Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Gujarati

(D) કક્ષકનો આકાર ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $(l)$ પર આધાર રાખે છે.
$s$-કક્ષકો $(l=0)$ માટે,આકાર ગોલીય હોય છે.
$p$-કક્ષકો $(l=1)$ માટે,આકાર બિનગોલીય (ડમ્બબેલ આકાર) હોય છે.
ચાલો ઇલેક્ટ્રોનીય રચના તપાસીએ:
$He$ $(Z=2)$: $1s^2$ (માત્ર $s$-કક્ષકો,ગોલીય).
$Be$ $(Z=4)$: $1s^2 2s^2$ (માત્ર $s$-કક્ષકો,ગોલીય).
$Li^{+}$ ($Z=3$,$2$ ઇલેક્ટ્રોન): $1s^2$ (માત્ર $s$-કક્ષકો,ગોલીય).
$B$ $(Z=5)$: $1s^2 2s^2 2p^1$ ($p$-કક્ષક ધરાવે છે,જે બિનગોલીય છે).
તેથી,$B$ માં બિનગોલીય ઇલેક્ટ્રોન કક્ષકો છે.

(B) કક્ષકનો આકાર ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $(l)$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$l = 0$ માટે,કક્ષક ગોળાકાર ($s$-કક્ષક) હોય છે.
$l = 1$ માટે,કક્ષક ડમ્બેલ આકારની ($p$-કક્ષક) હોય છે.
$l = 2$ માટે,કક્ષક ડબલ ડમ્બેલ આકારની ($d$-કક્ષક) હોય છે.
તેથી,ડમ્બેલ આકારની કક્ષક માટે ગૌણ ક્વોન્ટમ આંકનું મૂલ્ય $1$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,કક્ષકની ઊર્જા ફક્ત મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ પર આધાર રાખે છે.
આનું કારણ એ છે કે હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં માત્ર એક જ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે,અને તેમાં ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન અપાકર્ષણ હોતું નથી જે ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $(l)$ ના આધારે ઊર્જાનું વિભાજન કરી શકે.
તેથી,ઊર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) ડીજનરેટ કક્ષકો એટલે એવી કક્ષકો જે સમાન ઊર્જા ધરાવે છે.
બહુ-ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા પરમાણુઓ માટે,એક જ પેટાકોષમાં (સમાન $n$ અને $l$ મૂલ્યો ધરાવતી) કક્ષકો ડીજનરેટ હોય છે.
સેટ $3p_x, 3p_y, 3p_z$ માં,ત્રણેય કક્ષકો એક જ મુખ્ય કોષ $(n=3)$ અને એક જ પેટાકોષ $(l=1)$ માં આવેલી છે.
તેથી,તેમની ઊર્જા સમાન છે અને તેઓ ડીજનરેટ છે.

(B) કક્ષકની શક્તિ $(n + l)$ ના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$5p$ માટે: $n=5, l=1$,તેથી $(n + l) = 6$.
$4f$ માટે: $n=4, l=3$,તેથી $(n + l) = 7$.
$6s$ માટે: $n=6, l=0$,તેથી $(n + l) = 6$.
$5d$ માટે: $n=5, l=2$,તેથી $(n + l) = 7$.
$(n + l)$ ના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$5p$ અને $6s$ સમાન મૂલ્ય $(6)$ ધરાવે છે,અને $4f$ અને $5d$ સમાન મૂલ્ય $(7)$ ધરાવે છે.
જ્યારે $(n + l)$ ના મૂલ્યો સમાન હોય,ત્યારે જે કક્ષક માટે $n$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય તેની શક્તિ ઓછી હોય છે.
આમ,$5p < 6s$ અને $4f < 5d$.
તેથી,સાચો ક્રમ $5p < 6s < 4f < 5d$ છે.

(C) પાઉલીના અપવર્જનના નિયમ મુજબ,એક કક્ષકમાં વિરુદ્ધ સ્પિન ધરાવતા મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાઈ શકે છે.
$p$ પેટાકોષમાં ત્રણ કક્ષકો $(p_x, p_y, p_z)$ હોય છે,તેથી દરેક વ્યક્તિગત $p$ કક્ષક માત્ર $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે.

