Heat capacity Questions in Gujarati

(C) આપેલ ઉષ્મા $(q)$,અચળ દબાણે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $(C_p)$ અને તાપમાનમાં ફેરફાર $(\Delta T)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $q = n \cdot C_p \cdot \Delta T$
આપેલ છે:
$q = 1.0 \, kJ = 1000 \, J$
$C_p = 75 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$
પાણીનું દળ = $100 \, g$
પાણીનું મોલર દળ $(H_2O)$ = $18 \, g \, mol^{-1}$
મોલની સંખ્યા $(n)$ ગણો:
$n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{100}{18} = 5.55 \, mol$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1000 = (\frac{100}{18}) \times 75 \times \Delta T$
$1000 = 416.67 \times \Delta T$
$\Delta T = \frac{1000}{416.67} \approx 2.4 \, K$
તેથી,તાપમાનમાં થતો વધારો $2.4 \, K$ છે.

(C) પાણી $(H_2O)$ નું આણ્વીય દળ $18 \ g \ mol^{-1}$ છે.
આપેલ છે,મોલર ઉષ્મા ધારિતા $(C_p)$ = $75 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(c)$ = $\frac{C_p}{\text{આણ્વીય દળ}} = \frac{75}{18} \approx 4.17 \ J \ g^{-1} \ K^{-1}$.
આપેલ ઉષ્મા $(Q)$ = $1.0 \ kJ = 1000 \ J$.
પાણીનું દળ $(m)$ = $100 \ g$.
સૂત્ર $Q = m \cdot c \cdot \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1000 = 100 \times 4.17 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{1000}{417} \approx 2.4 \ K$.

(B) પદાર્થના $1 \ mol$ તાપમાનમાં $1^{\circ}C$ (અથવા $1 \ K$) જેટલો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માને તે પદાર્થની મોલર ઉષ્મા ધારિતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(B) કોઈ પદાર્થનું તાપમાન $1 \, K$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માને તે પદાર્થની ઉષ્મા ધારિતા (Thermal capacity) કહેવામાં આવે છે.

(B) કિર્ચોફના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\Delta H_2 - \Delta H_1 = \Delta C_p \times (T_2 - T_1)$.
અહીં $\Delta C_p = 7.63 \, cal/deg = 7.63 \times 10^{-3} \, Kcal/deg$.
$T_1 = 25 + 273 = 298 \, K$.
$T_2 = 100 + 273 = 373 \, K$.
$\Delta H_{100\,^{\circ}C} = \Delta H_{25\,^{\circ}C} + \Delta C_p \times (T_2 - T_1)$.
$\Delta H_{100\,^{\circ}C} = 68.3 + 7.63 \times 10^{-3} \times (373 - 298)$.

(B) મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા $C$ ને $C = \frac{Q}{n \Delta T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અચળ દબાણે કલા રૂપાંતરણ (જેમ કે બરફ અને પાણી સંતુલનમાં હોય) દરમિયાન તાપમાન અચળ રહે છે,એટલે કે $\Delta T = 0$.
છેદમાં $\Delta T = 0$ હોવાથી,$C$ નું મૂલ્ય $\frac{Q}{0} = \infty$ થાય છે.
તેથી,મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા અનંત છે.

(B) અચળ દબાણે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_P = (\frac{\delta H}{\delta T})_P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
બરફ અને પાણી વચ્ચેના કલા સંતુલન સમયે,ઉષ્મા આપવા છતાં તાપમાન અચળ રહે છે,એટલે કે $\delta T = 0$.
તેથી,$C_P = \frac{\delta H}{0} = \infty$.

