Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Gujarati

(C) ત્રિજ્યાવર્તી સંભાવના વિતરણ વક્રમાં મહત્તમ મૂલ્યોની સંખ્યા $(n - l)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે,મહત્તમ મૂલ્યોની સંખ્યા $= 3$,તેથી $n - l = 3$.
વધુમાં,કોણીય નોડની સંખ્યા એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર,$l$ જેટલી હોય છે.
આપેલ છે,કોણીય નોડની સંખ્યા $= 3$,તેથી $l = 3$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $l = 3$ મૂકતા: $n - 3 = 3$,જે $n = 6$ આપે છે.
$l = 3$ એ $f$ કક્ષક દર્શાવે છે,તેથી કક્ષક $6f$ છે.

(C) ઓર્બિટલ માટે તરંગ વિધેય $\psi$ ની સંજ્ઞા ઇલેક્ટ્રોન તરંગનો તબક્કો (phase) નક્કી કરે છે.
$p$-ઓર્બિટલ માટે,નોડલ પ્લેનની હાજરીને કારણે બે લોબ વિરુદ્ધ સંજ્ઞાઓ (એક ધન,એક ઋણ) ધરાવતા હોવા જોઈએ.
$d$-ઓર્બિટલ માટે,લોબ એવી રીતે ગોઠવાયેલા હોય છે કે નજીકના લોબ વિરુદ્ધ સંજ્ઞાઓ ધરાવે છે.
$d_{x^2-y^2}$ ઓર્બિટલમાં,લોબ $x$ અને $y$ અક્ષ પર આવેલા હોય છે. $d_{x^2-y^2}$ ઓર્બિટલની પ્રમાણભૂત રજૂઆત દર્શાવે છે કે $x$-અક્ષ પરના લોબ એક સંજ્ઞા (દા.ત.,ધન) અને $y$-અક્ષ પરના લોબ વિરુદ્ધ સંજ્ઞા (દા.ત.,ઋણ) ધરાવે છે.
વિકલ્પ $C$ માં $d_{x^2-y^2}$ ઓર્બિટલના ચારેય લોબ ધન સંજ્ઞા સાથે દર્શાવ્યા છે,જે ખોટું છે કારણ કે તે આ ઓર્બિટલ માટે તરંગ વિધેયની સમપ્રમાણતાની જરૂરિયાતોનું ઉલ્લંઘન કરે છે.

(A) કક્ષકમાં ત્રિજ્યાવર્તી નોડની સંખ્યા $(n - l - 1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1s$ કક્ષક માટે,$n=1$ અને $l=0$,તેથી ત્રિજ્યાવર્તી નોડની સંખ્યા $(1 - 0 - 1) = 0$ છે.
$2s$ કક્ષક માટે,$n=2$ અને $l=0$,તેથી ત્રિજ્યાવર્તી નોડની સંખ્યા $(2 - 0 - 1) = 1$ છે.
આલેખ $(a)$ માં કોઈ નોડ નથી,જે $1s$ કક્ષકને અનુરૂપ છે.
આલેખ $(b)$ માં એક ત્રિજ્યાવર્તી નોડ છે,જે $2s$ કક્ષકને અનુરૂપ છે.
તેથી,$'a'$ એ $1s$ માટે છે અને $'b'$ એ $2s$ માટે છે.

(D) કક્ષકમાં રેડિયલ નોડની સંખ્યા $(n - l - 1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1s$ કક્ષક માટે: $n=1, l=0$,રેડિયલ નોડ $= 1 - 0 - 1 = 0$.
$2p$ કક્ષક માટે: $n=2, l=1$,રેડિયલ નોડ $= 2 - 1 - 1 = 0$.
$3d$ કક્ષક માટે: $n=3, l=2$,રેડિયલ નોડ $= 3 - 2 - 1 = 0$.
આપેલ આલેખ શૂન્ય રેડિયલ નોડ દર્શાવે છે કારણ કે $RDF$ વક્ર માત્ર $r=0$ અને $r=\infty$ પર x-અક્ષને સ્પર્શે છે.
$1s, 2p$ અને $3d$ ત્રણેય કક્ષકોમાં શૂન્ય રેડિયલ નોડ હોવાથી,આ આલેખ આમાંથી કોઈપણ કક્ષક દર્શાવી શકે છે.
પરંતુ વિકલ્પ $D$ મુજબ,આ આલેખ $2s$ (જેમાં $1$ રેડિયલ નોડ છે) કરતા અલગ છે,જે એક સાચું વિધાન છે.

(A) વિધાન $(i)$ સાચું છે: ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $(m_l)$ કક્ષકના અવકાશીય અભિવિન્યાસ વિશે માહિતી આપે છે.
વિધાન $(ii)$ ખોટું છે: સ્પિન ક્વોન્ટમ આંક '$m_s$' દ્વારા દર્શાવાય છે અને તેના મૂલ્યો $+\frac{1}{2}$ અથવા $-\frac{1}{2}$ હોય છે.
વિધાન $(iii)$ સાચું છે: મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ કક્ષકનું કદ અને ઉર્જા નક્કી કરે છે.
તેથી,વિધાન $(i)$ અને $(iii)$ સાચા છે.

