Poisson's Ratio and relation between Modulus Questions in Hindi

(B) पॉइसन अनुपात $\sigma$ को पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $\sigma = -\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L}$.
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,क्षेत्रफल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ होता है।
दिया गया है $\frac{\Delta A}{A} = -2\% = -0.02$,इसलिए $2 \frac{\Delta r}{r} = -0.02$,जिससे $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$ प्राप्त होता है।
पार्श्व विकृति $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$ है।
पॉइसन अनुपात के सूत्र का उपयोग करने पर: $\sigma = -\frac{\Delta r/r}{\Delta L/L}$.
$0.4 = -\frac{-0.01}{\Delta L/L}$.
$\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.01}{0.4} = 0.025$.
अतः,लंबाई में प्रतिशत वृद्धि $0.025 \times 100 = 2.5 \%$ है।

(B) प्रत्यास्थता के सिद्धांत से प्रत्यास्थता गुणांकों के बीच संबंध प्राप्त किया जाता है। एक समदैशिक (isotropic) पदार्थ के लिए,यंग मापांक $(Y)$,आयतन मापांक $(K)$ और दृढ़ता मापांक $(\eta)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\frac{9}{Y} = \frac{3}{\eta} + \frac{1}{K}$।
इस सूत्र का उपयोग करके,यदि हमें दो प्रत्यास्थता गुणांक ज्ञात हों,तो हम तीसरे की गणना कर सकते हैं।

(D) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ है, इसलिए अनुदैर्ध्य विकृति $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{YA}$ होती है।
यहाँ $F = 22 \,N$, $Y = 1.1 \times 10^{11} \,N/m^2$, और $A = 0.01 \,cm^2 = 10^{-6} \,m^2$ दिया गया है।
अनुदैर्ध्य विकृति की गणना: $\frac{\Delta l}{l} = \frac{22}{1.1 \times 10^{11} \times 10^{-6}} = 2 \times 10^{-4}$.
प्वासों अनुपात $\sigma = \frac{\text{पार्श्विक विकृति}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}} = \frac{\Delta r/r}{\Delta l/l}$ होता है।
अतः, $\frac{\Delta r}{r} = \sigma \cdot \frac{\Delta l}{l} = 0.32 \times 2 \times 10^{-4} = 6.4 \times 10^{-5}$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है। अवकलन करने पर, क्षेत्रफल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta A}{A} = 2 \times 6.4 \times 10^{-5} = 12.8 \times 10^{-5}$.
अतः, क्षेत्रफल में कमी $\Delta A = (12.8 \times 10^{-5}) \times (0.01 \,cm^2) = 1.28 \times 10^{-6} \,cm^2$ होगी।

(C) यंग मापांक $(Y)$, दृढ़ता मापांक $(\eta)$ और प्वासों अनुपात $(\sigma)$ के बीच संबंध $Y = 2\eta(1 + \sigma)$ है।
दिया गया है $Y / \eta = 2.8$, इसलिए $2(1 + \sigma) = 2.8$, जिसका अर्थ है $1 + \sigma = 1.4$, यानी $\sigma = 0.4$.
तार का आयतन $V = A \cdot L$ स्थिर रहता है, इसलिए $dV/V = dA/A + dL/L = 0$, जिसका अर्थ है $dL/L = -dA/A$.
क्षेत्रफल में $2 \%$ की कमी दी गई है, $dA/A = -0.02$, इसलिए $dL/L = 0.02$ (लंबाई में $2 \%$ की वृद्धि)।
हालाँकि, पार्श्व विकृति $\epsilon_l = -\sigma \cdot \epsilon_L$ पर विचार करते हुए, जहाँ $\epsilon_l = (dA/A)/2 = -0.01$.
अतः, $-0.01 = -0.4 \cdot \epsilon_L$, जो देता है $\epsilon_L = 0.01 / 0.4 = 0.025$.
इसलिए, लंबाई में प्रतिशत परिवर्तन $2.5 \%$ है।