(C) મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ધરાવતી કક્ષા માટે,કુલ કક્ષકોની સંખ્યા $n^2$ છે.
દરેક કક્ષકમાં મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાઈ શકે છે,જેમાંથી એકની સ્પિન $+1/2$ અને બીજાની સ્પિન $-1/2$ હોય છે.
તેથી,કક્ષામાં સમાન સ્પિન ધરાવતા (દા.ત. માત્ર $+1/2$ અથવા માત્ર $-1/2$) ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા કુલ કક્ષકોની સંખ્યા જેટલી એટલે કે $n^2$ થાય છે.

(A) $Aufbau$ ના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન શક્તિના વધતા ક્રમમાં કક્ષકોમાં ભરાય છે.
$np$ કક્ષક સંપૂર્ણ ભરાઈ ગયા પછી,આગામી ઇલેક્ટ્રોન તેના પછીની ઉચ્ચ શક્તિ ધરાવતી કક્ષકમાં દાખલ થાય છે.
આપેલ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ માટે,શક્તિનો ક્રમ $(n+l)$ ના નિયમનું પાલન કરે છે.
$np$ પછી,ભરવાની આગામી કક્ષક $(n+1)s$ કક્ષક છે.

(A) આઉફબાઉના સિદ્ધાંત મુજબ,કક્ષકોમાં ઇલેક્ટ્રોન ભરાવાનો ક્રમ $(n+l)$ ના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$5f$ કક્ષક માટે,$n=5$ અને $l=3$,તેથી $(n+l) = 5+3 = 8$.
$6d$ કક્ષક માટે,$n=6$ અને $l=2$,તેથી $(n+l) = 6+2 = 8$.
જ્યારે $(n+l)$ ના મૂલ્યો સમાન હોય,ત્યારે જે કક્ષક માટે $n$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય તે પહેલા ભરાય છે.
ઉર્જાના ક્રમ $1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d, 7p$ મુજબ,$5f$ પછી તરત જ $6d$ કક્ષક ભરાય છે.

(C) પૌલીના નિષેધ સિદ્ધાંત મુજબ $1s$ કક્ષકમાં મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાઈ શકે છે,જે જણાવે છે કે પરમાણુમાં કોઈપણ બે ઇલેક્ટ્રોન માટે ચારેય ક્વોન્ટમ આંક સમાન હોઈ શકે નહીં. કક્ષક $n$,$l$ અને $m_l$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,એક જ કક્ષકમાં બે ઇલેક્ટ્રોનને અલગ પાડવા માટે માત્ર સ્પિન ક્વોન્ટમ આંક ($m_s = +1/2$ અથવા $-1/2$) જ બાકી રહે છે. તેથી,$1s^7$ જેવી રચના અશક્ય છે કારણ કે તે એક જ કક્ષકમાં $7$ ઇલેક્ટ્રોન મૂકવાનો પ્રયાસ કરે છે.

(C) હૂન્ડનો મહત્તમ ગુણકતાનો નિયમ જણાવે છે કે સમાન ઊર્જા ધરાવતી કક્ષકો (degenerate orbitals) માં,જ્યાં સુધી દરેક કક્ષકમાં એક-એક ઇલેક્ટ્રોન ન ભરાય ત્યાં સુધી ઇલેક્ટ્રોનની જોડી બનતી નથી. આ ઇલેક્ટ્રોનની સૌથી સ્થાયી ગોઠવણી સુનિશ્ચિત કરે છે.

(A) $Cr$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $24$ છે. તેની ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar] 3d^5 4s^1$ છે.
$l = 0$ ધરાવતી કક્ષકો $s$-કક્ષકો છે.
આ $1s, 2s, 3s$ અને $4s$ છે.
દરેક $s$-કક્ષક માટે $1$ કક્ષક હોય છે.
કુલ $s$-કક્ષકોની સંખ્યા = $1 (1s) + 1 (2s) + 1 (3s) + 1 (4s) = 4$ કક્ષકો.
તેથી,$l = 0$ ધરાવતી $4$ કક્ષકો છે.

