Dimensions and Dimensional Formula Questions in Hindi

(A) टॉर्क $( \tau)$ को बल और घूर्णन अक्ष से लंबवत दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$ \tau =\text{बल} \times\text{दूरी}$.
बल का विमीय सूत्र $[M L T^{-2}]$ है।
दूरी का विमीय सूत्र $[L]$ है।
अतः,टॉर्क का विमीय सूत्र $[M L T^{-2}] \times [L] = [M L^2 T^{-2}]$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(C) द्रव की परत पर कार्य करने वाला श्यान बल $F$ न्यूटन के श्यानता नियम द्वारा दिया जाता है: $F = -\eta A \frac{dv}{dx}$.
यहाँ,$F$ बल है,$\eta$ श्यानता गुणांक है,$A$ क्षेत्रफल है,और $\frac{dv}{dx}$ वेग प्रवणता (velocity gradient) है।
$\eta$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$.
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[F] = [M L T^{-2}]$,$[A] = [L^2]$,$[dv] = [L T^{-1}]$,और $[dx] = [L]$.
अतः,$[\eta] = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2] [L T^{-1} / L]} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2] [T^{-1}]} = [M L^{-1} T^{-1}]$.
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) कोणीय संवेग का सूत्र $L = mvr$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ वेग है,और $r$ त्रिज्या (दूरी) है।
रेखीय संवेग का सूत्र $p = mv$ है।
कोणीय संवेग और रेखीय संवेग का अनुपात $\frac{L}{p} = \frac{mvr}{mv}$ होता है।
समान पदों $m$ और $v$ को काटने पर,हमें $\frac{L}{p} = r$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r$ एक दूरी या लंबाई को दर्शाता है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^0]$ है।

(D) पृष्ठ तनाव को किसी द्रव की सतह पर प्रति इकाई लंबाई पर कार्य करने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\text{पृष्ठ तनाव} = \frac{\text{बल}}{\text{लंबाई}}$.
बल का विमीय सूत्र $[M L T^{-2}]$ है।
लंबाई का विमीय सूत्र $[L]$ है।
अतः,पृष्ठ तनाव की विमाएँ $\frac{[M L T^{-2}]}{[L]} = [M T^{-2}]$ होंगी।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच लगने वाला बल $F$ है:
$F = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\,\frac{{{q_1}{q_2}}}{{{r^2}}}$
परावैद्युतांक ${\varepsilon _0}$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
${\varepsilon _0} = \frac{{{q_1}{q_2}}}{{4\pi F{r^2}}}$
प्रत्येक राशि की विमाएँ प्रतिस्थापित करने पर:
$[q] = [AT]$
$[F] = [MLT^{-2}]$
$[r] = [L]$
अतः,${\varepsilon _0}$ की विमाएँ हैं:
$[{\varepsilon _0}] = \frac{[AT][AT]}{[MLT^{-2}][L^2]}$
$[{\varepsilon _0}] = \frac{[A^2T^2]}{[ML^3T^{-2}]}$
$[{\varepsilon _0}] = [A^2T^4M^{-1}L^{-3}]$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दाब की विमा को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $[P] = [F]/[A] = [MLT^{-2}]/[L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$.
प्रतिबल को भी प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $[Stress] = [F]/[A] = [ML^{-1}T^{-2}]$.
प्रत्यास्थता गुणांक को प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि विकृति विमाहीन होती है,इसलिए प्रत्यास्थता गुणांक की विमा प्रतिबल के समान होती है: $[E] = [Stress]/[Strain] = [ML^{-1}T^{-2}] / [1] = [ML^{-1}T^{-2}]$.
अतः,तीनों राशियों की विमाएँ समान हैं: $[ML^{-1}T^{-2}]$.

