Mathematical logic Questions in Gujarati

(C) આપેલ વિધાનો છે:
$p$: વરસાદ પડી રહ્યો છે
$q$: વાતાવરણ ખુશનુમા છે
"વરસાદ પણ નથી પડી રહ્યો અને વાતાવરણ પણ ખુશનુમા નથી" વિધાનનો અર્થ થાય છે "વરસાદ નથી પડી રહ્યો અને વાતાવરણ ખુશનુમા નથી".
આને $(\sim p) \wedge (\sim q)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $p \wedge (q \rightarrow r)$ નું નિષેધ શોધવા માટે,આપણે ડી મોર્ગનના નિયમ અને ગર્ભિતાર્થ (implication) ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\sim [p \wedge (q \rightarrow r)]$
કારણ કે $q \rightarrow r \equiv \sim q \vee r$,તેથી:
$\equiv \sim [p \wedge (\sim q \vee r)]$
ડી મોર્ગનનો નિયમ $\sim (A \wedge B) \equiv \sim A \vee \sim B$ લાગુ કરતા:
$\equiv \sim p \vee \sim (\sim q \vee r)$
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ $\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$ લાગુ કરતા:
$\equiv \sim p \vee (q \wedge \sim r)$

(C) ધારો કે $p: -7$ એક પૂર્ણાંક છે.
ધારો કે $q: \sqrt{-7}$ એક સંકર સંખ્યા છે.
$S_1$ નું તાર્કિક સ્વરૂપ $p \rightarrow q$ છે.
$S_2$ નું તાર્કિક સ્વરૂપ $\sim p \lor q$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p \rightarrow q \equiv \sim p \lor q$ થાય છે.
તેથી,$S_1$ અને $S_2$ સમાન વિધાનો છે.

(C) ધારો કે $p: 3+6 > 8$ અને $q: 2+3 < 6$.
આપેલ વિધાનનું તાર્કિક સ્વરૂપ $p \wedge q$ છે.
નિષેધના નિયમ મુજબ,$\sim(p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$.
અહીં,$\sim p$ એ $3+6 \leq 8$ છે અને $\sim q$ એ $2+3 \geq 6$ છે.
તેથી,નિષેધ $3+6 \leq 8 \text{ અથવા } 2+3 \geq 6$ થશે.

(C) ધારો કે $p$: બે ત્રિકોણ એકરૂપ છે.
$q$: તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે.
આપેલ વિધાનનું તાર્કિક સ્વરૂપ $p \rightarrow q$ છે.
આપેલ વિધાનનું પ્રતિ-વિધાન (Inverse) $\sim p \rightarrow \sim q$ છે.
પ્રતિ-વિધાનનું વિરોધી વિધાન (Contrapositive) $\sim(\sim q) \rightarrow \sim(\sim p)$ એટલે કે $q \rightarrow p$ છે.
તેથી,વિધાન છે: જો બે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય,તો તેઓ એકરૂપ હોય છે.

(D) આપેલ વિધાન: $\sim p \rightarrow q$.
વિધાન $A \rightarrow B$ નો પ્રતિવિધિ $\sim A \rightarrow \sim B$ છે.
તેથી,$\sim p \rightarrow q$ નો પ્રતિવિધિ $\sim(\sim p) \rightarrow \sim q$ છે,જે $p \rightarrow \sim q$ તરીકે સરળ બને છે.
ગર્ભિત વિધાન $A \rightarrow B$ નું નિષેધ $A \wedge (\sim B)$ છે.
આમ,$p \rightarrow \sim q$ નું નિષેધ $p \wedge \sim(\sim q)$ છે,જે $p \wedge q$ તરીકે સરળ બને છે.

(D) આપેલ વિધાન $\forall x \in N, P(x)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(x)$ એ '$x^2+x$ એ બેકી સંખ્યા છે' તેવું વિધાન છે.
સાર્વત્રિક ક્વોન્ટિફાયર વિધાન $\forall x, P(x)$ ના નિષેધ માટે,આપણે $\sim(\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \sim P(x)$ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,'$x^2+x$ એ બેકી સંખ્યા છે' નો નિષેધ '$x^2+x$ એ બેકી સંખ્યા નથી' થાય છે.
તેથી,આપેલ વિધાનનો નિષેધ $\exists x \in N$ એવું મળે કે જેથી $x^2+x$ એ બેકી સંખ્યા નથી.