(B) અધાતુઓ તેમના અષ્ટક પૂર્ણ કરવા માટે ઇલેક્ટ્રોનની ભાગીદારી કરીને સરળતાથી દ્વિપરમાણ્વીય અણુઓ બનાવે છે.
તત્વ $M$ $(1s^2, 2s^2\ 2p^5)$ ની સંયોજકતા કક્ષામાં સાત ઇલેક્ટ્રોન છે અને તેને તેનું અષ્ટક પૂર્ણ કરવા માટે એક વધુ ઇલેક્ટ્રોનની જરૂર છે.
તેથી,$M$ ના બે પરમાણુઓ એક-એક ઇલેક્ટ્રોનની ભાગીદારી કરીને દ્વિપરમાણ્વીય અણુ $(M_2)$ બનાવે છે.

(C) તત્વ $X$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $7$ છે.
તેની ઇલેક્ટ્રોન રચના $1s^2 2s^2 2p^3$ છે,જેનો અર્થ છે કે તેમાં $5$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન છે.
લુઈસ ટપકાં સંરચનાના નિયમો અનુસાર,સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોનને સંજ્ઞાની આસપાસ ટપકાં દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$5$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,સંજ્ઞા $\cdot \dot{X}:$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) $(n+l)$ ના નિયમ મુજબ,જેમ $(n+l)$ નું મૂલ્ય વધે તેમ કક્ષકની ઉર્જા વધે છે.
જો $(n+l)$ નું મૂલ્ય સમાન હોય,તો જે કક્ષક માટે $n$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય તેની ઉર્જા ઓછી હોય છે.
કક્ષકોની સરખામણી કરતા:
$ns$: $(n+0) = n$
$np$: $(n+1)$
$(n-1)d$: $(n-1+2) = n+1$
$(n-2)f$: $(n-2+3) = n+1$
સમાન $(n+l)$ મૂલ્ય $(n+1)$ ધરાવતી કક્ષકોમાં,ઉર્જાનો વધતો ક્રમ $np < (n-1)d < (n-2)f$ છે,કારણ કે મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ આ ક્રમમાં વધે છે.
આમ,ઉર્જાનો કુલ ક્રમ $ns < np < (n-1)d < (n-2)f$ છે.

(C) $d_{z^2}$ કક્ષક પાંચ $d$-કક્ષકોમાં અનન્ય છે કારણ કે તેનો આકાર અલગ છે. તે $z$-અક્ષ પર બે લોબ અને $xy$-સમતલમાં ઇલેક્ટ્રોન ઘનતાની રીંગ ધરાવે છે. આ વિકલ્પ $C$ માં આપેલી આકૃતિ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોનનું કક્ષીય કોણીય વેગમાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $L = \sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2\pi}$.
$d$-કક્ષક માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l = 2$ છે.
સૂત્રમાં $l$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = \sqrt{2(2+1)} \frac{h}{2\pi} = \sqrt{2(3)} \frac{h}{2\pi} = \sqrt{6} \frac{h}{2\pi}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કોઈપણ કક્ષક માટે,ત્રિજ્યાવર્તી સંભાવના ઘનતા $4\pi r^2 \Psi^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $r^2 \Psi^2$ વિરુદ્ધ $r$ નો આલેખ ત્રિજ્યાવર્તી સંભાવના વિતરણ વિધેય દર્શાવે છે.
$2s$ કક્ષક માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l = 0$ છે.
ત્રિજ્યાવર્તી નોડની સંખ્યા $n - l - 1 = 2 - 0 - 1 = 1$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ત્રિજ્યાવર્તી નોડ એ એવું બિંદુ છે જ્યાં સંભાવના ઘનતા શૂન્ય હોય છે.
$2s$ કક્ષક માટે,ત્રિજ્યાવર્તી સંભાવના વિતરણ વક્ર ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે,એક મહત્તમ સુધી વધે છે,ત્રિજ્યાવર્તી નોડ $(r > 0)$ પર શૂન્ય થાય છે,અને પછી અનંત તરફ જતાં પહેલાં બીજા,નાના મહત્તમ સુધી વધે છે.
આમ,આલેખ બે મહત્તમ દર્શાવે છે.

(B) નોડલ બિંદુ (અથવા રેડિયલ નોડ) ત્યાં જોવા મળે છે જ્યાં રેડિયલ તરંગ વિધેય $R_{n,l}(r)$ શૂન્ય થાય છે.
આપેલ તરંગ વિધેય: $R_{2,0} = K(2 - r/a_0) \exp(-r/2a_0)$.
નોડ માટે,$R_{2,0} = 0$.
અહીં $K \neq 0$ અને $\exp(-r/2a_0) \neq 0$ હોવાથી,$(2 - r/a_0) = 0$ થવું જોઈએ.
$r$ માટે ઉકેલતા: $2 = r/a_0$,જે $r = 2a_0$ આપે છે.
તેથી,નોડલ બિંદુ $r = 2a_0$ પર છે.

