Average Velocity and Average Speed Questions in Gujarati

(B) ઝડપને પદાર્થે એકમ સમયગાળામાં કાપેલા કુલ અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અંતર એ એક અદિશ રાશિ છે જે પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલા કુલ પથની લંબાઈ દર્શાવે છે,અને તે હંમેશા અન-ઋણ (એટલે કે,અંતર $\ge 0$) હોય છે.
સમય પણ એક ધન અદિશ રાશિ હોવાથી,અંતર અને સમયનો ગુણોત્તર (ઝડપ) હંમેશા અન-ઋણ જ હોવો જોઈએ.
તેથી,ગતિમાન પદાર્થની ઝડપ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં.

(N/A) નિયમિત વેગ: જો કોઈ પદાર્થ સમાન સમયગાળામાં સમાન સ્થાનાંતર કરે,તો તે પદાર્થનો વેગ નિયમિત વેગ કહેવાય છે,પછી ભલે તે સમયગાળા ગમે તેટલા નાના કેમ ન હોય.
અનિયમિત (બદલાતો) વેગ: જો કોઈ પદાર્થ સમાન સમયગાળામાં અસમાન સ્થાનાંતર કરે,અથવા જો તેની ગતિની દિશા બદલાતી હોય,તો તે પદાર્થનો વેગ અનિયમિત વેગ કહેવાય છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $A$ અને બિંદુ $B$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
$A$ થી $B$ સુધી મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{v_1} = \frac{d}{40}$ છે.
$B$ થી $A$ સુધી મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{v_2} = \frac{d}{60}$ છે.
કુલ કાપેલું અંતર = $d + d = 2d$.
કુલ લાગતો સમય = $t_1 + t_2 = \frac{d}{40} + \frac{d}{60} = \frac{3d + 2d}{120} = \frac{5d}{120} = \frac{d}{24}$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2d}{d/24} = 2 \times 24 = 48 \ km/h$.

(D) ધારો કે કુલ અંતર $AB = d$ છે.
દરેક ભાગમાં કાપેલું અંતર $\frac{d}{3}$ છે.
દરેક ભાગ માટે લાગતો સમય $t_{1} = \frac{d/3}{v_{1}}$,$t_{2} = \frac{d/3}{v_{2}}$,અને $t_{3} = \frac{d/3}{v_{3}}$ છે.
સરેરાશ વેગ $v_{avg}$ નીચે મુજબ મળે:
$v_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{d}{t_{1} + t_{2} + t_{3}} = \frac{d}{\frac{d}{3v_{1}} + \frac{d}{3v_{2}} + \frac{d}{3v_{3}}}$
$v_{avg} = \frac{3}{\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}} + \frac{1}{v_{3}}}$
આપેલ છે કે $v_{1} = 11 \, ms^{-1}$,$v_{2} = 2v_{1} = 22 \, ms^{-1}$,અને $v_{3} = 3v_{1} = 33 \, ms^{-1}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$v_{avg} = \frac{3}{\frac{1}{11} + \frac{1}{22} + \frac{1}{33}} = \frac{3}{\frac{6+3+2}{66}} = \frac{3 \times 66}{11} = 3 \times 6 = 18 \, ms^{-1}$.

(C) ધારો કે $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું કુલ અંતર $3x \, km$ છે.
અંતરને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવ્યું છે,જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $x \, km$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે,ઝડપ $v_1 = 10 \, km/h$ છે. લાગતો સમય $t_1 = \frac{x}{10} \, h$ છે.
બીજા ભાગ માટે,ઝડપ $v_2 = 20 \, km/h$ છે. લાગતો સમય $t_2 = \frac{x}{20} \, h$ છે.
ત્રીજા ભાગ માટે,ઝડપ $v_3 = 60 \, km/h$ છે. લાગતો સમય $t_3 = \frac{x}{60} \, h$ છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{3x}{t_1 + t_2 + t_3}$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{3x}{\frac{x}{10} + \frac{x}{20} + \frac{x}{60}}$
લસાઅ $(60)$ લેતા:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{3x}{\frac{6x + 3x + x}{60}} = \frac{3x}{\frac{10x}{60}} = \frac{3x \times 60}{10x} = 18 \, km/h$.

