Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Gujarati

(A) ઉર્જાનો ક્રમ નક્કી કરવા માટે,આપણે $(n+l)$ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$A. n=4, l=1 \implies n+l = 4+1 = 5$ ($4p$ ઓર્બિટલ)
$B. n=4, l=0 \implies n+l = 4+0 = 4$ ($4s$ ઓર્બિટલ)
$C. n=3, l=2 \implies n+l = 3+2 = 5$ ($3d$ ઓર્બિટલ)
$D. n=3, l=1 \implies n+l = 3+1 = 4$ ($3p$ ઓર્બિટલ)
$(n+l)$ નિયમ મુજબ,ઓછી $(n+l)$ કિંમત ધરાવતી ઓર્બિટલની ઉર્જા ઓછી હોય છે.
જો $(n+l)$ કિંમતો સમાન હોય,તો ઓછી $n$ કિંમત ધરાવતી ઓર્બિટલની ઉર્જા ઓછી હોય છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$D (n+l=4, n=3) < B (n+l=4, n=4) < C (n+l=5, n=3) < A (n+l=5, n=4)$
આમ,વધતી જતી ઉર્જાનો ક્રમ $D < B < C < A$ છે.

(A) રૂબિડિયમ $(Z=37)$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2 3d^{10} 4p^6 5s^1$ છે.
સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન $5s$ કક્ષકમાં હાજર છે.
$5s$ કક્ષક માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n=5$ છે.
તે $s$-કક્ષક હોવાથી,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l=0$ છે.
$l=0$ માટે,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m=0$ છે.
સ્પિન ક્વોન્ટમ આંક $s$ એ $+1/2$ અથવા $-1/2$ હોઈ શકે છે. તેથી,સેટ $(5, 0, 0, +1/2)$ છે.

(B) $Al$ $(Z = 13)$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^1$ છે.
છેલ્લો ઇલેક્ટ્રોન $3p$ ઓર્બિટલમાં દાખલ થાય છે.
$3p$ ઓર્બિટલ માટે,ક્વોન્ટમ નંબર્સ નીચે મુજબ છે:
મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $(n)$ = $3$.
એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $(l)$ = $1$.
મેગ્નેટિક ક્વોન્ટમ નંબર $(m)$ = $-1, 0, +1$ હોઈ શકે.
સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર $(s)$ = $+\frac{1}{2}$ અથવા $-\frac{1}{2}$ હોઈ શકે.
વિકલ્પ $B$ એ $3s$ ઓર્બિટલમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટેના ક્વોન્ટમ નંબર્સ દર્શાવે છે $(n=3, l=0, m=0, s=+\frac{1}{2})$,જે $Al$ નો છેલ્લો ઇલેક્ટ્રોન નથી. તેથી,આ સેટ છેલ્લા ઇલેક્ટ્રોન માટે શક્ય નથી.

(D) પેલેડિયમ $(Pd)$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $46$ છે.
તેની ધરા અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Kr] 4d^{10} 5s^0$ છે.
$l = 2$ નું મૂલ્ય $d$-પેટાકોષ (subshell) દર્શાવે છે.
$4d^{10}$ રચનામાં,$d$-પેટાકોષમાં $10$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
તેથી,$l = 2$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $10$ છે.

(C) આપેલ કોણીય તરંગ વિધેય $\psi_{(\theta, \phi)} = \left( \frac{15}{4\pi} \right)^{1/2} \sin \theta \cos \theta \sin \phi$ છે.
આ $d_{yz}$ ઓર્બિટલ દર્શાવે છે.
ગોળીય યામ પદ્ધતિમાં,$y = r \sin \theta \sin \phi$ અને $z = r \cos \theta$ છે.
ગુણાકાર $yz$ એ $\sin \theta \sin \phi \cos \theta$ ના પ્રમાણમાં છે,જે આપેલ કોણીય ભાગ સાથે મેળ ખાય છે.
$d_{yz}$ ઓર્બિટલ માટે નોડલ સમતલ $XY$ સમતલ $(z=0)$ અને $XZ$ સમતલ $(y=0)$ છે,જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન મળવાની સંભાવના શૂન્ય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $Cu$ $(Z=29)$ ની ઇલેક્ટ્રોનીય રચના $1s^2 \ 2s^2 \ 2p^6 \ 3s^2 \ 3p^6 \ 4s^1 \ 3d^{10}$ છે.
$s$-કક્ષકો $(l=0)$ માટે,$m_l$ હંમેશા $0$ હોય છે. $1s$ માં $2$,$2s$ માં $2$,$3s$ માં $2$ અને $4s$ માં $1$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$p$-કક્ષકો $(l=1)$ માટે,$m_l$ ના મૂલ્યો $-1, 0, +1$ છે. દરેક $p$-ઉપકોષમાં $6$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે,તેથી દરેક ($2p$ અને $3p$) માં $2$ ઇલેક્ટ્રોન $m_l=0$ ધરાવે છે.
$d$-કક્ષકો $(l=2)$ માટે,$m_l$ ના મૂલ્યો $-2, -1, 0, +1, +2$ છે. સંપૂર્ણ ભરાયેલા $3d^{10}$ ઉપકોષમાં $2$ ઇલેક્ટ્રોન $m_l=0$ ધરાવે છે.
$m_l = 0$ ધરાવતા કુલ ઇલેક્ટ્રોન: $2 (1s) + 2 (2s) + 2 (2p) + 2 (3s) + 2 (3p) + 1 (4s) + 2 (3d) = 13$.

