Dimensions and Dimensional Formula Questions in Gujarati

(C) સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ માટેનું સૂત્ર ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \eta A \frac{dv}{dx}$.
$\eta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\eta = \frac{F \cdot dx}{A \cdot dv}$ મળે છે.
પરિમાણો આ મુજબ છે: બળ $F = [MLT^{-2}]$,ક્ષેત્રફળ $A = [L^2]$,અંતર $dx = [L]$,અને વેગ $dv = [LT^{-1}]$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\eta = \frac{[MLT^{-2}][L]}{[L^2][LT^{-1}]}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\eta = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3T^{-1}]} = [ML^{-1}T^{-1}]$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\frac{dy}{dt} = 2\omega \sin(\omega t + \theta_0)$ છે.
કોઈપણ ત્રિકોણમિતીય વિધેયમાં,તેનો ખૂણો (argument) પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
અહીં $\sin(\omega t + \theta_0)$ એ ત્રિકોણમિતીય વિધેય હોવાથી,તેનો ખૂણો $(\omega t + \theta_0)$ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
પરિમાણરહિત રાશિના પરિમાણ $[M^{0}L^{0}T^{0}]$ હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) તીવ્રતા $(I)$ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ $(A)$ દીઠ પસાર થતો પાવર $(P)$.
$I = \frac{P}{A}$
પાવર એટલે એકમ સમય $(t)$ દીઠ ઉર્જા $(E)$,તેથી $P = \frac{E}{t}$.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[E] = [M^1L^2T^{-2}]$.
સમયનું પારિમાણિક સૂત્ર $[t] = [T^1]$.
ક્ષેત્રફળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[A] = [L^2]$.
તેથી,તીવ્રતાનું પારિમાણિક સૂત્ર:
$[I] = \frac{[M^1L^2T^{-2}]}{[T^1] \cdot [L^2]}$
$[I] = [M^1L^0T^{-3}]$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ઊર્જા ઘનતા એટલે એકમ કદ દીઠ ઊર્જા.
$\text{ઊર્જા ઘનતા} = \frac{\text{ઊર્જા}}{\text{કદ}}$
ઊર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1L^2T^{-2}]$ છે અને કદનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^3]$ છે.
$\text{ઊર્જા ઘનતા} = \frac{[M^1L^2T^{-2}]}{[L^3]} = [M^1L^{2-3}T^{-2}] = [M^1L^{-1}T^{-2}]$

(B) ચુંબકીય બળ $F = BIL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $L$ એ લંબાઈ છે.
તેથી,$B$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[B] = \frac{[F]}{[I][L]} = \frac{[MLT^{-2}]}{[I][L]} = [MT^{-2}I^{-1}]$ થાય.
હવે,$P$ ના સમીકરણમાં પારિમાણિક સૂત્રો મૂકતા:
$[P] = \frac{[B]^2 [l]^2}{[m]} = \frac{[MT^{-2}I^{-1}]^2 [L]^2}{[M]}$.
$[P] = \frac{[M^2 T^{-4} I^{-2}] [L^2]}{[M]}$.
$[P] = [ML^2 T^{-4} I^{-2}]$.

(C) ઓમના નિયમ મુજબ,$V = RI$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{V}{I}$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $V = \frac{W}{q}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે અને $q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
કાર્ય $W$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ અને વિદ્યુતભાર $q$ નું $[IT]$ છે.
તેથી,$V$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $= \frac{[ML^2T^{-2}]}{[IT]} = [ML^2T^{-3}I^{-1}]$.
હવે,અવરોધના સૂત્રમાં આ કિંમત મૂકતા: $R = \frac{[ML^2T^{-3}I^{-1}]}{[I]} = [ML^2T^{-3}I^{-2}]$.

(D) દબાણનું પારિમાણિક સૂત્ર $P = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^2]}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $[P] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$ મળે છે.
આને આપેલ સ્વરૂપ $M^a L^b T^c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-1, c=-2$ મળે છે.
આમ,જ્યારે $a=1, b=-1, c=-2$ હોય ત્યારે તે ભૌતિક રાશિ દબાણ છે.