(B) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
આલેખ પરથી,કણ $t=0$ થી $t=2 \, s$ ના સમયગાળામાં $x=0$ થી $x=10$ સુધી ગતિ કરે છે (અંતર = $10 \, m$).
$t=2 \, s$ થી $t=4 \, s$ દરમિયાન,કણ સ્થિર છે (અંતર = $0 \, m$).
$t=4 \, s$ થી $t=6 \, s$ દરમિયાન,કણ $x=10$ થી $x=20$ સુધી ગતિ કરે છે (અંતર = $10 \, m$).
$t=6 \, s$ થી $t=8 \, s$ દરમિયાન,કણ $x=20$ થી $x=0$ સુધી ગતિ કરે છે (અંતર = $20 \, m$).
કુલ અંતર = $10 + 0 + 10 + 20 = 40 \, m$.
કુલ સમય = $8 \, s$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{40}{8} = 5 \, m/s$.

(B) સરેરાશ વેગની વ્યાખ્યા $\text{સરેરાશ વેગ} = \frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}}$ છે.
જો સરેરાશ વેગ $0$ હોય,તો કુલ સ્થાનાંતર $0$ હોવું જોઈએ.
સુરેખ પથ પર ગતિ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $0$ થવા માટે,તેણે તેના પ્રારંભિક સ્થાન પર પાછા ફરવું પડે.
પ્રારંભિક સ્થાન પર પાછા ફરવા માટે,કણે કોઈ ચોક્કસ બિંદુએ તેની ગતિની દિશા બદલવી પડે.
જે ક્ષણે કણ તેની દિશા બદલે છે,તે ક્ષણે તેનો વેગ $0$ હોવો જ જોઈએ (સતત ગતિ ધારતા).
તેથી,આપેલા સમયગાળામાં ઓછામાં ઓછી એક ક્ષણે કણનો વેગ શૂન્ય હોવો જ જોઈએ.

(B) ધારો કે કુલ અંતર $2d$ છે. પ્રથમ અડધું અંતર $d$,$v_1 = 6 \,m/s$ ની ઝડપે કાપવામાં આવે છે.
બાકીનું અંતર $d$ બે ભાગમાં કાપવામાં આવે છે,દરેક $t$ સમય માટે. ધારો કે ઝડપ $v_2 = 2 \,m/s$ અને $v_3 = 4 \,m/s$ છે.
મુસાફરીના બીજા અડધા ભાગ માટે,સરેરાશ ઝડપ $v'$ એ ઝડપોનો સરેરાશ (અંકગણિત મધ્યક) છે કારણ કે સમયગાળો સમાન છે:
$v' = \frac{v_2 + v_3}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \,m/s$.
હવે,કુલ મુસાફરીમાં બે સમાન અંતર $d$ છે જે $v_1 = 6 \,m/s$ અને $v' = 3 \,m/s$ ની ઝડપે કાપવામાં આવે છે. સમાન અંતર માટે સરેરાશ ઝડપ હાર્મોનિક મધ્યક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{av} = \frac{2 v_1 v'}{v_1 + v'} = \frac{2 \times 6 \times 3}{6 + 3} = \frac{36}{9} = 4 \,m/s$.

(D) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર અને તે માટે લાગતા કુલ સમયનો ગુણોત્તર.
કુલ અંતર = $x + x = 2x$.
પ્રથમ અડધા અંતર માટે લાગતો સમય,$t_1 = \frac{x}{v_1}$.
બીજા અડધા અંતર માટે લાગતો સમય,$t_2 = \frac{x}{v_2}$.
કુલ સમય = $t_1 + t_2 = \frac{x}{v_1} + \frac{x}{v_2} = x \left( \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2} \right)$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2x}{x \left( \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2} \right)} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$.

