Average Velocity and Average Speed Questions in Hindi

(D) माना कुल दूरी $2d$ है।
व्यक्ति $d$ दूरी $v_1$ वेग से और शेष $d$ दूरी $v_2$ वेग से तय करता है।
पहली आधी दूरी के लिए लगा समय $t_1 = \frac{d}{v_1}$ है।
दूसरी आधी दूरी के लिए लगा समय $t_2 = \frac{d}{v_2}$ है।
औसत वेग $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{t_1 + t_2}$.
मान रखने पर: $v_{avg} = \frac{2d}{\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}} = \frac{2d}{d(\frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2})} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) जब कोई वस्तु $d$ दूरी $v_1$ गति से तय करती है और उतनी ही दूरी $d$ वापस $v_2$ गति से तय करती है,तो औसत गति का सूत्र इस प्रकार है:
$\text{औसत गति} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$
यहाँ $v_1 = 20\,km/hr$ और $v_2 = 30\,km/hr$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\text{औसत गति} = \frac{2 \times 20 \times 30}{20 + 30}$
$\text{औसत गति} = \frac{1200}{50}$
$\text{औसत गति} = 24\,km/hr$
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(B) जब यात्रा के दोनों भागों के लिए दूरी समान हो,तो औसत चाल का सूत्र है: $v_{avg} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$।
यहाँ,$v_1 = 2.5\, km/h$ और $v_2 = 4\, km/h$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$v_{avg} = \frac{2 \times 2.5 \times 4}{2.5 + 4}$
$v_{avg} = \frac{20}{6.5}$
$v_{avg} = \frac{200}{65} = \frac{40}{13}\, km/h$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) जब कोई वस्तु समान दूरी को दो अलग-अलग गति $v_1$ और $v_2$ से तय करती है,तो औसत गति का सूत्र: $\text{औसत गति} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$ होता है।
यहाँ $v_1 = 30 \, km/hr$ और $v_2 = 50 \, km/hr$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\text{औसत गति} = \frac{2 \times 30 \times 50}{30 + 50}$.
$\text{औसत गति} = \frac{3000}{80}$.
$\text{औसत गति} = \frac{300}{8} = 37.5 \, km/hr$.

(D) माना कुल दूरी $x$ है।
पहली एक-तिहाई दूरी $(x/3)$ को $v_1 = 20 \, km/hr$ की गति से तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{x/3}{20} = \frac{x}{60} \, hr$ है।
शेष दो-तिहाई दूरी $(2x/3)$ को $v_2 = 60 \, km/hr$ की गति से तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{2x/3}{60} = \frac{2x}{180} = \frac{x}{90} \, hr$ है।
औसत चाल कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: $v_{avg} = \frac{x}{t_1 + t_2}$.
$v_{avg} = \frac{x}{\frac{x}{60} + \frac{x}{90}} = \frac{1}{\frac{1}{60} + \frac{1}{90}}$.
हर समान करने पर: $\frac{1}{60} + \frac{1}{90} = \frac{3+2}{180} = \frac{5}{180} = \frac{1}{36}$.
अतः,$v_{avg} = \frac{1}{1/36} = 36 \, km/hr$.

(A) जब कोई वस्तु समान समय अंतराल के लिए अलग-अलग गति $v_1$ और $v_2$ से चलती है,तो औसत गति उन गतियों के अंकगणितीय माध्य के बराबर होती है।
औसत गति $v_{avg} = \frac{v_1 + v_2}{2}$.
यहाँ $v_1 = 80 \, km/h$ और $v_2 = 40 \, km/h$ दिया गया है।
$v_{avg} = \frac{80 + 40}{2} = \frac{120}{2} = 60 \, km/h$.
अतः,कार की औसत गति $60 \, km/h$ है।

(B) पहले $1\, h$ में ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी $d_1 = 60\, km/h \times 1\, h = 60\, km$ है।
अगले $0.5\, h$ में ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी $d_2 = 40\, km/h \times 0.5\, h = 20\, km$ है।
कुल तय की गई दूरी $D = d_1 + d_2 = 60\, km + 20\, km = 80\, km$ है।
कुल लगा समय $T = 1\, h + 0.5\, h = 1.5\, h = 3/2\, h$ है।
औसत गति का सूत्र $\text{औसत गति} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{80}{1.5} = \frac{80}{3/2} = \frac{160}{3} \approx 53.33\, km/h$ है।