(C) ડેમ્પિંગ બળ $F$ એ વેગ $v$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જેને $F = kv$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $k$ એ પ્રમાણભૂતતાનો અચળાંક છે.
આ સમીકરણ પરથી,આપણે $k$ ને $k = \frac{F}{v}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
બળ $F$ નો $SI$ એકમ ન્યૂટન $(N)$ છે,જે $kg\ m\ s^{-2}$ ની સમકક્ષ છે.
વેગ $v$ નો $SI$ એકમ $m\ s^{-1}$ છે.
આ એકમોને $k$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$k = \frac{kg\ m\ s^{-2}}{m\ s^{-1}} = kg\ s^{-1}$.
તેથી,પ્રમાણભૂતતાના અચળાંકનો એકમ $kg\ s^{-1}$ છે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = (\mu_0 \varepsilon_0)^{-1/2}$
અહીં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ દર્શાવે છે,તેથી તેના પરિમાણો વેગના પરિમાણો સમાન હોય છે.
વેગનું પારિમાણિક સૂત્ર $[LT^{-1}]$ છે.
તેથી,$(\mu_0 \varepsilon_0)^{-1/2}$ ના પરિમાણો $[LT^{-1}]$ થાય છે.

(D) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ મળે છે.
કારણ કે $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ દર્શાવે છે,તેના પરિમાણો $[L T^{-1}]$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ ના પરિમાણો $c^2$ ના પરિમાણો જેટલા થાય,જે $[L T^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}]$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ પદ $\frac{e^2}{4\pi \varepsilon _0 hc}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કુલંબ બળ $F = \frac{1}{4\pi \varepsilon _0} \frac{e^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\frac{e^2}{4\pi \varepsilon _0}$ ના પરિમાણો $[F][r^2] = [MLT^{-2}][L^2] = [ML^3T^{-2}]$ થાય.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ ના પરિમાણો $[ML^2T^{-1}]$ છે.
પ્રકાશનો વેગ $c$ ના પરિમાણો $[LT^{-1}]$ છે.
તેથી,આ પદના પરિમાણો $\frac{[ML^3T^{-2}]}{[ML^2T^{-1}][LT^{-1}]} = \frac{[ML^3T^{-2}]}{[ML^3T^{-2}]} = [M^0 L^0 T^0]$ થાય.
આ રાશિને ફાઇન-સ્ટ્રક્ચર અચળાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જે પરિમાણરહિત રાશિ છે.

(A) બે સમાંતર પ્રવાહધારિત વાહકો વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $(F/l)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F/l = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2I_1 I_2}{d}$
$\mu_0$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\mu_0 = \frac{F \cdot d}{l \cdot 2I_1 I_2}$
પરિમાણો મૂકતા:
$[F] = [MLT^{-2}]$
$[d] = [L]$
$[l] = [L]$
$[I] = [A]$
$[\mu_0] = \frac{[MLT^{-2}] \cdot [L]}{[L] \cdot [A]^2} = [MLT^{-2} A^{-2}]$
આમ, મુક્ત અવકાશની પરમિયેબિલિટીના પરિમાણો $[MLT^{-2} A^{-2}]$ છે.

(A) આપેલ એકમ $kg \cdot m^2 \cdot A^{-2} \cdot s^{-3}$ છે.
આ એકમ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અવરોધ $(R)$ એ $V/I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ છે અને વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A]$ છે.
તેથી,અવરોધનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-1}] / [A] = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ થાય છે.
આપેલ એકમ સાથે સરખાવતા,તે અવરોધને અનુરૂપ છે.

(A) પદ $\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}$ એ મુક્ત અવકાશનો આંતરિક અવરોધ (intrinsic impedance) દર્શાવે છે.
તેનું મૂલ્ય આશરે $376.7 \ \Omega$ છે.
તે એક પ્રકારનો અવરોધ હોવાથી,તેનો એકમ ઓહ્મ $(\Omega)$ છે,જે અવરોધના એકમ સમાન છે.
તેથી,$\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}$ નું પરિમાણ અવરોધના પરિમાણ સમાન છે.

(B) કુલંબના નિયમ મુજબ,બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{{q_1}{q_2}}}{{{R^2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરમિટિવિટી માટે સૂત્રને ગોઠવતા,આપણને ${\varepsilon _0} = \frac{{{q_1}{q_2}}}{{4\pi F{R^2}}}$ મળે છે.
વિદ્યુતભાર $q$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[AT]$,બળ $F$ નું $[MLT^{-2}]$ અને અંતર $R$ નું $[L]$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $[{\varepsilon _0}] = \frac{{[AT][AT]}}{{[MLT^{-2}][L^2]}} = \frac{{[A^2T^2]}}{{[ML^3T^{-2}]}}$.
પદને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $[{\varepsilon _0}] = [M^{-1}L^{-3}T^4A^2]$ મળે છે.

