2 nd Law of thermodynamics and Entropy Questions in Gujarati

(B) આદર્શ વાયુ માટે,એન્ટ્રોપીમાં થતો ફેરફાર $\Delta S$ સામાન્ય સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta S = n C_p \ln \left( \frac{T_f}{T_i} \right) + n R \ln \left( \frac{p_i}{p_f} \right)$
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી $T_i = T_f$.
આનો અર્થ એ છે કે $\ln \left( \frac{T_f}{T_i} \right) = \ln(1) = 0$.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ સરળ બને છે:
$\Delta S = n R \ln \left( \frac{p_i}{p_f} \right)$

(A) પ્રક્રિયા માટે,$\Delta G^o = \Delta H^o - T \Delta S^o$. જો $\Delta S^o > 0$ હોય,તો જેમ તાપમાન $T$ વધે છે,તેમ $-T \Delta S^o$ પદ વધુ ઋણ બને છે,જેના કારણે $\Delta G^o$ ઝડપથી ઘટે છે.
$\Delta S^o$ ત્યારે ધન હોય છે જ્યારે વાયુરૂપ નીપજોના મોલની સંખ્યા વાયુરૂપ પ્રક્રિયકોના મોલની સંખ્યા કરતા વધારે હોય (એટલે કે $\Delta n_g > 0$).
વિકલ્પ $A$ માં: $C_{(graphite)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \to CO_{(g)}$,$\Delta n_g = 1 - 0.5 = 0.5 > 0$.
વિકલ્પ $B$ માં: $CO_{(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \to CO_{2(g)}$,$\Delta n_g = 1 - 1.5 = -0.5 < 0$.
વિકલ્પ $C$ માં: $Mg_{(s)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \to MgO_{(s)}$,$\Delta n_g = 0 - 0.5 = -0.5 < 0$.
વિકલ્પ $D$ માં: $\frac{1}{2} C_{(graphite)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \to \frac{1}{2} CO_{2(g)}$,$\Delta n_g = 0.5 - 0.5 = 0$.
આમ,માત્ર પ્રક્રિયા $A$ માં $\Delta S^o$ ધન છે.

(C) $0 \ ^\circ C$ $(273 \ K)$ પર બરફનું ગલન એ પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા છે.
પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા માટે એન્ટ્રોપી ફેરફાર $\Delta S = \frac{\Delta H_{fus}}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\Delta H_{fus} = 1.435 \ kcal/mol = 1435 \ cal/mol$ છે.
તાપમાન $T = 273 \ K$ છે.
તેથી,$\Delta S = \frac{1435}{273} = 5.26 \ cal/(mol \ K)$.

(D) આ પ્રક્રિયા અચળ તાપમાને પ્રવાહી પાણીનું વરાળમાં થતું કલા રૂપાંતરણ છે.
આપેલ છે: $\Delta H_{vap} = 30 \ kJ \ mol^{-1} = 30000 \ J \ mol^{-1}$.
તાપમાન $T = 27 \ ^oC = 27 + 273 = 300 \ K$.
એન્ટ્રોપી ફેરફારનું સૂત્ર: $\Delta S_{vap} = \frac{\Delta H_{vap}}{T}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta S_{vap} = \frac{30000 \ J \ mol^{-1}}{300 \ K} = 100 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.

(B) પ્રક્રિયાની સ્વયંસ્ફુરિતતા એ ન્યૂનતમ ઉર્જા અવસ્થા અને મહત્તમ અસ્તવ્યસ્તતા (એન્ટ્રોપી) પ્રાપ્ત કરવાની વૃત્તિ પર આધાર રાખે છે.
અલગ કરેલી પ્રણાલી (isolated system) માં સ્વયંસ્ફુરિત પ્રક્રિયા માટે એન્ટ્રોપીમાં થતો કુલ ફેરફાર $(\Delta S_{total})$ શૂન્ય કરતા વધારે હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta S > 0$.

(C) પ્રક્રિયા સંતુલનમાં હોય ત્યારે $\Delta G = 0$ થાય.
$\Delta G = \Delta H - T \Delta S$ હોવાથી,સંતુલન સ્થિતિએ $\Delta H = T \Delta S$ થાય.
પ્રક્રિયા $\frac{1}{2} X_2 + \frac{3}{2} Y_2 \to XY_3$ માટે,$\Delta H = -30 \ kJ = -30000 \ J$.
પ્રક્રિયા માટે $\Delta S$ ની ગણતરી:
$\Delta S = S^{\circ}(XY_3) - [\frac{1}{2} S^{\circ}(X_2) + \frac{3}{2} S^{\circ}(Y_2)]$
$\Delta S = 50 - [\frac{1}{2} \times 60 + \frac{3}{2} \times 40] \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
$\Delta S = 50 - [30 + 60] = -40 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
સંતુલન સ્થિતિએ,$T = \frac{\Delta H}{\Delta S} = \frac{-30000 \ J}{-40 \ J \ K^{-1}} = 750 \ K$.

