Collision theory, Energy of activation and Arrhenius equation Questions in Hindi

(B) आरेनियस समीकरण $k = A e^{-\frac{E_a}{RT}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि सक्रियण ऊर्जा $E_a = 0$ है।
समीकरण में $E_a = 0$ रखने पर,हमें $k = A e^0 = A \times 1 = A$ प्राप्त होता है।
चूंकि जब $E_a = 0$ होता है तो दर स्थिरांक $k$ तापमान $T$ से स्वतंत्र हो जाता है,इसलिए किसी भी तापमान पर दर स्थिरांक आवृत्ति कारक $A$ के बराबर होगा।
अतः,$k_{383 \ K} = A$ और $k_{273 \ K} = A$ है।
दर स्थिरांकों का अनुपात $\frac{k_{383 \ K}}{k_{273 \ K}} = \frac{A}{A} = 1$ है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $K$ और अर्ध-आयु $t_{1/2}$ के बीच संबंध $K = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ है।
$T_1 = 300 \ K$ पर,$K_1 = \frac{0.693}{50} \ s^{-1}$.
$T_2 = 400 \ K$ पर,$K_2 = \frac{0.693}{10} \ s^{-1}$.
आर्हेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$.
मान रखने पर: $\log \left( \frac{0.693 / 10}{0.693 / 50} \right) = \log 5 = 0.70$.
$0.70 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{400 - 300}{300 \times 400} \right]$.
$0.70 = \frac{E_a}{19.147} \times \frac{100}{120000} = \frac{E_a}{19.147 \times 1200}$.
$E_a = 0.70 \times 19.147 \times 1200 \approx 16083.48 \ J \ mol^{-1} = 16.08 \ kJ \ mol^{-1}$.
निकटतम मान लेने पर,$E_a \approx 16.1 \ kJ \ mol^{-1}$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$,इसलिए $k \propto \frac{1}{t_{1/2}}$.
दिया गया है: $T_1 = 300 \ K, t_{1/2}(1) = 20 \ s$ और $T_2 = 350 \ K, t_{1/2}(2) = 2 \ s$.
अतः,$\frac{k_2}{k_1} = \frac{t_{1/2}(1)}{t_{1/2}(2)} = \frac{20}{2} = 10$.
आरेनियस समीकरण का उपयोग करने पर: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} [\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}]$.
मान रखने पर: $\log(10) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314 \times 10^{-3}} [\frac{350 - 300}{350 \times 300}]$.
$1 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314 \times 10^{-3}} [\frac{50}{105000}]$.
$E_a = \frac{2.303 \times 8.314 \times 10^{-3} \times 105000}{50} \approx 40.2 \ kJ \ mol^{-1}$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ द्वारा दी जाती है।
$T_1 = 310 \ K$ पर,$t_{1/2} = 12 \ min$,इसलिए $k_1 = \frac{0.693}{12} \ min^{-1}$.
$T_2 = 300 \ K$ पर,$t_{1/2} = 2 \ hrs = 120 \ min$,इसलिए $k_2 = \frac{0.693}{120} \ min^{-1}$.
आर्हेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\ln\left(\frac{k_1}{k_2}\right) = \frac{E_a}{R} \left(\frac{T_1 - T_2}{T_1 T_2}\right)$.
$\ln\left(\frac{0.693/12}{0.693/120}\right) = \ln(10) = 2.303$.
$2.303 = \frac{E_a}{8.3} \left(\frac{310 - 300}{310 \times 300}\right)$.
$E_a = 2.303 \times 8.3 \times 9300 \approx 177760 \ J \ mol^{-1} = 177.76 \ kJ \ mol^{-1}$.

