Collision theory, Energy of activation and Arrhenius equation Questions in Hindi

(B) अभिक्रिया की एन्थैल्पी $\Delta H$,अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_a)_f$ और पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_a)_b$ के बीच के अंतर द्वारा दी जाती है:
$\Delta H = (E_a)_f - (E_a)_b$
दिया गया है $\Delta H = -4.2 \ kJ \ mol^{-1}$ और $(E_a)_f = 9.6 \ kJ \ mol^{-1}$:
$-4.2 = 9.6 - (E_a)_b$
$(E_a)_b = 9.6 + 4.2 = 13.8 \ kJ \ mol^{-1}$
चूंकि $\Delta H$ ऋणात्मक है,अभिक्रिया ऊष्माक्षेपी है,जिसका अर्थ है कि उत्पाद $B$ की स्थितिज ऊर्जा अभिकारक $A$ की स्थितिज ऊर्जा से कम होनी चाहिए। दिए गए विकल्पों में से,वह ग्राफ जिसमें उत्पाद $B$,अभिकारक $A$ से निचले ऊर्जा स्तर पर है,विकल्प $B$ द्वारा दर्शाया गया है।

(A) आरेनियस समीकरण $\ln k = \ln A - \frac{E_{a}}{RT}$ है।
इसे सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से तुलना करने पर,जहाँ $y = \ln k$ और $x = \frac{1}{T}$,ढाल $m = -\frac{E_{a}}{R}$ प्राप्त होता है।
यहाँ ढाल $-5 \times 10^{3} \, K$ दिया गया है,इसलिए $-\frac{E_{a}}{R} = -5 \times 10^{3} \, K$.
अतः,$E_{a} = 5 \times 10^{3} \times 8.314 \, J \, mol^{-1} = 41570 \, J \, mol^{-1}$.
$kJ \, mol^{-1}$ में बदलने पर,$E_{a} = 41.57 \, kJ \, mol^{-1} \approx 41.5 \, kJ \, mol^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) आरेनियस समीकरण के अनुसार,$\ln \ k = \ln \ A - \frac{E_a}{RT}$ होता है।
हम $\ln \ k$ बनाम $\frac{10^{3}}{T}$ का ग्राफ प्लॉट कर रहे हैं।
समीकरण को फिर से लिखने पर: $\ln \ k = \ln \ A - \left( \frac{E_a}{R \times 10^{3}} \right) \times \left( \frac{10^{3}}{T} \right)$।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m = -\frac{E_a}{R \times 10^{3}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया ढाल $-18.5$ है,इसलिए: $-18.5 = -\frac{E_a}{8.31 \times 10^{3}}$।
$E_a = 18.5 \times 8.31 \times 10^{3} \ J \ mol^{-1} = 153735 \ J \ mol^{-1}$।
$kJ \ mol^{-1}$ में बदलने पर: $E_a = 153.735 \ kJ \ mol^{-1}$।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $154 \ kJ \ mol^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) आरेनियस समीकरण के अनुसार,$k = A e^{-E_a / RT}$ है।
उत्प्रेरित अभिक्रिया के लिए,$k_{\text{cat}} = A e^{-E_{a, \text{cat}} / RT}$ है।
अनुत्प्रेरित अभिक्रिया के लिए,$k_{\text{uncat}} = A e^{-E_{a, \text{uncat}} / RT}$ है।
अनुपात $\frac{k_{\text{cat}}}{k_{\text{uncat}}} = e^{(E_{a, \text{uncat}} - E_{a, \text{cat}}) / RT}$ है।
दिया गया है $\Delta E_a = E_{a, \text{uncat}} - E_{a, \text{cat}} = 10 \ kJ \ mol^{-1} = 10000 \ J \ mol^{-1}$।
मान रखने पर: $\frac{k_{\text{cat}}}{k_{\text{uncat}}} = e^{10000 / (8.31 \times 300)} = e^{10000 / 2493} = e^{4.011}$।
$e^x$ के साथ तुलना करने पर,$x \approx 4$ प्राप्त होता है।

(C) आर्हेनियस समीकरण: $\log_{10} \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 \, R} \left(\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}\right)$
दिया गया है: $T_1 = 300 \, K$,$T_2 = 309 \, K$,$\frac{K_2}{K_1} = 2$,$R = 8.3 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$,$\log 2 = 0.30$.
मान रखने पर:
$0.3 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.3} \left(\frac{9}{300 \times 309}\right)$
$E_a = \frac{0.3 \times 2.303 \times 8.3 \times 300 \times 309}{9}$
$E_a = 59065.04 \, J \, mol^{-1}$
$E_a \approx 59 \, kJ \, mol^{-1}$

(B) आरेनियस समीकरण $\ln k = \ln A - \frac{E_A}{RT}$ है।
इसे दिए गए समीकरण $\ln k = 33.24 - \frac{2.0 \times 10^{4}}{T}$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{E_A}{R} = 2.0 \times 10^{4} \, K$.
अतः,$E_A = 2.0 \times 10^{4} \times R$.
$R = 8.3 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$ का मान रखने पर:
$E_A = 2.0 \times 10^{4} \times 8.3 \, J \, mol^{-1} = 16.6 \times 10^{4} \, J \, mol^{-1}$.
$kJ \, mol^{-1}$ में बदलने पर:
$E_A = \frac{16.6 \times 10^{4}}{1000} \, kJ \, mol^{-1} = 166 \, kJ \, mol^{-1}$.