(D) ધારો કે $p$: વરસાદ પડી રહ્યો છે અને $q$: હવામાન ખુશનુમા છે.
આપેલ વિધાન "તે સાચું નથી કે,જો વરસાદ પડી રહ્યો હોય તો હવામાન ખુશનુમા નથી" છે.
સાંકેતિક રીતે,આ $\sim(p \rightarrow \sim q)$ તરીકે લખાય છે.
તાર્કિક સમાનતા $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sim(p \rightarrow \sim q) \equiv p \wedge \sim(\sim q)$.
કારણ કે $\sim(\sim q) \equiv q$,તેથી પદાવલિ $p \wedge q$ માં સરળ બને છે.
આમ,વિધાન "વરસાદ પડી રહ્યો છે અને હવામાન ખુશનુમા છે" થાય છે.

(D) જો કોઈ વિધાન રચનાના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે તેનું સત્ય મૂલ્ય $T$ હોય,તો તેને નિત્યસત્ય કહેવાય છે.
આપેલ સત્યતા કોષ્ટક મુજબ:
સ્તંભ $9$ એ $S_{1} \equiv \sim p \rightarrow (q \leftrightarrow p)$ દર્શાવે છે. તેના મૂલ્યો $T, T, F, T$ છે. આ નિત્યસત્ય નથી.
સ્તંભ $10$ એ $S_{2} \equiv \sim p \vee \sim q$ દર્શાવે છે. તેના મૂલ્યો $F, T, T, T$ છે. આ નિત્યસત્ય નથી.
સ્તંભ $11$ એ $S_{3} \equiv (p$ $\rightarrow q) \wedge (q$ $\rightarrow p)$ દર્શાવે છે. તેના મૂલ્યો $T, F, F, T$ છે. આ નિત્યસત્ય નથી.
સ્તંભ $12$ એ $S_{4} \equiv (q \rightarrow p) \vee (\sim p \leftrightarrow q)$ દર્શાવે છે. તેના મૂલ્યો $T, T, T, T$ છે.
સ્તંભ $12$ માં તમામ મૂલ્યો $T$ હોવાથી,$S_{4}$ એ નિત્યસત્ય છે.

(A) વિધાન પેટર્નનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ છીએ:
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $p \vee q$ | $(p \vee q) \wedge \sim p$ | $[(p \vee q) \wedge \sim p] \wedge \sim q$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ |
છેલ્લી કોલમમાં બધી એન્ટ્રીઓ $F$ (ખોટી) હોવાથી,આ વિધાન પેટર્ન એક વિરોધાભાસ છે.

(A) જો કોઈ વિધાન રચનાનું સત્યતા મૂલ્ય તેના તમામ ઘટકોના શક્ય સત્યતા મૂલ્યો માટે $F$ હોય,તો તેને વિરોધાભાસ કહેવાય છે.
આપણે $S_{1} \equiv (p \rightarrow q) \wedge (p \wedge \sim q)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
તાર્કિક નિયમોનો ઉપયોગ કરતા:
$S_{1} \equiv (\sim p \vee q) \wedge (p \wedge \sim q)$
$S_{1} \equiv [(\sim p \vee q) \wedge p] \wedge \sim q$
$S_{1} \equiv [(\sim p \wedge p) \vee (q \wedge p)] \wedge \sim q$
$S_{1} \equiv [F \vee (p \wedge q)] \wedge \sim q$
$S_{1} \equiv (p \wedge q) \wedge \sim q$
$S_{1} \equiv p \wedge (q \wedge \sim q)$
$S_{1} \equiv p \wedge F$
$S_{1} \equiv F$
આમ,સત્યતા મૂલ્ય હંમેશા $F$ હોવાથી,$S_{1}$ એ વિરોધાભાસ છે.

(B) નિષેધ શોધવા માટે આપણે નીચેના નિયમોનું પાલન કરીએ છીએ:
$1$. અસ્તિત્વવાચક કારક $\exists$ (કોઈક) ને સાર્વત્રિક કારક $\forall$ (દરેક) સાથે બદલો.
$2$. અસમતા ચિહ્ન $>$ ને તેના નિષેધ $\leq$ સાથે બદલો.
તેથી,$\exists x \in A$ એવું છે કે જેથી $x+5 > 8$ નું નિષેધ $\forall x \in A, \quad x+5 \leq 8$ થાય.

