Crystal packing Questions in Hindi

(C) $ccp$ जालक में,प्रति इकाई सेल $A$ परमाणुओं की संख्या $8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4$ है।
$B$ परमाणु किनारों के केंद्रों पर स्थित हैं। एक इकाई सेल में $12$ किनारे होते हैं,और प्रत्येक किनारे का केंद्र $4$ इकाई सेलों द्वारा साझा किया जाता है। अतः,$B$ परमाणुओं की संख्या $12 \times \frac{1}{4} = 3$ है।
$C$ परमाणु काय-केंद्र पर स्थित हैं। प्रति इकाई सेल केवल $1$ काय-केंद्र होता है,जो किसी अन्य इकाई सेल के साथ साझा नहीं होता है। अतः,$C$ परमाणुओं की संख्या $1 \times 1 = 1$ है।
इसलिए,$A:B:C$ का अनुपात $4:3:1$ है,और मिश्रधातु का सूत्र $A_4B_3C$ है।

(C) षट्कोणीय क्लोज पैकिंग $(hcp)$ में,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की प्रभावी संख्या $6$ होती है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या पैकिंग में परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है,जो $6$ है।
धनायन $(C)$ अष्टफलकीय रिक्तियों के $2/3$ भाग को घेरता है,इसलिए $C$ परमाणुओं की संख्या $= 6 \times (2/3) = 4$ है।
ऋणायन $(A)$ परमाणुओं की संख्या $6$ है।
अतः,$C:A$ का अनुपात $4:6$ है,जिसे सरल करने पर $2:3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,यौगिक का सूत्र $C_{2}A_{3}$ है।

(D) क्यूबिक क्लोज़ पैकिंग (ccp) फेस-सेंटर्ड क्यूबिक (fcc) संरचना के समान है।
fcc यूनिट सेल में,प्रति यूनिट सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ होती है।
टेट्राहेड्रल वॉइड्स की संख्या $2 \times Z$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
इसलिए,टेट्राहेड्रल वॉइड्स की संख्या $= 2 \times 4 = 8$ है।
ये $8$ टेट्राहेड्रल वॉइड्स पूरी तरह से यूनिट सेल के भीतर स्थित होते हैं।

(D) $FCC$ इकाई सेल में,कोनों और फलक केंद्रों पर $X$ परमाणुओं की संख्या $4$ होती है।
$FCC$ इकाई सेल में $8$ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ होती हैं।
चूंकि $Y$ परमाणु सभी चतुष्फलकीय रिक्तियों पर स्थित हैं,इसलिए $Y$ परमाणुओं की संख्या $8$ है।
$X : Y$ का अनुपात $4 : 8$ है,जो सरल होकर $1 : 2$ हो जाता है।
अतः,यौगिक का सूत्र $XY_2$ है।

(A) $FCC$ इकाई सेल में,$8$ चतुष्फलकीय रिक्तियां होती हैं जो इन रिक्तियों के केंद्रों को जोड़कर बनने वाले छोटे घन के कोनों पर स्थित होती हैं।
चूंकि इनमें से प्रत्येक $8$ चतुष्फलकीय रिक्ति $8$ ऐसे घनों द्वारा साझा की जाती है,इसलिए नए घन के भीतर चतुष्फलकीय रिक्तियों की प्रभावी संख्या $8 \times \frac{1}{8} = 1$ है।
इसके अतिरिक्त,मूल $FCC$ इकाई सेल के काय केंद्र (body center) पर एक अष्टफलकीय रिक्ति होती है,जो नए छोटे घन के काय केंद्र के साथ भी मेल खाती है।
इसलिए,नए घन में $1$ प्रभावी चतुष्फलकीय रिक्ति और $1$ अष्टफलकीय रिक्ति होती है।

(C) $FCC$ जालक में,निकटतम पड़ोसियों के बीच की दूरी $d = \frac{a_{edge}}{\sqrt{2}} = a$ है। अतः,इकाई सेल की कोर लंबाई $a_{edge} = a\sqrt{2}$ है।
$ABCABC...$ पैकिंग में त्रिकोणीय रिक्तियां चतुष्फलकीय रिक्तियां $(THV)$ होती हैं।
दो क्रमिक परतों की निकटतम त्रिकोणीय रिक्तियों के केंद्रों के बीच की दूरी दो निकटतम चतुष्फलकीय रिक्तियों के बीच की दूरी के बराबर होती है।
$FCC$ इकाई सेल में,दो निकटतम चतुष्फलकीय रिक्तियों के बीच की दूरी $\frac{a_{edge}}{2}$ होती है।
$a_{edge} = a\sqrt{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\text{दूरी} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

