Mathematical logic Questions in Gujarati

(D) પગલું $1$: વિધાન $p$ નું સત્યતા મૂલ્ય નક્કી કરો. દરેક ચોરસ એક લંબચોરસ છે તે સાચું વિધાન છે,તેથી $p = T$.
પગલું $2$: વિધાન $q$ નું સત્યતા મૂલ્ય નક્કી કરો. દરેક સમબાજુ ચતુષ્કોણ એક પતંગાકાર ચતુષ્કોણ છે તે સાચું વિધાન છે,તેથી $q = T$.
પગલું $3$: $p \rightarrow q$ નું મૂલ્ય શોધો. $T \rightarrow T$ એ $T$ થાય છે,તેથી સત્યતા મૂલ્ય $T$ છે.
પગલું $4$: $p \leftrightarrow q$ નું મૂલ્ય શોધો. $T \leftrightarrow T$ એ $T$ થાય છે,તેથી સત્યતા મૂલ્ય $T$ છે.
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $T, T$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં,ઉપરની શાખામાં $\sim p$ અને $q$ સ્વીચો શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. આ શાખા માટેનું બુલિયન પદ $(\sim p \wedge q)$ છે.
નીચેની શાખામાં $p$ અને $\sim q$ સ્વીચો શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. આ શાખા માટેનું બુલિયન પદ $(p \wedge \sim q)$ છે.
આ બંને શાખાઓ સમાંતર જોડાયેલ હોવાથી,સર્કિટ માટેની કુલ બુલિયન બહુપદી બંને પદોનો વિયોજન (disjunction) થશે:
$(\sim p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q)$.

(B) વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $x \wedge (x \vee y) = (x \wedge x) \vee (x \wedge y)$.
આઈડેમપોટન્ટ (idempotent) નિયમ દ્વારા,$x \wedge x = x$,તેથી પદાવલિ $x \vee (x \wedge y)$ બને છે.
શોષણ (absorption) ના નિયમ દ્વારા,$x \vee (x \wedge y) = x$.

(B) શરતી વિધાન $P \Rightarrow Q$ નું પ્રતિવિધાન $\sim P \Rightarrow \sim Q$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $(p \wedge \sim q) \Rightarrow r$ માટે,$P = (p \wedge \sim q)$ અને $Q = r$ છે.
તેથી,તેનું પ્રતિવિધાન $\sim(p \wedge \sim q) \Rightarrow \sim r$ થાય.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(p \wedge \sim q)$ એ $(\sim p \vee \sim(\sim q))$ ને સમાન છે,જેનું સાદું રૂપ $(\sim p \vee q)$ થાય છે.
આમ,પ્રતિવિધાન $(\sim p \vee q) \Rightarrow \sim r$ છે.

(C) વિધાન $(p$ $\Rightarrow \sim p) \wedge (\sim p$ $\Rightarrow p)$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:

$p$	$\sim p$	$p \Rightarrow \sim p$	$\sim p \Rightarrow p$	$(p$ $\Rightarrow \sim p) \wedge (\sim p$ $\Rightarrow p)$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$

છેલ્લી કોલમમાં $p$ ના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે માત્ર $F$ (ખોટું) હોવાથી,આ વિધાન એક વિરોધાભાસ છે.

(B) $(p \wedge q) \vee \sim p = \sim p \vee (p \wedge q)$ (ક્રમનો નિયમ વાપરતા)
$= (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee q)$ (વિભાજનનો નિયમ વાપરતા)
$= (p \vee \sim p) \wedge (\sim p \vee q)$ (ક્રમનો નિયમ વાપરતા)
$= t \wedge (\sim p \vee q)$ (પૂરક નિયમ વાપરતા,જ્યાં $t$ એ નિત્યસત્ય છે)
$= \sim p \vee q$ (તદેવતાનો નિયમ વાપરતા)

