Average Velocity and Average Speed Questions in Hindi

(B) चाल को किसी वस्तु द्वारा प्रति इकाई समय अंतराल में तय की गई कुल दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दूरी एक अदिश राशि है जो वस्तु द्वारा तय किए गए कुल पथ की लंबाई को दर्शाती है,और यह हमेशा गैर-ऋणात्मक (अर्थात,दूरी $\ge 0$) होती है।
चूंकि समय भी एक धनात्मक अदिश राशि है,इसलिए दूरी और समय का अनुपात (चाल) हमेशा गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,किसी गतिशील वस्तु की चाल कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती।

(N/A) एकसमान वेग: यदि कोई वस्तु समान समयांतराल में समान विस्थापन तय करती है,तो उस वस्तु का वेग एकसमान वेग कहलाता है,चाहे वे समयांतराल कितने भी छोटे क्यों न हों।
असमान (परिवर्ती) वेग: यदि कोई वस्तु समान समयांतराल में असमान विस्थापन तय करती है,या यदि उसकी गति की दिशा बदलती है,तो उस वस्तु का वेग असमान वेग कहलाता है।

(A) मान लीजिए कि बिंदु $A$ और बिंदु $B$ के बीच की दूरी $d$ है।
$A$ से $B$ तक यात्रा करने में लगा समय $t_1 = \frac{d}{v_1} = \frac{d}{40}$ है।
$B$ से $A$ तक यात्रा करने में लगा समय $t_2 = \frac{d}{v_2} = \frac{d}{60}$ है।
कुल तय की गई दूरी = $d + d = 2d$।
कुल लगा समय = $t_1 + t_2 = \frac{d}{40} + \frac{d}{60} = \frac{3d + 2d}{120} = \frac{5d}{120} = \frac{d}{24}$।
औसत गति = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{d/24} = 2 \times 24 = 48 \ km/h$।

(D) माना कुल दूरी $AB = d$ है।
प्रत्येक खंड में तय की गई दूरी $\frac{d}{3}$ है।
प्रत्येक खंड के लिए लिया गया समय $t_{1} = \frac{d/3}{v_{1}}$,$t_{2} = \frac{d/3}{v_{2}}$,और $t_{3} = \frac{d/3}{v_{3}}$ है।
औसत वेग $v_{avg}$ इस प्रकार है:
$v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{d}{t_{1} + t_{2} + t_{3}} = \frac{d}{\frac{d}{3v_{1}} + \frac{d}{3v_{2}} + \frac{d}{3v_{3}}}$
$v_{avg} = \frac{3}{\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}} + \frac{1}{v_{3}}}$
दिया गया है $v_{1} = 11 \, ms^{-1}$,$v_{2} = 2v_{1} = 22 \, ms^{-1}$,और $v_{3} = 3v_{1} = 33 \, ms^{-1}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v_{avg} = \frac{3}{\frac{1}{11} + \frac{1}{22} + \frac{1}{33}} = \frac{3}{\frac{6+3+2}{66}} = \frac{3 \times 66}{11} = 3 \times 6 = 18 \, ms^{-1}$।

(C) माना कि $P$ और $Q$ के बीच की कुल दूरी $3x \, km$ है।
दूरी को तीन समान भागों में विभाजित किया गया है,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $x \, km$ है।
पहले भाग के लिए,गति $v_1 = 10 \, km/h$ है। लिया गया समय $t_1 = \frac{x}{10} \, h$ है।
दूसरे भाग के लिए,गति $v_2 = 20 \, km/h$ है। लिया गया समय $t_2 = \frac{x}{20} \, h$ है।
तीसरे भाग के लिए,गति $v_3 = 60 \, km/h$ है। लिया गया समय $t_3 = \frac{x}{60} \, h$ है।
औसत गति को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है:
$\text{औसत गति} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{3x}{t_1 + t_2 + t_3}$
मान रखने पर:
$\text{औसत गति} = \frac{3x}{\frac{x}{10} + \frac{x}{20} + \frac{x}{60}}$
लघुत्तम समापवर्त्य $(60)$ लेने पर:
$\text{औसत गति} = \frac{3x}{\frac{6x + 3x + x}{60}} = \frac{3x}{\frac{10x}{60}} = \frac{3x \times 60}{10x} = 18 \, km/h$.