(B) કક્ષકમાં નોડલ સમતલોની સંખ્યા એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$p$-કક્ષકો $(l=1)$ માટે,$1$ નોડલ સમતલ હોય છે.
$d$-કક્ષકો $(l=2)$ માટે,$2$ નોડલ સમતલો હોય છે,સિવાય કે $d_{z^2}$ કક્ષક.
$d_{z^2}$ કક્ષકમાં $0$ નોડલ સમતલો હોય છે પરંતુ તેમાં $2$ નોડલ શંકુ (nodal cones) હોય છે.
તેથી,$d_{xy}$ અને $d_{zx}$ ની જોડીમાં $2$ નોડલ સમતલો હોય છે.

(D) આપેલ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ માટે,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l$ ની કિંમત $0$ થી $n-1$ સુધી હોય છે.
આપેલ $l$ ધરાવતી પેટાકોષમાં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $2(2l+1)$ છે.
કોઈપણ ઉર્જા સ્તર $n$ માં કુલ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $l=0$ થી $l=n-1$ સુધીની તમામ પેટાકોષોના ઇલેક્ટ્રોનનો સરવાળો કરીએ છીએ.
તેથી,અભિવ્યક્તિ $\sum_{l=0}^{n-1} 2(2l+1)$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં કેન્દ્રથી ઇલેક્ટ્રોનનું સરેરાશ અંતર શોધવાનું સૂત્ર: $\langle r \rangle = \frac{a_0 n^2}{Z} \left[ 1 + \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{l(l+1)}{n^2} \right) \right]$ છે.
ચોક્કસ કક્ષા $n$ માટે,સરેરાશ અંતર $\langle r \rangle$ એ એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ આંક $l$ પર આધાર રાખે છે.
જેમ $l$ વધે છે,તેમ કૌંસમાં રહેલું પદ ઘટે છે.
તેથી,અચળ $n$ માટે,સરેરાશ અંતર $\langle r \rangle$ એ $l$ ના મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવતી કક્ષક માટે ન્યૂનતમ હોય છે.
$4^{th}$ કક્ષા $(n=4)$ માટે,$l$ ના મૂલ્યો $0, 1, 2, 3$ છે,જે અનુક્રમે $4s, 4p, 4d, 4f$ કક્ષકો દર્શાવે છે.
$4f$ કક્ષક માટે $l$ નું મૂલ્ય મહત્તમ $(l=3)$ હોવાથી,સરેરાશ અંતર $4f$ માટે ન્યૂનતમ છે.

(D) $ns$ કક્ષક માટે,રેડિયલ નોડની સંખ્યા $(n - l - 1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2s$ કક્ષક માટે,$n = 2$ અને $l = 0$,તેથી રેડિયલ નોડ $= 2 - 0 - 1 = 1$,જે શૂન્ય કરતા વધારે છે. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચું છે.
કોઈપણ $s$ કક્ષક માટે,કોણીય વેગમાન ક્વોન્ટમ આંક $l = 0$ હોય છે,તેથી કોણીય નોડની સંખ્યા $l = 0$ છે. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચું છે.
$s$ કક્ષક માટે તરંગ વિધેય $\Psi$ ગોલીય રીતે સંમિત છે,જેનો અર્થ છે કે તે માત્ર ત્રિજ્યા $r$ પર આધાર રાખે છે અને કોણીય યામો $\theta$ અને $\phi$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,$\Psi \left( \theta, \phi \right) = \text{અચળ}$ સાચું છે.
સંભાવના ઘનતા $|\Psi|^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $s$ કક્ષકો માટે,ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા કેન્દ્ર $(r = 0)$ પર મહત્તમ હોય છે. તેથી,કેન્દ્ર પર સંભાવના ઘનતા શૂન્ય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) બહુ-ઇલેક્ટ્રોન પ્રણાલીમાં,એક જ પેટાકોષમાં રહેલી કક્ષકો (જેનો મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l$ સમાન હોય) બાહ્ય ચુંબકીય કે વિદ્યુત ક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં સમાન ઉર્જા ધરાવે છે.
$2p_x$,$2p_y$ અને $2p_z$ ત્રણેય $2p$ પેટાકોષના છે $(n=2, l=1)$,તેથી તેમની ઉર્જા સમાન હોય છે.
આમ,$E(2p_x) = E(2p_y) = E(2p_z)$.

(D) એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l$ ના આપેલ મૂલ્ય માટે,મેગ્નેટિક ક્વોન્ટમ નંબર $m_l$ માત્ર $-l$ થી $+l$ (શૂન્ય સહિત) ની રેન્જમાં જ મૂલ્યો લઈ શકે છે.
વિકલ્પ $D$ માં,$l = 2$ છે,તેથી $m_l$ માટે શક્ય મૂલ્યો $-2, -1, 0, +1, +2$ છે.
આમ,$m_l = -3$ આ રેન્જની બહાર હોવાથી,ક્વોન્ટમ નંબર્સનો આ સેટ અશક્ય છે.

