Point and Distance formula Questions in Hindi

(C) $y$-अक्ष से बिंदु $P(x, y, z)$ की दूरी का सूत्र $\sqrt{x^2 + z^2}$ होता है।
बिंदु $(1, 2, 3)$ के निर्देशांकों को सूत्र में रखने पर:
दूरी $= \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
अतः,बिंदु $(1, 2, 3)$ की $y$-अक्ष से दूरी $\sqrt{10}$ है।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी $d$ का सूत्र है:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
दिए गए बिंदु $(1, 3, 2)$ और $(2, 1, 3)$ हैं।
मान रखने पर:
$d = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 3)^2 + (3 - 2)^2}$
$d = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (1)^2}$
$d = \sqrt{1 + 4 + 1}$
$d = \sqrt{6}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) एक बिंदु $P(x, y, z)$ की निर्देशांक अक्षों से दूरी इस प्रकार दी जाती है:
$1$. $x$-अक्ष से दूरी: $d_x = \sqrt{y^2 + z^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
$2$. $y$-अक्ष से दूरी: $d_y = \sqrt{x^2 + z^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
$3$. $z$-अक्ष से दूरी: $d_z = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
अतः,दूरियाँ $\sqrt{13}, \sqrt{10}, \sqrt{5}$ हैं।

(B) माना बिंदु $P(x, y, z)$ है।
बिंदु $P(x, y, z)$ की $x$-अक्ष से दूरी $\sqrt{y^2 + z^2}$ है।
बिंदु $P(x, y, z)$ की $y$-अक्ष से दूरी $\sqrt{x^2 + z^2}$ है।
बिंदु $P(x, y, z)$ की $z$-अक्ष से दूरी $\sqrt{x^2 + y^2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों के वर्गों का योग $36$ है:
$(\sqrt{y^2 + z^2})^2 + (\sqrt{x^2 + z^2})^2 + (\sqrt{x^2 + y^2})^2 = 36$
$(y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 36$
$2(x^2 + y^2 + z^2) = 36$
$x^2 + y^2 + z^2 = 18$
बिंदु $P(x, y, z)$ की मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,दूरी $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$ है।

(A) माना बिंदु $P(x, y, z)$ है। चूंकि $P$ दिए गए बिंदुओं $O(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PO^2 = PA^2 = PB^2 = PC^2$ होगा।
$x^2 + y^2 + z^2 = (x - a)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y - b)^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z - c)^2$.
$x^2 + y^2 + z^2 = (x - a)^2 + y^2 + z^2$ से,हमें $x^2 = x^2 - 2ax + a^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2ax = a^2$,इसलिए $x = \frac{a}{2}$.
इसी प्रकार,$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y - b)^2 + z^2$ से,$y = \frac{b}{2}$ प्राप्त होता है।
और $x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z - c)^2$ से,$z = \frac{c}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)$ हैं।

(A) दिए गए बिंदु के निर्देशांक $(x, y, z) = (3, 4, 5)$ हैं।
किसी बिंदु $(x, y, z)$ की $y$-अक्ष से लंबवत दूरी का सूत्र $d = \sqrt{x^2 + z^2}$ होता है।
सूत्र में $x = 3$ और $z = 5$ का मान रखने पर:
$d = \sqrt{3^2 + 5^2}$
$d = \sqrt{9 + 25}$
$d = \sqrt{34}$.

(B) जब कोई बिंदु $x$-अक्ष के समानांतर चलता है,तो $yz$-समतल से उसकी दूरी स्थिर रहती है।
इसका अर्थ है कि जैसे-जैसे बिंदु चलता है,$y$ और $z$ निर्देशांक नहीं बदलते हैं।
केवल $x$-निर्देशांक बदलता है क्योंकि बिंदु $x$-अक्ष के समानांतर रेखा पर गति करता है।
इसलिए,$y$ और $z$ चर स्थिर रहते हैं।

