Heat Capacity, Specific Heat and Molar Specific Heat Questions in Hindi

$(12 \, erg (^{\circ} C)^{-1})$ ऊष्माधारिता $C$ को पदार्थ के द्रव्यमान $m$ और विशिष्ट ऊष्मा $s$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है。
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 40 \, g$
विशिष्ट ऊष्मा $s = 0.3 \, erg \, g^{-1} (^{\circ} C)^{-1}$
गणना:
$C = m \times s$
$C = 40 \, g \times 0.3 \, erg \, g^{-1} (^{\circ} C)^{-1}$
$C = 12 \, erg (^{\circ} C)^{-1}$

(N/A) किसी पदार्थ को दी गई ऊष्मा $\Delta Q$ और उसके तापमान में हुए परिवर्तन $\Delta T$ के अनुपात को ऊष्मा धारिता कहते हैं।
$\therefore$ ऊष्मा धारिता $= \frac{\text{दी गई ऊष्मा}}{\text{तापमान में परिवर्तन}}$
$S = \frac{\Delta Q}{\Delta T}$
ऊष्मा धारिता का $SI$ मात्रक $J K^{-1}$ या $cal K^{-1}$ है।
किसी पिंड की ऊष्मा धारिता उस पिंड के पदार्थ और उसके द्रव्यमान पर निर्भर करती है।
अलग-अलग द्रव्यमान वाले लेकिन समान पदार्थ से बने विभिन्न पिंडों के लिए ऊष्मा धारिता का मान अलग-अलग होता है।

(N/A) विशिष्ट ऊष्मा को किसी पिंड के प्रति इकाई द्रव्यमान की ऊष्मा धारिता के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$s = \frac{\text{ऊष्मा धारिता}}{\text{पिंड का द्रव्यमान}}$
$s = \frac{\Delta Q}{m \Delta T}$
$\therefore \Delta Q = m s \Delta T$
विशिष्ट ऊष्मा का $SI$ मात्रक $J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$ है।
विशिष्ट ऊष्मा का परिमाण पदार्थ की प्रकृति,तापमान के अंतर और उन स्थितियों पर निर्भर करता है जिनमें ऊष्मा दी जाती है (जैसे स्थिर दाब या स्थिर आयतन)।
पदार्थ के प्रति मोल ऊष्मा धारिता को मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(C)$ कहा जाता है:
$C = \frac{S}{\mu} = \frac{1}{\mu} \frac{\Delta Q}{\Delta T}$
मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता पदार्थ की मात्रा पर निर्भर नहीं करती है। इसका मात्रक $J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ है।
(तालिका ऊपर दी गई है)
साधारण तापमान पर प्रयोगात्मक मान $3R$ के अनुमानित मान से मेल खाते हैं (कार्बन को छोड़कर)। कम तापमान पर यह सहमति समाप्त हो जाती है।

(N/A) ऊष्मा की पुरानी इकाई कैलोरी थी और एक कैलोरी को पहले $1 \; g$ पानी का तापमान $1^{\circ} C$ बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया था।
तापमान के साथ पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता में परिवर्तन:
पानी की विशिष्ट ऊष्मा तापमान के साथ थोड़ी बदलती है; इसलिए, कैलोरी की सटीक परिभाषा के लिए, इकाई तापमान अंतराल को निर्दिष्ट करना आवश्यक था।
कैलोरी की सटीक परिभाषा: $1 \; g$ पानी का तापमान $14.5^{\circ} C$ से $15.5^{\circ} C$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा।
पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता लगभग $4186 \; J \; kg^{-1} \; K^{-1}$ है, जिसका अर्थ है $4.186 \; J \; g^{-1} \; K^{-1}$।
संबंध $W = JH$ से, $1 \; \text{cal}$ ऊष्मा उत्पन्न करने के लिए आवश्यक कार्य को ऊष्मा का यांत्रिक तुल्यांक कहा जाता है।
इसलिए, $W = J$ (जहाँ $H = 1 \; \text{कैलोरी}$)।
इस प्रकार, ऊष्मा की दो इकाइयाँ हैं, जूल और कैलोरी, और रूपांतरण के लिए, $1 \; \text{कैलोरी} = 4.186 \; J$ ऊष्मा की आवश्यकता होती है।

(N/A) किसी पदार्थ का तापमान $1 \ K$ (या $1 \ ^\circ C$) बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा को उस पदार्थ की ऊष्मा धारिता कहा जाता है।
गणितीय रूप से,इसे $C = \frac{dQ}{dT}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है,जहाँ $dQ$ दी गई ऊष्मा है और $dT$ तापमान में परिवर्तन है।
ऊष्मा धारिता का $SI$ मात्रक $\text{जूल प्रति केल्विन}$ ($J/K$ या $J \cdot K^{-1}$) है।