(C) Arrhenius समीकरण $k = A e^{-E_a / RT}$ है।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक $(\ln)$ लेने पर,हमें $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R} \cdot \frac{1}{T}$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \ln k$,$x = \frac{1}{T}$,और $c = \ln A$,ढाल $m = -\frac{E_a}{R}$ के बराबर है।

(D) दिया गया है: $T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 310 \ K$,$k_2 = 2k_1$,$R = 8.3 \ J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$,$\log 2 = 0.3$।
आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए:
$\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$
$\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.3} \left( \frac{310 - 300}{300 \times 310} \right)$
$0.3 = \frac{E_a}{19.1149} \times \frac{10}{93000}$
$E_a = \frac{0.3 \times 19.1149 \times 93000}{10} \ J \cdot mol^{-1}$
$E_a = 53330.57 \ J \cdot mol^{-1} \approx 53.33 \ kJ \cdot mol^{-1}$।

(B) दिया गया है: $K_1 = 3.46 \times 10^{-2} \ s^{-1}$,$T_1 = 298 \ K$,$T_2 = 350 \ K$,$E_a = 50100 \ J \ mol^{-1}$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$.
मान रखने पर:
$\log \frac{K_2}{3.46 \times 10^{-2}} = \frac{50100}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{52}{104300} \right]$.
$\log \frac{K_2}{3.46 \times 10^{-2}} \approx 1.304$.
$\frac{K_2}{3.46 \times 10^{-2}} = 10^{1.304} \approx 20.14$.
$K_2 = 20.14 \times 3.46 \times 10^{-2} \approx 0.696 \ s^{-1}$.
निकटतम विकल्प $0.692 \ s^{-1}$ है।

(A) आर्हेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1T_2} \right)$
दिया गया है: $k_1 = x$,$k_2 = 4x$,$T_1 = 600 \ K$,$T_2 = 700 \ K$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $\log \left( \frac{4x}{x} \right) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{700 - 600}{700 \times 600} \right)$
$\log(4) = \frac{E_a}{19.147} \left( \frac{100}{420000} \right)$
$0.602 = \frac{E_a}{19.147} \times 2.381 \times 10^{-4}$
$E_a = \frac{0.602 \times 19.147}{2.381 \times 10^{-4}} \approx 48415 \ J \ mol^{-1} = 48.41 \ kJ \ mol^{-1}$.
निकटतम विकल्प $48.16 \ kJ \ mol^{-1}$ है।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln (t_{1/2}) = \ln(0.693) - \ln k$ $(i)$।
आर्हेनियस समीकरण के अनुसार,$k = A e^{-E_a/RT}$,इसलिए $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$।
$\ln k$ का मान समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\ln (t_{1/2}) = \ln(0.693) - (\ln A - \frac{E_a}{RT})$
$\ln (t_{1/2}) = \ln(\frac{0.693}{A}) + \frac{E_a}{RT}$
चूंकि $\ln(\frac{0.693}{A})$ और $\frac{E_a}{R}$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\ln (t_{1/2}) \propto \frac{1}{T}$ प्राप्त होता है।

(D) आरेनियस समीकरण $\log k = \log A - \frac{E_a}{2.303 \ RT}$ है।
दिए गए समीकरण $\log k = 7.14 - \frac{1 \times 10^4 \ K}{T}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{E_a}{2.303 \ R} = 1 \times 10^4 \ K$ प्राप्त होता है।
अतः,$E_a = 2.303 \times R \times 10^4 \ K$ है।
$R = 8.3 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$ का मान रखने पर,$E_a = 2.303 \times 8.3 \times 10^4 \ J \ mol^{-1} = 191.149 \times 10^3 \ J \ mol^{-1} = 191.149 \ kJ \ mol^{-1}$ प्राप्त होता है।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,सक्रियण ऊर्जा $191.1 \ kJ \ mol^{-1}$ है।

(A) आर्हेनियस समीकरण के अनुसार: $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$.
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \ln k$ और $x = \frac{1}{T}$:
ढाल $(m) = -\frac{E_a}{R}$.
दी गई ढाल $(m) = -10^3 \ K$ है,इसलिए:
$-\frac{E_a}{R} = -10^3 \ K$
$E_a = 10^3 \ K \times R$
$E_a = 10^3 \ K \times 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1} = 8314 \ J \ mol^{-1}$.
$kJ \ mol^{-1}$ में बदलने के लिए,$1000$ से विभाजित करने पर:
$E_a = \frac{8314}{1000} \ kJ \ mol^{-1} = 8.314 \ kJ \ mol^{-1}$.