(D) કક્ષકમાં ત્રિજ્યાવર્તી નોડની સંખ્યા $n - l - 1$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2s$ કક્ષક $(n=2, l=0)$ માટે,ત્રિજ્યાવર્તી નોડ $= 2 - 0 - 1 = 1$. આલેખમાં $1$ નોડ હોવો જોઈએ.
$2p$ કક્ષક $(n=2, l=1)$ માટે,ત્રિજ્યાવર્તી નોડ $= 2 - 1 - 1 = 0$. આલેખમાં $0$ નોડ હોવો જોઈએ.
$3s$ કક્ષક $(n=3, l=0)$ માટે,ત્રિજ્યાવર્તી નોડ $= 3 - 0 - 1 = 2$. આલેખમાં $2$ નોડ હોવો જોઈએ.
$3p$ કક્ષક $(n=3, l=1)$ માટે,ત્રિજ્યાવર્તી નોડ $= 3 - 1 - 1 = 1$. આલેખમાં $1$ નોડ હોવો જોઈએ.
આપેલા આલેખો જોતા,બધા જ લેબલ સાચા જણાય છે.

(A) $Cr$ $(Z = 24)$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^5 4s^1$ છે.
આ રચનામાં,ઇલેક્ટ્રોન $1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d,$ અને $4s$ કક્ષકોમાં હાજર છે.
વિકલ્પ $A$ એ $n = 4, l = 1$ ને અનુરૂપ છે,જે $4p$ કક્ષક દર્શાવે છે.
ક્રોમિયમ પરમાણુની ધરા-સ્થિતિમાં $4p$ કક્ષકમાં કોઈ ઇલેક્ટ્રોન ન હોવાથી,આ ક્વોન્ટમ નંબરનો સેટ $Cr$ ના કોઈ પણ ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ નથી.

(B) $3^{rd}$ મુખ્ય ઉર્જા સ્તર $(n=3)$ માં $3s$,$3p$ અને $3d$ પેટાકોષો હોય છે. આ સ્તર સંપૂર્ણપણે ભરાયેલું હોવા માટે તેમાં $2 + 6 + 10 = 18$ ઇલેક્ટ્રોન હોવા જોઈએ.
$Ar$ $(Z=18)$ માં ઇલેક્ટ્રોન રચના $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6$ છે. અહીં $3d$ પેટાકોષ ખાલી છે.
$Zn$ $(Z=30)$ માં ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar] 3d^{10} 4s^2$ છે. $3^{rd}$ સ્તર $(3s^2 3p^6 3d^{10})$ માં $18$ ઇલેક્ટ્રોન છે અને તે સંપૂર્ણ ભરાયેલું છે.
$Cu$ $(Z=29)$ માં ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar] 3d^{10} 4s^1$ છે. $3^{rd}$ સ્તર સંપૂર્ણ ભરાયેલું છે.
આમ,$Cu$ અને $Zn$ બંનેમાં $3^{rd}$ મુખ્ય ઉર્જા સ્તર સંપૂર્ણ ભરાયેલું છે.

(C) કોઈપણ કક્ષક માટે,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ નંબર $m$ એ શરત $-l \leqslant m \leqslant +l$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
વિકલ્પ $C$ માં,$l=2$ છે,તેથી $m$ માટે શક્ય મૂલ્યો $-2, -1, 0, 1, 2$ છે.
$l=2$ માટે $m=-3$ મૂલ્ય શક્ય નથી.
તેથી,$n=3, l=2, m=-3, s=1/2$ ની ગોઠવણી અશક્ય છે.

