Mix Examples-Units, Dimensions and Measurement Questions in Hindi

$(A)$ विमाओं का मिलान इस प्रकार है:
$(A)$ एंट्रॉपी $(S)$: $S = \frac{\Delta Q}{T}$। इसका मात्रक $J/K$ है, जो बोल्ट्ज़मैन नियतांक $(k_B)$ के मात्रक के समान है। अतः, $(A) \rightarrow (II)$।
$(B)$ यंग मापांक $(Y)$: $Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} = \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}}$। इसका मात्रक $N/m^2$ या $J/m^3$ है, जो ऊर्जा घनत्व $(U/V)$ के मात्रक के समान है। अतः, $(B) \rightarrow (III)$।
$(C)$ कोणीय संवेग $(L)$: $L = mvr$। इसका मात्रक $kg \cdot m^2/s$ है, जो प्लांक नियतांक $(h)$ के मात्रक के समान है। अतः, $(C) \rightarrow (IV)$।
$(D)$ क्षय नियतांक $(\lambda)$: $\lambda = \frac{1}{\text{समय}}$। इसका मात्रक $s^{-1}$ है, जो कोणीय वेग $(\omega)$ के मात्रक के समान है। अतः, $(D) \rightarrow (I)$।
इसलिए, सही मिलान $(A-II, B-III, C-IV, D-I)$ है।

(C) प्रकृति में चार मूलभूत बल हैं: गुरुत्वाकर्षण,दुर्बल नाभिकीय,विद्युतचुंबकीय और प्रबल नाभिकीय बल।
इनकी सापेक्ष शक्ति का क्रम है: $Strong \ Nuclear > Electromagnetic > Weak \ Nuclear > Gravitational$.
$1.$ गुरुत्वाकर्षण बल सबसे दुर्बल बल है,जबकि प्रबल नाभिकीय बल सबसे शक्तिशाली है।
$2.$ गुरुत्वाकर्षण और विद्युतचुंबकीय बल की परास अनंत होती है,जबकि दुर्बल नाभिकीय बल की परास अत्यंत छोटी $(10^{-16} \ m)$ होती है और प्रबल नाभिकीय बल की परास भी बहुत छोटी $(10^{-15} \ m)$ होती है।
$3.$ परास की तुलना करने पर,दुर्बल नाभिकीय बल की परास $(10^{-16} \ m)$ प्रबल नाभिकीय बल की परास $(10^{-15} \ m)$ से छोटी है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) हमें राशि $\frac{p}{\varepsilon_0 \mu_0}$ दी गई है।
हम जानते हैं कि निर्वात में प्रकाश की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $c^2 = \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}$ प्राप्त होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,राशि $p \cdot c^2$ हो जाती है।
दाब $p$ की विमाएँ $\frac{\text{Force}}{\text{Area}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ हैं।
प्रकाश की गति $c$ की विमाएँ $[LT^{-1}]$ हैं,इसलिए $c^2$ की विमाएँ $[L^2T^{-2}]$ हैं।
अतः,राशि की विमाएँ $[ML^{-1}T^{-2}] \cdot [L^2T^{-2}] = [MLT^{-4}]$ होंगी।

(D) $(1)$ प्लांक नियतांक $(h)$: $E = h\nu \implies [h] = [E]/[\nu] = [ML^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [ML^2 T^{-1}]$। यह (iii) से मेल खाता है।
$(2)$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$: $F = G(m_1 m_2)/r^2 \implies [G] = [F r^2] / [M^2] = [MLT^{-2}][L^2] / [M^2] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$। यह (iv) से मेल खाता है।
$(3)$ आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(B)$: $B = \text{प्रतिबल} / \text{विकृति} = [ML^{-1} T^{-2}] / [M^0 L^0 T^0] = [ML^{-1} T^{-2}]$। यह $(i)$ से मेल खाता है।
$(4)$ श्यानता गुणांक $(\eta)$: $F = \eta A (dv/dx) \implies [\eta] = [F] / ([A][dv/dx]) = [MLT^{-2}] / ([L^2][LT^{-1}/L]) = [MLT^{-2}] / [L^2 T^{-1}] = [ML^{-1} T^{-1}]$। यह (ii) से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(1)$-(iii),$(2)$-(iv),$(3)$-$(i)$,$(4)$-(ii) है। इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(D) विमाओं की गणना इस प्रकार की जाती है:
$1$. $Pa \cdot s$ (श्यानता गुणांक) के लिए:
$[Pa \cdot s] = [ML^{-1} T^{-2}] \cdot [T] = [ML^{-1} T^{-1}]$। यह $(iii)$ से मेल खाता है।
$2$. $N \cdot m \cdot K^{-1}$ (टॉर्क/प्रति केल्विन ऊर्जा) के लिए:
$[N \cdot m \cdot K^{-1}] = [MLT^{-2}] \cdot [L] \cdot [K]^{-1} = [ML^2 T^{-2} K^{-1}]$। यह $(iv)$ से मेल खाता है।
$3$. $J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$ (विशिष्ट ऊष्मा धारिता) के लिए:
$[J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}] = [ML^2 T^{-2}] \cdot [M]^{-1} \cdot [K]^{-1} = [L^2 T^{-2} K^{-1}]$। यह $(i)$ से मेल खाता है।
$4$. $W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}$ (ऊष्मीय चालकता) के लिए:
$[W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}] = [ML^2 T^{-3}] \cdot [L]^{-1} \cdot [K]^{-1} = [MLT^{-3} K^{-1}]$। यह $(ii)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-(iii), B-(iv), C-(i), D-(ii)$ है,जो विकल्प $(d)$ के अनुरूप है।