(A) સમતાપી પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા માટે એન્ટ્રોપી ફેરફારનું સૂત્ર: $\Delta S = n R \ln \frac{V_2}{V_1}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $n = 2 \, \text{mol}$,$R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, \text{mol}^{-1}$,$V_1 = 10 \, dm^3$,$V_2 = 100 \, dm^3$.
$\Delta S = 2 \times 8.314 \times 2.303 \log \left( \frac{100}{10} \right)$
$\Delta S = 2 \times 8.314 \times 2.303 \times 1 = 38.29 \, J \, K^{-1} \approx 38.3 \, J \, K^{-1}$

(D) પ્રક્રિયા માટે એન્ટ્રોપી ફેરફારનું સૂત્ર: $\Delta S^{\circ} = \sum S^{\circ}_{products} - \sum S^{\circ}_{reactants}$
પ્રક્રિયા $H_{2(g)} + Cl_{2(g)} \to 2HCl_{(g)}$ માટે,અભિવ્યક્તિ: $\Delta S^{\circ} = 2 S^{\circ}_{HCl} - (S^{\circ}_{H_2} + S^{\circ}_{Cl_2})$
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $\Delta S^{\circ} = 2 \times 186.7 - (130.6 + 223.0)$
$\Delta S^{\circ} = 373.4 - 353.6 = 19.8 \ J K^{-1} mol^{-1}$

(D) ફેઝ ટ્રાન્સમિશન માટે એન્ટ્રોપીમાં ફેરફારનું સૂત્ર: $\Delta S = \frac{\Delta H_{vap}}{T_b}$
આપેલ છે:
$H_2O$ નું દળ $= 9.0 \, g$
બાષ્પીભવનની ગુપ્ત ઉષ્મા $= x \, J / g$
કુલ એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta H_{vap} = 9.0 \, g \times x \, J / g = 9x \, J$
ઉત્કલન બિંદુ $T_b = 100 \, ^\circ C = 100 + 273 = 373 \, K$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta S = \frac{9x}{373} \, J / K$
કારણ કે $\frac{9}{373} = \frac{1}{2} \times \frac{18}{373}$,તેથી:
$\Delta S = \frac{1}{2} \times \frac{18x}{373} \, J / K$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ગલન માટે એન્ટ્રોપીમાં થતો ફેરફાર નીચેના સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે: $\Delta S_{fusion} = \frac{\Delta H_{fusion}}{T_{mp}}$.
આપેલ છે,$\Delta H_{fusion} = 6.01 \, kJ \, mol^{-1} = 6010 \, J \, mol^{-1}$.
બરફનું ગલનબિંદુ $(T_{mp})$ $273 \, K$ છે.
તેથી,$\Delta S_{fusion} = \frac{6010 \, J \, mol^{-1}}{273 \, K} \approx 22 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$.

(B) એન્ટ્રોપી ફેરફાર માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $\Delta S = nC_V \ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$ છે.
આપેલ છે:
$n = 1 \ mol$
$T_1 = 25 \ ^{\circ}C = 298 \ K$
$T_2 = 100 \ ^{\circ}C = 373 \ K$
$C_V = 5 \ cal / mol \cdot K$
$R = 2 \ cal / mol \cdot K$
$V_1 = 1 \ L$
$V_2 = 10 \ L$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta S = 1 \times 5 \ln \left(\frac{373}{298}\right) + 1 \times 2 \ln \left(\frac{10}{1}\right)$
$\Delta S = 5 \ln \left(\frac{373}{298}\right) + 2 \ln 10$.

(C) કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે,વિશ્વના એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $\Delta S_{univ} = \Delta S_{syst} + \Delta S_{surr}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા માટે,$\Delta S_{univ} = 0$.
અપ્રતિવર્તી (સ્વયંભૂ) પ્રક્રિયા માટે,$\Delta S_{univ} > 0$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,$\Delta S_{syst}$ શૂન્ય ત્યારે જ હોય છે જો પ્રક્રિયા પ્રતિવર્તી હોય. જો એડિબેટિક પ્રક્રિયા અપ્રતિવર્તી હોય,તો $\Delta S_{syst} > 0$ થાય. તેથી,એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં હંમેશા $\Delta S_{syst} = 0$ હોય તેવું વિધાન ખોટું છે.
આઈસોકોરિક પ્રક્રિયા $(V = \text{અચળ})$ માટે,એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $\Delta S_{syst} = nC_v \ln(\frac{T_2}{T_1})$ છે,જે સાચું છે.

