Dimensions and Dimensional Formula Questions in Gujarati

(A) ટોર્ક $( \tau)$ ને બળ અને પરિભ્રમણની ધરીથી લંબ અંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$ \tau = \text{બળ} \times \text{અંતર}$.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}]$ છે.
અંતરનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
તેથી,ટોર્કનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}] \times [L] = [M L^2 T^{-2}]$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) પ્રવાહીના સ્તર પર લાગતું સ્નિગ્ધતા બળ $F$ ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = -\eta A \frac{dv}{dx}$.
અહીં,$F$ એ બળ છે,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,અને $\frac{dv}{dx}$ એ વેગ પ્રચલન (velocity gradient) છે.
$\eta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$.
પારિમાણિક સૂત્રો મૂકતા: $[F] = [M L T^{-2}]$,$[A] = [L^2]$,$[dv] = [L T^{-1}]$,અને $[dx] = [L]$.
તેથી,$[\eta] = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2] [L T^{-1} / L]} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2] [T^{-1}]} = [M L^{-1} T^{-1}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) કોણીય વેગમાનનું સૂત્ર $L = mvr$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ,$v$ એ વેગ અને $r$ એ ત્રિજ્યા (અંતર) છે.
રેખીય વેગમાનનું સૂત્ર $p = mv$ છે.
કોણીય વેગમાન અને રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{L}{p} = \frac{mvr}{mv}$ થાય.
સામાન્ય પદો $m$ અને $v$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{L}{p} = r$ મળે છે.
અહીં $r$ એ અંતર અથવા લંબાઈ દર્શાવે છે,તેથી તેનું પરિમાણીય સૂત્ર $[M^0 L^1 T^0]$ છે.

(D) પૃષ્ઠતાણ એટલે પ્રવાહીની સપાટી પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ.
ગાણિતિક રીતે,$\text{પૃષ્ઠતાણ} = \frac{\text{બળ}}{\text{લંબાઈ}}$.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}]$ છે.
લંબાઈનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
તેથી,પૃષ્ઠતાણના પરિમાણો $\frac{[M L T^{-2}]}{[L]} = [M T^{-2}]$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચે લાગતું બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\,\frac{{{q_1}{q_2}}}{{{r^2}}}$
પરમિટિવિટી ${\varepsilon _0}$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
${\varepsilon _0} = \frac{{{q_1}{q_2}}}{{4\pi F{r^2}}}$
દરેક ભૌતિક રાશિના પરિમાણો મૂકતા:
$[q] = [AT]$
$[F] = [MLT^{-2}]$
$[r] = [L]$
તેથી,${\varepsilon _0}$ ના પરિમાણો:
$[{\varepsilon _0}] = \frac{[AT][AT]}{[MLT^{-2}][L^2]}$
$[{\varepsilon _0}] = \frac{[A^2T^2]}{[ML^3T^{-2}]}$
$[{\varepsilon _0}] = [A^2T^4M^{-1}L^{-3}]$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) દબાણનું પરિમાણ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $[P] = [F]/[A] = [MLT^{-2}]/[L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$.
પ્રતિબળ પણ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $[Stress] = [F]/[A] = [ML^{-1}T^{-2}]$.
સ્થિતિસ્થાપકતાનો અંક એ પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે. વિકૃતિ પરિમાણરહિત હોવાથી,સ્થિતિસ્થાપકતાના અંકનું પરિમાણ પ્રતિબળ જેટલું જ હોય છે: $[E] = [Stress]/[Strain] = [ML^{-1}T^{-2}] / [1] = [ML^{-1}T^{-2}]$.
આમ,ત્રણેય રાશિઓના પરિમાણો સમાન છે: $[ML^{-1}T^{-2}]$.