(D) औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी है।
$r = 10\,m$ त्रिज्या वाले अर्धवृत्त पर गति करने वाले कण के लिए,विस्थापन वृत्त के व्यास के बराबर होता है।
विस्थापन $= 2r = 2 \times 10\,m = 20\,m$.
कुल समय $= 5\,s$.
औसत वेग $= \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{20\,m}{5\,s} = 4\,m/s$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) बाजार तक पहुँचने में लगा समय: $t_1 = \frac{d}{v_1} = \frac{2.5 \,km}{5 \,km/h} = 0.5 \,h = 30 \,min$.
चूंकि कुल समयांतराल $40 \,min$ है,इसलिए वापस आते समय लगा समय $t_2 = 40 \,min - 30 \,min = 10 \,min = \frac{10}{60} \,h = \frac{1}{6} \,h$ है।
वापस आते समय तय की गई दूरी: $d_2 = v_2 \times t_2 = 7.5 \,km/h \times \frac{1}{6} \,h = 1.25 \,km$.
कुल तय की गई दूरी: $D = 2.5 \,km + 1.25 \,km = 3.75 \,km$.
कुल समय: $T = 40 \,min = \frac{40}{60} \,h = \frac{2}{3} \,h$.
औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{3.75 \,km}{(2/3) \,h} = 3.75 \times 1.5 = 5.625 \,km/h = \frac{45}{8} \,km/h$.

(B) औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जबकि औसत चाल कुल दूरी और कुल समय का अनुपात है।
गणितीय रूप से,$\text{औसत वेग} = \frac{\text{विस्थापन}}{\text{समय}}$ और $\text{औसत चाल} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$.
अतः,अनुपात $\frac{|\text{औसत वेग}|}{|\text{औसत चाल}|} = \frac{|\text{विस्थापन}|}{\text{दूरी}}$ होगा।
चूंकि विस्थापन का परिमाण हमेशा तय की गई दूरी से कम या उसके बराबर होता है $(|\text{विस्थापन}| \le \text{दूरी})$,इसलिए अनुपात $\le 1$ होना चाहिए।
इस प्रकार,अनुपात इकाई या उससे कम होता है।

(B) मान लीजिए कि कुल समय $T$ है। व्यक्ति पहले आधे समय $t = \frac{T}{2}$ के लिए $v_1$ वेग से यात्रा करता है,इसलिए तय की गई दूरी $s_1 = v_1 \times \frac{T}{2}$ है।
व्यक्ति अगले आधे समय $t = \frac{T}{2}$ के लिए $v_2$ वेग से यात्रा करता है,इसलिए तय की गई दूरी $s_2 = v_2 \times \frac{T}{2}$ है।
औसत वेग $V$ को कुल विस्थापन और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$V = \frac{s_1 + s_2}{T} = \frac{v_1(T/2) + v_2(T/2)}{T} = \frac{(v_1 + v_2)(T/2)}{T} = \frac{v_1 + v_2}{2}$.

(B) औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कुल विस्थापन $S = S_1 + S_2 + S_3 = (v_1 \times t_1) + (v_2 \times t_2) + (v_3 \times t_3)$.
यहाँ $v_1 = 3 \,m/s$,$v_2 = 4 \,m/s$,$v_3 = 5 \,m/s$ और $t_1 = t_2 = t_3 = 20 \,s$ दिया गया है।
$S = (3 \times 20) + (4 \times 20) + (5 \times 20) = 60 + 80 + 100 = 240 \,m$.
कुल समय $T = 20 + 20 + 20 = 60 \,s$.
औसत वेग $v_{avg} = \frac{S}{T} = \frac{240}{60} = 4 \,m/s$.
चूंकि समय अंतराल समान हैं,इसलिए औसत वेग वेगों का अंकगणितीय माध्य होगा: $v_{avg} = \frac{v_1 + v_2 + v_3}{3} = \frac{3 + 4 + 5}{3} = 4 \,m/s$.

(C) माना कुल दूरी $2d$ है। कार पहली आधी दूरी $d$,$v_1 = 40 \, km/h$ के वेग से और दूसरी आधी दूरी $d$,$v_2 = 60 \, km/h$ के वेग से तय करती है।
पहली आधी दूरी के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{d}{v_1} = \frac{d}{40}$ है।
दूसरी आधी दूरी के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{d}{v_2} = \frac{d}{60}$ है।
औसत वेग $v_{av} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{t_1 + t_2} = \frac{2d}{\frac{d}{40} + \frac{d}{60}}$.
$v_{av} = \frac{2}{\frac{1}{40} + \frac{1}{60}} = \frac{2}{\frac{3+2}{120}} = \frac{2 \times 120}{5} = \frac{240}{5} = 48 \, km/h$.

(A) माना कुल दूरी $x$ है। पहली आधी दूरी $x/2$,$v_1 = 3 \, m/s$ की चाल से तय की जाती है। लगा समय $t_1 = \frac{x/2}{3} = \frac{x}{6}$ है।
दूसरी आधी दूरी $x/2$ को दो समान समयांतरालों में तय किया जाता है,मान लीजिए प्रत्येक अंतराल $t_2$ है। चालें $v_2 = 4.5 \, m/s$ और $v_3 = 7.5 \, m/s$ हैं।
दूसरी आधी दूरी में तय की गई दूरी $(v_2 \cdot t_2) + (v_3 \cdot t_2) = x/2$ है।
$(4.5 + 7.5) t_2 = x/2 \Rightarrow 12 t_2 = x/2 \Rightarrow t_2 = x/24$.
दूसरी आधी दूरी के लिए कुल समय $2 t_2 = 2(x/24) = x/12$ है।
कुल समय $T = t_1 + 2 t_2 = \frac{x}{6} + \frac{x}{12} = \frac{2x + x}{12} = \frac{3x}{12} = \frac{x}{4}$ है।
औसत चाल $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{x}{x/4} = 4 \, m/s$।