(D) $T_H = 500 \ K$ અને $T_L = 300 \ K$ વચ્ચે કાર્યરત હીટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H} = 1 - \frac{300}{500} = 0.4$ છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$ છે,જ્યાં $Q_H = 100 \ J$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના બીજા નિયમ મુજબ,$\frac{Q_L}{Q_H} \geq \frac{T_L}{T_H}$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{Q_L}{100} \geq 0.6$,એટલે કે $Q_L \geq 60 \ J$.
આમ,$60 \ J$ થી ઓછી ઉષ્મા મુક્ત કરવી અશક્ય છે. તેથી,$20 \ J$ એ અશક્ય મૂલ્ય છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1 = 500 \ K$ અને $T_2 = 400 \ K$ છે.
$\eta = 1 - \frac{400}{500} = 1 - 0.8 = 0.2$.
કાર્યક્ષમતાને $\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$ તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $Q_1 = 100 \ J$ શોષાયેલી ઉષ્મા છે અને $Q_2$ મુક્ત થતી ઉષ્મા છે.
પ્રતિવર્તી એન્જિન માટે,$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1} = 0.8$,તેથી $Q_2 = 0.8 \times 100 \ J = 80 \ J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના બીજા નિયમ મુજબ,કોઈપણ વાસ્તવિક એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta_{real} \le \eta_{Carnot}$ હોય છે.
$1 - \frac{Q_2}{Q_1} \le 0.2 \implies \frac{Q_2}{Q_1} \ge 0.8$.
$Q_2 \ge 0.8 \times 100 \ J = 80 \ J$.
તેથી,$80 \ J$ થી ઓછી કોઈપણ $Q_2$ ની કિંમત અશક્ય છે. આમ,$10 \ J$ અશક્ય છે.

(B) સિસ્ટમની એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $\Delta S_{system} = m \times (s_2 - s_1) = 100 \ kg \times (0.4 - 0.3) \ kJ \ kg^{-1} \ K^{-1} = 10 \ kJ \ K^{-1}$ છે.
આસપાસની એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $\Delta S_{surrounding} = S_{2,surr} - S_{1,surr} = 75 \ kJ \ K^{-1} - 80 \ kJ \ K^{-1} = -5 \ kJ \ K^{-1}$ છે.
બ્રહ્માંડની એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $\Delta S_{universe} = \Delta S_{system} + \Delta S_{surrounding} = 10 \ kJ \ K^{-1} + (-5 \ kJ \ K^{-1}) = 5 \ kJ \ K^{-1}$ થાય છે.

(B) આ પ્રક્રિયા બરફના ગલનબિંદુએ બરફનું પાણીમાં થતું કલા રૂપાંતરણ છે: $H_2O_{(s)} \longrightarrow H_2O_{(\ell)}$.
સંતુલન સમયે,એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $\Delta S = \frac{\Delta H}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\Delta S = S_{H_2O(\ell)} - S_{H_2O(s)} = 60.01 - 38.2 = 21.81 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
તાપમાન $T = 273 \ K$ આપેલ છે.
તેથી,$\Delta H = \Delta S \times T = 21.81 \times 273 = 5954.13 \ J \ mol^{-1}$.

(B) જ્યારે તંત્રની અસ્તવ્યસ્તતા (disorder) વધે ત્યારે એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $(\Delta S)$ ધન હોય છે.
પ્રક્રિયા $H_2O_{(s)} \to H_2O_{(l)}$ માં,પદાર્થ ઘન અવસ્થામાંથી પ્રવાહી અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$S_{(liquid)} > S_{(solid)}$ હોવાથી,એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $\Delta S = S_{(liquid)} - S_{(solid)}$ ધન $(+ve)$ મળે છે.

(C) એન્ટ્રોપી એ તંત્રની અસ્તવ્યસ્તતા અથવા અવ્યવસ્થાનું માપ છે.
કોઈપણ પદાર્થ માટે,એન્ટ્રોપીનો ક્રમ $S_{gas} > S_{liquid} > S_{solid}$ હોય છે.
વધુમાં,તાપમાન વધવાની સાથે એન્ટ્રોપી વધે છે.
વાયુ અવસ્થામાં અણુઓની ગતિશીલતા સૌથી વધુ હોવાથી,$H_2O\, (g, 100\ ^\circ C, 1\ atm)$ ની મોલર એન્ટ્રોપી મહત્તમ હશે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે એન્ટ્રોપીમાં ફેરફારનું સૂત્ર: $\Delta S = n C_p \ln(\frac{T_2}{T_1}) - nR \ln(\frac{P_2}{P_1})$.
આપેલ છે: $n = 3 \ mol$,$C_p = 7 \ cal/mol \cdot K$,$T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 1000 \ K$,$P_1 = 0.1 \ atm$,$P_2 = 1 \ atm$,$R \approx 2 \ cal/mol \cdot K$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta S = 3 \times 7 \times 2.3 \log(\frac{1000}{300}) - 3 \times 2 \times 2.3 \log(\frac{1}{0.1})$
$\Delta S = 21 \times 2.3 \log(3.33) - 6 \times 2.3 \log(10)$
$\log(3.33) \approx 0.52$ અને $\log(10) = 1$ લેતા:
$\Delta S = 48.3 \times 0.52 - 13.8 \times 1$
$\Delta S = 25.116 - 13.8 = 11.316 \ cal/K$.
આમ,આશરે કિંમત $11 \ cal/degree$ છે.