(B) प्लांक नियतांक $(h)$ ऊर्जा $(E)$ और आवृत्ति $(f)$ से $E = hf$ समीकरण द्वारा संबंधित है। इसलिए,$h = E/f$। ऊर्जा की विमा $[M L^2 T^{-2}]$ है और आवृत्ति की विमा $[T^{-1}]$ है। अतः,$h$ की विमा $[M L^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [M L^2 T^{-1}]$ है।
कोणीय संवेग $(L)$ को $L = mvr$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ वेग है और $r$ त्रिज्या है। इसकी विमाएँ $[M] [L T^{-1}] [L] = [M L^2 T^{-1}]$ हैं।
चूँकि दोनों राशियों की विमाएँ $[M L^2 T^{-1}]$ समान हैं,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(B) $1$. निर्वात की विद्युतशीलता $(\varepsilon_0)$ का विमीय सूत्र:
कूलम्ब के नियम से,$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$.
अतः,$\varepsilon_0 = \frac{q_1 q_2}{4\pi F r^2}$.
विमाएँ: $[q] = [IT]$,$[F] = [MLT^{-2}]$,$[r] = [L]$.
मान रखने पर: $[\varepsilon_0] = \frac{[IT][IT]}{[MLT^{-2}][L^2]} = \frac{I^2 T^2}{ML^3 T^{-2}} = M^{-1} L^{-3} T^4 I^2$.
$2$. निर्वात की चुंबकशीलता $(\mu_0)$ का विमीय सूत्र:
दो समानांतर तारों के बीच बल के सूत्र से,$F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2\pi r}$.
अतः,$\mu_0 = \frac{F \cdot 2\pi r}{I_1 I_2 l}$.
विमाएँ: $[F] = [MLT^{-2}]$,$[r] = [L]$,$[I] = [I]$,$[l] = [L]$.
मान रखने पर: $[\mu_0] = \frac{[MLT^{-2}][L]}{[I][I][L]} = MLT^{-2}I^{-2}$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) विकृति (Strain) को विमा में परिवर्तन और मूल विमा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि यह दो समान भौतिक राशियों का अनुपात है,इसलिए यह एक विमाहीन राशि है।
कोणीय वेग की विमा $[T^{-1}]$ होती है।
रेखीय संवेग की विमा $[MLT^{-1}]$ होती है।
कोणीय संवेग की विमा $[ML^2T^{-1}]$ होती है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = I L B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$B = \frac{F}{I L}$ प्राप्त होता है।
बल $F$ का विमीय सूत्र $[M L T^{-2}]$ है।
विद्युत धारा $I$ का विमीय सूत्र $[A]$ है।
लंबाई $L$ का विमीय सूत्र $[L]$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $B = \frac{[M L T^{-2}]}{[A] [L]} = [M L^0 T^{-2} A^{-1}]$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) अंतर-परमाण्विक बल नियतांक $K$,यंग मापांक $Y$ और अंतर-परमाण्विक दूरी $r_0$ के साथ $K = Y \times r_0$ संबंध द्वारा संबंधित है।
यंग मापांक $Y$ का विमीय सूत्र $[M L^{-1} T^{-2}]$ है।
दूरी $r_0$ का विमीय सूत्र $[L]$ है।
अतः,$K$ की विमाएँ $[M L^{-1} T^{-2}] \times [L] = [M T^{-2}]$ होती हैं।
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(A) प्रतिरोधकता का सूत्र $\rho = \frac{R \cdot A}{l}$ होता है।
यहाँ,प्रतिरोध $R$ की विमा $[M{L^2}{T^{ - 1}}{Q^{ - 2}}]$ है।
क्षेत्रफल $A$ की विमा $[L^2]$ है।
लंबाई $l$ की विमा $[L]$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$[\rho] = \frac{[M{L^2}{T^{ - 1}}{Q^{ - 2}}] \cdot [L^2]}{[L]} = [M{L^3}{T^{ - 1}}{Q^{ - 2}}]$.
अतः,दी गई विमा प्रतिरोधकता की है।