(C) दो बिंदुओं $A(x_1, y_1, z_1)$ और $B(x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र है:
$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
दिए गए बिंदु $A(1, 2, 3)$ और $B(-1, -1, -1)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$AB = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2}$
$AB = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + (-4)^2}$
$AB = \sqrt{4 + 9 + 16}$
$AB = \sqrt{29}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) किसी बिंदु $P(x, y, z)$ की $y$-अक्ष से दूरी का सूत्र $d = \sqrt{x^2 + z^2}$ होता है।
यहाँ दिए गए बिंदु $(4, 3, 5)$ के लिए,$x = 4$,$y = 3$ और $z = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \sqrt{4^2 + 5^2}$
$d = \sqrt{16 + 25}$
$d = \sqrt{41}$
अतः,दूरी $\sqrt{41}$ है।

(D) दिए गए बिंदु $A(a, 2, 1), B(1, -1, 1), C(2, -3, 4), D(a+1, a+2, a+3)$ हैं।
सबसे पहले,$AB = 5$ की गणना करें:
$AB = \sqrt{(a-1)^2 + (2 - (-1))^2 + (1-1)^2} = 5$
$\sqrt{(a-1)^2 + 3^2 + 0} = 5$
$(a-1)^2 + 9 = 25$
$(a-1)^2 = 16$
$a-1 = \pm 4$
$a = 5$ या $a = -3$ $(i)$
इसके बाद,$CD = 6$ की गणना करें:
$CD = \sqrt{(a+1-2)^2 + (a+2 - (-3))^2 + (a+3-4)^2} = 6$
$\sqrt{(a-1)^2 + (a+5)^2 + (a-1)^2} = 6$
$(a-1)^2 + (a+5)^2 + (a-1)^2 = 36$
$(a^2 - 2a + 1) + (a^2 + 10a + 25) + (a^2 - 2a + 1) = 36$
$3a^2 + 6a + 27 = 36$
$3a^2 + 6a - 9 = 0$
$a^2 + 2a - 3 = 0$
$(a+3)(a-1) = 0$
$a = -3$ या $a = 1$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ दोनों के लिए सामान्य समाधान $a = -3$ है।

(A) चतुष्फलक का केंद्रक $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,$(x_3, y_3, z_3)$ और $(x_4, y_4, z_4)$ शीर्षों के लिए $\left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4} \right)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ शीर्ष $O(0, 0, 0)$,$A(a, 2, 3)$,$B(1, b, 2)$ और $C(2, 1, c)$ हैं।
केंद्रक $(1, 2, -1)$ दिया गया है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{a+1+2+0}{4} = 1 \Rightarrow a+3 = 4 \Rightarrow a = 1$.
$\frac{2+b+1+0}{4} = 2 \Rightarrow b+3 = 8 \Rightarrow b = 5$.
$\frac{3+2+c+0}{4} = -1 \Rightarrow c+5 = -4 \Rightarrow c = -9$.
अतः,बिंदु $P$ $(1, 5, -9)$ है।
मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ से $P$ की दूरी $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + 5^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 25 + 81} = \sqrt{107}$ है।

(C) बिंदु $(x, y, z)$ की मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ होती है। $(1, 2, 3)$ के लिए,यह $\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ है।
बिंदु $(x, y, z)$ की $x$-अक्ष से दूरी $\sqrt{y^2 + z^2}$ होती है। $(1, 2, 3)$ के लिए,यह $\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ है।
बिंदु $(x, y, z)$ की $y$-अक्ष से दूरी $\sqrt{x^2 + z^2}$ होती है। $(1, 2, 3)$ के लिए,यह $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ है।
बिंदु $(x, y, z)$ की $z$-अक्ष से दूरी $\sqrt{x^2 + y^2}$ होती है। $(1, 2, 3)$ के लिए,यह $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ है।
अतः,बिंदु $(1, 2, 3)$ $y$-अक्ष से $\sqrt{10}$ की दूरी पर है।

(A) त्रिविमीय कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,बिंदु $P$ की स्थिति उसके निर्देशांक $(x, y, z)$ द्वारा दी जाती है।
$yz$-समतल का समीकरण $x = 0$ होता है।
किसी बिंदु $(x, y, z)$ की समतल $ax + by + cz + d = 0$ से लंबवत दूरी का सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ है।
$yz$-समतल के लिए,समीकरण $1x + 0y + 0z + 0 = 0$ है।
बिंदु $P(x, y, z)$ के निर्देशांकों को दूरी के सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{|1(x) + 0(y) + 0(z) + 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}}$
$d = \frac{|x|}{1} = |x|$.
अतः,$yz$-समतल से बिंदु $P(x, y, z)$ की दूरी $|x|$ है।