(A) आरेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a / RT}$ है।
दिए गए समीकरण $k = (6.5 \times 10^{12} \, s^{-1}) e^{-26000 \, K / T}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{E_a}{R} = 26000 \, K$ प्राप्त होता है।
$R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$ का मान रखने पर,$E_a = 26000 \times 8.314 \, J \, mol^{-1}$ प्राप्त होता है।
$E_a = 216164 \, J \, mol^{-1} = 216.164 \, kJ \, mol^{-1}$।
निकटतम पूर्णांक में,सक्रियण ऊर्जा $216 \, kJ \, mol^{-1}$ है।

(A) आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\ln \left(\frac{k_{310}}{k_{300}}\right) = \frac{E_a}{R} \left(\frac{1}{T_{300}} - \frac{1}{T_{310}}\right)$
$\ln \left(\frac{k_{310}}{k_{300}}\right) = \frac{532611}{8.3} \times \left(\frac{310 - 300}{310 \times 300}\right)$
$\ln \left(\frac{k_{310}}{k_{300}}\right) = \frac{532611}{8.3} \times \frac{10}{93000} = 64170 \times \frac{10}{93000} \approx 6.9$
चूंकि $\ln 10 = 2.3$,इसलिए $6.9 = 3 \times 2.3 = 3 \times \ln 10 = \ln 10^3$.
अतः,$\frac{k_{310}}{k_{300}} = 10^3$,जिसका अर्थ है कि $k_{300} = 10^{-3} \, k_{310}$.
इसकी तुलना $k_{300} = x \times 10^{-3} \, k_{310}$ से करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(A) आरेनियस समीकरण $k = Ae^{-E_a/RT}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln k = -\frac{E_a}{R}(\frac{1}{T}) + \ln A$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m = -\frac{E_a}{R}$ है।
दिए गए ग्राफ से,ढाल की गणना $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 20}{5 - 0} = -4$ के रूप में की जाती है।
ढालों की तुलना करने पर: $-\frac{E_a}{R} = -4$,जिससे $E_a = 4 \times R$ प्राप्त होता है।
चूंकि $R = 2 \ cal \ K^{-1} \ mol^{-1}$ दिया गया है,इसलिए $E_a = 4 \times 2 = 8 \ cal \ mol^{-1}$ है।

(C) . वेग स्थिरांक $k$ के लिए आरेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a / RT}$ है,जहाँ $A$ पूर्व-घातांकीय कारक है।
चूँकि $e^{-E_a / RT}$ विमाहीन है,इसलिए $A$ की विमा $k$ की विमा के बराबर है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$k$ की विमा $\text{time}^{-1}$ होती है।
अतः,$A$ की विमा भी $\text{time}^{-1}$ है,जो समय का व्युत्क्रम है।
अन्य विकल्पों के लिए:
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अभिक्रिया की दर अभिकारक की सांद्रता के सीधे समानुपाती होती है।
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ है,जो $\frac{1}{k}$ का $69.3 \%$ है।
अभिकारक की सांद्रता समय के साथ $[A]_t = [A]_0 e^{-kt}$ समीकरण के अनुसार बदलती है,जो घातांकीय ह्रास को दर्शाता है,न कि रैखिक को।

(A) ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया $A \rightleftharpoons B$ के लिए,एन्थैल्पी में परिवर्तन ऋणात्मक होता है,अर्थात $\Delta H < 0$।
चूंकि $\Delta H = E_{Product} - E_{Reactant}$,हमारे पास $E_{B} - E_{A} < 0$ है,जिसका अर्थ है $E_{B} < E_{A}$।
यह इंगित करता है कि उत्पाद $B$ का ऊर्जा स्तर अभिकारक $A$ से कम होना चाहिए।
इसके अतिरिक्त,एक उत्प्रेरक कम सक्रियण ऊर्जा के साथ एक वैकल्पिक मार्ग प्रदान करता है लेकिन अभिकारकों की प्रारंभिक ऊर्जा या उत्पादों की अंतिम ऊर्जा को नहीं बदलता है।
इसलिए,ठोस रेखा (उत्प्रेरक के बिना) और डैश वाली रेखा (उत्प्रेरक के साथ) को समान ऊर्जा स्तरों पर शुरू और समाप्त होना चाहिए।
आलेख $A$ सही ढंग से $E_{B} < E_{A}$ को दर्शाता है और दोनों मार्गों के लिए समान शुरुआती और अंतिम बिंदु दिखाता है।

(A) दिया गया है,सक्रियण ऊर्जा $E_a = 209 \, kJ \, mol^{-1} = 209000 \, J \, mol^{-1}$.
दर $10$ गुना बढ़ जाती है,इसलिए $K_2 / K_1 = 10$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$.
आरेनियस समीकरण का उपयोग करने पर: $\log(K_2 / K_1) = \frac{E_a}{2.303 \, R} \left[ \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right]$.
मान रखने पर: $\log(10) = \frac{209000}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{1}{300} - \frac{1}{T_2} \right]$.
$1 = 10923.6 \times \left[ 0.003333 - \frac{1}{T_2} \right]$.
$0.0000915 = 0.003333 - \frac{1}{T_2}$.
$\frac{1}{T_2} = 0.003333 - 0.0000915 = 0.0032415$.
$T_2 = 308.5 \, K$.
$X = 308.5 - 273 = 35.5^{\circ} C \approx 35^{\circ} C$.