(A) विद्युत धारा $(I)$ को समय $(t)$ के सापेक्ष विद्युत आवेश $(Q)$ के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया गया है।
गणितीय रूप से,$I = \frac{Q}{t}$।
विमीय विश्लेषण के संदर्भ में,आवेश की विमा $[Q]$ है और समय की विमा $[T]$ है।
अतः,विद्युत धारा की विमा $[I] = \frac{[Q]}{[T]} = [M^0L^0T^{-1}Q]$ होगी।
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(C) टॉर्क $( au)$ का विमीय सूत्र: $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है।
कोणीय संवेग $(L)$ का विमीय सूत्र: $[M^1 L^2 T^{-1}]$ है।
दोनों की तुलना करने पर,द्रव्यमान $(M)$ और लंबाई $(L)$ की विमाएँ दोनों सूत्रों में समान हैं (क्रमशः $M^1$ और $L^2$)।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-2}]$ है।
द्रव्यमान का विमीय सूत्र $[M]$ है।
लंबाई का विमीय सूत्र $[L]$ है।
अतः,दिए गए व्यंजक का विमीय सूत्र:
$\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[M] \times [L]} = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[M L]} = [L T^{-2}]$
$[L T^{-2}]$ त्वरण का विमीय सूत्र है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) ल्यूमिनस फ्लक्स को प्रकाश ऊर्जा के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो रेडियंट पावर (radiant power) के बराबर है।
ल्यूमिनस फ्लक्स का $SI$ मात्रक ल्यूमेन $(lm)$ है,जो शक्ति (power) का एक मात्रक है।
इसलिए,ल्यूमिनस फ्लक्स की विमाएँ शक्ति की विमाओं के समान होती हैं।
शक्ति $(P)$ को प्रति इकाई समय $(t)$ में किए गए कार्य $(W)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है: $P = W / t$।
कार्य की विमाएँ $[M L^2 T^{-2}]$ हैं और समय की विमाएँ $[T]$ हैं।
अतः,शक्ति की विमाएँ $[M L^2 T^{-2}] / [T] = [M L^2 T^{-3}]$ होती हैं।

(D) दी गई भौतिक राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$1$. प्लांक नियतांक $(h)$ = $[M{L^2}{T^{ - 1}}]$ और कोणीय संवेग $(L)$ = $[M{L^2}{T^{ - 1}}]$। इनकी विमाएँ समान हैं।
$2$. कार्य $(W)$ = $[M{L^2}{T^{ - 2}}]$ और ऊर्जा $(E)$ = $[M{L^2}{T^{ - 2}}]$। इनकी विमाएँ समान हैं।
$3$. दाब $(P)$ = $[M{L^{ - 1}}{T^{ - 2}}]$ और यंग मापांक $(Y)$ = $[M{L^{ - 1}}{T^{ - 2}}]$। इनकी विमाएँ समान हैं।
$4$. आघूर्ण $( au)$ = $[M{L^2}{T^{ - 2}}]$ और जड़त्व आघूर्ण $(I)$ = $[M{L^2}]$। इनकी विमाएँ समान नहीं हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M{L^2}{T^{ - 2}}]$ होता है।
गुप्त ऊष्मा $(L)$ को प्रति इकाई द्रव्यमान $(m)$ ऊष्मीय ऊर्जा $(Q)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $L = \frac{Q}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $L = \frac{[M{L^2}{T^{ - 2}}]}{[M]} = [M^0{L^2}{T^{ - 2}}]$।
अतः,विमीय सूत्र ${M^0}{L^2}{T^{ - 2}}$ गुप्त ऊष्मा को दर्शाता है।

(A) धारिता $C$ को आवेश $Q$ और विभवांतर $V$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $C = \frac{Q}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
आवेश $Q$ का विमीय सूत्र $[AT]$ है।
विभवांतर $V$ का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-3}A^{-1}]$ है।
इन मानों को $C$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$C = \frac{[AT]}{[ML^2T^{-3}A^{-1}]} = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) विद्युत आवेश $(Q)$ का सूत्र विद्युत धारा $(I)$ और समय $(t)$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
$Q = I \times t$
चूंकि विद्युत धारा $(I)$ का विमीय सूत्र $[A]$ है और समय $(t)$ का विमीय सूत्र $[T]$ है,इसलिए आवेश का विमीय सूत्र $[AT]$ होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) श्यान बल का सूत्र $F = - \eta A \frac{\Delta v}{\Delta z}$ है।
$\eta$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\eta = \frac{F}{A (\Delta v / \Delta z)}$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक राशि की विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
बल $F = [M L T^{-2}]$
क्षेत्रफल $A = [L^2]$
वेग प्रवणता $\frac{\Delta v}{\Delta z} = \frac{[L T^{-1}]}{[L]} = [T^{-1}]$
अब,$\eta$ की विमाओं की गणना करने पर:
$[\eta] = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2] [T^{-1}]} = [M L^{1-2} T^{-2+1}] = [M L^{-1} T^{-1}]$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) श्यान अवमंदन बल $F$,वेग $v$ के समानुपाती है,इसलिए हम लिख सकते हैं $F = kv$,जहाँ $k$ समानुपाती नियतांक है।
$k$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $k = \frac{F}{v}$ प्राप्त होता है।
बल $F$ का विमीय सूत्र $[M L T^{-2}]$ है।
वेग $v$ का विमीय सूत्र $[L T^{-1}]$ है।
इन मानों को $k$ के समीकरण में रखने पर:
$[k] = \frac{[M L T^{-2}]}{[L T^{-1}]} = [M L^0 T^{-1}]$.
अतः,सही विमीय सूत्र $M L^0 T^{-1}$ है।