(B) પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ એ ઉર્જા $(E)$ અને આવૃત્તિ $(f)$ સાથે $E = hf$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે. તેથી,$h = E/f$. ઉર્જાનું પરિમાણ $[M L^2 T^{-2}]$ છે અને આવૃત્તિનું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે. આમ,$h$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [M L^2 T^{-1}]$ થાય છે.
કોણીય વેગમાન $(L)$ એ $L = mvr$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ દળ છે,$v$ વેગ છે અને $r$ ત્રિજ્યા છે. તેના પરિમાણો $[M] [L T^{-1}] [L] = [M L^2 T^{-1}]$ છે.
બંને રાશિઓના પરિમાણો $[M L^2 T^{-1}]$ સમાન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $1$. શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $(\varepsilon_0)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર:
કુલંબના નિયમ મુજબ,$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$.
તેથી,$\varepsilon_0 = \frac{q_1 q_2}{4\pi F r^2}$.
પરિમાણો: $[q] = [IT]$,$[F] = [MLT^{-2}]$,$[r] = [L]$.
કિંમતો મૂકતા: $[\varepsilon_0] = \frac{[IT][IT]}{[MLT^{-2}][L^2]} = \frac{I^2 T^2}{ML^3 T^{-2}} = M^{-1} L^{-3} T^4 I^2$.
$2$. શૂન્યાવકાશની પરમીબિલિટી $(\mu_0)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર:
બે સમાંતર તાર વચ્ચે લાગતા બળ પરથી,$F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2\pi r}$.
તેથી,$\mu_0 = \frac{F \cdot 2\pi r}{I_1 I_2 l}$.
પરિમાણો: $[F] = [MLT^{-2}]$,$[r] = [L]$,$[I] = [I]$,$[l] = [L]$.
કિંમતો મૂકતા: $[\mu_0] = \frac{[MLT^{-2}][L]}{[I][I][L]} = MLT^{-2}I^{-2}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) વિકૃતિ (Strain) એ પરિમાણમાં થતો ફેરફાર અને મૂળ પરિમાણનો ગુણોત્તર છે. તે બે સમાન ભૌતિક રાશિઓનો ગુણોત્તર હોવાથી,તે પરિમાણરહિત રાશિ છે.
કોણીય વેગના પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે.
રેખીય વેગમાનના પરિમાણ $[MLT^{-1}]$ છે.
કોણીય વેગમાનના પરિમાણ $[ML^2T^{-1}]$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) પ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = I L B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$B = \frac{F}{I L}$ મળે છે.
બળ $F$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}]$ છે.
વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A]$ છે.
લંબાઈ $L$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $B = \frac{[M L T^{-2}]}{[A] [L]} = [M L^0 T^{-2} A^{-1}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આંતર-પરમાણ્વીય બળ અચળાંક $K$ એ યંગ મોડ્યુલસ $Y$ અને આંતર-પરમાણ્વીય અંતર $r_0$ સાથે $K = Y \times r_0$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
અંતર $r_0$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
તેથી,$K$ ના પરિમાણો $[M L^{-1} T^{-2}] \times [L] = [M T^{-2}]$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) અવરોધકતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{R \cdot A}{l}$ છે.
અહીં,અવરોધ $R$ નું પરિમાણ $[M{L^2}{T^{ - 1}}{Q^{ - 2}}]$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નું પરિમાણ $[L^2]$ છે.
લંબાઈ $l$ નું પરિમાણ $[L]$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$[\rho] = \frac{[M{L^2}{T^{ - 1}}{Q^{ - 2}}] \cdot [L^2]}{[L]} = [M{L^3}{T^{ - 1}}{Q^{ - 2}}]$.
આમ,આપેલ પરિમાણ અવરોધકતાનું છે.

