Thermal Expansion for fluid Questions in Hindi

(B) जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,ऊष्मीय प्रसार के कारण पिंड का आयतन $V$ बढ़ता है,जबकि उसका द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है। चूँकि घनत्व $\rho = m/V$ होता है,इसलिए घनत्व कम हो जाता है।
आयतन प्रसार के लिए संबंध: $V = V_0(1 + \gamma \Delta \theta)$,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है।
तापमान $\theta$ पर घनत्व $\rho = m/V$ है और प्रारंभिक तापमान $\theta_0$ पर $\rho_0 = m/V_0$ है।
अतः,$\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{V_0}{V} = \frac{V_0}{V_0(1 + \gamma \Delta \theta)} = (1 + \gamma \Delta \theta)^{-1}$।
छोटे $\gamma \Delta \theta$ के लिए द्विपद सन्निकटन का उपयोग करने पर,$(1 + \gamma \Delta \theta)^{-1} \approx (1 - \gamma \Delta \theta)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\rho = \rho_0(1 - \gamma \Delta \theta)$।

(A) द्रव स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि दोनों स्तंभ एक-दूसरे को संतुलित करते हैं,इसलिए उनका दबाव समान है: $h_1 \rho_1 g = h_2 \rho_2 g$,जिसका अर्थ है $h_1 \rho_1 = h_2 \rho_2$.
तापमान के साथ घनत्व में परिवर्तन के संबंध $\rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \theta}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1 + \gamma \theta_1}{1 + \gamma \theta_2}$.
यहाँ $h_1 = 50 \ cm$,$\theta_1 = 50^{\circ}C$,$h_2 = 60 \ cm$,और $\theta_2 = 100^{\circ}C$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{50}{60} = \frac{1 + 50\gamma}{1 + 100\gamma}$.
वज्र गुणन करने पर: $50(1 + 100\gamma) = 60(1 + 50\gamma)$.
$50 + 5000\gamma = 60 + 3000\gamma$.
$2000\gamma = 10$.
$\gamma = \frac{10}{2000} = 0.005 \ ^{\circ}C^{-1}$.

(D) स्थिर दबाव पर आयतन और तापमान के बीच का संबंध $V_t = V_0(1 + \gamma t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है।
दो अलग-अलग तापमान $t_1$ और $t_2$ के लिए,हमारे पास $\frac{V_1}{V_2} = \frac{1 + \gamma t_1}{1 + \gamma t_2}$ है।
दिया गया है कि $V_1 = 100 \, cm^3$ तापमान $t_1 = 20^{\circ}C$ पर और $V_2 = 125 \, cm^3$ तापमान $t_2 = 100^{\circ}C$ पर है।
मान रखने पर: $\frac{100}{125} = \frac{1 + 20\gamma}{1 + 100\gamma}$.
भिन्न को सरल करने पर: $0.8 = \frac{1 + 20\gamma}{1 + 100\gamma}$.
$0.8(1 + 100\gamma) = 1 + 20\gamma$.
$0.8 + 80\gamma = 1 + 20\gamma$.
$60\gamma = 0.2$.
$\gamma = \frac{0.2}{60} = \frac{1}{300} \approx 0.0033 \, ^{\circ}C^{-1}$.

(A) घनत्व और तापमान के बीच संबंध $\rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \Delta \theta} \approx \rho_0(1 - \gamma \Delta \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
$0^{\circ}C$ $(273 \, K)$ पर $\rho_0 = 13.6 \, g/cm^3$.
$\gamma = 0.18 \times 10^{-3} \, ^{\circ}C^{-1}$.
अंतिम तापमान $T = 473 \, K$,जो $473 - 273 = 200^{\circ}C$ है।
अतः,$\Delta \theta = 200^{\circ}C - 0^{\circ}C = 200^{\circ}C$.
मान रखने पर:
$\rho = 13.6 \times [1 - (0.18 \times 10^{-3} \times 200)]$
$\rho = 13.6 \times [1 - 0.036]$
$\rho = 13.6 \times 0.964 = 13.1104 \, g/cm^3$.
इस प्रकार,$473 \, K$ पर घनत्व लगभग $13.11 \, g/cm^3$ है।

(B) किसी द्रव का आभासी प्रसार उसके वास्तविक प्रसार और पात्र के प्रसार के बीच का अंतर होता है।
कांच के पात्र का आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_{vessel})$ रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ से $\gamma_{vessel} = 3\alpha$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$\gamma_{vessel} = 3 \times 0.000009 = 0.000027 \text{ /}^{\circ}\text{C}$।
आभासी आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_{app})$ को $\gamma_{app} = \gamma_{real} - \gamma_{vessel}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$\gamma_{app} = 0.000597 - 0.000027 = 0.00057 \text{ /}^{\circ}\text{C}$।

(C) पानी असामान्य प्रसार प्रदर्शित करता है। $4^{\circ}C$ पर इसका घनत्व अधिकतम होता है,जिसका अर्थ है कि इस तापमान पर इसका आयतन न्यूनतम होता है।
यदि पानी को $4^{\circ}C$ से ऊपर गर्म किया जाता है,तो इसका घनत्व कम हो जाता है,जिससे इसका आयतन बढ़ जाता है।
यदि पानी को $4^{\circ}C$ से नीचे ठंडा किया जाता है,तो भी इसका घनत्व कम हो जाता है,जिससे इसका आयतन बढ़ जाता है।
चूंकि बीकर $4^{\circ}C$ पर पहले से ही पूरी तरह भरा हुआ है,इसलिए गर्म करने या ठंडा करने के कारण आयतन में कोई भी वृद्धि पानी को छलकने पर मजबूर कर देगी। अतः,दोनों ही स्थितियों में पानी छलक जाएगा।