(B) સૌ પ્રથમ,$STP$ પર આદર્શ વાયુની સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને મોલની સંખ્યા $(n)$ ગણો:
$n = \frac{4.48 \ L}{22.4 \ L \ mol^{-1}} = 0.2 \ mol$.
ત્યારબાદ,અચળ કદ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા $(C_v)$ ગણો:
$C_v = \frac{q_v}{n \times \Delta T} = \frac{12 \ cal}{0.2 \ mol \times 15 \ K} = \frac{12}{3} = 4 \ cal \ mol^{-1} K^{-1}$.
અંતે,$C_p$ શોધવા માટે $C_p - C_v = R$ સંબંધનો ઉપયોગ કરો:
અહીં $R \approx 2 \ cal \ mol^{-1} K^{-1}$ લેતા,
$C_p = C_v + R = 4 + 2 = 6 \ cal \ mol^{-1} K^{-1}$.

(B) કિર્ચોફના નિયમ મુજબ,તાપમાન સાથે પ્રક્રિયાની એન્થાલ્પીમાં થતો ફેરફાર નીચે મુજબ છે: $\Delta_r H_2 - \Delta_r H_1 = \Delta_r C_p (T_2 - T_1)$.
પ્રથમ,પ્રક્રિયા $A_{(g)} \to 2B_{(g)}$ માટે $\Delta_r C_p$ ની ગણતરી કરો:
$\Delta_r C_p = \sum \nu_p C_{p,m}(\text{products}) - \sum \nu_r C_{p,m}(\text{reactants})$
$\Delta_r C_p = [2 \times 5 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}] - [20 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}] = -10 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
$\Delta_r C_p < 0$ હોવાથી,જો $T_2 > T_1$ (તાપમાન વધારવામાં આવે) તો $\Delta_r C_p (T_2 - T_1)$ પદ ઋણ થશે.
તેથી,$\Delta_r H_2 = \Delta_r H_1 + \Delta_r C_p (T_2 - T_1)$ એ $\Delta_r H_1$ કરતા ઓછું હશે.
આમ,તાપમાન વધારતા $\Delta H$ ઘટશે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,મોલર ઉષ્મા ધારિતા વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C_P - C_V = R$
અચળ કદે,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય શૂન્ય $(w = 0)$ છે કારણ કે કદમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી $(dV = 0)$
તેથી,અચળ કદે આપવામાં આવેલી તમામ ઉષ્માનો ઉપયોગ સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે થાય છે $(q_V = \Delta U)$
અચળ દબાણે,કેટલીક ઉષ્માનો ઉપયોગ આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે અને કેટલીકનો ઉપયોગ વિસ્તરણનું કાર્ય કરવા માટે થાય છે $(q_P = \Delta U + P\Delta V)$
આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જાનો ફેરફાર $(\Delta U)$ માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે,તેથી સમાન તાપમાનના ફેરફાર માટે બંને પ્રક્રિયાઓ માટે તે સમાન હોય છે
આમ,$C_P$ એ $C_V$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ કારણ કે અચળ દબાણે કાર્ય કરવા માટે વધારાની ઉષ્માની જરૂર પડે છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $(C_p)$ ને $C_p = C_v + R$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $(C_v)$ એ $\frac{3}{2}R$ છે.
તેથી,$C_p = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R = 2.5R$.
આદર્શ વાયુ માટે $C_p$ તાપમાનથી સ્વતંત્ર હોવાથી,$C_p$ વિરુદ્ધ $T$ નો આલેખ $2.5R$ ના મૂલ્ય પર એક આડી સીધી રેખા છે.

(B) મોલર ઉષ્માધારિતાની વ્યાખ્યા $C = \frac{dq}{dT}$ છે.
અચળ તાપમાન અને દબાણે થતા કલા રૂપાંતરણ માટે (બરફ અને પાણી વચ્ચેનું સંતુલન),તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 0$ છે.
કારણ કે ઉમેરવામાં આવેલી ઉષ્મા તાપમાન બદલ્યા વિના કલા રૂપાંતરણ (ગુપ્ત ઉષ્મા) માટે વપરાય છે,તેથી $dT = 0$.
તેથી,$C = \frac{dq}{0} = \infty$ (અનંત).