(D) $p$-કક્ષકો માટે કોણીય તરંગ વિધેય નીચે મુજબ છે:
$p_z$ કક્ષક માટે $A(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos \theta$.
આપેલ પદ $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\cos \theta = \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{\frac{3}{\pi}} \cos \theta = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos \theta$ છે.
કોણીય ભાગ માત્ર $\theta$ પર આધાર રાખે છે અને તેમાં $\cos \theta$ નો સમાવેશ થાય છે,તેથી તે $p_z$ કક્ષકને અનુરૂપ છે,જે $Z$-અક્ષ પર ગોઠવાયેલી છે.
$p_z$ કક્ષક માટે,નોડલ સમતલ $XY$ સમતલ છે,જ્યાં $\theta = 90^{\circ}$ અને $\cos 90^{\circ} = 0$ થાય છે.

(C) રેડિયલ નોડની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $n - \ell - 1 = 1$ છે.
$n = 3$ આપેલ હોવાથી: $3 - \ell - 1 = 1$.
$\ell$ માટે ઉકેલતા: $2 - \ell = 1$,તેથી $\ell = 1$ મળે છે.
ઓર્બિટલ કોણીય વેગમાનનું સૂત્ર: $\sqrt{\ell(\ell+1)} \frac{h}{2\pi}$ છે.
$\ell = 1$ મૂકતા: $\sqrt{1(1+1)} \frac{h}{2\pi} = \sqrt{2} \frac{h}{2\pi}$.

(A) $1$. $4d$ કક્ષક માટે,ગોલીય (ત્રિજ્યાવર્તી) નોડની સંખ્યા $n - l - 1$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં,$n = 4$ અને $l = 2$ છે. તેથી,$4 - 2 - 1 = 1$. $3$ હોવાનું વિધાન $FALSE$ છે.
$2$. $p_y$ કક્ષક માટે,$xz$ સમતલમાં ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા શૂન્ય હોય છે,તેથી તે કોણીય નોડ તરીકે વર્તે છે. આ $TRUE$ છે.
$3$. $s$ કક્ષકો માટે,સંભાવના ઘનતા $\psi^2$ કેન્દ્ર $(r = 0)$ પર મહત્તમ હોય છે. આ $TRUE$ છે.
$4$. $p_z$ માટે કોણીય તરંગ વિધેય $\cos \theta$ ના પ્રમાણમાં હોય છે,જ્યાં $\theta$ એ $z$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે. આ $TRUE$ છે.

(A) હુંડના મહત્તમ ગુણકતાના નિયમ મુજબ,સૌથી સ્થિર ગોઠવણી (સૌથી ઓછી ઉર્જા) તે છે જેમાં સમાંતર સ્પિન ધરાવતા અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા મહત્તમ હોય.
આપેલા વિકલ્પોમાં,ત્રણ અલગ-અલગ કક્ષકોમાં ત્રણ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી ગોઠવણી (વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવ્યા મુજબ) અર્ધ-પૂર્ણ સ્થિતિ દર્શાવે છે,જે વધુ સ્થિર છે અને તેની ઉર્જા ઓછી હોય છે,કારણ કે ઇલેક્ટ્રોનને એક જ કક્ષકમાં યુગ્મિત કરવા માટે આંતર-ઇલેક્ટ્રોનિક અપાકર્ષણને દૂર કરવું પડે છે.

(B) એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $(l)$ ઓર્બિટલનો આકાર અને સબશેલ નક્કી કરે છે.
$l$ ના મૂલ્યો સબશેલ માટે નીચે મુજબ છે:
$l = 0$ એ $s$-સબશેલ માટે
$l = 1$ એ $p$-સબશેલ માટે
$l = 2$ એ $d$-સબશેલ માટે
$l = 3$ એ $f$-સબશેલ માટે
$l = 4$ એ $g$-સબશેલ માટે
તેથી,$g$-સબશેલ માટે એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબરનું મૂલ્ય $4$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ (એક ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી સિસ્ટમ) માટે,ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા માત્ર મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ પર આધાર રાખે છે.
ઓર્બિટલની ઊર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$
આપેલા પ્રશ્નમાં,$3s$,$3p$,અને $3d$ પેટા-કોષો બધા એક જ મુખ્ય કોષ $(n=3)$ ના છે.
તેમની પાસે $n$ નું મૂલ્ય સમાન હોવાથી,તેઓ સમાન ઊર્જા ધરાવે છે (ડીજનરેટ છે).
તેથી,આ પેટા-કોષોમાંથી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા સમાન છે.
$E_1 = E_2 = E_3$
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) કોઈપણ કક્ષક માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ એ ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ. $g$ કક્ષક માટે $l = 4$ હોવાથી,$n$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય $n = l + 1 = 4 + 1 = 5$ થાય.
ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m_l$ ની કિંમત $-l$ થી $+l$ સુધીની હોય છે. $l = 4$ માટે,$m_l$ ની કિંમતો $\{-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4\}$ છે.
પેટાકોષમાં કક્ષકોની સંખ્યા $2l + 1$ દ્વારા મળે છે. $l = 4$ માટે,$2(4) + 1 = 9$ કક્ષકો હોય છે.
દરેક કક્ષક મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે,તેથી કુલ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $9 \times 2 = 18$ થાય.