(B) औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
विस्थापन प्रारंभिक बिंदु $A$ और अंतिम बिंदु $B$ के बीच की न्यूनतम दूरी है।
चूंकि कण $1.0 \, m$ त्रिज्या के अर्धवृत्त पर गति करता है,इसलिए विस्थापन अर्धवृत्त के व्यास के बराबर होता है।
विस्थापन $= 2 \times r = 2 \times 1.0 \, m = 2.0 \, m$.
लिया गया समय $1.0 \, s$ है।
अतः,औसत वेग का परिमाण $= \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{2.0 \, m}{1.0 \, s} = 2.0 \, m/s$.

(D) माना कुल दूरी $x$ है।
दूरी के पहले भाग $(d_1 = \frac{2}{5}x)$ को $v_1$ चाल से तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{2x}{5v_1}$ है।
दूरी के दूसरे भाग $(d_2 = \frac{3}{5}x)$ को $v_2$ चाल से तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{3x}{5v_2}$ है।
औसत चाल को कुल दूरी और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\text{औसत चाल} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{x}{t_1 + t_2}$
$t_1$ और $t_2$ के मान रखने पर:
$\text{औसत चाल} = \frac{x}{\frac{2x}{5v_1} + \frac{3x}{5v_2}}$
$\text{औसत चाल} = \frac{x}{\frac{2xv_2 + 3xv_1}{5v_1 v_2}}$
$\text{औसत चाल} = \frac{5v_1 v_2}{3v_1 + 2v_2}$

(B) माना कुल दूरी $d = 200 \; m$ है। पहली आधी दूरी $d_1 = 100 \; m$ है और दूसरी आधी दूरी $d_2 = 100 \; m$ है।
पहली आधी दूरी के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{100}{40} \; h$ है।
दूसरी आधी दूरी के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{d_2}{v} = \frac{100}{v} \; h$ है।
औसत गति $v_{avg}$ का सूत्र है: $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{d}{t_1 + t_2}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $48 = \frac{200}{\frac{100}{40} + \frac{100}{v}}$.
अंश और हर को $100$ से विभाजित करने पर: $48 = \frac{2}{\frac{1}{40} + \frac{1}{v}}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{40} + \frac{1}{v} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{24} - \frac{1}{40} = \frac{5 - 3}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$.
अतः,$v = 60 \; km/h$।

(C) माना कुल दूरी $x$ है।
यात्रा के पहले भाग $(d_1 = x/3)$ के लिए $v_1 = 20 \, km/hr$ की चाल पर लगा समय $t_1 = \frac{x/3}{20} = \frac{x}{60} \, hr$ है।
यात्रा के शेष भाग $(d_2 = 2x/3)$ के लिए $v_2 = 60 \, km/hr$ की चाल पर लगा समय $t_2 = \frac{2x/3}{60} = \frac{2x}{180} = \frac{x}{90} \, hr$ है।
कुल समय $T = t_1 + t_2 = \frac{x}{60} + \frac{x}{90} = \frac{3x + 2x}{180} = \frac{5x}{180} = \frac{x}{36} \, hr$ है।
औसत चाल $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{x}{x/36} = 36 \, km/hr$ है।

(C) औसत चाल कुल तय की गई दूरी और कुल लिए गए समय का अनुपात होती है।
मान लीजिए $X$ और $Y$ के बीच की दूरी $d$ है।
$X$ से $Y$ तक जाने में लगा समय $t_1 = \frac{d}{v_1}$ है।
$Y$ से $X$ तक वापस आने में लगा समय $t_2 = \frac{d}{v_2}$ है।
कुल दूरी $= d + d = 2d$.
कुल समय $= t_1 + t_2 = \frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$.
औसत चाल $\bar v = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}}$.
अंश और हर से $d$ को काटने पर,हमें $\bar v = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{2}{\bar v} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना कुल दूरी $d$ है। कण पहली आधी दूरी $(d/2)$ $v_1$ चाल से और दूसरी आधी दूरी $(d/2)$ $v_2$ चाल से तय करता है।
पहली आधी दूरी के लिए लगा समय,$t_1 = \frac{d/2}{v_1} = \frac{d}{2v_1}$.
दूसरी आधी दूरी के लिए लगा समय,$t_2 = \frac{d/2}{v_2} = \frac{d}{2v_2}$.
औसत चाल कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:
$v_{av} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{d}{t_1 + t_2}$.
$t_1$ और $t_2$ के मान रखने पर:
$v_{av} = \frac{d}{\frac{d}{2v_1} + \frac{d}{2v_2}} = \frac{d}{\frac{d}{2} (\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2})} = \frac{1}{\frac{1}{2} (\frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2})}$.
$v_{av} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$.