(D) $emf$ (विद्युत वाहक बल) को प्रति इकाई आवेश किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$emf = \frac{W}{Q}$
चूंकि कार्य $(W)$ की विमाएँ $[M{L^2}{T^{ - 2}}]$ हैं और आवेश की विमा $[Q]$ है,
इसलिए,$[emf] = \frac{[M{L^2}{T^{ - 2}}]}{[Q]} = [M{L^2}{T^{ - 2}}{Q^{ - 1}}]$

(D) गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$ का विमीय सूत्र $[M^{-1}L^3T^{-2}]$ है।
प्लांक नियतांक $(h)$ का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-1}]$ है।
उत्तल लेंस की शक्ति को फोकस दूरी के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[L^{-1}]$ है।
चूंकि दी गई सभी राशियों की विमाएं हैं,इसलिए इनमें से कोई भी विमाहीन नहीं है।

$(A)$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक $(k)$ आदर्श गैस नियतांक $(R)$ और आवोगाद्रो संख्या $(N_A)$ से $k = R / N_A$ संबंध द्वारा संबंधित है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $R = PV / (nT)$ है।
दाब $(P)$ की विमाएँ $[M L^{-1} T^{-2}]$,आयतन $(V)$ की $[L^3]$,पदार्थ की मात्रा $(n)$ की $[\text{mol}]$ और तापमान $(T)$ की $[\theta]$ होती हैं।
अतः,$R$ की विमाएँ $[M L^{-1} T^{-2}] \cdot [L^3] / ([\text{mol}] \cdot [\theta]) = [M L^2 T^{-2} \theta^{-1} \text{mol}^{-1}]$ होती हैं।
चूंकि आवोगाद्रो संख्या $(N_A)$ एक विमाहीन राशि है,इसलिए बोल्ट्ज़मैन नियतांक $(k)$ की विमाएँ $[M L^2 T^{-2} \theta^{-1}]$ होती हैं।

(A) दिया गया समीकरण $W = \frac{1}{2}K{x^2}$ है,जहाँ $W$ कार्य है और $x$ विस्थापन है।
कार्य $W$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है।
विस्थापन $x$ का विमीय सूत्र $[L^1]$ है।
$K$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $K = \frac{2W}{x^2}$ प्राप्त होता है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[K] = \frac{[M^1 L^2 T^{-2}]}{[L^1]^2} = \frac{[M^1 L^2 T^{-2}]}{[L^2]} = [M^1 L^0 T^{-2}]$।
अतः,$K$ की विमाएँ $[M^1 L^0 T^{-2}]$ हैं।