(A) दिया गया है:
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 0.01 \ cm^2 = 10^{-6} \ m^2$.
तनाव $T = 22 \ N$.
यंग मापांक $Y = 1.1 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$.
पॉइसन अनुपात $\sigma = 0.32$.
अनुदैर्ध्य विकृति $\frac{\Delta l}{l} = \frac{T}{AY} = \frac{22}{10^{-6} \times 1.1 \times 10^{11}} = \frac{22}{1.1 \times 10^5} = 20 \times 10^{-5}$.
पार्श्विक विकृति $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \frac{\Delta l}{l} = -0.32 \times 20 \times 10^{-5} = -6.4 \times 10^{-5}$.
चूंकि $A = \pi r^2$,क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2\pi r \Delta r$ है,इसलिए $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$.
क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन $= |2 \times (-6.4 \times 10^{-5})| \times 100 = 12.8 \times 10^{-3} \%$.

(C) माना तार की मूल त्रिज्या $r$ और लंबाई $L$ है। अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
अवकलन करने पर,$\Delta A = 2 \pi r \Delta r$ प्राप्त होता है।
प्वासों अनुपात $\sigma$ की परिभाषा के अनुसार $\sigma = -\frac{\Delta r / r}{\Delta L / L}$,इसलिए $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \frac{\Delta L}{L}$।
इस मान को क्षेत्रफल परिवर्तन के समीकरण में रखने पर: $\Delta A = 2 \pi r^2 (-\sigma \frac{\Delta L}{L}) = -2 A \sigma \frac{\Delta L}{L}$।
परिमाण लेने पर,$|\Delta A| = 2 A \sigma \frac{\Delta L}{L}$,जिससे $\frac{\Delta L}{L} = \frac{\Delta A}{2 A \sigma}$ प्राप्त होता है।
यंग मापांक $Y$ की परिभाषा के अनुसार $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$,इसलिए $F = Y A \frac{\Delta L}{L}$।
$\frac{\Delta L}{L}$ का मान रखने पर: $F = Y A (\frac{\Delta A}{2 A \sigma}) = \frac{Y \Delta A}{2 \sigma}$।

(A) दिया गया है: तनाव $F = 20 \,N$,क्षेत्रफल $A = 0.01 \,cm^2 = 10^{-6} \,m^2$,यंग मापांक $Y = 1.1 \times 10^{11} \,N/m^2$,पॉइसन अनुपात $\sigma = 0.32$.
अनुदैर्ध्य विकृति $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{AY} = \frac{20}{10^{-6} \times 1.1 \times 10^{11}} = \frac{20}{1.1 \times 10^5} \approx 1.818 \times 10^{-4}$.
पॉइसन अनुपात $\sigma = -\frac{\Delta r/r}{\Delta l/l}$ है,इसलिए पार्श्व विकृति $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \frac{\Delta l}{l} = -0.32 \times 1.818 \times 10^{-4} \approx -0.5818 \times 10^{-4}$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,इसलिए $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$.
क्षेत्रफल में कमी $\Delta A = 2 \times A \times \sigma \times \frac{\Delta l}{l} = 2 \times 10^{-6} \times 0.32 \times 1.818 \times 10^{-4} \approx 1.16 \times 10^{-10} \,m^2$.
$cm^2$ में बदलने पर: $1.16 \times 10^{-10} \times (10^2 \,cm)^2 = 1.16 \times 10^{-6} \,cm^2$.

(A) पॉइसन अनुपात $(\sigma) = \frac{\text{पार्श्व विकृति}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}}$.
दी गई पार्श्व विकृति $= 0.01 \times 10^{-3} \ m$.
$\sigma = \frac{\text{पार्श्व विकृति}}{\Delta L / L} = 0.4$.
$\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.01 \times 10^{-3}}{0.4} = 0.025 \times 10^{-3} = 2.5 \times 10^{-5}$.
यंग मापांक $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$.
$Y = \frac{100 \ N}{0.025 \ m^2 \times (2.5 \times 10^{-5})} = \frac{100}{0.0625 \times 10^{-5}} = \frac{100}{6.25 \times 10^{-7}} = 16 \times 10^7 = 1.6 \times 10^8 \ N/m^2$.

