Poisson's Ratio and relation between Modulus Questions in Hindi

(A) प्रत्यास्थता गुणांकों के बीच संबंध पॉइसन अनुपात $\sigma$ से प्राप्त किया जाता है।
हमारे पास निम्नलिखित मानक संबंध हैं:
$Y = 3K(1 - 2\sigma)$
$Y = 2\eta(1 + \sigma)$
पहले समीकरण से,$1 - 2\sigma = \frac{Y}{3K} \implies 2\sigma = 1 - \frac{Y}{3K} \implies \sigma = \frac{1}{2} - \frac{Y}{6K}$।
दूसरे समीकरण से,$1 + \sigma = \frac{Y}{2\eta} \implies \sigma = \frac{Y}{2\eta} - 1$।
$\sigma$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{Y}{2\eta} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{Y}{6K}$
$\frac{Y}{2\eta} + \frac{Y}{6K} = \frac{3}{2}$
$6\eta K$ से गुणा करने पर:
$3YK + Y\eta = 9\eta K$
$Y(3K + \eta) = 9\eta K$
$Y = \frac{9\eta K}{3K + \eta}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) यंग मापांक $(Y)$,आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(K)$ और प्वासों अनुपात $(\sigma)$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $Y = 3K(1 - 2\sigma)$।
$\sigma$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$1 - 2\sigma = \frac{Y}{3K}$
$2\sigma = 1 - \frac{Y}{3K}$
$\sigma = \frac{3K - Y}{6K}$
दी गई मानों $Y = 7.25 \times 10^{10} \ N/m^2$ और $K = 11 \times 10^{10} \ N/m^2$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sigma = \frac{3(11 \times 10^{10}) - 7.25 \times 10^{10}}{6(11 \times 10^{10})}$
$\sigma = \frac{33 \times 10^{10} - 7.25 \times 10^{10}}{66 \times 10^{10}}$
$\sigma = \frac{25.75}{66} \approx 0.39$।

(A) पॉइसन अनुपात को तनाव या संपीड़न के तहत किसी सामग्री के लिए पार्श्व विकृति (lateral strain) और अनुदैर्ध्य विकृति (longitudinal strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
यह परिभाषा केवल उन ठोसों पर लागू होती है जिनका एक निश्चित आकार होता है और जो कर्तन प्रतिबल (shear stress) को सहन कर सकते हैं।
द्रवों का कोई निश्चित आकार नहीं होता है और वे कर्तन प्रतिबल को सहन नहीं कर सकते; वे केवल आयतन में परिवर्तन का विरोध करते हैं (बल्क मापांक)।
इसलिए,पार्श्व और अनुदैर्ध्य विकृति की अवधारणा द्रवों पर लागू नहीं होती है,जिसका अर्थ है कि उनका कोई पॉइसन अनुपात नहीं होता है।

(D) प्रत्यास्थ नियतांकों के बीच संबंध इस प्रकार हैं:
$Y = 3K(1 - 2\sigma)$ --- $(1)$
$Y = 2\eta(1 + \sigma)$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से: $\frac{Y}{3K} = 1 - 2\sigma$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ से: $\frac{Y}{2\eta} = 1 + \sigma$ --- $(4)$
$\sigma$ को हटाने के लिए,समीकरण $(4)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$\frac{Y}{\eta} = 2 + 2\sigma$ --- $(5)$
समीकरण $(3)$ और $(5)$ को जोड़ने पर:
$\frac{Y}{3K} + \frac{Y}{\eta} = (1 - 2\sigma) + (2 + 2\sigma)$
$\frac{Y}{3K} + \frac{Y}{\eta} = 3$
दोनों पक्षों को $3Y$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{9K} + \frac{1}{3\eta} = \frac{1}{Y}$
अतः,सही संबंध $\frac{1}{Y} = \frac{1}{3\eta} + \frac{1}{9K}$ है।

(D) पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ को पार्श्व विकृति (lateral strain) और अनुदैर्ध्य विकृति (longitudinal strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
अधिकांश सामग्रियों के लिए,पॉइसन अनुपात की सैद्धांतिक सीमा $-1.0$ और $0.5$ के बीच होती है।
दिए गए विकल्पों में से,$0.4$ इस सीमा के भीतर आता है,जबकि $1$,$0.9$ और $0.8$ भौतिक रूप से संभव सीमा से बाहर हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) यंग मापांक $(Y)$ किसी पदार्थ की कठोरता को दर्शाता है,जो इकाई विकृति उत्पन्न करने के लिए आवश्यक प्रतिबल का माप है। धातुओं के लिए इसका मान आमतौर पर $10^9$ से $10^{11} \text{ Pa}$ की कोटि का होता है।
पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ एक विमाहीन राशि है जो पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात दर्शाती है। अधिकांश स्थिर,समदैशिक पदार्थों के लिए,पॉइसन अनुपात का मान $-1.0$ और $0.5$ के बीच होता है।
चूंकि $Y$ दबाव की इकाइयों (पास्कल) वाली एक भौतिक राशि है और $\sigma$ एक विमाहीन अनुपात है,इसलिए उनके परिमाणों की सीधी तुलना उपयोग की गई इकाइयों पर निर्भर करती है। हालांकि,मानक भौतिक संदर्भों में जहां $Y$ को पास्कल में व्यक्त किया जाता है,$Y$ का मान $\sigma$ से संख्यात्मक रूप से बहुत बड़ा होता है। अतः,$Y > \sigma$ सही संबंध है।