(B) औसत चाल को कुल तय की गई दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
ग्राफ से,कण $t=0$ से $t=2 \, s$ के अंतराल में $x=0$ से $x=10$ तक गति करता है (दूरी = $10 \, m$)।
$t=2 \, s$ से $t=4 \, s$ तक,कण विराम अवस्था में है (दूरी = $0 \, m$)।
$t=4 \, s$ से $t=6 \, s$ तक,कण $x=10$ से $x=20$ तक गति करता है (दूरी = $10 \, m$)।
$t=6 \, s$ से $t=8 \, s$ तक,कण $x=20$ से $x=0$ तक गति करता है (दूरी = $20 \, m$)।
कुल दूरी = $10 + 0 + 10 + 20 = 40 \, m$।
कुल समय = $8 \, s$।
औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{40}{8} = 5 \, m/s$।

(B) औसत वेग को $\text{औसत वेग} = \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि औसत वेग $0$ है,तो कुल विस्थापन $0$ होना चाहिए।
सीधी रेखा पर गति करने वाले कण का विस्थापन $0$ होने के लिए,उसे अपने प्रारंभिक स्थान पर वापस आना होगा।
प्रारंभिक स्थान पर वापस आने के लिए,कण को किसी बिंदु पर अपनी गति की दिशा बदलनी होगी।
जिस क्षण कण अपनी दिशा बदलता है,उस क्षण उसका वेग $0$ होना चाहिए (सतत गति मानते हुए)।
अतः,समयांतराल में कम से कम एक क्षण पर कण का वेग शून्य होना अनिवार्य है।

(B) माना कुल दूरी $2d$ है। पहली आधी दूरी $d$,$v_1 = 6 \,m/s$ की चाल से तय की जाती है।
शेष दूरी $d$ को दो भागों में तय किया जाता है,प्रत्येक $t$ समय के लिए। माना चालें $v_2 = 2 \,m/s$ और $v_3 = 4 \,m/s$ हैं।
यात्रा के दूसरे आधे भाग के लिए,औसत चाल $v'$,चालों का अंकगणितीय माध्य है क्योंकि समय अंतराल समान हैं:
$v' = \frac{v_2 + v_3}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \,m/s$.
अब,कुल यात्रा में दो समान दूरियाँ $d$ शामिल हैं जो $v_1 = 6 \,m/s$ और $v' = 3 \,m/s$ की चाल से तय की जाती हैं। समान दूरियों के लिए औसत चाल हरात्मक माध्य द्वारा दी जाती है:
$v_{av} = \frac{2 v_1 v'}{v_1 + v'} = \frac{2 \times 6 \times 3}{6 + 3} = \frac{36}{9} = 4 \,m/s$.

(D) औसत चाल को कुल तय की गई दूरी और कुल लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कुल दूरी = $x + x = 2x$.
पहली आधी दूरी के लिए लिया गया समय,$t_1 = \frac{x}{v_1}$.
दूसरी आधी दूरी के लिए लिया गया समय,$t_2 = \frac{x}{v_2}$.
कुल समय = $t_1 + t_2 = \frac{x}{v_1} + \frac{x}{v_2} = x \left( \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2} \right)$.
औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2x}{x \left( \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2} \right)} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$.

