Thermal Expansion for fluid Questions in Hindi

(B) बाहर निकलने वाले पारे का आयतन, पारे और कांच के फ्लास्क के आयतन प्रसार के अंतर के बराबर होता है।

$\Delta V = V_0 (\gamma_m - \gamma_g) \Delta \theta$

यहाँ $\gamma_g = 3 \alpha_g$ है, जहाँ $\alpha_g$ कांच का रेखीय प्रसार गुणांक है।

$\gamma_g = 3 \times (0.1 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C) = 0.3 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C = 30 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$

दिया गया है $\gamma_m = 1.82 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C = 182 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$, $V_0 = 1 \text{ litre} = 1000 \text{ cc}$, और $\Delta \theta = 100^{\circ} C$.

$\Delta V = 1000 \times (182 \times 10^{-6} - 30 \times 10^{-6}) \times 100$

$\Delta V = 1000 \times (152 \times 10^{-6}) \times 100 = 15.2 \text{ cc}$

अतः, बाहर निकलने वाले पारे की मात्रा $15.2 \text{ cc}$ है।

(A) तापमान $(\Delta T)$ में वृद्धि के कारण आयतन में परिवर्तन $(\Delta V)$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\Delta V = \alpha_V V \Delta T$ ... $(i)$
जहाँ $\alpha_V$ आयतन प्रसार गुणांक है और $V$ गैस का प्रारंभिक आयतन है।
एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण है:
$pV = nRT$ ... $(ii)$
स्थिर दबाव $p$ पर,आदर्श गैस समीकरण का अवकलन करने पर:
$p \Delta V = nR \Delta T$
$\Delta V = \frac{nR \Delta T}{p}$ ... $(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ की तुलना करने पर:
$\alpha_V V \Delta T = \frac{nR \Delta T}{p}$
$\alpha_V = \frac{nR}{pV}$
समीकरण $(ii)$ से $pV = nRT$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha_V = \frac{nR}{nRT} = \frac{1}{T}$
अतः,$\alpha_V = \frac{1}{T}$।

(B) बाहर निकलने वाले पारे का आयतन,पारे और कांच के फ्लास्क के आयतन प्रसार के अंतर के बराबर होता है।
$
\Delta V = V_0 [\gamma_m - \gamma_g] \Delta \theta
$
चूंकि $\gamma_g = 3\alpha_g$,इसलिए:
$
\Delta V = V_0 [\gamma_m - 3\alpha_g] \Delta \theta
$
दिया गया है:
$V_0 = 1 \ L = 1000 \ cc$
$\gamma_m = 1.82 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C = 182 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
$\alpha_g = 0.1 \times 10^{-4} /{ }^{\circ} C = 10 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
$\Delta \theta = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$
मान रखने पर:
$
\Delta V = 1000 \times [182 \times 10^{-6} - 3(10 \times 10^{-6})] \times 100
$
$
\Delta V = 1000 \times [182 \times 10^{-6} - 30 \times 10^{-6}] \times 100
$
$
\Delta V = 1000 \times [152 \times 10^{-6}] \times 100 = 15.2 \ cc
$

(D) द्रव के वास्तविक प्रसार का गुणांक $(\gamma_r)$ स्थिर होता है और यह आभासी प्रसार गुणांक $(\gamma_a)$ और बर्तन के आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_v = 3\alpha)$ के योग के बराबर होता है।
तांबे के बर्तन के लिए: $\gamma_r = \gamma_{a1} + 3\alpha_{cu}$.
स्टील के बर्तन के लिए: $\gamma_r = \gamma_{a2} + 3\alpha_{st}$.
$\gamma_r$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\gamma_{a1} + 3\alpha_{cu} = \gamma_{a2} + 3\alpha_{st}$.
दिया गया है: $\gamma_{a1} = 6 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$, $\gamma_{a2} = 24 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$, और $\alpha_{cu} = 18 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
मान रखने पर: $6 \times 10^{-6} + 3(18 \times 10^{-6}) = 24 \times 10^{-6} + 3\alpha_{st}$.
$6 \times 10^{-6} + 54 \times 10^{-6} = 24 \times 10^{-6} + 3\alpha_{st}$.
$60 \times 10^{-6} = 24 \times 10^{-6} + 3\alpha_{st}$.
$3\alpha_{st} = 36 \times 10^{-6}$.
$\alpha_{st} = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.