(A) $x$-अक्ष से बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{y_1^2 + z_1^2}$ है।
यहाँ बिंदु $P(1, 2, 3)$ दिया गया है,इसलिए $x_1 = 1$,$y_1 = 2$,और $z_1 = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \sqrt{2^2 + 3^2}$
$d = \sqrt{4 + 9}$
$d = \sqrt{13}$ इकाई।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना $X$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P\ (x, 0, 0)$ है।
चूंकि $P$,$A\ (2, -5, 7)$ और $B\ (1, 3, 6)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA = PB$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2$।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(x - 2)^2 + (0 - (-5))^2 + (0 - 7)^2 = (x - 1)^2 + (0 - 3)^2 + (0 - 6)^2$।
$(x - 2)^2 + 25 + 49 = (x - 1)^2 + 9 + 36$।
$x^2 - 4x + 4 + 74 = x^2 - 2x + 1 + 45$।
$x^2 - 4x + 78 = x^2 - 2x + 46$।
$-4x + 2x = 46 - 78$।
$-2x = -32$।
$x = 16$।
अतः,बिंदु $P\ (16, 0, 0)$ है।

(A) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
दिया गया है $A = (3, 4, 5)$ और $B = (-1, 3, -7)$।
दूरी $PA$ का वर्ग $PA^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 + z^2 - 10z + 25 = x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y - 10z + 50$ है।
दूरी $PB$ का वर्ग $PB^2 = (x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 7)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 + z^2 + 14z + 49 = x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 6y + 14z + 59$ है।
इन मानों को समीकरण $PA^2 - PB^2 + 2k^2 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y - 10z + 50) - (x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 6y + 14z + 59) + 2k^2 = 0$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$(-6x - 2x) + (-8y + 6y) + (-10z - 14z) + (50 - 59) + 2k^2 = 0$।
$-8x - 2y - 24z - 9 + 2k^2 = 0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$8x + 2y + 24z = 2k^2 - 9$।

(C) माना बिंदु के निर्देशांक $P(x, y, z)$ हैं।
बिंदु $P(x, y, z)$ की $x$-अक्ष से दूरी $\sqrt{y^2 + z^2}$ है। इस दूरी का वर्ग $y^2 + z^2$ है।
बिंदु $P(x, y, z)$ की $y$-अक्ष से दूरी $\sqrt{x^2 + z^2}$ है। इस दूरी का वर्ग $x^2 + z^2$ है।
बिंदु $P(x, y, z)$ की $z$-अक्ष से दूरी $\sqrt{x^2 + y^2}$ है। इस दूरी का वर्ग $x^2 + y^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों के वर्गों का योग $36$ है:
$(y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 36$
समीकरण को सरल करने पर:
$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 = 36$
$x^2 + y^2 + z^2 = 18$
बिंदु $P(x, y, z)$ की मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$d = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$.

(A) $z$-अक्ष से बिंदु $P(a, b, c)$ की दूरी,बिंदु $P(a, b, c)$ और $z$-अक्ष पर डाले गए लंब के पाद के बीच की दूरी होती है।
$P(a, b, c)$ से $z$-अक्ष पर डाले गए लंब के पाद के निर्देशांक $(0, 0, c)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$d = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2 + (c - c)^2}$
$d = \sqrt{a^2 + b^2 + 0^2}$
$d = \sqrt{a^2 + b^2}$
अतः,अभीष्ट दूरी $\sqrt{a^2 + b^2}$ है।

(B) माना बिंदु के निर्देशांक $P(x, y, z)$ हैं।
चूंकि बिंदु $yz$-समतल में स्थित है,इसका $x$-निर्देशांक $0$ होगा। अतः,$P = (0, y, z)$।
निर्देशांकों का योग $y + z = 3$ है (समीकरण $1$)।
बिंदु $(0, y, z)$ की $xz$-समतल से दूरी $|y|$ है।
बिंदु $(0, y, z)$ की $xy$-समतल से दूरी $|z|$ है।
प्रश्न के अनुसार,$xz$-समतल से दूरी,$xy$-समतल से दूरी की दोगुनी है,इसलिए $|y| = 2|z|$।
स्थिति $1$: $y = 2z$।
समीकरण $1$ में मान रखने पर: $2z + z = 3 \implies 3z = 3 \implies z = 1$।
तब $y = 2(1) = 2$।
बिंदु $(0, 2, 1)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $y = -2z$।
समीकरण $1$ में मान रखने पर: $-2z + z = 3 \implies -z = 3 \implies z = -3$।
तब $y = -2(-3) = 6$।
बिंदु $(0, 6, -3)$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,बिंदु $(0, 2, 1)$ सही विकल्प है।