(D) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ લીધેલો સમય.
કુલ અંતર $d_{total} = 4\,km + 4\,km = 8\,km$.
પ્રથમ ભાગ માટે લીધેલો સમય $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{4}{3}\,h$.
બીજા ભાગ માટે લીધેલો સમય $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{4}{5}\,h$.
કુલ સમય $t_{total} = t_1 + t_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{5} = \frac{20 + 12}{15} = \frac{32}{15}\,h$.
સરેરાશ ઝડપ $V_{av} = \frac{d_{total}}{t_{total}} = \frac{8}{32/15} = \frac{8 \times 15}{32} = \frac{15}{4} = 3.75\,km/h$.

(C) ધારો કે $AB = x$.
આપેલ છે કે $AB = BC$,તેથી $BC = x$.
આપેલ છે કે $AD = 3 AB$,તેથી $AD = 3x$.
$AD = AB + BC + CD$ હોવાથી,$3x = x + x + CD$,જેનો અર્થ છે કે $CD = x$.
કુલ કાપેલું અંતર $D_{total} = AB + BC + CD = x + x + x = 3x$ છે.
કુલ લાગતો સમય $T_{total} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{AB}{v_1} + \frac{BC}{v_2} + \frac{CD}{v_3} = \frac{x}{v_1} + \frac{x}{v_2} + \frac{x}{v_3}$ છે.
સરેરાશ ઝડપની વ્યાખ્યા મુજબ $v_{avg} = \frac{D_{total}}{T_{total}} = \frac{3x}{\frac{x}{v_1} + \frac{x}{v_2} + \frac{x}{v_3}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $v_{avg} = \frac{3x}{x(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3})} = \frac{3}{\frac{v_2 v_3 + v_1 v_3 + v_1 v_2}{v_1 v_2 v_3}} = \frac{3 v_1 v_2 v_3}{v_1 v_2 + v_2 v_3 + v_3 v_1}$ મળે છે.

(C) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
કુલ અંતર $= x + x = 2x$.
પ્રથમ ભાગ માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{x}{v_1}$.
બીજા ભાગ માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{x}{v_2}$.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = \frac{x}{v_1} + \frac{x}{v_2} = x \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)$.
સરેરાશ વેગ $v = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2x}{x \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)}$.
અંશ અને છેદમાંથી $x$ દૂર કરતા,આપણને $v = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા $\frac{2}{v} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}$ મળે છે.

(D) ધારો કે કુલ અંતર $S$ છે.
વાહન પ્રથમ અડધું અંતર $(S/2)$ $v_1 = v$ ઝડપે કાપે છે.
પ્રથમ અડધા અંતર માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{S/2}{v} = \frac{S}{2v}$ છે.
વાહન બાકીનું અડધું અંતર $(S/2)$ $v_2 = 2v$ ઝડપે કાપે છે.
બીજા અડધા અંતર માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{S/2}{2v} = \frac{S}{4v}$ છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય:
$V_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{S}{t_1 + t_2}$
$V_{avg} = \frac{S}{\frac{S}{2v} + \frac{S}{4v}} = \frac{S}{\frac{2S + S}{4v}} = \frac{S}{\frac{3S}{4v}}$
$V_{avg} = \frac{4v}{3}$