(D) औसत चाल कुल तय की गई दूरी और कुल लिए गए समय का अनुपात होती है।
कुल दूरी $d_{total} = 4\,km + 4\,km = 8\,km$.
पहले भाग के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{4}{3}\,h$.
दूसरे भाग के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{4}{5}\,h$.
कुल समय $t_{total} = t_1 + t_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{5} = \frac{20 + 12}{15} = \frac{32}{15}\,h$.
औसत चाल $V_{av} = \frac{d_{total}}{t_{total}} = \frac{8}{32/15} = \frac{8 \times 15}{32} = \frac{15}{4} = 3.75\,km/h$.

(C) माना $AB = x$ है।
दिया है $AB = BC$,इसलिए $BC = x$ है।
दिया है $AD = 3 AB$,इसलिए $AD = 3x$ है।
चूंकि $AD = AB + BC + CD$,इसलिए $3x = x + x + CD$,जिसका अर्थ है कि $CD = x$ है।
कुल तय की गई दूरी $D_{total} = AB + BC + CD = x + x + x = 3x$ है।
कुल लगा समय $T_{total} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{AB}{v_1} + \frac{BC}{v_2} + \frac{CD}{v_3} = \frac{x}{v_1} + \frac{x}{v_2} + \frac{x}{v_3}$ है।
औसत चाल की परिभाषा के अनुसार $v_{avg} = \frac{D_{total}}{T_{total}} = \frac{3x}{\frac{x}{v_1} + \frac{x}{v_2} + \frac{x}{v_3}}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $v_{avg} = \frac{3x}{x(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3})} = \frac{3}{\frac{v_2 v_3 + v_1 v_3 + v_1 v_2}{v_1 v_2 v_3}} = \frac{3 v_1 v_2 v_3}{v_1 v_2 + v_2 v_3 + v_3 v_1}$ प्राप्त होता है।

(C) औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
कुल दूरी $= x + x = 2x$.
यात्रा के पहले भाग के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{x}{v_1}$.
यात्रा के दूसरे भाग के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{x}{v_2}$.
कुल समय $T = t_1 + t_2 = \frac{x}{v_1} + \frac{x}{v_2} = x \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)$.
औसत वेग $v = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2x}{x \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)}$.
अंश और हर से $x$ को काटने पर,हमें $v = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{2}{v} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}$ प्राप्त होता है।

(D) माना कुल दूरी $S$ है।
वाहन पहली आधी दूरी $(S/2)$ $v_1 = v$ चाल से तय करता है।
पहली आधी दूरी के लिए लगा समय $t_1 = \frac{S/2}{v} = \frac{S}{2v}$ है।
वाहन शेष आधी दूरी $(S/2)$ $v_2 = 2v$ चाल से तय करता है।
दूसरी आधी दूरी के लिए लगा समय $t_2 = \frac{S/2}{2v} = \frac{S}{4v}$ है।
औसत चाल कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:
$V_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{S}{t_1 + t_2}$
$V_{avg} = \frac{S}{\frac{S}{2v} + \frac{S}{4v}} = \frac{S}{\frac{2S + S}{4v}} = \frac{S}{\frac{3S}{4v}}$
$V_{avg} = \frac{4v}{3}$

(A) औसत वेग कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
$v_{\text{avg}} = \frac{x_1 + x_2}{t_1 + t_2}$
यहाँ $x_1 = x$,$x_2 = \frac{3}{2}x$,$v_1 = 5 \ m/s$,और $v_{\text{avg}} = \frac{50}{7} \ m/s$ दिया गया है।
पहले भाग के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{x}{v_1} = \frac{x}{5}$ है।
दूसरे भाग के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{x_2}{v_2} = \frac{3x}{2v_2}$ है।
औसत वेग के सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{50}{7} = \frac{x + \frac{3}{2}x}{\frac{x}{5} + \frac{3x}{2v_2}}$
$\frac{50}{7} = \frac{\frac{5}{2}x}{x(\frac{1}{5} + \frac{3}{2v_2})}$
$\frac{50}{7} = \frac{2.5}{\frac{1}{5} + \frac{3}{2v_2}}$
$\frac{1}{5} + \frac{3}{2v_2} = \frac{2.5 \times 7}{50} = \frac{17.5}{50} = \frac{7}{20}$
$\frac{3}{2v_2} = \frac{7}{20} - \frac{1}{5} = \frac{7-4}{20} = \frac{3}{20}$
$\frac{3}{2v_2} = \frac{3}{20} \Rightarrow 2v_2 = 20 \Rightarrow v_2 = 10 \ m/s$.