(B) કિર્ચોફના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\Delta H_2 = \Delta H_1 + \Delta C_p(T_2 - T_1)$.
આપેલ છે: $\Delta H_1 = -285.8 \ kJ \ mol^{-1} = -285800 \ J \ mol^{-1}$,$\Delta C_p = 32 \ J \ K^{-1}$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$,$T_2 = 127 + 273 = 400 \ K$.
$\Delta H_2 = -285800 + 32(400 - 300)$.
$\Delta H_2 = -285800 + 32(100) = -285800 + 3200 = -282600 \ J \ mol^{-1}$.
$kJ \ mol^{-1}$ માં ફેરવતા: $\Delta H_2 = -282.6 \ kJ \ mol^{-1}$.

(D) પદ ${\left[ {\partial U/\partial T} \right]_V}$ એ અચળ કદ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા દર્શાવે છે,જેને $C_V$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
$He$ જેવા એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
અચળ કદ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતાનું સૂત્ર $C_V = (f/2)R$ છે.
$f = 3$ મૂકતા,આપણને $C_V = (3/2)R$ મળે છે.

(A) વિશિષ્ટ ઉષ્માક્ષમતા $(c)$ શોધવાનું સૂત્ર $q = m \times c \times \Delta T$ છે.
અહીં,$q = 192 \ J$,$m = 45.0 \ g$,અને $\Delta T = 6 \ ^oC$ છે.
$c$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $c = \frac{q}{m \times \Delta T}$.
કિંમતો મૂકતા: $c = \frac{192}{45.0 \times 6} = \frac{192}{270}$.
$c \approx 0.711 \ J \ g^{-1} \ ^oC^{-1}$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફારનું સૂત્ર: $\Delta U = n C_{V} \Delta T$
આપેલ કિંમતો:
$n = 4 \; mol$
$\Delta T = T_{2} - T_{1} = 500 \; K - 300 \; K = 200 \; K$
$\Delta U = 5000 \; J$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5000 = 4 \times C_{V} \times 200$
$5000 = 800 \times C_{V}$
$C_{V} = \frac{5000}{800} = 6.25 \; J \; mol^{-1} \; K^{-1}$

જરૂરી ઉષ્મા $(q)$ માટેનું સૂત્ર: $q = n \cdot C_m \cdot \Delta T$
પ્રથમ,$Al$ ના મોલની સંખ્યા $(n)$ ગણો:
$n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{60.0 \, g}{27.0 \, g \, mol^{-1}} = 2.222 \, mol$
હવે,તાપમાનમાં ફેરફાર $(\Delta T)$ શોધો:
$\Delta T = 55^{\circ} C - 35^{\circ} C = 20 \, K$
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકો:
$q = 2.222 \, mol \times 24 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1} \times 20 \, K$
$q = 1066.56 \, J$
ઉષ્માને $kJ$ માં ફેરવો:
$q = \frac{1066.56}{1000} \, kJ = 1.067 \, kJ$

(N/A) કોઈપણ પદાર્થના તાપમાનમાં $1^{\circ}C$ નો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માના જથ્થાને તે પદાર્થની ઉષ્મા ધારિતા $(C)$ કહેવામાં આવે છે.
$q = C \cdot \Delta T$,જ્યાં $C$ એ ઉષ્મા ધારિતા છે.
જો આપણને ઉષ્મા ધારિતા ખબર હોય,તો તાપમાનમાં થતા વધારાને માપીને આપણે આપેલી ઉષ્માને માપી શકીએ છીએ.
જ્યારે $C$ નું મૂલ્ય મોટું હોય,ત્યારે આપેલી ઉષ્માને કારણે તાપમાનમાં માત્ર થોડો જ વધારો થાય છે. પાણીની ઉષ્મા ધારિતા વધારે હોય છે,એટલે કે તેના તાપમાનમાં વધારો કરવા માટે ઘણી ઉર્જાની જરૂર પડે છે. $C$ એ પદાર્થના જથ્થાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
મોલર ઉષ્મા ધારિતા: પદાર્થની મોલર ઉષ્મા ધારિતા $(C_m)$ એટલે એક મોલ પદાર્થ માટેની ઉષ્મા ધારિતા,જે એક મોલ પદાર્થનું તાપમાન એક ડિગ્રી સેલ્સિયસ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો જથ્થો છે.
$C_m = C / n$
વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા: વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(c)$ એટલે પદાર્થના એક એકમ દળનું તાપમાન એક ડિગ્રી સેલ્સિયસ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો જથ્થો.
$q = c \times m \times \Delta T = C \Delta T$,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.