(D) पॉइसन अनुपात $(
u)$ को पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अधिकांश धातुओं के लिए,जब अनुदैर्ध्य दिशा में बल लगाया जाता है,तो पार्श्व आयाम कम हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप पॉइसन अनुपात के लिए धनात्मक मान प्राप्त होता है।
स्थिर,समदैशिक पदार्थों के लिए पॉइसन अनुपात की सैद्धांतिक सीमाएं $-1.0$ और $0.5$ के बीच होती हैं।
हालाँकि,अधिकांश व्यावहारिक धातुओं के लिए,यह मान धनात्मक होता है और आमतौर पर $0$ से $0.5$ के बीच होता है।
इसलिए,धातुओं के लिए सही सीमा $0$ से $0.5$ है।

(A) यंग मापांक $(Y)$,आयतन मापांक $(K)$,और दृढ़ता मापांक $(\eta)$ का पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ के साथ संबंध इस प्रकार है:
$Y = 3K(1 - 2\sigma)$
$Y = 2\eta(1 + \sigma)$
एक स्थिर पदार्थ के लिए,प्रत्यास्थता के मापांक धनात्मक होने चाहिए $(Y, K, \eta > 0)$।
$Y = 3K(1 - 2\sigma) > 0$ से,हमें $1 - 2\sigma > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sigma < \frac{1}{2}$।
$Y = 2\eta(1 + \sigma) > 0$ से,हमें $1 + \sigma > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sigma > -1$।
अतः,पॉइसन अनुपात के लिए सैद्धांतिक सीमा $-1 < \sigma < \frac{1}{2}$ है।

(A) पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ को पार्श्व विकृति (lateral strain) और अनुदैर्ध्य विकृति (longitudinal strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अधिकांश पदार्थों के लिए,पॉइसन अनुपात की सैद्धांतिक सीमा $-1.0$ से $0.5$ के बीच होती है।
विशेष रूप से,स्थिर और समदैशिक पदार्थों के लिए,यह मान $-1.0$ से अधिक और $0.5$ के बराबर या उससे कम होना चाहिए।
चूंकि $0.7$,$0.5$ की अधिकतम सैद्धांतिक सीमा से अधिक है,इसलिए यह पॉइसन अनुपात के लिए एक वैध मान नहीं हो सकता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $r$ त्रिज्या और $l$ लंबाई वाले तार का आयतन $V = \pi r^2 l$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि खींचने के दौरान आयतन अपरिवर्तित रहता है,इसलिए $dV = 0$ है।
आयतन समीकरण का अवकलन करने पर,$dV = 2\pi rl dr + \pi r^2 dl = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2\pi rl dr = -\pi r^2 dl$ मिलता है।
इसे सरल करने पर $\frac{dr}{r} = -\frac{1}{2} \frac{dl}{l}$ प्राप्त होता है।
प्वासों अनुपात $\sigma$ को पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $\sigma = -\frac{dr/r}{dl/l}$।
हमारे समीकरण से मान प्रतिस्थापित करने पर,$\sigma = -(-\frac{1}{2}) = 0.5$ प्राप्त होता है।

(D) अनुदैर्ध्य विकृति $\epsilon_l = \frac{dL}{L}$ के अधीन एक छड़ के लिए आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{dV}{V}$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{dV}{V} = (1 - 2\sigma) \frac{dL}{L}$,जहाँ $\sigma$ पॉइसन अनुपात है।
यहाँ $\sigma = 0.50$ और $\frac{dL}{L} = 2 \times 10^{-3}$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{dV}{V} = (1 - 2 \times 0.50) \times (2 \times 10^{-3})$.
$\frac{dV}{V} = (1 - 1) \times (2 \times 10^{-3}) = 0$.
अतः,आयतन में प्रतिशत परिवर्तन $0\%$ है।

(C) यंग मापांक $(Y)$,दृढ़ता मापांक $(\eta)$ और पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ के बीच संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Y = 2\eta(1 + \sigma)$।
किसी भी धातु के लिए,पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ का मान $0$ और $0.5$ के बीच होता है (आमतौर पर लगभग $0.3$)।
चूंकि $(1 + \sigma) > 1$,इसलिए $Y = 2\eta(1 + \sigma) > 2\eta$ होता है।
अतः,धातुओं के लिए $Y > \eta$ हमेशा सत्य है।