(C) $CCP$ जालक में,प्रति इकाई सेल ऑक्साइड आयनों $(O^{2-})$ की संख्या $4$ होती है।
अष्टफलकीय रिक्तियों $(O.V.)$ की संख्या $4$ है और चतुष्फलकीय रिक्तियों $(T.V.)$ की संख्या $8$ है।
सूत्र $AB_2O_4$ के अनुसार,$4$ ऑक्साइड आयनों के लिए $1$ द्विसंयोजक आयन $(A^{2+})$ और $2$ त्रिसंयोजक आयन $(B^{3+})$ हैं।
$A^{2+}$ आयन अष्टफलकीय रिक्तियों पर कब्जा करते हैं: $1$ $O.V.$ $A^{2+}$ द्वारा भरा गया है।
$B^{3+}$ आयन $T.V.$ और $O.V.$ दोनों में समान संख्या में स्थित हैं। मान लीजिए $T.V.$ में $B^{3+}$ आयनों की संख्या $x$ है और $O.V.$ में भी $x$ है।
कुल $B^{3+} = x + x = 2x = 2$,इसलिए $x = 1$ है।
अतः,$B^{3+}$ आयन $1$ $T.V.$ और $1$ $O.V.$ पर कब्जा करते हैं।
कुल भरी हुई $O.V.$ = ($A^{2+}$ द्वारा भरी गई) + ($B^{3+}$ द्वारा भरी गई) = $1 + 1 = 2$ है।
कुल उपलब्ध $O.V.$ = $4$ है।
खाली $O.V.$ = $4 - 2 = 2$ है।
खाली $O.V.$ का अंश = $2/4 = 1/2$ है।

(A) $FCC$ इकाई सेल में:
$X$ परमाणुओं की संख्या (कोनों और फलक-केंद्रों पर) $= 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4$.
$Y$ परमाणुओं की संख्या (अष्टफलकीय रिक्तियों में) $= 4$.
$Z$ परमाणुओं की संख्या (चतुष्फलकीय रिक्तियों में) $= 8$.
एक मुख्य विकर्ण पर,दो कोने वाले $X$ परमाणु,एक अष्टफलकीय रिक्ति $(Y)$ जो शरीर के केंद्र में है,और दो चतुष्फलकीय रिक्तियां $(Z)$ होती हैं।
इन परमाणुओं को हटाने पर:
$X$ परमाणुओं की संख्या $= 4 - (2 \times \frac{1}{8}) = 4 - 0.25 = 3.75 = \frac{15}{4}$.
$Y$ परमाणुओं की संख्या $= 4 - 1 = 3$.
$Z$ परमाणुओं की संख्या $= 8 - 2 = 6$.
अनुपात $X : Y : Z = \frac{15}{4} : 3 : 6$.
$4$ से गुणा करने पर,हमें $15 : 12 : 24$ प्राप्त होता है।
$3$ से भाग देने पर,हमें $5 : 4 : 8$ प्राप्त होता है।
अतः,सबसे सरल सूत्र $X_5Y_4Z_8$ है।

(C) $ABCABC$ पैकिंग एक फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(FCC)$ संरचना को दर्शाती है।
$FCC$ इकाई सेल के लिए,कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ है,इसलिए $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.
दिया है $a = 10 \ \mathring{A} = 10 \times 10^{-8} \ cm$.
त्रिज्या $r = \frac{10 \times 10^{-8}}{2\sqrt{2}} \ cm$.
एक धातु परमाणु का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{10 \times 10^{-8}}{2\sqrt{2}})^3 \ cm^3$.
एक धातु परमाणु का द्रव्यमान $m = \frac{\text{परमाणु द्रव्यमान}}{N_A} = \frac{60.23}{6.023 \times 10^{23}} = 10^{-22} \ g$.
परमाणु का घनत्व $\rho = \frac{m}{V} = \frac{10^{-22}}{\frac{4}{3} \pi (\frac{10 \times 10^{-8}}{2\sqrt{2}})^3} \approx 0.54 \ g/cm^3$.

(D) $2D$ स्क्वायर पैकिंग में,समन्वय संख्या $4$ है और पैकिंग अंश $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ है।
$2D$ हेक्सागोनल पैकिंग में,समन्वय संख्या $6$ है और पैकिंग अंश $\frac{\pi}{2\sqrt{3}} \approx 0.906$ है।
चूंकि हेक्सागोनल पैकिंग का पैकिंग अंश $(0.906)$ स्क्वायर पैकिंग $(0.785)$ से अधिक है,इसलिए हेक्सागोनल पैकिंग का रिक्त अंश $(1 - \text{packing fraction})$ स्क्वायर पैकिंग से कम होता है।
$2D$ हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग में,प्रत्येक परमाणु $6$ अन्य परमाणुओं के संपर्क में होता है,जो इसके चारों ओर $6$ ट्राइगोनल प्लेनर रिक्तियां बनाता है।

(A) $bcc$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) इकाई सेल में,पैकिंग दक्षता $68\%$ होती है।
इसलिए,रिक्त स्थान का प्रतिशत इस प्रकार है:
$\text{रिक्त स्थान} = 100\% - \text{पैकिंग दक्षता}$
$\text{रिक्त स्थान} = 100\% - 68\% = 32\%$