(A) કુલ એન્ટ્રોપી ફેરફાર અને સિસ્ટમ એન્ટ્રોપી ફેરફાર વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $\Delta S_{Total} = \Delta S_{System} + \Delta S_{Surroundings}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta S_{Surroundings} = -\frac{\Delta H_{System}}{T}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta S_{Surroundings} = -\frac{2000 \ kJ/mol}{400 \ K} = -5 \ kJ/mol \cdot K$.
હવે,$\Delta S_{Total} = \Delta S_{System} + \Delta S_{Surroundings}$.
$-40 \ kJ/mol \cdot K = \Delta S_{System} + (-5 \ kJ/mol \cdot K)$.
$\Delta S_{System} = -40 + 5 = -35 \ kJ/mol \cdot K$.

(B) પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા માટે,એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $dS = \frac{dq_{rev}}{T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,આસપાસ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $dq_{rev} = 0$.
તેથી,પ્રતિવર્તી એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે $\Delta S = 0$ થાય છે,જેને આઈસેન્ટ્રોપિક પ્રક્રિયા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

(B) એન્ટ્રોપી $(S)$ એ તંત્રની અસ્તવ્યસ્તતા અથવા અવ્યવસ્થાનું માપ છે.
$1$. પ્રક્રિયા $(a)$: $Br_{2(l)} \to Br_{2(g)}$. પ્રવાહીમાંથી વાયુમાં રૂપાંતર થવાથી અવ્યવસ્થા વધે છે. $\Delta S > 0$.
$2$. પ્રક્રિયા $(b)$: $H_2O_{(s)} \to H_2O_{(g)}$. ઘનમાંથી વાયુમાં રૂપાંતર થવાથી અવ્યવસ્થા વધે છે. $\Delta S > 0$.
$3$. પ્રક્રિયા $(c)$: $N_2 \left[ 1 \ atm, 100 ^oC \right] \to N_2 \left[ 1 \ atm, 150 ^oC \right]$. વાયુને ગરમ કરવાથી અણુઓની ગતિજ ઊર્જા અને અસ્તવ્યસ્તતા વધે છે. $\Delta S > 0$.
$4$. પ્રક્રિયા $(d)$: $N_{2(g)} + 3H_{2(g)} \to 2NH_{3(g)}$. અહીં,$4 \ mol$ વાયુમાંથી $2 \ mol$ વાયુ બને છે. મોલની સંખ્યા ઘટવાથી અવ્યવસ્થા ઘટે છે. $\Delta S < 0$.
$5$. પ્રક્રિયા $(e)$: $CaCO_{3(s)} \to CaO_{(s)} + CO_{2(g)}$. ઘન પદાર્થમાંથી વાયુ ઉત્પન્ન થાય છે,જે અવ્યવસ્થામાં નોંધપાત્ર વધારો કરે છે. $\Delta S > 0$.
આમ,પ્રક્રિયા $(a)$,$(b)$,$(c)$ અને $(e)$ માં એન્ટ્રોપી વધે છે.

(B) પ્રક્રિયા માટે એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$\Delta S^o = \sum \nu_p S^o_{products} - \sum \nu_r S^o_{reactants}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta S^o = (4 \times 200 + 5 \times 150) - (2 \times 100 + 3 \times 120)$
$\Delta S^o = (800 + 750) - (200 + 360)$
$\Delta S^o = 1550 - 560 = 990 \ J \ K^{-1}$

(B) એન્ટ્રોપી $(S)$ એ તંત્રની અસ્તવ્યસ્તતા અથવા અવ્યવસ્થાનું માપ છે.
જે પ્રક્રિયાઓ વધુ વ્યવસ્થિત અવસ્થા તરફ દોરી જાય છે તેમાં એન્ટ્રોપીમાં ઘટાડો $(\Delta S < 0)$ થાય છે.
$(A)$ ઘનનું તાપમાન વધારવાથી કણોની કંપન ગતિ વધે છે,જેનાથી એન્ટ્રોપી વધે છે.
$(B)$ પ્રવાહીનું ઘનમાં સ્ફટિકીકરણ થવાથી તે અસ્તવ્યસ્ત પ્રવાહી અવસ્થામાંથી અત્યંત વ્યવસ્થિત સ્ફટિકમય ઘન અવસ્થામાં ફેરવાય છે,જે એન્ટ્રોપીમાં ઘટાડો દર્શાવે છે.
$(C)$ $2NaHCO_{3(s)}$ નું વિઘટન વાયુરૂપ નીપજો ($CO_2$ અને $H_2O$) ઉત્પન્ન કરે છે,જે તંત્રની અસ્તવ્યસ્તતામાં વધારો કરે છે.
$(D)$ $H_{2(g)}$ નું $2H_{(g)}$ માં વિયોજન થવાથી કણોની સંખ્યા અને તંત્રની અસ્તવ્યસ્તતા વધે છે,પરિણામે એન્ટ્રોપી વધે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સંતુલન સ્થિતિએ કલા રૂપાંતરણ માટે,એન્ટ્રોપી ફેરફારનું સૂત્ર:
$\Delta S = \frac{\Delta_{vap} H}{T_{BP}}$
અહીં $\Delta_{vap} H = 39.2 \, kJ \, mol^{-1} = 39.2 \times 10^3 \, J \, mol^{-1}$ અને $T = 373 \, K$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta S = \frac{39.2 \times 10^3}{373} \approx 105.09 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,જવાબ $105 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$ મળે છે.