(D) $\int {e^{ax}} dx$ પદમાં,ઘાતાંક $ax$ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ. $x$ નું પરિમાણ $L^1$ હોવાથી,$a$ નું પરિમાણ $L^{-1}$ હોવું જોઈએ.
$\int {e^{ax}} dx$ નું સંકલન $\frac{1}{a} e^{ax} + C$ થાય છે. આપેલ સ્વરૂપ $a^m e^{ax} + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $a^m = \frac{1}{a} = a^{-1}$,જેનો અર્થ છે કે $m = -1$.
સંકલનનું પરિણામ $dx$ (જે $L^1$ છે) ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ,તેથી અચળાંક $C$ નું પરિમાણ પણ $L^1$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$1$. $m = -1$ સાચું છે.
$2$. $C$ નું પરિમાણ $= L^1$ સાચું છે.
$3$. $a$ નું પરિમાણ $= L^{-1}$ સાચું છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,ખોટું વિધાન 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(D) સ્થિતિ ઊર્જા $V$ ના પરિમાણો કાર્ય અથવા ઊર્જા સમાન હોય છે,જે $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
છેદમાં $(x + B)$ હોવાથી,$x$ એ અંતર છે,તેથી $B$ નું પરિમાણ $x$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ. તેથી,$[B] = [L]$.
સમીકરણ $V = \frac{A\sqrt{x}}{x + B}$ છે. $A$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$A = \frac{V(x + B)}{\sqrt{x}}$ મળે.
પરિમાણો મૂકતા: $[A] = \frac{[M L^2 T^{-2}] [L]}{[L^{1/2}]} = [M L^2 T^{-2}] [L^{1/2}] = [M L^{5/2} T^{-2}]$.
હવે,$AB$ નું પરિમાણ $[A][B] = [M L^{5/2} T^{-2}] [L] = [M L^{7/2} T^{-2}]$ થશે.

(A) દરેક જોડીના પરિમાણોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. બળ: $[MLT^{-2}]$; આઘાત: $[MLT^{-1}]$. આ સમાન નથી.
$2$. કોણીય વેગમાન: $[ML^2T^{-1}]$; પ્લાન્ક અચળાંક: $[ML^2T^{-1}]$. આ સમાન છે.
$3$. ઉર્જા: $[ML^2T^{-2}]$; ટોર્ક: $[ML^2T^{-2}]$. આ સમાન છે.
$4$. સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલસ: $[ML^{-1}T^{-2}]$; દબાણ: $[ML^{-1}T^{-2}]$. આ સમાન છે.
તેથી,બળ અને આઘાતની જોડીના પરિમાણો સમાન નથી.

(D) પરિમાણરહિત રાશિ એટલે એવી રાશિ કે જેને કોઈ ભૌતિક પરિમાણ નથી,એટલે કે તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $M^0 L^0 T^0$ છે.
$1$. બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે અને પ્રવેગનું $[LT^{-2}]$ છે. તેમનો ગુણોત્તર $[M]$ મળે છે,જે પરિમાણરહિત નથી.
$2$. વેગનું પારિમાણિક સૂત્ર $[LT^{-1}]$ છે અને પ્રવેગનું $[LT^{-2}]$ છે. તેમનો ગુણોત્તર $[T]$ મળે છે,જે પરિમાણરહિત નથી.
$3$. કદનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^3]$ છે અને ક્ષેત્રફળનું $[L^2]$ છે. તેમનો ગુણોત્તર $[L]$ મળે છે,જે પરિમાણરહિત નથી.
$4$. ઊર્જા અને કાર્ય બંનેનું પારિમાણિક સૂત્ર સમાન છે,જે $[ML^2T^{-2}]$ છે. તેથી,તેમનો ગુણોત્તર $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[ML^2T^{-2}]} = [M^0L^0T^0]$ થાય છે,જે પરિમાણરહિત છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) દબાણ $P$ ના પરિમાણો $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ અને અંતર $x$ ના પરિમાણો $[L]$ છે.
વેગ $v$ ના પરિમાણો $[LT^{-1}]$ છે.
લંબાઈ $l$ ના પરિમાણો $[L]$ છે.
આપેલ સૂત્ર $\eta = \frac{P(r^2 - x^2)}{4vl}$ માં પરિમાણો મૂકતા:
$\eta = \frac{[ML^{-1}T^{-2}] \cdot [L^2]}{[LT^{-1}] \cdot [L]}$
$\eta = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2T^{-1}]}$
$\eta = [ML^{-1}T^{-1}]$