(C) કક્ષકની ઊર્જા $(n + l)$ ના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$(i)$ માટે: $n = 4, l = 0 \implies n + l = 4 + 0 = 4 \ (4s \text{ કક્ષક})$.
$(ii)$ માટે: $n = 3, l = 1 \implies n + l = 3 + 1 = 4 \ (3p \text{ કક્ષક})$.
$(iii)$ માટે: $n = 3, l = 2 \implies n + l = 3 + 2 = 5 \ (3d \text{ કક્ષક})$.
$(iv)$ માટે: $n = 3, l = 0 \implies n + l = 3 + 0 = 3 \ (3s \text{ કક્ષક})$.
$(n + l)$ ના નિયમ મુજબ,જો $(n + l)$ ના મૂલ્યો અલગ હોય,તો જેનું $(n + l)$ મૂલ્ય વધારે હોય તેની ઊર્જા વધારે હોય છે.
જો $(n + l)$ ના મૂલ્યો સમાન હોય,તો જેનું $n$ મૂલ્ય વધારે હોય તેની ઊર્જા વધારે હોય છે.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $(iii) \ (5) > (i) \ (4, n=4) > (ii) \ (4, n=3) > (iv) \ (3)$.
આમ,ઊર્જાનો ઘટતો ક્રમ $(iii) > (i) > (ii) > (iv)$ છે.

(B) $p$ કક્ષક ડમ્બેલ આકારની હોય છે.
$p$ કક્ષકમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંકના ત્રણ મૂલ્યોમાંથી કોઈપણ એક ધરાવી શકે છે: $0, +1$,અથવા $-1$.

(A) $s$-કક્ષકનો આકાર ગોળાકાર હોય છે,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રની આસપાસ બધી દિશાઓમાં ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના સમાન હોય છે. તેથી,$s$-કક્ષકને અદિશીય માનવામાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત,$p$,$d$,અને $f$ કક્ષકો અવકાશમાં ચોક્કસ દિશાકીય અભિવિન્યાસ ધરાવે છે.

(A) જે કક્ષકોની ઉર્જા સમાન હોય પરંતુ તેમનું ઓરિએન્ટેશન (દિગ્વિન્યાસ) અલગ હોય તેને ડીજનરેટ કક્ષકો કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$3d$-કક્ષકો માટે $l = 2$ હોય છે,જે $m = -2, -1, 0, +1, +2$ મૂલ્યો આપે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $d_{xy}, d_{yz}, d_{zx}, d_{x^2-y^2}$ અને $d_{z^2}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા પાંચ અલગ-અલગ ઓરિએન્ટેશન છે,જે તમામ સમાન ઉર્જા ધરાવે છે.

(C) મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 4$ સૂચવે છે કે તે $4^{th}$ કોષ છે.
ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l = 3$ એ $f$ સબશેલ દર્શાવે છે ($l=0$ એટલે $s$,$l=1$ એટલે $p$,$l=2$ એટલે $d$,$l=3$ એટલે $f$).
આથી,ઇલેક્ટ્રોન $4f$ સબશેલમાં છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ક્વોન્ટમ નંબર્સ માટેના નિયમો નીચે મુજબ છે:
$1$. $n$ (મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર) કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $(1, 2, 3, \dots)$ હોઈ શકે છે.
$2$. $l$ (એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર) $0$ થી $n-1$ સુધીની કિંમત ધરાવી શકે છે.
$3$. $m$ (ચુંબકીય ક્વોન્ટમ નંબર) $-l$ થી $+l$ સુધીની કિંમત ધરાવી શકે છે.
$4$. $s$ (સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર) $+1/2$ અથવા $-1/2$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
- વિકલ્પ $B$ માં,$n=3, l=2$ માટે $m$ ની કિંમત $-2$ થી $+2$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ. અહીં $m = -3$ છે,જે શક્ય નથી.

