Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Hindi

(B) माना $E = \cos^2 \phi + \cos^2(\theta + \phi) - 2 \cos \theta \cos \phi \cos(\theta + \phi)$.
सर्वसमिका $\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1 + \cos 2\phi}{2} + \frac{1 + \cos 2(\theta + \phi)}{2} - \cos \theta [\cos(2\phi + \theta) + \cos \theta]$
$E = 1 + \frac{1}{2} [\cos 2\phi + \cos(2\phi + 2\theta)] - \cos \theta \cos(2\phi + \theta) - \cos^2 \theta$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = 1 + \cos(2\phi + \theta) \cos \theta - \cos \theta \cos(2\phi + \theta) - \cos^2 \theta$
$E = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$.
चूंकि परिणाम $\sin^2 \theta$ है,इसलिए व्यंजक $\phi$ से स्वतंत्र है।

(B) दी गई व्यंजक: $\sqrt{4 \cos^{4} \theta + \sin^{2} 2 \theta} + 4 \cot \theta \cos^{2} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)$
$= \sqrt{4 \cos^{4} \theta + (2 \sin \theta \cos \theta)^{2}} + 2 \cot \theta \left[2 \cos^{2} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)\right]$
$= \sqrt{4 \cos^{4} \theta + 4 \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta} + 2 \cot \theta \left[1 + \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right]$
$= \sqrt{4 \cos^{2} \theta (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)} + 2 \cot \theta (1 + \sin \theta)$
$= |2 \cos \theta| + 2 \cot \theta + 2 \cot \theta \sin \theta$
$= |2 \cos \theta| + 2 \cot \theta + 2 \cos \theta$
चूंकि $\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$,इसलिए $\cos \theta < 0$,अतः $|2 \cos \theta| = -2 \cos \theta$.
$= -2 \cos \theta + 2 \cot \theta + 2 \cos \theta$
$= 2 \cot \theta$

(D) दिया गया है कि $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ सार्व अंतर $\theta$ के साथ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $\alpha_{i+1} - \alpha_i = \theta$।
श्रेणी का सामान्य पद $T_i = \sec \alpha_i \sec \alpha_{i+1} = \frac{1}{\cos \alpha_i \cos \alpha_{i+1}}$ है।
हम लिख सकते हैं $T_i = \frac{1}{\sin \theta} \cdot \frac{\sin(\alpha_{i+1} - \alpha_i)}{\cos \alpha_i \cos \alpha_{i+1}} = \operatorname{cosec} \theta (\tan \alpha_{i+1} - \tan \alpha_i)$।
श्रेणी का योग $S = \sum_{i=1}^{n-1} T_i = \operatorname{cosec} \theta \sum_{i=1}^{n-1} (\tan \alpha_{i+1} - \tan \alpha_i)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $S = \operatorname{cosec} \theta (\tan \alpha_n - \tan \alpha_1)$।
$k(\tan \alpha_n - \tan \alpha_1)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = \operatorname{cosec} \theta$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए $\sin(k\pi) = 0$ होता है।
दी गई श्रेणी $E = \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{n! \pi}{720}\right)$ है।
पदों का विस्तार करने पर:
$n=1: \sin \left(\frac{\pi}{720}\right)$
$n=2: \sin \left(\frac{\pi}{360}\right)$
$n=3: \sin \left(\frac{\pi}{120}\right)$
$n=4: \sin \left(\frac{\pi}{30}\right)$
$n=5: \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$
$n=6: \sin(\pi) = 0$
सभी $n \ge 6$ के लिए,$n!$ संख्या $720$ का गुणज है,इसलिए $\sin \left(\frac{n! \pi}{720}\right) = 0$ होता है।
अतः,योग $\sin \left(\frac{\pi}{720}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{360}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{120}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{30}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$ है।

(D) दिए गए समीकरण $2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$ और $y = \sin x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x \in [-2\pi, 2\pi]$ के लिए $\sin x = \frac{1}{2}$ को हल करते हैं।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ का मान $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \frac{5\pi}{6}$ पर होता है।
अंतराल $[-2\pi, 0]$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ का मान $x = -2\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$ और $x = -\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$ पर होता है।
अतः,हल $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, -\frac{11\pi}{6}\}$ हैं।
इस प्रकार,कुल $4$ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + \tan 2 \theta + \tan 3 \theta = 0$ है।
चूँकि $3 \theta = \theta + 2 \theta$,इसलिए $\tan 3 \theta = \tan (\theta + 2 \theta) = \frac{\tan \theta + \tan 2 \theta}{1 - \tan \theta \cdot \tan 2 \theta}$ है।
$\tan \theta + \tan 2 \theta = -\tan 3 \theta$ और $\tan \theta \cdot \tan 2 \theta = k$ को सूत्र में रखने पर:
$\tan 3 \theta = \frac{-\tan 3 \theta}{1 - k}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan 3 \theta \neq 0$,दोनों पक्षों को $\tan 3 \theta$ से विभाजित करने पर:
$1 = \frac{-1}{1 - k}$।
$1 - k = -1$।
$k = 2$।