(D) किसी पदार्थ की ऊष्मा धारिता $(C)$ को पदार्थ के दिए गए द्रव्यमान के तापमान को $1 \ K$ या $1^{\circ}C$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह कई कारकों पर निर्भर करता है:
$1$. पदार्थ की प्रकृति: विभिन्न पदार्थों की परमाणु या आणविक संरचना अलग-अलग होती है,जिससे उनकी ऊष्मा धारिता भिन्न होती है।
$2$. पदार्थ का तापमान: कई पदार्थों के लिए,ऊष्मा धारिता तापमान के साथ बदलती है,विशेष रूप से बहुत कम तापमान पर।
$3$. पदार्थ की अवस्था: पदार्थ की ठोस,तरल या गैसीय अवस्था में ऊष्मा धारिता अलग होती है क्योंकि अंतर-आणविक बल और स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) अवस्था के साथ बदल जाते हैं।
अतः,ऊष्मा धारिता का मान उपरोक्त सभी कारकों पर निर्भर करता है।

(N/A) किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा धारिता को उस ऊष्मा ऊर्जा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो पदार्थ के इकाई द्रव्यमान का तापमान $1 \ K$ (या $1 \ ^\circ C$) बढ़ाने के लिए आवश्यक होती है।
गणितीय रूप से,इसे $s = \frac{Q}{m \Delta T}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $Q$ ऊष्मा ऊर्जा है,$m$ द्रव्यमान है,और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
विशिष्ट ऊष्मा धारिता का $SI$ मात्रक $\text{जूल प्रति किलोग्राम प्रति केल्विन}$ $(J \ kg^{-1} \ K^{-1})$ है।

(D) किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा धारिता को पदार्थ के इकाई द्रव्यमान का तापमान $1 \ K$ या $1 \ ^\circ C$ बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$1$. पदार्थ की प्रकृति: विभिन्न पदार्थों की परमाणु या आणविक संरचना अलग-अलग होती है,जो उनकी तापीय ऊर्जा को संग्रहीत करने की क्षमता को प्रभावित करती है।
$2$. पदार्थ का तापमान: कई पदार्थों के लिए,विशिष्ट ऊष्मा धारिता तापमान के साथ बदलती है,विशेष रूप से बहुत कम या बहुत उच्च तापमान पर।
$3$. पदार्थ की अवस्था: जब कोई पदार्थ अपनी अवस्था बदलता है (जैसे,ठोस से तरल या तरल से गैस),तो उसकी विशिष्ट ऊष्मा धारिता बदल जाती है क्योंकि प्रत्येक अवस्था में आंतरिक ऊर्जा और आणविक व्यवस्था अलग होती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(N/A) किसी पदार्थ की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता को $1 \text{ mole}$ पदार्थ का तापमान $1 \text{ Kelvin}$ (या $1^{\circ}C$) बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे $C = \frac{Q}{n \Delta T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ दी गई ऊष्मा है,$n$ मोलों की संख्या है,और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता का $SI$ मात्रक $\text{J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$ है।

(A) ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,स्वतंत्रता की प्रत्येक कोटि (degree of freedom) पदार्थ के एक मोल की आंतरिक ऊर्जा में $\frac{1}{2}RT$ का योगदान देती है।
एक ठोस परमाणु को त्रि-आयामी हार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में माना जा सकता है।
त्रि-आयामी हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए,गतिज ऊर्जा के लिए $3$ और स्थितिज ऊर्जा के लिए $3$ स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं,कुल मिलाकर $6$ स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं।
इसलिए,एक मोल ठोस के लिए कुल आंतरिक ऊर्जा $U = 6 \times (\frac{1}{2}RT) = 3RT$ होती है।

(N/A) कैलोरी की पुरानी परिभाषा के अनुसार,$1 \ atm$ दाब पर $1 \ g$ पानी का तापमान $14.5 \ ^\circ C$ से $15.5 \ ^\circ C$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा को एक कैलोरी कहा जाता है।
कैलोरी की नई परिभाषा ऊर्जा की $SI$ इकाई,जूल $(J)$ के संदर्भ में दी गई है। एक कैलोरी ठीक $4.184 \ J$ के बराबर होती है।

(N/A) पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(c)$ स्थिर नहीं होती है; यह तापमान के साथ बदलती रहती है।
$0 \ ^\circ C$ पर,पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता लगभग $4.217 \ J/g \cdot K$ होती है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,विशिष्ट ऊष्मा धारिता कम होती जाती है और लगभग $35 \ ^\circ C$ पर यह $4.178 \ J/g \cdot K$ के न्यूनतम मान तक पहुँच जाती है।
$35 \ ^\circ C$ से ऊपर,जैसे-जैसे तापमान $100 \ ^\circ C$ की ओर बढ़ता है,विशिष्ट ऊष्मा धारिता फिर से बढ़ने लगती है।
विशिष्ट ऊष्मा धारिता बनाम तापमान का ग्राफ एक $U$-आकार का वक्र है,जो कमरे के तापमान पर न्यूनतम मान दर्शाता है।