(B) सीमांत त्रिज्या अनुपात $(r/R)$ क्रिस्टल जालक में समन्वय संख्या और रिक्ति के प्रकार को निर्धारित करता है।त्रिकोणीय रिक्ति के लिए,सीमांत त्रिज्या अनुपात $0.155$ है।चतुष्फलकीय रिक्ति के लिए,सीमांत त्रिज्या अनुपात $0.225$ है।अष्टफलकीय रिक्ति के लिए,सीमांत त्रिज्या अनुपात $0.414$ है।घनीय रिक्ति के लिए,सीमांत त्रिज्या अनुपात $0.732$ है।अतः,चतुष्फलकीय रिक्ति के लिए सीमा $0.225$ से $0.414$ है।

(A) $CCP$ संरचना में,ऑक्साइड आयनों $(O^{2-})$ की संख्या $4$ होती है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों $(TV)$ की संख्या = $2 \times 4 = 8$।
अष्टफलकीय रिक्तियों $(OV)$ की संख्या = $4$।
$A^{2+}$ आयनों की संख्या = $\frac{1}{5} \times 8 = \frac{8}{5}$।
$B^{3+}$ आयनों की संख्या = $\frac{1}{2} \times 4 = 2$।
$A : B : O$ का अनुपात $\frac{8}{5} : 2 : 4$ है।
अनुपात को $5$ से गुणा करने पर,हमें $8 : 10 : 20$ प्राप्त होता है।
अनुपात को $2$ से विभाजित करके सरल करने पर,हमें $4 : 5 : 10$ प्राप्त होता है।
अतः,ऑक्साइड का सूत्र $A_4B_5O_{10}$ है।

(D) एंटीफ्लोराइट संरचना में,जालक स्थलों $(ccp)$ पर ऋणायन $[PtCl_6]^{2-}$ स्थित होते हैं।
अतः,घनीय इकाई सेल के कोनों और फलक केंद्रों पर $(PtCl_6)^{2-}$ आयन स्थित होते हैं।

(C) षट्कोणीय क्लोज पैकिंग $(HCP)$ जालक में,अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या जालक में मौजूद परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है।
मान लीजिए कि ऋणायनों $(A)$ की संख्या $N$ है।
तो,अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या भी $N$ होगी।
धनायन $(C)$ $2/3$ अष्टफलकीय रिक्तियों पर कब्जा करते हैं,इसलिए धनायनों की संख्या $(2/3)N$ है।
$C:A$ का अनुपात $(2/3)N : N$ है,जो सरल होकर $2:3$ हो जाता है।
इसलिए,यौगिक का सूत्र $C_2A_3$ है।

(B) क्यूबिक-क्लोज्ड पैक्ड $(CCP)$ संरचना में,प्रति इकाई सेल ऑक्साइड आयनों $(O^{2-})$ की संख्या $4$ होती है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2 \times 4 = 8$ होती है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $4$ होती है।
दिया गया है कि $1/8$ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ $A^{2+}$ धनायनों द्वारा भरी हैं:
$A^{2+}$ की संख्या $= 8 \times (1/8) = 1$.
दिया गया है कि $1/2$ अष्टफलकीय रिक्तियाँ $B^{3+}$ धनायनों द्वारा भरी हैं:
$B^{3+}$ की संख्या $= 4 \times (1/2) = 2$.
अतः,$A : B : O$ का अनुपात $1 : 2 : 4$ है।
सामान्य सूत्र $AB_{2}O_{4}$ है।

(A) एक अष्टफलकीय रिक्ति $6$ गोलों की अष्टफलकीय ज्यामिति में व्यवस्था द्वारा बनती है।
इसलिए,यह $6$ गोलों से घिरी होती है।

(C) मान लीजिए कि $HCP$ जालक में ऑक्साइड आयनों $(O^{2-})$ की संख्या $N = 6$ है।
$OHV$ (अष्टफलकीय रिक्तियों) की संख्या आयनों की संख्या के बराबर होती है,इसलिए $OHV = 6$ है।
$THV$ (चतुष्फलकीय रिक्तियों) की संख्या आयनों की संख्या की दोगुनी होती है,इसलिए $THV = 2 \times 6 = 12$ है।
धनायन $A$,$THV$ का $\frac{1}{6}$ भाग घेरते हैं = $\frac{1}{6} \times 12 = 2$ है।
धनायन $B$,$OHV$ का $\frac{1}{3}$ भाग घेरते हैं = $\frac{1}{3} \times 6 = 2$ है।
परमाणुओं $A : B : O$ का अनुपात $2 : 2 : 6$ है,जिसे सरल करने पर $1 : 1 : 3$ प्राप्त होता है।
अतः,मूलानुपाती सूत्र $ABO_3$ है।