(D) કઈ વિધાન રચના સ્વતઃ સત્ય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિધાન માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ છીએ.
જો કોઈ વિધાન તેના ઘટક વિધાનોના તમામ શક્ય સત્યતા મૂલ્યો માટે $T$ હોય,તો તે સ્વતઃ સત્ય છે.
$S_2 \equiv [p \wedge (p$ $\rightarrow q)]$ $\rightarrow q$ માટે:
| $p$ | $q$ | $p \rightarrow q$ | $p \wedge (p \rightarrow q)$ | $[p \wedge (p$ $\rightarrow q)]$ $\rightarrow q$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
કારણ કે $S_2$ માટે અંતિમ સ્તંભની તમામ કિંમતો $T$ છે,તેથી $S_2$ એ સ્વતઃ સત્ય છે.

(C) વિધાન પેટર્નનો દ્વૈત શોધવા માટે,આપણે $\wedge$ ને $\vee$ સાથે,$\vee$ ને $\wedge$ સાથે,$t$ ને $c$ સાથે અને $c$ ને $t$ સાથે બદલીએ છીએ.
આપેલ વિધાન પેટર્ન: $\sim p \wedge (q \vee t)$.
$\wedge$ ને $\vee$ સાથે,$\vee$ ને $\wedge$ સાથે અને $t$ ને $c$ સાથે બદલતા:
દ્વૈત $\sim p \vee (q \wedge c)$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\sim(p \vee q) \vee(\sim p \wedge q)$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$.
તેથી,પદાવલિ $(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ બને છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim p$ ને સામાન્ય લેતા:
$\sim p \wedge (\sim q \vee q)$.
કારણ કે $(\sim q \vee q) \equiv T$ (નિત્યસત્ય),પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$\sim p \wedge T \equiv \sim p$.

(A) પરિપથ બે મુખ્ય સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે.
શાખા $1$ માં શ્રેણીમાં સ્વીચો $s_{1}$ અને $s_{2}$ છે,જે $(p \wedge q)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
શાખા $2$ માં સ્વીચ $s_{1}'$ (જે $\sim p$ છે) એ $s_{2}'$ $(\sim q)$,$s_{1}$ $(p)$,અને $s_{3}$ $(r)$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
આ સમાંતર જોડાણ $(\sim q \vee p \vee r)$ છે.
આમ,સાંકેતિક સ્વરૂપ $(p \wedge q) \vee [\sim p \wedge (\sim q \vee p \vee r)] \equiv \ell$ છે.

(B) ધારો કે $p$: રાજુ બહાદુર છે,અને $q$: રાજુ ભારતીય સેનામાં જોડાશે.
$p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન (contrapositive) $\sim q \rightarrow \sim p$ છે.
અહીં,$\sim q$ એટલે 'રાજુ ભારતીય સેનામાં જોડાતો નથી' અને $\sim p$ એટલે 'રાજુ બહાદુર નથી'.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન છે: 'જો રાજુ ભારતીય સેનામાં જોડાતો નથી,તો તે બહાદુર નથી'.

(D) આપેલ પદાવલિ: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [\sim r \wedge \sim q \wedge p]$
ક્રમનો અને જૂથનો નિયમ વાપરતા:
$[p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge (\sim q \wedge \sim r)]$
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim q \wedge \sim r \equiv \sim (q \vee r)$:
$[p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge \sim (q \vee r)]$
વિભાજનનો નિયમ $p \wedge (A \vee \sim A) = p \wedge T$ વાપરતા:
$p \wedge [(q \vee r) \vee \sim (q \vee r)]$
કારણ કે $(q \vee r) \vee \sim (q \vee r) \equiv T$ (નિત્યસત્ય):
$p \wedge T = p$

(A) આપેલ પદાવલિ $[\sim p \vee (p \wedge \sim q)] \vee q$ છે.
વિભાજનનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$= [(\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)] \vee q$
$= [T \wedge (\sim p \vee \sim q)] \vee q$
$= (\sim p \vee \sim q) \vee q$
$= \sim p \vee (\sim q \vee q)$
$= \sim p \vee T$
$= T$
પરિણામ $T$ (tautology) હોવાથી,સ્વિચની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લીધા વિના પ્રવાહ વહે છે.

(A) શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
આપેલ છે કે $(\sim p \wedge q) \rightarrow r$ અસત્ય છે,તેથી $(\sim p \wedge q) = T$ અને $r = F$ હોવું જોઈએ.
સંયોજન $A \wedge B$ ત્યારે જ સત્ય હોય જ્યારે $A$ અને $B$ બંને સત્ય હોય.
તેથી,$\sim p = T$ અને $q = T$.
જો $\sim p = T$ હોય,તો $p = F$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p = F, q = T, r = F$ છે.