(A) भौतिकी को मोटे तौर पर दो डोमेन में विभाजित किया गया है: स्थूलदर्शीय (Macroscopic) और सूक्ष्मदर्शीय (Microscopic)।
$1$. स्थूलदर्शीय डोमेन में प्रयोगशाला,स्थलीय और खगोलीय स्तर की घटनाएं शामिल हैं।
$2$. सूक्ष्मदर्शीय डोमेन परमाणुओं और नाभिकों के सूक्ष्म स्तर पर पदार्थ के गठन और संरचना,तथा इलेक्ट्रॉनों,फोटॉनों और अन्य प्राथमिक कणों के साथ उनकी परस्पर क्रिया से संबंधित है।
अतः,सही उत्तर सूक्ष्मदर्शीय डोमेन है।

(B) न्यूनीकरणवाद (Reductionism) वह वैज्ञानिक दृष्टिकोण है जो एक जटिल प्रणाली को उसके मौलिक,सरल घटकों में तोड़कर और उनके बीच की अंतःक्रियाओं को समझकर उसे समझाने का प्रयास करता है। इन घटक भागों का अध्ययन करके,कोई भी बड़ी प्रणाली के स्थूल (macroscopic) गुणों को प्राप्त कर सकता है।

(A) भौतिक नियम संरक्षण के सिद्धांतों पर आधारित होते हैं। संरक्षित राशियाँ अदिश (जैसे ऊर्जा,द्रव्यमान या आवेश) या सदिश (जैसे रैखिक संवेग या कोणीय संवेग) हो सकती हैं। इसलिए,यह कथन कि सभी संरक्षित राशियाँ अनिवार्य रूप से अदिश होती हैं,गलत है।

(B) प्रकृति में मूल बलों की सापेक्ष प्रबलताएँ इस प्रकार हैं:
$1$. प्रबल नाभिकीय बल: $1$
$2$. विद्युत-चुंबकीय बल: $10^{-2}$
$3$. दुर्बल नाभिकीय बल: $10^{-13}$
$4$. गुरुत्वाकर्षण बल: $10^{-39}$
चूँकि $F_1$ गुरुत्वाकर्षण बल है,$F_2$ दुर्बल नाभिकीय बल है,और $F_3$ विद्युत-चुंबकीय बल है:
$F_1 = 10^{-39}$
$F_2 = 10^{-13}$
$F_3 = 10^{-2}$
इन मानों की तुलना करने पर,हमें $10^{-39} < 10^{-13} < 10^{-2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $F_1 < F_2 < F_3$।

(D) गुरुत्वाकर्षण बल की सापेक्ष प्रबलता $F_1 \approx 10^{-39}$ है।
दुर्बल नाभिकीय बल की सापेक्ष प्रबलता $F_2 \approx 10^{-13}$ है।
अनुपात $\frac{F_2}{F_1}$ ज्ञात करने के लिए,हम गणना करते हैं:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{10^{-13}}{10^{-39}} = 10^{-13 - (-39)} = 10^{26}$.
अतः,अनुपात $10^{26}$ है।

