्फलकीय रिक्तियाँ बनती हैं। ये रिक्तियाँ $4$ गोलों से घिरी होती हैं और उनके केंद्र एक नियमित चतुष्फलक बनाते हैं।
$2$. अष्टफलकीय रिक्तियाँ: ये तब बनती हैं जब दूसरी परत की त्रिकोणीय रिक्तियाँ पहली परत की त्रिकोणीय रिक्तियों के ऊपर स्थित होती हैं और इन रिक्तियों के त्रिकोणीय आकार एक-दूसरे पर अतिव्याप्त नहीं होते हैं। ये रिक्तियाँ $6$ गोलों से घिरी होती हैं और उनके केंद्र एक नियमित अष्टफलक बनाते हैं।

(C) जब हम दूसरी परत को पहली परत के ऊपर इस प्रकार रखते हैं कि दूसरी परत के गोले पहली परत की अवनतियों (depressions) में स्थित हों,तो रिक्तियाँ बनती हैं।
- $Tetrahedral$ (चतुष्फलकीय) रिक्तियाँ तब बनती हैं जब दूसरी परत का एक गोला पहली परत की त्रिकोणीय रिक्ति के ऊपर स्थित होता है।
- $Octahedral$ (अष्टफलकीय) रिक्तियाँ तब बनती हैं जब पहली परत और दूसरी परत की त्रिकोणीय रिक्तियाँ इस प्रकार संरेखित होती हैं कि वे एक-दूसरे के ऊपर नहीं आतीं,जिससे $6$ गोलों से घिरी हुई जगह बनती है।
- इस प्रकार,$3D$ निविड संकुलित संरचना में चतुष्फलकीय और अष्टफलकीय दोनों रिक्तियाँ बनती हैं।

(A) जब तीसरी परत को दूसरी परत के ऊपर रखा जाता है,तो दो संभावनाएं होती हैं:
- $(i)$ चतुष्फलकीय रिक्तियों को ढकना: जब तीसरी परत के गोले दूसरी परत की चतुष्फलकीय रिक्तियों को ढकते हैं,तो तीसरी परत के गोले पहली परत के गोलों के साथ बिल्कुल संरेखित (align) हो जाते हैं। गोलों का यह पैटर्न वैकल्पिक रूप से दोहराया जाता है और इसे $ABAB$ पैटर्न के रूप में लिखा जाता है। इस संरचना को हेक्सागोनल क्लोज पैक्ड $(hcp)$ संरचना कहा जाता है। उदाहरण: $Zn$ और $Mg$ धातुएं यह संरचना प्रदर्शित करती हैं।
- $(ii)$ अष्टफलकीय रिक्तियों को ढकना: जब तीसरी परत के गोले दूसरी परत की अष्टफलकीय रिक्तियों को ढकते हैं,तो तीसरी परत के गोले पहली या दूसरी परत के गोलों के साथ संरेखित नहीं होते हैं। इस व्यवस्था को प्रकार $C$ कहा जाता है।
- जब चौथी परत रखी जाती है,तो गोले पहली परत के साथ बिल्कुल संरेखित हो जाते हैं। परतों के इस पैटर्न को $ABCABC...$ के रूप में लिखा जाता है।
- इसे क्यूबिक क्लोज पैक्ड $(ccp)$ या फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$ संरचना कहा जाता है। उदाहरण: $Cu$ और $Ag$ जैसी धातुएं इस संरचना में क्रिस्टलीकृत होती हैं।
- दोनों प्रकार की क्लोज पैकिंग अत्यधिक कुशल होती हैं और क्रिस्टल के $74 \%$ स्थान को घेरती हैं। यहाँ,प्रत्येक गोला $12$ अन्य गोलों के संपर्क में होता है। अतः,दोनों संरचनाओं में समन्वय संख्या $12$ होती है।