(C) दी गई भौतिक राशियों के विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$1$. चाल: $[LT^{-1}]$ और ${({\mu _0}{\varepsilon _0})^{-1/2}} = c$ (प्रकाश की चाल): $[LT^{-1}]$। इनके विमीय सूत्र समान हैं।
$2$. आघूर्ण: $[ML^2T^{-2}]$ और कार्य: $[ML^2T^{-2}]$। इनके विमीय सूत्र समान हैं।
$3$. संवेग: $[MLT^{-1}]$ और प्लांक नियतांक: $[ML^2T^{-1}]$। इनके विमीय सूत्र समान नहीं हैं।
$4$. प्रतिबल: $[ML^{-1}T^{-2}]$ और यंग मापांक: $[ML^{-1}T^{-2}]$। इनके विमीय सूत्र समान हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) ओम के नियम के अनुसार,$R = \frac{V}{I}$ होता है।
सबसे पहले,विभवांतर $(V)$ की विमा ज्ञात करें: $V = \frac{W}{q} = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[A T]} = [M L^2 T^{-3} A^{-1}]$।
अब,$V$ और $I$ की विमाओं को $R$ के सूत्र में रखें:
$R = \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-1}]}{[A]} = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) सापेक्ष घनत्व को किसी पदार्थ के घनत्व और $4^{\circ}C$ पर पानी के घनत्व के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{सापेक्ष घनत्व} = \frac{\text{पदार्थ का घनत्व}}{\text{पानी का घनत्व}}$
चूंकि अंश और हर दोनों की विमाएं समान $([M L^{-3}])$ हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देती हैं।
अतः,सापेक्ष घनत्व एक विमाहीन राशि है,जिसे $[M^0 L^0 T^0]$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(B) स्थितिज ऊर्जा को एक संरक्षी बल के विरुद्ध किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र $U = mgh$ है।
द्रव्यमान $m$ की विमाएँ $[M^1]$ हैं।
गुरुत्वीय त्वरण $g$ की विमाएँ $[LT^{-2}]$ हैं।
ऊँचाई $h$ की विमाएँ $[L^1]$ हैं।
अतः,स्थितिज ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M^1] \times [LT^{-2}] \times [L^1] = [ML^2T^{-2}]$ है।

(D) दाब प्रवणता की विमा की गणना इस प्रकार की जाती है: $\frac{P}{x} = \frac{[M L^{-1} T^{-2}]}{[L]} = [M L^{-2} T^{-2}]$.
$1$. वेग प्रवणता: $\frac{v}{x} = \frac{[L T^{-1}]}{[L]} = [T^{-1}]$.
$2$. विभव प्रवणता: $\frac{V}{x} = \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-1}]}{[L]} = [M L T^{-3} A^{-1}]$.
$3$. ऊर्जा प्रवणता: $\frac{E}{x} = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L]} = [M L T^{-2}]$.
इनकी तुलना करने पर,दाब प्रवणता की विमा दिए गए किसी भी विकल्प से मेल नहीं खाती है। अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
$R$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$R = \frac{PV}{nT}$ प्राप्त होता है।
दाब $P$ की विमाएँ $[M L^{-1} T^{-2}]$ हैं।
आयतन $V$ की विमाएँ $[L^3]$ हैं।
तापमान $T$ की विमाएँ $[\theta]$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $R = \frac{[M L^{-1} T^{-2}] \times [L^3]}{[\theta]} = [M L^2 T^{-2} \theta^{-1}]$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि किस युग्म की विमाएँ समान नहीं हैं,हम प्रत्येक के विमीय सूत्रों का विश्लेषण करते हैं:
$1$. जड़त्व आघूर्ण $(I = MR^2)$ की विमा $[ML^2T^0]$ है। बल आघूर्ण (टॉर्क,$\tau = r \times F$) की विमा $[ML^2T^{-2}]$ है। ये समान नहीं हैं।
$2$. कार्य $(W = F \cdot d)$ की विमा $[ML^2T^{-2}]$ है। टॉर्क $(\tau = r \times F)$ की विमा $[ML^2T^{-2}]$ है। ये समान हैं।
$3$. कोणीय संवेग $(L = mvr)$ की विमा $[ML^2T^{-1}]$ है। प्लांक नियतांक $(h = E/f)$ की विमा $[ML^2T^{-1}]$ है। ये समान हैं।
$4$. आवेग $(J = F \Delta t)$ की विमा $[MLT^{-1}]$ है। संवेग $(p = mv)$ की विमा $[MLT^{-1}]$ है। ये समान हैं।
अतः,वह युग्म जिसकी विमाएँ समान नहीं हैं,वह जड़त्व आघूर्ण और बल आघूर्ण है।

(D) विमीय नियतांक वह भौतिक राशि है जिसकी विमाएँ होती हैं और जिसका मान स्थिर रहता है।
$1$. गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ पृथ्वी की सतह पर स्थान के साथ बदलता रहता है।
$2$. पानी का पृष्ठ तनाव तापमान के साथ बदलता है।
$3$. मानक किलोग्राम द्रव्यमान का भार स्थानीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र पर निर्भर करता है।
$4$. निर्वात में प्रकाश का वेग $(c)$ एक सार्वत्रिक नियतांक है जिसका मान लगभग $3 \times 10^{8} \ m/s$ है और इसकी विमा $[LT^{-1}]$ होती है।
अतः,निर्वात में प्रकाश का वेग एक विमीय नियतांक है।