(D) $FCC$ यूनिट सेल में $8$ कोने और $6$ फलक-केंद्र होते हैं।
प्रारंभ में,कोनों पर $A$ परमाणुओं की संख्या $= 8 \times \frac{1}{8} = 1$.
फलक-केंद्रों पर $B$ परमाणुओं की संख्या $= 6 \times \frac{1}{2} = 3$.
एक बॉडी डायगोनल $2$ कोनों से होकर गुजरता है।
जब बॉडी डायगोनल पर स्थित परमाणुओं को हटाया जाता है,तो $2$ कोने वाले परमाणु हट जाते हैं।
शेष $A$ परमाणुओं की संख्या $= 1 - (2 \times \frac{1}{8}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$B$ परमाणुओं की संख्या $3$ ही रहती है।
$A:B$ का अनुपात $= \frac{3}{4} : 3 = 1 : 4$.
अतः,अनुभवजन्य सूत्र $AB_4$ है।

(B) क्लोज-पैक्ड संरचना में,अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या जालक (lattice) में उपस्थित परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है।
दिया गया है,यौगिक के मोलों की संख्या $= 0.3 \, mol$.
परमाणुओं की संख्या $= 0.3 \times 6.022 \times 10^{23} \, \text{atoms/mol} = 1.8066 \times 10^{23} \, \text{atoms}$.
चूंकि अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या परमाणुओं की संख्या के बराबर होती है,इसलिए अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $= 1.8066 \times 10^{23}$ है।

(A) मान लीजिए कि $CCP$ जालक में ऑक्साइड आयनों $(O^{2-})$ की संख्या $N = 4$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2N = 2 \times 4 = 8$ है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $N = 4$ है।
धनायन $A$ चतुष्फलकीय रिक्तियों का $1/6$ भाग घेरते हैं: $A = \frac{1}{6} \times 8 = \frac{4}{3}$।
धनायन $B$ अष्टफलकीय रिक्तियों का $1/3$ भाग घेरते हैं: $B = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}$।
$A : B : O$ का अनुपात $\frac{4}{3} : \frac{4}{3} : 4$ है।
$3/4$ से गुणा करने पर,हमें $1 : 1 : 3$ का अनुपात प्राप्त होता है।
अतः,यौगिक का सूत्र $ABO_3$ है।

(D) फलक-केंद्रित घनीय $(FCC)$ इकाई सेल में:
कोनों पर $A$ परमाणुओं की संख्या = $8 \times \frac{1}{8} = 1$.
फलक केंद्रों की कुल संख्या = $6$.
उपस्थित $B$ परमाणुओं की संख्या = $6 - 3 = 3$.
फलक केंद्रों पर $B$ परमाणुओं का योगदान = $3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
$A:B$ का अनुपात = $1 : \frac{3}{2} = 2 : 3$.
अतः,यौगिक का सबसे सरल सूत्र $A_2B_3$ है।

(B) हीरे की क्रिस्टल संरचना में,कार्बन परमाणु फलक-केंद्रित घनीय $(FCC)$ जालक बनाते हैं।
एक $FCC$ इकाई सेल में $8$ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ होती हैं।
हीरे में,इन $8$ में से केवल $4$ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ कार्बन परमाणुओं द्वारा भरी होती हैं।
अतः,भरी हुई चतुष्फलकीय रिक्तियों का प्रतिशत $(4/8) \times 100 = 50\%$ है।

(D) माना कि क्रिस्टल जालक में $O^{2-}$ आयनों की संख्या $N$ है।
अतः,अष्टफलकीय रिक्तियाँ $= N$.
चतुष्फलकीय रिक्तियाँ $= 2N$.
$A^{2+}$ आयनों की संख्या $= \frac{1}{8} \times 2N = \frac{1}{4}N$.
$B^{3+}$ आयनों की संख्या $= \frac{1}{2} \times N = \frac{1}{2}N$.
$A^{2+} : B^{3+} : O^{2-}$ का अनुपात $\frac{1}{4}N : \frac{1}{2}N : N$ है।
$4$ से गुणा करने पर,हमें $1 : 2 : 4$ का अनुपात प्राप्त होता है।
अतः,मिश्रित ऑक्साइड का सूत्र $AB_2O_4$ है।

(D) $HCP$ जालक में,प्रति इकाई सेल $B^{2-}$ आयनों की संख्या $N = 6$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2N = 2 \times 6 = 12$ है।
$A^{x+}$ आयन चतुष्फलकीय रिक्तियों के एक-चौथाई भाग में स्थित हैं,इसलिए $A^{x+}$ आयनों की संख्या $\frac{1}{4} \times 12 = 3$ है।
यौगिक का सूत्र $A_3B_6$ है,जिसे सरल करने पर $AB_2$ प्राप्त होता है।
यौगिक को विद्युत रूप से उदासीन होने के लिए,कुल धनात्मक आवेश कुल ऋणात्मक आवेश के बराबर होना चाहिए: $3 \times (+x) + 6 \times (-2) = 0$.
$3x - 12 = 0$,जिससे $3x = 12$ प्राप्त होता है,अतः $x = 4$.