(A) વિદ્યુત પ્રવાહ $(I)$ એ સમય $(t)$ ની સાપેક્ષમાં વિદ્યુતભાર $(Q)$ ના વહનનો દર છે.
ગાણિતિક રીતે,$I = \frac{Q}{t}$.
પરિમાણીય વિશ્લેષણની દ્રષ્ટિએ,વિદ્યુતભારનું પરિમાણ $[Q]$ છે અને સમયનું પરિમાણ $[T]$ છે.
તેથી,વિદ્યુત પ્રવાહનું પરિમાણ $[I] = \frac{[Q]}{[T]} = [M^0L^0T^{-1}Q]$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ટોર્ક $( au)$ માટેનું પરિમાણીય સૂત્ર: $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
કોણીય વેગમાન $(L)$ માટેનું પરિમાણીય સૂત્ર: $[M^1 L^2 T^{-1}]$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,દળ $(M)$ અને લંબાઈ $(L)$ ના પરિમાણો બંને સૂત્રોમાં સમાન છે (અનુક્રમે $M^1$ અને $L^2$).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M]$ છે.
લંબાઈનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
તેથી,આપેલ પદનું પારિમાણિક સૂત્ર:
$\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[M] \times [L]} = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[M L]} = [L T^{-2}]$
$[L T^{-2}]$ એ પ્રવેગનું પારિમાણિક સૂત્ર છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) લ્યુમિનસ ફ્લક્સને પ્રકાશ ઉર્જાના વહનનો દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે રેડિયન્ટ પાવર (radiant power) ને સમકક્ષ છે.
લ્યુમિનસ ફ્લક્સનો $SI$ એકમ લ્યુમેન $(lm)$ છે,જે પાવરનો એક એકમ છે.
તેથી,લ્યુમિનસ ફ્લક્સના પરિમાણો પાવરના પરિમાણો સમાન હોય છે.
પાવર $(P)$ ને એકમ સમય $(t)$ માં થયેલ કાર્ય $(W)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $P = W / t$.
કાર્યના પરિમાણો $[M L^2 T^{-2}]$ છે અને સમયના પરિમાણો $[T]$ છે.
આમ,પાવરના પરિમાણો $[M L^2 T^{-2}] / [T] = [M L^2 T^{-3}]$ થાય છે.

(D) આપેલ ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$1$. પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ = $[M{L^2}{T^{ - 1}}]$ અને કોણીય વેગમાન $(L)$ = $[M{L^2}{T^{ - 1}}]$. તેમના પરિમાણો સમાન છે.
$2$. કાર્ય $(W)$ = $[M{L^2}{T^{ - 2}}]$ અને ઉર્જા $(E)$ = $[M{L^2}{T^{ - 2}}]$. તેમના પરિમાણો સમાન છે.
$3$. દબાણ $(P)$ = $[M{L^{ - 1}}{T^{ - 2}}]$ અને યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ = $[M{L^{ - 1}}{T^{ - 2}}]$. તેમના પરિમાણો સમાન છે.
$4$. ટોર્ક $( au)$ = $[M{L^2}{T^{ - 2}}]$ અને જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$ = $[M{L^2}]$. તેમના પરિમાણો સમાન નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ઉર્જાનું પરિમાણીય સૂત્ર $[M{L^2}{T^{ - 2}}]$ છે.
ગુપ્ત ઉષ્મા $(L)$ એ એકમ દળ $(m)$ દીઠ ઉષ્મા ઉર્જા $(Q)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $L = \frac{Q}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિમાણો મૂકતા: $L = \frac{[M{L^2}{T^{ - 2}}]}{[M]} = [M^0{L^2}{T^{ - 2}}]$.
તેથી,પરિમાણીય સૂત્ર ${M^0}{L^2}{T^{ - 2}}$ એ ગુપ્ત ઉષ્મા દર્શાવે છે.

(A) કેપેસિટન્સ $C$ એ વિદ્યુતભાર $Q$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $C = \frac{Q}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતભાર $Q$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[AT]$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-3}A^{-1}]$ છે.
આ કિંમતોને $C$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$C = \frac{[AT]}{[ML^2T^{-3}A^{-1}]} = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) વીજભાર $(Q)$ નું સૂત્ર વિદ્યુત પ્રવાહ $(I)$ અને સમય $(t)$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q = I \times t$
વિદ્યુત પ્રવાહ $(I)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A]$ છે અને સમય $(t)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T]$ છે,તેથી વીજભારનું પારિમાણિક સૂત્ર $[AT]$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સ્નિગ્ધતા બળનું સૂત્ર $F = - \eta A \frac{\Delta v}{\Delta z}$ છે.
$\eta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\eta = \frac{F}{A (\Delta v / \Delta z)}$ મળે.
દરેક ભૌતિક રાશિના પરિમાણો મૂકતા:
બળ $F = [M L T^{-2}]$
ક્ષેત્રફળ $A = [L^2]$
વેગ પ્રચલન $\frac{\Delta v}{\Delta z} = \frac{[L T^{-1}]}{[L]} = [T^{-1}]$
હવે,$\eta$ ના પરિમાણોની ગણતરી કરતા:
$[\eta] = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2] [T^{-1}]} = [M L^{1-2} T^{-2+1}] = [M L^{-1} T^{-1}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સ્નિગ્ધ અવમંદન બળ $F$ એ વેગ $v$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી આપણે લખી શકીએ $F = kv$,જ્યાં $k$ એ સમપ્રમાણતાનો અચળાંક છે.
$k$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$k = \frac{F}{v}$ મળે.
બળ $F$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}]$ છે.
વેગ $v$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L T^{-1}]$ છે.
આ કિંમતોને $k$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$[k] = \frac{[M L T^{-2}]}{[L T^{-1}]} = [M L^0 T^{-1}]$.
તેથી,સાચું પારિમાણિક સૂત્ર $M L^0 T^{-1}$ છે.