(A) $Na$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $11$ છે. તેની ઇલેક્ટ્રોનીય રચના $1s^2 2s^2 2p^6 3s^1$ છે.
આપણે એવા ઇલેક્ટ્રોન શોધવાના છે જેના માટે $l + m = 0$ થાય.
$s$-કક્ષક માટે,$l = 0$ અને $m = 0$. તેથી,$l + m = 0 + 0 = 0$.
$p$-કક્ષક માટે,$l = 1$ અને $m = -1, 0, +1$.
- $m = -1$ માટે,$l + m = 1 + (-1) = 0$.
- $m = 0$ માટે,$l + m = 1 + 0 = 1$.
- $m = +1$ માટે,$l + m = 1 + 1 = 2$.
$l + m = 0$ હોય તેવા ઇલેક્ટ્રોનની ગણતરી:
- $1s^2$: બંને ઇલેક્ટ્રોન માટે $l=0, m=0$,તેથી $l+m=0$. ($2$ ઇલેક્ટ્રોન)
- $2s^2$: બંને ઇલેક્ટ્રોન માટે $l=0, m=0$,તેથી $l+m=0$. ($2$ ઇલેક્ટ્રોન)
- $2p^6$: માત્ર $2p_y$ કક્ષક (જ્યાં $m=-1$) માટે $l+m=0$ થાય છે. આ કક્ષકમાં $2$ ઇલેક્ટ્રોન છે. ($2$ ઇલેક્ટ્રોન)
- $3s^1$: આ ઇલેક્ટ્રોન માટે $l=0, m=0$,તેથી $l+m=0$. ($1$ ઇલેક્ટ્રોન)
કુલ ઇલેક્ટ્રોન = $2 + 2 + 2 + 1 = 7$.

(A) આપેલ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 3$ માટે,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
$l = 0$ ($3s$ કક્ષક) માટે,$m_l = 0$.
$l = 1$ ($3p$ કક્ષક) માટે,$m_l = -1, 0, +1$.
$l = 2$ ($3d$ કક્ષક) માટે,$m_l = -2, -1, 0, +1, +2$.
$m_l = 1$ ની શરત $3p$ કક્ષક $(m_l = 1)$ અને $3d$ કક્ષક $(m_l = 1)$ દ્વારા સંતોષાય છે.
દરેક કક્ષક વિરુદ્ધ સ્પિન ધરાવતા મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે.
તેથી,$m_l = 1$ ધરાવતી $3p$ કક્ષક $2$ ઇલેક્ટ્રોન અને $m_l = 1$ ધરાવતી $3d$ કક્ષક $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે.
કુલ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા = $2 + 2 = 4$.

(C) આયર્ન $(Fe)$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $26$ છે.
$Fe$ ની ઇલેક્ટ્રોનીય રચના $[Ar] 3d^6 4s^2$ છે.
$3d$ પેટાકોષમાં $6$ ઇલેક્ટ્રોન છે. હુન્ડના નિયમ મુજબ,ગોઠવણી આ મુજબ છે: $1, 1, 1, 1, 1$ (એક-એક ઇલેક્ટ્રોન) અને $1$ (યુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન).
અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(n)$ = $4$.
કુલ સ્પિન $(S)$ ની ગણતરી $n \times \frac{1}{2} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ તરીકે થાય છે.
તેથી,કુલ સ્પિન $\pm 2$ થશે.

(C) $4s$ કક્ષક એ $n=4$ કોષમાં આવેલી એકમાત્ર કક્ષક છે.
પાઉલીના અપવર્જનના નિયમ મુજબ,એક કક્ષકમાં મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન રહી શકે છે,જેમાંથી એકનું સ્પિન $+1/2$ અને બીજાનું સ્પિન $-1/2$ હોય છે.
તેથી,$4s$ કક્ષકમાં સ્પિન ક્વોન્ટમ આંક $-1/2$ ધરાવતો માત્ર $1$ ઇલેક્ટ્રોન હોઈ શકે છે.

(D) આપેલ ક્વોન્ટમ આંક $n = 4, l = 0, m = 0$ એ $4s$ કક્ષક દર્શાવે છે.
આ સૂચવે છે કે સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન $4s$ પેટાકોશમાં છે.
પરમાણુની ઇલેક્ટ્રોનીય રચના $4s^1$ અથવા $4s^2$ માં પૂર્ણ થવી જોઈએ.
જો રચના $4s^1$ માં પૂર્ણ થાય,તો તે તત્ત્વ પોટેશિયમ $(K)$ છે,જેનો પરમાણુક્રમાંક $19$ છે.
જો રચના $4s^2$ માં પૂર્ણ થાય,તો તે તત્ત્વ કેલ્શિયમ $(Ca)$ છે,જેનો પરમાણુક્રમાંક $20$ છે.
તેથી,પરમાણુક્રમાંક $19$ અથવા $20$ હોઈ શકે છે.