(A) यंग मापांक $(Y)$,दृढ़ता मापांक $(\eta)$ और प्वासों अनुपात $(\sigma)$ के बीच का संबंध $Y = 2\eta(1 + \sigma)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि इसमें कोई अनुप्रस्थ विकृति नहीं है,इसलिए प्वासों अनुपात $\sigma = 0$ होगा।
मान रखने पर,हमें $Y = 2\eta(1 + 0) = 2\eta$ प्राप्त होता है।
अतः,$\eta = Y / 2$ होगा।
दिया गया है $Y = 6 \times 10^{12} \ N/m^2$,इसलिए $\eta = (6 \times 10^{12}) / 2 = 3 \times 10^{12} \ N/m^2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि यंग मापांक $Y = 3\eta$,जहाँ $\eta$ दृढ़ता मापांक है।
हम संबंध जानते हैं $Y = 2\eta(1 + \sigma)$,जहाँ $\sigma$ पॉइसन अनुपात है।
संबंध में $Y = 3\eta$ प्रतिस्थापित करने पर: $3\eta = 2\eta(1 + \sigma) \implies 1.5 = 1 + \sigma \implies \sigma = 0.5$.
अब,हम यंग मापांक $Y$,आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $K$ और पॉइसन अनुपात $\sigma$ के बीच के संबंध का उपयोग करते हैं: $Y = 3K(1 - 2\sigma)$.
समीकरण में $\sigma = 0.5$ रखने पर: $Y = 3K(1 - 2(0.5)) = 3K(1 - 1) = 3K(0) = 0$.
हालाँकि,$K$ के लिए हल करने पर: $K = \frac{Y}{3(1 - 2\sigma)}$.
जैसे ही $\sigma \to 0.5$,हर $3(1 - 2(0.5)) = 0$ हो जाता है।
इसलिए,$K = \frac{Y}{0} = \infty$.

(D) यंग मापांक $(Y)$,दृढ़ता मापांक $(\eta)$ और प्वासों अनुपात $(\sigma)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Y = 2\eta(1 + \sigma)$.
दिया गया है कि $Y = 2.4\eta$,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$2.4\eta = 2\eta(1 + \sigma)$.
दोनों पक्षों को $2\eta$ से विभाजित करने पर:
$1.2 = 1 + \sigma$.
$\sigma$ के लिए हल करने पर:
$\sigma = 1.2 - 1 = 0.2$.
अतः,पदार्थ का प्वासों अनुपात $0.2$ है।

(A) लंबाई $L$ और त्रिज्या $r$ वाले तार का आयतन $V = \pi r^2 L$ होता है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,$\frac{dV}{V} = 2\frac{dr}{r} + \frac{dL}{L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि आयतन अपरिवर्तित रहता है,$\frac{dV}{V} = 0$,इसलिए $2\frac{dr}{r} = -\frac{dL}{L}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dr/r}{dL/L} = -\frac{1}{2}$।
पॉइसन अनुपात $\sigma$ को $\sigma = -\frac{\text{पार्श्विक विकृति}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}} = -\frac{dr/r}{dL/L}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$\sigma = -(-0.5) = 0.5$ प्राप्त होता है।

(C) यंग मापांक $(Y)$,बल्क मापांक $(K)$ और पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $Y = 3K(1 - 2\sigma)$।
दिया गया है:
$Y = 8 \times 10^{10} \ N/m^2$
$K = 10 \times 10^{10} \ N/m^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$8 \times 10^{10} = 3 \times (10 \times 10^{10}) \times (1 - 2\sigma)$
दोनों पक्षों को $10^{10}$ से विभाजित करने पर:
$8 = 30 \times (1 - 2\sigma)$
$8/30 = 1 - 2\sigma$
$0.2667 = 1 - 2\sigma$
$\sigma$ के लिए हल करने पर:
$2\sigma = 1 - 0.2667$
$2\sigma = 0.7333$
$\sigma = 0.7333 / 2$
$\sigma \approx 0.3666 \approx 0.37$।

(A) पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात है।
$\sigma = \frac{\text{पार्श्व विकृति}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}}$
दिया गया है:
अनुदैर्ध्य विकृति $(\frac{\Delta L}{L})$ = $0.05\% = 0.0005$
पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ = $0.4$
पार्श्व विकृति = $\sigma \times \text{अनुदैर्ध्य विकृति}$
पार्श्व विकृति = $0.4 \times 0.05\% = 0.02\%$
चूंकि तार को खींचा जा रहा है,लंबाई बढ़ती है,जिससे व्यास में कमी आती है।
इसलिए,व्यास $0.02\%$ कम हो जाएगा।

(A) आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{dV}{V}$ का अनुदैर्ध्य विकृति $\frac{dL}{L}$ और पॉइसन अनुपात $\sigma$ के साथ संबंध है: $\frac{dV}{V} = (1 - 2\sigma) \frac{dL}{L}$.
यदि $\sigma = 0.5$ है,तो $\frac{dV}{V} = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि पदार्थ असंपीड्य है।
यदि $\sigma = -0.5$ है,तो $\frac{dV}{V} = (1 - 2(-0.5)) \frac{dL}{L} = 2 \frac{dL}{L}$,जो दर्शाता है कि पदार्थ संपीड्य है।

(C) एक इकाई घन (भुजा लंबाई $L = 1$) के लिए,प्रत्येक सतह पर तन्य प्रतिबल (tensile stress) $\sigma_{stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{1^2} = F$ है।
उस अक्ष पर बल के कारण उस अक्ष के अनुदिश अनुदैर्ध्य विकृति (longitudinal strain) $\epsilon_{long} = \frac{F}{Y}$ है।
अन्य दो लंबवत सतहों पर तन्य बलों के कारण,पार्श्व विकृति (lateral strain) उत्पन्न होगी। एक लंबवत बल के कारण पार्श्व विकृति $-\sigma \epsilon_{long} = -\sigma \frac{F}{Y}$ है।
चूंकि ऐसी दो लंबवत सतहें हैं,इसलिए कुल पार्श्व विकृति $2 \times (-\sigma \frac{F}{Y}) = -\frac{2\sigma F}{Y}$ होगी।
कुल विकृति (लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$,जहाँ $L=1$) अनुदैर्ध्य विकृति और पार्श्व विकृतियों का योग है:
$\Delta L = \frac{F}{Y} - \frac{2\sigma F}{Y} = \frac{F(1 - 2\sigma)}{Y}$.