(D) $emf$ (ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ) ને એકમ વીજભાર દીઠ થતા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$emf = \frac{W}{Q}$
કાર્ય $(W)$ ના પરિમાણો $[M{L^2}{T^{ - 2}}]$ છે અને વીજભારનું પરિમાણ $[Q]$ છે,
તેથી,$[emf] = \frac{[M{L^2}{T^{ - 2}}]}{[Q]} = [M{L^2}{T^{ - 2}}{Q^{ - 1}}]$

(D) ગુરુત્વાકર્ષણના અચળાંક $(G)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1}L^3T^{-2}]$ છે.
પ્લાન્કના અચળાંક $(h)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-1}]$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સનો પાવર એ કેન્દ્રલંબાઈના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^{-1}]$ છે.
આમ,આપેલી તમામ રાશિઓ પરિમાણ ધરાવે છે,તેથી તેમાંથી કોઈ પણ પરિમાણરહિત નથી.

$(A)$ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k)$ એ આદર્શ વાયુ અચળાંક $(R)$ અને એવોગેડ્રો આંક $(N_A)$ સાથે $k = R / N_A$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $R = PV / (nT)$.
દબાણ $(P)$ ના પરિમાણો $[M L^{-1} T^{-2}]$,કદ $(V)$ ના $[L^3]$,પદાર્થનો જથ્થો $(n)$ ના $[\text{mol}]$ અને તાપમાન $(T)$ ના $[\theta]$ છે.
આમ,$R$ ના પરિમાણો $[M L^{-1} T^{-2}] \cdot [L^3] / ([\text{mol}] \cdot [\theta]) = [M L^2 T^{-2} \theta^{-1} \text{mol}^{-1}]$ થાય છે.
એવોગેડ્રો આંક $(N_A)$ એ પરિમાણરહિત રાશિ હોવાથી,બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k)$ ના પરિમાણો $[M L^2 T^{-2} \theta^{-1}]$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $W = \frac{1}{2}K{x^2}$ છે,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
કાર્ય $W$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
સ્થાનાંતર $x$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^1]$ છે.
$K$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $K = \frac{2W}{x^2}$ મળે છે.
પરિમાણો મૂકતા: $[K] = \frac{[M^1 L^2 T^{-2}]}{[L^1]^2} = \frac{[M^1 L^2 T^{-2}]}{[L^2]} = [M^1 L^0 T^{-2}]$.
આમ,$K$ ના પરિમાણો $[M^1 L^0 T^{-2}]$ છે.