(A) સૌથી બહારની કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક આયનની ઇલેક્ટ્રોન રચના લખીએ છીએ:
$1$. $Cu^{+}$ $(Z=29)$: ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar] 3d^{10}$ છે. સૌથી બહારની કક્ષા $3$જી કક્ષા છે,જેમાં $18$ ઇલેક્ટ્રોન છે ($3s^2 3p^6 3d^{10} = 18$ ઇલેક્ટ્રોન).
$2$. $K^{+}$ $(Z=19)$: ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ne] 3s^2 3p^6$ છે. સૌથી બહારની કક્ષા $3$જી કક્ષા છે,જેમાં $8$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$3$. $Cs^{+}$ $(Z=55)$: ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Xe] 6s^0$ છે. સૌથી બહારની કક્ષા $5$મી કક્ષા છે,જેમાં $18$ ઇલેક્ટ્રોન છે ($5s^2 5p^6 5d^{10} = 18$ ઇલેક્ટ્રોન).
$4$. $Cl^{-}$ $(Z=17)$: ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ne] 3s^2 3p^6$ છે. સૌથી બહારની કક્ષા $3$જી કક્ષા છે,જેમાં $8$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$Cu^{+}$ અને $Cs^{+}$ બંને સૌથી બહારની કક્ષામાં $18$ ઇલેક્ટ્રોન હોવાની શરત સંતોષે છે. જોકે,પ્રમાણિત રસાયણશાસ્ત્રના પ્રશ્નોમાં,$Cu^{+}$ એ આ વિશિષ્ટ રચના માટે સૌથી સામાન્ય જવાબ છે.

(C) $p_y$ કક્ષકની ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $y$-અક્ષ પર કેન્દ્રિત હોય છે.
નોડલ સમતલ એ એવું સમતલ છે જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન મળવાની સંભાવના શૂન્ય હોય છે.
$p_y$ કક્ષક માટે,$xz$-સમતલમાં ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા શૂન્ય હોય છે.
તેથી,$zx$ સમતલ એ $p_y$ કક્ષક માટેનું નોડલ સમતલ છે.

(D) કક્ષકમાં કોણીય નોડની સંખ્યા એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર,$l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$s-$ કક્ષક માટે,$l = 0$ (કોણીય નોડની સંખ્યા = $0$).
$p-$ કક્ષક માટે,$l = 1$ (કોણીય નોડની સંખ્યા = $1$).
$d-$ કક્ષક માટે,$l = 2$ (કોણીય નોડની સંખ્યા = $2$).
$f-$ કક્ષક માટે,$l = 3$ (કોણીય નોડની સંખ્યા = $3$).
તેથી,$d-$ કક્ષક બે કોણીય નોડ ધરાવે છે.

(B) કક્ષકમાં રેડિયલ નોડની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $n - l - 1$ છે.
$4p$ કક્ષક માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 4$ અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l = 1$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{રેડિયલ નોડ} = 4 - 1 - 1 = 2$.
તેથી,રેડિયલ નોડની સંખ્યા $2$ છે.

(B) કક્ષકમાં નોડલ સમતલની સંખ્યા એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ આંક,$l$ ના મૂલ્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d$-કક્ષક માટે,$l = 2$ થાય છે.
તેથી,નોડલ સમતલની સંખ્યા $l = 2$ જેટલી હોય છે.

(C) કક્ષકમાં રેડિયલ નોડની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Radial nodes} = n - l - 1$ છે.
$2s$ કક્ષક માટે,$n = 2$ અને $l = 0$.
$\text{Radial nodes} = 2 - 0 - 1 = 1$.
હવે,આપેલા વિકલ્પો માટે રેડિયલ નોડની ગણતરી કરીએ:
$(A)$ $3d$: $n = 3, l = 2 \implies 3 - 2 - 1 = 0$.
$(B)$ $5s$: $n = 5, l = 0 \implies 5 - 0 - 1 = 4$.
$(C)$ $5f$: $n = 5, l = 3 \implies 5 - 3 - 1 = 1$.
$(D)$ $2p$: $n = 2, l = 1 \implies 2 - 1 - 1 = 0$.
આમ,$2s$ કક્ષક અને $5f$ કક્ષક બંનેમાં $1$ રેડિયલ નોડ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $s$-કક્ષક માટે,ત્રિજ્યાવર્તી નોડની સંખ્યા $(n - 1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
આપેલ છે કે નોડની સંખ્યા $(n - 1)$ છે,જે સીધી રીતે $ns$ કક્ષકને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ ઇલેક્ટ્રોન રચના માટે એક્સચેંઝની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $N = \frac{n(n-1)}{2}$ છે,જ્યાં $n$ એ સમાંતર સ્પિન ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે.
$3d^5$ રચના માટે,હુન્ડના નિયમ મુજબ તમામ $5$ ઇલેક્ટ્રોન સમાંતર સ્પિન ધરાવે છે.
સૂત્રમાં $n = 5$ મૂકતા:
$N = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
આમ,કુલ $10$ એક્સચેંઝ શક્ય છે.