(A) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं,ताकि $PA = PB = PC = PO$ हो।
$PO^2 = PA^2$ से,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 + y^2 + z^2 = (x - a)^2 + y^2 + z^2$
$x^2 = x^2 - 2ax + a^2$
$2ax = a^2 \implies x = \frac{a}{2}$ (चूंकि $a \neq 0$ है)।
इसी प्रकार,$PO^2 = PB^2$ से:
$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y - b)^2 + z^2$
$y^2 = y^2 - 2by + b^2$
$2by = b^2 \implies y = \frac{b}{2}$ (चूंकि $b \neq 0$ है)।
इसी प्रकार,$PO^2 = PC^2$ से:
$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z - c)^2$
$z^2 = z^2 - 2cz + c^2$
$2cz = c^2 \implies z = \frac{c}{2}$ (चूंकि $c \neq 0$ है)।
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)$ हैं।

(A) यहाँ बिंदु $P(5, 4, a)$ और $Q(-1, 2, -2)$ दिए गए हैं और दूरी $PQ = 7$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $PQ^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.
मान रखने पर: $7^2 = (-1 - 5)^2 + (2 - 4)^2 + (-2 - a)^2$.
$49 = (-6)^2 + (-2)^2 + (-(2 + a))^2$.
$49 = 36 + 4 + (a + 2)^2$.
$49 = 40 + (a + 2)^2$.
$(a + 2)^2 = 49 - 40 = 9$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $a + 2 = \pm 3$.
स्थिति $1$: $a + 2 = 3 \implies a = 1$.
स्थिति $2$: $a + 2 = -3 \implies a = -5$.
अतः,$a$ के मान $-5$ और $1$ हैं।

(B) बिंदु के निर्देशांक $P(a, b, c)$ हैं।
बिंदु $P(a, b, c)$ से $X-$अक्ष की न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम बिंदु का $X-$अक्ष पर प्रक्षेप (projection) लेते हैं।
बिंदु $P(a, b, c)$ का $X-$अक्ष पर प्रक्षेप $P'(a, 0, 0)$ है।
$P(a, b, c)$ और $P'(a, 0, 0)$ के बीच की दूरी $d$ दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d = \sqrt{(a - a)^2 + (b - 0)^2 + (c - 0)^2}$
$d = \sqrt{0^2 + b^2 + c^2}$
$d = \sqrt{b^2 + c^2}$
अतः,न्यूनतम दूरी $\sqrt{b^2 + c^2}$ है।

(A) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z) = (2, 4, 5)$ हैं।
इसका अर्थ है कि $X$-अक्ष के अनुदिश दूरी $2$,$Y$-अक्ष के अनुदिश दूरी $4$ और $Z$-अक्ष के अनुदिश दूरी $5$ है।
बिंदु $F$,$XZ$-समतल पर स्थित है,जिसका अर्थ है कि इसका $Y$-निर्देशांक $0$ है।
चूँकि $F$,$X$-अक्ष के ऊपर $P$ की ऊँचाई पर और $P$ के समान $X$-अक्ष की दूरी पर स्थित है,इसलिए इसके निर्देशांक $(2, 0, 5)$ हैं।

(A) त्रिविमीय कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,$x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु की $y$-अक्ष और $z$-अक्ष दोनों से दूरी $0$ होती है।
इसलिए,$x$-अक्ष पर किसी भी बिंदु के लिए,निर्देशांक $(x, 0, 0)$ के रूप में होते हैं।
अतः,$y$-निर्देशांक $0$ है और $z$-निर्देशांक $0$ है।

(A) $x$-अक्ष और $y$-अक्ष मिलकर एक तल निर्धारित करते हैं जिसे $XY$-तल कहा जाता है।