(C) કોઈપણ મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n$ માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l$ ની કિંમત $0$ થી $n-1$ સુધીની હોઈ શકે છે.
વિકલ્પ $A$ માં,$n=2$ છે,તેથી $l$ ની કિંમત $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે. અહીં $l=0$ છે,જે સાચું છે.
વિકલ્પ $B$ માં,$n=4$ છે,તેથી $l$ ની કિંમત $0, 1, 2, 3$ હોઈ શકે. અહીં $l=3$ છે,જે સાચું છે.
વિકલ્પ $C$ માં,$n=2$ છે,તેથી $l$ ની કિંમત માત્ર $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે. $n=2$ માટે $l=2$ શક્ય નથી.
તેથી,વિકલ્પ $C$ માં આપેલ ક્વોન્ટમ નંબરનો સેટ ખોટો છે.

(A) ક્વોન્ટમ નંબર્સના માન્ય સેટ માટે,નીચેના નિયમોનું પાલન થવું જોઈએ:
$1$. $n$ એ ધન પૂર્ણાંક $(1, 2, 3, \dots)$ છે.
$2$. $l$ ની કિંમત $0$ થી $n-1$ સુધી હોઈ શકે છે.
$3$. $m$ ની કિંમત $-l$ થી $+l$ સુધી (શૂન્ય સહિત) હોઈ શકે છે.
$4$. $s$ ની કિંમત માત્ર $+1/2$ અથવા $-1/2$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન:
વિકલ્પ $A$: $n=5, l=2, m=+2, s=-1/2$. અહીં $l < n$ $(2 < 5)$ અને $|m| \le l$ $(2 \le 2)$ છે. આ એક માન્ય સેટ છે.
વિકલ્પ $B$: $n=5, l=5$. આ અમાન્ય છે કારણ કે $l$ એ $n$ કરતા નાનો હોવો જોઈએ.
વિકલ્પ $C$: $s=0$. આ અમાન્ય છે કારણ કે $s$ એ $\pm 1/2$ હોવો જોઈએ.
વિકલ્પ $D$: $m=+3, l=2$. આ અમાન્ય છે કારણ કે $|m|$ એ $l$ કરતા મોટો ન હોઈ શકે $(3 > 2)$.

(A) મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ એ આપેલ ઉર્જા સ્તરમાં હાજર સબશેલની સંખ્યા નક્કી કરે છે.
કોઈપણ મુખ્ય ક્વોન્ટમ સ્તર $n$ માટે,સબશેલની સંખ્યા $n$ જેટલી હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $n = 1$ હોય,તો $1$ સબશેલ $(1s)$ હોય છે.
જો $n = 2$ હોય,તો $2$ સબશેલ ($2s$ અને $2p$) હોય છે.
તેથી,$n^{th}$ ક્વોન્ટમ સ્તરમાં સબશેલની સંખ્યા $n$ છે.

(D) મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ધરાવતી ઉર્જા સપાટીમાં કક્ષકોની સંખ્યા $n^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 3$ માટે,કક્ષકોની સંખ્યા $3^2 = 9$ થાય છે.
આ $9$ કક્ષકોમાં $3s$ પેટાકોષમાં $1$ કક્ષક,$3p$ પેટાકોષમાં $3$ કક્ષકો અને $3d$ પેટાકોષમાં $5$ કક્ષકોનો સમાવેશ થાય છે $(1 + 3 + 5 = 9)$.

(C) આપેલ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ માટે,પેટાકોષોની સંખ્યા $n$ જેટલી હોય છે. તેથી,$n = 3$ માટે,પેટાકોષોની સંખ્યા $3$ છે (જે $3s, 3p, 3d$ છે).
કોષમાં કક્ષકોની કુલ સંખ્યા $n^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$n = 3$ માટે,કક્ષકોની સંખ્યા $3^2 = 9$ છે.

(B) એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ આંક $l$ એ કક્ષકનો પ્રકાર નક્કી કરે છે:
$l = 0$ એટલે $s$-કક્ષક,
$l = 1$ એટલે $p$-કક્ષક,
$l = 2$ એટલે $d$-કક્ષક,
$l = 3$ એટલે $f$-કક્ષક.
અહીં $l = 2$ આપેલ છે,તેથી કક્ષકનો પ્રકાર $d$ છે.
કક્ષકોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $(2l + 1)$ છે.
$l = 2$ માટે,કક્ષકોની સંખ્યા $= 2(2) + 1 = 5$.
આમ,$l = 2$ માટે $5$ કક્ષકો $d$ પ્રકારની હોય છે.