(D) હન્ડનો મહત્તમ ગુણકતાનો નિયમ જણાવે છે કે સમાન શક્તિ ધરાવતી કક્ષકોમાં (જેમ કે $p$-કક્ષકો),ઇલેક્ટ્રોનનું યુગ્મીકરણ ત્યારે જ શરૂ થાય છે જ્યારે દરેક કક્ષકમાં એક-એક ઇલેક્ટ્રોન સમાંતર સ્પિન સાથે ગોઠવાય.
વિકલ્પ $A$ નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે કારણ કે સ્પિન સમાંતર નથી.
વિકલ્પ $B$ નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે કારણ કે બધી કક્ષકોમાં એક-એક ઇલેક્ટ્રોન ગોઠવાય તે પહેલાં જ યુગ્મીકરણ થાય છે.
વિકલ્પ $C$ નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે કારણ કે ત્રીજો ઇલેક્ટ્રોન બીજી કક્ષક ખાલી હોવા છતાં વિરુદ્ધ સ્પિન સાથે જોડાય છે.
વિકલ્પ $D$ હન્ડના નિયમ મુજબ સાચી રચના દર્શાવે છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન $A$ માટે,$n=3$ અને $l=2$,જે $3d$ સબશેલ દર્શાવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન $B$ માટે,$n=3$ અને $l=0$,જે $3s$ સબશેલ દર્શાવે છે.
$(n+l)$ ના નિયમ મુજબ,કક્ષકની ઉર્જા $(n+l)$ ના મૂલ્ય સાથે વધે છે.
$A$ માટે,$(n+l) = 3+2 = 5$.
$B$ માટે,$(n+l) = 3+0 = 3$.
$A$ માટે $(n+l)$ નું મૂલ્ય $B$ કરતા વધારે હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન $A$ ની ઉર્જા ઇલેક્ટ્રોન $B$ કરતા વધારે છે.

(C) પાઉલીના અપવર્જનના સિદ્ધાંત મુજબ,એક કક્ષકમાં મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન હોઈ શકે છે અને આ ઇલેક્ટ્રોન વિરુદ્ધ સ્પિન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
આપેલ રચનામાં,એક કક્ષકમાં સમાન સ્પિન ધરાવતા $2$ ઇલેક્ટ્રોન છે (બંને ઉપરની તરફ),જે પાઉલીના અપવર્જનના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.

(D) $1$. $_{21}Sc$ માટે: પરમાણુ ક્રમાંક $21$ છે. ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar] \, 3d^1 \, 4s^2$ છે,જે સાચી છે.
$2$. $_{89}Ac$ માટે: પરમાણુ ક્રમાંક $89$ છે. ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Rn] \, 5f^0 \, 6d^1 \, 7s^2$ છે,જે સાચી છે.
$3$. $_{29}Cu$ માટે: પરમાણુ ક્રમાંક $29$ છે. સંપૂર્ણ ભરાયેલી $d$-કક્ષકની સ્થિરતાને કારણે,ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar] \, 3d^{10} \, 4s^1$ છે,જે સાચી છે.
$4$. તેથી,બધા વિકલ્પો સાચા હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) હન્ડનો મહત્તમ ગુણાકારનો નિયમ જણાવે છે કે સમાન ઉર્જા ધરાવતી ઓર્બિટલ્સમાં ઇલેક્ટ્રોનનું યુગ્મન ત્યારે જ શરૂ થાય છે જ્યારે દરેક ઓર્બિટલમાં એક-એક ઇલેક્ટ્રોન સમાંતર સ્પિન સાથે ભરાઈ જાય.
વિકલ્પ $A$ માં,$2p^4$ કોન્ફિગ્યુરેશન $(\uparrow)(\uparrow\downarrow)(\uparrow)$ તરીકે દર્શાવેલ છે,જે સાચું છે.
વિકલ્પ $B$ માં,$2p^2$ કોન્ફિગ્યુરેશન $(\uparrow\downarrow)(\text{ખાલી})(\text{ખાલી})$ તરીકે દર્શાવેલ છે,જે હન્ડના નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન અલગ-અલગ ઓર્બિટલમાં સમાંતર સ્પિન સાથે હોવા જોઈએ.
વિકલ્પ $C$ માં,$2p^3$ કોન્ફિગ્યુરેશન $(\uparrow)(\downarrow)(\uparrow)$ તરીકે દર્શાવેલ છે,જે હન્ડના નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે કારણ કે ઇલેક્ટ્રોનની સ્પિન સમાંતર હોવી જોઈએ.
આમ,$B$ અને $C$ બંને હન્ડના નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) સમાન ઉર્જા ધરાવતી કક્ષકોને ડીજનરેટ કક્ષકો કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,$2p_x$,$2p_y$,અને $2p_z$ કક્ષકો સમાન ઉર્જા ધરાવે છે.

(B) કોઈપણ કક્ષક માટે,કુલ નોડ્સની સંખ્યા $(n - 1)$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
કોણીય નોડ્સ એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેડિયલ નોડ્સ $(n - l - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ નોડ્સ $=$ રેડિયલ નોડ્સ $+$ કોણીય નોડ્સ $= (n - l - 1) + l = n - 1$.
$p_z-$કક્ષક માટે,$xy-$સમતલમાં ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા શૂન્ય હોય છે,તેથી તે નોડલ સમતલ છે.
તેથી,$ns-$કક્ષકમાં $(n + 1)$ નોડ્સ હોય છે તે વિધાન ખોટું છે,કારણ કે તેમાં $(n - 1)$ નોડ્સ હોવા જોઈએ.