(B) आरेनियस समीकरण $\ln k = -\frac{E_a}{R} \left(\frac{1}{T}\right) + \ln A$ द्वारा दिया जाता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m = -\frac{E_a}{R}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि ढाल $-4 \times 10^4 \ K$ है,इसलिए $-\frac{E_a}{R} = -4 \times 10^4 \ K$।
अतः,$E_a = 4 \times 10^4 \times R = 4 \times 10^4 \times 8.3 \ J \ mol^{-1} = 332000 \ J \ mol^{-1}$।
$kJ \ mol^{-1}$ में बदलने पर,$E_a = \frac{332000}{1000} \ kJ \ mol^{-1} = 332 \ kJ \ mol^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} [\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}]$
दिया गया है: $\frac{K_2}{K_1} = 2$,$T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 310 \ K$,$R = 8.3 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$,$\log 2 = 0.3$
मान रखने पर:
$0.3 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.3} [\frac{310 - 300}{300 \times 310}]$
$0.3 = \frac{E_a}{19.1149} [\frac{10}{93000}]$
$E_a \approx 53.34 \ kJ \ mol^{-1}$
निकटतम मान $53.33 \ kJ \ mol^{-1}$ है।

(B) दिया गया है,$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ और $T_2 = 37 + 273 = 310 \ K$।
अभिक्रिया का तापमान गुणांक $10 \ K$ के अंतर वाले तापमानों पर दर स्थिरांकों का अनुपात है,जो आमतौर पर $2$ होता है।
मान लीजिए $K_1 = k$ और $K_2 = 2k$।
आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 \ T_2} \right)$।
मान रखने पर: $\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314 \times 10^{-3}} \times \left( \frac{310 - 300}{310 \times 300} \right)$।
$0.3010 = \frac{E_a}{0.019147} \times \frac{10}{93000}$।
$E_a = \frac{0.3010 \times 0.019147 \times 93000}{10} \approx 53.5 \ kJ \cdot mol^{-1}$।

(C) आरेनियस समीकरण के अनुसार,$k = Ae^{-E_a / RT}$ है।
माना $E_{a_1}$ प्रारंभिक सक्रियण ऊर्जा है और $E_{a_2}$ उत्प्रेरक मिलाने के बाद की सक्रियण ऊर्जा है।
$k_1 = Ae^{-E_{a_1} / RT} \dots (1)$
$k_2 = 4k_1 = Ae^{-E_{a_2} / RT} \dots (2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$4 = e^{(E_{a_1} - E_{a_2}) / RT}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln 4 = \frac{E_{a_1} - E_{a_2}}{RT}$
$E_{a_2} - E_{a_1} = -RT \ln 4$
यहाँ $T = 27 + 273 = 300 \ K$ और $\ln 4 = 1.386$ दिया गया है।
$\Delta E_a = E_{a_2} - E_{a_1} = -(8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1} \times 300 \ K \times 1.386)$
$\Delta E_a = -3457.3 \ J / mol \approx -3.45 \ kJ / mol$.

(A) देहली ऊर्जा $(E_T)$,सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ और अभिकारकों की ऊर्जा $(E_R)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$E_T = E_a + E_R$
दिया गया है:
$E_T = 75 \ kJ/mol$
$E_R = 20 \ kJ/mol$
मान रखने पर:
$75 = E_a + 20$
$E_a = 75 - 20 = 55 \ kJ/mol$
अतः,सक्रियण ऊर्जा $55 \ kJ/mol$ है।

(A) तापमान और सक्रियण ऊर्जा के बीच संबंध आरेनियस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)$.
दिया गया है: $k_2 = 2k_1$,$T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 600 \ K$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $\log(2) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left(\frac{1}{300} - \frac{1}{600}\right)$.
$0.3010 = \frac{E_a}{19.147} \left(\frac{1}{600}\right)$.
$E_a = 0.3010 \times 19.147 \times 600 \approx 3458 \ J / mol = 3.46 \ kJ / mol$.

(C) यह दिया गया है कि रासायनिक अभिक्रिया की दर तापमान में प्रत्येक $10^{\circ}C$ की वृद्धि के साथ दोगुनी हो जाती है,इसलिए $\frac{k_2}{k_1} = 2$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 22 + 273 = 295 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 32 + 273 = 305 \ K$.
आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\ln \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$.
मान रखने पर: $0.69 = \frac{E_a}{8.3} \left[ \frac{305 - 295}{295 \times 305} \right]$.
$E_a = \frac{0.69 \times 8.3 \times 295 \times 305}{10} \approx 49800 \ J \ mol^{-1} = 49.8 \ kJ \ mol^{-1}$.