(A) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
$v_{\text{avg}} = \frac{x_1 + x_2}{t_1 + t_2}$
અહીં $x_1 = x$,$x_2 = \frac{3}{2}x$,$v_1 = 5 \ m/s$,અને $v_{\text{avg}} = \frac{50}{7} \ m/s$ આપેલ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{x}{v_1} = \frac{x}{5}$ છે.
બીજા ભાગ માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{x_2}{v_2} = \frac{3x}{2v_2}$ છે.
સરેરાશ વેગના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{50}{7} = \frac{x + \frac{3}{2}x}{\frac{x}{5} + \frac{3x}{2v_2}}$
$\frac{50}{7} = \frac{\frac{5}{2}x}{x(\frac{1}{5} + \frac{3}{2v_2})}$
$\frac{50}{7} = \frac{2.5}{\frac{1}{5} + \frac{3}{2v_2}}$
$\frac{1}{5} + \frac{3}{2v_2} = \frac{2.5 \times 7}{50} = \frac{17.5}{50} = \frac{7}{20}$
$\frac{3}{2v_2} = \frac{7}{20} - \frac{1}{5} = \frac{7-4}{20} = \frac{3}{20}$
$\frac{3}{2v_2} = \frac{3}{20} \Rightarrow 2v_2 = 20 \Rightarrow v_2 = 10 \ m/s$.

(C) કુલ અંતર $L$ છે. વાહન પ્રથમ અડધું અંતર $(L/2)$ $V_1 = V$ ઝડપે અને બીજું અડધું અંતર $(L/2)$ $V_2 = \frac{V}{3}$ ઝડપે કાપે છે.
પ્રથમ અડધા અંતર માટે લાગતો સમય,$t_1 = \frac{L/2}{V} = \frac{L}{2V}$.
બીજા અડધા અંતર માટે લાગતો સમય,$t_2 = \frac{L/2}{V/3} = \frac{3L}{2V}$.
કુલ લાગતો સમય,$T = t_1 + t_2 = \frac{L}{2V} + \frac{3L}{2V} = \frac{4L}{2V} = \frac{2L}{V}$.
સરેરાશ ઝડપ,$V_{\text{avg}} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{L}{2L/V} = \frac{V}{2}$.

(A) ધારો કે પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ અંતર $2d$ છે.
તેથી,પ્રથમ અડધું અંતર $d$ છે અને બીજું અડધું અંતર $d$ છે.
$u$ ઝડપથી પ્રથમ અડધું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{u}$ છે.
$v$ ઝડપથી બીજું અડધું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{v}$ છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2d}{t_1 + t_2} = \frac{2d}{\frac{d}{u} + \frac{d}{v}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2d}{d(\frac{1}{u} + \frac{1}{v})} = \frac{2}{\frac{u+v}{uv}} = \frac{2uv}{u+v}$.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
$A$ થી $B$ સુધી મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t_{1} = \frac{d}{v_{1}} = \frac{d}{30}$ છે.
$B$ થી $A$ સુધી મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t_{2} = \frac{d}{v_{2}} = \frac{d}{20}$ છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{d + d}{t_{1} + t_{2}} = \frac{2d}{\frac{d}{30} + \frac{d}{20}}$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{2d}{d(\frac{20 + 30}{600})} = \frac{2 \times 600}{50} = \frac{1200}{50} = 24 \ km/h$.

(C) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
આલેખ પરથી,આપણે દરેક અંતરાલમાં કાપેલું અંતર ગણી શકીએ છીએ:
$1$. $t = 0 \text{ s}$ થી $t = 1 \text{ s}$ સુધી,અંતર = $|2 - 1| = 1 \text{ m}$.
$2$. $t = 1 \text{ s}$ થી $t = 2 \text{ s}$ સુધી,અંતર = $|3 - 2| = 1 \text{ m}$.
$3$. $t = 2 \text{ s}$ થી $t = 3 \text{ s}$ સુધી,અંતર = $|3 - 3| = 0 \text{ m}$.
$4$. $t = 3 \text{ s}$ થી $t = 4 \text{ s}$ સુધી,અંતર = $|2 - 3| = 1 \text{ m}$.
$5$. $t = 4 \text{ s}$ થી $t = 5 \text{ s}$ સુધી,અંતર = $|3 - 2| = 1 \text{ m}$.
કુલ અંતર = $1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4 \text{ m}$.
કુલ સમય = $5 \text{ s}$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{4 \text{ m}}{5 \text{ s}} = 0.8 \text{ m/s}$.