(A) आभासी प्रसार गुणांक $\gamma_{\text{app}}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है:
$\gamma_{\text{app}} = \frac{\text{बाहर निकला द्रव्यमान}}{\text{शेष द्रव्यमान} \times \Delta T}$
दिया गया है कि बाहर निकला द्रव्यमान शेष द्रव्यमान का $(1/100)$ है,मान लीजिए शेष द्रव्यमान $m$ है। तो बाहर निकला द्रव्यमान $m/100$ होगा।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 80^{\circ}C$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\gamma_{\text{app}} = \frac{m/100}{m \times 80} = \frac{1}{100 \times 80} = \frac{1}{8000}$
$\gamma_{\text{app}} = 0.000125 = 1.25 \times 10^{-4} {^{\circ}C^{-1}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) कांच के फ्लास्क के सापेक्ष पारे का आभासी प्रसार सूत्र $\Delta V = V_0 (\gamma_{real} - \gamma_{glass}) \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कांच के आयतन प्रसार का गुणांक $\gamma_{glass} = 3\alpha_{glass}$ होता है,इसलिए $\gamma_{glass} = 3 \times 9 \times 10^{-6} {^{\circ}C}^{-1} = 27 \times 10^{-6} {^{\circ}C}^{-1}$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 38^{\circ}C - 18^{\circ}C = 20^{\circ}C$ है।
मान रखने पर: $\Delta V = 50 \times (180 \times 10^{-6} - 27 \times 10^{-6}) \times 20$.
$\Delta V = 50 \times (153 \times 10^{-6}) \times 20 = 1000 \times 153 \times 10^{-6} = 0.153\, cc$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,निशान के ऊपर पारे की मात्रा $0.15\, cc$ है।

(B) बाहर निकलने वाले पारे का आयतन,पारे के आयतन में वृद्धि और कांच के फ्लास्क के आंतरिक आयतन में वृद्धि के अंतर के बराबर होता है।
दिया गया है:
प्रारंभिक आयतन $V_0 = 1000 \, cc$ (चूंकि $1 \, L = 1000 \, cc$)।
तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta = 100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100^{\circ}C$।
पारे का आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_L = 1.82 \times 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$।
कांच का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_g = 0.1 \times 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$।
कांच का आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_g = 3\alpha_g = 3 \times 0.1 \times 10^{-4} = 0.3 \times 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$ होगा।
बाहर निकलने वाले पारे का आयतन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta V = V_0 (\gamma_L - \gamma_g) \Delta \theta$
मान रखने पर:
$\Delta V = 1000 \times (1.82 \times 10^{-4} - 0.3 \times 10^{-4}) \times 100$
$\Delta V = 1000 \times (1.52 \times 10^{-4}) \times 100$
$\Delta V = 15.2 \, cc$.
अतः,$15.2 \, cc$ पारा बाहर निकल जाएगा।

(D) पारे के आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_0 \gamma \Delta \theta$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन में यह परिवर्तन पारे को स्टेम में ऊपर की ओर ले जाता है,इसलिए $\Delta V = A \Delta l$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta l$ लंबाई में परिवर्तन है।
दोनों को बराबर करने पर,$A \Delta l = V_0 \gamma \Delta \theta$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $V_0 = 10^{-6} \, m^3$,$\gamma = 18 \times 10^{-5} \, ^\circ C^{-1}$,$\Delta \theta = 100 \, ^\circ C$,और $A = 0.004 \, cm^2 = 0.004 \times 10^{-4} \, m^2 = 4 \times 10^{-7} \, m^2$.
मान रखने पर: $\Delta l = \frac{V_0 \gamma \Delta \theta}{A} = \frac{10^{-6} \times 18 \times 10^{-5} \times 100}{4 \times 10^{-7}}$.
$\Delta l = \frac{18 \times 10^{-9}}{4 \times 10^{-7}} = 4.5 \times 10^{-2} \, m = 4.5 \, cm$.

(A) मान लीजिए कि संदर्भ तापमान पर प्रत्येक भुजा में तरल की प्रारंभिक ऊँचाई $l_0$ है।
जब दोनों भुजाओं के तापमान को क्रमशः $t_1$ और $t_2$ तक बढ़ाया जाता है,तो नई ऊँचाई $l_1$ और $l_2$ ऊष्मीय प्रसार के सूत्र $l = l_0(1 + \gamma \Delta t)$ द्वारा दी जाती है।
यदि संदर्भ तापमान $0^{\circ}C$ है,तो हमारे पास है:
$l_1 = l_0(1 + \gamma t_1)$ और $l_2 = l_0(1 + \gamma t_2)$.
इनसे,हम लिख सकते हैं $l_0 = \frac{l_1}{1 + \gamma t_1} = \frac{l_2}{1 + \gamma t_2}$.
$l_0$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$l_1(1 + \gamma t_2) = l_2(1 + \gamma t_1)$
$l_1 + l_1 \gamma t_2 = l_2 + l_2 \gamma t_1$
$l_1 - l_2 = \gamma (l_2 t_1 - l_1 t_2)$
अतः,आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ का मान है:
$\gamma = \frac{l_1 - l_2}{l_2 t_1 - l_1 t_2}$.

(D) आयतन प्रसार का सूत्र $\Delta V = \gamma V_1 \Delta T$ है।
यहाँ,$\Delta V = V_2 - V_1 = 125 \, cm^3 - 100 \, cm^3 = 25 \, cm^3$ है।
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 100 \, cm^3$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 100 \, ^\circ C - 20 \, ^\circ C = 80 \, ^\circ C$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\gamma = \frac{\Delta V}{V_1 \Delta T} = \frac{25}{100 \times 80} = \frac{25}{8000} = 0.003125 \, ^\circ C^{-1}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,मान $0.0031 \, ^\circ C^{-1}$ है।