(N/A) पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता वह ऊष्मा की मात्रा है जो $1 \ kg$ पानी के तापमान को $1 \ K$ (या $1 \ ^\circ C$) तक बढ़ाने के लिए आवश्यक होती है।
पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता का मान लगभग $4186 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ या $4.186 \ J \ g^{-1} \ ^\circ C^{-1}$ होता है।
कैलोरी के संदर्भ में,यह $1 \ cal \ g^{-1} \ ^\circ C^{-1}$ है।

(B) पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता स्थिर नहीं होती है और तापमान के साथ बदलती रहती है।
प्रायोगिक डेटा से पता चलता है कि पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता $0 \ ^\circ C$ से लगभग $35 \ ^\circ C - 40 \ ^\circ C$ तक तापमान बढ़ने पर घटती है।
यह लगभग $35 \ ^\circ C$ से $37 \ ^\circ C$ पर न्यूनतम मान प्राप्त करती है।
दिए गए विकल्पों में से,$35 \ ^\circ C$ वह मानक मान है जिसे अक्सर भौतिकी की पाठ्यपुस्तकों में उस तापमान के रूप में उद्धृत किया जाता है जहाँ पानी की विशिष्ट ऊष्मा न्यूनतम होती है।

(N/A) नहीं, पानी और बर्फ की विशिष्ट ऊष्मा समान नहीं होती है।
पानी की विशिष्ट ऊष्मा लगभग $4.18 \, J \, g^{-1} \, K^{-1}$ (या $1 \, cal \, g^{-1} \, ^\circ C^{-1}$) होती है।
बर्फ की विशिष्ट ऊष्मा लगभग $2.09 \, J \, g^{-1} \, K^{-1}$ (या $0.5 \, cal \, g^{-1} \, ^\circ C^{-1}$) होती है।

(N/A) ठोस पदार्थों में, परमाणु अपनी माध्य स्थिति के चारों ओर दोलन करते हैं।
मान लीजिए कि $1$ मोल ठोस में परमाणुओं की संख्या $N_{A}$ है।
ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार, एक आयाम में परमाणुओं के दोलन से जुड़ी ऊर्जा $2 \times \frac{1}{2} k_{B} T = k_{B} T$ है।
इसलिए, तीन आयामों में एक परमाणु की औसत ऊर्जा $3 k_{B} T$ होती है।
$1$ मोल ठोस की कुल ऊर्जा $U = 3 k_{B} T \times N_{A} = 3 RT$ है (क्योंकि $k_{B} N_{A} = R$)।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
चूंकि $\Delta W = P \Delta V$ और ठोस पदार्थों के लिए $\Delta V \approx 0$ होता है, इसलिए $\Delta Q = \Delta U$ प्राप्त होता है।
ठोस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C = \frac{\Delta Q}{\Delta T} = \frac{d(3 RT)}{dT} = 3R$ है।
$R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ का मान रखने पर, $C = 3 \times 8.31 = 24.93 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,स्वतंत्रता की प्रत्येक कोटि (degree of freedom) कण की औसत ऊर्जा में $1/2 k_BT$ का योगदान देती है।
एक ठोस में,प्रत्येक परमाणु $3D$ हार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में कार्य करता है।
प्रत्येक परमाणु के पास गतिज ऊर्जा के लिए $3$ और स्थितिज ऊर्जा के लिए $3$ स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं,कुल मिलाकर $6$ स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं।
प्रति परमाणु औसत ऊर्जा $U = 6 \times (1/2 k_BT) = 3k_BT$ है।
$1 \text{ mole}$ ठोस के लिए,कुल आंतरिक ऊर्जा $U = 3RT$ होती है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = dU/dT = 3R$ है।

(A) ऊर्जा के समविभाजन का नियम आदर्श गैसों पर लागू होता है,जहाँ आंतरिक ऊर्जा पूरी तरह से अणुओं की गतिज ऊर्जा के कारण होती है।
पानी एक तरल है,और इसकी विशिष्ट ऊष्मा इसके जटिल अंतर-आणविक बलों और हाइड्रोजन बॉन्डिंग द्वारा निर्धारित होती है,जिसे ऊर्जा के समविभाजन के नियम का उपयोग करके प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
हालाँकि,पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता का मानक प्रायोगिक मान $1 \text{ cal/g°C}$ या $4186 \text{ J/kg°K}$ है।
चूंकि प्रश्न में पानी की विशिष्ट ऊष्मा का मान पूछा गया है,इसलिए सही मानक मान $1 \text{ cal/g°C}$ है।

(A) विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C$ को किसी पदार्थ के इकाई द्रव्यमान का तापमान $1 \ K$ बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा के रूप में परिभाषित किया जाता है। गणितीय रूप से,$C = \frac{dQ}{m \ dT}$।
ऊष्मागतिकी के तीसरे नियम के अनुसार,जैसे-जैसे तापमान $T$ परम शून्य $(0 \ K)$ के करीब पहुंचता है,एक आदर्श क्रिस्टल की एन्ट्रापी शून्य के करीब पहुंच जाती है।
इसके अलावा,जैसे-जैसे तापमान परम शून्य $(T \to 0 \ K)$ के करीब पहुंचता है,सभी पदार्थों की ऊष्मा धारिता शून्य हो जाती है।
इसलिए,परम शून्य तापमान पर सभी पदार्थों की विशिष्ट ऊष्मा $0$ होती है।