(C) रासायनिक अभिक्रिया की दर की तापमान पर निर्भरता को आर्हेनियस समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है: $k = A e^{-E_{a} / (RT)}$.
जब $T$ बहुत अधिक होता है,तो कारक $E_{a} / (RT)$ का मान $0$ के करीब पहुंच जाता है।
इसलिए,$k = A e^{0} = A \times 1 = A$.
अतः,बहुत उच्च तापमान पर रासायनिक अभिक्रिया का दर स्थिरांक आर्हेनियस आवृत्ति कारक $(A)$ के निकट होगा।

(A) आरेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a / R T}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T} \right)$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \ln k$ और $x = 1/T$ है:
ढाल $m = -E_a / R$ और अंतःखंड $c = \ln A$ है।
ग्राफ़ से,अभिक्रिया $I$ के लिए रेखा,अभिक्रिया $II$ की रेखा से अधिक ढलान वाली है। चूंकि ढाल ऋणात्मक है,अधिक ढलान का अर्थ है ढाल का बड़ा परिमाण,जिसका अर्थ है $E_I > E_{II}$।
साथ ही,$y$-अक्ष पर (जहाँ $1/T = 0$) रेखा $I$ का अंतःखंड रेखा $II$ से अधिक है। चूंकि अंतःखंड $\ln A$ है,यह दर्शाता है कि $\ln A_I > \ln A_{II}$,जिसका अर्थ है $A_I > A_{II}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) आरेनियस समीकरण के अनुसार,$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ है।
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = \ln k$,$x = \frac{1}{T}$,$m = -\frac{E_a}{R}$ (ढाल) और $c = \ln A$ (अंतःखंड) है।
यह इंगित करता है कि $\ln k$ बनाम $\frac{1}{T}$ का आलेख $-\frac{E_a}{R}$ के बराबर ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा होनी चाहिए।
अतः,जो ग्राफ पूरे तापमान सीमा पर आरेनियस व्यवहार प्रदर्शित करता है,वह ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है,जो विकल्प $(d)$ में दर्शाया गया है।

(B) .
आरेनियस समीकरण $K = A e^{-E_a / RT}$ के अनुसार,दर स्थिरांक $K$ तापमान पर निर्भर करता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ से अधिक गतिज ऊर्जा वाले अणुओं का अंश काफी बढ़ जाता है।
यह कारक,जिसे $e^{-E_a / RT}$ द्वारा दर्शाया जाता है,अभिक्रिया की दर में तीव्र वृद्धि का प्राथमिक कारण है।

(B)
तापमान बढ़ाने से अभिकारक अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है।
इसके परिणामस्वरूप टक्करों की संख्या,टक्करों की औसत ऊर्जा और अभिकारक अणुओं का औसत वेग बढ़ जाता है।
हालाँकि,सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ अभिक्रिया पथ का एक विशिष्ट गुण है और यह तापमान से स्वतंत्र होती है।
इसलिए,तापमान बढ़ाने से सक्रियण ऊर्जा में वृद्धि नहीं होती है।

(C) दिया गया है,$\ln k = -\frac{11067}{T} + 31.33$.
आरेनियस समीकरण $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{E_a}{R} = 11067 \, K$ प्राप्त होता है।
दर स्थिरांक को दोगुना करने के लिए,हम $\log \left( \frac{k_2}{k_1} \right) = \frac{E_a}{2.303 R} \left[ \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right]$ संबंध का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$T_1 = 25^{\circ} C = 298 \, K$ और $\frac{k_2}{k_1} = 2$.
मान रखने पर: $\log 2 = \frac{11067}{2.303} \left[ \frac{1}{298} - \frac{1}{T_2} \right]$.
$0.3010 = 4805.47 \left[ 0.0033557 - \frac{1}{T_2} \right]$.
$6.2637 \times 10^{-5} = 0.0033557 - \frac{1}{T_2}$.
$\frac{1}{T_2} = 0.003293$.
$T_2 \approx 303.66 \, K \approx 31^{\circ} C$.

(D)
संघट्ट सिद्धांत संघट्ट के दौरान अणुओं के संरचनात्मक पहलुओं को ध्यान में नहीं रखता है।
यह मानता है कि अभिकारक अणु कठोर गोले हैं और केवल उनकी गतिज ऊर्जा और अभिविन्यास पर विचार करता है,न कि उनकी आंतरिक संरचना पर।

(D) $A.$ सही। आर्हेनियस समीकरण $k = Ae^{-\frac{E_a}{RT}}$ के अनुसार,$E_a$ बढ़ने पर $k$ घटता है।
$B.$ सही। ताप गुणांक $\frac{k_{T+10}}{k_T} = e^{\frac{10E_a}{RT(T+10)}}$ है। $E_a$ बढ़ने पर ताप गुणांक का मान बढ़ता है।
$C.$ सही। दर स्थिरांक $k$ तापमान के साथ घातांकीय रूप से बढ़ता है। अवकलन $\frac{dk}{dT} = k \cdot \frac{E_a}{RT^2}$ दर्शाता है कि कम तापमान पर $k$ में परिवर्तन की दर अधिक होती है।
$D.$ सही। $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R} \cdot \frac{1}{T}$ के अनुसार,आलेख का ढाल $-\frac{E_a}{R}$ है।
अतः,चारों कथन सही हैं। इसलिए सही कथनों की संख्या $4$ है।