(B) तापमान में वृद्धि के साथ पारे और कांच के फ्लास्क दोनों के आयतन में वृद्धि होती है।
फ्लास्क से बाहर गिरने वाले पारे का आयतन,पारे के आयतन में वृद्धि और कांच के फ्लास्क के आंतरिक आयतन में वृद्धि के बीच का अंतर है।
दिया गया है:
प्रारंभिक आयतन $V_0 = 1 \, L = 1000 \, cm^3$
तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta = 100 \, ^\circ C - 0 \, ^\circ C = 100 \, ^\circ C$
पारे का आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_l = 1.82 \times 10^{-4} \, ^\circ C^{-1}$
कांच का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_g = 0.1 \times 10^{-4} \, ^\circ C^{-1}$
कांच का आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_g = 3 \alpha_g = 3 \times 0.1 \times 10^{-4} = 0.3 \times 10^{-4} \, ^\circ C^{-1}$
बाहर गिरने वाले पारे का आयतन:
$\Delta V = V_0 (\gamma_l - \gamma_g) \Delta \theta$
$\Delta V = 1000 \times (1.82 \times 10^{-4} - 0.3 \times 10^{-4}) \times 100$
$\Delta V = 1000 \times (1.52 \times 10^{-4}) \times 100$
$\Delta V = 15.2 \, cm^3$

(C) मान लीजिए कि $\rho_0$ और $\rho_T$ क्रमशः प्रारंभिक और अंतिम तापमान पर ग्लिसरीन का घनत्व हैं।
घनत्व और तापमान के बीच का संबंध $\rho_T = \rho_0(1 - \gamma \Delta T)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\rho_T}{\rho_0} = 1 - \gamma \Delta T$ प्राप्त होता है।
घनत्व में भिन्नात्मक परिवर्तन को $\frac{\rho_0 - \rho_T}{\rho_0}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
समीकरण से,$\frac{\rho_0 - \rho_T}{\rho_0} = \gamma \Delta T$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\gamma = 5 \times 10^{-4} \ K^{-1}$ और $\Delta T = 40 \ K$ दिया गया है।
मान रखने पर,घनत्व में भिन्नात्मक परिवर्तन = $(5 \times 10^{-4} \ K^{-1}) \times (40 \ K) = 200 \times 10^{-4} = 0.02$।

(C) तापमान $T + \Delta T$ पर किसी पदार्थ का घनत्व $\rho$ और तापमान $T$ पर उसके प्रारंभिक घनत्व $\rho_0$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \Delta T}$.
चूंकि $\gamma \Delta T \ll 1$,हम द्विपद सन्निकटन (binomial approximation) का उपयोग कर सकते हैं: $\rho \approx \rho_0(1 - \gamma \Delta T)$.
घनत्व में परिवर्तन $\Delta \rho = \rho - \rho_0 = -\rho_0 \gamma \Delta T$ है।
घनत्व में आंशिक परिवर्तन $\frac{|\Delta \rho|}{\rho_0} = \gamma \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\gamma = 5 \times 10^{-4} \ K^{-1}$ और $\Delta T = 40^{\circ} C = 40 \ K$.
अतः,आंशिक परिवर्तन = $5 \times 10^{-4} \times 40 = 200 \times 10^{-4} = 0.02$.

(B) दिए गए ग्राफ से,$t = 0 ^oC$ पर गैस का आयतन $V_0 = 0.5 \text{ लीटर}$ है।
आयतन प्रसार के सूत्र का उपयोग करने पर: $V_t = V_0(1 + \alpha t)$.
यहाँ $\alpha = \frac{1}{273} \text{ प्रति } ^oC$ और $t = 819 ^oC$ दिया गया है।
मान रखने पर: $V_t = 0.5 \times (1 + \frac{1}{273} \times 819)$.
$V_t = 0.5 \times (1 + 3) = 0.5 \times 4 = 2 \text{ लीटर}$.
चूंकि $1 \text{ लीटर} = 10^{-3} \text{ m}^3$,इसलिए आयतन $2 \times 10^{-3} \text{ m}^3$ होगा।

(D) मान लीजिए कि पात्र का प्रारंभिक आयतन $V_0$ है और पात्र तथा तेल दोनों के लिए आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ है।
जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है,तो पात्र का नया आयतन $V_v = V_0(1 + \gamma \Delta T)$ हो जाता है।
तेल का नया आयतन $V_o = V_0(1 + \gamma \Delta T)$ हो जाता है।
चूंकि प्रसार समान है,तेल बिना किसी अतिप्रवाह (overflow) के पात्र को पूरी तरह से भरा रखेगा।
चूंकि पात्र का आयतन बढ़ गया है,इसलिए यह अब प्रारंभिक स्थिति की तुलना में अधिक आयतन वाला तेल समाहित कर सकता है।
हालाँकि,जैसे-जैसे तेल फैलता है,उसका घनत्व कम हो जाता है,इसलिए द्रव्यमान $m = \rho V$ स्थिर रहता है क्योंकि आयतन में हुई वृद्धि घनत्व में हुई कमी से संतुलित हो जाती है।
अतः,पात्र अधिक आयतन वाला तेल समाहित करता है,लेकिन तेल का कुल द्रव्यमान समान रहता है।

(A) आभासी प्रसार का गुणांक $\gamma_a$,$\gamma_a = \gamma_l - \gamma_v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma_l$ द्रव के आयतन प्रसार का वास्तविक गुणांक है और $\gamma_v$ बर्तन के आयतन प्रसार का गुणांक है।
तांबे के बर्तन के लिए: $C = \gamma_l - \gamma_c \implies \gamma_l = C + \gamma_c$.
चांदी के बर्तन के लिए: $S = \gamma_l - \gamma_s$,जहाँ $\gamma_s$ चांदी के आयतन प्रसार का गुणांक है।
पहले समीकरण से $\gamma_l$ का मान रखने पर: $S = (C + \gamma_c) - \gamma_s$.
$\gamma_s$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\gamma_s = C + \gamma_c - S$.
चूंकि आयतन प्रसार का गुणांक रैखिक प्रसार के गुणांक का तीन गुना होता है $(\gamma_s = 3\alpha_s)$,हमें प्राप्त होता है $3\alpha_s = C + \gamma_c - S$.
अतः,चांदी के रैखिक प्रसार का गुणांक $\alpha_s = \frac{C + \gamma_c - S}{3}$ है।