(A) डुलोंग-पेटिट नियम के अनुसार,कमरे के तापमान पर एक ठोस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता लगभग स्थिर होती है और इसे $C_v = 3R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है। चूँकि $R \approx 2 \text{ cal/mol K}$ है,इसलिए इसका मान लगभग $3 \times 2 = 6 \text{ cal/mol K}$ होता है। हालाँकि,प्रश्न में उल्लिखित $3 \text{ cal/mol K}$ का मान गलत है; सही शास्त्रीय मान $3R \approx 6 \text{ cal/mol K}$ है।

(B) पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता बहुत अधिक $(4186 \ J/kg \cdot K)$ होती है।
इसका अर्थ यह है कि पानी अपने तापमान में बहुत कम परिवर्तन के साथ बड़ी मात्रा में ऊष्मीय ऊर्जा को अवशोषित या मुक्त कर सकता है।
इस गुण के कारण,यह इंजनों या औद्योगिक मशीनों से गर्मी को दूर करने में अत्यधिक प्रभावी है,जो इसे एक आदर्श शीतलक बनाता है।

(A) हाँ,पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता रेत की तुलना में काफी अधिक होती है।
पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता लगभग $4186 \ J/(kg \cdot K)$ होती है,जबकि रेत की विशिष्ट ऊष्मा धारिता लगभग $800 \ J/(kg \cdot K)$ होती है।
पानी की यह उच्च विशिष्ट ऊष्मा धारिता इसे तापमान में अपेक्षाकृत छोटे परिवर्तनों के साथ बड़ी मात्रा में गर्मी को अवशोषित या मुक्त करने की अनुमति देती है,यही कारण है कि इसका उपयोग शीतलक (coolant) के रूप में किया जाता है और यह पृथ्वी की जलवायु को विनियमित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

(N/A) किसी पदार्थ की ऊष्मा धारिता $(C)$ मुख्य रूप से दो कारकों पर निर्भर करती है:
$1$. पदार्थ की प्रकृति (सामग्री के गुण)।
$2$. पदार्थ का द्रव्यमान $(m)$।
इसे $C = ms$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $s$ पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।

(N/A) किसी पदार्थ के तापमान को बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा $Q$ को सूत्र $Q = mc\Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ:
$1$. $m$ पदार्थ का द्रव्यमान है।
$2$. $c$ पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा धारिता है,जो पदार्थ के प्रकार पर निर्भर करती है।
$3$. $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
अतः,आवश्यक ऊष्मा पदार्थ के द्रव्यमान,विशिष्ट ऊष्मा धारिता (पदार्थ की प्रकृति) और तापमान में परिवर्तन पर निर्भर करती है।

(A) जब कोई पदार्थ अपनी अवस्था बदले बिना ऊष्मा का अवशोषण करता है, तो अवशोषित ऊष्मा $(Q)$, द्रव्यमान $(m)$, विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(c)$ और तापमान में परिवर्तन $(\Delta T)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Q = mc\Delta T$.
इस समीकरण से, तापमान के अंतर $(\Delta T)$ को इस प्रकार निर्धारित किया जा सकता है: $\Delta T = \frac{Q}{mc}$.
अतः, विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(c)$ वह गुणधर्म है जो यह बताता है कि जब अवस्था में कोई परिवर्तन नहीं होता है, तो अवशोषित ऊष्मा और तापमान में परिवर्तन के बीच क्या संबंध है।

(B) अधिकांश अन्य सामान्य पदार्थों की तुलना में पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता बहुत अधिक $(4186 \ J/kg \cdot K)$ होती है।
इसका अर्थ यह है कि पानी तापमान में बहुत कम परिवर्तन करके बड़ी मात्रा में ऊष्मीय ऊर्जा को अवशोषित या उत्सर्जित कर सकता है।
परिणामस्वरूप,गर्म पानी की थैली बहुत लंबे समय तक गर्म रहती है,जो चिकित्सीय सिकाई के लिए निरंतर ऊष्मा प्रदान करती है।

(N/A) ऑटोमोबाइल रेडिएटर में शीतलक के रूप में पानी का उपयोग मुख्य रूप से इसकी असाधारण रूप से उच्च विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(c = 4186 \ J/kg \cdot K)$ के कारण किया जाता है।
इस उच्च मान के कारण,पानी अपने तापमान में अपेक्षाकृत कम वृद्धि के साथ बड़ी मात्रा में ऊष्मीय ऊर्जा को अवशोषित कर सकता है।
इसके अतिरिक्त,पानी आसानी से उपलब्ध है,सस्ता है,और इसकी ऊष्मीय चालकता उच्च है,जो इसे इंजन ब्लॉक से रेडिएटर के पंखों तक गर्मी को कुशलतापूर्वक स्थानांतरित करने की अनुमति देती है,जहाँ इसे वातावरण में विसर्जित कर दिया जाता है।