(B) 'સંદીપને ચા કે કોફી ગમતી નથી' વિધાનનો અર્થ છે 'સંદીપને ચા ગમતી નથી અને સંદીપને કોફી ગમતી નથી',જે $(\sim p \wedge \sim q)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
'પણ તે સોફ્ટ ડ્રિંકનો આનંદ માણે છે' શબ્દસમૂહ 'અને સંદીપ સોફ્ટ ડ્રિંકનો આનંદ માણે છે' શરત ઉમેરે છે,જે $\wedge r$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આ બંનેને જોડતા,સાંકેતિક સ્વરૂપ $(\sim p \wedge \sim q) \wedge r$ થાય છે.

(B) ધારો કે $p:$ ઘાસ લીલું છે.
ધારો કે $q:$ જુલાઈમાં વરસાદ પડે છે.
આપેલ વિધાનનું તાર્કિક સ્વરૂપ $p \rightarrow q$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ થાય.
તેથી,આ વિધાન 'ઘાસ લીલું નથી અથવા જુલાઈમાં વરસાદ પડે છે' ને સમાન છે.

(C) $\sim(p \wedge q)$ માટેના સત્યતા મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે નીચે મુજબ સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ છીએ:

$p$	$q$	$p \wedge q$	$\sim(p \wedge q)$
$T$	$T$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$

છેલ્લા સ્તંભમાં રહેલી એન્ટ્રીઓ $F, T, T, T$ છે.

(D) નિત્યસત્ય (tautology) એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે સત્ય હોય છે.
આપેલા વિકલ્પો માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવતા:
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $\sim p \vee \sim q$ | $p \vee \sim q$ | $(\sim p \vee \sim q) \vee (p \vee \sim q)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
છેલ્લી કોલમમાં જોયા મુજબ,વિધાન $(\sim p \vee \sim q) \vee (p \vee \sim q)$ એ $p$ અને $q$ ના તમામ સંયોજનો માટે સત્ય છે.
તેથી,તે એક નિત્યસત્ય છે.

(A) ધારો કે $p$ એ વિધાન છે કે સ્વીચ $S_{1}$ બંધ છે.
ધારો કે $q$ એ વિધાન છે કે સ્વીચ $S_{2}$ બંધ છે.
તેથી $\sim p$ એ સ્વીચ $S_{1}'$ બંધ હોવાનું દર્શાવે છે,અને $\sim q$ એ સ્વીચ $S_{2}'$ બંધ હોવાનું દર્શાવે છે.
આપેલ પરિપથમાં:
$1$. ઉપરની શાખામાં સ્વીચ $S_{1}$ અને $S_{2}$ સમાંતર છે,જે $(p \vee q)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$2$. નીચેની શાખામાં સ્વીચ $S_{1}'$ અને $S_{2}'$ શ્રેણીમાં છે,જે $(\sim p \wedge \sim q)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$3$. આ બંને શાખાઓ એકબીજા સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
તેથી,પરિપથનું સાંકેતિક સ્વરૂપ $(p \vee q) \vee (\sim p \wedge \sim q) \equiv l$ છે.

(B) ધારો કે $p$ એ વિધાન 'તે ગરીબ છે' અને $q$ એ વિધાન 'તે ખુશ છે' છે.
આપેલ વિધાન 'તે ગરીબ છે પણ ખુશ છે' ને તાર્કિક સ્વરૂપમાં $p \wedge q$ તરીકે લખી શકાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે સંયોજનનું નકારાત્મક વિધાન ડી મોર્ગનના નિયમ દ્વારા મળે છે: $\sim(p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$.
અહીં,$\sim p$ એટલે 'તે ગરીબ નથી' અને $\sim q$ એટલે 'તે ખુશ નથી'.
આમ,નકારાત્મક વિધાન 'તે ગરીબ નથી અથવા તે ખુશ નથી' થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ આ તાર્કિક સમાનતા દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે: $p \equiv T, q \equiv T, r \equiv F$.
દરેક વિકલ્પનું સત્યતા મૂલ્ય તપાસતા:
$(A) (p \wedge q)$ $\rightarrow r \equiv (T \wedge T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
$(B) (p$ $\rightarrow r)$ $\rightarrow q \equiv (T$ $\rightarrow F)$ $\rightarrow T \equiv F$ $\rightarrow T \equiv T$.
$(C) (p \vee q) \vee r \equiv (T \vee T) \vee F \equiv T \vee F \equiv T$.
$(D) (p \leftrightarrow q) \leftrightarrow r \equiv (T \leftrightarrow T) \leftrightarrow F \equiv T \leftrightarrow F \equiv F$.
અહીં $(B)$ અને $(C)$ બંને સત્ય છે.