(B) આપેલ સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = F, r = F$ છે.
પ્રથમ,ઘટકોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$\sim q = \sim F = T$
$\sim p = \sim T = F$
હવે,કૌંસમાં આપેલા પદોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$p \wedge \sim q = T \wedge T = T$
$\sim p \vee r = F \vee F = F$
છેલ્લે,શરતી વિધાનનું મૂલ્યાંકન કરો:
$(p \wedge \sim q)$ $\rightarrow (\sim p \vee r) = T$ $\rightarrow F = F$.
આમ,સત્યતા મૂલ્ય $F$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં બે સ્વીચો $p$ અને $\sim p$ સમાંતર જોડાયેલી છે,જે પછી $q$ સ્વીચ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે.
$p$ અને $\sim p$ ના સમાંતર જોડાણ માટેનું તાર્કિક પદ $(p \lor \sim p)$ છે.
કારણ કે $(p \lor \sim p) = T$ (એક નિત્યસત્ય,જે સ્વીચિંગ સર્કિટમાં $1$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે),તેથી પદ $1 \land q$ બને છે.
આમ,આઉટપુટ $1 \cdot q = q$ છે.

(A) વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(p \vee q) \wedge (p \vee \sim q) = p \vee (q \wedge \sim q)$
પૂરકતાના નિયમ મુજબ,$q \wedge \sim q = F$ (જ્યાં $F$ એ અસત્ય વિધાન દર્શાવે છે).
તેથી,પદાવલિ $p \vee F$ બને છે.
$F$ એ $\vee$ માટે તટસ્થ ઘટક હોવાથી,$p \vee F = p$.
આમ,સરળ સ્વરૂપ $p$ છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં બે સમાંતર બ્લોક્સ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
સર્કિટ જોતા:
$1$. પ્રથમ બ્લોકમાં $p$ અને $q$ સ્વિચ સમાંતરમાં છે,જે $(p \vee q)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$2$. બીજા બ્લોકમાં $p$ અને $r$ સ્વિચ સમાંતરમાં છે,જે $(p \vee r)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$3$. આ બંને બ્લોક્સ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,અભિવ્યક્તિ $(p \vee q) \wedge (p \vee r)$ થશે.
બુલિયન બીજગણિતના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(p \vee q) \wedge (p \vee r) = p \vee (q \wedge r)$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિતાર્થ $A \rightarrow B$ એ $\sim A \vee B$ ને સમાન છે.
તેથી,$\sim p \rightarrow q \equiv \sim(\sim p) \vee q \equiv p \vee q$.
હવે,નકાર લાગુ કરતા: $\sim(\sim p \rightarrow q) \equiv \sim(p \vee q)$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim(p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$.

(B) ધારો કે $p$ વિધાન છે: "વરસાદ પડે છે".
ધારો કે $q$ વિધાન છે: "હું શાળાએ જઈશ".
આપેલ શરતી વિધાન $p \Rightarrow q$ છે.
શરતી વિધાન $p \Rightarrow q$ નું નિષેધ $\sim(p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$p \wedge \sim q$ નો અર્થ થાય છે: "વરસાદ પડે છે અને હું શાળાએ જઈશ નહીં".
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) બુલિયન પદાવલિનું દ્વૈત શોધવા માટે,આપણે $\vee$ ને $\wedge$ સાથે,$\wedge$ ને $\vee$ સાથે,$0$ ને $1$ સાથે અને $1$ ને $0$ સાથે બદલીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $\left(x^{\prime} \vee y^{\prime}\right) = x \wedge y$ માટે,આપણે કારકોને બદલીએ છીએ:
$\vee$ એ $\wedge$ બને છે
$\wedge$ એ $\vee$ બને છે
આમ,દ્વૈત $\left(x^{\prime} \wedge y^{\prime}\right) = x \vee y$ છે.