(N/A) આપેલ છે: $q = 20 \ cal$,$\Delta T = 30^{\circ}C - 25^{\circ}C = 5^{\circ}C$,$m = 15 \ g$,$M = 27 \ g \ mol^{-1}$.
$1$. ઉષ્મા ધારિતા $(C)$: $C = \frac{q}{\Delta T} = \frac{20 \ cal}{5^{\circ}C} = 4.0 \ cal \ {}^{\circ}C^{-1}$.
$2$. વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(c)$: $c = \frac{C}{m} = \frac{4.0 \ cal \ {}^{\circ}C^{-1}}{15 \ g} \approx 0.267 \ cal \ g^{-1} \ {}^{\circ}C^{-1}$.
$3$. મોલર ઉષ્મા ધારિતા $(C_m)$: $C_m = c \times M = 0.267 \ cal \ g^{-1} \ {}^{\circ}C^{-1} \times 27 \ g \ mol^{-1} \approx 7.21 \ cal \ mol^{-1} \ {}^{\circ}C^{-1}$.

(B) મોલર ઉષ્મા ધારિતા $(C_{p})$ ને પદાર્થના પ્રતિ મોલ ઉષ્મા ધારિતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(c)$ ને પદાર્થના પ્રતિ ગ્રામ ઉષ્મા ધારિતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$1 \ mol$ પાણી $(H_{2}O)$ માટે,મોલર દળ $18 \ g \ mol^{-1}$ છે.
સંબંધ આ મુજબ છે: $C_{p} = M \times c$,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે.
તેથી,પાણી માટે: $C_{p} = 18 \times c$.

(B) ઉષ્મા ધારિતા $(C)$ એટલે પદાર્થના આપેલા જથ્થાનું તાપમાન $1 \ K$ (અથવા $1 \ ^\circ C$) વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો જથ્થો.
ગાણિતિક રીતે,તે $q = C \times \Delta T$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ શોષાયેલી ઉષ્મા છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
તેનો $SI$ એકમ $J \ K^{-1}$ છે.

(N/A) વિશિષ્ટ ઉષ્માક્ષમતા એટલે પદાર્થના $1 \ g$ તાપમાનમાં $1 \ K$ નો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા. તેનો એકમ $J \ K^{-1} \ g^{-1}$ અથવા $J \ g^{-1} \ K^{-1}$ છે.
મોલર ઉષ્માક્ષમતા એટલે પદાર્થના $1 \ mol$ તાપમાનમાં $1 \ K$ નો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા. તેનો એકમ $J \ K^{-1} \ mol^{-1}$ અથવા $J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ છે.

(A) કોઈપણ પદાર્થનું તાપમાન $1^{\circ}C$ (અથવા $1 \ K$) વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માના જથ્થાને ઉષ્માધારિતા કહે છે.

(N/A) વિશિષ્ટ ઉષ્માક્ષમતાનો એકમ $J \cdot K^{-1} \cdot g^{-1}$ (અથવા $J \cdot g^{-1} \cdot K^{-1}$) છે.
મોલર ઉષ્માક્ષમતાનો એકમ $J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$ (અથવા $J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$) છે.

(N/A) $(i)$ પ્રથમ
$(ii)$ ઉષ્માક્ષમતા
$(iii)$ $1 \ g$

(N/A) $(i)$ $J \ K^{-1}$ (જૂલ પ્રતિ કેલ્વિન)
$(ii)$ માત્રાત્મક (Extensive)
$(iii)$ મોલર ઉષ્માક્ષમતા

(B) વિશિષ્ટ ઉષ્માક્ષમતા $(c)$ એટલે $1 \ g$ પદાર્થનું તાપમાન $1 \ K$ (અથવા $1 \ ^\circ C$) વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા.
તે એક તીવ્ર ગુણધર્મ છે કારણ કે તે પદાર્થના જથ્થા પર આધાર રાખતું નથી.
તીવ્ર ગુણધર્મોના ઉદાહરણો: ગલનબિંદુ,ઘનતા,ઉત્કલનબિંદુ,સ્નિગ્ધતા અને વક્રીભવનાંક.