(A) આપેલ છે: $w = [M]$,$x = [L]$,$y = [T]$,$z = [A]$.
આ પરિમાણોને $\frac{x^2w}{y^3z}$ પદમાં મૂકતા:
$\left[\frac{x^2w}{y^3z}\right] = \frac{[L]^2 [M]}{[T]^3 [A]} = \frac{[M][L]^2}{[T]^3 [A]}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{\text{કાર્ય}}{\text{વીજભાર}} = \frac{[M][L]^2[T]^{-2}}{[A][T]} = \frac{[M][L]^2}{[T]^3 [A]}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\frac{x^2w}{y^3z}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર વિદ્યુત સ્થિતિમાનના પારિમાણિક સૂત્ર સમાન છે.

(B) $1$. વિદ્યુત અવરોધ $(R)$: $R = V/I$. $V$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ છે અને $I$ નું $[A]$ છે. તેથી,$R = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$. આમ,$A \to q$.
$2$. વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$: પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ છે. વિકલ્પોમાં આ નથી,તેથી $B \to s$.
$3$. વિશિષ્ટ અવરોધ $(\rho)$: $\rho = R A / l$. પરિમાણો: $[M L^2 T^{-3} A^{-2}] [L^2] / [L] = [M L^3 T^{-3} A^{-2}]$. આમ,$C \to p$.
$4$. વિશિષ્ટ વાહકતા $(\sigma)$: $\sigma = 1 / \rho$. પરિમાણો: $[M^{-1} L^{-3} T^3 A^2]$. વિકલ્પોમાં આ નથી,તેથી $D \to s$.
આમ,સાચી જોડ $A \to q, B \to s, C \to p, D \to s$ છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,વિકલ્પ $B$ સૌથી નજીકનો છે.

(A) ધારો કે દળ એ મૂળભૂત રાશિઓ સાથે $M \propto T^x C^y h^z$ મુજબ સંબંધિત છે.
દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^0]$ છે.
આપેલ રાશિઓના પારિમાણિક સૂત્રો છે: $[T] = [T]$,$[C] = [L T^{-1}]$,અને $[h] = [M L^2 T^{-1}]$.
આ કિંમતોને સમપ્રમાણતાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^0] = [T]^x [L T^{-1}]^y [M L^2 T^{-1}]^z$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^z] [L^{y+2z}] [T^{x-y-z}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $z = 1$
$L$ માટે: $y + 2z = 0 \implies y + 2(1) = 0 \implies y = -2$
$T$ માટે: $x - y - z = 0 \implies x - (-2) - 1 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$
આમ,દળનું પરિમાણ $[M] = [T^{-1} C^{-2} h^1]$ થાય.

(A) વિદ્યુત અવરોધ $R = \frac{\rho l}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધકતા $\rho$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$\rho = \frac{R a}{l}$ મળે છે.
અવરોધ $R$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ છે.
ક્ષેત્રફળ $a$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^2]$ છે.
લંબાઈ $l$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
આ કિંમતોને $\rho$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\rho = \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-2}] [L^2]}{[L]} = [M L^3 T^{-3} A^{-2}]$.
વિદ્યુત વાહકતા $\sigma$ એ અવરોધકતા $\rho$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી $\sigma = \frac{1}{\rho}$.
તેથી,$\sigma$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^{-3} T^3 A^2]$ થાય છે.

(B) ઘાતાંકીય વિધેયનો ઘાતાંક પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,$[\frac{x^2}{\alpha kt}] = [M^0L^0T^0]$.
અહીં $[x^2] = L^2$ અને $[kt] = [Energy] = ML^2T^{-2}$ હોવાથી:
$[\alpha] = \frac{[x^2]}{[kt]} = \frac{L^2}{ML^2T^{-2}} = M^{-1}T^2$.
બળ $F$ એ $F = \alpha \beta \exp(\dots)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઘાતાંકીય પદ પરિમાણરહિત હોવાથી,$F$ ના પરિમાણો એ $\alpha \beta$ ના પરિમાણો જેટલા હોવા જોઈએ.
$[F] = [\alpha][\beta]$
$MLT^{-2} = (M^{-1}T^2) [\beta]$
$[\beta] = \frac{MLT^{-2}}{M^{-1}T^2} = M^2LT^{-4}$.