(B) पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता भूमि (मिट्टी/रेत) की तुलना में बहुत अधिक होती है।
इस कारण से,भूमि की तुलना में पानी को गर्म होने और ठंडा होने में अधिक समय लगता है।
दिन के दौरान,भूमि समुद्र की तुलना में तेजी से गर्म हो जाती है।
परिणामस्वरूप,भूमि के ऊपर की हवा गर्म होकर ऊपर उठती है,जिससे वहां कम दबाव का क्षेत्र बन जाता है।
इस कम दबाव वाले क्षेत्र को भरने के लिए समुद्र के ऊपर की ठंडी हवा भूमि की ओर बढ़ती है,जिसे तटों पर ठंडी समुद्री हवा के रूप में महसूस किया जाता है।

(B) रेत (जो रेगिस्तान की भूमि बनाती है) की विशिष्ट ऊष्मा धारिता बहुत कम होती है।
विशिष्ट ऊष्मा धारिता वह ऊष्मा की मात्रा है जो किसी पदार्थ के इकाई द्रव्यमान का तापमान $1 \ ^\circ C$ बढ़ाने के लिए आवश्यक होती है।
चूंकि रेत की विशिष्ट ऊष्मा कम होती है,इसलिए यह दिन के दौरान जल्दी से ऊष्मा अवशोषित कर लेती है,जिससे तापमान में तेजी से वृद्धि होती है।
इसी तरह,यह रात में जल्दी से ऊष्मा उत्सर्जित कर देती है,जिससे तापमान में तेजी से गिरावट आती है।

(B) किसी वस्तु का तापमान बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा का सूत्र $\Delta Q = M s \Delta T$ है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है,$s$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
चूंकि दोनों गोले तांबे से बने हैं,इसलिए विशिष्ट ऊष्मा धारिता $s$ दोनों के लिए समान होगी।
यहाँ तापमान परिवर्तन $\Delta T = 1 \ K$ दोनों के लिए समान है,इसलिए $\Delta Q \propto M$ होगा।
गोले का द्रव्यमान $M = V \rho = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ आयतन है,$r$ त्रिज्या है और $\rho$ घनत्व है।
चूंकि दोनों तांबे के गोलों के लिए घनत्व $\rho$ समान है,इसलिए $M \propto r^3$ होगा।
अतः,आवश्यक ऊष्मा का अनुपात $\frac{\Delta Q_1}{\Delta Q_2} = \frac{M_1}{M_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ होगा।
दिया गया है कि $r_1 = 1.5 r_2$,इसलिए $\frac{r_1}{r_2} = 1.5 = \frac{3}{2}$।
इस प्रकार,$\frac{\Delta Q_1}{\Delta Q_2} = \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8}$।

(B) यह दिया गया है कि वस्तुओं को एक समान दर पर गर्म किया जाता है,इसलिए ऊष्मा आपूर्ति की दर स्थिर है,अर्थात $\left(\frac{\Delta Q}{\Delta t}\right)_{A} = \left(\frac{\Delta Q}{\Delta t}\right)_{B}$।
हम जानते हैं कि $\Delta Q = mc\Delta T$,इसलिए $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = mc\left(\frac{\Delta T}{\Delta t}\right)$।
चूंकि द्रव्यमान $m$ समान हैं,इसलिए $c_{A}\left(\frac{\Delta T}{\Delta t}\right)_{A} = c_{B}\left(\frac{\Delta T}{\Delta t}\right)_{B}$ होगा।
अतः,विशिष्ट ऊष्मा धारिताओं का अनुपात $\frac{c_{A}}{c_{B}} = \frac{(\Delta T / \Delta t)_{B}}{(\Delta T / \Delta t)_{A}}$ होगा।
ग्राफ से,वस्तु $A$ के लिए ढाल $(\Delta T / \Delta t) = \frac{120 - 0}{3 - 0} = 40 \ ^{\circ}\text{C/s}$ है।
वस्तु $B$ के लिए ढाल $(\Delta T / \Delta t) = \frac{90 - 0}{6 - 0} = 15 \ ^{\circ}\text{C/s}$ है।
इस प्रकार,$\frac{c_{A}}{c_{B}} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$।