(C) આપેલ છે કે,વેગ $v = 6t - 3t^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વેગ $v = \frac{dx}{dt}$,જ્યાં $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
તેથી,સ્થાનાંતર $x$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$x = \int_{0}^{2} v \ dt = \int_{0}^{2} (6t - 3t^2) \ dt$
$x = \left[ \frac{6t^2}{2} - \frac{3t^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ 3t^2 - t^3 \right]_{0}^{2}$
$x = (3(2)^2 - (2)^3) - (3(0)^2 - (0)^3)$
$x = (12 - 8) - 0 = 4 \ m$.
સરેરાશ વેગ $v_{avg}$ એ કુલ સ્થાનાંતર અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર છે:
$v_{avg} = \frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{4 \ m}{2 \ s} = 2 \ m/s$.
આમ,સરેરાશ વેગ $2 \ m/s$ છે.

(D) ધારો કે કુલ અંતર $D$ છે.
$v_1$ ઝડપે કાપેલું અંતર $d_1 = 0.4D$ છે.
$v_2$ ઝડપે કાપેલું અંતર $d_2 = 0.6D$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{0.4D}{v_1}$ છે.
બીજા ભાગ માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{0.6D}{v_2}$ છે.
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{D}{t_1 + t_2}$.
$v_{avg} = \frac{D}{\frac{0.4D}{v_1} + \frac{0.6D}{v_2}} = \frac{1}{\frac{0.4}{v_1} + \frac{0.6}{v_2}}$.
$v_{avg} = \frac{1}{\frac{0.4v_2 + 0.6v_1}{v_1 v_2}} = \frac{v_1 v_2}{0.4v_2 + 0.6v_1}$.
અંશ અને છેદને $5$ વડે ગુણતા: $v_{avg} = \frac{5 v_1 v_2}{2v_2 + 3v_1} = \frac{5 v_1 v_2}{3v_1 + 2v_2}$.

(A) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમયગાળો.
આલેખ પરથી,$t = 0 \ s$ સમયે,પ્રારંભિક સ્થાન $x_i = 80 \ m$ છે.
$t = 10 \ s$ સમયે,અંતિમ સ્થાન $x_f = 60 \ m$ છે.
કુલ સ્થાનાંતર $\Delta x = x_f - x_i = 60 \ m - 80 \ m = -20 \ m$.
કુલ સમયગાળો $\Delta t = 10 \ s - 0 \ s = 10 \ s$.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{-20 \ m}{10 \ s} = -2 \ m \ s^{-1}$.
સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય $2 \ m \ s^{-1}$ છે.

(C) ધારો કે કુલ અંતર $d$ છે.
પ્રથમ અડધા અંતર $(d/2)$ માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d/2}{V_1} = \frac{d}{2V_1}$ છે.
બીજા અડધા અંતર $(d/2)$ માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d/2}{V_2} = \frac{d}{2V_2}$ છે.
સરેરાશ વેગ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
સરેરાશ વેગ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{d}{t_1 + t_2}$.
$t_1$ અને $t_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
સરેરાશ વેગ $= \frac{d}{\frac{d}{2V_1} + \frac{d}{2V_2}} = \frac{d}{\frac{d}{2} \left( \frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2} \right)} = \frac{1}{\frac{1}{2} \left( \frac{V_1 + V_2}{V_1 V_2} \right)} = \frac{2V_1 V_2}{V_1 + V_2}$.
અહીં $\frac{2V_1 V_2}{V_1 + V_2}$ એ $\frac{2}{\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2}}$ ને સમાન છે,જે વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) આપેલ છે કે, શહેર-$A$ થી શહેર-$B$ સુધી ટ્રેનની ઝડપ $v_1 = 18 \,ms^{-1}$ છે.
શહેર-$B$ થી શહેર-$A$ સુધી ટ્રેનની ઝડપ $v_2 = 36 \,ms^{-1}$ છે.
કારણ કે $A$ થી $B$ અને $B$ થી $A$ સુધી કાપેલું અંતર સમાન છે, તેથી સમાન અંતર માટે સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર વાપરીએ:
$v_{av} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_{av} = \frac{2 \times 18 \times 36}{18 + 36}$
$v_{av} = \frac{2 \times 18 \times 36}{54}$
$v_{av} = \frac{1296}{54} = 24 \,ms^{-1}$.