(D) एक हेक्सागोनल क्लोज-पैक्ड $(HCP)$ यूनिट सेल में प्रति यूनिट सेल $6$ परमाणु होते हैं।
क्रिस्टल जालक में चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या यूनिट सेल में मौजूद परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है।
अतः,चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $= 2 \times 6 = 12$।

(C) क्यूबिक क्लोज पैक्ड $(ccp)$ या फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$ संरचना में,प्रति यूनिट सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ होती है।
घन के बॉडी सेंटर पर एक अष्टफलकीय रिक्ति होती है और किनारों पर $12$ अष्टफलकीय रिक्तियां होती हैं,जिनमें से प्रत्येक $4$ यूनिट सेल द्वारा साझा की जाती है।
बॉडी सेंटर पर अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $= 1$।
किनारों पर अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $= 12 \times \frac{1}{4} = 3$।
प्रति यूनिट सेल अष्टफलकीय रिक्तियों की कुल संख्या $= 1 + 3 = 4$।
चूंकि प्रति यूनिट सेल $4$ परमाणु होते हैं,इसलिए प्रति परमाणु अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $= \frac{4}{4} = 1$।

(A) $hcp$ जालक में,चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या जालक बनाने वाले परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है।
मान लीजिए कि $hcp$ जालक बनाने वाले $B$ परमाणुओं की संख्या $N$ है।
तब,चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $= 2N$ होगी।
दिया गया सूत्र $A_2B_3$ है,परमाणुओं का अनुपात $A:B = 2:3$ है।
यदि $B$ $hcp$ जालक ($N$ परमाणु) बनाता है,तो $A$ परमाणु चतुष्फलकीय रिक्तियों को भरते हैं।
$A$ द्वारा भरी गई चतुष्फलकीय रिक्तियों का भाग $= \frac{A \text{ परमाणुओं की संख्या}}{\text{चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या}} = \frac{2N/3}{2N} = \frac{1}{3}$।
अतः,$B$ $hcp$ जालक बनाता है और $A$ $\frac{1}{3}$ चतुष्फलकीय रिक्तियों को भरता है।

(B) $ccp$ (क्यूबिक क्लोज-पैक्ड) संरचना में,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ होती है।
$1$. $B$ परमाणुओं की संख्या $= 4$.
$2$. अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $= 4$. चूंकि '$A$' अष्टफलकीय रिक्तियों के आधे भाग को घेरता है,इसलिए $A$ परमाणुओं की संख्या $= 4 \times \frac{1}{2} = 2$.
$3$. चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $= 2 \times Z = 2 \times 4 = 8$. चूंकि ऑक्सीजन परमाणु सभी चतुष्फलकीय रिक्तियों को घेरते हैं,इसलिए ऑक्सीजन परमाणुओं की संख्या $= 8$.
$A:B:O$ परमाणुओं का अनुपात $2:4:8$ है,जिसे सरल करने पर $1:2:4$ प्राप्त होता है।
अतः,द्वि-धात्विक ऑक्साइड का सूत्र $AB_2O_4$ है।

(A) $bcc$ इकाई कोशिका में,मुख्य विकर्ण $\sqrt{3}a$ है,जहाँ $a$ किनारे की लंबाई है।
मुख्य विकर्ण के साथ,परमाणु संपर्क में हैं: $2r_A + 2r_B = \sqrt{3}a$.
दिया गया है $r_B = 2r_A$,इसलिए $2r_A + 2(2r_A) = \sqrt{3}a$,जो $6r_A = \sqrt{3}a$ या $a = 2\sqrt{3}r_A$ देता है।
पैकिंग दक्षता परमाणुओं के आयतन और इकाई कोशिका के आयतन के अनुपात द्वारा दी जाती है।
परमाणुओं का आयतन = $8 \times (\frac{1}{8}) \times \frac{4}{3}\pi r_A^3 + 1 \times \frac{4}{3}\pi r_B^3 = \frac{4}{3}\pi r_A^3 + \frac{4}{3}\pi (2r_A)^3 = \frac{4}{3}\pi r_A^3 (1 + 8) = 12\pi r_A^3$.
इकाई कोशिका का आयतन = $a^3 = (2\sqrt{3}r_A)^3 = 8 \times 3\sqrt{3} r_A^3 = 24\sqrt{3} r_A^3$.
पैकिंग दक्षता = $\frac{12\pi r_A^3}{24\sqrt{3} r_A^3} \times 100 = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \times 100 \approx \frac{3.14159}{3.464} \times 100 \approx 90.6\%$.
चूंकि पैकिंग दक्षता केवल त्रिज्या के अनुपात और संरचना के प्रकार पर निर्भर करती है,यह किनारे की लंबाई से स्वतंत्र है। अतः,ठोस $2$ में पैकिंग दक्षता लगभग $90\%$ है।