(B) अभिक्रिया के लिए एन्थैल्पी परिवर्तन $\Delta H = E_B - E_A = 60 \ kcal/mol - 30 \ kcal/mol = 30 \ kcal/mol$ है।
किसी भी अभिक्रिया के लिए,एन्थैल्पी परिवर्तन,अग्र सक्रियण ऊर्जा $(E_a(f))$ और पश्च सक्रियण ऊर्जा $(E_a(b))$ के बीच संबंध $\Delta H = E_a(f) - E_a(b)$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $30 \ kcal/mol = E_a(f) - 93 \ kcal/mol$।
अतः,$E_a(f) = 30 + 93 = 123 \ kcal/mol$।
इसलिए,सही विकल्प $(B)$ है।

(A) दिया गया आरेनियस समीकरण $\ln k = 5.0 - \frac{12000}{T}$ है।
इसे मानक आरेनियस समीकरण $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{E_a}{R} = 12000 \ K$ प्राप्त होता है।
गैस स्थिरांक $R = 2 \ cal \ K^{-1} \ mol^{-1} = 2 \times 10^{-3} \ kcal \ K^{-1} \ mol^{-1}$ है।
अतः,$E_a = 12000 \times R = 12000 \times 2 \times 10^{-3} \ kcal \ mol^{-1}$।
$E_a = 24 \ kcal \ mol^{-1}$।

(B) आरेनियस समीकरण $\log k = \log A - \frac{E_a}{2.303 \ RT}$ है।
दिए गए समीकरण $\log k = -\frac{20}{T} + 4$ के साथ तुलना करने पर:
$\log A = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $A = 10^4 \ s^{-1}$।
साथ ही,$\frac{E_a}{2.303 \ R} = 20$।
$R = 2 \ cal \ K^{-1} \ mol^{-1}$ का उपयोग करने पर,$E_a = 20 \times 2.303 \times 2 = 92.12 \ cal \ mol^{-1}$ प्राप्त होता है।
अतः,सक्रियण ऊर्जा $92.12 \ cal \ mol^{-1}$ और पूर्व-घातांकीय कारक $10^4 \ s^{-1}$ है।

(C) अधिकांश रासायनिक अभिक्रियाओं के लिए,जब तापमान $10^{\circ}C$ बढ़ाया जाता है,तो दर स्थिरांक लगभग दोगुना हो जाता है।
इसे ताप गुणांक (temperature coefficient) के रूप में जाना जाता है,जो $10^{\circ}C$ के अंतर वाले तापमानों पर दर स्थिरांकों का अनुपात है।
गणितीय रूप से,$\text{Temperature Coefficient} = \frac{k_{T+10}}{k_T} \approx 2$ से $3$।
मानक पाठ्यपुस्तक के प्रश्नों में,यह मान आमतौर पर $2$ लिया जाता है।

(A) आरेनियस समीकरण के अनुसार: $\log \left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left(\frac{T_2 - T_1}{T_1 \ T_2}\right)$.
दिया गया है: $k_1 = 0.002 \ s^{-1}$,$T_1 = 500 \ K$,$k_2 = 0.06 \ s^{-1}$,$T_2 = 700 \ K$,$R = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
मान रखने पर:
$\log \left(\frac{0.06}{0.002}\right) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left(\frac{700 - 500}{700 \times 500}\right)$
$\log(30) = \frac{E_a}{19.147} \left(\frac{200}{350000}\right)$
$1.477 = \frac{E_a}{19.147} \times \frac{2}{3500}$
$E_a = 49.49 \ kJ \ mol^{-1}$.

(B) हम जानते हैं कि आर्हेनियस समीकरण है: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303 R} \times \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$
दिया गया है: $k_2 = 2k_1$,$T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 310 \ K$,$R = 2 \ cal \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
मान रखने पर: $\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 2} \times \left( \frac{310 - 300}{300 \times 310} \right)$
$0.3010 = \frac{E_a}{4.606} \times \left( \frac{10}{93000} \right)$
$0.3010 = \frac{E_a}{4.606} \times \frac{1}{9300}$
$E_a = 0.3010 \times 4.606 \times 9300 \approx 12890 \ cal \ mol^{-1}$.
$kcal \ mol^{-1}$ में बदलने पर: $E_a = \frac{12890}{1000} = 12.89 \ kcal \ mol^{-1}$.