(D) औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
चूंकि कार अपने शुरुआती बिंदु पर वापस आ जाती है,इसलिए अंतिम स्थिति और प्रारंभिक स्थिति समान है।
अतः,कुल विस्थापन $0$ है।
औसत वेग $= \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{0}{2 + 3} = 0 \text{ km/h}$.
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(C) औसत चाल को कुल दूरी और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
माना कुल दूरी $S$ है।
प्रत्येक खंड के लिए दूरी $S/3$ है।
पहले खंड के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{S/3}{V} = \frac{S}{3V}$ है।
दूसरे खंड के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{S/3}{2V} = \frac{S}{6V}$ है।
तीसरे खंड के लिए लिया गया समय $t_3 = \frac{S/3}{3V} = \frac{S}{9V}$ है।
कुल समय $T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{3V} + \frac{S}{6V} + \frac{S}{9V}$ है।
लघुत्तम समापवर्त्य $18V$ लेने पर,$T = \frac{6S + 3S + 2S}{18V} = \frac{11S}{18V}$ प्राप्त होता है।
औसत चाल $V_{av} = \frac{S}{T} = \frac{S}{11S / 18V} = \frac{18V}{11}$ है।

(D) माना कुल दूरी $x$ है।
प्रत्येक भाग में तय की गई दूरी $x/3$ है।
पहले भाग के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{x/3}{v_1} = \frac{x}{3v_1}$ है।
दूसरे भाग के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{x/3}{v_2} = \frac{x}{3v_2}$ है।
तीसरे भाग के लिए लिया गया समय $t_3 = \frac{x/3}{v_3} = \frac{x}{3v_3}$ है।
औसत चाल $v_{av} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{x}{t_1 + t_2 + t_3}$।
$v_{av} = \frac{x}{\frac{x}{3v_1} + \frac{x}{3v_2} + \frac{x}{3v_3}} = \frac{1}{\frac{1}{3v_1} + \frac{1}{3v_2} + \frac{1}{3v_3}}$।
$v_{av} = \frac{3}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3}} = \frac{3}{\frac{v_2 v_3 + v_1 v_3 + v_1 v_2}{v_1 v_2 v_3}}$।
$v_{av} = \frac{3 v_1 v_2 v_3}{v_1 v_2 + v_2 v_3 + v_3 v_1}$।

(A) माना कि नियमित षट्कोण की भुजा की लंबाई $a$ है। कण समान चाल $v$ से गति करता है।
$A$ से $F$ तक की गति के लिए,विस्थापन सदिश $\vec{AF}$ है। चूंकि $ABCDEF$ एक नियमित षट्कोण है,इसलिए दूरी $AF$ भुजा की लंबाई $a$ के बराबर है।
$A$ से $F$ तक $A \to B \to C \to D \to E \to F$ पथ के अनुदिश जाने में लगा समय $t = \frac{5a}{v}$ है।
औसत वेग का परिमाण $|\vec{v}_{av}| = \frac{|\text{विस्थापन}|}{\text{लिया गया समय}}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{v}_{av}| = \frac{a}{5a/v} = \frac{v}{5}$.

(D) औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके,या व्यक्तिगत वेगों के सदिश योग को कणों की संख्या से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
चाल एक अदिश राशि है जो वेग का परिमाण दर्शाती है,जबकि वेग एक सदिश राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
प्रश्न में केवल पाँच कणों की चाल (परिमाण) दी गई है,लेकिन उनकी गति की दिशा के बारे में कोई जानकारी नहीं दी गई है।
चूंकि प्रत्येक कण की दिशा अज्ञात है,इसलिए वेगों का सदिश योग निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
अतः,दी गई जानकारी से औसत वेग की गणना नहीं की जा सकती है।

(A) मान लीजिए कि कुल दूरी $3x$ है। प्रत्येक खंड के लिए दूरी $x$ है।
पहले खंड के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{x}{10}$ है।
दूसरे खंड के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{x}{20}$ है।
तीसरे खंड के लिए लिया गया समय $t_3 = \frac{x}{60}$ है।
औसत गति $v_{avg}$ कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:
$v_{avg} = \frac{3x}{t_1 + t_2 + t_3} = \frac{3x}{\frac{x}{10} + \frac{x}{20} + \frac{x}{60}}$.
$x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$v_{avg} = \frac{3}{\frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{60}} = \frac{3}{\frac{6+3+1}{60}} = \frac{3}{\frac{10}{60}} = \frac{3 \times 60}{10} = 18\; km/h$.