(C) जिंक ब्लेंड संरचना में,ऋणायन ($B$ आयन) $ccp$ (क्यूबिक क्लोज-पैक्ड) जालक बनाते हैं।
प्रति इकाई सेल $B$ आयनों की संख्या $= 4$.
$ccp$ जालक में चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है,जो $2 \times 4 = 8$ है।
यह दिया गया है कि $A$ आयन $25\%$ चतुष्फलकीय रिक्तियों को घेरते हैं।
$A$ आयनों की संख्या $= 25\% \times 8 = 0.25 \times 8 = 2$.
$A:B$ का अनुपात $= 2:4 = 1:2$.
अतः,ठोस का सूत्र $AB_2$ है।

(D) $ccp$ $(fcc)$ इकाई सेल में,$A$ के $4$ परमाणु (कोने और फलक केंद्र),$4$ अष्टफलकीय रिक्तियां $(B)$ और $8$ चतुष्फलकीय रिक्तियां $(C)$ होती हैं।
एक शरीर के विकर्ण पर $2$ कोने,$2$ चतुष्फलकीय रिक्तियां और $1$ अष्टफलकीय रिक्ति (शरीर के केंद्र में) होती है।
मूल परमाणु: $A = 4, B = 4, C = 8$.
शरीर के विकर्ण पर स्थित परमाणुओं को हटाने के बाद:
$A$ परमाणु: $2$ कोने हटा दिए जाते हैं। शेष $A = 4 - (2 \times 1/8) = 15/4$.
$B$ परमाणु: $1$ अष्टफलकीय रिक्ति हटा दी जाती है। शेष $B = 4 - 1 = 3$.
$C$ परमाणु: $2$ चतुष्फलकीय रिक्तियां हटा दी जाती हैं। शेष $C = 8 - 2 = 6$.
सूत्र: $A_{15/4}B_3C_6$.
सबसे सरल पूर्णांक अनुपात प्राप्त करने के लिए $4$ से गुणा करने पर: $A_{15}B_{12}C_{24}$.
$3$ से भाग देने पर: $A_5B_4C_8$.

(A) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र है: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$।
$FCC$ और $HCP$ दोनों के लिए पैकिंग दक्षता समान $(74\%)$ होती है।
चूंकि तत्व समान है,इसलिए मोलर द्रव्यमान $(M)$ और आवोगाद्रो संख्या $(N_A)$ स्थिर रहेंगे।
दोनों संरचनाओं में पैकिंग दक्षता समान होने के कारण,घनत्व भी समान होगा।
अतः,घनत्व का अनुपात $1$ है।

(C) $2D$ हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग में,प्रत्येक गोला $6$ अन्य गोलों के संपर्क में होता है।
गोलों के केंद्रों द्वारा निर्मित इकाई सेल का क्षेत्रफल $6\sqrt{3}r^2$ है।
इस इकाई में गोलों द्वारा घेरा गया प्रभावी क्षेत्रफल $3 \times (\pi r^2)$ है।
पैकिंग अंश = $\frac{\text{गोलों द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल}}{\text{इकाई सेल का कुल क्षेत्रफल}}$।
$2D$ हेक्सागोनल पैकिंग के लिए,पैकिंग अंश $\frac{\pi}{2\sqrt{3}} \approx 0.906$ है।

(B) $FCC$ इकाई सेल में,परमाणु फलक विकर्ण (face diagonal) पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
कोर की लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $4r = a\sqrt{2}$ है,जिसका अर्थ है $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$।
इकाई सेल के कोर पर,दो परमाणु कोनों पर मौजूद होते हैं,जो प्रत्येक कोर की लंबाई में $r$ त्रिज्या का योगदान देते हैं।
कोर पर परमाणुओं द्वारा कवर की गई कुल लंबाई $2r$ है।
कोर पर कवर न की गई लंबाई $a - 2r$ है।
कवर न किए गए कोर का अंश $\frac{a - 2r}{a} = 1 - \frac{2r}{a}$ है।
$r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$ को समीकरण में रखने पर:
अंश $= 1 - \frac{2(a / 2\sqrt{2})}{a} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$,इसलिए अंश $= 1 - 0.707 = 0.293$।

(B) एक फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(FCC)$ यूनिट सेल में,$8$ कोने और $6$ फलक केंद्र होते हैं।
प्रत्येक कोने का परमाणु यूनिट सेल में $1/8$ योगदान देता है।
प्रति यूनिट सेल परमाणुओं की कुल संख्या $Z = (8 \times 1/8) + (6 \times 1/2) = 4$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2Z$ के बराबर होती है,जो $2 \times 4 = 8$ है।
ये $8$ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ घन के काय विकर्णों $(body diagonals)$ पर,प्रत्येक कोने से काय विकर्ण की लंबाई के $1/4$ दूरी पर स्थित होती हैं।