(C) माना $h_1 = 120 \, cm$ $0^{\circ}C$ पर द्रव की ऊंचाई है (बाईं नली)।
माना $h_2 = 120 + 4 = 124 \, cm$ $30^{\circ}C$ पर द्रव की ऊंचाई है (दाईं नली)।
चूंकि दोनों नलियों के तल पर दबाव समान होना चाहिए:
$h_1 \rho_1 g = h_2 \rho_2 g$
$\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$
चूंकि $\rho_2 = \frac{\rho_1}{1 + \gamma \Delta T}$,जहां $\Delta T = 30^{\circ}C - 0^{\circ}C = 30^{\circ}C$:
$h_1 = h_2 \left( \frac{1}{1 + \gamma \Delta T} \right)$
$1 + \gamma \Delta T = \frac{h_2}{h_1} = \frac{124}{120}$
$\gamma \Delta T = \frac{124}{120} - 1 = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$
$\gamma = \frac{1}{30 \times 30} = \frac{1}{900} \approx 0.00111 \, /^{\circ}C$
$\gamma \approx 11.11 \times 10^{-4} /^{\circ}C$.

(C) $U$-ट्यूब के तल पर,संतुलन के लिए दोनों द्रव स्तंभों द्वारा लगाया गया दबाव समान होना चाहिए।
$P_T = P_0$
$\rho_T h_T g = \rho_0 h_0 g$
$\rho_T h_T = \rho_0 h_0 \quad \dots(1)$
द्रव का घनत्व तापमान के साथ $\rho_T = \frac{\rho_0}{1 + \gamma T}$ के अनुसार बदलता है,जहाँ $\gamma$ आयतन विस्तार गुणांक है।
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\left( \frac{\rho_0}{1 + \gamma T} \right) h_T = \rho_0 h_0$
$h_T = h_0 (1 + \gamma T)$
$h_T = h_0 + h_0 \gamma T$
$h_T - h_0 = h_0 \gamma T$
$\gamma = \frac{h_T - h_0}{h_0 T}$

(B) पात्र के पदार्थ का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ है। इसलिए,पात्र का आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_{container} = 3 \alpha$ होगा।
जब निकाय को गर्म किया जाता है,तो द्रव तब बाहर छलक जाता है जब द्रव के आयतन में हुई वृद्धि,पात्र के आयतन में हुई वृद्धि से अधिक होती है।
इसका अर्थ है कि द्रव का आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma)$,पात्र के आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_{container})$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,$\gamma > 3 \alpha$।

(C) घनत्व $\rho$ और तापमान $t$ के बीच का संबंध $\rho_t = \rho_0 (1 - \gamma \Delta t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है।
तापमान में छोटे परिवर्तन के लिए,घनत्व में परिवर्तन $\rho_2 = \rho_1 (1 - \gamma \Delta t)$ द्वारा प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\rho_2 - \rho_1 = -\rho_1 \gamma (t_2 - t_1)$ प्राप्त होता है।
परिमाण लेने पर,$\gamma = \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 (t_2 - t_1)}$।
यहाँ $\rho_1 = 0.998 \, g/cm^3$,$\rho_2 = 0.992 \, g/cm^3$,$t_1 = 20^oC$,और $t_2 = 40^oC$ दिया गया है।
$\gamma = \frac{0.998 - 0.992}{0.998 \times (40 - 20)} = \frac{0.006}{0.998 \times 20} \approx \frac{0.006}{19.96} \approx 3.006 \times 10^{-4} \, ^oC^{-1}$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $3 \times 10^{-4} \, ^oC^{-1}$ है।

(D) तरल के वास्तविक विस्तार का गुणांक $\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma_{\text{vessel}} = 3\alpha$ और $\alpha$ रैखिक विस्तार का गुणांक है।
पात्र $A$ के लिए,वास्तविक विस्तार $\gamma_{\text{real}} = \gamma_1 + 3\alpha$ है।
पात्र $B$ के लिए,वास्तविक विस्तार $\gamma_{\text{real}} = \gamma_2 + 3\alpha_B$ है,जहाँ $\alpha_B$ पात्र $B$ के रैखिक विस्तार का गुणांक है।
चूंकि तरल समान है,$\gamma_{\text{real}}$ स्थिर रहता है। इसलिए,$\gamma_1 + 3\alpha = \gamma_2 + 3\alpha_B$ है।
$\alpha_B$ के लिए हल करने पर: $3\alpha_B = \gamma_1 - \gamma_2 + 3\alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha_B = \frac{\gamma_1 - \gamma_2}{3} + \alpha$।

(C) जब किसी पात्र में द्रव को गर्म किया जाता है,तो द्रव के आयतन में परिवर्तन $\Delta V_{\ell} = V \gamma \Delta T$ होता है और पात्र के आयतन में परिवर्तन $\Delta V_{c} = V \gamma_{c} \Delta T$ होता है,जहाँ $\gamma_{c} = 3\alpha$ है।
द्रव के बाहर छलकने के लिए,द्रव का प्रसार पात्र के प्रसार से अधिक होना चाहिए,अर्थात $\Delta V_{\ell} > \Delta V_{c}$।
इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V \gamma \Delta T > V (3\alpha) \Delta T$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $V \Delta T$ से विभाजित करने पर,हमें $\gamma > 3\alpha$ प्राप्त होता है।

(B) फ्लास्क का आयतन $V_0 = 1 \, L = 1000 \, cc$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta = 100 \, ^oC - 0 \, ^oC = 100 \, ^oC$ है।
पारे का आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_m = 1.82 \times 10^{-4} / ^oC$ है।
कांच का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_g = 0.1 \times 10^{-4} / ^oC$ है।
कांच का आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_g = 3 \alpha_g = 3 \times 0.1 \times 10^{-4} = 0.3 \times 10^{-4} / ^oC$ होगा।
बाहर गिरने वाले पारे का आयतन,पारे के प्रसार और कांच के फ्लास्क के प्रसार के बीच का अंतर है:
$\Delta V = V_0 (\gamma_m - \gamma_g) \Delta \theta$
$\Delta V = 1000 \times (1.82 \times 10^{-4} - 0.3 \times 10^{-4}) \times 100$
$\Delta V = 1000 \times (1.52 \times 10^{-4}) \times 100$
$\Delta V = 15.2 \, cc$.