(C) મુક્ત અવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$ છે.
મુક્ત અવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2} A^{-2}]$ છે.
તેથી,$\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર:
$\left[ \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} \right] = \left[ \frac{M^{-1} L^{-3} T^4 A^2}{M L T^{-2} A^{-2}} \right]^{1/2}$
$= \left[ M^{-1-1} L^{-3-1} T^{4-(-2)} A^{2-(-2)} \right]^{1/2}$
$= \left[ M^{-2} L^{-4} T^6 A^4 \right]^{1/2}$
$= [M^{-1} L^{-2} T^3 A^2]$ થાય.

(D) જો કોઈ ભૌતિક રાશિનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0L^0T^0]$ હોય,તો તે પરિમાણરહિત છે.
સાપેક્ષ વેગ એ બે વેગનો ગુણોત્તર છે,તેથી તે પરિમાણરહિત અને એકમરહિત છે.
સાપેક્ષ ઘનતા એ પદાર્થની ઘનતા અને પાણીની ઘનતાનો ગુણોત્તર છે,તેથી તે પરિમાણરહિત અને એકમરહિત છે.
વિકૃતિ એ પરિમાણમાં થતો ફેરફાર અને મૂળ પરિમાણનો ગુણોત્તર છે,તેથી તે પરિમાણરહિત અને એકમરહિત છે.
ખૂણાને ચાપની લંબાઈ અને ત્રિજ્યાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $\theta = \frac{s}{r}$.
ચાપની લંબાઈ અને ત્રિજ્યા બંને લંબાઈ $[L]$ ધરાવે છે,તેથી ખૂણો પરિમાણરહિત છે: $[M^0L^0T^0]$.
જોકે,ખૂણાનો $SI$ એકમ રેડિયન છે,જે એક એકમ છે.
તેથી,ખૂણો એ એવી ભૌતિક રાશિ છે જેનો એકમ છે પરંતુ પરિમાણ નથી.

(D) ઉર્જા ઘનતા એટલે એકમ કદ દીઠ ઉર્જા: $U = \frac{\text{Energy}}{\text{Volume}}$.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે અને કદનું $[L^3]$ છે.
તેથી,ઉર્જા ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ થાય.
દબાણ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ: $P = \frac{F}{A}$. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
પ્રતિબળ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પુનઃસ્થાપક બળ: $\sigma = \frac{F}{A}$. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
યંગ મોડ્યુલસ એ પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$. વિકૃતિ પરિમાણરહિત હોવાથી,$Y$ નું પારિમાણિક સૂત્ર પ્રતિબળ જેવું જ એટલે કે $[ML^{-1}T^{-2}]$ થાય.
આમ,આપેલી તમામ રાશિઓનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-1}T^{-2}]$ સમાન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) અવરોધકતા $(\rho)$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{R A}{l}$ છે,જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ લંબાઈ છે.
અવરોધ $R = \frac{V}{I} = \frac{W}{qI} = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[A T] [A]} = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$.
ક્ષેત્રફળ $A = [L^2]$.
લંબાઈ $l = [L]$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\rho = \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-2}] \times [L^2]}{[L]} = [M L^3 T^{-3} A^{-2}]$.

(C) તીવ્રતા એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ વહેતી ઉર્જા.
$\text{તીવ્રતા} = \frac{\text{ઉર્જા}}{\text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{સમય}}$
ઉર્જા $[ML^2T^{-2}]$,ક્ષેત્રફળ $[L^2]$ અને સમય $[T]$ ના પરિમાણો મૂકતા:
$\text{તીવ્રતા} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^2][T]} = [ML^0T^{-3}]$
તેથી,પરિમાણીય સૂત્ર $[ML^0T^{-3}]$ એ તીવ્રતા દર્શાવે છે.

(D) $1$. એકમ કદ દીઠ ઉર્જા: $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
$2$. એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ: $\frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
$3$. એકમ કદ દીઠ વોલ્ટેજ અને વિદ્યુતભારનો ગુણાકાર: વોલ્ટેજ $\times$ વિદ્યુતભાર = ઉર્જા. તેથી,$\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
$4$. એકમ દળ દીઠ કોણીય વેગમાન: કોણીય વેગમાન $[ML^2T^{-1}]$ છે. તેને દળ $[M]$ વડે ભાગતા $[L^2T^{-1}]$ મળે છે.
આમ,એકમ દળ દીઠ કોણીય વેગમાનનું પરિમાણ $[L^2T^{-1}]$ છે,જે $[ML^{-1}T^{-2}]$ કરતા અલગ છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પ્રવાહધારિત ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M)$ એ પ્રવાહ $(I)$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $(A)$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે: $M = I \times A$.
પ્રવાહ $(I)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A]$ છે.
ક્ષેત્રફળ $(A)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^2]$ છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M] = [A][L^2] = [L^2A]$ થાય છે.