(B) औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
सबसे पहले,पूर्व दिशा में विस्थापन की गणना करें:
$\vec{d}_1 = 15 \, m/s \times 2 \, s \times \hat{i} = 30 \hat{i} \, m$
इसके बाद,उत्तर दिशा में विस्थापन की गणना करें:
$\vec{d}_2 = 5 \, m/s \times 8 \, s \times \hat{j} = 40 \hat{j} \, m$
कुल विस्थापन $\vec{d} = \vec{d}_1 + \vec{d}_2 = 30 \hat{i} + 40 \hat{j} \, m$
कुल समय $t = 2 \, s + 8 \, s = 10 \, s$
औसत वेग $\vec{v}_{av} = \frac{\vec{d}}{t} = \frac{30 \hat{i} + 40 \hat{j}}{10} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} \, m/s$
औसत वेग का परिमाण $|\vec{v}_{av}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \, m/s$ है।
दिशा $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{4}{3}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $\theta = 53^\circ$ पूर्व से उत्तर की ओर,या $37^\circ$ उत्तर से पूर्व की ओर।
अतः,औसत वेग $5 \, m/s$ उत्तर से $37^\circ$ पूर्व $(N-37^\circ-E)$ की दिशा में है।

(C) कुल दूरी $S$ है। दूरी को तीन समान भागों में विभाजित किया गया है,प्रत्येक की लंबाई $S/3$ है।
मान लीजिए इन भागों में चाल $v_1 = V$,$v_2 = 2V$,और $v_3 = 3V$ है।
प्रत्येक भाग के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{S/3}{V}$,$t_2 = \frac{S/3}{2V}$,और $t_3 = \frac{S/3}{3V}$ है।
औसत चाल $V_{av} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{S}{t_1 + t_2 + t_3}$.
$V_{av} = \frac{S}{\frac{S}{3V} + \frac{S}{6V} + \frac{S}{9V}} = \frac{1}{\frac{1}{3V} + \frac{1}{6V} + \frac{1}{9V}}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $18V$ लेने पर: $V_{av} = \frac{1}{\frac{6+3+2}{18V}} = \frac{18V}{11}$.

(C) माना कि प्रारंभिक बिंदु और मुड़ने वाले बिंदु के बीच की दूरी $D$ है।
$v_1 = 30\, m/s$ की चाल से $D$ दूरी तय करने में लगा समय $T_1 = D / 30$ है।
$v_2 = 20\, m/s$ की चाल से उसी दूरी $D$ को वापस तय करने में लगा समय $T_2 = D / 20$ है।
कुल तय की गई दूरी $D + D = 2D$ है।
कुल लगा समय $T_1 + T_2 = D/30 + D/20 = (2D + 3D) / 60 = 5D / 60 = D / 12$ है।
औसत चाल को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है:
औसत चाल $= (2D) / (D / 12) = 2 \times 12 = 24\, m/s$.

(A) औसत वेग $v_{avg}$ कुल विस्थापन को कुल समयांतराल से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
$v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt$
यहाँ $v(t) = t - t^3$,$t_1 = 0 \ s$,और $t_2 = 2 \ s$ दिया गया है।
$v_{avg} = \frac{1}{2 - 0} \int_{0}^{2} (t - t^3) \, dt$
$v_{avg} = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^2}{2} - \frac{t^4}{4} \right]_{0}^{2}$
$v_{avg} = \frac{1}{2} \left[ (\frac{2^2}{2} - \frac{2^4}{4}) - (0 - 0) \right]$
$v_{avg} = \frac{1}{2} \left[ (\frac{4}{2} - \frac{16}{4}) \right]$
$v_{avg} = \frac{1}{2} [2 - 4] = \frac{1}{2} [-2] = -1 \ m/s$.
नोट: परिणाम $-1 \ m/s$ है जो विकल्पों में उपलब्ध नहीं है।

(B) किसी विशिष्ट समय अंतराल में तय की गई दूरी उस अंतराल के दौरान औसत गति और अंतराल की अवधि के गुणनफल के बराबर होती है।
पहले सेकंड में तय की गई दूरी $(S_{1})$:
$S_{1} = v_{av1} \times t_{1} = 5 \, ms^{-1} \times 1 \, s = 5 \, m$
दूसरे सेकंड में तय की गई दूरी $(S_{2})$:
$S_{2} = v_{av2} \times t_{2} = 10 \, ms^{-1} \times 1 \, s = 10 \, m$
तीसरे सेकंड में तय की गई दूरी $(S_{3})$:
$S_{3} = v_{av3} \times t_{3} = 15 \, ms^{-1} \times 1 \, s = 15 \, m$
तय की गई कुल दूरी $(S_{T})$:
$S_{T} = S_{1} + S_{2} + S_{3} = 5 + 10 + 15 = 30 \, m$

(C) माना कुल दूरी $d$ है। पथ को तीन समान भागों में विभाजित किया गया है,प्रत्येक की दूरी $d/3$ है।
पहले भाग के लिए लगा समय: $t_1 = \frac{d/3}{v} = \frac{d}{3v}$.
दूसरे भाग के लिए लगा समय: $t_2 = \frac{d/3}{2v} = \frac{d}{6v}$.
तीसरे भाग के लिए लगा समय: $t_3 = \frac{d/3}{3v} = \frac{d}{9v}$.
कुल समय $T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{d}{3v} + \frac{d}{6v} + \frac{d}{9v}$.
हर में $18v$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $T = \frac{6d + 3d + 2d}{18v} = \frac{11d}{18v}$.
औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{d}{11d / 18v} = \frac{18v}{11}$.