(D) क्रिस्टल जालक की संकुलन क्षमता (packing efficiency) परमाणुओं द्वारा घेरे गए कुल आयतन का अंश है।
रिक्त स्थान का अंश (void fraction) इस प्रकार निकाला जाता है: $\text{Void fraction} = 1 - \text{Packing efficiency}$.
सिंपल क्यूबिक जालक के लिए,संकुलन क्षमता $\frac{\pi}{6} \approx 0.524$ होती है।
अतः,रिक्त स्थान का अंश $1 - 0.524 = 0.476$ है।
इस प्रकार,सिंपल क्यूबिक जालक में रिक्त स्थान का अंश $0.476$ होता है।

(A) फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(FCC)$ जालक में:
कोनों पर परमाणु $A$ की संख्या = $8 \times \frac{1}{8} = 1$.
$FCC$ यूनिट सेल में कुल फेस-सेंटर्ड स्थितियों की संख्या $6$ होती है।
चूंकि $B$ का एक परमाणु एक फेस-सेंटर्ड स्थिति से गायब है,इसलिए उपस्थित $B$ परमाणुओं की संख्या = $6 - 1 = 5$.
प्रत्येक फेस-सेंटर्ड परमाणु का यूनिट सेल में योगदान = $\frac{1}{2}$.
परमाणु $B$ की संख्या = $5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
परमाणुओं का अनुपात $A : B = 1 : \frac{5}{2} = 2 : 5$.
अतः,यौगिक का सूत्र $A_2B_5$ है।

(A) $HCP$ इकाई सेल में प्रति इकाई सेल $6$ परमाणु होते हैं।
$HCP$ इकाई सेल का आधार $a = 2r$ भुजा की लंबाई वाला एक नियमित षट्कोण है।
आधार का क्षेत्रफल $= 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} (2r)^2 = 6\sqrt{3} r^2$ है।
$HCP$ इकाई सेल की ऊँचाई $h = 4r \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।
आयतन $=$ आधार का क्षेत्रफल $\times$ ऊँचाई $= (6\sqrt{3} r^2) \times (4r \sqrt{\frac{2}{3}}) = 24\sqrt{3} \times \sqrt{\frac{2}{3}} r^3 = 24\sqrt{2} r^3$।

(C) एंटीफ्लोराइट $(Na_{2}O)$ संरचना में,ऋणायन $CCP$ (घनीय निविड संकुलन) व्यवस्था में होते हैं और धनायन सभी चतुष्फलकीय रिक्तियों को घेरते हैं।

(B) $ccp$ जालक में,प्रति इकाई सेल प्रभावी परमाणुओं की संख्या $4$ होती है।
इसलिए,$B$ परमाणुओं की संख्या = $4$ है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या = $4$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या = $2 \times 4 = 8$ है।
धनायन $A$,अष्टफलकीय रिक्तियों का $50\%$ और चतुष्फलकीय रिक्तियों का $50\%$ भाग घेरता है।
$A$ परमाणुओं की संख्या = $(0.50 \times 4) + (0.50 \times 8) = 2 + 4 = 6$ है।
$A:B$ का अनुपात = $6:4 = 3:2$ है।
अतः,क्रिस्टलीय ठोस का सूत्र $A_3B_2$ है।

(D) $fcc$ इकाई सेल में:
$A$ परमाणुओं की संख्या (कोने) = $8 \times \frac{1}{8} = 1$.
$B$ परमाणुओं की संख्या (फलक-केंद्र) = $6 \times \frac{1}{2} = 3$.
$C$ परमाणुओं की संख्या (चतुष्फलकीय रिक्तियां) = $8$.
$D$ परमाणुओं की संख्या (अष्टफलकीय रिक्तियां) = $4$.
एक मुख्य विकर्ण पर $2$ कोने और $2$ चतुष्फलकीय रिक्तियां होती हैं।
इन्हें हटाने पर:
$A = 1 - (2 \times \frac{1}{8}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$B = 3$ (कोई बदलाव नहीं)।
$C = 8 - 2 = 6$.
$D = 4$ (कोई बदलाव नहीं)।
सूत्र: $A_{3/4}B_3C_6D_4$.
$4$ से गुणा करने पर: $A_3B_{12}C_{24}D_{16}$.