(D) आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$
दिया गया है: $K_1 = 0.03 \, min^{-1}$ तापमान $T_1 = 200 \, K$ पर,$K_2 = 0.05 \, min^{-1}$ तापमान $T_2 = 300 \, K$ पर,$R = 8.3 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$,$\ln 10 = 2.3$
$\log \frac{0.05}{0.03} = \frac{E_a}{2.3 \times 8.3} \left( \frac{300 - 200}{200 \times 300} \right)$
$\log \left( \frac{5}{3} \right) = \frac{E_a}{19.09} \times \frac{100}{60000}$
$\log 5 - \log 3 = \frac{E_a}{19.09} \times \frac{1}{600}$
$0.70 - 0.48 = \frac{E_a}{11454}$
$0.22 = \frac{E_a}{11454}$
$E_a = 0.22 \times 11454 = 2519.88 \, J \approx 2520 \, J$

(B) $1$. मध्यवर्ती ऊर्जा प्रोफ़ाइल आरेख में अभिकारक और उत्पाद के बीच के स्थानीय न्यूनतम बिंदु हैं। यहाँ,$P$ और $Q$ मध्यवर्ती हैं। अतः,मध्यवर्तियों की संख्या $2$ है।
$2$. सक्रिय संकुल ऊर्जा प्रोफ़ाइल आरेख में चोटियों (उच्चतम बिंदुओं) के अनुरूप होते हैं। यहाँ $3$ चोटियाँ हैं,इसलिए सक्रिय संकुलों की संख्या $3$ है।
$3$. वेग निर्धारक चरण $(RDS)$ वह चरण है जिसमें सबसे अधिक सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ होती है। चोटियों की तुलना करने पर,चरण $II$ में सबसे अधिक सक्रियण ऊर्जा है। इसलिए,चरण $II$ $RDS$ है।
अतः,सही मान हैं: मध्यवर्तियों की संख्या $= 2$,सक्रिय संकुलों की संख्या $= 3$,$RDS = II$.

(B) आरेनियस समीकरण के अनुसार,$k = A \cdot e^{-E_a / RT}$।
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर: $\log k = \log A - \frac{E_a}{2.303 R} \cdot \frac{1}{T}$।
कथनों का मूल्यांकन:
$(A)$ सही: उच्च $E_a$ का अर्थ है $\log k$ बनाम $\frac{1}{T}$ के ग्राफ में अधिक ढाल $(-\frac{E_a}{2.303 R})$,जिसका अर्थ है कि दर स्थिरांक $k$ तापमान के साथ तेजी से बदलता है।
$(B)$ सही: यदि $E_a = 0$ है,तो $k = A \cdot e^0 = A$,जो स्थिर है और तापमान से स्वतंत्र है।
$(C)$ गलत: यह कथन $(A)$ के विपरीत है।
$(D)$ गलत: यदि तापमान और दर स्थिरांक के बीच कोई संबंध नहीं है,तो इसका अर्थ $E_a = 0$ है,न कि ऋणात्मक सक्रियण ऊर्जा।
अतः,$2$ कथन ($A$ और $B$) सही हैं।

(B) एक धनात्मक उत्प्रेरक कम सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ के साथ एक वैकल्पिक मार्ग प्रदान करके अभिक्रिया की दर को बढ़ाता है।
$(i)$ अभिकारकों और उत्पादों की ऊर्जा समान रहती है,इसलिए $\Delta H$ नहीं बदलती है।
$(ii)$ सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ कम हो जाती है,जिसे ऊर्जा प्रोफाइल आरेख में एक निचले शिखर द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,वह आरेख जिसमें उत्प्रेरक के साथ वाला मार्ग उत्प्रेरक के बिना वाले मार्ग की तुलना में निचला शिखर रखता है,सही है,जो विकल्प $B$ के अनुरूप है।

(A) दिया गया है: $\Delta H = 20 \ kJ \ mol^{-1}$,$E_{a,f} = 300 \ kJ \ mol^{-1}$.
समान दर के लिए,सक्रियण ऊर्जा $E_{a}$ तापमान $T$ के समानुपाती होती है।
$\frac{E_{a,f}}{T_{uncat}} = \frac{E_{a,f}^{\prime}}{T_{cat}}$
$T_{uncat} = 327 + 273 = 600 \ K$
$T_{cat} = 27 + 273 = 300 \ K$
$\frac{300}{600} = \frac{E_{a,f}^{\prime}}{300} \implies E_{a,f}^{\prime} = 150 \ kJ \ mol^{-1}$.
हम जानते हैं कि $\Delta H = E_{a,f}^{\prime} - E_{a,b}^{\prime}$.
$20 = 150 - E_{a,b}^{\prime}$.
$E_{a,b}^{\prime} = 150 - 20 = 130 \ kJ \ mol^{-1}$.