(C) આપેલ ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણ નીચે મુજબ છે:
$1$. ઝડપ: $[LT^{-1}]$ અને ${({\mu _0}{\varepsilon _0})^{-1/2}} = c$ (પ્રકાશની ઝડપ): $[LT^{-1}]$. તેમના પરિમાણ સમાન છે.
$2$. ટોર્ક: $[ML^2T^{-2}]$ અને કાર્ય: $[ML^2T^{-2}]$. તેમના પરિમાણ સમાન છે.
$3$. વેગમાન: $[MLT^{-1}]$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક: $[ML^2T^{-1}]$. તેમના પરિમાણ સમાન નથી.
$4$. સ્ટ્રેસ: $[ML^{-1}T^{-2}]$ અને યંગ મોડ્યુલસ: $[ML^{-1}T^{-2}]$. તેમના પરિમાણ સમાન છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ઓમના નિયમ મુજબ,$R = \frac{V}{I}$.
પ્રથમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ ના પરિમાણો શોધો: $V = \frac{W}{q} = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[A T]} = [M L^2 T^{-3} A^{-1}]$.
હવે,$V$ અને $I$ ના પરિમાણોને $R$ ના સૂત્રમાં મૂકો:
$R = \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-1}]}{[A]} = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સાપેક્ષ ઘનતા એટલે પદાર્થની ઘનતા અને $4^{\circ}C$ તાપમાને પાણીની ઘનતાનો ગુણોત્તર.
$\text{સાપેક્ષ ઘનતા} = \frac{\text{પદાર્થની ઘનતા}}{\text{પાણીની ઘનતા}}$
અંશ અને છેદ બંનેના પરિમાણ સમાન $([M L^{-3}])$ હોવાથી,તેઓ એકબીજાને રદ કરે છે.
તેથી,સાપેક્ષ ઘનતા એ પરિમાણરહિત રાશિ છે,જેને $[M^0 L^0 T^0]$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) સ્થિતિ ઉર્જા એ સંરક્ષી બળ વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર $U = mgh$ છે.
દળ $m$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1]$ છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[LT^{-2}]$ છે.
ઊંચાઈ $h$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^1]$ છે.
તેથી,સ્થિતિ ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1] \times [LT^{-2}] \times [L^1] = [ML^2T^{-2}]$ થાય છે.

(D) દબાણ પ્રચલનનું પારિમાણિક સૂત્ર નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: $\frac{P}{x} = \frac{[M L^{-1} T^{-2}]}{[L]} = [M L^{-2} T^{-2}]$.
$1$. વેગ પ્રચલન: $\frac{v}{x} = \frac{[L T^{-1}]}{[L]} = [T^{-1}]$.
$2$. સ્થિતિમાન પ્રચલન: $\frac{V}{x} = \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-1}]}{[L]} = [M L T^{-3} A^{-1}]$.
$3$. ઉર્જા પ્રચલન: $\frac{E}{x} = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L]} = [M L T^{-2}]$.
આમ,દબાણ પ્રચલનનું પારિમાણિક સૂત્ર આપેલા કોઈપણ વિકલ્પો સાથે મેળ ખાતું નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$R = \frac{PV}{nT}$ મળે.
દબાણ $P$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
કદ $V$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^3]$ છે.
તાપમાન $T$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[\theta]$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{[M L^{-1} T^{-2}] \times [L^3]}{[\theta]} = [M L^2 T^{-2} \theta^{-1}]$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) કઈ જોડીના પરિમાણો સમાન નથી તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેકના પારિમાણિક સૂત્રોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. જડત્વની ચાકમાત્રા $(I = MR^2)$ ના પરિમાણો $[ML^2T^0]$ છે. બળની ચાકમાત્રા (ટોર્ક,$\tau = r \times F$) ના પરિમાણો $[ML^2T^{-2}]$ છે. આ સમાન નથી.
$2$. કાર્ય $(W = F \cdot d)$ ના પરિમાણો $[ML^2T^{-2}]$ છે. ટોર્ક $(\tau = r \times F)$ ના પરિમાણો $[ML^2T^{-2}]$ છે. આ સમાન છે.
$3$. કોણીય વેગમાન $(L = mvr)$ ના પરિમાણો $[ML^2T^{-1}]$ છે. પ્લાન્કનો અચળાંક $(h = E/f)$ ના પરિમાણો $[ML^2T^{-1}]$ છે. આ સમાન છે.
$4$. આઘાત $(J = F \Delta t)$ ના પરિમાણો $[MLT^{-1}]$ છે. વેગમાન $(p = mv)$ ના પરિમાણો $[MLT^{-1}]$ છે. આ સમાન છે.
તેથી,જે જોડીના પરિમાણો સમાન નથી તે જડત્વની ચાકમાત્રા અને બળની ચાકમાત્રા છે.

(D) પરિમાણીય અચળાંક એ એવી ભૌતિક રાશિ છે જે પરિમાણ ધરાવે છે અને તેનું મૂલ્ય અચળ હોય છે.
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ પૃથ્વીની સપાટી પર સ્થાન સાથે બદલાય છે.
$2$. પાણીનું પૃષ્ઠતાણ તાપમાન સાથે બદલાય છે.
$3$. પ્રમાણિત કિલોગ્રામ દળનું વજન સ્થાનિક ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર પર આધાર રાખે છે.
$4$. શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ $(c)$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક છે જેનું મૂલ્ય આશરે $3 \times 10^{8} \ m/s$ છે અને તે $[LT^{-1}]$ ના પરિમાણ ધરાવે છે.
તેથી,શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ એ પરિમાણીય અચળાંક છે.