(C) $d_{xy}$ ઓર્બિટલમાં ચાર લોબ્સ હોય છે જે $xy-$ સમતલમાં આવેલા હોય છે.
આ લોબ્સ $x$ અને $y$ અક્ષની વચ્ચે ગોઠવાયેલા હોય છે.
$d_{xy}$ ઓર્બિટલ માટે મહત્તમ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા (સંભાવના) $x$ અને $y$ બંને અક્ષોથી $45^o$ ના ખૂણે હોય છે,જે અક્ષોના દ્વિભાજકને અનુરૂપ છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર $(m_s)$ ઇલેક્ટ્રોનના આંતરિક કોણીય વેગમાનનું વર્ણન કરે છે.
જોકે તેને ઘણીવાર ઇલેક્ટ્રોન તેની ધરી પર ફરે છે તેમ કલ્પવામાં આવે છે,પરંતુ આ એક સરળ મોડેલ છે.
ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં,$+1/2$ અને $-1/2$ મૂલ્યો બે અલગ ક્વોન્ટમ મિકેનિકલ સ્પિન અવસ્થાઓ દર્શાવે છે જેનો કોઈ સીધો શાસ્ત્રીય (classical) અનુરૂપ નથી.

(D) $n$ ના આપેલ મૂલ્ય માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ આંક $l$ ની કિંમતો $0$ થી $(n-1)$ સુધીની હોય છે.
ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m$ ની કિંમતો $-l$ થી $+l$ સુધીની હોય છે.
અહીં $m = -3$ આપેલ છે,તેથી $l$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય $3$ હોવું જોઈએ (કારણ કે $|m| \leq l$).
જો $l = 3$ હોય,તો મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ઓછામાં ઓછો $n = l + 1 = 3 + 1 = 4$ હોવો જોઈએ.
તેથી,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ એ $4$ અથવા તેનાથી વધુ હોઈ શકે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી $4$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l$ માટે,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ નંબર $m$ ની કિંમત $-l$ થી $+l$ સુધીની હોય છે.
$s$ કક્ષક માટે,$l = 0$,તેથી $m$ માત્ર $0$ હોઈ શકે.
$p$ કક્ષક માટે,$l = 1$,તેથી $m$ ની કિંમત $-1, 0, +1$ હોઈ શકે.
$d$ કક્ષક માટે,$l = 2$,તેથી $m$ ની કિંમત $-2, -1, 0, +1, +2$ હોઈ શકે.
$f$ કક્ષક માટે,$l = 3$,તેથી $m$ ની કિંમત $-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3$ હોઈ શકે.
અહીં આપેલ ચુંબકીય ક્વોન્ટમ નંબર $m = -1$ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન $s$ કક્ષકમાં ન હોઈ શકે કારણ કે $l = 0$ માટે $m$ હંમેશા $0$ જ હોય છે.

(D) કોઈપણ કક્ષક માટે,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m_l$ એ ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l$ પર આધાર રાખે છે,જ્યાં $m_l$ ની કિંમત $-l$ થી $+l$ સુધીની હોય છે.
આપેલ $m_l = 2$ માટે,$l$ ની શક્ય કિંમતો શરત $l \ge |m_l|$ નું પાલન કરતી હોવી જોઈએ.
તેથી,$l$ ની કિંમત ઓછામાં ઓછી $2$ હોવી જોઈએ (એટલે કે $n = 4$ માટે $l = 2$ અથવા $l = 3$).
વિકલ્પ $D$ જણાવે છે કે $l = 0, 1, 2 \text{ અથવા } 3$ હોઈ શકે છે,જે ખોટું છે કારણ કે જ્યારે $m_l = 2$ હોય ત્યારે $l$ ની કિંમત $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે નહીં.