(D) दिया गया है: त्रिज्या $r = 1\, mm = 10^{-3}\, m$,लंबाई $L = 1\, m$,बल $F = 100\, N$,यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11}\, N/m^2$,प्वासों अनुपात $\mu = \pi / 10$,क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6}\, m^2$.
$1$. अनुदैर्ध्य विकृति $(\epsilon_L)$ की गणना:
$\epsilon_L = \frac{\Delta L}{L} = \frac{F}{AY} = \frac{100}{(\pi \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{11})} = \frac{100}{2\pi \times 10^5} = \frac{1}{2\pi} \times 10^{-3}$.
$2$. पार्श्व विकृति $(\epsilon_d)$ की गणना:
प्वासों अनुपात $\mu = - \frac{\text{पार्श्व विकृति}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}} = - \frac{\Delta r / r}{\Delta L / L}$.
$\frac{\Delta r}{r} = - \mu \times \epsilon_L = - (\frac{\pi}{10}) \times (\frac{1}{2\pi} \times 10^{-3}) = - \frac{1}{20} \times 10^{-3} = - 0.05 \times 10^{-3} = - 5 \times 10^{-5}$.
$3$. त्रिज्या में परिवर्तन $(\Delta r)$ की गणना:
$\Delta r = - 5 \times 10^{-5} \times r = - 5 \times 10^{-5} \times 1\, mm = - 0.00005\, mm$.
$4$. नई त्रिज्या $(r')$:
$r' = r + \Delta r = 1\, mm - 0.00005\, mm = 0.99995\, mm$.

(A) माना प्रारंभिक लंबाई $L$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है। आयतन $V = A \times L$ है।
चूंकि खींचने के दौरान आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $dV = 0$ है।
अवकलन करने पर,$d(AL) = A \cdot dL + L \cdot dA = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{dA}{A} = -\frac{dL}{L}$।
प्वासों अनुपात $\sigma$ को पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\sigma = -\frac{dA/A}{dL/L}$।
सूत्र में $\frac{dA}{A} = -\frac{dL}{L}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sigma = -\frac{-dL/L}{dL/L} = 0.5$।

(C) लंबाई $\ell$ और व्यास $D$ वाले तार का आयतन $V = \ell \cdot \frac{\pi D^2}{4}$ द्वारा दिया जाता है।
अवकलन करने पर,हमें $dV = \frac{\pi D^2}{4} d\ell + \ell \cdot \frac{\pi}{2} D dD$ प्राप्त होता है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $dV = 0$ है।
अतः,$\frac{\pi D^2}{4} d\ell = -\ell \cdot \frac{\pi}{2} D dD$ होगा।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{d\ell}{\ell} = -2 \frac{dD}{D}$ प्राप्त होता है।
पॉइसन अनुपात $\sigma$ को पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\sigma = -\frac{dD/D}{d\ell/\ell}$।
संबंध $\frac{dD}{D} = -\frac{1}{2} \frac{d\ell}{\ell}$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sigma = -\frac{-\frac{1}{2} \frac{d\ell}{\ell}}{\frac{d\ell}{\ell}} = 0.5$ प्राप्त होता है।

(C) आइसोट्रोपिक सामग्रियों के लिए, प्रत्यास्थता गुणांक पॉइसन अनुपात $\sigma$ द्वारा इस प्रकार संबंधित हैं:
$Y = 2n(1 + \sigma)$
$Y = 3k(1 - 2\sigma)$
जहाँ $Y$ यंग मापांक है, $n$ अपरूपण मापांक (दृढ़ता) है, और $k$ आयतन मापांक है।
एल्युमीनियम और तांबे जैसी अधिकांश धातुओं के लिए, पॉइसन अनुपात $\sigma$, $0$ और $0.5$ के बीच होता है (आमतौर पर $0.3$ के आसपास)।
चूंकि $0 < \sigma < 0.5$, हम संबंध प्राप्त कर सकते हैं:
$Y = 2n(1 + \sigma)$ से, चूंकि $(1 + \sigma) > 1$, हमें $Y > n$ प्राप्त होता है।
$Y = 3k(1 - 2\sigma)$ से, चूंकि $(1 - 2\sigma) < 1$, हमें $Y < 3k$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $k > Y/3$।
सामान्य धातुओं के लिए परिमाणों की तुलना करने पर, संबंध $n < Y < k$ प्राप्त होता है।
अतः, सही क्रम अपरूपण मापांक < यंग मापांक < आयतन मापांक है।

(D) यंग मापांक $(Y)$,बल्क मापांक $(K)$ और दृढ़ता मापांक $(\eta)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $Y = 2\eta(1 + \sigma)$।
पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ के लिए इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$Y = 2\eta + 2\eta\sigma$
$Y - 2\eta = 2\eta\sigma$
$\sigma = \frac{Y - 2\eta}{2\eta}$
$\sigma = \frac{Y}{2\eta} - \frac{2\eta}{2\eta}$
$\sigma = \frac{0.5Y}{\eta} - 1$
अतः,$\sigma = \frac{0.5Y - \eta}{\eta}$ विकल्प $D$ के अनुरूप है।