(A) अभिकथन $A$ गलत है क्योंकि एक रासायनिक अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा शून्य नहीं हो सकती $(E_{a} > 0)$।
कारण $R$ सही है क्योंकि यह सक्रियण ऊर्जा को अभिकारक अणुओं द्वारा देहली ऊर्जा स्तर तक पहुँचने के लिए आवश्यक न्यूनतम अतिरिक्त ऊर्जा के रूप में सही ढंग से परिभाषित करता है।

(C) कुल दर स्थिरांक $K = \frac{K_1 K_2}{K_3}$ द्वारा दिया गया है।
प्रत्येक चरण के लिए आर्हेनियस समीकरण $K = A \cdot e^{-E_a / RT}$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$A \cdot e^{-E_a / RT} = \frac{(A_1 e^{-E_{a1} / RT}) \cdot (A_2 e^{-E_{a2} / RT})}{(A_3 e^{-E_{a3} / RT})}$
$A \cdot e^{-E_a / RT} = \frac{A_1 A_2}{A_3} \cdot e^{-(E_{a1} + E_{a2} - E_{a3}) / RT}$
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $E_a = E_{a1} + E_{a2} - E_{a3}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $E_a = 40 + 50 - 60 = 30 \ kJ/mol$.

(C) कुल वेग स्थिरांक $k = \frac{k_1 k_2}{k_3}$ द्वारा दिया गया है।
आरेनियस समीकरण $k = A e^{\frac{-E_a}{RT}}$ का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं:
$A e^{\frac{-E_a}{RT}} = \frac{A_1 e^{\frac{-E_{a_1}}{RT}} \cdot A_2 e^{\frac{-E_{a_2}}{RT}}}{A_3 e^{\frac{-E_{a_3}}{RT}}}$
$A e^{\frac{-E_a}{RT}} = \frac{A_1 A_2}{A_3} e^{\frac{-(E_{a_1} + E_{a_2} - E_{a_3})}{RT}}$
घातांकों की तुलना करने पर,हमें कुल सक्रियण ऊर्जा का व्यंजक प्राप्त होता है:
$E_a = E_{a_1} + E_{a_2} - E_{a_3}$
दिया गया है $E_a = 400 \ kJ \ mol^{-1}$,$E_{a_1} = 300 \ kJ \ mol^{-1}$,और $E_{a_2} = 200 \ kJ \ mol^{-1}$:
$400 = 300 + 200 - E_{a_3}$
$400 = 500 - E_{a_3}$
$E_{a_3} = 500 - 400 = 100 \ kJ \ mol^{-1}$.

(C) आर्हेनियस समीकरण इस प्रकार है:
$k = A e^{-\frac{E_a}{R T}}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R T}$
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ:
$y = \ln k$
$x = \frac{1}{T}$
$m = -\frac{E_a}{R}$ (ढलान,जो ऋणात्मक है)
$c = \ln A$ (y-अंतःखंड,जो धनात्मक है)
इसलिए,$\ln k$ बनाम $\frac{1}{T}$ का आलेख एक ऋणात्मक ढलान और धनात्मक अंतःखंड वाली सीधी रेखा है,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(C) सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ की गणना आर्हेनियस समीकरण का उपयोग करके की जा सकती है।
समीकरण इस प्रकार है:
$\log \left( \frac{k_2}{k_1} \right) = \frac{E_a}{2.303 R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि यदि दो अलग-अलग तापमानों ($T_1$ और $T_2$) पर दर स्थिरांक ($k_1$ और $k_2$) के मान ज्ञात हों,तो $E_a$ की गणना की जा सकती है।

(D) आरेनियस समीकरण: $\log \left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{2.303 R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)$
दिया गया है: $k_2 = 4k_1$,$T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 330 \ K$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$,$\log 4 = 0.6021$
मान रखने पर:
$\log 4 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left(\frac{1}{300} - \frac{1}{330}\right)$
$0.6021 = \frac{E_a}{19.147} \left(\frac{30}{99000}\right)$
$E_a = \frac{0.6021 \times 19.147 \times 99000}{30} \approx 38040 \ J \ mol^{-1}$
$E_a = 38.04 \ kJ \ mol^{-1}$

(D) आरेनियस समीकरण $k = Ae^{-E_a/RT}$ है।
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर,$\log k = \log A - \frac{E_a}{2.303RT}$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण $\log k = -(2000) \frac{1}{T} + 6.0$ के साथ तुलना करने पर:
पूर्व-घातांकीय कारक $A$ के लिए,$\log A = 6.0$,जिससे $A = 10^6 \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।
सक्रियण ऊर्जा $E_a$ के लिए,$\frac{E_a}{2.303R} = 2000$.
$E_a = 2000 \times 2.303 \times 8.314 \ J \ mol^{-1} \approx 38314 \ J \ mol^{-1} = 38.3 \ kJ \ mol^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) आर्हेनियस समीकरण $K = Ae^{-\frac{E_a}{RT}}$ द्वारा दिया जाता है।
कथन $(A)$ गलत है क्योंकि उच्च सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ धीमी प्रतिक्रिया का संकेत देती है।
कथन $(B)$ सही है क्योंकि तापमान $(T)$ बढ़ने पर,$E_a$ से अधिक ऊर्जा वाले अणुओं का अंश बढ़ जाता है,जिससे प्रभावी टक्करें बढ़ जाती हैं।
कथन $(C)$ सही है क्योंकि पद $e^{-\frac{E_a}{RT}}$ दर्शाता है कि $E_a$ बढ़ने पर तापमान के प्रति $K$ की संवेदनशीलता बढ़ जाती है।
कथन $(D)$ सही है क्योंकि पूर्व-घातांकीय कारक $(A)$ टक्करों की आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है,जो ऊर्जा से स्वतंत्र है।
अतः,सही कथन $(B)$,$(C)$ और $(D)$ हैं।