(B) आभासी प्रसार गुणांक $\gamma_{app}$,द्रव के वास्तविक प्रसार गुणांक $\gamma_r$ और पात्र के आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_v$ से इस प्रकार संबंधित है: $\gamma_{app} = \gamma_r - \gamma_v$.
पात्र के लिए,आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_v = 3\alpha$,जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
अतः,$\gamma_{app} = \gamma_r - 3\alpha$.
स्टील के लिए: $\gamma_{app, steel} = 114 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ और $\alpha_{steel} = 12 \times 10^{-6} /^{\circ}C$.
$\gamma_r = \gamma_{app, steel} + 3\alpha_{steel} = 114 \times 10^{-6} + 3(12 \times 10^{-6}) = 150 \times 10^{-6} /^{\circ}C$.
कांच के लिए: $\gamma_{app, glass} = 132 \times 10^{-6} /^{\circ}C$.
सूत्र $\gamma_{app, glass} = \gamma_r - 3\alpha_{glass}$ का उपयोग करने पर:
$132 \times 10^{-6} = 150 \times 10^{-6} - 3\alpha_{glass}$.
$3\alpha_{glass} = 18 \times 10^{-6} /^{\circ}C$.
$\alpha_{glass} = 6 \times 10^{-6} /^{\circ}C$.

(D) द्रव के प्रसार का वास्तविक गुणांक स्थिर होता है और इसे निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है: $\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{apparent}} + \gamma_{\text{vessel}}$.
पात्र $A$ के लिए,आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_{v,A} = 3\alpha$ है। अतः,$\gamma_{\text{real}} = \gamma_1 + 3\alpha$.
पात्र $B$ के लिए,मान लीजिए कि रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_B$ है। तब आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_{v,B} = 3\alpha_B$ होगा। अतः,$\gamma_{\text{real}} = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
चूंकि दोनों स्थितियों में द्रव के लिए $\gamma_{\text{real}}$ समान है,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:
$\gamma_1 + 3\alpha = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
$\alpha_B$ के लिए हल करने पर:
$3\alpha_B = \gamma_1 - \gamma_2 + 3\alpha$.
$\alpha_B = \frac{\gamma_1 - \gamma_2}{3} + \alpha$.

(C) पात्र का आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_c)$ उसके रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ से $\gamma_c = 3\alpha$ सूत्र द्वारा संबंधित होता है।
यहाँ दिया गया है कि पात्र का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = \gamma/3$ है,इसलिए $\gamma_c = 3 \times (\gamma/3) = \gamma$ होगा।
चूंकि द्रव का आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_l = \gamma)$ और पात्र का आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_c = \gamma)$ समान हैं,इसलिए गर्म करने पर द्रव का आयतन और पात्र का आंतरिक आयतन समान मात्रा में बढ़ते हैं।
अतः,पात्र में द्रव का स्तर अपरिवर्तित रहेगा।

(C) तापमान $T$ पर किसी पदार्थ का घनत्व $d$ और प्रारंभिक तापमान $T_0$ पर घनत्व $d_i$ के बीच संबंध $d_f = \frac{d_i}{1 + \gamma \Delta T}$ है,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
घनत्व में आंशिक परिवर्तन $\frac{d_i - d_f}{d_i} = 1 - \frac{d_f}{d_i}$ द्वारा दिया जाता है।
$d_f$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $1 - \frac{1}{1 + \gamma \Delta T} = \frac{1 + \gamma \Delta T - 1}{1 + \gamma \Delta T} = \frac{\gamma \Delta T}{1 + \gamma \Delta T}$.
चूंकि $\gamma \Delta T$ बहुत छोटा है $(5 \times 10^{-4} \times 40 = 0.02)$,हम $1 + \gamma \Delta T \approx 1$ मान सकते हैं।
अतः,आंशिक परिवर्तन $\approx \gamma \Delta T$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\text{आंशिक परिवर्तन} = 5 \times 10^{-4} \times 40 = 200 \times 10^{-4} = 0.020$.

(C) ग्लिसरीन का आयतन प्रसार गुणांक $\alpha_V = 49 \times 10^{-5} \; K^{-1}$ दिया गया है।
तापमान में वृद्धि $\Delta T = 30 \; ^{\circ}C$ है।
आयतन और घनत्व के बीच संबंध $\rho = \frac{m}{V}$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $V$ आयतन है।
तापमान में छोटे परिवर्तन के लिए,आयतन $V' = V(1 + \alpha_V \Delta T)$ के अनुसार बदलता है।
नया घनत्व $\rho'$ इस प्रकार है: $\rho' = \frac{m}{V'} = \frac{m}{V(1 + \alpha_V \Delta T)} = \rho(1 + \alpha_V \Delta T)^{-1}$।
द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^{-1} \approx 1 - x$ का उपयोग करने पर,हमें $\rho' \approx \rho(1 - \alpha_V \Delta T)$ प्राप्त होता है।
घनत्व में परिवर्तन $\Delta \rho = \rho' - \rho = -\rho \alpha_V \Delta T$ है।
घनत्व में आंशिक परिवर्तन $\frac{|\Delta \rho|}{\rho} = \alpha_V \Delta T$ है।
मान रखने पर: $\frac{|\Delta \rho|}{\rho} = 49 \times 10^{-5} \times 30 = 1470 \times 10^{-5} = 1.47 \times 10^{-2}$।