(N/A) $(i)$ $1 \ g$
$(ii)$ $J \ K^{-1}$
$(iii)$ માત્રાત્મક (Extensive)
$(iv)$ મોલર ઉષ્માક્ષમતા

(A) અચળ દબાણે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $(C_p)$ અને અચળ કદ $(C_V)$ પરની ઉષ્મા ધારિતાનો ગુણોત્તર એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = C_p / C_V$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 3$ છે,તેથી $\gamma = 1 + (2/f) = 1 + 2/3 \approx 1.67$.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે,તેથી $\gamma = 1 + 2/5 = 1.40$.
ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 6$ છે,તેથી $\gamma = 1 + 2/6 \approx 1.33$.
આપેલ છે કે $C_p / C_V = 1.67$,તેથી વાયુ એક પરમાણ્વીય હોવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$He$ (હિલિયમ) એ નિષ્ક્રિય વાયુ છે અને તે એક પરમાણ્વીય છે,જ્યારે $H_2$,$CO_2$,અને $CH_4$ બહુ-પરમાણ્વીય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ઇન્સ્યુલેટેડ પાત્રમાં ધાતુ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
ધારો કે ધાતુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c$ છે.
ધાતુનું દળ $m_m = 100 \, g$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_{m,i} = 80^{\circ} C$.
પાણીનું દળ $m_w = 1000 \, g$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_{w,i} = 15^{\circ} C$.
અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T_f = 15.69^{\circ} C$.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_w = 4.184 \, J / g \cdot ^{\circ} C$.
ધાતુ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $= m_m \times c \times (T_{m,i} - T_f) = 100 \times c \times (80 - 15.69) = 6431c$.
પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $= m_w \times c_w \times (T_f - T_{w,i}) = 1000 \times 4.184 \times (15.69 - 15) = 4184 \times 0.69 = 2886.96 \, J$.
બંનેને સરખાવતા: $6431c = 2886.96$.
$c = \frac{2886.96}{6431} \approx 0.4489 \, J / g \cdot ^{\circ} C$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.45 \, J / g \cdot ^{\circ} C$ મળે છે.

(B) હીટરનો પાવર $P = 60 \, W = 60 \, J \, s^{-1}$.
કુલ ઉર્જા $Q = P \times t = 60 \, J \, s^{-1} \times 100 \, s = 6000 \, J$.
પાત્ર એડિબેટિક અને અચળ કદનું હોવાથી,પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉષ્મા વાયુ દ્વારા શોષાય છે.
$Q = C \times \Delta T$,જ્યાં $C$ એ ઉષ્મા ધારિતા છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
$6000 \, J = C \times 5 \, K$.
$C = \frac{6000}{5} = 1200 \, J \, K^{-1}$.

(B) વિસ્તૃત ગુણધર્મો એવા છે જે સિસ્ટમમાં હાજર પદાર્થના જથ્થા પર આધાર રાખે છે.
$Heat \ capacity$ (ઉષ્મા ધારિતા) એ વિસ્તૃત ગુણધર્મ છે કારણ કે તે પદાર્થના કુલ જથ્થા પર આધાર રાખે છે.
સ્નિગ્ધતા,ઘનતા અને પૃષ્ઠતાણ એ તીવ્ર ગુણધર્મો (intensive properties) છે કારણ કે તે પદાર્થના જથ્થાથી સ્વતંત્ર છે.