(B) आरेनियस समीकरण इस प्रकार है:
$k = A e^{-E_a / RT}$
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$
इसे रैखिक समीकरण $y = mx + c$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\ln k = -\frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T} \right) + \ln A$
इसे $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \ln k$,$x = \frac{1}{T}$,और $c = \ln A$,ढाल $m$ का मान $-\frac{E_a}{R}$ के बराबर है।

(C) दिए गए ऊर्जा प्रोफ़ाइल आरेख से:
$E_a$ = अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा
$E_a^{\prime}$ = पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा
$E_t$ = देहली ऊर्जा (threshold energy)
$1$. चूंकि उत्पाद $B$ का ऊर्जा स्तर अभिकारक $A$ से अधिक है,इसलिए अभिक्रिया ऊष्माशोषी है।
$2$. अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$,देहली ऊर्जा $(E_t)$ और अभिकारक की ऊर्जा $(E_R)$ के बीच का अंतर है।
$3$. पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_a^{\prime})$,देहली ऊर्जा $(E_t)$ और उत्पाद की ऊर्जा $(E_p)$ के बीच का अंतर है।
$4$. आरेख से,$E_a > E_a^{\prime}$ है।
$5$. संबंध $E_a = E_a^{\prime} + \Delta E$ है,जहाँ $\Delta E$ अभिक्रिया की ऊष्मा है।
$6$. देहली ऊर्जा $(E_t)$ हमेशा सक्रियण ऊर्जा ($E_a$ या $E_a^{\prime}$) से अधिक या उसके बराबर होती है,क्योंकि यह अभिक्रिया के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा को दर्शाती है। इसलिए,यह कथन कि 'देहली ऊर्जा,सक्रियण ऊर्जा से कम है' गलत है।

(C) उत्प्रेरक अभिक्रिया की दर को बढ़ाता है क्योंकि उत्प्रेरक की उपस्थिति में अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा कम हो जाती है।
अतः,अभिकथन $(A)$ सत्य है,लेकिन कारण $(R)$ असत्य है क्योंकि सक्रियण ऊर्जा कम होती है,बढ़ती नहीं है।

(D) अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_f)$ और पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_b)$ अभिक्रिया की एन्थैल्पी $(\Delta_r H)$ से इस समीकरण द्वारा संबंधित हैं: $\Delta_r H = E_f - E_b$।
ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया के लिए,एन्थैल्पी परिवर्तन ऋणात्मक होता है,अर्थात $\Delta_r H < 0$।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $E_f - E_b < 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $E_f < E_b$।

(C) अभिक्रिया की दर $k$,लिए गए समय $t$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए $k \propto 1/t$.
आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R} \left[\frac{T_1 - T_2}{T_1 T_2}\right]$.
दिया गया है $t_1 = 4.0 \text{ min}$ तापमान $T_1$ पर और $t_2 = 8.0 \text{ min}$ तापमान $T_2$ पर,इसलिए $k_1 = 1/4$ और $k_2 = 1/8$.
मान रखने पर: $\ln \left(\frac{1/8}{1/4}\right) = \frac{E_a}{R} \left[\frac{T_1 - T_2}{T_1 T_2}\right]$.
$\ln(0.5) = \frac{E_a}{R} \left[\frac{T_1 - T_2}{T_1 T_2}\right]$.
चूंकि $\ln(0.5) = -\ln(2) \approx -0.693$,हमें मिलता है $-0.693 = \frac{E_a}{R} \left[\frac{T_1 - T_2}{T_1 T_2}\right]$.
$E_a$ के लिए हल करने पर: $E_a = 0.693 R \frac{T_1 T_2}{T_2 - T_1}$.