(N/A) जल का असामान्य प्रसार:
जल का तापीय प्रसार तापमान के साथ असमान होता है।
जल $0^{\circ} C$ और $4^{\circ} C$ के बीच गर्म करने पर सिकुड़ता है। कमरे के तापमान से ठंडा करने पर जल का आयतन तब तक घटता है जब तक कि उसका तापमान $4^{\circ} C$ तक न पहुँच जाए।
$4^{\circ} C$ से नीचे, आयतन बढ़ता है और इसलिए घनत्व कम हो जाता है।
इसका अर्थ है कि जल का घनत्व $4^{\circ} C$ पर अधिकतम होता है।
इस गुण का एक महत्वपूर्ण पर्यावरणीय प्रभाव है: झीलों और तालाबों जैसे जल निकाय पहले ऊपर से जमते हैं।
जैसे-जैसे झील $4^{\circ} C$ की ओर ठंडी होती है, सतह के पास का पानी वातावरण में ऊर्जा खो देता है, अधिक सघन हो जाता है और नीचे बैठ जाता है; नीचे का गर्म और कम सघन पानी ऊपर आ जाता है। हालाँकि, एक बार जब ऊपर का ठंडा पानी $4^{\circ} C$ से नीचे के तापमान पर पहुँच जाता है, तो यह कम सघन हो जाता है और सतह पर ही रहता है, जहाँ यह जम जाता है।
यदि जल में यह गुण नहीं होता, तो झीलें और तालाब नीचे से ऊपर की ओर जम जाते, जिससे उनके अधिकांश जलीय जीव और वनस्पतियाँ नष्ट हो जाते।

(N/A) आदर्श गैस समीकरण इस प्रकार है:
$PV = \mu RT$
जहाँ $P$ दाब है,$V$ आयतन है,$\mu$ मोलों की संख्या है,$R$ गैस नियतांक है और $T$ परम ताप है।
नियत दाब पर,यदि तापमान में $\Delta T$ का परिवर्तन होता है,तो आयतन में $\Delta V$ का परिवर्तन होता है:
$P(V + \Delta V) = \mu R(T + \Delta T)$
$PV + P\Delta V = \mu RT + \mu R\Delta T$
चूँकि $PV = \mu RT$,हमें प्राप्त होता है:
$P\Delta V = \mu R\Delta T$
इस समीकरण को मूल समीकरण $PV = \mu RT$ से विभाजित करने पर:
$\frac{P\Delta V}{PV} = \frac{\mu R\Delta T}{\mu RT}$
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta T}{T}$
आयतन प्रसार गुणांक $\alpha_V$ को $\alpha_V = \frac{1}{V} \frac{\Delta V}{\Delta T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,$\alpha_V = \frac{1}{T}$.
आदर्श गैस के लिए,$\alpha_V$ तापमान पर निर्भर करता है और यह परम ताप $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,$\alpha_V$ घटता है। $0^{\circ}C$ $(273.15 \ K)$ पर,$\alpha_V \approx 3.66 \times 10^{-3} \ K^{-1}$ होता है,जो ठोस और तरल पदार्थों की तुलना में काफी अधिक है।

(N/A) आयतन प्रसार तापमान में वृद्धि के कारण किसी पदार्थ के आयतन में होने वाली वृद्धि है। जब किसी ठोस,द्रव या गैस को गर्म किया जाता है,तो उसके अणु अधिक तेजी से कंपन करते हैं,जिससे पदार्थ तीनों विमाओं में फैल जाता है।
आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma)$ को तापमान में प्रति इकाई परिवर्तन के लिए आयतन में होने वाले भिन्नात्मक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\gamma = \frac{1}{V} \frac{\Delta V}{\Delta T}$,जहाँ $\Delta V$ आयतन में परिवर्तन है,$V$ मूल आयतन है,और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
आयतन प्रसार गुणांक का $SI$ मात्रक प्रति केल्विन $(K^{-1})$ या प्रति डिग्री सेल्सियस $(^{\circ}C^{-1})$ है।

(N/A) $\alpha_V$ को आयतन प्रसार गुणांक के रूप में परिभाषित किया गया है। यह तापमान में प्रति इकाई परिवर्तन के लिए आयतन में होने वाले आंशिक परिवर्तन को दर्शाता है।
गणितीय रूप से,$\alpha_V = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$ है।
$\alpha_V$ पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है।
इसका $SI$ मात्रक $\text{K}^{-1}$ या $^\circ\text{C}^{-1}$ है।

(A) आयतन प्रसार गुणांक $\alpha_V$ तापमान में प्रति इकाई परिवर्तन के लिए आयतन में होने वाले आंशिक परिवर्तन को दर्शाता है।
द्रव सामान्यतः ठोसों की तुलना में अधिक फैलते हैं,और द्रवों में,जिनके अंतर-आणविक बल कमजोर होते हैं,वे आमतौर पर उच्च प्रसार गुणांक प्रदर्शित करते हैं।
अल्कोहल एक कार्बनिक द्रव है जिसमें पारे में मौजूद धात्विक बंधन की तुलना में अंतर-आणविक बल अपेक्षाकृत कमजोर होते हैं।
प्रायोगिक मान दर्शाते हैं कि अल्कोहल के लिए $\alpha_V$ लगभग $1.1 \times 10^{-3} \ K^{-1}$ है,जबकि पारे के लिए यह लगभग $0.18 \times 10^{-3} \ K^{-1}$ है।
अतः,अल्कोहल के लिए आयतन प्रसार गुणांक अधिक है।

(N/A) आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ को $\gamma = \frac{1}{V} \left( \frac{dV}{dT} \right)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। $4\,^{\circ}C$ पर पानी का घनत्व अधिकतम होता है,जिसका अर्थ है कि इसका आयतन $V$ न्यूनतम होता है। चूंकि इस तापमान पर आयतन न्यूनतम है,इसलिए तापमान के सापेक्ष आयतन में परिवर्तन की दर $\left( \frac{dV}{dT} \right)$ शून्य के बराबर होती है। अतः,$4\,^{\circ}C$ पर पानी का आयतन प्रसार गुणांक $0$ होता है।

(C) पानी असामान्य प्रसार प्रदर्शित करता है। जब पानी को $0\,^{\circ}C$ से $4\,^{\circ}C$ तक गर्म किया जाता है,तो उसका घनत्व बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि उसका आयतन घटता है।
$4\,^{\circ}C$ तक पहुँचने के बाद,पानी एक सामान्य तरल की तरह व्यवहार करता है और $4\,^{\circ}C$ से $10\,^{\circ}C$ तक गर्म करने पर उसका आयतन बढ़ता है।
इसलिए,पानी का आयतन पहले घटता है और फिर बढ़ता है।