(D) $d_{xy}$ ઓર્બિટલમાં ચાર લોબ્સ હોય છે જે $xy$-સમતલમાં આવેલા હોય છે.
આ લોબ્સ $x$ અને $y$ અક્ષની વચ્ચે ગોઠવાયેલા હોય છે,ખાસ કરીને $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે.
તેથી,$d_{xy}$ ઓર્બિટલમાં ઇલેક્ટ્રોન શોધવાની મહત્તમ સંભાવના $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે હોય છે.

(C) $Pauli$ નો અપવર્જનનો નિયમ જણાવે છે કે પરમાણુમાં કોઈપણ બે ઇલેક્ટ્રોન માટે ચાર ક્વોન્ટમ નંબરોનો સેટ સમાન હોઈ શકે નહીં. આનો અર્થ એ છે કે એક કક્ષક વિરુદ્ધ સ્પિન ધરાવતા મહત્તમ બે ઇલેક્ટ્રોન રાખી શકે છે.
$Hund$ નો મહત્તમ ગુણકતાનો નિયમ જણાવે છે કે $p, d,$ અને $f$ કક્ષકોમાં ઇલેક્ટ્રોનનું યુગ્મીકરણ ત્યાં સુધી થઈ શકતું નથી જ્યાં સુધી આપેલ પેટાકોષની દરેક કક્ષકમાં એક-એક ઇલેક્ટ્રોન ન હોય.
વિકલ્પ $C$ માં,$p$-પેટાકોષની પ્રથમ કક્ષકમાં સમાન સ્પિન ધરાવતા બે ઇલેક્ટ્રોન છે,જે $Pauli$ ના અપવર્જનના નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે. વધુમાં,બીજી કક્ષક ખાલી છે જ્યારે પ્રથમ કક્ષકમાં ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મિત છે,જે $Hund$ ના નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે.

(D) હુંડના મહત્તમ ગુણકતાના નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી સમાન પેટાકોષ ($p$,$d$,અથવા $f$) ની દરેક કક્ષકમાં એક-એક ઇલેક્ટ્રોન ન ભરાય ત્યાં સુધી ઇલેક્ટ્રોનનું યુગ્મીકરણ થતું નથી.
$1s^2 \, 2s^2 \, 2p_x^2$ ગોઠવણીમાં,$2p_x$ કક્ષક યુગ્મિત છે જ્યારે $2p_y$ અને $2p_z$ ખાલી છે,જે આ નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે.

(B) $(n+l)$ ના નિયમ મુજબ,કક્ષકની ઉર્જા મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $(n)$ અને ગૌણ ક્વોન્ટમ નંબર $(l)$ ના સરવાળા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $(A)$ માટે: $n+l = 3+2 = 5$.
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $n+l = 4+3 = 7$.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: $n+l = 4+1 = 5$.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $n+l = 5+0 = 5$.
જેમ કે $(n+l)$ નું મૂલ્ય વિકલ્પ $(B)$ માટે સૌથી વધુ છે,તેથી આ સેટમાં ઇલેક્ટ્રોન સૌથી વધુ ઉર્જા ધરાવે છે.

(A) ક્વોન્ટમ આંક $n = 4$,$l = 2$,અને $m = -2$ એક ચોક્કસ કક્ષકને દર્શાવે છે.
પાઉલીના અપવર્જનના નિયમ મુજબ,કોઈપણ એક કક્ષકમાં વિરુદ્ધ સ્પિન ધરાવતા મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાઈ શકે છે.

(C) આપેલ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ માટે,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $\ell$ ની કિંમત $0$ થી $n-1$ સુધીની હોય છે.
આપેલ $\ell$ માટે,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m$ ની કિંમત $-\ell$ થી $+\ell$ સુધીની હોય છે.
બધા વિકલ્પોમાં $n=3$ છે.
તેથી,$n=3$ માટે $\ell$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, \text{અથવા } 2$ હોઈ શકે.
વિકલ્પ $C$ માં,$\ell=3$ છે,જે $n=3$ માટે શક્ય નથી કારણ કે $\ell$ ની કિંમત હંમેશા $n$ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
તેથી,વિકલ્પ $C$ માં આપેલ ક્વોન્ટમ નંબરનો સેટ અમાન્ય છે.

(B) કોષમાં કક્ષકોની કુલ સંખ્યા $n^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
$n = 4$ માટે,કક્ષકોની કુલ સંખ્યા $4^2 = 16$ છે.
દરેક કક્ષક ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $(m_l)$ ના ચોક્કસ મૂલ્યને અનુરૂપ હોવાથી,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંકના મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા કક્ષકોની કુલ સંખ્યા જેટલી હોય છે.
તેથી,કુલ મૂલ્ય $16$ છે.