(A) आर्हेनियस समीकरण के अनुसार,दर स्थिरांक $k = A e^{-E_a/RT}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि सक्रियण ऊर्जा $E_a$ हमेशा धनात्मक होती है,इसलिए तापमान बढ़ने पर दर स्थिरांक $k$ हमेशा बढ़ता है।
वांट हॉफ समीकरण के अनुसार,$\log \left(\frac{K_2}{K_1}\right) = \frac{\Delta H}{2.303 R} \left[\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right]$।
यदि अभिक्रिया ऊष्माशोषी $(\Delta H > 0)$ है,तो साम्य स्थिरांक $K$ तापमान के साथ बढ़ता है।
यदि अभिक्रिया ऊष्माक्षेपी $(\Delta H < 0)$ है,तो साम्य स्थिरांक $K$ तापमान के साथ घटता है।
अतः,साम्य स्थिरांक एन्थैल्पी परिवर्तन के आधार पर बढ़ या घट सकता है,जबकि दर स्थिरांक तापमान के साथ हमेशा बढ़ता है।

(D) आरेनियस समीकरण इस प्रकार है:
$k = A e^{-E_a / RT}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T} \right)$
यह समीकरण एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ:
$y = \ln k$
$x = \frac{1}{T}$
$m = -\frac{E_a}{R}$ (ढाल)
$c = \ln A$ (अंतःखंड)
इसलिए,$\ln k$ बनाम $1 / T$ का आलेख $-E_a / R$ की ढाल के साथ एक रैखिक आलेख देता है।

(D) आर्हेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a / RT}$ के अनुसार,तापमान $T$ बढ़ने पर वेग स्थिरांक $k$ बढ़ता है।
इसका मुख्य कारण यह है कि सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ के बराबर या उससे अधिक ऊर्जा रखने वाले अणुओं का अंश तापमान के साथ काफी बढ़ जाता है।
इसके अतिरिक्त,तापमान बढ़ने के साथ अभिकारक अणुओं की टक्कर आवृत्ति भी बढ़ जाती है,जो अभिक्रिया की दर में वृद्धि में योगदान देती है।

(C) आर्हेनियस समीकरण से:
$\ln \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{E_{a}}{R} \left[ \frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}} \right]$
यहाँ $T_{1} = 300 \ K$,$T_{2} = 600 \ K$,और $E_{a} = 600 R$ है।
मान रखने पर:
$\ln \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{600 R}{R} \left[ \frac{1}{300} - \frac{1}{600} \right]$
$\ln \frac{k_{2}}{k_{1}} = 600 \left[ \frac{2 - 1}{600} \right] = 1$
अतः,$\frac{k_{2}}{k_{1}} = e$.

(A) ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया के लिए,उत्पादों की ऊर्जा अभिकारकों की ऊर्जा से कम होती है।
ऊर्जा प्रोफ़ाइल आरेख में दिखाए अनुसार,अग्र अभिक्रिया के लिए सक्रियण ऊर्जा $(E_{a,f})$ संक्रमण अवस्था और अभिकारकों के बीच का ऊर्जा अंतर है।
पश्च अभिक्रिया के लिए सक्रियण ऊर्जा $(E_{a,b})$ संक्रमण अवस्था और उत्पादों के बीच का ऊर्जा अंतर है।
चूंकि उत्पाद अभिकारकों की तुलना में निचले ऊर्जा स्तर पर होते हैं,इसलिए उत्पादों से संक्रमण अवस्था तक पहुँचने के लिए ऊर्जा अवरोध $(E_{a,b})$,अभिकारकों से ऊर्जा अवरोध $(E_{a,f})$ से अधिक होता है।
अतः,$(E_{a,b}) > (E_{a,f})$.

(C) प्रथम अभिक्रिया $A \xrightarrow{k_1} B$ के लिए:
आरेनियस समीकरण का उपयोग करने पर: $\ln\left(\frac{k_{1, 500}}{k_{1, 300}}\right) = \frac{E_{a1}}{R} \left(\frac{1}{300} - \frac{1}{500}\right)$.
दिया है $k_{1, 500} = 2 k_{1, 300}$,इसलिए $\ln(2) = \frac{E_{a1}}{R} \left(\frac{2}{1500}\right) \implies E_{a1} = 750 R \ln 2$.
द्वितीय अभिक्रिया $C \xrightarrow{k_2} D$ के लिए,$E_{a2} = \frac{E_{a1}}{2} = 375 R \ln 2$.
$500 \ K$ पर,प्रथम अभिक्रिया के लिए,$t_{1/2} = 2 \ hours$,इसलिए $k_{1, 500} = \frac{\ln 2}{2}$.
दिया है $k_{2, 500} = 2 k_{1, 500} = \ln 2$.
द्वितीय अभिक्रिया के लिए आरेनियस समीकरण का उपयोग करने पर:
$\ln\left(\frac{k_{2, 500}}{k_{2, 300}}\right) = \frac{375 R \ln 2}{R} \left(\frac{2}{1500}\right) = \frac{\ln 2}{2} = \ln(\sqrt{2})$.
अतः,$k_{2, 300} = \frac{k_{2, 500}}{\sqrt{2}} = \frac{\ln 2}{\sqrt{2}} \approx 0.4902 \ hour^{-1}$.
$k_{2, 300} = 4.9 \times 10^{-1} \ hour^{-1}$.