(A) કેપેસિટન્સ $C$ ને $C = \frac{Q}{V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{W}{Q}$ હોવાથી,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે,આપણે $C = \frac{Q^2}{W}$ લખી શકીએ.
કાર્ય $W$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
પરિમાણો મૂકતા,આપણને $[C] = \frac{[Q^2]}{[ML^2T^{-2}]}$ મળે છે.
તેથી,$[C] = [M^{-1}L^{-2}T^2Q^2]$.

(D) $1$. $Q$ ની સાપેક્ષે પદાર્થ $P$ નો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{PQ} = \vec{v}_P - \vec{v}_Q$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. આ બે વેગની સદિશ બાદબાકી હોવાથી,પરિણામ પણ વેગ જ મળે છે. તેથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^1 T^{-1}]$ છે,જે વેગ અને વેગમાં થતા ફેરફાર $(\Delta v)$ ના પારિમાણિક સૂત્ર સમાન છે. આમ,વિધાન સાચું છે.
$2$. કારણમાં જણાવેલ છે કે સાપેક્ષ વેગ એ વેગનો ગુણોત્તર છે,જે ભૌતિક રીતે ખોટું છે. સાપેક્ષ વેગ એ બે વેગનો તફાવત છે,ગુણોત્તર નથી. તેથી,કારણ ખોટું છે.

(A) પદ $\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}}$ એ ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા દર્શાવે છે,જે એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા છે.
ઉર્જા ઘનતાનું સૂત્ર $u = \frac{\text{Energy}}{\text{Volume}}$ છે.
ઉર્જાનું પરિમાણ $[M L^{2} T^{-2}]$ છે અને કદનું પરિમાણ $[L^{3}]$ છે.
તેથી,ઉર્જા ઘનતાનું પરિમાણ $\frac{[M L^{2} T^{-2}]}{[L^{3}]} = [M L^{-1} T^{-2}]$ થાય.
આમ,$\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}}$ નું પરિમાણ $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું સૂત્ર $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ છે.
$G$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$G = \frac{F r^2}{m_1 m_2}$ મળે છે.
$1$. $MKS$ એકમ: બળનો એકમ $Newton$ $(N)$,અંતરનો એકમ $meter$ $(m)$ અને દળનો એકમ $kilogram$ $(kg)$ છે. તેથી,એકમ $N \cdot m^2 / kg^2$ અથવા $kg^{-1} \cdot m^3 \cdot s^{-2}$ થાય છે.
$2$. $CGS$ એકમ: બળનો એકમ $dyne$ $(dyn)$,અંતરનો એકમ $centimeter$ $(cm)$ અને દળનો એકમ $gram$ $(g)$ છે. તેથી,એકમ $dyn \cdot cm^2 / g^2$ અથવા $g^{-1} \cdot cm^3 \cdot s^{-2}$ થાય છે.
$3$. પારિમાણિક સૂત્ર: બળ $[MLT^{-2}]$,અંતર $[L]$ અને દળ $[M]$ ના પરિમાણોને $G = \frac{F r^2}{m_1 m_2}$ માં મૂકતા,આપણને $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ મળે છે.

(N/A) કોઈપણ ભૌતિક રાશિના પરિમાણ એટલે તે રાશિને દર્શાવવા માટે પાયાની રાશિઓ પર જે ઘાત (અથવા ઘાતાંક) ચડાવવામાં આવે છે તે.
કોઈપણ ભૌતિક રાશિને $7$ પાયાની (મૂળભૂત) રાશિઓના સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
તેના સંકેતો નીચે મુજબ છે:
દળ: $M$
લંબાઈ: $L$
સમય: $T$
વિદ્યુત પ્રવાહ: $A$
થર્મોડાયનેમિક તાપમાન: $K$
જ્યોતિ તીવ્રતા: $cd$
પદાર્થનો જથ્થો: $mol$
ઉદાહરણ $1$: કદ
$\text{કદ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$
$= L \times L \times L = L^3$
પરિમાણની દ્રષ્ટિએ,કદને $[M^0 L^3 T^0]$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં,લંબાઈનું પરિમાણ $3$ છે,જ્યારે દળ અને સમયનું પરિમાણ $0$ છે.
ઉદાહરણ $2$: બળ
$\text{બળ} = \text{દળ} \times \text{પ્રવેગ}$
$= M \times (L T^{-2}) = [M^1 L^1 T^{-2}]$
અહીં,બળના પરિમાણો દળમાં $1$,લંબાઈમાં $1$ અને સમયમાં $-2$ છે.