(B) यह मानते हुए कि कोई ऊष्मा हानि नहीं होती है,कैलोरीमीटर में तरल द्वारा प्राप्त ऊष्मा,हीटर द्वारा प्रदान की गई ऊष्मा के बराबर होती है।
$Q = m S \Delta T = P t$
जहाँ $m$ तरल का द्रव्यमान है,$S$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है,और $T_f - T_i = \Delta T$ है।
$\Rightarrow m S (T_f - T_i) = P t$
$\Rightarrow T_f = \left( \frac{P}{m S} \right) t + T_i$
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
ढलान $= \frac{P}{m S} = \frac{P}{C}$,जहाँ $C = m S$ तरल की ऊष्मा धारिता है।
चूंकि ढलान $\frac{P}{C}$ है,इसलिए ऊष्मा धारिता $C$ ग्राफ के ढलान के व्युत्क्रमानुपाती है $(C \propto \frac{1}{\text{slope}})$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) किसी पदार्थ की ऊष्मीय धारिता को उसके द्रव्यमान $(m)$ और उसकी विशिष्ट ऊष्मा $(c)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $\text{ऊष्मीय धारिता} = m \times c$
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ = $100 \,g$
विशिष्ट ऊष्मा $(c)$ = $0.2 \,cal / g ^{\circ} C$
गणना:
$\text{ऊष्मीय धारिता} = 100 \,g \times 0.2 \,cal / g ^{\circ} C = 20 \,cal / ^{\circ} C$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) सही विकल्प $(C)$ है।
इंजनों में पानी का उपयोग शीतलक के रूप में मुख्य रूप से इसलिए किया जाता है क्योंकि इसकी विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(c \approx 4186 \ J/kg \cdot K)$ बहुत अधिक होती है।
विशिष्ट ऊष्मा वह ऊष्मा है जो किसी पदार्थ के इकाई द्रव्यमान का तापमान $1 \ ^\circ C$ बढ़ाने के लिए आवश्यक होती है।
अपनी उच्च विशिष्ट ऊष्मा के कारण,पानी इंजन से बड़ी मात्रा में ऊष्मीय ऊर्जा को अवशोषित कर सकता है और इसके अपने तापमान में अपेक्षाकृत कम वृद्धि होती है।
यह इसे इंजन के घटकों से गर्मी को दूर करने के लिए एक अत्यंत कुशल माध्यम बनाता है,जिससे वे अत्यधिक गर्म होने से बच जाते हैं।

(B) स्थिर दर पर दी गई ऊष्मीय ऊर्जा $H$ को $H = \frac{dQ}{dt} = mc \frac{dT}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
चूँकि $H$ स्थिर है,हमारे पास $c = \frac{H}{m (dT/dt)}$ है।
इसका अर्थ है कि विशिष्ट ऊष्मा $c$,$T-t$ ग्राफ के ढलान (slope) के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $c \propto \frac{1}{\text{slope}}$.
चित्र से,पदार्थ $P$ के लिए ग्राफ का ढलान पदार्थ $Q$ के ग्राफ के ढलान से अधिक है (अर्थात $\text{slope}_P > \text{slope}_Q$).
इसलिए,$Q$ की विशिष्ट ऊष्मा $P$ की विशिष्ट ऊष्मा से अधिक होनी चाहिए $(c_Q > c_P)$.
अतः,सही कथन यह है कि $Q$ की विशिष्ट ऊष्मा $P$ से अधिक है।

(A) दी गई शक्ति $P = \frac{dQ}{dt}$ है।
ऊष्मा धारिता $S = \frac{dQ}{dT} = \frac{dQ/dt}{dT/dt} = \frac{P}{dT/dt}$ है।
दिया गया है $T(t) = T_0(1 + \beta t^{1/4})$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dT}{dt} = T_0 \cdot \beta \cdot \frac{1}{4} t^{-3/4} = \frac{\beta T_0}{4} t^{-3/4}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $S$ के व्यंजक में रखने पर:
$S = \frac{P}{(\beta T_0 / 4) t^{-3/4}} = \frac{4P}{\beta T_0} t^{3/4}$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण से,$\beta t^{1/4} = \frac{T(t) - T_0}{T_0}$ है।
इसलिए,$t^{1/4} = \frac{T(t) - T_0}{\beta T_0}$ है।
दोनों पक्षों की घात $3$ करने पर:
$t^{3/4} = \left( \frac{T(t) - T_0}{\beta T_0} \right)^3$ प्राप्त होता है।
$t^{3/4}$ का मान $S$ के व्यंजक में रखने पर:
$S = \frac{4P}{\beta T_0} \cdot \frac{(T(t) - T_0)^3}{\beta^3 T_0^3} = \frac{4P(T(t) - T_0)^3}{\beta^4 T_0^4}$ प्राप्त होता है।

(D) ऊष्मा अवशोषण की दर $R = \frac{dq}{dt} = m C \frac{dT}{dt}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि तापमान एक स्थिर दर पर बढ़ाया जाता है,$\frac{dT}{dt} = k$ (स्थिर)। इसलिए,$R \propto C$।
$(A)$ $0-100 \ K$ की सीमा में,$C$ बनाम $T$ का ग्राफ अरेखीय (वक्र) है,इसलिए ऊष्मा अवशोषण की दर $R$,$T$ के साथ रैखिक रूप से नहीं बदलती है। कथन $(A)$ गलत है।
$(B)$ अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q = \int m C dT$ है,जो $C-T$ ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के समानुपाती है। $0-100 \ K$ के लिए ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल $400-500 \ K$ (जहाँ $C$ अपने अधिकतम मान पर लगभग स्थिर है) के लिए क्षेत्रफल से स्पष्ट रूप से कम है। कथन $(B)$ सही है।
$(C)$ $400-500 \ K$ की सीमा में,$C$ बनाम $T$ का ग्राफ एक क्षैतिज रेखा है,जिसका अर्थ है कि $C$ स्थिर है। चूंकि $R \propto C$,ऊष्मा अवशोषण की दर स्थिर रहती है। कथन $(C)$ सही है।
$(D)$ $200-300 \ K$ की सीमा में,$C$ बनाम $T$ ग्राफ का ढलान धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि $C$ बढ़ रहा है। चूंकि $R \propto C$,ऊष्मा अवशोषण की दर बढ़ती है। कथन $(D)$ सही है।
अतः,कथन $(B, C, D)$ सही हैं।