(B) अभिक्रिया $A_{(g)} \rightleftharpoons P_{(g)}$ के लिए,अग्र अभिक्रिया का आरेनियस समीकरण $\log k_f = \frac{-E_f}{2.303 RT} + \log A_f$ है।
दिए गए आलेख से,$\frac{1}{T} = 0.002 \ K^{-1}$ पर,$\log k_f = 9$ है।
मान रखने पर: $9 = \frac{-E_f}{2.303 R}(0.002) + \log(10^{15}) \Rightarrow 9 = \frac{-E_f}{2.303 R}(0.002) + 15$.
$\frac{E_f}{2.303 R} = \frac{6}{0.002} = 3000$.
साम्य स्थिरांक $K = \frac{k_f}{k_b}$ के लिए,हमारे पास $\log K = \log \left(\frac{A_f}{A_b}\right) - \frac{E_f - E_b}{2.303 RT}$ है।
$500 \ K$ पर,$\log K = 6$ और $\frac{A_f}{A_b} = \frac{10^{15}}{10^{11}} = 10^4$,इसलिए $\log(10^4) = 4$.
$6 = 4 - \frac{E_f - E_b}{2.303 R(500)}$ $\Rightarrow 2 = \frac{E_b - E_f}{2.303 R(500)}$ $\Rightarrow E_b - E_f = 1000(2.303 R)$.
चूंकि $\frac{E_f}{2.303 R} = 3000$,$E_f = 3000(2.303 R)$.
अतः,$E_b = 1000(2.303 R) + 3000(2.303 R) = 4000(2.303 R)$.
$250 \ K$ पर पश्च अभिक्रिया के लिए,$\log k_b = \log A_b - \frac{E_b}{2.303 RT} = \log(10^{11}) - \frac{4000(2.303 R)}{2.303 R(250)} = 11 - 16 = -5$.
इसलिए,$|\log k_b| = |-5| = 5$.

(A) टक्कर सिद्धांत (collision theory) के अनुसार,दर स्थिरांक $k = P \cdot Z \cdot e^{-E_a/RT}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ त्रिविम कारक है और $Z$ टक्कर आवृत्ति है।
प्रयोगात्मक आवृत्ति कारक $A_{exp} = P \cdot Z$ है।
आर्हेनियस समीकरण आवृत्ति कारक का अनुमान $A_{calc} = Z$ के रूप में करता है।
यहाँ $P = 4.5$ $(> 1)$ है,इसलिए $A_{exp} = 4.5 \cdot Z$ होगा,जिसका अर्थ है कि $A_{exp} > A_{calc}$। अतः,विकल्प $[B]$ सही है।
सक्रियण ऊर्जा $E_a$ एक ऊर्जा अवरोध है और यह त्रिविम कारक $P$ से स्वतंत्र है। अतः,विकल्प $[A]$ सही है।
विकल्प $[C]$ गलत है क्योंकि $P > 1$ वाली अभिक्रिया उत्प्रेरक के बिना भी हो सकती है।
विकल्प $[D]$ गलत है क्योंकि प्रयोगात्मक मान अधिक है,कम नहीं।

(A) आर्हेनियस समीकरण $k = Ae^{-E_a / RT}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,पद $e^{-E_a / RT}$ घातीय रूप से बढ़ता है।
इसलिए,तापमान $T$ में वृद्धि के साथ दर स्थिरांक $k$ घातीय रूप से बढ़ता है।
यह व्यवहार विकल्प $A$ में दिखाए गए घातीय वक्र द्वारा दर्शाया गया है।

(A) अभिक्रिया $A_{(g)} + B_{(g)} \rightleftharpoons AB_{(g)}$ के लिए,साम्य स्थिरांक $K = \frac{k_f}{k_b} = \frac{A_f e^{-E_a/RT}}{A_b e^{-E_b/RT}}$ है।
दिया गया है $E_b - E_a = 2RT$ और $A_f = 4A_b$,इसलिए $K = \frac{A_f}{A_b} e^{(E_b - E_a)/RT} = 4 e^{2RT/RT} = 4e^2$.
मानक गिब्स मुक्त ऊर्जा परिवर्तन $\Delta G^{\ominus} = -RT \ln K$ है।
मान रखने पर: $\Delta G^{\ominus} = -RT \ln(4e^2) = -RT(\ln 4 + \ln e^2) = -RT(2 \ln 2 + 2)$.
$RT = 2500 \ J \ mol^{-1}$ और $\ln 2 = 0.7$ का उपयोग करने पर:
$\Delta G^{\ominus} = -2500 \times (2 \times 0.7 + 2) = -2500 \times (1.4 + 2) = -2500 \times 3.4 = -8500 \ J \ mol^{-1}$.
अतः,$\Delta G^{\ominus}$ का निरपेक्ष मान $8500 \ J \ mol^{-1}$ है।

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k$ को आरेनियस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $k = A e^{-E_a/RT}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $k = 10^{20} \times e^{-\frac{191.48 \times 10^3}{8.314 \times 1000}}$.
$k = 10^{20} \times e^{-23.031} \approx 10^{20} \times e^{-\ln(10^{10})} = 10^{20} \times 10^{-10} = 10^{10} \ s^{-1}$.
अर्ध-आयु $t_{1/2}$ इस प्रकार दी जाती है: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$.
$t_{1/2} = \frac{0.693}{10^{10}} = 6.93 \times 10^{-11} \ s$.
पिकोसेकंड में बदलने पर $(1 \ ps = 10^{-12} \ s)$: $t_{1/2} = 69.3 \ ps$.
निकटतम पूर्णांक $69$ है।