(A) माना कुल दूरी $3d$ है। प्रत्येक भाग के लिए दूरी $d$ है।
पहले भाग के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{d}{20}$ है।
दूसरे भाग के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{d}{30}$ है।
तीसरे भाग के लिए लिया गया समय $t_3 = \frac{d}{40}$ है।
औसत वेग $v_{avg}$ कुल दूरी और कुल समय का अनुपात है:
$v_{avg} = \frac{3d}{t_1 + t_2 + t_3} = \frac{3d}{\frac{d}{20} + \frac{d}{30} + \frac{d}{40}}$
$v_{avg} = \frac{3}{\frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{40}}$
$20, 30, 40$ का लघुत्तम समापवर्त्य $120$ है:
$v_{avg} = \frac{3}{\frac{6 + 4 + 3}{120}} = \frac{3 \times 120}{13} = \frac{360}{13}$
$v_{avg} \approx 27.69 \, m/s \approx 28 \, m/s$.

(D) औसत वेग को स्थिति में परिवर्तन को समय के परिवर्तन से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है: $v_{avg} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$.
दिया गया है $x(t) = a + b t^2$,हम $t_1 = 2.0 \; s$ और $t_2 = 4.0 \; s$ पर स्थिति की गणना करते हैं।
$x(2.0) = a + b(2.0)^2 = a + 4b$.
$x(4.0) = a + b(4.0)^2 = a + 16b$.
अब,इन मानों को औसत वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v_{avg} = \frac{(a + 16b) - (a + 4b)}{4.0 - 2.0} = \frac{12b}{2.0} = 6b$.
चूँकि $b = 2.5 \; m s^{-2}$ दिया गया है,हमारे पास है:
$v_{avg} = 6 \times 2.5 = 15 \; m s^{-1}$.

(N/A) समय के अंतराल के दौरान विस्थापन का परिमाण कण की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की सबसे छोटी दूरी (एक सीधी रेखा) है।
कण के कुल पथ की लंबाई समय के एक निश्चित अंतराल में कण द्वारा तय की गई वास्तविक दूरी है।
उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक कण बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक जाता है और फिर बिंदु $C$ पर वापस आता है, जिसमें कुल समय $t$ लगता है। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, विस्थापन का परिमाण $AC$ है, जबकि कुल पथ की लंबाई $AB + BC$ है।
ध्यान दें कि विस्थापन का परिमाण कभी भी कुल पथ की लंबाई से अधिक नहीं हो सकता है। हालाँकि, उन मामलों में जहाँ कण बिना मुड़े एक ही दिशा में गति करता है, दोनों राशियाँ बराबर होती हैं।
$(b)$ औसत वेग का परिमाण = $\frac{\text{विस्थापन का परिमाण}}{\text{समय का अंतराल}}$
दिए गए कण के लिए, औसत वेग = $\frac{AC}{t}$।
औसत चाल = $\frac{\text{कुल पथ की लंबाई}}{\text{समय का अंतराल}} = \frac{AB + BC}{t}$।
चूंकि $(AB + BC) > AC$, औसत चाल औसत वेग के परिमाण से अधिक है। यदि कण एक ही दिशा में सीधी रेखा में गति करना जारी रखता है तो दोनों राशियाँ बराबर होती हैं。

(D) औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी है।
इस मामले में,व्यक्ति अपने घर से चलना शुरू करता है और बाजार जाने के बाद वापस अपने घर लौट आता है।
चूंकि प्रारंभिक स्थिति (घर) और अंतिम स्थिति (घर) समान हैं,इसलिए कुल विस्थापन $0 \; km$ है।
अतः,औसत वेग $= \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{0 \; km}{\text{कुल समय}} = 0 \; m/s$।

(A) बाजार तक पहुँचने में लगा समय $t_1 = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} = \frac{2.5 \; km}{5 \; km \; h^{-1}} = 0.5 \; h = 30 \; min$ है।
चूंकि पूछा गया समयांतराल $0$ से $30 \; min$ है,इसलिए हम केवल घर से बाजार तक की गति पर विचार करेंगे।
इस अंतराल के दौरान,तय की गई कुल दूरी $2.5 \; km$ है।
कुल लगा समय $30 \; min = 0.5 \; h$ है।
औसत चाल को $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
औसत चाल $= \frac{2.5 \; km}{0.5 \; h} = 5 \; km \; h^{-1}$.