(B) એન્ટ્રોપી ફેરફાર $\Delta S$ એ વાયુરૂપ ઘટકોના મોલની સંખ્યામાં થતા ફેરફાર $\Delta n_g$ સાથે સંબંધિત છે.
જો $\Delta n_g < 0$ હોય,તો સિસ્ટમની એન્ટ્રોપી ઘટે છે,જેના પરિણામે $\Delta S$ ઋણ મળે છે.
પ્રક્રિયા $2SO_{2_{(g)}} + O_{2_{(g)}} \to 2SO_{3_{(g)}}$ માટે,વાયુરૂપ મોલમાં ફેરફાર $\Delta n_g = 2 - (2 + 1) = -1$ છે.
$\Delta n_g$ ઋણ હોવાથી,આ પ્રક્રિયામાં અવ્યવસ્થામાં ઘટાડો થાય છે,જે $\Delta S$ માટે ઋણ મૂલ્ય તરફ દોરી જાય છે.

(A) અચળ તાપમાન અને દબાણે અવસ્થા પરિવર્તન માટે એન્ટ્રોપી ફેરફારનું સૂત્ર: $\Delta S = \frac{\Delta H_{vap}}{T}$ છે.
અહીં,$\Delta H_{vap} = 37.3 \ kJ \ mol^{-1} = 37300 \ J \ mol^{-1}$ અને $T = 373 \ K$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta S = \frac{37300 \ J \ mol^{-1}}{373 \ K} = 100 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.

(B) બાષ્પીભવનની એન્ટ્રોપી $(\Delta S_{vap})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે: $\Delta S_{vap} = \frac{\Delta H_{vap}}{T}$.
આપેલ છે,બાષ્પીભવનની મોલર ઉષ્મા $\Delta H_{vap} = 9710\,cal/mol$.
તાપમાન $T = 100\,^{\circ}C = 100 + 273 = 373\,K$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta S_{vap} = \frac{9710\,cal/mol}{373\,K} \approx 26.03\,cal/K/mol$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $26\,cal/K/mol$ મળે છે.

(D) આ પ્રક્રિયા તેના ગલનબિંદુ પર પાણીનું ઠારણ છે,જે સંતુલન પર પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા છે.
$\Delta H_{\text{freezing}} = -\Delta H_{\text{fusion}} = -80 \ cal/g \times 10 \ g = -800 \ cal$.
તાપમાન $T = 0 \ ^\circ C = 273 \ K$.
$\Delta S_{\text{freezing}} = \frac{\Delta H_{\text{freezing}}}{T} = \frac{-800 \ cal}{273 \ K} \approx -2.93 \ cal/K$.
$J/K$ માં રૂપાંતર કરવા માટે,રૂપાંતર અવયવ $1 \ cal = 4.184 \ J$ નો ઉપયોગ કરો.
$\Delta S = -2.93 \ cal/K \times 4.184 \ J/cal \approx -12.25 \ J/K$.

(C) એન્ટ્રોપી ફેરફારનું સૂત્ર $\Delta S = nC_V \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right) + nR \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$ છે.
સમકદ પ્રક્રિયા હોવાથી,કદ અચળ રહે છે,તેથી $\Delta S = nC_V \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$.
આપેલ છે:
$n = 2 \, \text{mole}$
$C_V = \frac{3}{2} R$ (એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે)
$T_1 = 200 + 273 = 473 \, \text{K}$
$T_2 = 300 + 273 = 573 \, \text{K}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta S = 2 \times \left( \frac{3}{2} R \right) \times \ln \left( \frac{573}{473} \right)$
$\Delta S = 3 R \ln \left( \frac{573}{473} \right)$.

(B) ગલનબિંદુએ,ગલનની પ્રક્રિયા સંતુલનમાં હોય છે,તેથી $\Delta G = 0$.
$\Delta G = \Delta H - T\Delta S$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $T = \frac{\Delta H_{fusion}}{\Delta S_{fusion}}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\Delta H_{fusion} = 9.95 \ kJ/mol = 9950 \ J/mol$ અને $\Delta S_{fusion} = 35.7 \ J/K \cdot mol$.
$T = \frac{9950 \ J/mol}{35.7 \ J/K \cdot mol} \approx 278.7 \ K$.