(A) વિભેદન અસર (penetration effect) એટલે કક્ષકની કેન્દ્રની નજીક જવાની ક્ષમતા.
જે કક્ષકો માટે કોણીય વેગમાન ક્વોન્ટમ આંક $(l)$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય,તે કેન્દ્રની વધુ નજીક હોય છે અને તેના પર આકર્ષણ બળ વધુ લાગે છે.
$s, p, d,$ અને $f$ કક્ષકો માટે $l$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $0, 1, 2,$ અને $3$ છે.
તેથી,વિભેદન અસરનો સાચો ક્રમ $s > p > d > f$ છે.

(A) આયનીકરણ ઊર્જા કક્ષકોની ભેદન શક્તિ (penetration power) પર આધાર રાખે છે.
કેન્દ્રની નજીકની કક્ષકોમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન કેન્દ્ર દ્વારા વધુ મજબૂતીથી આકર્ષાય છે.
કક્ષકોની ભેદન શક્તિનો ક્રમ $s > p > d > f$ છે.
$s$-કક્ષક કેન્દ્રની સૌથી નજીક હોવાથી તેની ભેદન શક્તિ સૌથી વધુ હોય છે,જેના કારણે તેમાંથી ઇલેક્ટ્રોન દૂર કરવો સૌથી મુશ્કેલ છે.
તેથી,$s$-કક્ષક માટે આયનીકરણ ઊર્જા સૌથી વધુ હોય છે.

(B) ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 4$ ને અનુરૂપ છે.
રેડિયલ નોડ્સની સંખ્યાનું સૂત્ર $n - \ell - 1 = 2$ છે.
સમીકરણમાં $n = 4$ મૂકતા: $4 - \ell - 1 = 2$.
$\ell$ માટે ઉકેલતા: $3 - \ell = 2$,જે $\ell = 1$ આપે છે.
કક્ષીય કોણીય વેગમાન $\sqrt{\ell(\ell + 1)} \, \hbar$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે.
$\ell = 1$ મૂકતા: $\sqrt{1(1 + 1)} \, \hbar = \sqrt{2} \, \hbar$.

(D) કોઈપણ એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l$ માટે,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ નંબર $m$ ની શક્ય કિંમતો $-l$ થી $+l$ સુધીની હોય છે.
વિકલ્પ $D$ માં,$l = 2$ છે,તેથી $m$ માટે શક્ય કિંમતો $-2, -1, 0, +1, +2$ છે.
અહીં $m = -3$ આ શ્રેણીની બહાર હોવાથી,$n = 3, l = 2, m = -3, s = -\frac{1}{2}$ ગોઠવણી શક્ય નથી.

(D) $Pauli$ નો અપવર્જનનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે પરમાણુમાં કોઈપણ બે ઈલેક્ટ્રોન માટે ચાર ક્વોન્ટમ આંકનો સેટ સમાન હોઈ શકે નહીં,જેનો અર્થ છે કે એક ઓર્બિટલમાં વિરુદ્ધ સ્પિન ધરાવતા મહત્તમ બે ઈલેક્ટ્રોન હોઈ શકે છે.
$Hund$ નો મહત્તમ ગુણકતાનો નિયમ જણાવે છે કે જ્યાં સુધી દરેક ઓર્બિટલમાં એક-એક ઈલેક્ટ્રોન ન ભરાય ત્યાં સુધી સમાન શક્તિ ધરાવતી (degenerate) ઓર્બિટલ્સમાં ઈલેક્ટ્રોનની જોડી બનતી નથી.
વિકલ્પ $d$ માં,પ્રથમ ઓર્બિટલ સમાન સ્પિન ધરાવતા બે ઈલેક્ટ્રોન દર્શાવે છે ($Pauli$ ના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન),અને ઓર્બિટલ્સનો બીજો સમૂહ બધી ઓર્બિટલ્સ એકલી ભરાય તે પહેલાં જ જોડી બનાવે છે ($Hund$ ના નિયમનું ઉલ્લંઘન).