(B) $Cu$ $(Z = 29)$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^{10} 4s^1$ છે.
કુલ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા = $29$ છે.
ભરાયેલી કક્ષકમાં $2$ ઇલેક્ટ્રોન વિરુદ્ધ સ્પિન ધરાવે છે.
$Cu$ માં $14$ સંપૂર્ણ ભરાયેલી કક્ષકો છે જેમાં $28$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
આ $28$ ઇલેક્ટ્રોનમાંથી $14$ ઇલેક્ટ્રોન $+1/2$ સ્પિન અને $14$ ઇલેક્ટ્રોન $-1/2$ સ્પિન ધરાવે છે.
બાકીનો $1$ ઇલેક્ટ્રોન $4s$ કક્ષકમાં છે,જે $+1/2$ અથવા $-1/2$ સ્પિન ધરાવી શકે છે.
આમ,$15$ ઇલેક્ટ્રોન એક દિશામાં અને $14$ ઇલેક્ટ્રોન બીજી દિશામાં સ્પિન ધરાવે છે.

(C) બહુ-ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુમાં કક્ષકની ઉર્જા અસરકારક કેન્દ્રીય વીજભાર $(Z_{eff})$ અને મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ પર આધાર રાખે છે.
હાઇડ્રોજન $(H)$ માં માત્ર એક જ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે,જ્યારે અન્ય આલ્કલી ધાતુઓમાં ઇલેક્ટ્રોનનું શીલ્ડિંગ અસરકારક હોય છે.
જેમ આપણે સમૂહ $IA$ માં નીચે જઈએ છીએ,તેમ પરમાણુનું કદ વધે છે અને શીલ્ડિંગ અસર વધે છે,જેનાથી $2s$ કક્ષકની ઉર્જા ઘટે છે.
તેથી,ઉર્જાનો સાચો ઉતરતો ક્રમ $E_{2s(H)} > E_{2s(Li)} > E_{2s(Na)} > E_{2s(K)}$ છે.

(B) આપેલ ઉર્જા સ્તર માટે જ્યાં $(n + l) = 6$ છે,$(n, l)$ માટે શક્ય કિંમતો નીચે મુજબ છે:
$1$. જો $n = 6, l = 0$ ($6s$ ઓર્બિટલ)
$2$. જો $n = 5, l = 1$ ($5p$ ઓર્બિટલ)
$3$. જો $n = 4, l = 2$ ($4d$ ઓર્બિટલ)
$4$. જો $n = 3, l = 3$ ($3f$ ઓર્બિટલ - શક્ય નથી કારણ કે $l < n$)
આમ,શક્ય ઓર્બિટલ્સ $6s$,$5p$,અને $4d$ છે.
કુલ ઓર્બિટલ્સની સંખ્યા = $1$ $(6s)$ + $3$ $(5p)$ + $5$ $(4d)$ = $9$ ઓર્બિટલ્સ.
દરેક ઓર્બિટલ મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે,પરંતુ દરેક ઓર્બિટલમાં માત્ર એક જ ઇલેક્ટ્રોન ઘડિયાળની દિશામાં સ્પિન ધરાવે છે (સામાન્ય રીતે $m_s = +1/2$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે).
તેથી,ઘડિયાળની દિશામાં સ્પિન ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા = $9$.

(D) ઇલેક્ટ્રોનનું કક્ષીય કોણીય વેગમાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $L = \sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2\pi}$.
$3p$ ઇલેક્ટ્રોન માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l = 1$ છે.
સૂત્રમાં $l$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = \sqrt{1(1+1)} \frac{h}{2\pi} = \sqrt{2} \frac{h}{2\pi}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $H$ પરમાણુ જેવી એક-ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી સ્પીસીઝ માટે,કક્ષકની ઊર્જા ફક્ત મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ પર આધાર રાખે છે.
સમાન $n$ મૂલ્ય ધરાવતી કક્ષકો સમાન ઊર્જા ધરાવે છે.
આપેલ કક્ષકોની સરખામણી:
- $2s$ માટે,$n = 2$.
- $3s, 3p_x, 3p_y$ માટે,$n = 3$.
- $4s, 4p_z, 4d_{xy}$ માટે,$n = 4$.
તેથી,ઊર્જાનો વધતો ક્રમ: $2s < 3s = 3p_x = 3p_y < 4s = 4p_z = 4d_{xy}$ છે.

(B) કોષમાં કક્ષકોની કુલ સંખ્યા $n^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
$n = 5$ માટે,કક્ષકોની સંખ્યા $= (5)^2 = 25$.

(A) ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2 \, 2s^2 \, 2p^6 \, 3s^2 \, 3p^6$ એ $Ar$ (આર્ગોન) નિષ્ક્રિય વાયુ જેવી છે,જેમાં $18$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
$NaF$ માં,આયનો $Na^+$ ($10$ ઇલેક્ટ્રોન: $1s^2 \, 2s^2 \, 2p^6$) અને $F^-$ ($10$ ઇલેક્ટ્રોન: $1s^2 \, 2s^2 \, 2p^6$) છે. કોઈ પણ આયન $18$ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતું નથી.
$KBr$ માં,$K^+$ ($18$ ઇલેક્ટ્રોન) અને $Br^-$ ($36$ ઇલેક્ટ્રોન) હાજર છે. $K^+$ પાસે $18$ ઇલેક્ટ્રોનની રચના છે.
$NaCl$ માં,$Cl^-$ ($18$ ઇલેક્ટ્રોન) હાજર છે.
$CaI_2$ માં,$Ca^{2+}$ ($18$ ઇલેક્ટ્રોન) હાજર છે.
તેથી,$NaF$ ના જલીય દ્રાવણમાં $1s^2 \, 2s^2 \, 2p^6 \, 3s^2 \, 3p^6$ રચના ધરાવતા કોઈ આયનો હોતા નથી.