(C) कुल दूरी $L$ है। वाहन पहली आधी दूरी $(L/2)$ $V_1 = V$ की गति से और दूसरी आधी दूरी $(L/2)$ $V_2 = \frac{V}{3}$ की गति से तय करता है।
पहली आधी दूरी के लिए लिया गया समय,$t_1 = \frac{L/2}{V} = \frac{L}{2V}$ है।
दूसरी आधी दूरी के लिए लिया गया समय,$t_2 = \frac{L/2}{V/3} = \frac{3L}{2V}$ है।
कुल लिया गया समय,$T = t_1 + t_2 = \frac{L}{2V} + \frac{3L}{2V} = \frac{4L}{2V} = \frac{2L}{V}$ है।
औसत गति,$V_{\text{avg}} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{L}{2L/V} = \frac{V}{2}$ है।

(A) माना कि वस्तु द्वारा तय की गई कुल दूरी $2d$ है।
अतः,पहली आधी दूरी $d$ है और दूसरी आधी दूरी $d$ है।
$u$ चाल से पहली आधी दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{d}{u}$ है।
$v$ चाल से दूसरी आधी दूरी तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{d}{v}$ है।
औसत चाल को कुल दूरी और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{t_1 + t_2} = \frac{2d}{\frac{d}{u} + \frac{d}{v}}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{2d}{d(\frac{1}{u} + \frac{1}{v})} = \frac{2}{\frac{u+v}{uv}} = \frac{2uv}{u+v}$.

(B) मान लीजिए $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d$ है।
$A$ से $B$ तक जाने में लगा समय $t_{1} = \frac{d}{v_{1}} = \frac{d}{30}$ है।
$B$ से $A$ तक जाने में लगा समय $t_{2} = \frac{d}{v_{2}} = \frac{d}{20}$ है।
औसत गति कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
औसत गति $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{d + d}{t_{1} + t_{2}} = \frac{2d}{\frac{d}{30} + \frac{d}{20}}$.
औसत गति $= \frac{2d}{d(\frac{20 + 30}{600})} = \frac{2 \times 600}{50} = \frac{1200}{50} = 24 \ km/h$.

(C) औसत चाल को कुल तय की गई दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
ग्राफ से,हम प्रत्येक अंतराल में तय की गई दूरी की गणना कर सकते हैं:
$1$. $t = 0 \text{ s}$ से $t = 1 \text{ s}$ तक,दूरी = $|2 - 1| = 1 \text{ m}$.
$2$. $t = 1 \text{ s}$ से $t = 2 \text{ s}$ तक,दूरी = $|3 - 2| = 1 \text{ m}$.
$3$. $t = 2 \text{ s}$ से $t = 3 \text{ s}$ तक,दूरी = $|3 - 3| = 0 \text{ m}$.
$4$. $t = 3 \text{ s}$ से $t = 4 \text{ s}$ तक,दूरी = $|2 - 3| = 1 \text{ m}$.
$5$. $t = 4 \text{ s}$ से $t = 5 \text{ s}$ तक,दूरी = $|3 - 2| = 1 \text{ m}$.
कुल दूरी = $1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4 \text{ m}$.
कुल समय = $5 \text{ s}$.
औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{4 \text{ m}}{5 \text{ s}} = 0.8 \text{ m/s}$.