(B) તાર્કિક વિધાનનું દ્વૈત શોધવા માટે,આપણે $\vee$ ને $\wedge$ સાથે,$\wedge$ ને $\vee$ સાથે,$T$ ને $F$ સાથે અને $F$ ને $T$ સાથે બદલીએ છીએ.
આપેલ વિધાન: $[p \vee (\sim q)] \wedge (\sim p)$.
$\vee$ ને $\wedge$ સાથે અને $\wedge$ ને $\vee$ સાથે બદલતા,આપણને મળે છે:
$[p \wedge (\sim q)] \vee (\sim p)$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક હોઈ શકે છે જો વિવેચક $D = b^2 - 4ac < 0$ હોય.
તેથી,વિધાન '$A$ quadratic equation always has a real root' ખોટું છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું સત્યતા મૂલ્ય '$F$' છે.
વિકલ્પ $B$ સાચો છે કારણ કે તે ક્રમચયનું સૂત્ર દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે એકમના ઘનમૂળ $1, \omega, \omega^2$ છે,જે સામાન્ય ગુણોત્તર $\omega$ સાથે $GP$ બનાવે છે.

(D) આપેલ પરિપથનું સાંકેતિક સ્વરૂપ $(p \vee \sim q \vee \sim r) \wedge (p \vee (q \wedge r))$ છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $p \vee [(\sim q \vee \sim r) \wedge (q \wedge r)]$ મળે છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આ $p \vee [\sim (q \wedge r) \wedge (q \wedge r)]$ બને છે.
પૂરક નિયમ લાગુ કરતા,આપણને $p \vee F$ મળે છે.
અંતે,તાદાત્મ્યના નિયમ દ્વારા,આ $p$ માં સરળ બને છે.
આમ,પરિપથ માત્ર સ્વિચ $S_1$ ધરાવતા પરિપથને સમતુલ્ય છે.

(C) આપેલ વિધાન $p$ છે: $\exists x \in S$ જેથી $x > 0$.
નિષેધ $\sim p$ શોધવા માટે,આપણે $\sim(\exists x, P(x)) \equiv \forall x, \sim P(x)$ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\sim p : \forall x \in S, x \leq 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $S$ ની દરેક સંમેય સંખ્યા $x$ માટે $x \leq 0$ થાય છે.

(A) વિધાન એ એક એવું વાક્ય છે જે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય.
$(A)$ $ \sqrt{3} $ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે: આ વિધાન અસત્ય છે કારણ કે $ \sqrt{3} \approx 1.732 $ એ પૂર્ણાંક નથી,અને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ.
$(B)$ સૂર્ય એક તારો છે: આ વિધાન સત્ય છે.
$(C)$ ગણિત રસપ્રદ છે: આ એક અભિપ્રાય છે.
$(D)$ $ \sqrt{2} $ એ અસંમેય સંખ્યા છે: આ વિધાન સત્ય છે.
આમ,જે વિધાન સાચું નથી તે વિકલ્પ $A$ છે.

(C) "દરેક" (universal quantifier) ધરાવતા વિધાનનો નિષેધ કરવા માટે,તેને "ઓછામાં ઓછી એક" (existential quantifier) વડે બદલવામાં આવે છે અને વિધાનના ગુણધર્મનો નિષેધ કરવામાં આવે છે.
આપેલ વિધાન: "દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$x^2+5$ ધન છે".
તેનો નિષેધ: "ઓછામાં ઓછી એક એવી વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના માટે $x^2+5$ ધન નથી".