(B) $(n+l)$ ના નિયમ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન વધતા $(n+l)$ મૂલ્યોના ક્રમમાં કક્ષકોમાં ભરાય છે.
$n=6$ માટે:
$6s: n+l = 6+0 = 6$
$4f: n+l = 4+3 = 7$
$5d: n+l = 5+2 = 7$
$6p: n+l = 6+1 = 7$
સમાન $(n+l)$ મૂલ્ય ધરાવતી કક્ષકોમાં,જેનું $n$ મૂલ્ય ઓછું હોય તે પહેલા ભરાય છે.
આમ,ક્રમ $6s \to 4f \to 5d \to 6p$ છે,જે $ns \to (n-2)f \to (n-1)d \to np$ ને અનુરૂપ છે.

(C) આપેલ ક્વોન્ટમ આંક $n = 3$ અને $l = 2$ છે,જે $3d$ સબશેલ દર્શાવે છે.
કોઈપણ સબશેલ માટે,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m_l$ ની કિંમત $-l$ થી $+l$ સુધીની હોઈ શકે છે.
$l = 2$ માટે,$m_l$ ની શક્ય કિંમતો $-2, -1, 0, +1, +2$ છે.
$m_l$ ની દરેક ચોક્કસ કિંમત માત્ર એક જ કક્ષક દર્શાવે છે.
તેથી,$m_l = +2$ માટે,માત્ર $1$ કક્ષક હોય છે.

(B) $(A)\ n = 5$ નો અર્થ છે કે $l = 0, 1, 2, 3, 4$ ($s, p, d, f, g$ કક્ષકો).
$m_l = +1$ માટે,$p, d, f$ અને $g$ કક્ષકો શક્ય છે.
દરેક કક્ષક $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે.
કુલ ઇલેક્ટ્રોન $= 2 (p) + 2 (d) + 2 (f) + 2 (g) = 8$ ઇલેક્ટ્રોન.
$(B)\ n = 2, l = 1, m_l = -1, m_s = -1/2$ એ $2p$ કક્ષકમાં એક ચોક્કસ ઇલેક્ટ્રોન દર્શાવે છે.
બધા ચાર ક્વોન્ટમ આંક નિશ્ચિત હોવાથી,તે માત્ર $1$ ઇલેક્ટ્રોન દર્શાવે છે.

(B) પ્રથમ,આપેલ ક્વોન્ટમ નંબરોના આધારે ઓર્બિટલ્સ ઓળખો:
$(i)$ $n = 4, l = 1$ એટલે $4p$ ઓર્બિટલ. $(n+l) = 4 + 1 = 5$.
$(ii)$ $n = 4, l = 0$ એટલે $4s$ ઓર્બિટલ. $(n+l) = 4 + 0 = 4$.
$(iii)$ $n = 3, l = 2$ એટલે $3d$ ઓર્બિટલ. $(n+l) = 3 + 2 = 5$.
$(iv)$ $n = 3, l = 1$ એટલે $3p$ ઓર્બિટલ. $(n+l) = 3 + 1 = 4$.
$(n+l)$ ના નિયમ મુજબ,જેમ $(n+l)$ નું મૂલ્ય વધે તેમ ઉર્જા વધે છે.
$(iv)$ અને $(ii)$ માટે,બંનેનું $(n+l) = 4$ છે. $(iv)$ નું $n$ મૂલ્ય $(n=3)$ એ $(ii)$ $(n=4)$ કરતા ઓછું હોવાથી,$(iv)$ ની ઉર્જા ઓછી છે.
$(iii)$ અને $(i)$ માટે,બંનેનું $(n+l) = 5$ છે. $(iii)$ નું $n$ મૂલ્ય $(n=3)$ એ $(i)$ $(n=4)$ કરતા ઓછું હોવાથી,$(iii)$ ની ઉર્જા ઓછી છે.
આમ,ઉર્જાનો વધતો ક્રમ: $(iv) < (ii) < (iii) < (i)$ છે.

(A) વિધાન $1$ સાચું છે: ઊંચા કોણીય વેગમાન $(l)$ ધરાવતી કક્ષકોમાં ઇલેક્ટ્રોન વધુ શીલ્ડિંગ અનુભવે છે અને સામાન્ય રીતે કેન્દ્રથી વધુ દૂર જોવા મળે છે.
વિધાન $2$ ખોટું છે: કક્ષકનું કદ મુખ્યત્વે મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ પર આધાર રાખે છે,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $(l)$ પર નહીં.
વિધાન $3$ સાચું છે: બોહરના મોડેલ મુજબ,ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{h}{2\pi}$ છે.
વિધાન $4$ ખોટું છે: ત્રિજ્યાવર્તી સંભાવના વિતરણ આલેખ દર્શાવે છે કે જેમ $l$ વધે છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા કેન્દ્રથી દૂર જાય છે,પરંતુ $\Psi$ વિરુદ્ધ $r$ માટેનું વિધાન કક્ષકના કદના વલણોનું પ્રમાણભૂત અર્થઘટન નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $1$ અને $3$ છે.