(C) दिया गया है,वेग $v = 6t - 3t^2$.
हम जानते हैं कि वेग $v = \frac{dx}{dt}$,जहाँ $x$ विस्थापन है।
अतः,विस्थापन $x$ समय के सापेक्ष वेग का समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
$x = \int_{0}^{2} v \ dt = \int_{0}^{2} (6t - 3t^2) \ dt$
$x = \left[ \frac{6t^2}{2} - \frac{3t^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ 3t^2 - t^3 \right]_{0}^{2}$
$x = (3(2)^2 - (2)^3) - (3(0)^2 - (0)^3)$
$x = (12 - 8) - 0 = 4 \ m$.
औसत वेग $v_{avg}$ कुल विस्थापन और कुल समय का अनुपात होता है:
$v_{avg} = \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{4 \ m}{2 \ s} = 2 \ m/s$.
अतः,औसत वेग $2 \ m/s$ है।

(D) माना कुल दूरी $D$ है।
$v_1$ चाल से तय की गई दूरी $d_1 = 0.4D$ है।
$v_2$ चाल से तय की गई दूरी $d_2 = 0.6D$ है।
पहले भाग के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{0.4D}{v_1}$ है।
दूसरे भाग के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{0.6D}{v_2}$ है।
औसत चाल $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{D}{t_1 + t_2}$ है।
$v_{avg} = \frac{D}{\frac{0.4D}{v_1} + \frac{0.6D}{v_2}} = \frac{1}{\frac{0.4}{v_1} + \frac{0.6}{v_2}}$।
$v_{avg} = \frac{1}{\frac{0.4v_2 + 0.6v_1}{v_1 v_2}} = \frac{v_1 v_2}{0.4v_2 + 0.6v_1}$।
अंश और हर को $5$ से गुणा करने पर: $v_{avg} = \frac{5 v_1 v_2}{2v_2 + 3v_1} = \frac{5 v_1 v_2}{3v_1 + 2v_2}$।

(A) औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय अंतराल से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
ग्राफ से,$t = 0 \ s$ पर,प्रारंभिक स्थिति $x_i = 80 \ m$ है।
$t = 10 \ s$ पर,अंतिम स्थिति $x_f = 60 \ m$ है।
कुल विस्थापन $\Delta x = x_f - x_i = 60 \ m - 80 \ m = -20 \ m$ है।
कुल समय अंतराल $\Delta t = 10 \ s - 0 \ s = 10 \ s$ है।
औसत वेग $v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{-20 \ m}{10 \ s} = -2 \ m \ s^{-1}$ है।
औसत वेग का परिमाण $2 \ m \ s^{-1}$ है।

(C) मान लीजिए कुल दूरी $d$ है।
पहली आधी दूरी $(d/2)$ के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{d/2}{V_1} = \frac{d}{2V_1}$ है।
दूसरी आधी दूरी $(d/2)$ के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{d/2}{V_2} = \frac{d}{2V_2}$ है।
औसत वेग को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
औसत वेग $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{d}{t_1 + t_2}$.
$t_1$ और $t_2$ के मान रखने पर:
औसत वेग $= \frac{d}{\frac{d}{2V_1} + \frac{d}{2V_2}} = \frac{d}{\frac{d}{2} \left( \frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2} \right)} = \frac{1}{\frac{1}{2} \left( \frac{V_1 + V_2}{V_1 V_2} \right)} = \frac{2V_1 V_2}{V_1 + V_2}$.
ध्यान दें कि $\frac{2V_1 V_2}{V_1 + V_2}$ का मान $\frac{2}{\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2}}$ के बराबर है,जो विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(A) दिया गया है कि, शहर-$A$ से शहर-$B$ तक ट्रेन की गति $v_1 = 18 \,ms^{-1}$ है।
शहर-$B$ से शहर-$A$ तक ट्रेन की गति $v_2 = 36 \,ms^{-1}$ है।
चूंकि $A$ से $B$ और $B$ से $A$ तक तय की गई दूरी समान है, इसलिए समान दूरी के लिए औसत गति का सूत्र उपयोग करते हैं:
$v_{av} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$
मान रखने पर:
$v_{av} = \frac{2 \times 18 \times 36}{18 + 36}$
$v_{av} = \frac{2 \times 18 \times 36}{54}$
$v_{av} = \frac{1296}{54} = 24 \,ms^{-1}$.