(D) આપેલ વિધાન $P \implies Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P$ એ "બે રેખાઓ એક જ સમતલમાં છેદતી નથી" અને $Q$ એ "તેઓ સમાંતર છે" છે.
$P \implies Q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\neg Q \implies \neg P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$\neg Q$ એ "બે રેખાઓ સમાંતર નથી" અને $\neg P$ એ "બે રેખાઓ એક જ સમતલમાં છેદે છે" છે.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન છે: "જો બે રેખાઓ સમાંતર ન હોય,તો તેઓ એક જ સમતલમાં છેદે છે."
આ વિકલ્પ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(D) આપેલ વિધાન "બધા જ $P$ એ $Q$ છે" સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $P$ એ સતત વિધેય છે અને $Q$ એ વિકલનીય હોવાનો ગુણધર્મ છે.
"બધા જ $P$ એ $Q$ છે" વિધાનનું નિષેધ "કેટલાક $P$ એ $Q$ નથી" થાય છે.
તેથી,"બધા જ સતત વિધેયો વિકલનીય છે" નું નિષેધ "કેટલાક સતત વિધેયો વિકલનીય નથી" થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $p$ એ વિધાન છે: "$72$ એ $2$ અને $3$ વડે વિભાજ્ય છે".
આને $p = q \wedge r$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $q$ એ "$72$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે" અને $r$ એ "$72$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે".
સંયોજનનો નિષેધ ડી મોર્ગનના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\sim(q \wedge r) \equiv \sim q \vee \sim r$.
અહીં,$\sim q$ એ "$72$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય નથી" અને $\sim r$ એ "$72$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી".
તેથી,નિષેધ "$72$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય નથી અથવા $72$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી" છે.

(D) ધારો કે $p: x$ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને $q: x$ એકી સંખ્યા છે.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
વિધાનનું સામ્યવિધાન (converse) $q \rightarrow p$ છે.
સામ્યવિધાનનું પ્રતિવિધાન (contrapositive) $\sim p \rightarrow \sim q$ છે.
તેથી,પ્રતિવિધાનનું સામ્યવિધાન: "જો $x$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી,તો $x$ એકી સંખ્યા નથી."

(B) આપેલ વિધાન $(p \wedge \sim q) \rightarrow r$ છે.
શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim A \rightarrow \sim B$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$A = (p \wedge \sim q)$ અને $B = r$ છે.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન $\sim (p \wedge \sim q) \rightarrow \sim r$ થશે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (p \wedge \sim q) \equiv \sim p \vee \sim (\sim q) \equiv \sim p \vee q$.
આમ,પ્રતિ-વિધાન $(\sim p) \vee q \rightarrow (\sim r)$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિતાર્થ $A \rightarrow B$ એ $\sim A \vee B$ ને તાર્કિક રીતે સમાન છે.
$p \rightarrow \sim q$ માટે આ નિયમ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$p \rightarrow \sim q \equiv \sim p \vee \sim q$.
આ સત્યતા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને પણ ચકાસી શકાય છે:
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $p \rightarrow \sim q$ | $\sim p \vee \sim q$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
$p$ અને $q$ ના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે $p \rightarrow \sim q$ અને $\sim p \vee \sim q$ ના સત્ય મૂલ્યો સમાન હોવાથી,તેઓ તાર્કિક રીતે સમાન છે.

(D) $p \rightarrow (\sim p \vee q)$ નું નિષેધ શોધવા માટે,આપણે તાર્કિક સમાનતા $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$A = p$ અને $B = (\sim p \vee q)$ છે.
તેથી,$\sim[p \rightarrow (\sim p \vee q)] \equiv p \wedge \sim(\sim p \vee q)$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(\sim p \vee q) \equiv \sim(\sim p) \wedge \sim q \equiv p \wedge \sim q$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને $p \wedge (p \wedge \sim q)$ મળે છે.
કારણ કે $p \wedge p \equiv p$,તેથી પદાવલિ $p \wedge \sim q$ માં સરળ બને છે.
આમ,નિષેધ $p \wedge \sim q$ છે.

(A) અમે સત્યતા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને દરેક વિકલ્પનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ:
$(a)$ ધારો કે $x = (p \wedge \sim q)$ અને $y = (p \rightarrow q)$. સત્યતા કોષ્ટક દર્શાવે છે કે $(x \leftrightarrow y)$ એ સ્વતઃસત્ય નથી (તે એક આકસ્મિકતા છે).
$(b)$ આ એક પ્રમાણભૂત સ્વતઃસત્ય છે જેને હાયપોથેટિકલ સિલોજિઝમનો નિયમ કહેવામાં આવે છે.
$(c)$ આ એક પ્રમાણભૂત તાર્કિક સમાનતા છે (સંયોજન પર ગર્ભિતતાનો વિતરણનો નિયમ).
$(d)$ આ દ્વિ-શરતી વિધાનના નકાર માટેની પ્રમાણભૂત તાર્કિક સમાનતા છે.
તેથી,વિકલ્પ $(a)$ સત્ય નથી.