(N/A) जब किसी पदार्थ पर तन्य या संपीड़ित बल लगाया जाता है,तो उत्पन्न पार्श्व विकृति (lateral strain) और अनुदैर्ध्य विकृति (longitudinal strain) के अनुपात को पॉइसन अनुपात कहा जाता है।
जब किसी तार पर तन्य बल लगाया जाता है,तो उसकी लंबाई बढ़ जाती है (अनुदैर्ध्य विकृति),जबकि उसके अनुप्रस्थ काट का व्यास कम हो जाता है (पार्श्व विकृति)।
इसके विपरीत,जब संपीड़ित बल लगाया जाता है,तो लंबाई कम हो जाती है और व्यास बढ़ जाता है।
गणितीय रूप से,पॉइसन अनुपात $(\mu)$ इस प्रकार है:
$\mu = -\frac{\text{पार्श्व विकृति}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}}$
यदि मूल व्यास $d$ है और व्यास में परिवर्तन $\Delta d$ है,तो पार्श्व विकृति $\frac{\Delta d}{d}$ है। यदि मूल लंबाई $L$ है और लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ है,तो अनुदैर्ध्य विकृति $\frac{\Delta L}{L}$ है।
अतः,$\mu = -\frac{(\Delta d / d)}{(\Delta L / L)}$.
चूंकि यह दो विकृतियों का अनुपात है,इसलिए यह एक विमाहीन और मात्रकहीन राशि है।
पॉइसन अनुपात का मान पूरी तरह से पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है।

(N/A) पॉइसन अनुपात को पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान लीजिए कि एक बेलनाकार छड़ की लंबाई $l$ और त्रिज्या $r$ है। जब छड़ को खींचा जाता है,तो इसकी लंबाई में $\Delta l$ की वृद्धि होती है और त्रिज्या में $\Delta r$ की कमी होती है।
पार्श्व विकृति $\epsilon_{lat} = -\frac{\Delta r}{r}$ और अनुदैर्ध्य विकृति $\epsilon_{long} = \frac{\Delta l}{l}$ है।
पॉइसन अनुपात $\mu = \frac{\epsilon_{lat}}{\epsilon_{long}} = -\frac{\Delta r / r}{\Delta l / l}$ है।
अतः,$\frac{\Delta r}{r} = -\mu \frac{\Delta l}{l} \quad \dots (1)$
छड़ का आयतन $V = \pi r^2 l$ है।
आयतन में परिवर्तन ज्ञात करने के लिए अवकलन करने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l} \quad \dots (2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ में रखने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = 2(-\mu \frac{\Delta l}{l}) + \frac{\Delta l}{l} = \frac{\Delta l}{l} (1 - 2\mu)$
चूंकि किसी पदार्थ को खींचने पर उसका आयतन नहीं बढ़ सकता $(\Delta V \ge 0)$,इसलिए $(1 - 2\mu) \ge 0$ होना चाहिए।
अतः,$1 \ge 2\mu$,जिसका अर्थ है कि $\mu \le 0.5$।

(D) एक आइसोट्रोपिक प्रत्यास्थ पदार्थ के लिए,यंग मॉडुलस $(Y)$,शियर मॉडुलस $(G)$ और पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ के बीच संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Y = 2G(1 + \sigma)$।
इस सूत्र को शियर मॉडुलस $(G)$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $G = \frac{Y}{2(1 + \sigma)}$।
अतः,दोनों व्यंजक इन प्रत्यास्थ नियतांकों के बीच सही भौतिक संबंध को दर्शाते हैं।

(B) जब किसी वस्तु पर अनुदैर्ध्य प्रतिबल (longitudinal stress) लगाया जाता है,तो उसके पार्श्व आयाम (जैसे व्यास या चौड़ाई) में होने वाले परिवर्तन और उसके मूल पार्श्व आयाम के अनुपात को पार्श्विक विकृति कहा जाता है।
यदि $D$ व्यास वाले तार पर बल लगाने से उसके व्यास में $\Delta D$ का परिवर्तन होता है,तो पार्श्विक विकृति का सूत्र है: $\text{Lateral Strain} = \frac{\Delta D}{D}$।
यह एक विमाहीन राशि है और आमतौर पर पॉइसन अनुपात (Poisson's ratio) से संबंधित है,जो पार्श्विक विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के बीच संबंध को दर्शाता है।

(C) यंग मापांक $(Y)$,बल्क मापांक $(K)$ और दृढ़ता गुणांक $(\eta)$ के बीच का संबंध पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।
हम जानते हैं कि:
$Y = 3K(1 - 2\sigma) \implies 1 - 2\sigma = \frac{Y}{3K} \implies 2\sigma = 1 - \frac{Y}{3K} \implies \sigma = \frac{1}{2} - \frac{Y}{6K} \dots (i)$
$Y = 2\eta(1 + \sigma) \implies 1 + \sigma = \frac{Y}{2\eta} \implies \sigma = \frac{Y}{2\eta} - 1 \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{1}{2} - \frac{Y}{6K} = \frac{Y}{2\eta} - 1$
$1 + \frac{1}{2} = \frac{Y}{2\eta} + \frac{Y}{6K}$
$\frac{3}{2} = \frac{3KY + Y\eta}{6K\eta}$
$9K\eta = 3KY + Y\eta$
$9K\eta = Y(3K + \eta)$
$Y = \frac{9K\eta}{3K + \eta}$
अतः,सही संबंध $Y = \frac{9K\eta}{3K + \eta}$ है।