(A) बिंदुओं $P(1, -3, 4)$ और $Q(-4, 1, 2)$ के बीच की दूरी $PQ$ दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:
$PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
$PQ = \sqrt{(-4 - 1)^2 + (1 - (-3))^2 + (2 - 4)^2}$
$PQ = \sqrt{(-5)^2 + (4)^2 + (-2)^2}$
$PQ = \sqrt{25 + 16 + 4}$
$PQ = \sqrt{45}$
$PQ = 3\sqrt{5} \text{ इकाई}$

बिंदु संरेख होते हैं यदि वे एक ही सीधी रेखा पर स्थित हों।
सबसे पहले,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं।
$PQ = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - 3)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$.
$QR = \sqrt{(7 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.
$PR = \sqrt{(7 - (-2))^2 + (0 - 3)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{9^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{81 + 9 + 36} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$.
चूंकि $PQ + QR = \sqrt{14} + 2\sqrt{14} = 3\sqrt{14} = PR$,दो रेखाखंडों की लंबाई का योग तीसरे रेखाखंड की लंबाई के बराबर है।
अतः,बिंदु $P$,$Q$ और $R$ संरेख हैं।

(A) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
$PA^{2} = (x-3)^{2} + (y-4)^{2} + (z-5)^{2} = x^{2} - 6x + 9 + y^{2} - 8y + 16 + z^{2} - 10z + 25 = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 8y - 10z + 50$.
$PB^{2} = (x+1)^{2} + (y-3)^{2} + (z+7)^{2} = x^{2} + 2x + 1 + y^{2} - 6y + 9 + z^{2} + 14z + 49 = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 6y + 14z + 59$.
दी गई शर्त $PA^{2} + PB^{2} = 2k^{2}$ के अनुसार:
$(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 8y - 10z + 50) + (x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 6y + 14z + 59) = 2k^{2}$.
समान पदों को जोड़ने पर:
$2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - 4x - 14y + 4z + 109 = 2k^{2}$.
अतः,$2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - 4x - 14y + 4z = 2k^{2} - 109$.

(A) बिंदुओं $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र है:
$PQ = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2} + (z_{2}-z_{1})^{2}}$
दिए गए बिंदु $(2, 3, 5)$ और $(4, 3, 1)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$PQ = \sqrt{(4-2)^{2} + (3-3)^{2} + (1-5)^{2}}$
$PQ = \sqrt{(2)^{2} + (0)^{2} + (-4)^{2}}$
$PQ = \sqrt{4 + 0 + 16}$
$PQ = \sqrt{20}$
$PQ = 2 \sqrt{5}$

(A) बिंदुओं $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र है:
$PQ = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2} + (z_{2}-z_{1})^{2}}$
दिए गए बिंदु $(-3, 7, 2)$ और $(2, 4, -1)$ हैं।
यहाँ,$x_{1} = -3, y_{1} = 7, z_{1} = 2$ और $x_{2} = 2, y_{2} = 4, z_{2} = -1$ है।
इन मानों को दूरी सूत्र में रखने पर:
$PQ = \sqrt{(2 - (-3))^{2} + (4 - 7)^{2} + (-1 - 2)^{2}}$
$PQ = \sqrt{(2 + 3)^{2} + (-3)^{2} + (-3)^{2}}$
$PQ = \sqrt{(5)^{2} + 9 + 9}$
$PQ = \sqrt{25 + 9 + 9}$
$PQ = \sqrt{43}$

(A) बिंदुओं $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र है:
$d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2} + (z_{2}-z_{1})^{2}}$
दिए गए बिंदु $P(-1, 3, -4)$ और $Q(1, -3, 4)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \sqrt{(1 - (-1))^{2} + (-3 - 3)^{2} + (4 - (-4))^{2}}$
$d = \sqrt{(1 + 1)^{2} + (-6)^{2} + (4 + 4)^{2}}$
$d = \sqrt{(2)^{2} + (-6)^{2} + (8)^{2}}$
$d = \sqrt{4 + 36 + 64}$
$d = \sqrt{104}$
$d = \sqrt{4 \times 26} = 2 \sqrt{26}$