(D) આપણે $p \wedge (q \rightarrow \sim r)$ વિધાનનું નિષેધ શોધવાનું છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(A \wedge B) = \sim A \vee \sim B$:
$\sim(p \wedge (q$ $\rightarrow \sim r)) = \sim p \vee \sim(q$ $\rightarrow \sim r)$
ગર્ભિત નિયમ $\sim(A \rightarrow B) = A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim p \vee (q \wedge \sim(\sim r))$
બેવડા નિષેધના નિયમ $\sim(\sim r) = r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim p \vee (q \wedge r)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ શરતી વિધાન $p \rightarrow \sim q$ છે.
શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim B \rightarrow \sim A$ થાય છે.
તેથી,$p \rightarrow \sim q$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim(\sim q) \rightarrow \sim p$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $q \rightarrow \sim p$ છે.
શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ નું પ્રતીપ $B \rightarrow A$ થાય છે.
તેથી,$q \rightarrow \sim p$ નું પ્રતીપ $\sim p \rightarrow q$ થાય.

(B) ધારો કે $p$ એ વિધાન "$2$ અવિભાજ્ય છે" છે.
ધારો કે $q$ એ વિધાન "$3$ એકી છે" છે.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
ગર્ભિત વિધાન $p \rightarrow q$ નો નિષેધ $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$p$ એ "$2$ અવિભાજ્ય છે" અને $\sim q$ એ "$3$ એકી નથી" છે.
તેથી,નિષેધ "$2$ અવિભાજ્ય છે અને $3$ એકી નથી" થાય.

(C) આપેલ વિધાન એક સાર્વત્રિક ક્વોન્ટિફિકેશન છે: "બધી $x, y \in \mathbb{R}$ માટે,$x+y=y+x$."
"બધા માટે" $(\forall)$ ક્વોન્ટિફાયર ધરાવતા વિધાનનું નકારાત્મક વિધાન શોધવા માટે,આપણે તેને "અસ્તિત્વ ધરાવે છે" (અથવા "કેટલાક માટે") ક્વોન્ટિફાયર સાથે બદલીએ છીએ અને વિધાનને નકારીએ છીએ.
"બધા $x$ અને $y$ માટે,$P(x, y)$" નું નકારાત્મક વિધાન "એવા $x$ અને $y$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\neg P(x, y)$ થાય" છે.
અહીં,વિધાન $P(x, y)$ એ $x+y=y+x$ છે.
$x+y=y+x$ નું નકારાત્મક વિધાન $x+y \neq y+x$ છે.
તેથી,આપેલ વિધાનનું નકારાત્મક વિધાન "કેટલીક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે,$x+y \neq y+x$" છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $ \sim[(\sim p) \wedge q] $.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$ \sim(A \wedge B) = (\sim A) \vee (\sim B) $:
$ \sim[(\sim p) \wedge q] = \sim(\sim p) \vee (\sim q) $.
કારણ કે $ \sim(\sim p) = p $,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$ p \vee (\sim q) $.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $ A $ છે.

(D) આપેલ વિધાન "જો $P$,તો $Q$" સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P$ એ "$x$ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે" અને $Q$ એ "$x$ એકી સંખ્યા છે".
"જો $P$,તો $Q$" વિધાનનું પ્રતીપ વિધાન (contrapositive) "જો $\neg Q$,તો $\neg P$" તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$\neg Q$ એ "$x$ એકી સંખ્યા નથી" અને $\neg P$ એ "$x$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી".
તેથી,પ્રતીપ વિધાન "જો $x$ એકી સંખ્યા નથી,તો $x$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી" થશે.