गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ है।

(N/A) सिद्ध करना है: $P(n): \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,
$P(1): \frac{d}{dx}(x) = 1 = 1 \cdot x^{1-1}$.
अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है।
अर्थात,$P(k): \frac{d}{dx}(x^k) = kx^{k-1}$.
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ भी सत्य है।
विचार कीजिए $\frac{d}{dx}(x^{k+1}) = \frac{d}{dx}(x \cdot x^k)$.
गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$.
$= x^k \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{d}{dx}(x^k)$
$= x^k \cdot 1 + x \cdot (kx^{k-1})$
$= x^k + kx^k$
$= (k+1)x^k$
$= (k+1)x^{(k+1)-1}$.
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए सत्य है।