(B) चतुष्फलकीय रिक्ति के लिए,त्रिज्या अनुपात $\frac{r}{R} = 0.225$ है।
अष्टफलकीय रिक्ति के लिए,त्रिज्या अनुपात $\frac{r}{R} = 0.414$ है।
चूंकि $0.225 < 0.414$,इसलिए चतुष्फलकीय रिक्ति का आकार अष्टफलकीय रिक्ति से छोटा होता है।

(D) $ccp$ जालक में,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $4$ होती है।
चतुष्फलकीय छिद्रों की संख्या $2 \times ({\text{परमाणुओं की संख्या}}) = 2 \times 4 = 8$ होती है।
प्रारंभ में,इन $8$ चतुष्फलकीय छिद्रों में $8$ $B$ परमाणु स्थित होते हैं।
चूँकि $B$ परमाणुओं में से आधे निकाल दिए जाते हैं,इसलिए शेष $B$ परमाणुओं की संख्या $8 / 2 = 4$ है।
अतः,भरे हुए चतुष्फलकीय छिद्रों की संख्या $4$ है,जो $A$ परमाणुओं की संख्या $(4)$ के बराबर है।
इस प्रकार,भरे हुए चतुष्फलकीय छिद्रों की संख्या $A$ परमाणुओं के बराबर है।

(B) क्यूबिक क्लोज-पैक्ड $(CCP)$ या फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(FCC)$ सिस्टम में,परतों की व्यवस्था $ABCABC...$ पैटर्न का पालन करती है।
इस सिस्टम में,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $4$ होती है।
क्रिस्टल लैटिस में चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या हमेशा इकाई सेल में मौजूद परमाणुओं की संख्या की दोगुनी होती है।
इसलिए,यदि प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z$ है,तो चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2Z$ होगी।

(C) $FCC$ इकाई सेल में,प्रभावी परमाणुओं की संख्या $n = 4$ है।
अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $= n = 4$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $= 2n = 8$ है।
परमाणु $A$ $FCC$ जालक में है,इसलिए $A$ परमाणुओं की संख्या $= 4$ है।
परमाणु $B$ सभी अष्टफलकीय रिक्तियों $(4)$ और आधी चतुष्फलकीय रिक्तियों $(8 / 2 = 4)$ पर कब्जा करता है।
$B$ परमाणुओं की कुल संख्या $= 4 + 4 = 8$ है।
$A:B$ का अनुपात $= 4:8 = 1:2$ है।
इसलिए,यौगिक का सूत्र $AB_2$ है।

(C) संरचना $I$ में,केंद्रीय रिक्ति $6$ परमाणुओं (इकाई सेल के केंद्र में) से घिरी हुई है,जो एक अष्टफलकीय रिक्ति को दर्शाती है।
संरचना $II$ में,रिक्ति किनारे के केंद्र पर है,जो $6$ परमाणुओं से घिरी हुई है,जो एक अष्टफलकीय रिक्ति को भी दर्शाती है।
संरचना $III$ में,रिक्ति चतुष्फलकीय व्यवस्था में $4$ परमाणुओं से घिरी हुई है,जो एक चतुष्फलकीय रिक्ति को दर्शाती है।
इसलिए,$I$ और $II$ अष्टफलकीय रिक्तियों को दर्शाते हैं।

(C) जिंक ब्लेंड $(ZnS)$ संरचना में,ऋणायन $(B^{-})$ फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$ जालक बनाते हैं।
प्रति इकाई सेल $B^{-}$ आयनों की संख्या $4$ होती है।
$fcc$ जालक में चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2 \times ( {\text{परमाणुओं की संख्या}}) = 2 \times 4 = 8$ होती है।
चूंकि सूत्र $AB$ है,इसलिए प्रति इकाई सेल $A^{ }$ आयनों की संख्या $4$ होनी चाहिए।
अतः,$A^{ }$ आयनों द्वारा भरी गई चतुष्फलकीय रिक्तियों का अंश $\frac{4}{8} = 0.5$ है,जो $50 \%$ है।

(D) $N$ गोलों की क्लोज पैक्ड व्यवस्था में,चतुष्फलकीय रिक्तियों (छिद्रों) की संख्या $2N$ होती है और अष्टफलकीय रिक्तियों की संख्या $N$ होती है।
उदाहरण के लिए,$fcc$ इकाई सेल में प्रति इकाई सेल $4$ परमाणु होते हैं।
इसमें $4$ अष्टफलकीय रिक्तियाँ और $8$ चतुष्फलकीय रिक्तियाँ होती हैं,जो क्रमशः $N$ और $2N$ के संबंध का पालन करती हैं।

(A) $CCP$ व्यवस्था में:
$1$. कोनों पर परमाणुओं की संख्या $(B)$ = $8 \times (1/8) = 1$.
$2$. फलक केंद्रों पर परमाणुओं की संख्या $(A)$ = $6 \times (1/2) = 3$.
$3$. कुल चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या = $2 \times 4 = 8$.
$4$. $50\%$ चतुष्फलकीय रिक्तियों को घेरने वाले $C$ परमाणुओं की संख्या = $0.50 \times 8 = 4$.
अतः परमाणुओं का अनुपात $A:B:C = 3:1:4$ है।
इसलिए आणविक सूत्र $A_3 B C_4$ है।