(A) ધારો કે $p: 5 < 7$,$q: 7 > 2$,અને $r: 5 > 2$.
આપેલ વિધાન $(p \wedge q) \rightarrow r$ સ્વરૂપમાં છે.
શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ નો નિષેધ $A \wedge \sim B$ થાય છે.
અહીં,$A = (p \wedge q)$ અને $B = r$ છે.
તેથી,નિષેધ $(p \wedge q) \wedge \sim r$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $(5 < 7 \wedge 7 > 2) \wedge \sim(5 > 2)$.
$5 > 2$ નો નિષેધ $5 \leq 2$ હોવાથી,અંતિમ વિધાન $(5 < 7 \text{ અને } 7 > 2) \text{ અને } 5 \leq 2$ મળે છે.

(A) આપેલ વિધાન '$p \land q$' છે,જ્યાં '$p$: Mangoes are delicious' અને '$q$: Mangoes are expensive'.
તર્કમાં,'but' શબ્દ સંયોજક તરીકે કાર્ય કરે છે,જે 'and' $(\land)$ ને સમાન છે.
વિધાનનું દ્વૈત (dual) મેળવવા માટે 'and' $(\land)$ ને 'or' $(\lor)$ સાથે અને તેનાથી ઉલટું બદલવામાં આવે છે.
તેથી,'$p \land q$' નું દ્વૈત '$p \lor q$' છે.
આમ,દ્વૈત વિધાન 'Mangoes are delicious or Mangoes are expensive' છે.

(A) વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિનું વિસ્તરણ કરીએ છીએ:
$p \wedge (q \vee \sim p) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge \sim p)$
ત્યારબાદ $(p \wedge \sim p) \equiv F$ (વ્યાઘાત) હોવાથી,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$(p \wedge q) \vee F$
તત્સમ નિયમ મુજબ,$(p \wedge q) \vee F \equiv p \wedge q$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) તાર્કિક વિધાન $A \rightarrow B$ નો નિષેધ $A \wedge \sim B$ થાય છે.
અહીં,$A = (p \vee \sim q)$ અને $B = (p \wedge \sim q)$ છે.
તેથી,નિષેધ $(p \vee \sim q) \wedge \sim(p \wedge \sim q)$ થશે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim(p \wedge \sim q) \equiv \sim p \vee q$ થાય.
આમ,નિષેધ $(p \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$ છે.

(B) આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિતાર્થનું તાર્કિક સમકક્ષ વિધાન $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ થાય છે.
અહીં,$\sim p$ એટલે 'સીમા જાડી નથી' અને $q$ એટલે 'તે ખુશ છે'.
તેથી,જરૂરી સમકક્ષ વિધાન 'સીમા જાડી નથી અથવા તે ખુશ છે' છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [(\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge r)]$
બીજા ભાગ પર વિભાજનનો નિયમ વાપરતા:
$[p \wedge (q \vee r)] \vee [\sim p \wedge (q \vee r)]$
ફરીથી વિભાજનનો નિયમ વાપરતા:
$(q \vee r) \wedge (p \vee \sim p)$
કારણ કે $(p \vee \sim p) = T$ (નિત્યસત્ય):
$(q \vee r) \wedge T$
$= q \vee r$

(B) સ્વતઃ સત્ય (tautology) એ એક એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે હંમેશા સત્ય હોય છે.
વિકલ્પ $(b)$ તપાસો: $p \rightarrow (q \vee p)$
$= \sim p \vee (q \vee p)$
$= (\sim p \vee p) \vee q$
$= T \vee q$
$= T$
પરિણામ હંમેશા સત્ય $(T)$ હોવાથી,વિધાન $p \rightarrow (q \vee p)$ એ સ્વતઃ સત્ય છે.

(D) ધારો કે $p$ એ વિધાન "બે ત્રિકોણ એકરૂપ છે" છે અને $q$ એ વિધાન "તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે" છે. આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
$p \rightarrow q$ નું વ્યસ્ત-વિધાન $\sim p \rightarrow \sim q$ છે,જે છે: "જો બે ત્રિકોણ એકરૂપ ન હોય,તો તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન હોતા નથી."
વ્યસ્ત-વિધાન $(\sim p \rightarrow \sim q)$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim(\sim q) \rightarrow \sim(\sim p)$ છે,જે $q \rightarrow p$ માં પરિણમે છે. આ છે: "જો બે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય,તો તેઓ એકરૂપ છે."