(C) प्रकृति में चार मूलभूत बलों की सापेक्ष शक्ति इस प्रकार है:
$1$. प्रबल नाभिकीय बल: सापेक्ष शक्ति = $1$
$2$. विद्युतचुंबकीय बल: सापेक्ष शक्ति = $10^{-2}$
$3$. दुर्बल नाभिकीय बल: सापेक्ष शक्ति = $10^{-13}$
$4$. गुरुत्वाकर्षण बल: सापेक्ष शक्ति = $10^{-39}$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर:
$(A)$ प्रबल नाभिकीय बल $(f)$ $1$ के साथ मेल खाता है।
$(B)$ दुर्बल नाभिकीय बल $(h)$ $10^{-13}$ के साथ मेल खाता है।
$(C)$ विद्युतचुंबकीय बल $(e)$ $10^{-2}$ के साथ मेल खाता है।
$(D)$ गुरुत्वाकर्षण बल $(i)$ $10^{-39}$ के साथ मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-f, B-h, C-e, D-i$ है।

(D) प्रकृति में चार मूलभूत बल होते हैं:
$1$. प्रबल नाभिकीय बल: यह सबसे शक्तिशाली बल है,जो न्यूक्लियॉन के बीच बहुत कम दूरी पर कार्य करता है।
$2$. विद्युतचुंबकीय बल: यह बल आवेशित कणों के बीच कार्य करता है और इसकी परास अनंत होती है।
$3$. दुर्बल नाभिकीय बल: यह एक लघु-परास बल है जो कुछ प्रकार के रेडियोधर्मी क्षय (जैसे बीटा क्षय) के लिए जिम्मेदार है।
$4$. गुरुत्वाकर्षण बल: यह प्रकृति का सबसे दुर्बल बल है,जो सभी द्रव्यमानों के बीच अनंत परास के साथ कार्य करता है।
अतः,सही विकल्प गुरुत्वाकर्षण बल,विद्युतचुंबकीय बल,प्रबल नाभिकीय बल और दुर्बल नाभिकीय बल है।

(B) ऊर्जा संरक्षण का नियम स्थूल (macroscopic) और सूक्ष्म (microscopic) दोनों क्षेत्रों में मान्य है। इसलिए, यह कथन कि यह केवल स्थूल क्षेत्र में मान्य है, गलत है।
सभी संरक्षित राशियाँ आवश्यक रूप से अदिश नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, रैखिक संवेग और कोणीय संवेग का संरक्षण सदिश राशियाँ हैं, जबकि ऊर्जा का संरक्षण एक अदिश राशि है।

(C) व्यंजक $\frac{\epsilon_0 E}{t}$ है।
हम जानते हैं कि $\epsilon_0 E$ विद्युत विस्थापन क्षेत्र $D$ को दर्शाता है,जिसकी विमाएँ पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{q}{A}$ के समान होती हैं।
अतः,$\epsilon_0 E$ की विमाएँ $[I T L^{-2}]$ हैं।
इसे समय $t$ (विमा $[T]$) से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{[I T L^{-2}]}{[T]} = [I L^{-2}]$.
चूंकि विद्युत धारा $I$ का मात्रक $A$ (एम्पियर) है और लंबाई $L$ का मात्रक $m$ (मीटर) है,इसलिए मात्रक $A / m^2$ होगा।

$(D)$. स्प्रिंग नियतांक $(k)$: $F = kx$ से, $[k] = [F]/[x] = [MLT^{-2}]/[L] = [ML^0 T^{-2}]$। अतः, $A-II$।
$B$. ऊष्मीय चालकता $(k)$: $dQ/dt = kA(\Delta T/l)$ से, $[k] = [ML^2 T^{-3}][L]/([L^2][K]) = [MLT^{-3} K^{-1}]$। अतः, $B-IV$।
$C$. बोल्ट्ज़मैन नियतांक $(k_B)$: $E = (3/2)k_B T$ से, $[k_B] = [E]/[T] = [ML^2 T^{-2}]/[K] = [ML^2 T^{-2} K^{-1}]$। अतः, $C-I$।
$D$. प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$: $X_L = \omega L$। इसकी विमा प्रतिरोध $(R = V/I)$ के समान होती है। $[R] = [ML^2 T^{-3} A^{-2}]$। अतः, $D-III$।
अतः, सही मिलान $A-II, B-IV, C-I, D-III$ है।