(B) ધારો કે કુલ અંતર $2d$ છે. પ્રથમ અડધું અંતર $d$ છે અને બીજું અડધું અંતર $d$ છે.
પ્રથમ અડધા અંતર $(d)$ માટે: વેગ $v_1 = 7 \,m/s$. લીધેલ સમય $t_1 = \frac{d}{v_1} = \frac{d}{7}$.
બીજા અડધા અંતર $(d)$ માટે: ધારો કે લીધેલ કુલ સમય $t_2$ છે. આ સમયના પ્રથમ અડધા ભાગ $(t_2/2)$ માં વેગ $v_2 = 14 \,m/s$ અને બીજા અડધા ભાગ $(t_2/2)$ માં વેગ $v_3 = 21 \,m/s$ છે.
અંતર $d = (v_2 \times \frac{t_2}{2}) + (v_3 \times \frac{t_2}{2}) = (14 \times \frac{t_2}{2}) + (21 \times \frac{t_2}{2}) = 7t_2 + 10.5t_2 = 17.5t_2$.
તેથી, $t_2 = \frac{d}{17.5} = \frac{d}{35/2} = \frac{2d}{35}$.
કુલ અંતર = $2d$.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = \frac{d}{7} + \frac{2d}{35} = \frac{5d + 2d}{35} = \frac{7d}{35} = \frac{d}{5}$.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2d}{d/5} = 10 \,m/s$.

(A) ધારો કે કાર બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી $s$ જેટલું અંતર કાપે છે અને પછી બિંદુ $A$ પર પાછી ફરે છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ લીધેલો સમય.
$A$ થી $B$ સુધીનો સમય $t_1 = \frac{s}{60}$ છે.
$B$ થી $A$ સુધીનો સમય $t_2 = \frac{s}{V}$ છે.
કુલ અંતર $s + s = 2s$ છે.
કુલ સમય $t_1 + t_2 = \frac{s}{60} + \frac{s}{V}$ છે.
સરેરાશ ઝડપ $48 \ km \ h^{-1}$ આપેલ હોવાથી:
$48 = \frac{2s}{\frac{s}{60} + \frac{s}{V}}$
બંને બાજુ $s$ વડે ભાગતા:
$48 = \frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{V}}$
$\frac{1}{60} + \frac{1}{V} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$
$\frac{1}{V} = \frac{1}{24} - \frac{1}{60}$
$\frac{1}{V} = \frac{5 - 2}{120} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}$
તેથી,$V = 40 \ km \ h^{-1}$.

(B) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
ધારો કે કુલ અંતર $L$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે અંતર $d_1 = \frac{L}{3}$ અને ઝડપ $v_1$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{L/3}{v_1} = \frac{L}{3 v_1}$.
બીજા ભાગ માટે અંતર $d_2 = \frac{2L}{3}$ અને ઝડપ $v_2$ છે.
બીજા ભાગ માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{2L/3}{v_2} = \frac{2L}{3 v_2}$.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = \frac{L}{3 v_1} + \frac{2L}{3 v_2} = \frac{L}{3} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{2}{v_2} \right) = \frac{L}{3} \left( \frac{v_2 + 2 v_1}{v_1 v_2} \right)$.
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{L}{\frac{L}{3} \left( \frac{2 v_1 + v_2}{v_1 v_2} \right)} = \frac{3 v_1 v_2}{2 v_1 + v_2}$.