(B) बाज़ार तक पहुँचने में लगा समय: $t_{1} = \frac{2.5 \; km}{5 \; km/h} = 0.5 \; h = 30 \; min$.
घर वापस आने में लगा समय: $t_{2} = \frac{2.5 \; km}{7.5 \; km/h} = \frac{1}{3} \; h \approx 20 \; min$.
पूरी यात्रा के लिए लगा कुल समय: $t_{total} = 30 \; min + 20 \; min = 50 \; min = \frac{50}{60} \; h = \frac{5}{6} \; h$.
तय की गई कुल दूरी: $d_{total} = 2.5 \; km + 2.5 \; km = 5 \; km$.
औसत चाल को तय की गई कुल दूरी और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{5 \; km}{5/6 \; h} = 5 \times \frac{6}{5} \; km/h = 6 \; km/h$.

(N/A) जब कोई वस्तु गति में होती है,तो समय के साथ उसकी स्थिति बदलती है। वह किस दर से अपनी स्थिति बदलती है,इसे दो तरीकों से ज्ञात किया जा सकता है।
यदि हम केवल दूरी के परिवर्तन की समय दर पर विचार करते हैं,तो यह चाल है और यदि हम दिशा के साथ स्थिति के परिवर्तन की समय दर पर विचार करते हैं,तो यह वेग है।
चाल: किसी वस्तु द्वारा इकाई समय में तय की गई दूरी को चाल कहते हैं।
औसत चाल: यात्रा के दौरान तय की गई कुल दूरी और लिए गए कुल समय के अनुपात को औसत चाल कहते हैं।
इसका $SI$ मात्रक $m s^{-1}$ है और यह एक अदिश राशि है। अतः,इसका मान हमेशा धनात्मक होता है।
वेग: इकाई समय में हुए विस्थापन को वेग कहते हैं। यह एक सदिश राशि है।
औसत वेग को स्थिति में परिवर्तन या विस्थापन $(\Delta x)$ को उस समय अंतराल $(\Delta t)$ से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है जिसमें विस्थापन होता है:
$\bar{v} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$
जहाँ $x_{2}$ और $x_{1}$ क्रमशः $t_{2}$ और $t_{1}$ समय पर वस्तु की स्थितियाँ हैं। वेग का $SI$ मात्रक $m s^{-1}$ है,हालाँकि दैनिक जीवन में $km h^{-1}$ का उपयोग किया जाता है।
एक सीधी रेखा में गति के लिए,सदिश की दिशा को '$+$' और '$-$' संकेतों द्वारा दर्शाया जा सकता है और हमें वेग के लिए सदिश संकेतन का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है।
औसत वेग का परिमाण धनात्मक,ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
औसत चाल हमेशा औसत वेग के परिमाण से अधिक या उसके बराबर होती है। एकसमान गति के लिए,प्रत्येक क्षण वेग औसत वेग के बराबर होता है।
चित्र में कार की गति के लिए $x-t$ ग्राफ दिखाया गया है,जिसमें औसत वेग की गणना करने के लिए $t = 5 \ s$ और $t = 7 \ s$ के बीच के भाग को दर्शाया गया है।

(C) औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है $(v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t})$।
$1$. यह वस्तु द्वारा तय की गई वास्तविक दूरी के बारे में जानकारी नहीं देता है,क्योंकि दूरी तय किए गए पथ पर निर्भर करती है,जबकि विस्थापन केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
$2$. यह प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं के बीच वस्तु द्वारा अपनाए गए गति के विशिष्ट पथ का वर्णन नहीं करता है।
$3$. यह पथ पर विभिन्न स्थितियों पर वस्तु के तात्क्षणिक वेग के बारे में जानकारी प्रदान नहीं करता है।

(N/A) मान लीजिए कि एक कार चित्र में दिखाए अनुसार एक सीधी रेखा में गति कर रही है। मान लीजिए कि कार $O$ से $P$ तक $18 \, s$ में जाती है और फिर $P$ से $Q$ तक $6 \, s$ में वापस आती है।
स्थिति $1$: $O$ से $P$ तक की गति
कुल दूरी = $OP = 360 \, m$
कुल विस्थापन = $360 \, m - 0 \, m = 360 \, m$
लिया गया समय = $18 \, s$
औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{360}{18} = 20 \, ms^{-1}$
औसत वेग = $\frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{360}{18} = 20 \, ms^{-1}$
यहाँ, औसत वेग का परिमाण औसत चाल के बराबर है।
स्थिति $2$: $O$ से $P$ और फिर $Q$ तक की गति
कुल दूरी = $OP + PQ = 360 + (360 - 240) = 360 + 120 = 480 \, m$
कुल विस्थापन = $OQ = 240 \, m - 0 \, m = 240 \, m$
कुल समय = $18 \, s + 6 \, s = 24 \, s$
औसत चाल = $\frac{480}{24} = 20 \, ms^{-1}$
औसत वेग = $\frac{240}{24} = 10 \, ms^{-1}$
यहाँ, औसत वेग का परिमाण $(10 \, ms^{-1})$ औसत चाल $(20 \, ms^{-1})$ के बराबर नहीं है।
अतः, यह कथन हमेशा सही नहीं है और हमेशा गलत भी नहीं है।