(A) ઉષ્મા ઉર્જા માટેનું સૂત્ર $q = n \times C_p \times \Delta T$ છે.
આપેલ છે:
પાણીનું દળ $(m)$ = $180 \ g$.
પાણીનું મોલર દળ $(M)$ = $18 \ g \ mol^{-1}$.
મોલની સંખ્યા $(n)$ = $\frac{m}{M} = \frac{180}{18} = 10 \ mol$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $(\Delta T)$ = $15^{\circ} C - 10^{\circ} C = 5 \ K$.
ઉષ્મા ઉર્જા $(q)$ = $3765 \ J$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$3765 = 10 \times C_p \times 5$.
$3765 = 50 \times C_p$.
$C_p = \frac{3765}{50} = 75.3 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) પગલું $1$: પાણીના મોલની સંખ્યા ગણો. $n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{180 \ g}{18 \ g \ mol^{-1}} = 10 \ mol$.
પગલું $2$: તાપમાનમાં ફેરફાર ગણો. $\Delta T = 15^{\circ}C - 10^{\circ}C = 5 \ K$.
પગલું $3$: ઉષ્મા ઉર્જા માટેનું સૂત્ર $q = n \times C_{p} \times \Delta T$ વાપરો.
પગલું $4$: કિંમતો મૂકતા: $q = 10 \ mol \times 75.3 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1} \times 5 \ K = 3765 \ J$.

(C) આપેલ છે:
એલ્યુમિનિયમનું વજન $(w) = 54 \ g$
તાપમાનનો તફાવત $(\Delta T) = 60^{\circ}C - 40^{\circ}C = 20 \ K$
એલ્યુમિનિયમની મોલર ઉષ્માધારિતા $(C_m) = 24 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$
$Al$ નું પરમાણ્વીય દળ $(M) = 27 \ g \ mol^{-1}$
$Al$ ના મોલની સંખ્યા $(n) = \frac{w}{M} = \frac{54}{27} = 2 \ mol$
જરૂરી ઉષ્મા $(Q) = n \times C_m \times \Delta T$
$Q = 2 \times 24 \times 20 = 960 \ J$
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો જવાબ છે.

(D) અચળ કદે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = n C_v \Delta T$.
આપેલ છે:
મોલની સંખ્યા $n = 1 \ mol$.
મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_v = 20.8 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 40^{\circ} C - (-20^{\circ} C) = 60 \ K$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = 1 \ mol \times 20.8 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1} \times 60 \ K$.
$\Delta U = 1248 \ J$.

(A) અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્માનું સૂત્ર $\Delta H = n C_p \Delta T$ છે.
આપેલ છે:
આપેલી ઉષ્મા $(q)$ = $1 \ kJ = 1000 \ J$.
પાણીનું દળ $(m)$ = $100 \ g$.
પાણીનું આણ્વીય દળ $(M_{H_2O})$ = $18 \ g \ mol^{-1}$.
મોલની સંખ્યા $(n)$ = $\frac{m}{M} = \frac{100}{18} \ mol$.
$C_p = 75 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$1000 = (\frac{100}{18}) \times 75 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{1000 \times 18}{100 \times 75} = \frac{180}{75} = 2.4 \ K$.

(C) વાયુઓ માટે અચળ દબાણે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $(C_p)$ સામાન્ય રીતે પ્રવાહી અને ઘન પદાર્થો કરતા વધારે હોય છે કારણ કે પૂરી પાડવામાં આવતી ઉષ્માનો એક ભાગ વિસ્તરણ દરમિયાન બાહ્ય દબાણ સામે કાર્ય કરવામાં વપરાય છે.
હિલિયમ $(He)$ જેવા એકપરમાણ્વીય વાયુઓ માટે,$C_p = \frac{5}{2}R \approx 20.8 \ J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$ છે.
બ્રોમીન $(Br_2)$ જેવા પ્રવાહી માટે મોલર ઉષ્મા ધારિતા આશરે $75.7 \ J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$ હોય છે.
જોકે,સ્પર્ધાત્મક રસાયણશાસ્ત્રના સંદર્ભમાં,અપેક્ષિત ક્રમ $Helium(g) > Bromine(l) > Copper(s)$ ગણવામાં આવે છે.