(B) . હીરાનું ગ્રેફાઇટમાં રૂપાંતર એક બંધારણીય ફેરફાર છે જેમાં એન્ટ્રોપી સામાન્ય રીતે વધે છે,તેથી $\Delta S > 0$.
$B$. જ્યારે અચળ તાપમાને વાયુનું દબાણ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે વાયુના અણુઓ ઓછા કદમાં સંકોચાય છે,જેનાથી ઉપલબ્ધ માઇક્રોસ્ટેટ્સની સંખ્યા ઘટે છે અને અવ્યવસ્થામાં ઘટાડો થાય છે. તેથી,$\Delta S < 0$.
$C$. વાયુનું તાપમાન વધારવાથી અણુઓની ગતિ ઊર્જા અને અવ્યવસ્થા વધે છે,જેનાથી એન્ટ્રોપી વધે છે,તેથી $\Delta S > 0$.
$D$. $H_2$ વાયુનું $2H$ પરમાણુઓમાં વિઘટન થવાથી વાયુના કણોના મોલની સંખ્યા વધે છે,જે સિસ્ટમની અવ્યવસ્થા વધારે છે,તેથી $\Delta S > 0$.

(B) પ્રક્રિયા માટે એન્ટ્રોપી ફેરફાર નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$\Delta S^o = \sum S^o(\text{products}) - \sum S^o(\text{reactants})$
પ્રક્રિયા $CH_{4(g)} + 2O_{2(g)} \to CO_{2(g)} + 2H_2O_{(l)}$ માટે:
$\Delta S^o = [S^o(CO_2) + 2 \times S^o(H_2O)] - [S^o(CH_4) + 2 \times S^o(O_2)]$
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા:
$\Delta S^o = [213.6 + 2 \times 69.9] - [186.2 + 2 \times 205.2]$
$\Delta S^o = [213.6 + 139.8] - [186.2 + 410.4]$
$\Delta S^o = 353.4 - 596.6$
$\Delta S^o = -242.8 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$

(D) એન્ટ્રોપીમાં ફેરફારનું સૂત્ર $\Delta S = \frac{q_{rev}}{T}$ છે.
અહીં,$\Delta S = 0.836 \ J \ K^{-1}$ અને $q_{rev} = 0.3344 \ J$ આપેલ છે.
તાપમાન $T$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $T = \frac{q_{rev}}{\Delta S}$.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{0.3344}{0.836} = 0.4 \ K$.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $\Delta S$ નું સૂત્ર: $\Delta S = nR \ ln \ (P_1 / P_2)$ છે.
અહીં વાયુનું વિસ્તરણ પ્રારંભિક દબાણના અડધા દબાણ સુધી થાય છે,તેથી $P_2 = P_1 / 2$,એટલે કે $P_1 / P_2 = 2$.
$n = 1 \ mol$ માટે,સમીકરણ: $\Delta S = 1 \times R \times ln \ (2)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta S = 8.314 \times 0.693 = 5.76 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.

(D) એન્ટ્રોપી ફેરફાર $(\Delta S)$ વાયુરૂપ ઘટકોના મોલની સંખ્યામાં થતા ફેરફાર સાથે સંબંધિત છે. વાયુરૂપ મોલની સંખ્યામાં ઘટાડો થવાથી એન્ટ્રોપીમાં ઘટાડો (ઋણ ફેરફાર) થાય છે.
$A$: $CaSO_{4(s)} \to CaO_{(s)} + SO_{3(g)}$ (વાયુરૂપ મોલ $0$ થી વધીને $1$ થાય છે,$\Delta S > 0$)
$B$: $CO_{2(s)} \to CO_{2(g)}$ (ઘનમાંથી વાયુમાં રૂપાંતર,$\Delta S > 0$)
$C$: $I_{2(s)} \to I_{2(aq)}$ (ઘનમાંથી જલીય દ્રાવણમાં રૂપાંતર,$\Delta S > 0$)
$D$: $N_{2(g)} + 3H_{2(g)} \to 2NH_{3(g)}$ (વાયુરૂપ મોલ $4$ થી ઘટીને $2$ થાય છે,$\Delta S < 0$)
તેથી,એમોનિયાનું સંશ્લેષણ એન્ટ્રોપીમાં ઘટાડો દર્શાવે છે.

(A) જ્યારે સમાન દળ અને સમાન ઉષ્મા ધારિતા $C_p$ ધરાવતા બે બ્લોકને $T_1$ અને $T_2$ તાપમાને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે,ત્યારે અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T_f = \frac{T_1 + T_2}{2}$ થાય છે.
પ્રથમ બ્લોક માટે એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $\Delta S_1 = C_p \ln \left( \frac{T_1 + T_2}{2T_1} \right)$ છે.
બીજા બ્લોક માટે એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $\Delta S_2 = C_p \ln \left( \frac{T_1 + T_2}{2T_2} \right)$ છે.
કુલ એન્ટ્રોપી ફેરફાર $\Delta S_{total} = C_p \ln \left( \frac{(T_1 + T_2)^2}{4T_1T_2} \right) = 2C_p \ln \left( \frac{T_1 + T_2}{2\sqrt{T_1T_2}} \right)$ થાય છે.

(C) ગલનબિંદુ પર ગલન પ્રક્રિયા માટે,ગલન એન્થાલ્પી,ગલન એન્ટ્રોપી અને ગલન તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $\Delta_{fus}H = T_{mp} \times \Delta_{fus}S$.
આપેલ છે: $\Delta_{fus}H = 600 \ cal \ mol^{-1}$,$\Delta_{fus}S = 2 \ cal \ mol^{-1} \ K^{-1}$,અને $T_{mp} = x \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $600 = x \times 2$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = 600 / 2 = 300 \ K$.