(N/A)

औसत चाल	औसत वेग
$(1)$ तय की गई कुल पथ लंबाई और लिए गए कुल समय के अनुपात को औसत चाल कहते हैं।	$(1)$ कुल विस्थापन और लिए गए कुल समय के अनुपात को औसत वेग कहते हैं।
$(2)$ यह एक अदिश राशि है।	$(2)$ यह एक सदिश राशि है।
$(3)$ गतिमान वस्तु के लिए यह हमेशा धनात्मक होती है।	$(3)$ यह विस्थापन की दिशा के आधार पर धनात्मक,ऋणात्मक या शून्य हो सकती है।
$(4)$ औसत चाल $\geq$ औसत वेग का परिमाण।	$(4)$ औसत वेग $\leq$ औसत चाल।

(N/A) चाल: किसी वस्तु द्वारा एकांक समय में तय की गई दूरी को चाल कहते हैं। इसे दूरी के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
औसत चाल: यात्रा के दौरान तय की गई कुल दूरी और लिए गए कुल समय के अनुपात को औसत चाल कहते हैं।
गणितीय रूप से,$\text{Average Speed} = \frac{\text{Total Distance}}{\text{Total Time}}$.
चाल का $SI$ मात्रक $m/s$ $(ms^{-1})$ है और यह एक अदिश राशि है। इसलिए,इसका मान हमेशा धनात्मक होता है।

(N/A) वेग: समय के सापेक्ष किसी वस्तु के विस्थापन में परिवर्तन की दर को वेग कहा जाता है। यह एक सदिश राशि है,जिसका अर्थ है कि इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। वेग का $SI$ मात्रक $m/s$ है।
औसत वेग: किसी वस्तु के कुल विस्थापन को उस विस्थापन को तय करने में लगे कुल समय अंतराल से विभाजित करने पर प्राप्त अनुपात को औसत वेग कहा जाता है। गणितीय रूप से,$v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$,जहाँ $\Delta x$ कुल विस्थापन है और $\Delta t$ कुल समय अंतराल है।

(N/A) किसी वस्तु की चाल को तय की गई कुल दूरी और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जबकि वेग का परिमाण विस्थापन के परिमाण और कुल समय का अनुपात होता है।
चूंकि तय की गई दूरी हमेशा विस्थापन के परिमाण से अधिक या उसके बराबर होती है $(Distance \ge |Displacement|)$,इसलिए चाल हमेशा वेग के परिमाण से अधिक या उसके बराबर होती है।
गणितीय रूप में,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\text{Speed} \ge |\text{Velocity}|$.
समानता केवल तब होती है जब वस्तु बिना अपनी दिशा बदले एक सीधी रेखा में गति करती है।

(B) औसत चाल को कुल तय की गई दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है। चूंकि दूरी एक अदिश राशि है और हमेशा गैर-ऋणात्मक होती है,इसलिए औसत चाल हमेशा गैर-ऋणात्मक होती है।
औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है। विस्थापन एक सदिश राशि है और गति की दिशा तथा प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष अंतिम स्थिति के आधार पर यह धनात्मक,ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
अतः,औसत वेग धनात्मक,ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

(B) नहीं,हम सहमत नहीं हैं।
औसत चाल को तय की गई कुल दूरी और लिए गए कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह केवल अलग-अलग चालों का अंकगणितीय माध्य नहीं है।
उदाहरण के लिए,यदि कोई वस्तु $d_1$ दूरी $v_1$ चाल से और $d_2$ दूरी $v_2$ चाल से तय करती है,तो औसत चाल $\frac{d_1 + d_2}{t_1 + t_2} = \frac{d_1 + d_2}{\frac{d_1}{v_1} + \frac{d_2}{v_2}}$ होती है। यदि दूरियाँ समान हैं,तो यह चालों का हरात्मक माध्य (harmonic mean) होता है,न कि अंकगणितीय माध्य।

(B) नहीं,यह संभव नहीं है।
वेग को एक सदिश राशि के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें गति और दिशा दोनों शामिल हैं।
यदि किसी वस्तु का वेग स्थिर है,तो उसका परिमाण (गति) और उसकी दिशा दोनों अपरिवर्तित रहने चाहिए।
इसलिए,यदि वेग स्थिर है,तो गति नहीं बदल सकती है।

(B) यह कथन $False$ (असत्य) है।
चाल को वेग के परिमाण के रूप में परिभाषित किया जाता है $(v = |\vec{v}|)$।
यदि चाल शून्य है, तो इसका अर्थ है कि वेग सदिश का परिमाण शून्य है, जिसका अर्थ है कि वेग भी शून्य होना चाहिए $(\vec{v} = 0)$।
इसलिए, किसी कण के लिए एक ही समय में शून्य चाल और अशून्य वेग होना असंभव है।