(A) આપેલ છે: $p = T, q = T, r = F, s = F$.
$a: \sim(p \wedge \sim r) \vee(\sim q \vee s)$ માટે
કિંમતો મૂકતા: $\sim(T \wedge \sim F) \vee(\sim T \vee F)$
$= \sim(T \wedge T) \vee(F \vee F)$
$= \sim(T) \vee(F)$
$= F \vee F = F$.
$b: (p \vee s) \leftrightarrow(q \wedge r)$ માટે
કિંમતો મૂકતા: $(T \vee F) \leftrightarrow(T \wedge F)$
$= (T) \leftrightarrow(F)$
સત્ય મૂલ્યો અલગ હોવાથી,દ્વિ-શરતી વિધાન $F$ છે.
તેથી,$a$ અને $b$ ના સત્ય મૂલ્યો $F, F$ છે.

(C) મુખ્ય વિચાર: જે વિધાન ન તો 'ટોટોલોજી' (tautology) હોય કે ન તો 'કોન્ટ્રાડિક્શન' (contradiction) હોય,તેને 'કન્ટિન્જન્સી' કહેવાય છે.
વિકલ્પ $A$: $(p \vee q) \vee \sim q \equiv p \vee (q \vee \sim q) \equiv p \vee T \equiv T$. આ એક 'ટોટોલોજી' છે.
વિકલ્પ $B$: $(p \vee q) \vee \sim p \equiv (p \vee \sim p) \vee q \equiv T \vee q \equiv T$. આ એક 'ટોટોલોજી' છે.
વિકલ્પ $C$: $(p \vee q) \wedge \sim q \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee F \equiv p \wedge \sim q$.
જો $p=T, q=T$ હોય,તો $p \wedge \sim q = F$ મળે.
જો $p=T, q=F$ હોય,તો $p \wedge \sim q = T$ મળે.
આમ,સત્યતાનું મૂલ્ય $p$ અને $q$ પર આધારિત હોવાથી,તે 'કન્ટિન્જન્સી' છે.
વિકલ્પ $D$: $p \rightarrow (p \vee q) \equiv \sim p \vee (p \vee q) \equiv (\sim p \vee p) \vee q \equiv T \vee q \equiv T$. આ એક 'ટોટોલોજી' છે.
તેથી,સાચું વિધાન $(p \vee q) \wedge \sim q$ છે.

(A) મુખ્ય વિચાર: સાર્વત્રિક ક્વોન્ટિફાયર $\forall$ (દરેક માટે) નું નિષેધ અસ્તિત્વ ક્વોન્ટિફાયર $\exists$ (કોઈક માટે) છે,અને અસમતા $>$ નું નિષેધ $\leq$ છે.
આપેલ વિધાન: $\forall n \in N, n+7 > 6$.
નિષેધના નિયમો લાગુ કરતા:
$1$. $\forall$ ને $\exists$ સાથે બદલો.
$2$. શરત $n+7 > 6$ નું નિષેધ કરો,જે $n+7 \leq 6$ થાય છે.
તેથી,આપેલ વિધાનનું નિષેધ $\exists n \in N$,જેથી $n+7 \leq 6$ છે.

(C) આપેલ છે: $p = T, q = T, r = F, s = F$.
વિકલ્પ $(A)$ તપાસો: $(q \wedge r) \vee (\sim p \wedge s) \equiv (T \wedge F) \vee (F \wedge F) \equiv F \vee F \equiv F$.
વિકલ્પ $(B)$ તપાસો: $((\sim p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (r \wedge s)) \equiv (\sim T$ $\rightarrow T)$ $\rightarrow (F \wedge F) \equiv (F$ $\rightarrow T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
વિકલ્પ $(C)$ તપાસો: $(p$ $\rightarrow q) \vee (r \leftrightarrow s) \equiv (T$ $\rightarrow T) \vee (F \leftrightarrow F) \equiv T \vee T \equiv T$.
વિકલ્પ $(D)$ તપાસો: $(p \wedge \sim r) \wedge (\sim q \vee s) \equiv (T \wedge \sim F) \wedge (\sim T \vee F) \equiv (T \wedge T) \wedge (F \vee F) \equiv T \wedge F \equiv F$.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સત્ય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિત વિધાનનું નિષેધ $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પદાવલિ પર આ નિયમ લાગુ કરતા:
$\sim(p \rightarrow \sim q) \equiv p \wedge \sim(\sim q)$.
દ્વિ-નિષેધના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(\sim q) \equiv q$.
તેથી,પદાવલિ $p \wedge q$ માં સરળ બને છે.