(C) दिए गए ऊर्जा प्रोफ़ाइल आरेख से:
$1$. अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a,f})$ सक्रिय संकुल और अभिकारक के बीच का ऊर्जा अंतर है,जो $E_1 + E_2$ है।
$2$. उत्पाद की ऊर्जा अभिकारक की ऊर्जा से अधिक है $(E_{product} > E_{reactant})$।
$3$. चूंकि स्थिरता ऊर्जा के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए अभिकारक उत्पाद से अधिक स्थिर है,या उत्पाद अभिकारक से कम स्थिर है।

(C) कुल दर स्थिरांक $k = (k_1 k_3 / k_2)^{1/2}$ द्वारा दिया गया है।
आरेनियस समीकरण $k = A \cdot e^{-E_a / RT}$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक दर स्थिरांक के लिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$A \cdot e^{-E_a / RT} = \left( \frac{A_1 e^{-E_{a_1} / RT} \cdot A_3 e^{-E_{a_3} / RT}}{A_2 e^{-E_{a_2} / RT}} \right)^{1/2}$.
घातांकीय पदों की तुलना करने पर:
$-E_a / RT = \frac{1}{2} (-E_{a_1} / RT - E_{a_3} / RT + E_{a_2} / RT)$.
$-RT$ से गुणा करने पर,$E_a = \frac{1}{2} (E_{a_1} + E_{a_3} - E_{a_2})$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $E_{a_1} = 60 \ kJ \ mol^{-1}$,$E_{a_2} = 30 \ kJ \ mol^{-1}$,और $E_{a_3} = 10 \ kJ \ mol^{-1}$ रखने पर:
$E_a = \frac{1}{2} (60 + 10 - 30) = \frac{40}{2} = 20 \ kJ \ mol^{-1}$.

(A) अभिक्रिया क्रियाविधि तीन चरणों में होती है:
$1$. $A \rightarrow B$ एक धीमा चरण है जिसमें $\Delta H = +ve$ (ऊष्माशोषी) है,जिसका अर्थ है कि $B$ की ऊर्जा $A$ से अधिक है और इसकी सक्रियण ऊर्जा $(E_{a_1})$ उच्च है।
$2$. $B \rightarrow C$ एक तीव्र चरण है जिसमें $\Delta H = -ve$ (ऊष्माक्षेपी) है,जिसका अर्थ है कि $C$ की ऊर्जा $B$ से कम है और इसकी सक्रियण ऊर्जा $(E_{a_2})$ कम है।
$3$. $C \rightarrow D$ एक तीव्र चरण है जिसमें $\Delta H = -ve$ (ऊष्माक्षेपी) है,जिसका अर्थ है कि $D$ की ऊर्जा $C$ से कम है और इसकी सक्रियण ऊर्जा $(E_{a_3})$ कम है।
कुल अभिक्रिया ऊष्माक्षेपी $(\Delta H_{net} = -ve)$ है,इसलिए अंतिम उत्पाद $D$ की ऊर्जा अभिकारक $A$ से कम होनी चाहिए।
इन ऊर्जा परिवर्तनों को सही ढंग से दर्शाने वाला ग्राफ समाधान छवि में दिया गया है।

(C) आरेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a/RT}$ है।
कथन $A$ गलत है क्योंकि आरेनियस समीकरण प्रारंभिक और जटिल दोनों अभिक्रियाओं पर लागू होता है।
कथन $B$ सही है क्योंकि $A$ (आवृत्ति कारक) की इकाइयाँ दर स्थिरांक $k$ के समान होती हैं।
कथन $C$ सही है क्योंकि कम सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ के परिणामस्वरूप $e^{-E_a/RT}$ का मान बड़ा होता है,जिससे अभिक्रिया की दर तेज हो जाती है।
कथन $D$ गलत है क्योंकि $A$ और $E_a$ को आमतौर पर किसी दी गई अभिक्रिया के लिए तापमान-स्वतंत्र स्थिरांक माना जाता है।
कथन $E$ गलत है क्योंकि $A$ और $E_a$ स्वतंत्र पैरामीटर हैं।
अतः,केवल कथन $B$ और $C$ सही हैं।

(A) $A_2 + B_2 \rightleftharpoons 2 AB$ अभिक्रिया के लिए,एन्थैल्पी परिवर्तन $\Delta H$,अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_f)$ और पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_b)$ के बीच का अंतर है:
$\Delta H = E_f - E_b = 180 \ kJ \ mol^{-1} - 200 \ kJ \ mol^{-1} = -20 \ kJ \ mol^{-1}$।
जब एक उत्प्रेरक मिलाया जाता है,तो यह अग्र और पश्च दोनों अभिक्रियाओं के लिए सक्रियण ऊर्जा को समान मात्रा $(100 \ kJ \ mol^{-1})$ से कम कर देता है:
$E_{f(cat)} = 180 - 100 = 80 \ kJ \ mol^{-1}$
$E_{b(cat)} = 200 - 100 = 100 \ kJ \ mol^{-1}$
नया एन्थैल्पी परिवर्तन $\Delta H_{cat} = 80 - 100 = -20 \ kJ \ mol^{-1}$ है।
चूंकि $\Delta H$ और $\Delta G$ अवस्था फलन (state functions) हैं,वे केवल अभिकारकों और उत्पादों की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करते हैं,न कि अपनाए गए पथ पर। इसलिए,उत्प्रेरक अभिक्रिया की $\Delta H$ या $\Delta G$ को नहीं बदलता है।