(C) किसी द्रव का वास्तविक प्रसार गुणांक $(\gamma_r)$,आभासी प्रसार गुणांक $(\gamma_a)$ और पात्र के आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_g)$ के योग के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$\gamma_r = \gamma_a + \gamma_g$।
चूंकि एक समदैशिक ठोस के लिए आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_g)$,रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha_g)$ का तीन गुना होता है,इसलिए $\gamma_g = 3 \alpha_g$।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर,हमें $\gamma_r = \gamma_a + 3 \alpha_g$ प्राप्त होता है।

(B) $0^{\circ} C$ पर घनत्व,$\rho_0 = 1.0127 \ g/cm^3$
$100^{\circ} C$ पर घनत्व,$\rho_{100} = 1 \ g/cm^3$
द्रव का वास्तविक प्रसार गुणांक,$\gamma_{\text{real}} = \frac{\rho_0 - \rho_{100}}{\rho_{100} \times \Delta t}$
$\gamma_{\text{real}} = \frac{1.0127 - 1}{1 \times 100} = 1.27 \times 10^{-4} /^{\circ} C$
कांच का आयतन प्रसार गुणांक,$\gamma_g = 3 \alpha = 3 \times 9 \times 10^{-6} = 0.27 \times 10^{-4} /^{\circ} C$
आभासी प्रसार गुणांक,$\gamma_{\text{app}} = \gamma_{\text{real}} - \gamma_g = 1.27 \times 10^{-4} - 0.27 \times 10^{-4} = 1 \times 10^{-4} /^{\circ} C$
बाहर निकले द्रव का द्रव्यमान $= m_1 - m_2 = 300 - \frac{300}{1.01} = \frac{3}{1.01} \ g$.

(D) किसी दिए गए तरल के लिए वास्तविक प्रसार गुणांक $(\gamma_{\text{real}})$ स्थिर होता है। वास्तविक प्रसार, आभासी प्रसार $(\gamma_{\text{app}})$ और पात्र के आयतन प्रसार $(\gamma_{\text{vessel}})$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}}$.
पात्र $A$ के लिए, आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_A = 3\alpha$ है। अतः, $\gamma_{\text{real}} = \gamma_1 + 3\alpha$.
पात्र $B$ के लिए, मान लीजिए कि रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_B$ है। तब $\gamma_B = 3\alpha_B$ होगा। अतः, $\gamma_{\text{real}} = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
चूंकि $\gamma_{\text{real}}$ दोनों स्थितियों में समान है, हम उन्हें बराबर करते हैं: $\gamma_1 + 3\alpha = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
$\alpha_B$ के लिए हल करने पर: $3\alpha_B = \gamma_1 - \gamma_2 + 3\alpha$.
इसलिए, $\alpha_B = \frac{\gamma_1 - \gamma_2}{3} + \alpha$.

(B) माना $\gamma_L$ द्रव का वास्तविक आयतन प्रसार गुणांक है।
माना $\gamma_C$ और $\gamma_S$ क्रमशः तांबे और चांदी के आयतन प्रसार गुणांक हैं।
हम जानते हैं कि आयतन प्रसार गुणांक $\gamma = 3 \times \text{रेखीय प्रसार गुणांक } \alpha$ होता है।
दिया गया है कि $\gamma_C = 3A$ है।
आभासी प्रसार गुणांक का सूत्र $\gamma_{app} = \gamma_L - \gamma_{vessel}$ है।
तांबे के लिए: $C = \gamma_L - 3A \implies \gamma_L = C + 3A$।
चांदी के लिए: $S = \gamma_L - \gamma_S \implies \gamma_S = \gamma_L - S$।
चांदी के समीकरण में $\gamma_L = C + 3A$ रखने पर: $\gamma_S = C + 3A - S$।
चूंकि $\gamma_S = 3 \alpha_S$,जहां $\alpha_S$ चांदी का रेखीय प्रसार गुणांक है:
$3 \alpha_S = C + 3A - S \implies \alpha_S = \frac{C + 3A - S}{3}$।