(A) दिया गया है: $\sin A = \sin^2 B$ और $2 \cos^2 A = 3 \cos^2 B$.
चूंकि $A$ और $B$ न्यून कोण हैं,$\sin A, \sin B, \cos A, \cos B > 0$.
दूसरे समीकरण में $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ और $\cos^2 B = 1 - \sin^2 B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2(1 - \sin^2 A) = 3(1 - \sin^2 B)$.
$\sin^2 B = \sin A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2 - 2 \sin^2 A = 3(1 - \sin A) = 3 - 3 \sin A$.
$2 \sin^2 A - 3 \sin A + 1 = 0$.
$(2 \sin A - 1)(\sin A - 1) = 0$.
अतः,$\sin A = \frac{1}{2}$ या $\sin A = 1$.
चूंकि $A$ एक न्यून कोण है,$\sin A = 1$ का अर्थ है $A = \frac{\pi}{2}$,जो न्यून कोण नहीं है।
अतः,$\sin A = \frac{1}{2}$,जिससे $A = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
तब $\sin^2 B = \sin A = \frac{1}{2}$,इसलिए $\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (चूंकि $B$ न्यून कोण है)।
इसलिए,$B = \frac{\pi}{4}$.
हल $(A, B) = \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$ है।

(C) दिया गया समीकरण $(\sin x - x)(\cos x - x^2) = 0$ है।
इसका अर्थ है $\sin x = x$ या $\cos x = x^2$।
प्रथम भाग के लिए,$\sin x = x$,केवल एक वास्तविक हल $x = 0$ है।
दूसरे भाग के लिए,$\cos x = x^2$,हम $y = \cos x$ और $y = x^2$ के ग्राफ देखते हैं।
$x = 0$ पर,$\cos(0) = 1$ और $0^2 = 0$,इसलिए इस भाग के लिए $x=0$ हल नहीं है।
जैसे-जैसे $x$,$0$ से $\pi$ तक जाता है,$\cos x$,$1$ से $-1$ तक घटता है,और $x^2$,$0$ से $\pi^2$ तक बढ़ता है,इसलिए अंतराल $(0, 1)$ में ठीक एक प्रतिच्छेदन बिंदु मिलता है।
समरूपता के कारण,अंतराल $(-1, 0)$ में भी ठीक एक प्रतिच्छेदन बिंदु मिलता है।
अतः,$\cos x = x^2$ के $2$ वास्तविक हल हैं।
प्रथम भाग के $x = 0$ हल को जोड़ने पर,कुल वास्तविक हलों की संख्या $1 + 2 = 3$ है।

(A) हमें समुच्चय $\{x \in R: |\cos x| \geq \sin x\}$ का अंतराल $\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करना है।
अंतराल $\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ में $y = |\cos x|$ और $y = \sin x$ के आलेखों पर विचार करें।
$1$. अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ में,$\cos x \geq \sin x$ है,इसलिए $|\cos x| \geq \sin x$ सत्य है।
$2$. अंतराल $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ में,$\sin x > \cos x$ है,इसलिए $|\cos x| < \sin x$ होता है।
$3$. अंतराल $\left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ में,$\cos x$ ऋणात्मक है,इसलिए $|\cos x| = -\cos x$ होता है। अतः,$-\cos x \geq \sin x$ अर्थात $\cos x + \sin x \leq 0$ होता है,जो $x \in \left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ के लिए सत्य है।
अतः,हल $\left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$. साथ ही,$\cot \frac{4 \pi}{5} = -\cot \frac{\pi}{5}$.
दिए गए व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\cot \frac{\pi}{5}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $S = \cos \frac{2 \pi}{7} + \cos \frac{4 \pi}{7} + \cos \frac{6 \pi}{7}$.
$2 \sin \frac{\pi}{7}$ से गुणा करने पर:
$2 \sin \frac{\pi}{7} S = 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} + 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7} + 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{6 \pi}{7}$.
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) - \sin(B-A)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \frac{\pi}{7} S = (\sin \frac{3 \pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7}) + (\sin \frac{5 \pi}{7} - \sin \frac{3 \pi}{7}) + (\sin \frac{7 \pi}{7} - \sin \frac{5 \pi}{7})$.
$\sin \frac{7 \pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7}$ को छोड़कर सभी पद कट जाते हैं।
चूंकि $\sin \pi = 0$,हमें $2 \sin \frac{\pi}{7} S = -\sin \frac{\pi}{7}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin \frac{\pi}{7} \neq 0$,इसलिए $S = -\frac{1}{2}$.
अतः,योग एक ऋणात्मक संख्या है।