(B) ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m_l$ ની કિંમત $-l$ થી $+l$ સુધી હોય છે. આપેલ પેટાકોષ માટે,$m_l$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $l$ જેટલું હોય છે. $m_l = 3$ આપેલ હોવાથી,$l = 3$ થાય.
એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ આંક $l$ ની કિંમત $0$ થી $n-1$ સુધી હોય છે. આપેલ કક્ષા $n$ માટે $l$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $l = n-1$ થાય.
$l = 3$ મૂકતા,$3 = n - 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 4$.
બોહરના મોડેલ મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા બનતા તરંગોની સંખ્યા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ જેટલી હોય છે.
તેથી,તરંગોની સંખ્યા $= n = 4$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ઓર્બિટલની ઉર્જા $(n + l)$ ના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$A$ માટે: $n = 3, l = 0$,તેથી $(n + l) = 3 + 0 = 3$ ($3s$ ઓર્બિટલ).
$B$ માટે: $n = 3, l = 1$,તેથી $(n + l) = 3 + 1 = 4$ ($3p$ ઓર્બિટલ).
$C$ માટે: $n = 3, l = 2$,તેથી $(n + l) = 3 + 2 = 5$ ($3d$ ઓર્બિટલ).
$D$ માટે: $n = 4, l = 0$,તેથી $(n + l) = 4 + 0 = 4$ ($4s$ ઓર્બિટલ).
$(n + l)$ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$5$ એ સૌથી વધુ મૂલ્ય છે.
તેથી,ક્વોન્ટમ નંબરોનો સેટ $n = 3, l = 2, m = 1, s = +1/2$ સૌથી વધુ ઉર્જા દર્શાવે છે.

(D) ઓર્બિટલમાં ગોળાકાર (અથવા ત્રિજ્યાવર્તી) નોડની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ગોળાકાર નોડની સંખ્યા} = n - l - 1$ છે.
વિકલ્પ $A$ $(n = 2, l = 0)$ માટે: $\text{નોડ} = 2 - 0 - 1 = 1$.
વિકલ્પ $B$ $(n = 3, l = 1)$ માટે: $\text{નોડ} = 3 - 1 - 1 = 1$.
વિકલ્પ $C$ $(n = 3, l = 0)$ માટે: $\text{નોડ} = 3 - 0 - 1 = 2$.
વિકલ્પ $D$ $(n = 1, l = 0)$ માટે: $\text{નોડ} = 1 - 0 - 1 = 0$.
આમ,$n = 1, l = 0$ ($1s$ ઓર્બિટલ) માટે ગોળાકાર નોડની સંખ્યા $0$ હોવાથી,આ સાચો જવાબ છે.

(A) કક્ષકનો આકાર ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $(l)$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$2p$ અને $3p$ બંને કક્ષકો માટે ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l = 1$ છે,જે $p$-કક્ષકનો આકાર દર્શાવે છે.
તેથી,$2p$ અને $3p$ કક્ષકોના આકારમાં કોઈ તફાવત નથી.

(C) ચુંબકીય ક્વોન્ટમ નંબર $m_l$ ફક્ત $-l$ થી $+l$ સુધીની પૂર્ણાંક કિંમતો જ લઈ શકે છે.
વિકલ્પ $C$ માટે,$n = 3$ અને $l = 2$ છે. તેથી,$m_l$ ની કિંમત ફક્ત $-2, -1, 0, +1, +2$ હોઈ શકે.
$l = 2$ માટે $m_l = -3$ શક્ય નથી કારણ કે $|m_l|$ એ $l$ કરતા મોટું હોઈ શકે નહીં.

(B) પાઉલીનો અપવર્જનનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે પરમાણુમાં કોઈપણ બે ઇલેક્ટ્રોન માટે ચારેય ક્વોન્ટમ આંક સમાન હોઈ શકે નહીં. આનો અર્થ એ છે કે એક ઓર્બિટલમાં મહત્તમ બે ઇલેક્ટ્રોન હોઈ શકે છે,અને જો હોય,તો તેમની સ્પિન વિરુદ્ધ દિશામાં હોવી જોઈએ.
આપેલ આકૃતિઓનું વિશ્લેષણ:
- $(A)$: તમામ ઓર્બિટલ નિયમનું પાલન કરે છે.
- $(B)$: ત્રીજી ઓર્બિટલમાં બે ઇલેક્ટ્રોન સમાન સ્પિન ધરાવે છે (બંને નીચેની તરફ). આ પાઉલીના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન છે.
- $(C)$: તમામ ઓર્બિટલ નિયમનું પાલન કરે છે.
- $(D)$: પ્રથમ ઓર્બિટલમાં બે ઇલેક્ટ્રોન વિરુદ્ધ સ્પિન ધરાવે છે,જે સાચું છે.
આમ,માત્ર આકૃતિ $(B)$ પાઉલીના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.