(C) પૃષ્ઠતાણ $(T)$ ને એકમ લંબાઈ $(l)$ દીઠ લાગતા બળ $(F)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$T = \frac{F}{l}$.
બળ $(F)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે.
લંબાઈ $(l)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
તેથી,પૃષ્ઠતાણનું પારિમાણિક સૂત્ર $T = \frac{[MLT^{-2}]}{[L]} = [ML^0T^{-2}]$ થાય છે.

(D) સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $\varepsilon_r$ (જેને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ માધ્યમની પરમિટિવિટી $\varepsilon$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ નો ગુણોત્તર છે.
ગાણિતિક રીતે,$\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$.
$\varepsilon$ અને $\varepsilon_0$ બંને સમાન પરિમાણ ધરાવતા હોવાથી,તેમનો ગુણોત્તર એક પરિમાણરહિત ભૌતિક રાશિ છે.
તેથી,$\varepsilon_r$ ને કોઈ પરિમાણ નથી,એટલે કે $[M^0 L^0 T^0 A^0]$.

(B) કુલંબના નિયમ મુજબ,બે વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું બળ $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$ છે.
પરમિટિવિટિ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$\epsilon_0 = \frac{q_1 q_2}{4 \pi F r^2}$ મળે છે.
વિદ્યુતભાર $(q)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[AT]$,બળ $(F)$ નું $[MLT^{-2}]$ અને અંતર $(r)$ નું $[L]$ છે.
આ પરિમાણોને મૂકતા: $\epsilon_0 = \frac{[AT][AT]}{[MLT^{-2}][L^2]} = \frac{[A^2T^2]}{[ML^3T^{-2}]}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$ મળે છે.

(B) કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચે લાગતું બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$
$\varepsilon_0$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\varepsilon_0 = \frac{q_1 q_2}{4\pi F r^2}$
પારિમાણિક સૂત્રો મૂકતા:
$[q] = [AT]$,$[F] = [MLT^{-2}]$,$[r] = [L]$
$[\varepsilon_0] = \frac{[AT][AT]}{[MLT^{-2}][L^2]} = \frac{[A^2 T^2]}{[ML^3 T^{-2}]}$
$[\varepsilon_0] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$

(A) ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$R = \frac{V}{I}$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{W}{q}$,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે અને $q$ એ વિદ્યુતભાર છે,તેથી $R = \frac{W}{qI}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $q = I \times T$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $R = \frac{W}{(I \times T) \times I} = \frac{W}{I^2 T}$.
કાર્ય $W$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1L^2T^{-2}]$,વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ નું $[I^1]$ અને સમય $T$ નું $[T^1]$ છે.
તેથી,$R$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[M^1L^2T^{-2}]}{[I^2][T^1]} = [M^1L^2T^{-3}I^{-2}]$ થાય છે.

(D) રેખીય ઘનતા $m$ ના પરિમાણો $\frac{\text{દળ}}{\text{લંબાઈ}} = [ML^{-1}]$ છે.
બળ $A$ ના પરિમાણો $[MLT^{-2}]$ છે.
આપેલ સંબંધ $A/B = m$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $B = A/m$.
પરિમાણો મૂકતા: $B = \frac{[MLT^{-2}]}{[ML^{-1}]} = [L^2T^{-2}]$.
ગલન ગુપ્ત ઉષ્માને એકમ દળ દીઠ ઊર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[M]} = [L^2T^{-2}]$.
આમ,$B$ ના પરિમાણો ગલન ગુપ્ત ઉષ્માના પરિમાણો સમાન છે.