(N/A) પારિમાણિક સૂત્ર: જે પદાવલિ દર્શાવે છે કે ભૌતિક રાશિના પરિમાણોમાં કઈ મૂળભૂત રાશિઓ અને કેવી રીતે સમાયેલી છે,તેને પારિમાણિક સૂત્ર કહે છે.
ઉદાહરણ:
કદનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{0} L^{3} T^{0}]$ છે.
ઝડપ (અથવા વેગ) નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$ છે.
પ્રવેગનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{0} L^{1} T^{-2}]$ છે.
ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{1} L^{-3} T^{0}]$ છે.
પારિમાણિક સમીકરણ: જ્યારે કોઈ ભૌતિક રાશિને તેના પારિમાણિક સૂત્ર સાથે સરખાવવામાં આવે,ત્યારે મળતા સમીકરણને તે ભૌતિક રાશિનું પારિમાણિક સમીકરણ કહે છે.
ઉદાહરણ:
કદ $[V] = [M^{0} L^{3} T^{0}]$
ઝડપ અથવા વેગ $[v] = [M^{0} L^{1} T^{-1}]$
બળ $[F] = [M^{1} L^{1} T^{-2}]$
ઘનતા $[\rho] = [M^{1} L^{-3} T^{0}]$

(B) પરિમાણ: સાધિત રાશિને દર્શાવવા માટે પાયાની રાશિઓ પર જે ઘાત કે ઘાતાંક ચડાવવામાં આવે છે,તેને તે રાશિનું પરિમાણ કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ: $\text{કદ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$.
લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ ત્રણેય લંબાઈના પ્રકાર હોવાથી,તેમનું પરિમાણીય નિરૂપણ $L$ છે.
$\text{કદ} = L \times L \times L = L^{3}$.
આમ,કદનું લંબાઈમાં પરિમાણ $3$ છે.

(A) પારિમાણિક સૂત્રોની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$(1)$ બળની ચાકમાત્રા $(\tau) = \text{બળ} \times \text{અંતર} = [MLT^{-2}] \times [L] = [ML^2T^{-2}]$. તેથી, $(1) - (c)$.
$(2)$ કોણીય વેગમાન $(L) = \text{જડત્વની ચાકમાત્રા} \times \text{કોણીય વેગ} = [ML^2] \times [T^{-1}] = [ML^2T^{-1}]$. તેથી, $(2) - (b)$.
$(3)$ રેખીય વેગમાન $(p) = \text{દળ} \times \text{વેગ} = [M] \times [LT^{-1}] = [MLT^{-1}]$. તેથી, $(3) - (a)$.
આમ, સાચી જોડ $1-c, 2-b, 3-a$ છે.

(N/A) પારિમાણિક સૂત્ર: જે પદાવલિ દર્શાવે છે કે ભૌતિક રાશિના પરિમાણોમાં કઈ અને કેટલી પાયાની રાશિઓનો સમાવેશ થાય છે,તેને પારિમાણિક સૂત્ર કહે છે.
ઘનતા એટલે એકમ કદ દીઠ દળ: $\rho = \frac{M}{V}$.
દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^0]$ છે.
કદનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^3 T^0]$ છે.
તેથી,ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[M^1 L^0 T^0]}{[M^0 L^3 T^0]} = [M^1 L^{-3} T^0]$ થાય.
પારિમાણિક સમીકરણ: જ્યારે કોઈ ભૌતિક રાશિને તેના પારિમાણિક સૂત્ર સાથે સરખાવવામાં આવે,ત્યારે મળતા સમીકરણને તે ભૌતિક રાશિનું પારિમાણિક સમીકરણ કહે છે.
આમ,ઘનતા માટેનું પારિમાણિક સમીકરણ $[\rho] = [M^1 L^{-3} T^0]$ છે.