(C) $H$-પરમાણુ જેવી એક-ઇલેક્ટ્રોન પ્રણાલી માટે,કક્ષકની ઊર્જા ફક્ત મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ પર આધાર રાખે છે.
સમાન $n$ મૂલ્ય ધરાવતી કક્ષકો સમાન ઊર્જા ધરાવે છે (સમશક્તિમાન).
આપેલ કક્ષકોના $n$ મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:
$2s: n=2$
$3s, 3p_x, 3p_y: n=3$
$4s, 4p_z, 4d_{xy}: n=4$
તેથી,ઊર્જાનો ક્રમ:
$2s < (3s = 3p_x = 3p_y) < (4s = 4p_z = 4d_{xy})$ થાય.

(B) ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $(m_l)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $3$ આપેલ છે.
આપેલ પેટાકોષ માટે,$m_l$ નું મૂલ્ય $-l$ થી $+l$ સુધી હોય છે.
તેથી,$l = 3$,જે $f$-કક્ષક દર્શાવે છે.
મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $(l)$ વચ્ચેનો સંબંધ $n = l + 1$ છે.
તેથી,$n = 3 + 1 = 4$.
બોહર-સોમરફેલ્ડ સિદ્ધાંત મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા બનતા તરંગોની સંખ્યા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ જેટલી હોય છે.
આમ,તરંગોની સંખ્યા $4$ છે.

(B, C) આપેલા આયનોની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના નીચે મુજબ છે:
$1$. $Cr^{+3}$ $(Z=24)$: મૂળભૂત રચના $[Ar] 3d^5 4s^1$ છે. $3$ ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવ્યા પછી,તે $[Ar] 3d^3$ બને છે.
$2$. $Mn^{+2}$ $(Z=25)$: મૂળભૂત રચના $[Ar] 3d^5 4s^2$ છે. $2$ ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવ્યા પછી,તે $[Ar] 3d^5$ બને છે. આ અર્ધ-ભરાયેલી $d$-કક્ષક રચના છે.
$3$. $Fe^{+3}$ $(Z=26)$: મૂળભૂત રચના $[Ar] 3d^6 4s^2$ છે. $3$ ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવ્યા પછી,તે $[Ar] 3d^5$ બને છે. આ પણ અર્ધ-ભરાયેલી $d$-કક્ષક રચના છે.

(A) ક્રોમિયમ પરમાણુ $(Z = 24)$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^5 4s^1$ છે.
$n = 2$ અને $l = 1$ ની શરત માટે,આપણે $2p$ સબશેલમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન શોધી રહ્યા છીએ.
$2p$ સબશેલમાં $6$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
તેથી,$n = 2$ અને $l = 1$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $6$ છે.

(B) $P$ $(Z=15)$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^3$ છે.
પાંચ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન $3s^2$ અને $3p^3$ માં છે.
$3s$ કક્ષક માટે: $n=3, l=0, m=0$. બંને ઇલેક્ટ્રોન $A$ અને $B$ ના $(n, l, m)$ મૂલ્યો સમાન છે.
$3p$ કક્ષકો માટે: $n=3, l=1$. ત્રણેય ઇલેક્ટ્રોન $X, Y, Z$ અલગ-અલગ $m$ મૂલ્યો $(m=-1, 0, +1)$ ધરાવે છે.
$B$ નો સ્પિન $+\frac{1}{2}$ હોવાથી,$A$ નો સ્પિન $-\frac{1}{2}$ હશે.
$Z$ નો સ્પિન $+\frac{1}{2}$ છે,અને હન્ડના નિયમ મુજબ,$X, Y, Z$ ત્રણેયનો સ્પિન $+\frac{1}{2}$ છે.
સમાન $(n, l, m)$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન એક જ કક્ષકમાં હોય છે.
$A$ અને $B$ એક જ $3s$ કક્ષકમાં છે,તેથી તેઓ $(n, l, m)$ સમાન ધરાવે છે.
$X, Y, Z$ અલગ-અલગ $3p$ કક્ષકોમાં છે,તેથી તેઓ એકબીજા સાથે $(n, l, m)$ સમાન ધરાવતા નથી.
તેથી,સમાન $(n, l, m)$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનનો સમૂહ $AB$ છે.