(A, C) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए,फलन $f(x) = \cos x$ एक ह्रासमान फलन है।
$(a)$ चूंकि $\frac{\theta}{2} < \theta$,इसलिए $\cos \frac{\theta}{2} > \cos \theta$। अतः $(\cos \theta)^{1/2} \leq \cos \frac{\theta}{2}$ सही है।
$(b)$ चूंकि $\frac{3\theta}{4} < \theta$,इसलिए $\cos \frac{3\theta}{4} > \cos \theta$। अतः $(\cos \theta)^{3/4} < \cos \frac{3\theta}{4}$ है,जो गलत है।
$(c)$ चूंकि $\frac{5\theta}{6} < \theta$,इसलिए $\cos \frac{5\theta}{6} > \cos \theta$। अतः $\cos \frac{5\theta}{6} > (\cos \theta)^{5/6}$ सही है।
$(d)$ चूंकि $\frac{7\theta}{8} < \theta$,इसलिए $\cos \frac{7\theta}{8} > \cos \theta$। अतः $\cos \frac{7\theta}{8} > (\cos \theta)^{7/8}$ है,जो गलत है।

(A) दिया गया है: $\frac{\tan(A-B)}{\tan A} + \frac{\sin^{2}C}{\sin^{2}A} = 1$
$\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\tan A - \tan B}{\tan A(1 + \tan A \tan B)} + \frac{\sin^{2}C}{\sin^{2}A} = 1$
माना $\tan A = x, \tan B = y, \tan C = z$।
$\sin^{2}C = \frac{z^{2}}{1 + z^{2}}$ और $\sin^{2}A = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ रखने पर:
$\frac{x-y}{x(1+xy)} + \frac{z^{2}(1+x^{2})}{x^{2}(1+z^{2})} = 1$
सरल करने पर:
$z^{2} = xy$
$\therefore \tan^{2}C = \tan A \cdot \tan B$
अतः,$\tan A, \tan C, \tan B$ $G$.$P$. में हैं।

(C) दिया है $\cot x = \frac{5}{12}$ और $x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$,अतः $\cos x = -\frac{5}{13}$ और $\sin x = -\frac{12}{13}$.
चूँकि $\frac{x}{2} \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$,$\sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \frac{3}{\sqrt{13}}$ और $\cos \frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{13}}$.
व्यंजक का सरलीकरण: $\cos(7x - \frac{13x}{2}) + \sin(7x - \frac{13x}{2}) = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$.
मान रखने पर: $-\frac{2}{\sqrt{13}} + \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$.

(C) माना $E = \frac{\sqrt{3}\text{cosec } 20^{\circ}-\sec 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 80^{\circ}}$.
अंश को सरल करने पर: $\sqrt{3}\text{cosec } 20^{\circ}-\sec 20^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}\cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}} = \frac{2\sin(60^{\circ}-20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}} = \frac{2\sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}}$.
हर को सरल करने पर: $\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 80^{\circ} = \frac{1}{16}$.
अतः,$E = \frac{2\sin 40^{\circ} / (\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ})}{1/16} = \frac{4\sin 40^{\circ} / \sin 40^{\circ}}{1/16} = 4 \times 16 = 64$.