(B) आरेनियस समीकरण के अनुसार,$k = A e^{-E_a / RT}$.
उत्प्रेरित अभिक्रिया के लिए,$k_c = A e^{-E_{ac} / RT}$ और बिना उत्प्रेरित अभिक्रिया के लिए,$k_u = A e^{-E_{au} / RT}$.
चूंकि आवृत्ति कारक $A$ समान है,अनुपात $\frac{k_c}{k_u} = e^{(E_{au} - E_{ac}) / RT} = e^{\Delta E_a / RT}$ होगा।
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर: $\log_{10} \left( \frac{k_c}{k_u} \right) = \frac{\Delta E_a}{2.303 RT}$.
यहाँ $\Delta E_a = 10000 \ J \ mol^{-1}$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$,और $T = 300 \ K$ है।
$\log_{10} \left( \frac{k_c}{k_u} \right) = \frac{10000}{2.303 \times 8.314 \times 300} \approx 1.741$.

(B) आरेनियस समीकरण $\log_{10} k = \log_{10} A - \frac{Ea_1}{2.303 RT}$ है।
दिए गए समीकरण $\log_{10} k = 14.34 - \frac{1.5 \times 10^4}{T}$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{Ea_1}{2.303 R} = 1.5 \times 10^4$ प्राप्त होता है।
$Ea_1 = 1.5 \times 10^4 \times 2.303 \times 8.314 \ J \ mol^{-1} = 287207 \ J \ mol^{-1} = 287.207 \ kJ \ mol^{-1}$.
दिया गया है कि $Ea_2 = \frac{1}{5} Ea_1$,इसलिए $Ea_2 = \frac{287.207}{5} = 57.44 \ kJ \ mol^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक $57$ है।

(D) कथन $(A)$ गलत है क्योंकि कारक $e^{-Ea/RT}$ उन अणुओं के अंश को दर्शाता है जिनकी गतिज ऊर्जा सक्रियण ऊर्जा $(Ea)$ के बराबर या उससे अधिक है।
कथन $(B)$ सही है क्योंकि कम सक्रियण ऊर्जा $(Ea)$ का अर्थ है कि अणुओं का एक बड़ा अंश ऊर्जा अवरोध को पार कर सकता है,जिससे अभिक्रिया की दर तेज हो जाती है।
कथन $(C)$ सही है क्योंकि कई अभिक्रियाओं के लिए तापमान में $10^{\circ}C$ की वृद्धि दर स्थिरांक को लगभग दोगुना कर देती है।
कथन $(D)$ गलत है क्योंकि $\log k$ बनाम $\frac{1}{T}$ का आलेख $-\frac{Ea}{2.303R}$ का ढलान देता है,न कि $-\frac{Ea}{R}$ का।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(C) दोनों दर स्थिरांकों को बराबर करने पर: $k_1 = k_2$
$10^6 e^{\frac{-30000}{T}} = 10^4 e^{\frac{-24000}{T}}$
दोनों पक्षों को $10^4 e^{\frac{-30000}{T}}$ से विभाजित करने पर:
$10^2 = e^{\frac{-24000}{T} - (\frac{-30000}{T})}$
$100 = e^{\frac{6000}{T}}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln(100) = \frac{6000}{T}$
$2 \ln(10) = \frac{6000}{T}$
$2 \times 2.303 = \frac{6000}{T}$
$T = \frac{6000}{4.606} \approx 1302.64 \ K$
निकटतम पूर्णांक में,$T = 1303 \ K$ प्राप्त होता है।