(A) સરેરાશ વેગ $v_{avg}$ એ સ્થાનાંતરમાં થતા કુલ ફેરફારને કુલ સમયગાળા વડે ભાગતા મળે છે: $v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$.
આપેલ છે $x(t) = \alpha t + \beta t^3$,જ્યાં $\alpha = 2.0 \ m \ s^{-1}$ અને $\beta = 0.01 \ m \ s^{-3}$.
$t_1 = 2.00 \ s$ સમયે: $x(2) = 2.0(2) + 0.01(2)^3 = 4.0 + 0.01(8) = 4.08 \ m$.
$t_2 = 4.00 \ s$ સમયે: $x(4) = 2.0(4) + 0.01(4)^3 = 8.0 + 0.01(64) = 8.64 \ m$.
હવે,સરેરાશ વેગની ગણતરી કરતા: $v_{avg} = \frac{8.64 - 4.08}{4.00 - 2.00} = \frac{4.56}{2} = 2.28 \ m \ s^{-1}$.

(B) સ્થાનનું સમીકરણ $x(t) = \alpha + \beta t^2$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 8 \ m$,તેથી સમીકરણ $x(t) = 8 + \beta t^2$ બને છે.
$t_1 = 2 \ s$ અને $t_2 = 4 \ s$ વચ્ચે સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$t_1 = 2 \ s$ પર સ્થાન: $x(2) = 8 + \beta(2)^2 = 8 + 4\beta$.
$t_2 = 4 \ s$ પર સ્થાન: $x(4) = 8 + \beta(4)^2 = 8 + 16\beta$.
સ્થાનમાં ફેરફાર $\Delta x = x(4) - x(2) = (8 + 16\beta) - (8 + 4\beta) = 12\beta$.
સમયગાળો $\Delta t = 4 - 2 = 2 \ s$.
આપેલ છે કે $v_{avg} = 12 \ m/s$,તેથી $12 = \frac{12\beta}{2}$.
$12 = 6\beta$,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 2 \ m/s^2$.

(C) આપેલ છે કે પદાર્થ દ્વારા કાપેલ અંતરનો ગુણોત્તર $1: 2$ છે.
ધારો કે $v_1$ ઝડપ સાથે કાપેલ અંતર $s$ છે. તો,$v_2$ ઝડપ સાથે કાપેલ અંતર $2s$ થશે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલ અંતર ભાગ્યા કુલ લીધેલ સમય.
કુલ અંતર = $s + 2s = 3s$.
પ્રથમ ભાગ માટે લીધેલ સમય,$t_1 = \frac{s}{v_1}$.
બીજા ભાગ માટે લીધેલ સમય,$t_2 = \frac{2s}{v_2}$.
કુલ સમય,$T = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_1} + \frac{2s}{v_2} = s \left( \frac{1}{v_1} + \frac{2}{v_2} \right) = s \left( \frac{v_2 + 2v_1}{v_1 v_2} \right)$.
સરેરાશ ઝડપ,$v_{\text{avg}} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{3s}{s \left( \frac{v_2 + 2v_1}{v_1 v_2} \right)} = \frac{3 v_1 v_2}{v_2 + 2v_1}$.

(B) બજાર સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય: $t_1 = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{2.5 \,km}{5 \,km/h} = 0.5 \,h = 30 \,min$.
ઘરે પાછા ફરવા માટે લાગતો સમય: $t_2 = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{2.5 \,km}{7.5 \,km/h} = \frac{1}{3} \,h = 20 \,min$.
આખી મુસાફરી માટે લાગતો કુલ સમય $30 \,min + 20 \,min = 50 \,min$ છે।
કુલ કાપેલું અંતર = $2.5 \,km + 2.5 \,km = 5 \,km = 5000 \,m$.
સેકન્ડમાં કુલ સમય = $50 \,min \times 60 \,s/min = 3000 \,s$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{5000 \,m}{3000 \,s} = \frac{5}{3} \,m/s$.