(A) यंग मापांक $(Y)$, दृढ़ता मापांक $(\eta)$ और प्वासों अनुपात $(\sigma)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Y = 2\eta(1 + \sigma)$।
यह दिया गया है कि यंग मापांक उसके दृढ़ता मापांक का $2.4$ गुना है, इसलिए: $Y = 2.4\eta$।
$Y$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$2.4\eta = 2\eta(1 + \sigma)$
दोनों पक्षों को $2\eta$ से विभाजित करने पर:
$1.2 = 1 + \sigma$
$\sigma$ के लिए हल करने पर:
$\sigma = 1.2 - 1 = 0.2$।
अतः, प्वासों अनुपात $0.2$ है।

(D) पॉइसन अनुपात $\sigma$ को पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $\sigma = -\frac{\Delta r/r}{\Delta l/l} = 0.5$.
दी गई अनुदैर्ध्य विकृति $\frac{\Delta l}{l} = 3 \times 10^{-3}$ है।
अतः, पार्श्व विकृति $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \times \frac{\Delta l}{l} = -0.5 \times 3 \times 10^{-3} = -1.5 \times 10^{-3}$ है।
बेलनाकार छड़ का आयतन $V = \pi r^2 l$ होता है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर, आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta V}{V} = 2(-1.5 \times 10^{-3}) + (3 \times 10^{-3}) = -3 \times 10^{-3} + 3 \times 10^{-3} = 0$ है।
अतः, आयतन में प्रतिशत वृद्धि $0\%$ है।

(D) यंग मापांक $(Y)$ और दृढ़ता मापांक (शीयर मापांक,$\eta$) के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Y = 2\eta(1 + \sigma)$
जहाँ $\sigma$ पॉइसन अनुपात (Poisson's ratio) है।
अधिकांश पदार्थों के लिए पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ की व्यावहारिक सीमा $0 < \sigma \leq 0.5$ होती है।
$\sigma$ का न्यूनतम मान $(0)$ रखने पर:
$Y = 2\eta(1 + 0) = 2\eta$
$\sigma$ का अधिकतम मान $(0.5)$ रखने पर:
$Y = 2\eta(1 + 0.5) = 2\eta(1.5) = 3\eta$
चूंकि प्रत्यास्थ पदार्थों के लिए $Y$ का मान $2\eta$ से $3\eta$ के बीच होता है,इसलिए यह स्पष्ट है कि $Y > \eta$ हमेशा सत्य है।

(A) दिया गया है:
पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ = $1/4 = 0.25$
यंग मापांक $(Y)$ = $8 \times 10^{10} \, N/m^2$
पार्श्व विकृति = $0.02 \% = 0.02 / 100 = 2 \times 10^{-4}$
पॉइसन अनुपात का सूत्र:
$\sigma = \frac{\text{पार्श्व विकृति}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}}$
अनुदैर्ध्य विकृति $(\epsilon)$ की गणना:
$\epsilon = \frac{\text{पार्श्व विकृति}}{\sigma} = \frac{2 \times 10^{-4}}{0.25} = 8 \times 10^{-4}$
प्रति इकाई आयतन प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(u)$:
$u = \frac{1}{2} \times Y \times \epsilon^2$
मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times (8 \times 10^{10}) \times (8 \times 10^{-4})^2$
$u = 4 \times 10^{10} \times 64 \times 10^{-8}$
$u = 256 \times 10^2 = 2.56 \times 10^4 \, J/m^3$

(A) यंग मापांक $(Y)$,आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(K)$,दृढ़ता गुणांक $(\eta)$ और पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ के बीच संबंध इस प्रकार हैं:
$Y = 2\eta(1+\sigma)$ --- $(1)$
$Y = 3K(1-2\sigma)$ --- $(2)$
$Y$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$2\eta(1+\sigma) = 3K(1-2\sigma)$
$2\eta + 2\eta\sigma = 3K - 6K\sigma$
$2\eta\sigma + 6K\sigma = 3K - 2\eta$
$\sigma(6K + 2\eta) = 3K - 2\eta$
$\sigma = \frac{3K - 2\eta}{6K + 2\eta}$

(B) दिया गया है: लंबाई $L = 2 \ m$,यंग मापांक $Y = 2.0 \times 10^{11} \ N/m^2$,पॉइसन अनुपात $\mu = 0.2$,और अनुप्रस्थ विकृति $\epsilon_t = \frac{\Delta r}{r} = 10^{-3}$।
पॉइसन अनुपात को $\mu = -\frac{\text{अनुप्रस्थ विकृति}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}} = -\frac{\epsilon_t}{\epsilon_l}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
परिमाण लेने पर,$\epsilon_l = \frac{\epsilon_t}{\mu} = \frac{10^{-3}}{0.2} = 5 \times 10^{-3}$।
प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा घनत्व $u = \frac{1}{2} Y \epsilon_l^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $u = \frac{1}{2} \times (2.0 \times 10^{11}) \times (5 \times 10^{-3})^2$.
$u = 1.0 \times 10^{11} \times 25 \times 10^{-6} = 25 \times 10^5 \ J/m^3$.
अतः,मान $25$ है।

