गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $n$ भिन्न अवयवों वाले एक समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या $2^{n}$ है,जहाँ $n \in N$.

(N/A) $P(n):$ $n$ अवयवों वाले एक समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या $2^{n}$ है,जहाँ $n \in N$.
$n=1$ के लिए:
माना $A$ एक अवयव वाला समुच्चय है,$A = \{x\}$.
$A$ के उपसमुच्चय $\phi$ और $A$ हैं।
$A$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2 = 2^{1}$ है।
अतः,$P(1)$ सत्य है।
मान लीजिए कि $P(k)$ किसी $k \in N$ के लिए सत्य है,अर्थात $k$ अवयवों वाले समुच्चय के $2^{k}$ उपसमुच्चय हैं।
अब,हम $n = k+1$ के लिए सिद्ध करेंगे।
माना $A = \{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}, a_{k+1}\}$.
$A$ के उपसमुच्चयों को दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है: जिनमें $a_{k+1}$ नहीं है और जिनमें $a_{k+1}$ है।
$a_{k+1}$ को न रखने वाले उपसमुच्चयों की संख्या $\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\}$ के उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर है,जो धारणा $P(k)$ के अनुसार $2^{k}$ है।
$a_{k+1}$ को रखने वाले उपसमुच्चयों की संख्या भी $2^{k}$ है (प्रत्येक उपसमुच्चय $\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\}$ के $2^{k}$ उपसमुच्चयों में $a_{k+1}$ जोड़कर बनाया जाता है)।
इसलिए,$A$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^{k} + 2^{k} = 2 \cdot 2^{k} = 2^{k+1}$ है।
अतः,$P(k+1)$ सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।