(A) बिंदुओं $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र है:
$PQ = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2} + (z_{2}-z_{1})^{2}}$
दिए गए बिंदु $(2, -1, 3)$ और $(-2, 1, 3)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$Distance = \sqrt{(-2 - 2)^{2} + (1 - (-1))^{2} + (3 - 3)^{2}}$
$= \sqrt{(-4)^{2} + (2)^{2} + (0)^{2}}$
$= \sqrt{16 + 4 + 0}$
$= \sqrt{20}$
$= \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}$

माना बिंदु $(-2, 3, 5), (1, 2, 3)$ और $(7, 0, -1)$ को क्रमशः $P, Q$ और $R$ द्वारा दर्शाया गया है।
बिंदु $P, Q$ और $R$ संरेख हैं यदि वे एक ही रेखा पर स्थित हों।
$PQ = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - 3)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$
$QR = \sqrt{(7 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$
$PR = \sqrt{(7 - (-2))^2 + (0 - 3)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{9^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{81 + 9 + 36} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$
यहाँ,$PQ + QR = \sqrt{14} + 2\sqrt{14} = 3\sqrt{14} = PR$ है,इसलिए बिंदु $P, Q$ और $R$ संरेख हैं।

(A) यदि कोई बिंदु $y$-अक्ष पर स्थित है,तो उसका $x$-निर्देशांक और $z$-निर्देशांक $0$ होता है।
माना बिंदु $A(0, b, 0)$ है।
बिंदु $A(0, b, 0)$ और $P(3, -2, 5)$ के बीच की दूरी $5\sqrt{2}$ दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$AP = \sqrt{(3-0)^2 + (-2-b)^2 + (5-0)^2} = 5\sqrt{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(3)^2 + (-2-b)^2 + (5)^2 = (5\sqrt{2})^2$.
$9 + (4 + 4b + b^2) + 25 = 50$.
$b^2 + 4b - 12 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(b + 6)(b - 2) = 0$.
अतः,$b = 2$ या $b = -6$.
इसलिए,अभीष्ट बिंदुओं के निर्देशांक $(0, 2, 0)$ और $(0, -6, 0)$ हैं।

(N/A) त्रिविमीय आकाश में बिंदु $(x, y, z)$ को अंकित करने के लिए:
$1.$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से प्रारंभ करें।
$2.$ $x$-अक्ष पर $x$ इकाई चलें (धनात्मक या ऋणात्मक)।
$3.$ उस स्थिति से,$y$-अक्ष के समानांतर $y$ इकाई चलें।
$4.$ अंत में,$z$-अक्ष के समानांतर $z$ इकाई चलें।
बिंदुओं को इस प्रकार अंकित किया गया है:
- बिंदु $A(1, -1, 3)$ उस अष्टांश में स्थित है जहाँ $x > 0, y < 0, z > 0$ है।
- बिंदु $B(-1, 2, 4)$ उस अष्टांश में स्थित है जहाँ $x < 0, y > 0, z > 0$ है।
- बिंदु $C(-2, -4, -7)$ उस अष्टांश में स्थित है जहाँ $x < 0, y < 0, z < 0$ है।
- बिंदु $D(-4, 2, -5)$ उस अष्टांश में स्थित है जहाँ $x < 0, y > 0, z < 0$ है।

(N/A) अष्टांश (octant) को निर्देशांक $(x, y, z)$ के चिह्नों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

अष्टांश	चिह्न $(x, y, z)$
$I$	$(+, +, +)$
$II$	$(-, +, +)$
$III$	$(-, -, +)$
$IV$	$(+, -, +)$
$V$	$(+, +, -)$
$VI$	$(-, +, -)$
$VII$	$(-, -, -)$
$VIII$	$(+, -, -)$

निर्देशांकों के चिह्नों के आधार पर:
$(i) (1, 2, 3)$ $I$ अष्टांश में स्थित है।
$(ii) (4, -2, 3)$ $IV$ अष्टांश में स्थित है।
$(iii) (4, -2, -5)$ $VIII$ अष्टांश में स्थित है।
$(iv) (4, 2, -5)$ $V$ अष्टांश में स्थित है।
$(v) (-4, 2, 5)$ $II$ अष्टांश में स्थित है।
$(vi) (-3, -1, 6)$ $III$ अष्टांश में स्थित है।
$(vii) (2, -4, -7)$ $VIII$ अष्टांश में स्थित है।
$(viii) (-4, 2, -5)$ $VI$ अष्टांश में स्थित है।