(D) ક્વોન્ટમ આંક માટેના નિયમો નીચે મુજબ છે:
$1$. મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $(1, 2, 3, \dots)$ હોઈ શકે છે.
$2$. આપેલ $n$ માટે,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $(l)$ ની કિંમત $0$ થી $(n-1)$ સુધીની હોઈ શકે છે.
$3$. આપેલ $l$ માટે,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $(m)$ ની કિંમત $-l$ થી $+l$ સુધીની (શૂન્ય સહિત) હોઈ શકે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
- વિકલ્પ $A$: $n=1$ માટે,$l=0$ હોઈ શકે. $l=0$ માટે,$m=0$ હોઈ શકે. આ સેટ સાચો છે.
- વિકલ્પ $B$: $n=2$ માટે,$l=0$ અથવા $1$ હોઈ શકે. જો $l=0$,તો $m=0$. જો $l=1$,તો $m=-1, 0, +1$. આ સેટ સાચો છે.
- વિકલ્પ $C$: $n=3$ માટે,$l=0, 1, 2$ હોઈ શકે. જો $l=0$,તો $m=0$. જો $l=1$,તો $m=-1, 0, +1$. જો $l=2$,તો $m=-2, -1, 0, +1, +2$. આ સેટ સાચો છે.
આમ,બધા જ સેટ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના નિયમોનું પાલન કરે છે,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) પાઉલીના અપવર્જનના સિદ્ધાંત મુજબ,એક પરમાણુમાં કોઈપણ બે ઇલેક્ટ્રોન માટે ચારેય ક્વોન્ટમ આંક $(n, l, m_l, m_s)$ સમાન હોઈ શકે નહીં.
વિકલ્પ $A$ મુજબ બે ઇલેક્ટ્રોન $n, l$ અને $m$ ના સમાન મૂલ્યો ધરાવી શકે છે,જે શક્ય છે જો તેમની સ્પિન અલગ હોય.
વિકલ્પ $B$ માં $4d$ ઇલેક્ટ્રોન માટે $n = 4$ અને $l = 3$ આપેલ છે. $d-$કક્ષક માટે $l = 2$ હોવું જોઈએ,જ્યારે $l = 3$ એ $f-$કક્ષક માટે છે. તેથી આ વિધાન અશક્ય છે.

(B) $2s$-ઓર્બિટલમાં ઇલેક્ટ્રોનનું કક્ષીય કોણીય વેગમાન શૂન્ય છે.
એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l$ ધરાવતી સબશેલ માટે,કક્ષીય કોણીય વેગમાનનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$L = \frac{h}{2\pi} \sqrt{l(l+1)}$
$2s$ ઓર્બિટલ માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l = 0$ છે.
સૂત્રમાં $l$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = \frac{h}{2\pi} \sqrt{0(0+1)} = 0$

(B) ઓર્બિટલ કોણીય વેગમાનનું સૂત્ર $\frac{h}{2 \pi} \sqrt{\ell(\ell+1)}$ છે.
$s$ ઓર્બિટલ માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $\ell = 0$ હોય છે.
સૂત્રમાં $\ell = 0$ મૂકતા: $\text{કોણીય વેગમાન} = \frac{h}{2 \pi} \sqrt{0(0+1)} = 0$.

(A) કક્ષકીય કોણીય વેગમાન $(L)$ નું સૂત્ર $L = \sqrt{l(l+1)} \hbar$ છે.
$d$ ઇલેક્ટ્રોન માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ આંક $(l) = 2$ થાય છે.
સૂત્રમાં $l$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = \sqrt{2(2+1)} \hbar = \sqrt{2 \times 3} \hbar = \sqrt{6} \hbar$.
તેથી,$d$ ઇલેક્ટ્રોન માટે કક્ષકીય કોણીય વેગમાન $\sqrt{6} \hbar$ છે.

(D) પરમાણુની કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનને સંપૂર્ણ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે $4$ ક્વોન્ટમ નંબરની જરૂર પડે છે.
આમ,ચારેય ક્વોન્ટમ નંબર $n, l, m$ અને $s$ જરૂરી છે. આ પાઉલીના અપવર્જનના સિદ્ધાંત મુજબ છે,જે મુજબ પરમાણુમાં કોઈપણ બે ઇલેક્ટ્રોન માટે ચારેય ક્વોન્ટમ નંબરનો સેટ સમાન હોઈ શકે નહીં.

(D) મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની મુખ્ય ઉર્જા કક્ષા અથવા કોષ નક્કી કરે છે.
તે મુખ્યત્વે કક્ષકના કદ અને કેન્દ્રથી ઇલેક્ટ્રોનના સરેરાશ અંતર સાથે સંબંધિત છે.
જેમ $n$ નું મૂલ્ય વધે છે,તેમ કક્ષકનું કદ અને ઉર્જા વધે છે.