(A) आरेनियस समीकरण के अनुसार: $k = A e^{-Ea / RT}$
दोनों तरफ लॉग लेने पर: $\log k = \log A - \frac{Ea}{2.303 RT}$
$\log k$ बनाम $\frac{1}{T}$ के आलेख के लिए,रेखा का ढाल (slope) है: $\text{Slope} = -\frac{Ea}{2.303 R}$
चूंकि ढाल ऋणात्मक है,ढाल का परिमाण सक्रियण ऊर्जा $(Ea)$ के सीधे आनुपातिक है: $|\text{Slope}| = \frac{Ea}{2.303 R}$
दिए गए ग्राफ से,रेखाओं की ढलान (परिमाण) का क्रम है: $(2) > (1) > (3)$
इसलिए,सक्रियण ऊर्जा का सही क्रम है: $Ea_2 > Ea_1 > Ea_3$

(A) आरेनियस समीकरण $k = A \cdot e^{-E_a / RT}$ के अनुसार।
जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,$e^{-E_a / RT}$ पद बढ़ता है क्योंकि घातांक कम ऋणात्मक हो जाता है।
इसलिए,तापमान में वृद्धि के साथ दर स्थिरांक $k$ घातांकीय रूप से बढ़ता है।

(A) अभिक्रिया के किसी भी चरण के लिए सक्रियण ऊर्जा $(E_{a})$ को उस चरण की संक्रमण अवस्था (शिखर) की ऊर्जा और अभिकारकों की ऊर्जा के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अभिक्रिया चरण $Q \longrightarrow C$ के लिए,अभिकारक $Q$ है और संक्रमण अवस्था $Q$ के तुरंत बाद आने वाला शिखर है।
दिए गए स्थितिज ऊर्जा आरेख से:
$Q$ की ऊर्जा = $20 \ kcal \ mol^{-1}$.
$Q \longrightarrow C$ के लिए संक्रमण अवस्था की ऊर्जा = $23 \ kcal \ mol^{-1}$.
अतः,$E_{a} = E_{\text{transition state}} - E_{Q} = 23 \ kcal \ mol^{-1} - 20 \ kcal \ mol^{-1} = 3 \ kcal \ mol^{-1}$.

(C) दिया गया है: $E_{a} = 87 \ kJ \ mol^{-1} = 87000 \ J \ mol^{-1}$,$T_{1} = 37 + 273 = 310 \ K$,$T_{2} = 15 + 273 = 288 \ K$.
आर्हेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\log \left( \frac{k_{1}}{k_{2}} \right) = \frac{E_{a}}{2.303 \ R} \left[ \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1} T_{2}} \right]$.
मान रखने पर: $\log \left( \frac{k_{1}}{k_{2}} \right) = \frac{87000}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{310 - 288}{310 \times 288} \right]$.
$\log \left( \frac{k_{1}}{k_{2}} \right) = \frac{87000}{19.147} \times \left[ \frac{22}{89280} \right] \approx 1.119$.
$\frac{k_{1}}{k_{2}} = 10^{1.119} \approx 13.15$.
अतः,अनुपात लगभग $13 / 1$ है।

(D) मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण वक्र अणुओं के अंश बनाम गतिज ऊर्जा को दर्शाता है।
जब तापमान बढ़ाया जाता है,तो वक्र का शिखर दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है और शिखर की ऊंचाई कम हो जाती है,जबकि वक्र चपटा हो जाता है।
क्षेत्र $II$ उन अणुओं के अंश को दर्शाता है जिनकी गतिज ऊर्जा सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ से अधिक है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अणुओं का एक बड़ा अंश $E_a$ के बराबर या उससे अधिक गतिज ऊर्जा प्राप्त कर लेता है,इसलिए क्षेत्र $II$ बढ़ जाता है।
चूंकि वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल स्थिर ($1$ के बराबर) रहना चाहिए,और क्षेत्र $II$ बढ़ रहा है,इसलिए क्षेत्र $II$ में हुई वृद्धि की भरपाई के लिए शेष क्षेत्र (क्षेत्र $I$) को कम होना चाहिए।

(B) अभिक्रिया के लिए एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H)$ अग्रगामी अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(Ea_{(f)})$ और प्रतिगामी अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(Ea_{(b)})$ के बीच का अंतर है।
$\Delta H = Ea_{(f)} - Ea_{(b)}$
दिया गया है:
$Ea_{(f)} = 150 \ kJ \ mol^{-1}$
$Ea_{(b)} = 260 \ kJ \ mol^{-1}$
मान रखने पर:
$\Delta H = 150 \ kJ \ mol^{-1} - 260 \ kJ \ mol^{-1}$
$\Delta H = -110 \ kJ \ mol^{-1}$

(B) तापमान में $10^{\circ} C$ की वृद्धि के लिए तापमान गुणांक $2$ है。
$10^{\circ} C$ के अंतरालों की संख्या $n = \frac{100 - 10}{10} = 9$ है。
अभिक्रिया की दर $2^n$ के गुणक से बढ़ती है。
अतः, दर $2^9 = 512$ गुना हो जाएगी।