(IMPULSE) $1$. $Ns$ (ન્યૂટન-સેકન્ડ) એ આઘાત (Impulse) અથવા વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો એકમ છે.
$2$. આઘાતને બળ અને સમયના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $J = F \times \Delta t$.
$3$. વેગમાન $(p)$ ને દળ અને વેગના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $p = m \times v$.
$4$. દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^0]$ છે અને વેગનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^1 T^{-1}]$ છે.
$5$. તેથી,વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-1}]$ થાય છે.

(A) આઘાત $(J)$ એ બળ $(F)$ અને તે બળ જેટલા સમયગાળા $(\Delta t)$ માટે લાગે છે,તેના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,$J = F \times \Delta t$.
બળ $(F)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}]$ છે.
સમય $(\Delta t)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^1]$ છે.
તેથી,આઘાતનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}] \times [T^1] = [M^1 L^1 T^{-1}]$ થાય.
આમ,સાચું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-1}]$ છે.

(A) સ્પ્રિંગ બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
તેથી,$k$ ના પરિમાણો $[k] = [F/x] = [MLT^{-2}] / [L] = [MT^{-2}]$ છે.
દળ $m$ ના પરિમાણો $[m] = [M]$ છે.
આમ,$\frac{k}{m}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[k/m] = [MT^{-2}] / [M] = [T^{-2}] = [M^0 L^0 T^{-2}]$ થાય છે.

(N/A) પાવર $(P)$ એટલે કાર્ય કરવાનો દર અથવા ઉર્જાના સ્થાનાંતરનો દર. ગાણિતિક રીતે,$P = \frac{W}{t}$.
કાર્ય $(W)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
સમય $(t)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T]$ છે.
તેથી,પાવરનું પારિમાણિક સૂત્ર:
$[P] = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[T]} = [ML^2T^{-3}]$ થાય.
પાવર એ અદિશ રાશિ છે કારણ કે તે બળ અને વેગનો અદિશ ગુણાકાર $(P = \vec{F} \cdot \vec{v})$ છે,અને તેને માત્ર મૂલ્ય હોય છે,દિશા હોતી નથી.

(A) આપેલ પદ $\frac{GM_e}{gr^2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM_e}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{GM_e}{r^2} = g$.
આ કિંમતને આપેલ પદમાં મૂકતા: $\frac{GM_e}{gr^2} = \frac{g}{g} = 1$.
$1$ એ પરિમાણરહિત રાશિ હોવાથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $M^0L^0T^0$ થાય છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $PV = \mu RT$ છે.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$R = \frac{PV}{\mu T}$ મળે છે.
અહીં,$P$ એ દબાણ છે,$V$ એ કદ છે,$\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $T$ એ તાપમાન છે.
પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$[P] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$
$[V] = [L^3]$
$[\mu] = [M^0 L^0 T^0] = [1]$ (પરિમાણરહિત)
$[T] = [K^1]$
આ કિંમતોને $R$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$[R] = \frac{[M^1 L^{-1} T^{-2}] [L^3]}{[1] [K^1]}$
$[R] = [M^1 L^2 T^{-2} K^{-1}]$

(N/A) સ્પ્રિંગ અચળાંક $(k)$ એ સ્પ્રિંગની જડતાનું માપ છે. હૂકના નિયમ મુજબ,તેને સ્પ્રિંગના એકમ વિસ્તરણ અથવા સંકોચન દીઠ લાગતા પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $F = -kx$
$1$. એકમ: સ્પ્રિંગ અચળાંકનો $SI$ એકમ $N/m$ (ન્યૂટન પ્રતિ મીટર) અથવા $kg/s^2$ છે.
$2$. પારિમાણિક સૂત્ર: $F = kx$ હોવાથી,$k = F/x$ થાય.
- બળ $(F)$ નું પરિમાણ $[MLT^{-2}]$ છે.
- સ્થાનાંતર $(x)$ નું પરિમાણ $[L]$ છે.
- તેથી,$k$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}] / [L] = [MT^{-2}]$ છે.

(N/A) વ્યાખ્યા: તરંગની આવૃત્તિ એટલે એકમ સમયમાં માધ્યમના કણ દ્વારા પૂર્ણ કરવામાં આવતા દોલનો કે ચક્રની સંખ્યા.
તે આવર્તકાળ $(T)$ નો વ્યસ્ત છે.
સૂત્ર: $f = \frac{1}{T}$.
પારિમાણિક સૂત્ર: સમય $(T)$ નું પરિમાણ $[T^1]$ હોવાથી,આવૃત્તિ $(f)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^{-1}]$ અથવા $[M^0 L^0 T^{-1}]$ થાય છે.