(C) તત્વ $X$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $71$ છે. આ તત્વ (લ્યુટેશિયમ) ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Xe]4f^{14} 5d^1 6s^2$ છે.
આઉફબાઉના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જાના વધતા ક્રમમાં કક્ષકોમાં ભરાય છે.
$Z = 71$ માટે,ઇલેક્ટ્રોન રચના $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2 3d^{10} 4p^6 5s^2 4d^{10} 5p^6 6s^2 4f^{14} 5d^1$ છે.
છેલ્લો ઇલેક્ટ્રોન ($71^{st}$ ઇલેક્ટ્રોન) $5d$ કક્ષકમાં દાખલ થાય છે.

(C) કક્ષકની ઊર્જા $(n + l)$ ના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$I$ માટે: $n = 4, l = 2, (n + l) = 4 + 2 = 6$ ($4d$ કક્ષક).
$II$ માટે: $n = 3, l = 2, (n + l) = 3 + 2 = 5$ ($3d$ કક્ષક).
$III$ માટે: $n = 4, l = 1, (n + l) = 4 + 1 = 5$ ($4p$ કક્ષક).
$IV$ માટે: $n = 3, l = 1, (n + l) = 3 + 1 = 4$ ($3p$ કક્ષક).
$(n + l)$ ના નિયમ મુજબ,ઓછી $(n + l)$ કિંમત એટલે ઓછી ઊર્જા. જો $(n + l)$ કિંમતો સમાન હોય,તો ઓછી $n$ કિંમત ધરાવતી કક્ષકની ઊર્જા ઓછી હોય છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $IV (4) < II (5, n=3) < III (5, n=4) < I (6)$.
આમ,ઊર્જાનો વધતો ક્રમ $IV < II < III < I$ છે.

(C) $s$-કક્ષક માટે,સંભાવના ઘનતા $|\psi|^2$ કેન્દ્ર $(r=0)$ પર મહત્તમ હોય છે.
ત્રિજ્યાવર્તી નોડની સંખ્યા $n-l-1$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2s$ કક્ષક માટે,ત્રિજ્યાવર્તી નોડની સંખ્યા $2-0-1 = 1$ છે.
આલેખ એક ત્રિજ્યાવર્તી નોડ દર્શાવે છે (જ્યાં વક્ર $r$-અક્ષને સ્પર્શે છે),જે $2s$ કક્ષકની લાક્ષણિકતા છે.
તેથી,આલેખ $2s$ કક્ષક દર્શાવે છે.

(B) હુંડના મહત્તમ ગુણકતાના નિયમ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન જોડી બનતા પહેલા સમાન શક્તિ ધરાવતી કક્ષકો $(2p_x, 2p_y, 2p_z)$ માં એકલ ભરાય છે.
વિકલ્પ $B$ $(1s^2\, 2s^2\, 2p_x^1\, 2p_y^1)$ ખોટો છે કારણ કે તે એવી સ્થિતિ દર્શાવે છે જ્યાં $2p$ પેટાકોષ અપૂર્ણ રીતે ભરાયેલ છે અને તે કક્ષકો ભરવાના યોગ્ય ક્રમ અથવા સ્થિરતાના સિદ્ધાંતનું પાલન કરતું નથી.

(C) ક્વોન્ટમ આંકના નિયમો મુજબ:
$1$. મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $(1, 2, 3, \dots)$ હોઈ શકે છે.
$2$. એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ આંક $l$ ની કિંમત $0$ થી $n-1$ સુધીની હોઈ શકે છે.
$3$. ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m$ ની કિંમત $-l$ થી $+l$ સુધીની હોઈ શકે છે.
$4$. સ્પિન ક્વોન્ટમ આંક $s$ માત્ર $+1/2$ અથવા $-1/2$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પ $C$ માં,$l = -1$ છે,જે શક્ય નથી કારણ કે $l$ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં. તેથી,આ ક્વોન્ટમ આંકનો સેટ અમાન્ય છે.

(B) કોઈપણ ઓર્બિટલ માટે નોડલ પ્લેન્સની સંખ્યા તેના એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર,$l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d$-ઓર્બિટલ માટે,$l = 2$ હોવાથી,નોડલ પ્લેન્સની સંખ્યા $2$ થાય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$d_{xy}$ ઓર્બિટલ માટે,ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $x$ અને $y$ અક્ષની વચ્ચે $xy$-સમતલમાં કેન્દ્રિત હોય છે.
બે નોડલ પ્લેન્સ $xz$-સમતલ અને $yz$-સમતલ છે,જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન મળવાની સંભાવના શૂન્ય છે.