(N/A) किसी बिंदु $P(x, y, z)$ से अक्षों पर डाले गए लंब के पाद के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
- $x$-अक्ष पर,लंब का पाद $A(x, 0, 0)$ है।
- $y$-अक्ष पर,लंब का पाद $B(0, y, 0)$ है।
- $z$-अक्ष पर,लंब का पाद $C(0, 0, z)$ है।
दिए गए बिंदुओं पर इसे लागू करने पर:
$(i)$ $P(3, 4, 2)$ के लिए: $A(3, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0, 0, 2)$।
$(ii)$ $P(-5, 3, 7)$ के लिए: $A(-5, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 7)$।
$(iii)$ $P(4, -3, -5)$ के लिए: $A(4, 0, 0), B(0, -3, 0), C(0, 0, -5)$।

(N/A) हम जानते हैं कि $xy$-समतल पर $z=0$,$yz$-समतल पर $x=0$ और $zx$-समतल पर $y=0$ होता है।
अतः,बिंदु $P(x, y, z)$ से डाले गए लंबों के पादों के निर्देशांक $xy$-समतल पर $A(x, y, 0)$,$yz$-समतल पर $B(0, y, z)$ और $zx$-समतल पर $C(x, 0, z)$ होते हैं।
$(i)$ $P(3, 4, 5)$ के लिए:
$A(3, 4, 0), B(0, 4, 5), C(3, 0, 5)$
(ii) $P(-5, 3, 7)$ के लिए:
$A(-5, 3, 0), B(0, 3, 7), C(-5, 0, 7)$
(iii) $P(4, -3, -5)$ के लिए:
$A(4, -3, 0), B(0, -3, -5), C(4, 0, -5)$

(C) माना बिंदु $A = (2, 0, 0)$ और $B = (-3, 0, 0)$ हैं।
$3D$ स्पेस में दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
मान रखने पर:
$d = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2}$
$d = \sqrt{(-5)^2 + 0 + 0}$
$d = \sqrt{25} = 5$
अतः,बिंदुओं के बीच की दूरी $5$ इकाई है।

(B) मूलबिंदु $O(0, 0, 0)$ से बिंदु $P(x, y, z)$ की दूरी $d$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
दिए गए बिंदु $(6, 6, 7)$ के लिए मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \sqrt{6^2 + 6^2 + 7^2}$
$d = \sqrt{36 + 36 + 49}$
$d = \sqrt{121}$
$d = 11$
अतः,मूलबिंदु से बिंदु $(6, 6, 7)$ की दूरी $11$ इकाई है।

(B) बिंदु $P(x, y, z)$ की $x$-अक्ष से दूरी $\sqrt{y^2 + z^2}$ है।
बिंदु $P(x, y, z)$ की $y$-अक्ष से दूरी $\sqrt{x^2 + z^2}$ है।
बिंदु $P(x, y, z)$ की $z$-अक्ष से दूरी $\sqrt{x^2 + y^2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों के वर्गों का योग $242$ है:
$(y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 242$
$2(x^2 + y^2 + z^2) = 242$
$x^2 + y^2 + z^2 = 121$
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से बिंदु $P(x, y, z)$ की दूरी $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$d = \sqrt{121} = 11$।
अतः,दूरी $11$ इकाई है।

(C) बिंदु $P(x, y, z)$ की $x$-अक्ष से दूरी $\sqrt{y^2 + z^2}$ है।
बिंदु $P$ की $y$-अक्ष से दूरी $\sqrt{x^2 + z^2}$ है।
बिंदु $P$ की $z$-अक्ष से दूरी $\sqrt{x^2 + y^2}$ है।
दिया गया है कि इन दूरियों के वर्गों का योग $324$ है:
$(y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 324$
$2(x^2 + y^2 + z^2) = 324$
$x^2 + y^2 + z^2 = 162$
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से बिंदु $P(x, y, z)$ की दूरी $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d = \sqrt{162} = \sqrt{81 \times 2} = 9 \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(A) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(a, b, c)$ हैं।
बिंदु $P$ की $x$-अक्ष से दूरी ज्ञात करने के लिए,हम बिंदु का $x$-अक्ष पर प्रक्षेप (projection) लेते हैं।
बिंदु $P(a, b, c)$ का $x$-अक्ष पर प्रक्षेप बिंदु $A(a, 0, 0)$ है।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी $d$ का सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ है।
$P(a, b, c)$ और $A(a, 0, 0)$ के निर्देशांक रखने पर:
$d = \sqrt{(a-a)^2 + (0-b)^2 + (0-c)^2}$
$d = \sqrt{0^2 + (-b)^2 + (-c)^2}$
$d = \sqrt{b^2 + c^2}$.