(D) प्रारंभिक तापमान $T_i = -73^{\circ} C = (-73 + 273) \ K = 200 \ K$ है।
अंतिम तापमान $T_f = 27^{\circ} C = (27 + 273) \ K = 300 \ K$ है।
आवश्यक ऊष्मा $Q$ को समाकलन $Q = \int_{T_i}^{T_f} m C dT$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
यहाँ $m = 1 \ kg$ और $C = kT$ दिया गया है,इसलिए $Q = \int_{200}^{300} (1) (kT) dT$ होगा।
$Q = k \int_{200}^{300} T dT = k \left[ \frac{T^2}{2} \right]_{200}^{300}$।
$Q = \frac{k}{2} [300^2 - 200^2] = \frac{k}{2} [90000 - 40000] = \frac{k}{2} [50000]$।
$Q = 25000 k$।
इसकी तुलना $nk$ से करने पर,हमें $n = 25000$ प्राप्त होता है।

(A) किसी वस्तु का तापमान बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = mc\Delta T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
चूंकि गोले एक ही पदार्थ (तांबा) से बने हैं,इसलिए $c$ स्थिर है। दिए गए $\Delta T = 1 \ K$ के लिए,$Q \propto m$ होता है।
गोले का द्रव्यमान $m = \rho V$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $V$ आयतन है।
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है,इसलिए $m \propto r^3$ होता है।
अतः,$Q \propto r^3$ होगा।
आवश्यक ऊष्मा का अनुपात $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ होगा।
दिया गया है कि $r_1 = 1.5 r_2$,इसलिए $\frac{r_1}{r_2} = 1.5 = \frac{3}{2}$ है।
इस प्रकार,$\frac{Q_1}{Q_2} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}$ प्राप्त होता है।

(B) विशिष्ट ऊष्मा धारिता को किसी पदार्थ के $1 \ kg$ द्रव्यमान का तापमान $1 \ K$ बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
हम सूत्र $Q = m \cdot c \cdot \Delta T$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $Q$ ऊष्मा ऊर्जा $(J)$ है,$m$ द्रव्यमान $(kg)$ है,$c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है,और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन $(K)$ है।
$c$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $c = \frac{Q}{m \cdot \Delta T}$ प्राप्त होता है।
मात्रकों को प्रतिस्थापित करने पर,विशिष्ट ऊष्मा धारिता का $S.I.$ मात्रक $\frac{J}{kg \cdot K}$ होता है,जिसे $J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ के रूप में लिखा जाता है।

(C) दिया है:
तांबे के लिए: द्रव्यमान $m_1 = 50 \text{ g} = 0.05 \text{ kg}$,तापमान में वृद्धि $\Delta t_1 = 10^{\circ} \text{C}$,विशिष्ट ऊष्मा $s_1 = 420 \text{ J kg}^{-1} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$।
पानी के लिए: द्रव्यमान $m_2 = 10 \text{ g} = 0.01 \text{ kg}$,विशिष्ट ऊष्मा $s_2 = 4200 \text{ J kg}^{-1} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$,मान लीजिए तापमान में वृद्धि $\Delta t_2$ है।
चूंकि दोनों को समान मात्रा में ऊष्मा $Q$ दी जाती है,इसलिए $Q_1 = Q_2$ होगा।
सूत्र $Q = m s \Delta t$ का उपयोग करने पर:
$m_1 s_1 \Delta t_1 = m_2 s_2 \Delta t_2$
मान रखने पर:
$0.05 \times 420 \times 10 = 0.01 \times 4200 \times \Delta t_2$
$210 = 42 \times \Delta t_2$
$\Delta t_2 = \frac{210}{42} = 5^{\circ} \text{C}$।
अतः,पानी के तापमान में वृद्धि $5^{\circ} \text{C}$ है।

(B) दिया गया है: मोलों की संख्या $n = 5$, प्रारंभिक तापमान $T_1 = 100^{\circ} C$, अंतिम तापमान $T_2 = 120^{\circ} C$, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 80 \,J$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 120^{\circ} C - 100^{\circ} C = 20 \,K$ (क्योंकि तापमान का अंतर सेल्सियस और केल्विन दोनों में समान होता है)।
नियत आयतन पर गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन का सूत्र $\Delta U = C_V \Delta T$ है, जहाँ $C_V$ नियत आयतन पर कुल ऊष्मा धारिता है।
अतः, $C_V = \frac{\Delta U}{\Delta T} = \frac{80 \,J}{20 \,K} = 4 \,J/K$.