(C) आर्हेनियस समीकरण $k = Ae^{-E_a/RT}$ द्वारा दिया जाता है।
अभिक्रिया की दर वेग स्थिरांक $k$ के सीधे समानुपाती होती है।
जैसे-जैसे तापमान $(T)$ बढ़ता है,घातांकीय पद $-E_a/RT$ कम ऋणात्मक (शून्य के करीब) हो जाता है,जिससे $e^{-E_a/RT}$ का मान बढ़ जाता है और परिणामस्वरूप $k$ में वृद्धि होती है।
इसी प्रकार,जैसे-जैसे सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ घटती है,घातांकीय पद $-E_a/RT$ कम ऋणात्मक हो जाता है,जो $e^{-E_a/RT}$ के मान को बढ़ाता है और $k$ में वृद्धि करता है।
इसलिए,तापमान बढ़ाने या सक्रियण ऊर्जा को कम करने से अभिक्रिया की दर बढ़ जाती है।

(A) आर्हेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\ln(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_a}{R} (\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2})$.
यहाँ अभिक्रिया की दर दोगुनी हो जाती है,इसलिए $\frac{k_2}{k_1} = 2$,$T_1 = 298 \text{ K}$,और $T_2 = 308 \text{ K}$ है।
मान रखने पर: $\ln(2) = \frac{E_a}{8.314} (\frac{308 - 298}{298 \times 308})$.
$0.693 = \frac{E_a}{8.314} (\frac{10}{91784})$.
$E_a = \frac{0.693 \times 8.314 \times 91784}{10}$.
$E_a \approx 52897 \text{ J mol}^{-1} = 52.897 \text{ kJ mol}^{-1}$.

(C) आरेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a/RT}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का $10$ के आधार पर लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$\log_{10} k = \log_{10} A - \frac{E_a}{2.303RT}$.
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \log_{10} k$,$x = \frac{1}{T}$,$c = \log_{10} A$,और ढाल $m = -\frac{E_a}{2.303R}$ है।
अतः,$\log k$ बनाम $\frac{1}{T}$ के ग्राफ की ढाल $-\frac{E_a}{2.303R}$ है।

(B) आरेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a / RT}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $k = (5.5 \times 10^{11} \text{ s}^{-1}) e^{-28000 / T}$ की तुलना आरेनियस समीकरण से करने पर,हमें घातांक पद प्राप्त होता है:
$\frac{E_a}{R} = 28000 \text{ K}$.
चूंकि $R = 8.3 \text{ J K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$ दिया गया है,हम सक्रियण ऊर्जा $E_a$ की गणना करते हैं:
$E_a = 28000 \times 8.3 = 232400 \text{ J mol}^{-1}$.
इसे $\text{kJ mol}^{-1}$ में बदलने के लिए,हम $1000$ से विभाजित करते हैं:
$E_a = \frac{232400}{1000} = 232.4 \text{ kJ mol}^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक मान $232 \text{ kJ mol}^{-1}$ है।

(B) आरेनियस समीकरण $\ln(k_2/k_1) = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$ का उपयोग करने पर।
दिए गए मान: $k_1 = 1.5 \times 10^3 \text{ s}^{-1}$,$k_2 = 4.5 \times 10^3 \text{ s}^{-1}$,$T_1 = 300 \text{ K}$,$E_a = 60000 \text{ J mol}^{-1}$,और $R = 8.314 \text{ J K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$।
मान रखने पर: $\ln(3) = \frac{60000}{8.314} \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{T_2} \right)$।
$1.0986 = 7216.74 \left( 0.003333 - \frac{1}{T_2} \right)$।
गणना करने पर $T_2 \approx 314.4 \text{ K}$ प्राप्त होता है।
सेल्सियस में बदलने पर: $314.4 - 273 = 41.4^\circ\text{C}$।

(D) दिए गए समीकरण $\ln k = 14.34 - \frac{1.25 \times 10^4}{T}$ की तुलना आर्हेनियस समीकरण $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ से करने पर:
$-\frac{E_a}{R} = -1.25 \times 10^4$
$E_a = 1.25 \times 10^4 \times R$
$E_a = 1.25 \times 10^4 \times 1.987 \text{ cal mol}^{-1} \text{ K}^{-1} = 2.48375 \times 10^4 \text{ cal mol}^{-1}$
$E_a = 24.8375 \text{ kcal mol}^{-1} \approx 24.84 \text{ kcal mol}^{-1}$.