(C) તાર્કિક ગર્ભિતાર્થ $p \rightarrow q$ ને નીચે મુજબની સમકક્ષ રીતે દર્શાવી શકાય છે:
$1.$ જો $p$ તો $q$.
$2.$ $p$ માત્ર જો $q$ હોય તો.
$3.$ $p$ માટે $q$ આવશ્યક છે.
$4.$ $q$ માટે $p$ પર્યાપ્ત છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ ($q$ માત્ર જો $p$ હોય તો) એ $q \rightarrow p$ ને સમકક્ષ છે,જે $p \rightarrow q$ નું પ્રતિપ વિધાન છે. તેથી,તે $p \rightarrow q$ ને સમકક્ષ નથી.

(B) ધારો કે આપેલ વિધાન $S = (p \wedge q) \wedge [\sim r \vee (p \wedge q)] \vee (\sim p \wedge q)$ છે.
એબ્સોર્પ્શન (શોષણ) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(p \wedge q) \wedge [\sim r \vee (p \wedge q)]$ એ $(p \wedge q)$ માં સરળ બને છે.
આમ,પદાવલિ $S = (p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q)$ બને છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $q$ ને સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$S = (p \vee \sim p) \wedge q$.
કારણ કે $(p \vee \sim p)$ એ નિત્યસત્ય $(T)$ છે,
$S = T \wedge q = q$.
તેથી,વિધાન પેટર્ન $q$ ને સમતુલ્ય છે.

(B) ધારો કે $P$ એ વિધાન "હેમા $95 \%$ થી વધુ ગુણ મેળવે છે" છે અને $Q$ એ વિધાન "હેમાને સારી કોલેજમાં પ્રવેશ મળે છે" છે.
"હેમાને સારી કોલેજમાં પ્રવેશ મેળવવા માટે $95 \%$ થી વધુ ગુણ મેળવવા એ જરૂરી શરત છે" એ વિધાન $Q \implies P$ ને સમાન છે.
$Q \implies P$ નું નકારાત્મક વિધાન $\sim(Q \implies P) \equiv Q \land \sim P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$Q$ એ "હેમાને સારી કોલેજમાં પ્રવેશ મળે છે" છે અને $\sim P$ એ "હેમા $95 \%$ થી વધુ ગુણ મેળવતી નથી" છે.
તેથી,નકારાત્મક વિધાન છે: "હેમાને સારી કોલેજમાં પ્રવેશ મળે છે અને તે $95 \%$ થી વધુ ગુણ મેળવતી નથી."

(B) આપેલ સંયુક્ત વિધાન $p \wedge (\sim p \wedge q)$ છે.
સાહચર્યના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે તેને $(p \wedge \sim p) \wedge q$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
કારણ કે $p \wedge \sim p$ હંમેશા અસત્ય $(F)$ હોય છે,તેથી પદાવલિ $F \wedge q$ બને છે.
કારણ કે $F \wedge q$ હંમેશા અસત્ય હોય છે,તેથી આ વિધાન એક વિરોધાભાસ છે.

(B) ધારો કે $p$ એ વિધાન છે: "હવામાન સારું છે".
ધારો કે $q$ એ વિધાન છે: "મારા મિત્રો આવશે".
ધારો કે $r$ એ વિધાન છે: "અમે પિકનિક પર જઈશું".
આપેલ વિધાન $p \rightarrow (q \wedge r)$ છે.
$p \rightarrow (q \wedge r)$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim(q \wedge r) \rightarrow \sim p$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(q \wedge r) \equiv (\sim q \vee \sim r)$.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન $(\sim q \vee \sim r) \rightarrow \sim p$ છે.
શબ્દોમાં: "જો મારા મિત્રો નહીં આવે અથવા અમે પિકનિક પર નહીં જઈએ,તો હવામાન સારું નહીં હોય."