(D) એન્ટ્રોપી $(S)$ એ તંત્રની અસ્તવ્યસ્તતા અથવા અવ્યવસ્થાનું માપ છે. જ્યારે તંત્રની અવ્યવસ્થા વધે ત્યારે એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર ધન $(\Delta S > 0)$ હોય છે.
$A$. $H_2O_{(g)} \longrightarrow H_2O_{(l)}$: વાયુમાંથી પ્રવાહીમાં રૂપાંતર થવાથી અવ્યવસ્થા ઘટે છે,તેથી $\Delta S < 0$.
$B$. $H_2O_{(l)} \longrightarrow H_2O_{(s)}$: પ્રવાહીમાંથી ઘન અવસ્થામાં રૂપાંતર થવાથી અવ્યવસ્થા ઘટે છે,તેથી $\Delta S < 0$.
$C$. $N_2(g) + 3H_2(g) \longrightarrow 2NH_3(g)$: વાયુના મોલની સંખ્યા $4$ થી ઘટીને $2$ થાય છે,જે અવ્યવસ્થા ઘટાડે છે,તેથી $\Delta S < 0$.
$D$. $2O_3(g) \longrightarrow 3O_2(g)$: વાયુના મોલની સંખ્યા $2$ થી વધીને $3$ થાય છે. વાયુમય અણુઓની સંખ્યામાં વધારો થવાથી અવ્યવસ્થા વધે છે,તેથી $\Delta S > 0$.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના બીજા નિયમ મુજબ,કોઈપણ સ્વયંભૂ અથવા અપરિવર્તનીય પ્રક્રિયા માટે,તંત્રના એન્ટ્રોપીમાં થતો ફેરફાર $(dS)$ એ તાપમાન વડે ભાગાકાર કરેલ ઉષ્મા વિનિમય $(\frac{dq}{T})$ કરતા હંમેશા વધારે હોય છે.
આ ક્લોસિયસ અસમાનતા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $dS > \frac{dq_{irr}}{T}$.
પરિવર્તનીય પ્રક્રિયા માટે,$dS = \frac{dq_{rev}}{T}$ થાય છે.

(A) જ્યારે ઈંડાને બાફવામાં આવે છે,ત્યારે ઈંડાની અંદરના પ્રોટીનનું વિકૃતિકરણ (denaturation) થાય છે.
આ પ્રક્રિયામાં પ્રોટીનની અત્યંત વ્યવસ્થિત અને કોમ્પેક્ટ રચના વધુ અવ્યવસ્થિત અને રેન્ડમ કોઇલ રચનામાં ફેરવાય છે.
એન્ટ્રોપી એ સિસ્ટમની અવ્યવસ્થાનું માપ હોવાથી,અત્યંત વ્યવસ્થિત સ્થિતિમાંથી વધુ અવ્યવસ્થિત સ્થિતિમાં થતા ફેરફારને કારણે એન્ટ્રોપીમાં વધારો $( \Delta S > 0 )$ થાય છે.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના બીજા નિયમ ($2^{nd}$ Law of Thermodynamics) મુજબ,અલગ કરેલા તંત્રમાં કોઈપણ સ્વયંભૂ પ્રક્રિયા માટે,કુલ એન્ટ્રોપી ફેરફાર $(\Delta S_{total})$ શૂન્ય કરતાં વધુ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta S_{total} > 0$.
અપ્રતિવર્તી સ્વયંભૂ પ્રક્રિયા માટે,વિશ્વની (તંત્ર આસપાસ) એન્ટ્રોપી વધે છે.
ચોક્કસપણે,અલગ કરેલા તંત્ર માટે,અપ્રતિવર્તી સ્વયંભૂ પ્રક્રિયા માટે $\Delta S_{system} > 0$ થાય છે.
વિકલ્પ $B$ સાચું છે કે અપ્રતિવર્તી સ્વયંભૂ પ્રક્રિયા માટે,અલગ કરેલા તંત્રની એન્ટ્રોપી વધે છે.

(C) બરફ $(H_2O(s))$ નું પાણી $(H_2O(l))$ માં રૂપાંતર થતી વખતે,બરફનું ઘન બંધારણ તૂટીને વધુ અસ્તવ્યસ્ત પ્રવાહી અવસ્થામાં ફેરવાય છે.
એન્ટ્રોપી એ તંત્રની અસ્તવ્યસ્તતા અથવા અવ્યવસ્થાનું માપ છે.
પ્રવાહી અવસ્થામાં ઘન અવસ્થા કરતા વધુ અવ્યવસ્થા હોવાથી,ઘનમાંથી પ્રવાહીમાં થતા કલા રૂપાંતરણ દરમિયાન તંત્રની એન્ટ્રોપી વધે છે.
તેથી,$\Delta S > 0$.