(B) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{FL}{A\Delta L} = \frac{4FL}{\pi D^2 \Delta L}$ है।
सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta(\Delta L)}{\Delta L}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान: $D = 0.08 \text{ cm}, \Delta D = 0.001 \text{ cm}, L = 150 \text{ cm}, \Delta L = 0.1 \text{ cm}, \Delta L_{ext} = 0.5 \text{ cm}, \Delta(\Delta L_{ext}) = 0.001 \text{ cm}$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{0.1}{150} + 2\left(\frac{0.001}{0.08}\right) + \frac{0.001}{0.5} = 0.000667 + 0.025 + 0.002 = 0.027667$.
$Y$ की गणना करने पर: $Y = \frac{4 \times 100 \times 150}{\pi \times (0.08 \times 10^{-2})^2 \times (0.5 \times 10^{-2})} \approx 5.968 \times 10^{11} \text{ N/m}^2$.
निरपेक्ष त्रुटि $\Delta Y = Y \times \frac{\Delta Y}{Y} = 5.968 \times 10^{11} \times 0.027667 \approx 1.65 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$.
$\alpha \times 10^9 \text{ N/m}^2$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 16.5$ प्राप्त होता है,लेकिन विकल्पों के अनुसार $\alpha = 1.65$ सही उत्तर है।

(A) दिए गए नियतांकों के विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$A$. बोल्ट्ज़मैन नियतांक $(k_B)$: चूंकि $E = k_B T$,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}K^{-1}]$ है। यह $III$ से मेल खाता है।
$B$. स्टीफन नियतांक $(sigma)$: चूंकि $I = sigma T^4$,जहाँ $I$ तीव्रता $(MT^{-3})$ है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[MT^{-3}K^{-4}]$ है। यह $IV$ से मेल खाता है।
$C$. प्लांक नियतांक $(h)$: चूंकि $E = h
u$,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[ML^2T^{-1}]$ है। यह $II$ से मेल खाता है।
$D$. गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$: चूंकि $F = G(m_1m_2)/r^2$,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[M^{-1}L^3T^{-2}]$ है। यह $I$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-III, B-IV, C-II, D-I$ है।

(A) $1$. प्लांक नियतांक $(h)$: $E = h\nu$ से,$h = E/\nu$ होता है। इसकी विमाएँ $[ML^2T^{-2}] / [T^{-1}] = ML^2T^{-1}$ $(III)$ हैं।
$2$. निरोधी विभव $(V_s)$: इसे प्रति इकाई आवेश ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है,$V_s = E/q$। इसकी विमाएँ $[ML^2T^{-2}] / [AT] = ML^2T^{-3}A^{-1}$ $(IV)$ हैं।
$3$. कार्य फलन $(Phi)$: यह इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा है,इसलिए इसकी विमाएँ ऊर्जा के समान $ML^2T^{-2}$ $(I)$ हैं।
$4$. देहली आवृत्ति $(
u_0)$: यह आपतित प्रकाश की न्यूनतम आवृत्ति है,इसलिए इसकी विमाएँ आवृत्ति के समान $T^{-1}$ $(II)$ हैं।
अतः,सही मिलान $A-III, B-IV, C-I, D-II$ है।

(B) निर्वात में प्रकाश की गति को $c$ द्वारा दर्शाया जाता है।
प्रश्न के अनुसार, लंबाई की एक नई इकाई $(\alpha)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि $1 \alpha = c (\text{प्रकाश की गति})$।
इसका अर्थ है कि इकाइयों की इस नई प्रणाली में, प्रकाश की गति $1 \alpha/\text{s}$ है।
लिया गया समय $t = 6 \text{ min } 40 \text{ s}$ है।
समय को सेकंड में बदलने पर: $t = (6 \times 60) \text{ s} + 40 \text{ s} = 360 \text{ s} + 40 \text{ s} = 400 \text{ s}$।
दूरी $d$ ज्ञात करने का सूत्र $d = \text{गति} \times \text{समय}$ है।
मान रखने पर: $d = (1 \alpha/\text{s}) \times (400 \text{ s}) = 400 \alpha$।

(D) दिया गया है कि प्रकाश की गति $c = 1$ इकाई है।
लिया गया समय $t = 6 \text{ min } 40 \text{ s}$ है।
समय को सेकंड में बदलने पर: $t = (6 \times 60) \text{ s} + 40 \text{ s} = 360 \text{ s} + 40 \text{ s} = 400 \text{ s}$।
दूरी $d$ की गणना सूत्र $d = c \times t$ का उपयोग करके की जाती है।
मान रखने पर: $d = 1 \times 400 = 400$ इकाई।
अतः,सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी $400$ इकाई है।