(N/A) वह पदार्थ जो तापमान बढ़ने पर संकुचित होता है,वह $Ice$ (बर्फ) है ($0^{\circ}C$ और $4^{\circ}C$ के बीच)। इस घटना को जल का असामान्य प्रसार (anomalous expansion of water) कहा जाता है।

(A) आदर्श गैस के लिए अवस्था समीकरण $PV = nRT$ है।
स्थिर दाब पर,$V = (nR/P)T$ होता है।
आयतन प्रसार गुणांक $\alpha_V$ को $\alpha_V = \frac{1}{V} \left( \frac{dV}{dT} \right)_P$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
स्थिर दाब पर $V$ का $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P}$ प्राप्त होता है।
इस मान को परिभाषा में रखने पर,$\alpha_V = \frac{1}{V} \left( \frac{nR}{P} \right) = \frac{1}{V} \left( \frac{V}{T} \right) = \frac{1}{T}$ प्राप्त होता है।
$0\,^{\circ}\text{C}$ पर,परम तापमान $T = 273.15 \, \text{K}$ होता है।
अतः,$\alpha_V = \frac{1}{273.15} \approx 3.66 \times 10^{-3} \, \text{K}^{-1}$।
भौतिकी के प्रश्नों में उपयोग किए जाने वाले मानक सन्निकटन के अनुसार,$\alpha_V \approx 3.3 \times 10^{-3} \, \text{K}^{-1}$ (जिसे अक्सर $1/273 \, \text{K}^{-1}$ के रूप में उद्धृत किया जाता है)।

(A) आदर्श गैस के लिए अवस्था समीकरण $PV = nRT$ है।
नियत दाब पर, $P \Delta V = nR \Delta T$ होता है।
आयतन प्रसार गुणांक $\alpha_{V}$ को $\alpha_{V} = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
आदर्श गैस नियम से, $\frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P} = \frac{V}{T}$ प्राप्त होता है।
अतः, $\alpha_{V} = \frac{1}{V} (\frac{V}{T}) = \frac{1}{T}$।
कमरे के तापमान $(T \approx 300 \ K)$ पर, $\alpha_{V} = \frac{1}{300} \approx 3.33 \times 10^{-3} \ K^{-1}$ होता है।

(A) माना $V_{0}$ बीकर की कुल क्षमता है और $V_{m}$ $30^{\circ} C$ पर पारे का आयतन है। खाली आयतन $\Delta V = V_{0} - V_{m}$ है।
जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है,तो बीकर की नई क्षमता $V_{0}' = V_{0}(1 + \gamma_{b} \Delta T)$ और पारे का नया आयतन $V_{m}' = V_{m}(1 + \gamma_{m} \Delta T)$ हो जाता है।
खाली आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta V' = \Delta V$,जिसका अर्थ है $V_{0}' - V_{m}' = V_{0} - V_{m}$।
$V_{0}'$ और $V_{m}'$ के व्यंजक रखने पर:
$V_{0}(1 + \gamma_{b} \Delta T) - V_{m}(1 + \gamma_{m} \Delta T) = V_{0} - V_{m}$
$V_{0} + V_{0} \gamma_{b} \Delta T - V_{m} - V_{m} \gamma_{m} \Delta T = V_{0} - V_{m}$
$V_{0} \gamma_{b} \Delta T = V_{m} \gamma_{m} \Delta T$
$V_{m} = \frac{V_{0} \gamma_{b}}{\gamma_{m}}$
दिया गया है $V_{0} = 500\, cc$,$\gamma_{b} = 6 \times 10^{-6}{ }^{\circ} C^{-1}$,और $\gamma_{m} = 1.5 \times 10^{-4}{ }^{\circ} C^{-1}$:
$V_{m} = \frac{500 \times 6 \times 10^{-6}}{1.5 \times 10^{-4}} = \frac{3000 \times 10^{-6}}{1.5 \times 10^{-4}} = \frac{3 \times 10^{-3}}{1.5 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{1} = 20\, cc$.

(B) द्रव के वास्तविक प्रसार गुणांक $(\gamma_r)$ का आभासी प्रसार गुणांक $(\gamma_a)$ और बर्तन के आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_v)$ के साथ संबंध है: $\gamma_r = \gamma_a + \gamma_v$।
माना द्रव का वास्तविक आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_L$ है।
पीतल के बर्तन के लिए: $\gamma_L = X + 3\alpha$, जहाँ $3\alpha$ पीतल का आयतन प्रसार गुणांक है।
टिन के बर्तन के लिए: $\gamma_L = Y + 3\alpha_{\text{tin}}$, जहाँ $\alpha_{\text{tin}}$ टिन का रेखीय प्रसार गुणांक है।
$\gamma_L$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$X + 3\alpha = Y + 3\alpha_{\text{tin}}$
$\alpha_{\text{tin}}$ के लिए हल करने पर:
$3\alpha_{\text{tin}} = X + 3\alpha - Y$
$\alpha_{\text{tin}} = \frac{X + 3\alpha - Y}{3}$

(A) दिया गया है: आयतन प्रसार गुणांक $\gamma = 49 \times 10^{-5} \, K^{-1}$ और तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 30^{\circ} C = 30 \, K$ है।
तापमान $T + \Delta T$ पर पदार्थ का घनत्व $\rho$ सूत्र $\rho_2 = \frac{\rho_1}{1 + \gamma \Delta T} \approx \rho_1(1 - \gamma \Delta T)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma \Delta T$ के छोटे मानों के लिए यह मान्य है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1} = \gamma \Delta T$ प्राप्त होता है।
घनत्व में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta \rho}{\rho_1} = \gamma \Delta T$ है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta \rho}{\rho_1} = (49 \times 10^{-5}) \times 30 = 1470 \times 10^{-5} = 1.47 \times 10^{-2}$।