(A) दिया गया है $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ और $\cot \theta = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}$.
व्यंजक का विस्तार करने पर: $\sin (\frac{15 \theta}{2}) \cos 8 \theta + \sin (\frac{15 \theta}{2}) \sin 8 \theta + \cos (\frac{15 \theta}{2}) \cos 8 \theta - \cos (\frac{15 \theta}{2}) \sin 8 \theta$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\cos (\frac{15 \theta}{2}) \cos 8 \theta + \sin (\frac{15 \theta}{2}) \sin 8 \theta) + (\sin (\frac{15 \theta}{2}) \cos 8 \theta - \cos (\frac{15 \theta}{2}) \sin 8 \theta)$.
सर्वसमिका $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ और $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= \cos (8 \theta - \frac{15 \theta}{2}) + \sin (\frac{15 \theta}{2} - 8 \theta) = \cos (\frac{\theta}{2}) - \sin (\frac{\theta}{2})$.
चूंकि $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$,इसलिए $\frac{\pi}{4} < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$,जहाँ $\sin (\frac{\theta}{2}) > \cos (\frac{\theta}{2})$,अतः $\cos (\frac{\theta}{2}) - \sin (\frac{\theta}{2}) < 0$.
व्यंजक का वर्ग करने पर: $(\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})^2 = 1 - \sin \theta$.
दिए गए $\cot \theta = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ से,$\sin \theta = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$.
अतः,$(\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})^2 = 1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3} = \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3} = \frac{(\sqrt{2} - 1)^2}{3}$.
वर्गमूल लेने पर,चूंकि व्यंजक ऋणात्मक है: $\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2} = -\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{3}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{1}{\sin 10^{\circ}} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}}$
$= \frac{\cos 10^{\circ} - \sqrt{3} \sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2(\frac{1}{2} \cos 10^{\circ} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 10^{\circ})}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
$= \frac{2(\sin 30^{\circ} \cos 10^{\circ} - \cos 30^{\circ} \sin 10^{\circ})}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin(30^{\circ} - 10^{\circ})}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}} = \frac{2 \sin 20^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin 20^{\circ}}{\frac{1}{2} \sin 20^{\circ}} = 4$

(C) दिया गया व्यंजक $2(\cos^8 \theta - \sin^8 \theta) \sec 2\theta = a^2$ है।
वर्गों के अंतर का उपयोग करते हुए,$\cos^8 \theta - \sin^8 \theta = (\cos^4 \theta - \sin^4 \theta)(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) = (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) = \cos 2\theta (\cos^4 \theta + \sin^4 \theta)$ होता है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $2 \cos 2\theta (\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) \cdot \frac{1}{\cos 2\theta} = 2(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) = a^2$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\theta$ होता है।
अतः,$a^2 = 2(1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\theta) = 2 - \sin^2 2\theta$ है।
चूँकि $0 \le \sin^2 2\theta \le 1$,इसलिए $2 - 1 \le a^2 \le 2 - 0$,जिसका अर्थ है $1 \le a^2 \le 2$।
चूँकि $a \in \mathbb{Z}$,$a^2$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए। $[1, 2]$ अंतराल में केवल $1$ ही पूर्ण वर्ग है।
इसलिए,$a^2 = 1$,जिसका अर्थ है $a = 1$ या $a = -1$।
अतः,समुच्चय $S$ में $2$ अवयव हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + x - 2 = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 2)(x - 1) = 0$.
इससे मूल $x = 1$ और $x = -2$ प्राप्त होते हैं।
हमें दिया गया है कि $(\tan \beta)^{1020}$ इस समीकरण का एक मूल है।
चूंकि $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $\tan \beta > 0$,अतः $(\tan \beta)^{1020}$ धनात्मक होना चाहिए।
इसलिए,$(\tan \beta)^{1020} = 1$.
इसका अर्थ है कि $\tan \beta = 1$,जिसका अर्थ है $\beta = \frac{\pi}{4}$ या $45^\circ$.
अब,हमें $\sin^2 \beta + 3 \cos^2 \beta$ की गणना करनी है।
$\beta = 45^\circ$ रखने पर: $\sin^2(45^\circ) + 3 \cos^2(45^\circ) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 3(\frac{1}{\sqrt{2}})^2$.
$= \frac{1}{2} + 3(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

(A) हम सर्वसमिका $\tan \theta - \tan \phi = \frac{\sin(\theta - \phi)}{\cos \theta \cos \phi}$ का उपयोग करते हैं।
$B = \tan 81^\circ - \tan 3^\circ$ के लिए,हमें प्राप्त होता है $B = \frac{\sin(81^\circ - 3^\circ)}{\cos 81^\circ \cos 3^\circ} = \frac{\sin 78^\circ}{\cos 81^\circ \cos 3^\circ}$।
$\sin x = \cos(90^\circ - x)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$B = \frac{\cos 12^\circ}{\cos 81^\circ \cos 3^\circ}$ प्राप्त होता है।
अब $A$ के पदों पर विचार करें। $\frac{\sin x}{\cos 3x} = \frac{\tan 3x - \tan x}{2 \cos 2x}$ संबंध का उपयोग करते हुए,इन पदों का योग करने पर $A = B$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{B}{A} = 1$ है।