(D) $yz$-समतल से किसी बिंदु $P(x, y, z)$ की दूरी उसके $x$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान $|x|$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदु $P(-3, 4, 5)$ के लिए,$x$-निर्देशांक $-3$ है।
अतः,$yz$-समतल से दूरी $|-3| = 3 \text{ इकाई}$ होगी।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(C) त्रि-आयामी कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में,अष्टांशों का निर्धारण निर्देशांकों $(x, y, z)$ के चिह्नों द्वारा किया जाता है।
बिंदु $(1, -3, 4)$ के लिए,हमारे पास $x > 0$,$y < 0$,और $z > 0$ है।
अष्टांशों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$I: (+, +, +)$
$II: (-, +, +)$
$III: (-, -, +)$
$IV: (+, -, +)$
$V: (+, +, -)$
$VI: (-, +, -)$
$VII: (-, -, -)$
$VIII: (+, -, -)$
चूंकि चिह्न $(+, -, +)$ हैं,इसलिए बिंदु $(1, -3, 4)$ $IV$ अष्टांश में स्थित है।

(B) बिंदु $(x, y, z)$ की $X, Y, Z$-अक्षों से दूरियाँ $d_1 = \sqrt{y^2 + z^2}$,$d_2 = \sqrt{x^2 + z^2}$,और $d_3 = \sqrt{x^2 + y^2}$ द्वारा दी जाती हैं।
बिंदु $(1, 2, 3)$ के लिए:
$d_1 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \implies d_1^2 = 13$.
$d_2 = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \implies d_2^2 = 10$.
$d_3 = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \implies d_3^2 = 5$.
अब,$2 d_2^2 + d_3^2 + 1$ की गणना करने पर:
$2(10) + 5 + 1 = 26$.
चूँकि $d_1^2 = 13$,इसलिए $26 = 2 \times 13 = 2 d_1^2$.

(B) माना कि वर्ग की भुजा $a$ है।
भुजा $a$ वाले वर्ग के विकर्ण की लंबाई $d = a\sqrt{2}$ होती है।
दिए गए दो बिंदुओं $(1, -2, 3)$ और $(2, -3, 5)$ के बीच की दूरी विकर्ण की लंबाई $d$ है।
$d = \sqrt{(2-1)^2 + (-3 - (-2))^2 + (5-3)^2}$
$d = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (2)^2}$
$d = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$
चूंकि $d = a\sqrt{2}$,इसलिए $a\sqrt{2} = \sqrt{6}$ है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $a = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(A) माना बिंदु $P(x, y, z)$ है।
$(a)$ बिंदु $P$ की $x$-अक्ष से लंबवत दूरी $d_1 = \sqrt{y^2 + z^2}$ है। अतः,$d_1^2 = y^2 + z^2$.
$(b)$ बिंदु $P$ की $y$-अक्ष से लंबवत दूरी $d_2 = \sqrt{x^2 + z^2}$ है। अतः,$d_2^2 = x^2 + z^2$.
$(c)$ बिंदु $P$ की $z$-अक्ष से लंबवत दूरी $d_3 = \sqrt{x^2 + y^2}$ है। अतः,$d_3^2 = x^2 + y^2$.
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से बिंदु $P$ की दूरी $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ है। अतः,$d^2 = x^2 + y^2 + z^2$.
लंबवत दूरियों के वर्गों का योग $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = (y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 2(x^2 + y^2 + z^2)$ है।
यह योग मूल बिंदु से दूरी के वर्ग का $k$ गुना दिया गया है,इसलिए $2(x^2 + y^2 + z^2) = k(x^2 + y^2 + z^2)$।
अतः,$k = 2$ प्राप्त होता है।