गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $2+4+6+\ldots+2n = n^2+n$.

(N/A) माना $P(n): 2+4+6+\ldots+2n = n^2+n$.
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$L.H.S. = 2$ और $R.H.S. = (1)^2+1 = 2$.
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $2+4+6+\ldots+2k = k^2+k$.
चरण $3$: $n=k+1$ के लिए,हमें यह दिखाना है कि $P(k+1): 2+4+6+\ldots+2k+2(k+1) = (k+1)^2+(k+1)$.
$L.H.S. = (2+4+6+\ldots+2k) + 2(k+1)$
$= (k^2+k) + 2k+2$
$= k^2+3k+2$
$= (k^2+2k+1) + (k+1)$
$= (k+1)^2 + (k+1) = R.H.S.$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।