(A) સંયુક્ત વિધાનનું દ્વૈત શોધવા માટે,આપણે $\wedge$ ને $\vee$ સાથે,$\vee$ ને $\wedge$ સાથે,$t$ (પુનરુક્તિ) ને $c$ (વિરોધાભાસ) સાથે અને $c$ ને $t$ સાથે બદલીએ છીએ.
આપેલ વિધાન: $\sim p \wedge (q \vee c)$.
$\wedge$ ને $\vee$ સાથે,$\vee$ ને $\wedge$ સાથે અને $c$ ને $t$ સાથે બદલતા:
દ્વૈત $\sim p \vee (q \wedge t)$ મળે છે.

(C) નિત્યસત્ય એ એવી વિધાન રચના છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે હંમેશા સત્ય હોય છે.
દરેક વિકલ્પનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$(A) \ p \vee (q \rightarrow p) \equiv p \vee (\sim q \vee p) \equiv p \vee \sim q$. આ નિત્યસત્ય નથી કારણ કે જ્યારે $p$ એ $F$ અને $q$ એ $T$ હોય ત્યારે તે અસત્ય બને છે.
$(B) \ \sim q \rightarrow \sim p \equiv q \vee \sim p$. આ નિત્યસત્ય નથી કારણ કે જ્યારે $q$ એ $F$ અને $p$ એ $T$ હોય ત્યારે તે અસત્ય બને છે.
$(D) \ p \wedge \sim p \equiv F$. આ એક વિરોધાભાસ છે.
$(C) \ (q \rightarrow p) \vee (\sim p \leftrightarrow q)$. સત્યતા કોષ્ટક તપાસતા:

$p, q$	$(q \rightarrow p) \vee (\sim p \leftrightarrow q)$
$T, T$	$T \vee (F \leftrightarrow T) = T \vee F = T$
$T, F$	$T \vee (F \leftrightarrow F) = T \vee T = T$
$F, T$	$F \vee (T \leftrightarrow T) = F \vee T = T$
$F, F$	$T \vee (T \leftrightarrow F) = T \vee F = T$

પરિણામ હંમેશા $T$ હોવાથી,વિકલ્પ $(C)$ એ નિત્યસત્ય છે.

(B) આપણે $(\sim p \wedge q)$ ને સમાન વિકલ્પ શોધવા માટે આપેલા વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ.
વિકલ્પ $B$ ધ્યાનમાં લો: $(p \vee q) \wedge \sim p$.
વિભાજનના નિયમ (Distributive Law) મુજબ,આ $(p \wedge \sim p) \vee (q \wedge \sim p)$ ને સમાન છે.
કારણ કે $(p \wedge \sim p) = F$ (પૂરક નિયમ),તેથી આપણને $F \vee (q \wedge \sim p)$ મળે છે.
તદર્થ નિયમ (Identity Law) મુજબ,$F \vee (q \wedge \sim p) = (q \wedge \sim p)$.
ક્રમના નિયમ (Commutative Law) મુજબ,$(q \wedge \sim p) = (\sim p \wedge q)$.
આમ,વિધાન પેટર્ન $(\sim p \wedge q)$ એ $(p \vee q) \wedge \sim p$ ને તાર્કિક રીતે સમાન છે.

(D) ધારો કે $S_1 \equiv p$ અને $S_2 \equiv q$. તેથી $S_1' \equiv \sim p$ અને $S_2' \equiv \sim q$.
સર્કિટ બે સમાંતર શાખાઓ ધરાવે છે.
પ્રથમ શાખામાં $S_1$ અને $S_2'$ શ્રેણીમાં છે,જે $(p \wedge \sim q)$ દર્શાવે છે.
બીજી શાખામાં $S_1'$ અને $S_2$ શ્રેણીમાં છે,જે $(\sim p \wedge q)$ દર્શાવે છે.
શાખાઓ સમાંતર હોવાથી,કુલ અભિવ્યક્તિ $(p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ થાય છે.
આ અભિવ્યક્તિ $\sim(p \leftrightarrow q)$ ને સમતુલ્ય છે.

(C) કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,તેનો વર્ગ $x^2$ હંમેશા $0$ અથવા તેનાથી મોટો હોય છે $(x^2 \geq 0)$.
વિકલ્પ $A$ ખોટો છે કારણ કે $x=0$ માટે,$x^2=0$ થાય,જે ધન નથી.
વિકલ્પ $B$ ખોટો છે કારણ કે વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે $x=0$ એવી વાસ્તવિક સંખ્યા છે જેનો વર્ગ $0$ છે,જે ધન નથી.
વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે $\sqrt{2}$ જેવી અસંમેય સંખ્યાઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.