(C) ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $(m_l)$ એ અવકાશમાં કક્ષકોના દિગ્વિન્યાસ (orientation) સાથે સંબંધિત છે.
તે કક્ષકોના ચોક્કસ અવકાશી દિગ્વિન્યાસને નક્કી કરે છે.
તે પેટાકોષમાં રહેલી કક્ષકોની સંખ્યા દર્શાવે છે.
તે ચુંબકીય ($Zeeman$ અસર) અને વિદ્યુત ($Stark$ અસર) ક્ષેત્રોની હાજરીમાં વર્ણપટ રેખાઓના વિભાજનને સમજાવે છે.

(C) મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક,જેને $n$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે મુખ્ય ઉર્જા સ્તર અથવા કક્ષા નક્કી કરે છે જેમાં ઇલેક્ટ્રોન રહેલો છે.
તે કક્ષકના કદ અને કેન્દ્રથી ઇલેક્ટ્રોનના સરેરાશ અંતર વિશે માહિતી આપે છે.
જેમ $n$ નું મૂલ્ય વધે છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોન સરેરાશ રીતે કેન્દ્રથી દૂર જાય છે.

(D) પરમાણ્વીય કક્ષકો એ પરમાણુના કેન્દ્રની આસપાસનો અવકાશનો એવો વિસ્તાર છે જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના મહત્તમ હોય છે.
બોહરની કક્ષાઓ જે વર્તુળાકાર માર્ગો છે તેનાથી વિપરીત,પરમાણ્વીય કક્ષકો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ઇલેક્ટ્રોનના તરંગ વિધેયનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(D) પાઉલીના અપવર્જનના સિદ્ધાંત મુજબ,કોઈપણ એક કક્ષક વધુમાં વધુ $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે,અને આ ઇલેક્ટ્રોન વિરુદ્ધ સ્પિન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
તેથી,કોઈપણ $p-$ કક્ષક વિરુદ્ધ સ્પિન ધરાવતા $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે.

(B) $p$-કક્ષક ડમ્બ-બેલ આકારની હોય છે.
$p$-કક્ષકમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંકના ત્રણ મૂલ્યો પૈકી કોઈ પણ એક ધરાવી શકે છે: $0, +1$,અથવા $-1$.

(D) કોઈપણ પેટાકોષ માટે,કક્ષકોની સંખ્યા $(2l + 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f-$ પેટાકોષ માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l = 3$ છે.
કક્ષકોની સંખ્યા $= 2(3) + 1 = 7$.
દરેક કક્ષક મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે,તેથી $f-$ પેટાકોષમાં ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ સંખ્યા $7 \times 2 = 14$ છે.

(C) કોઈપણ મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n$ માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l$ ની કિંમતો $0$ થી $n-1$ સુધીની હોઈ શકે છે.
આપેલ $l$ માટે,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ નંબર $m$ ની કિંમતો $-l$ થી $+l$ સુધીની (શૂન્ય સહિત) હોઈ શકે છે.
વિકલ્પ $C$ માં,$n=3$ અને $l=2$ છે. $m$ માટે માન્ય કિંમતો $-2, -1, 0, +1, +2$ છે.
તેથી,$m=-3$ એ $l=2$ માટે માન્ય મર્યાદાની બહાર હોવાથી,આ ગોઠવણી અશક્ય છે.

(D) કોઈપણ ઓર્બિટલ માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ એ ઓર્બિટલ સંજ્ઞાના સહગુણક દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. $2p$ માટે,$n = 2$ છે.
એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ આંક $l$ એ સબશેલનો પ્રકાર દર્શાવે છે. $s$-ઓર્બિટલ માટે $l = 0$,$p$-ઓર્બિટલ માટે $l = 1$,$d$-ઓર્બિટલ માટે $l = 2$ અને $f$-ઓર્બિટલ માટે $l = 3$ હોય છે.
તેથી,$2p$-ઓર્બિટલ્સ માટે $n = 2$ અને $l = 1$ થાય છે.

(D) $4d$ ઇલેક્ટ્રોન માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n = 4$ છે.
$d$-ઓર્બિટલ માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l = 2$ છે.
મેગ્નેટિક ક્વોન્ટમ નંબર $m$ ની કિંમત $-l$ થી $+l$ સુધીની કોઈપણ પૂર્ણાંક સંખ્યા હોઈ શકે છે,એટલે કે $-2, -1, 0, +1, +2$.
સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર $s$ ની કિંમત $+1/2$ અથવા $-1/2$ હોઈ શકે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $D$ $(n=4, l=2, m=1, s=-1/2)$ એ $4d$ ઇલેક્ટ્રોન માટેની તમામ શરતો સંતોષે છે.