(B) यंग मापांक $(Y)$,दृढ़ता मापांक $(\eta)$ और प्वासों अनुपात $(\sigma)$ के बीच संबंध का सूत्र है: $Y = 2\eta(1 + \sigma)$.
दिया गया है कि $Y = 2.6\eta$,इसे समीकरण में रखने पर:
$2.6\eta = 2\eta(1 + \sigma)$.
दोनों पक्षों को $2\eta$ से विभाजित करने पर:
$1.3 = 1 + \sigma$.
$\sigma$ का मान ज्ञात करने पर:
$\sigma = 1.3 - 1 = 0.3$.
अतः,प्वासों अनुपात $0.3$ है।

(D) यंग मापांक $(Y)$,दृढ़ता मापांक $(\eta)$ और प्वासों अनुपात $(\sigma)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$Y = 2 \eta (1 + \sigma)$
अतः,सही संबंध $Y = 2 \eta (1 + \sigma)$ है।

(D) यंग मापांक $(Y)$,दृढ़ता मापांक $(\eta)$ और प्वासों अनुपात $(\sigma)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Y = 2\eta(1 + \sigma)$.
यह दिया गया है कि $Y = 2.4\eta$,इसलिए इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2.4\eta = 2\eta(1 + \sigma)$.
दोनों पक्षों को $2\eta$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1.2 = 1 + \sigma$.
$\sigma$ के लिए हल करने पर:
$\sigma = 1.2 - 1 = 0.2$.
अतः,प्वासों अनुपात $0.2$ है।

(B) अनुदैर्ध्य विकृति $\epsilon_L = \frac{\Delta L}{L} = \frac{F}{AY} = \frac{Mg}{\pi r^2 Y}$ द्वारा दी जाती है।
पॉइसन अनुपात $\sigma$ को पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\sigma = -\frac{\epsilon_D}{\epsilon_L} = -\frac{\Delta r / r}{\Delta L / L}$।
इसलिए,पार्श्व विकृति $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \epsilon_L$ है।
त्रिज्या में कमी का परिमाण $\Delta r = r \sigma \epsilon_L$ है।
$\epsilon_L$ का मान रखने पर: $\Delta r = r \sigma \left( \frac{Mg}{\pi r^2 Y} \right) = \frac{Mg \sigma}{\pi r Y}$।

(D) एक समांगी समदैशिक पदार्थ के लिए पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ सैद्धांतिक रूप से इस आवश्यकता द्वारा सीमित है कि यंग मापांक $(Y)$, कर्तन मापांक $(G)$ और आयतन मापांक $(K)$ सभी धनात्मक मान होने चाहिए।
यह पॉइसन अनुपात के लिए $-1.0 < \sigma < 0.5$ की सैद्धांतिक सीमा निर्धारित करता है।
अधिकांश सामान्य पदार्थों का पॉइसन अनुपात $0$ और $0.5$ के बीच होता है।
चूंकि $0.8$ इस वैध सीमा से बाहर है, इसलिए यह एक समांगी समदैशिक पदार्थ के लिए पॉइसन अनुपात का मान नहीं हो सकता है।

(B) प्वासों अनुपात $\sigma$ को अनुप्रस्थ विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के ऋणात्मक मान के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\sigma = -\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L}$।
$L$ लंबाई और $D$ व्यास वाले तार के लिए,आयतन $V = \frac{\pi D^2 L}{4}$ होता है।
चूंकि आयतन $V$ स्थिर रहता है,इसलिए $\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta L}{L} = 0$।
इसका अर्थ है कि $2\frac{\Delta D}{D} = -\frac{\Delta L}{L}$,या $\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L} = -0.5$।
प्वासों अनुपात की परिभाषा में इसे प्रतिस्थापित करने पर: $\sigma = -(-0.5) = 0.5$।
अतः,खिंचाव के दौरान स्थिर आयतन वाले पदार्थ के लिए प्वासों अनुपात $0.5$ होता है।
इस प्रकार,विकल्प $(B)$ सही है।

(B) अनुदैर्ध्य विकृति $\epsilon_L = 0.2 \% = 0.002$ दी गई है।
प्वासों अनुपात $\sigma$ को पार्श्व विकृति (lateral strain) $\epsilon_d$ और अनुदैर्ध्य विकृति $\epsilon_L$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $\epsilon_d = -\sigma \cdot \epsilon_L$।
यहाँ,$\sigma = 0.3$ है,इसलिए पार्श्व विकृति $\epsilon_d = -0.3 \times 0.002 = -0.0006$ है।
एक तार के लिए आयतन विकृति $\frac{\Delta V}{V}$ अनुदैर्ध्य विकृति और दो पार्श्व विकृतियों के योग के बराबर होती है: $\frac{\Delta V}{V} = \epsilon_L + 2\epsilon_d$।
मान रखने पर: $\frac{\Delta V}{V} = 0.002 + 2(-0.0006) = 0.002 - 0.0012 = 0.0008$।
प्रतिशत में बदलने पर: $0.0008 \times 100 \% = 0.08 \%$।