(B) माना कुल दूरी $2d$ है। पहली आधी दूरी $d$ है और दूसरी आधी दूरी $d$ है।
पहली आधी दूरी $(d)$ के लिए: वेग $v_1 = 7 \,m/s$। लिया गया समय $t_1 = \frac{d}{v_1} = \frac{d}{7}$।
दूसरी आधी दूरी $(d)$ के लिए: माना लिया गया कुल समय $t_2$ है। इस समय के पहले आधे भाग $(t_2/2)$ में वेग $v_2 = 14 \,m/s$ और दूसरे आधे भाग $(t_2/2)$ में वेग $v_3 = 21 \,m/s$ है।
दूरी $d = (v_2 \times \frac{t_2}{2}) + (v_3 \times \frac{t_2}{2}) = (14 \times \frac{t_2}{2}) + (21 \times \frac{t_2}{2}) = 7t_2 + 10.5t_2 = 17.5t_2$।
अतः, $t_2 = \frac{d}{17.5} = \frac{d}{35/2} = \frac{2d}{35}$।
कुल दूरी = $2d$।
कुल समय $T = t_1 + t_2 = \frac{d}{7} + \frac{2d}{35} = \frac{5d + 2d}{35} = \frac{7d}{35} = \frac{d}{5}$।
औसत वेग $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{d/5} = 10 \,m/s$।

(A) मान लीजिए कि कार बिंदु $A$ से $B$ तक $s$ दूरी तय करती है और फिर बिंदु $A$ पर वापस आती है।
औसत गति को कुल तय की गई दूरी को कुल लिए गए समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
$A$ से $B$ तक लिया गया समय $t_1 = \frac{s}{60}$ है।
$B$ से $A$ तक लिया गया समय $t_2 = \frac{s}{V}$ है।
कुल दूरी $s + s = 2s$ है।
कुल समय $t_1 + t_2 = \frac{s}{60} + \frac{s}{V}$ है।
चूंकि औसत गति $48 \ km \ h^{-1}$ दी गई है,हमारे पास है:
$48 = \frac{2s}{\frac{s}{60} + \frac{s}{V}}$
दोनों पक्षों को $s$ से विभाजित करने पर:
$48 = \frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{V}}$
$\frac{1}{60} + \frac{1}{V} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$
$\frac{1}{V} = \frac{1}{24} - \frac{1}{60}$
$\frac{1}{V} = \frac{5 - 2}{120} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}$
अतः,$V = 40 \ km \ h^{-1}$।

(B) औसत चाल को कुल दूरी बटा कुल समय के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान लीजिए कुल दूरी $L$ है।
पहले भाग के लिए दूरी $d_1 = \frac{L}{3}$ है और चाल $v_1$ है।
पहले भाग के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{L/3}{v_1} = \frac{L}{3 v_1}$ है।
दूसरे भाग के लिए दूरी $d_2 = \frac{2L}{3}$ है और चाल $v_2$ है।
दूसरे भाग के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{2L/3}{v_2} = \frac{2L}{3 v_2}$ है।
कुल समय $T = t_1 + t_2 = \frac{L}{3 v_1} + \frac{2L}{3 v_2} = \frac{L}{3} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{2}{v_2} \right) = \frac{L}{3} \left( \frac{v_2 + 2 v_1}{v_1 v_2} \right)$ है।
औसत चाल $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{L}{\frac{L}{3} \left( \frac{2 v_1 + v_2}{v_1 v_2} \right)} = \frac{3 v_1 v_2}{2 v_1 + v_2}$ है।