(C) दिया गया है: लंबाई में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta l}{l} = -0.01$ (क्योंकि यह $1 \%$ कम हो जाती है)।
प्वासों अनुपात, $\sigma = 0.2$.
एक छड़ के लिए, आयतन $V = A \times l$, जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है。
आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta l}{l}$ द्वारा दिया जाता है。
चूंकि $A = w \times t$ (चौड़ाई $\times$ मोटाई), इसलिए $\frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta w}{w} + \frac{\Delta t}{t}$.
प्वासों अनुपात की परिभाषा के अनुसार, $\sigma = -\frac{\Delta w / w}{\Delta l / l} = -\frac{\Delta t / t}{\Delta l / l}$.
अतः, $\frac{\Delta w}{w} = -\sigma \frac{\Delta l}{l}$ और $\frac{\Delta t}{t} = -\sigma \frac{\Delta l}{l}$.
इन मानों को आयतन समीकरण में रखने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = -\sigma \frac{\Delta l}{l} - \sigma \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta l}{l} = \frac{\Delta l}{l} (1 - 2\sigma)$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta V}{V} = -0.01 \times (1 - 2 \times 0.2) = -0.01 \times (1 - 0.4) = -0.01 \times 0.6 = -0.006$.
अतः, आयतन में $0.6 \%$ की कमी होती है।

(D) अनुदैर्ध्य विकृति $\epsilon_L = 2 \times 10^{-3}$ दी गई है।
पॉइसन अनुपात $\sigma$ को पार्श्व विकृति $\epsilon_d$ और अनुदैर्ध्य विकृति $\epsilon_L$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\sigma = -\frac{\epsilon_d}{\epsilon_L}$.
अतः,पार्श्व विकृति $\epsilon_d = -\sigma \epsilon_L = -0.50 \times (2 \times 10^{-3}) = -1 \times 10^{-3}$ है।
आयतन विकृति $\frac{\Delta V}{V}$ अनुदैर्ध्य विकृति और दो पार्श्व विकृतियों के योग के बराबर होती है: $\frac{\Delta V}{V} = \epsilon_L + 2\epsilon_d$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta V}{V} = (2 \times 10^{-3}) + 2(-1 \times 10^{-3}) = 2 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3} = 0$.
चूंकि आयतन विकृति $0$ है,इसलिए आयतन में प्रतिशत परिवर्तन $0$ है।

(D) पॉइसन अनुपात $\sigma$ को पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $\sigma = -\frac{dD/D}{dL/L}$.
दिया गया है $\sigma = 0.5$,इसलिए $0.5 = -\frac{dD/D}{dL/L}$,जिसका अर्थ है $\frac{dD}{D} = -0.5 \frac{dL}{L}$।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ होता है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,$\frac{dA}{A} = 2 \frac{dD}{D}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dD}{D}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dA}{A} = 2 (-0.5 \frac{dL}{L}) = -\frac{dL}{L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि क्षेत्रफल में $4 \%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{dA}{A} = -0.04$ है।
अतः,$-0.04 = -\frac{dL}{L}$,जिसका अर्थ है $\frac{dL}{L} = 0.04$ या $4 \%$।
इस प्रकार,लंबाई में प्रतिशत वृद्धि $4 \%$ है।

(D) दिया गया है कि प्रतिबल $\sigma_{s} = \frac{1}{100} Y$,जहाँ $Y$ यंग मापांक है।
हम जानते हैं कि $Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}} = \frac{\sigma_{s}}{\Delta l / l}$.
प्रतिबल का मान रखने पर: $Y = \frac{Y / 100}{\Delta l / l} \implies \frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{100} = 0.01$.
प्वासों अनुपात $\nu = -\frac{\Delta w / w}{\Delta l / l} = -\frac{\Delta t / t}{\Delta l / l} = 0.3$.
अतः,पार्श्व विकृति $\frac{\Delta w}{w} = \frac{\Delta t}{t} = -\nu \left( \frac{\Delta l}{l} \right) = -0.3 \times 0.01 = -0.003$.
एक आयताकार छड़ का आयतन $V = l \times w \times t$ होता है।
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} \approx \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta w}{w} + \frac{\Delta t}{t}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta V}{V} = 0.01 + (-0.003) + (-0.003) = 0.01 - 0.006 = 0.004$.
इसलिए,आयतन में प्रतिशत परिवर्तन $0.004 \times 100 \% = 0.4 \%$ है।