(C) અચળ દબાણે આદર્શ વાયુ માટે એન્ટ્રોપીમાં થતો ફેરફાર $\left( \Delta S \right)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta S = n C_{p,m} \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$.
આપેલ કિંમતો: $n = 2 \ mol$,$C_{p,m} = \frac{5}{2} R$,$T_1 = 300 \ K$,અને $T_2 = 600 \ K$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta S = 2 \times \left( \frac{5}{2} R \right) \ln \left( \frac{600 \ K}{300 \ K} \right)$.
$\Delta S = 5 R \ln (2)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આ પ્રક્રિયા બરફનું ગલન છે: $H_2O_{(s)} \rightarrow H_2O_{(l)}$ જ્યાં $T = 0 \ ^\circ C = 273 \ K$ છે.
મોલર એન્ટ્રોપી ફેરફાર $\Delta S_{fus} = S_{product} - S_{reactant} = 60 - 38.2 = 21.8 \ J/mol \ K$ છે.
સંતુલન પર પ્રતિવર્તી તબક્કાના ફેરફાર માટે,$\Delta S = \frac{\Delta H}{T}$.
તેથી,$\Delta H = \Delta S \times T = 21.8 \ J/mol \ K \times 273 \ K = 5951.4 \ J/mol$.

(C) પ્રક્રિયા: $4 Fe_3O_{4(s)} + O_{2(g)} \to 6 Fe_2O_{3(s)}$
આપેલ $\Delta_rS^o = -266 \ J \ K^{-1}$
$S_m^o(O_2) = 205 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
$S_m^o(Fe_2O_3) = 87 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
સૂત્ર: $\Delta_rS^o = \sum \nu_p S_m^o(products) - \sum \nu_r S_m^o(reactants)$
$-266 = [6 \times S_m^o(Fe_2O_3)] - [4 \times S_m^o(Fe_3O_4) + 1 \times S_m^o(O_2)]$
$-266 = (6 \times 87) - (4 \times S_m^o(Fe_3O_4) + 205)$
$-266 = 522 - 4 \times S_m^o(Fe_3O_4) - 205$
$4 \times S_m^o(Fe_3O_4) = 522 - 205 + 266$
$4 \times S_m^o(Fe_3O_4) = 583$
$S_m^o(Fe_3O_4) = \frac{583}{4} = 145.75 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$

(A) કોઈપણ પ્રતિવર્તી સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,એન્ટ્રોપીમાં થતો ફેરફાર $(\Delta S)$ એ $\Delta S = \int \frac{dq_{rev}}{T}$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પ્રક્રિયા સમોષ્મી હોવાથી,આસપાસ સાથે કોઈ ઉષ્માનો વિનિમય થતો નથી,એટલે કે $dq_{rev} = 0$.
તેથી,$\Delta S = \frac{0}{T} = 0\, cal/K$.

(A) સ્વયંભૂ પ્રક્રિયા એવી છે જે બાહ્ય હસ્તક્ષેપ વગર કુદરતી રીતે થાય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના બીજા નિયમ મુજબ,નિરાળી પ્રણાલીમાં કોઈપણ સ્વયંભૂ પ્રક્રિયા માટે,કુલ એન્ટ્રોપી ફેરફાર ધન હોવો જોઈએ $(\Delta S_{total} > 0)$. વાસ્તવિક સ્વયંભૂ પ્રક્રિયાઓમાં એન્ટ્રોપીમાં વધારો થતો હોવાથી,તે ઉષ્માગતિકીય રીતે અપ્રતિવર્તી હોય છે. તેથી,બધી સ્વયંભૂ પ્રક્રિયાઓ ઉષ્માગતિકીય રીતે અપ્રતિવર્તી છે.

(B) સંતુલન અથવા પ્રમાણિત સ્થિતિ માટે જ્યાં $\Delta G = 0$ લેવામાં આવે છે,ત્યાં $\Delta S = \frac{\Delta H}{T}$ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.
અહીં $\Delta H = -31.3\,kcal = -31300\,cal$ અને $T = 25 + 273 = 298\,K$ છે.
તેથી,$\Delta S = \frac{-31300}{298}\,cal\,K^{-1}$ થાય.

(C) અચળ તાપમાને એન્ટ્રોપી ફેરફારની વ્યાખ્યા $\Delta S = \frac{q_{rev}}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊર્જાના સંદર્ભમાં,પ્રણાલીની કુલ ઊર્જાને પ્રાપ્ય ઊર્જા (ગિબ્સ મુક્ત ઊર્જા,$G$) અને અપ્રાપ્ય ઊર્જા $(T \cdot \Delta S)$ માં વિભાજિત કરી શકાય છે.
તેથી,અપ્રાપ્ય ઊર્જા $T \cdot \Delta S$ જેટલી હોય છે,જે સૂચવે છે કે એન્ટ્રોપી એ એકમ તાપમાન દીઠ અપ્રાપ્ય ઊર્જાનું માપ છે,એટલે કે $\Delta S = \frac{\text{અપ્રાપ્ય ઊર્જા}}{T}$.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચું વિધાન છે.