(A) औसत वेग $v_{avg}$ को विस्थापन में कुल परिवर्तन को कुल समय अंतराल से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है: $v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$.
दिया गया है $x(t) = \alpha t + \beta t^3$,जहाँ $\alpha = 2.0 \ m \ s^{-1}$ और $\beta = 0.01 \ m \ s^{-3}$ है।
$t_1 = 2.00 \ s$ पर: $x(2) = 2.0(2) + 0.01(2)^3 = 4.0 + 0.01(8) = 4.08 \ m$.
$t_2 = 4.00 \ s$ पर: $x(4) = 2.0(4) + 0.01(4)^3 = 8.0 + 0.01(64) = 8.64 \ m$.
अब,औसत वेग की गणना करते हैं: $v_{avg} = \frac{8.64 - 4.08}{4.00 - 2.00} = \frac{4.56}{2} = 2.28 \ m \ s^{-1}$.

(B) स्थिति का समीकरण $x(t) = \alpha + \beta t^2$ है।
दिया गया है कि $\alpha = 8 \ m$,इसलिए समीकरण $x(t) = 8 + \beta t^2$ हो जाता है।
$t_1 = 2 \ s$ और $t_2 = 4 \ s$ के बीच औसत वेग $v_{avg} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$ द्वारा परिभाषित है।
$t_1 = 2 \ s$ पर स्थिति: $x(2) = 8 + \beta(2)^2 = 8 + 4\beta$.
$t_2 = 4 \ s$ पर स्थिति: $x(4) = 8 + \beta(4)^2 = 8 + 16\beta$.
स्थिति में परिवर्तन $\Delta x = x(4) - x(2) = (8 + 16\beta) - (8 + 4\beta) = 12\beta$.
समय अंतराल $\Delta t = 4 - 2 = 2 \ s$ है।
दिया गया है कि $v_{avg} = 12 \ m/s$,इसलिए $12 = \frac{12\beta}{2}$.
$12 = 6\beta$,जिसका अर्थ है कि $\beta = 2 \ m/s^2$.

(C) दिया गया है कि पिंड द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात $1: 2$ है।
मान लीजिए कि $v_1$ चाल से तय की गई दूरी $s$ है। तब,$v_2$ चाल से तय की गई दूरी $2s$ होगी।
औसत चाल को कुल तय की गई दूरी और कुल लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कुल दूरी = $s + 2s = 3s$.
पहले भाग के लिए लिया गया समय,$t_1 = \frac{s}{v_1}$.
दूसरे भाग के लिए लिया गया समय,$t_2 = \frac{2s}{v_2}$.
कुल समय,$T = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_1} + \frac{2s}{v_2} = s \left( \frac{1}{v_1} + \frac{2}{v_2} \right) = s \left( \frac{v_2 + 2v_1}{v_1 v_2} \right)$.
औसत चाल,$v_{\text{avg}} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{3s}{s \left( \frac{v_2 + 2v_1}{v_1 v_2} \right)} = \frac{3 v_1 v_2}{v_2 + 2v_1}$.

(B) बाजार तक पहुँचने में लगा समय: $t_1 = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{2.5 \,km}{5 \,km/h} = 0.5 \,h = 30 \,min$.
घर वापस लौटने में लगा समय: $t_2 = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{2.5 \,km}{7.5 \,km/h} = \frac{1}{3} \,h = 20 \,min$.
पूरी यात्रा के लिए लगा कुल समय $30 \,min + 20 \,min = 50 \,min$ है।
कुल तय की गई दूरी = $2.5 \,km + 2.5 \,km = 5 \,km = 5000 \,m$.
सेकंड में कुल समय = $50 \,min \times 60 \,s/min = 3000 \,s$.
औसत गति = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{5000 \,m}{3000 \,s} = \frac{5}{3} \,m/s$.