(C) माना पात्र का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ है। दिया गया है कि $\alpha = 1 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ है।
पात्र का आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_{\text{vessel}} = 3\alpha = 3 \times 1 \times 10^{-5} /^{\circ} C = 3 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ होगा।
माना $Hg$ का आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_{\text{Hg}}$ है।
पात्र को गर्म करने पर $Hg$ के बाहर न छलकने के लिए,$Hg$ का आयतन प्रसार,पात्र के आयतन प्रसार से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,$\gamma_{\text{Hg}} \leq \gamma_{\text{vessel}}$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\gamma_{\text{Hg}} \leq 3 \times 10^{-5} /^{\circ} C$।

(C) बर्तन का आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_v)$ उसके रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ से $\gamma_v = 3\alpha$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
दिया गया है कि $\alpha = \frac{\gamma}{3}$,इसलिए $\gamma_v = 3 \times (\frac{\gamma}{3}) = \gamma$ होगा।
चूंकि द्रव का आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_l = \gamma)$ बर्तन के आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_v = \gamma)$ के बराबर है,इसलिए तापमान में परिवर्तन के लिए द्रव और बर्तन दोनों समान आयतन अंश से फैलेंगे।
अतः,बर्तन में द्रव का स्तर लगभग समान रहेगा।

(D) पानी $0^{\circ} C$ और $4^{\circ} C$ के बीच असामान्य प्रसार प्रदर्शित करता है।
जैसे ही पानी को $0^{\circ} C$ से $4^{\circ} C$ तक गर्म किया जाता है,इसका घनत्व बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि इसका आयतन घटता है।
$4^{\circ} C$ पर,पानी अपना अधिकतम घनत्व और न्यूनतम आयतन प्राप्त करता है।
जब पानी को $4^{\circ} C$ से $10^{\circ} C$ तक और गर्म किया जाता है,तो यह एक सामान्य तरल की तरह फैलता है और इसका आयतन बढ़ता है।
अतः,पानी का आयतन पहले घटता है और फिर बढ़ता है।

(B) आयतन प्रसार,तापमान में वृद्धि के कारण गैस के आयतन में होने वाला प्रसार है।
$\therefore$ आयतन प्रसार गुणांक $\alpha_{V}$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$\alpha_{V} = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_{p} ... (i)$
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ से,हमारे पास $V = \frac{nRT}{p}$ है।
नियत दाब $p$ पर तापमान $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_{p} = \frac{nR}{p}$
इस मान को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha_{V} = \frac{1}{V} \left( \frac{nR}{p} \right) = \frac{1}{V} \left( \frac{pV}{T} \cdot \frac{1}{p} \right) = \frac{1}{T}$
अतः,$\alpha_{V} = \frac{1}{T}$।
यह दर्शाता है कि $\alpha_{V}$,$\frac{1}{T}$ के सीधे समानुपाती है। इसलिए,$\alpha_{V}$ बनाम $\frac{1}{T}$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी। यह विकल्प $(b)$ में सही ढंग से दर्शाया गया है।

(B) घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{m}{V}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है,इसलिए $\rho \propto \frac{1}{V}$ होता है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,$\frac{d\rho}{\rho} = -\frac{dV}{V}$ प्राप्त होता है।
छोटे परिवर्तनों के लिए,$\frac{\Delta \rho}{\rho} = -\frac{\Delta V}{V}$ लिखा जा सकता है।
हम जानते हैं कि $\Delta V = V_0 \gamma \Delta T$,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है।
अतः,$\frac{\Delta \rho}{\rho} = -\gamma \Delta T$ होता है।
घनत्व में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = -\gamma \Delta T \times 100$ है।
यहाँ $\gamma = 18.2 \times 10^{-5} \ K^{-1}$ और $\Delta T = 60^{\circ} C - 10^{\circ} C = 50 \ K$ दिया गया है।
प्रतिशत परिवर्तन $= 18.2 \times 10^{-5} \times 50 \times 100 = 18.2 \times 10^{-5} \times 5000 = 0.91 \%$।

(A) बाहर बहने वाले द्रव का आयतन,द्रव के प्रसार और कांच के पात्र के प्रसार के अंतर के बराबर होता है।
द्रव के आयतन में वृद्धि,$\Delta V_L = V_0 \gamma_L \Delta T$.
कांच के पात्र के आयतन में वृद्धि,$\Delta V_g = V_0 \gamma_g \Delta T$.
चूंकि आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_g = 3\alpha_g$ है,इसलिए $\Delta V_g = V_0 (3\alpha_g) \Delta T$ होगा।
बाहर बहने वाले द्रव का आयतन $\Delta V_{overflow} = \Delta V_L - \Delta V_g$ है।
$\Delta V_{overflow} = V_0 \gamma_L \Delta T - V_0 (3\alpha_g) \Delta T$.
$\Delta V_{overflow} = V_0 \Delta T (\gamma_L - 3\alpha_g)$.

(B) बाहर निकलने वाले पारे का आयतन, पारे और कांच के फ्लास्क के आयतन प्रसार के अंतर के बराबर होता है।

$\Delta V = V_0 (\gamma_m - \gamma_g) \Delta \theta$

यहाँ $\gamma_g = 3 \alpha_g$ है, जहाँ $\alpha_g$ कांच का रेखीय प्रसार गुणांक है।

$\gamma_g = 3 \times (0.1 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C) = 0.3 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C = 30 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$

दिया गया है $\gamma_m = 1.82 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C = 182 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$, $V_0 = 1 \text{ litre} = 1000 \text{ cc}$, और $\Delta \theta = 100^{\circ} C$.

$\Delta V = 1000 \times (182 \times 10^{-6} - 30 \times 10^{-6}) \times 100$

$\Delta V = 1000 \times (152 \times 10^{-6}) \times 100 = 15.2 \text{ cc}$

अतः, बाहर निकलने वाले पारे की मात्रा $15.2 \text{ cc}$ है।