(C) पृष्ठ तनाव $(T)$ को प्रति इकाई लंबाई $(l)$ पर लगने वाले बल $(F)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$T = \frac{F}{l}$।
बल $(F)$ का विमीय सूत्र $[MLT^{-2}]$ है।
लंबाई $(l)$ का विमीय सूत्र $[L]$ है।
अतः,पृष्ठ तनाव की विमाएँ $T = \frac{[MLT^{-2}]}{[L]} = [ML^0T^{-2}]$ हैं।

(D) सापेक्ष विद्युतशीलता (relative permittivity) $\varepsilon_r$ (जिसे परावैद्युतांक $K$ के रूप में भी जाना जाता है) को माध्यम की विद्युतशीलता $\varepsilon$ और निर्वात की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$।
चूंकि $\varepsilon$ और $\varepsilon_0$ दोनों की विमाएं समान होती हैं,इसलिए उनका अनुपात एक विमाहीन राशि है।
अतः,$\varepsilon_r$ की कोई विमा नहीं होती है,अर्थात $[M^0 L^0 T^0 A^0]$।

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो आवेशों के बीच बल $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
विद्युतशीलता के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$\epsilon_0 = \frac{q_1 q_2}{4 \pi F r^2}$ प्राप्त होता है।
आवेश $(q)$ का विमीय सूत्र $[AT]$,बल $(F)$ का $[MLT^{-2}]$ और दूरी $(r)$ का $[L]$ होता है।
इन विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $\epsilon_0 = \frac{[AT][AT]}{[MLT^{-2}][L^2]} = \frac{[A^2T^2]}{[ML^3T^{-2}]}$।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$ प्राप्त होता है।

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$
$\varepsilon_0$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\varepsilon_0 = \frac{q_1 q_2}{4\pi F r^2}$
विमीय सूत्र प्रतिस्थापित करने पर:
$[q] = [AT]$,$[F] = [MLT^{-2}]$,$[r] = [L]$
$[\varepsilon_0] = \frac{[AT][AT]}{[MLT^{-2}][L^2]} = \frac{[A^2 T^2]}{[ML^3 T^{-2}]}$
$[\varepsilon_0] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$

(A) ओम के नियम के अनुसार,$R = \frac{V}{I}$.
विभवांतर $V = \frac{W}{q}$,जहाँ $W$ कार्य है और $q$ आवेश है,इसलिए $R = \frac{W}{qI}$.
हम जानते हैं कि $q = I \times T$.
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $R = \frac{W}{(I \times T) \times I} = \frac{W}{I^2 T}$.
कार्य $W$ का विमीय सूत्र $[M^1L^2T^{-2}]$,विद्युत धारा $I$ का $[I^1]$ और समय $T$ का $[T^1]$ है।
अतः,$R$ का विमीय सूत्र $\frac{[M^1L^2T^{-2}]}{[I^2][T^1]} = [M^1L^2T^{-3}I^{-2}]$ है।

(D) रैखिक घनत्व $m$ की विमाएँ $\frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{लंबाई}} = [ML^{-1}]$ होती हैं।
बल $A$ की विमाएँ $[MLT^{-2}]$ होती हैं।
दिए गए संबंध $A/B = m$ से,हम लिख सकते हैं $B = A/m$.
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $B = \frac{[MLT^{-2}]}{[ML^{-1}]} = [L^2T^{-2}]$.
गुप्त ऊष्मा को प्रति इकाई द्रव्यमान ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[M]} = [L^2T^{-2}]$.
अतः,$B$ की विमाएँ गुप्त ऊष्मा की विमाओं के समान हैं।

(C) एक विमाहीन राशि वह राशि है जिसे कोई भौतिक विमा नहीं दी जाती है।
हालाँकि,एक विमाहीन राशि के पास मापन की इकाई हो सकती है।
उदाहरण के लिए,समतल कोण (Plane Angle) को रेडियन $(rad)$ में मापा जाता है और ठोस कोण (Solid Angle) को स्टेरेडियन $(sr)$ में मापा जाता है,फिर भी दोनों विमाहीन राशियाँ हैं क्योंकि उन्हें क्रमशः दो लंबाइयों या दो क्षेत्रफलों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