(C) स्टील के तार की लंबाई,$l = 3 \ m$।
लंबाई में वृद्धि,$\Delta l = 0.3 \ cm = 0.3 \times 10^{-2} \ m = 3 \times 10^{-3} \ m$।
पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ $= 0.26$।
परिभाषा के अनुसार,पॉइसन अनुपात पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात है:
$\sigma = \frac{\text{पार्श्व विकृति}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}} = 0.26$।
अनुदैर्ध्य विकृति $= \frac{\Delta l}{l} = \frac{3 \times 10^{-3} \ m}{3 \ m} = 10^{-3}$।
अतः,पार्श्व विकृति $= 0.26 \times \text{अनुदैर्ध्य विकृति} = 0.26 \times 10^{-3}$।

(D) दिया गया है,पॉइसन अनुपात,$\sigma = 0.5$.
अनुदैर्ध्य विकृति,$\frac{\Delta l}{l} = 2 \times 10^{-3}$.
आयतन विकृति $\left(\frac{\Delta V}{V}\right)$ और अनुदैर्ध्य विकृति $\left(\frac{\Delta l}{l}\right)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\frac{\Delta V}{V} = (1 - 2\sigma) \frac{\Delta l}{l}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = (1 - 2 \times 0.5) \times 2 \times 10^{-3}$
$\frac{\Delta V}{V} = (1 - 1) \times 2 \times 10^{-3} = 0 \times 2 \times 10^{-3} = 0$
अतः,आयतन में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 0 \times 100\% = 0\%$ है।

(C) दिया गया है: तार की लंबाई $L = 10 \ m$,व्यास $D = 0.6 \times 10^{-3} \ m$,पॉइसन अनुपात $\sigma = 0.3$ और तार की लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 6 \times 10^{-3} \ m$ है।
पॉइसन अनुपात को पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$\sigma = \frac{\text{पार्श्व विकृति}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}} = \frac{\Delta D / D}{\Delta L / L}$
व्यास में परिवर्तन $\Delta D$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\Delta D = \sigma \times D \times \frac{\Delta L}{L}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta D = 0.3 \times (0.6 \times 10^{-3} \ m) \times \frac{6 \times 10^{-3} \ m}{10 \ m}$
$\Delta D = 0.3 \times 0.6 \times 10^{-3} \times 6 \times 10^{-4} \ m$
$\Delta D = 1.08 \times 10^{-7} \ m = 10.8 \times 10^{-8} \ m$
अतः,तार के व्यास में परिवर्तन $10.8 \times 10^{-8} \ m$ है। सही विकल्प $C$ है।

(D) आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V}$ को सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{\Delta V}{V} = \epsilon_l (1 - 2\sigma)$,जहाँ $\epsilon_l$ अनुदैर्ध्य विकृति है और $\sigma$ पॉइसन अनुपात है।
दिया गया है,$\epsilon_l = 2 \times 10^{-3}$ और $\sigma = 0.5$।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = (2 \times 10^{-3}) \times (1 - 2 \times 0.5)$
$\frac{\Delta V}{V} = (2 \times 10^{-3}) \times (1 - 1)$
$\frac{\Delta V}{V} = (2 \times 10^{-3}) \times 0 = 0$।
अतः,आयतन में प्रतिशत परिवर्तन $0 \times 100 = 0\%$ है।

(A) दिया गया है: तनाव $F = 22 \,N$,क्षेत्रफल $A = 0.02 \,cm^2 = 0.02 \times 10^{-4} \,m^2$,यंग मापांक $Y = 1.1 \times 10^{11} \,N/m^2$,पॉइसन अनुपात $\sigma = 0.32$.
अनुदैर्ध्य विकृति $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{AY} = \frac{22}{(0.02 \times 10^{-4}) \times (1.1 \times 10^{11})} = \frac{22}{2.2 \times 10^4} = 10^{-4}$.
पॉइसन अनुपात $\sigma = -\frac{\Delta r/r}{\Delta l/l}$ है। पार्श्व विकृति $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \frac{\Delta l}{l} = -0.32 \times 10^{-4}$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,इसलिए $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ होता है।
मान रखने पर,$\frac{\Delta A}{A} = 2 \times (-0.32 \times 10^{-4}) = -0.64 \times 10^{-4}$.
क्षेत्रफल में कमी $\Delta A = |\frac{\Delta A}{A}| \times A = (0.64 \times 10^{-4}) \times (0.02 \,cm^2) = 1.28 \times 10^{-6} \,cm^2$.

(B) पॉइसन अनुपात $\sigma$ को पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $\sigma = -\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L}$.
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,क्षेत्रफल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ होता है।
दिया गया है $\frac{\Delta A}{A} = -2\% = -0.02$,इसलिए $2 \frac{\Delta r}{r} = -0.02$,जिससे $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$ प्राप्त होता है।
पार्श्व विकृति $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$ है।
पॉइसन अनुपात के सूत्र का उपयोग करने पर: $\sigma = -\frac{\Delta r/r}{\Delta L/L}$.
$0.4 = -\frac{-0.01}{\Delta L/L}$.
$\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.01}{0.4} = 0.025$.
अतः,लंबाई में प्रतिशत वृद्धि $0.025 \times 100 = 2.5 \%$ है।