(D) जब किसी पदार्थ को गर्म किया जाता है, तो उसकी आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि $(\Delta U)$ उसके द्वारा अवशोषित ऊष्मा ऊर्जा $(Q)$ के बराबर होती है, बशर्ते अवस्था में कोई परिवर्तन न हो और कोई बाहरी कार्य न किया जाए。
अवशोषित ऊष्मा के लिए सूत्र: $Q = m \cdot c \cdot \Delta T$
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ = $5 \ kg$
विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(c)$ = $4200 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$
तापमान में परिवर्तन $(\Delta T)$ = $30^{\circ} C - 20^{\circ} C = 10^{\circ} C = 10 \ K$
मान रखने पर:
$Q = 5 \ kg \times 4200 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1} \times 10 \ K$
$Q = 210000 \ J$
$Q = 210 \ kJ$
अतः, आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि $210 \ kJ$ है।

(B) किसी पदार्थ को दी गई ऊष्मा का सूत्र $Q = mc\Delta T$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
धातु के लिए: $Q = m_m c_m \Delta T_m = 100 \times c_m \times 20 = 2000 c_m$.
पानी के लिए: $Q = m_w c_w \Delta T_w = 20 \times c_w \times \Delta T_w$.
चूंकि दी गई ऊष्मा समान है,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं: $2000 c_m = 20 c_w \Delta T_w$.
विशिष्ट ऊष्मा धारिता का अनुपात $\frac{c_m}{c_w} = \frac{1}{10}$ दिया गया है,इसलिए $c_w = 10 c_m$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $2000 c_m = 20 \times (10 c_m) \times \Delta T_w$.
$2000 c_m = 200 c_m \times \Delta T_w$.
दोनों पक्षों को $200 c_m$ से विभाजित करने पर: $\Delta T_w = \frac{2000}{200} = 10^{\circ} C$.

(C) विशिष्ट ऊष्मा धारिता पदार्थ का एक आंतरिक गुण है,जिसका अर्थ है कि यह केवल पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करती है,न कि पदार्थ की मात्रा या द्रव्यमान पर।
चूंकि पदार्थ तांबा ही रहता है,इसलिए द्रव्यमान में परिवर्तन के बावजूद इसकी विशिष्ट ऊष्मा धारिता स्थिर रहती है।
अतः,यदि द्रव्यमान दोगुना कर दिया जाए,तो विशिष्ट ऊष्मा धारिता $s$ ही रहेगी।

(D) दिया गया है: पानी का द्रव्यमान,$m = 2 \,kg$
तापमान में परिवर्तन,$\Delta T = 10^{\circ} C$
पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता,$c = 4200 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1}$
मुक्त होने वाली ऊष्मीय ऊर्जा $Q$ की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
$Q = m c \Delta T$
मान रखने पर:
$Q = 2 \,kg \times 4200 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1} \times 10 \,K$
$Q = 84000 \,J$

(D) दिया गया है: पानी का द्रव्यमान $m = 200 \,g = 0.2 \,kg$, समय $t = 200 \,s$, विशिष्ट ऊष्मा $s = 4200 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1}$, और तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 100^{\circ} C - 40^{\circ} C = 60 \,K$.
पानी का तापमान बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा $Q = m \cdot s \cdot \Delta T$ है।
हीटर द्वारा आपूर्ति की गई शक्ति $P = \frac{Q}{t} = \frac{m \cdot s \cdot \Delta T}{t}$ है।
मान रखने पर: $P = \frac{0.2 \,kg \times 4200 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1} \times 60 \,K}{200 \,s}$.
$P = \frac{50400}{200} \,W = 252 \,W$.

(A) किसी पदार्थ द्वारा अवशोषित ऊष्मा का सूत्र है: $H = m s \Delta T$,जहाँ $H$ ऊष्मा है,$m$ द्रव्यमान है,$s$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
दिए गए मान हैं: $H = 2100.0 \ J$,$s = 900 \ J \ kg^{-1} K^{-1}$,और $\Delta T = 2^{\circ} C = 2 \ K$.
द्रव्यमान $m$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $m = \frac{H}{s \Delta T}$.
मान रखने पर: $m = \frac{2100}{900 \times 2} = \frac{2100}{1800} = 1.166... \ kg$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $m \approx 1.16 \ kg$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,द्रव्यमान $m = 5 \,kg = 5000 \,g$.
विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c = 4.2 \,J / g^{\circ} C$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 20^{\circ} C$.
पानी का क्वथनांक $T_2 = 100^{\circ} C$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 100^{\circ} C - 20^{\circ} C = 80^{\circ} C$.
आपूर्ति की गई ऊष्मीय ऊर्जा का सूत्र $\Delta Q = m c \Delta T$ है।
मान रखने पर: $\Delta Q = 5000 \,g \times 4.2 \,J / g^{\circ} C \times 80^{\circ} C$.
$\Delta Q = 5000 \times 4.2 \times 80 = 1680000 \,J$.
किलोजूल में बदलने पर: $\Delta Q = 1680 \,kJ$.