(A) प्लांक नियतांक $(h)$ की विमा $[M L^2 T^{-1}]$ है।
जड़त्व आघूर्ण $(I)$ की विमा $[M L^2]$ है।
उनका अनुपात $\frac{h}{I} = \frac{[M L^2 T^{-1}]}{[M L^2]} = [T^{-1}]$ होता है।
विमा $[T^{-1}]$ आवृत्ति को दर्शाती है।

(B) ओम के नियम के अनुसार,$V = IR$,जहाँ $V$ विभवांतर है,$I$ विद्युत धारा है और $R$ प्रतिरोध है।
इसलिए,$R = \frac{V}{I}$।
हम जानते हैं कि विभवांतर $V = \frac{W}{q}$,जहाँ $W$ कार्य है और $q$ आवेश है।
कार्य $W$ का विमीय सूत्र $[ML^{2}T^{-2}]$ है और आवेश $q$ का विमीय सूत्र $[AT]$ है।
अतः,विभव $V$ का विमीय सूत्र $[V] = \frac{[ML^{2}T^{-2}]}{[AT]} = [ML^{2}T^{-3}A^{-1}]$ है।
प्रतिरोध के व्यंजक में इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$[R] = \frac{[ML^{2}T^{-3}A^{-1}]}{[A]} = [ML^{2}T^{-3}A^{-2}]$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) किसी भौतिक राशि $Q$ की प्रवणता (gradient) को दूरी के सापेक्ष उस राशि के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $\frac{dQ}{dx}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
किसी प्रवणता के मात्रकहीन होने के लिए,अंश $Q$ की विमाएँ और हर $x$ (जो लंबाई है,$L$) की विमाएँ समान होनी चाहिए।
$1$. वेग प्रवणता: $\frac{[LT^{-1}]}{[L]} = [T^{-1}]$,जिसका मात्रक $s^{-1}$ है।
$2$. दाब प्रवणता: $\frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[L]} = [ML^{-2}T^{-2}]$,जिसका मात्रक $Pa/m$ है।
$3$. विस्थापन प्रवणता: $\frac{[L]}{[L]} = [M^0L^0T^0]$,जो विमाहीन और मात्रकहीन है।
$4$. बल प्रवणता: $\frac{[MLT^{-2}]}{[L]} = [MT^{-2}]$,जिसका मात्रक $N/m$ है।
अतः,विस्थापन प्रवणता एक मात्रकहीन राशि है।

(B) दिए गए तरंग समीकरण $Y = A \sin \omega \left( \frac{x}{v} - k \right)$ में,साइन फलन का तर्क (argument) विमाहीन होना चाहिए।
इसके अतिरिक्त,कोष्ठक के भीतर के पदों को घटाने के लिए उनकी विमाएँ समान होनी चाहिए।
इसलिए,$k$ की विमा $\frac{x}{v}$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$x$ (दूरी) की विमा $[L]$ है।
$v$ (वेग) की विमा $[LT^{-1}]$ है।
अतः,$k$ की विमा $= \frac{[L]}{[LT^{-1}]} = [T]$ होगी।

(C) किसी भौतिक राशि की विमाएँ वे घातें हैं जिन्हें मूल मात्रकों पर चढ़ाया जाता है ताकि उस भौतिक राशि को व्यक्त किया जा सके।
परिभाषा के अनुसार,एक मात्रकहीन राशि वह है जिसका कोई मापन मात्रक नहीं होता है।
चूंकि मात्रक मूल राशियों से प्राप्त होते हैं,यदि किसी राशि का कोई मात्रक नहीं है,तो इसका अर्थ है कि सभी मूल राशियों $(M, L, T)$ की घातें शून्य हैं।
इसलिए,एक मात्रकहीन राशि हमेशा विमाहीन होती है।
उदाहरणों में कोण (चाप की लंबाई और त्रिज्या का अनुपात),प्रत्यास्थ विकृति (लंबाई में परिवर्तन और मूल लंबाई का अनुपात),और प्वासों अनुपात शामिल हैं।