(C) પરિમાણરહિત રાશિ એટલે એવી રાશિ કે જેને કોઈ ભૌતિક પરિમાણ હોતું નથી.
જોકે,પરિમાણરહિત રાશિ પાસે માપનનો એકમ હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,સમતલ કોણ (Plane Angle) રેડિયન $(rad)$ માં માપવામાં આવે છે અને ઘનકોણ (Solid Angle) સ્ટેરેડિયન $(sr)$ માં માપવામાં આવે છે,છતાં બંને પરિમાણરહિત રાશિઓ છે કારણ કે તેઓ અનુક્રમે બે લંબાઈ અથવા બે ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

(A) પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-1}]$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું પરિમાણ $[M L^2]$ છે.
તેમનો ગુણોત્તર $\frac{h}{I} = \frac{[M L^2 T^{-1}]}{[M L^2]} = [T^{-1}]$ થાય છે.
પરિમાણ $[T^{-1}]$ એ આવૃત્તિ દર્શાવે છે.

(B) ઓમના નિયમ મુજબ,$V = IR$,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
તેથી,$R = \frac{V}{I}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{W}{q}$,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે અને $q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
કાર્ય $W$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{2}T^{-2}]$ છે અને વિદ્યુતભાર $q$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[AT]$ છે.
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[V] = \frac{[ML^{2}T^{-2}]}{[AT]} = [ML^{2}T^{-3}A^{-1}]$ થાય.
અવરોધના સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા:
$[R] = \frac{[ML^{2}T^{-3}A^{-1}]}{[A]} = [ML^{2}T^{-3}A^{-2}]$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કોઈપણ ભૌતિક રાશિ $Q$ નું પ્રચલન (gradient) અંતરની સાપેક્ષમાં તે રાશિના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\frac{dQ}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ પ્રચલન એકમરહિત હોય તે માટે,અંશ $Q$ ના પરિમાણો અને છેદ $x$ (જે લંબાઈ છે,$L$) ના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. વેગ પ્રચલન: $\frac{[LT^{-1}]}{[L]} = [T^{-1}]$,જેનો એકમ $s^{-1}$ છે.
$2$. દબાણ પ્રચલન: $\frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[L]} = [ML^{-2}T^{-2}]$,જેનો એકમ $Pa/m$ છે.
$3$. સ્થાનાંતર પ્રચલન: $\frac{[L]}{[L]} = [M^0L^0T^0]$,જે પરિમાણરહિત અને એકમરહિત છે.
$4$. બળ પ્રચલન: $\frac{[MLT^{-2}]}{[L]} = [MT^{-2}]$,જેનો એકમ $N/m$ છે.
તેથી,સ્થાનાંતર પ્રચલન એ એકમરહિત રાશિ છે.

(B) આપેલ તરંગ સમીકરણ $Y = A \sin \omega \left( \frac{x}{v} - k \right)$ માં,સાઈન વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણ રહિત હોવો જોઈએ.
વધુમાં,કૌંસની અંદરના પદોની બાદબાકી કરવા માટે તેમના પરિમાણ સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$k$ નું પરિમાણ એ $\frac{x}{v}$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
$x$ (અંતર) નું પરિમાણ $[L]$ છે.
$v$ (વેગ) નું પરિમાણ $[LT^{-1}]$ છે.
આમ,$k$ નું પરિમાણ $= \frac{[L]}{[LT^{-1}]} = [T]$ થાય.

(C) ભૌતિક રાશિના પરિમાણો એટલે કે મૂળભૂત એકમો પર ચડાવવામાં આવતા ઘાતાંકો,જે તે ભૌતિક રાશિને દર્શાવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,એકમરહિત રાશિ એવી છે કે જેનો કોઈ માપન એકમ હોતો નથી.
એકમો મૂળભૂત રાશિઓમાંથી મેળવવામાં આવતા હોવાથી,જો કોઈ રાશિને એકમ ન હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે તમામ મૂળભૂત રાશિઓ $(M, L, T)$ ના ઘાતાંકો શૂન્ય છે.
તેથી,એકમરહિત રાશિ હંમેશા પરિમાણરહિત હોય છે.
ઉદાહરણોમાં ખૂણો (ચાપની લંબાઈ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર),સ્થિતિસ્થાપક વિકૃતિ (લંબાઈમાં ફેરફાર અને મૂળ લંબાઈનો ગુણોત્તર) અને પોઈસનનો ગુણોત્તરનો સમાવેશ થાય છે.