(B) પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 17$ છે. ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^5$ છે.
$n = 2$ માટે,સબશેલ $2s$ અને $2p$ છે.
$2s$ સબશેલમાં,$l = 0$,તેથી $m = 0$. $2s$ ઓર્બિટલમાં $(m = 0)$ $2$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$2p$ સબશેલમાં,$l = 1$,તેથી $m = -1, 0, +1$. $2p$ સબશેલમાં $6$ ઇલેક્ટ્રોન છે,જેમાં દરેક ઓર્બિટલમાં $(m = -1, 0, +1)$ $2$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
આમ,$m = 0$ ધરાવતી $2p$ ઓર્બિટલમાં $2$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$n = 2$ અને $m = 0$ ધરાવતા કુલ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $2$ ($2s$ માંથી) $+ 2$ ($2p$ માંથી) $= 4$ છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $(n+l)$ ના સરવાળા પર આધાર રાખે છે.
$I$. $(n+l)$ નો સરવાળો જેટલો ઓછો,તેટલી ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા ઓછી.
$II$. જો $(n+l)$ નો સરવાળો સમાન હોય,તો જેનો $n$ ઓછો હોય તેની ઉર્જા ઓછી હોય છે.
$III$. આપેલા વિકલ્પો માટે $(n+l)$ ની ગણતરી:
$(A)$ $3+2=5$
$(B)$ $4+0=4$
$(C)$ $4+1=5$
$(D)$ $5+0=5$
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ એટલે કે $4+0=4$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) અનુચુંબકત્વ એક અથવા વધુ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની હાજરીને કારણે ઉદભવે છે જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા આકર્ષાય છે. તેથી,અનુચુંબકીય પદાર્થોમાં ઓછામાં ઓછો એક અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન હોવો જરૂરી છે.

(D) જેમ કેન્દ્રિય વીજભાર $(Z)$ $Ne$ $(Z=10)$ થી $Ca$ $(Z=20)$ તરફ વધે છે,તેમ કેન્દ્ર અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું સ્થિર વિદ્યુતીય આકર્ષણ વધે છે.
આના પરિણામે કક્ષકોની ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે (એટલે કે,કક્ષકો વધુ સ્થાયી બને છે અને તેમની ઊર્જા વધુ ઋણ બને છે).
તેથી,કેન્દ્રિય વીજભાર વધવાની સાથે કક્ષકીય ઊર્જા ઘટે છે.

(B) ક્વોન્ટમ નંબર્સના સેટ માટે નીચેની શરતોનું પાલન થવું જરૂરી છે:
$1$. $n$ એ ધન પૂર્ણાંક $(1, 2, 3, ...)$ હોવો જોઈએ.
$2$. $l$ એ $0$ થી $n-1$ ની વચ્ચેનો પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
$3$. $m$ એ $-l$ થી $+l$ ની વચ્ચેનો પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
$4$. $m_s$ એ $+\frac{1}{2}$ અથવા $-\frac{1}{2}$ હોવો જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $A$: $m_s = 0$ માન્ય નથી.
વિકલ્પ $B$: $n=2, l=0, m=0, m_s = -\frac{1}{2}$. આ તમામ શરતોનું પાલન કરે છે,તેથી તે માન્ય છે.
વિકલ્પ $C$: $l = -3$ માન્ય નથી.
વિકલ્પ $D$: જ્યારે $l = 0$ હોય ત્યારે $m = 1$ હોઈ શકે નહીં.

(A) $(n+l)$ ના નિયમ મુજબ,$(n+l)$ નું મૂલ્ય જેટલું વધારે,તેટલી તેની ઉર્જા વધારે.
જો $(n+l)$ નું મૂલ્ય સમાન હોય,તો જેનું $n$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય તેની ઉર્જા ઓછી હોય.
$(n+l)$ ના મૂલ્યોની ગણતરી:
$(i) n=4, l=1 \implies n+l = 5$
$(ii) n=4, l=0 \implies n+l = 4$
$(iii) n=3, l=2 \implies n+l = 5$
$(iv) n=3, l=1 \implies n+l = 4$
મૂલ્યોની સરખામણી:
$(iv)$ અને $(ii)$ માટે,બંનેમાં $(n+l) = 4$ છે. $n=3 < n=4$ હોવાથી,$(iv) < (ii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ માટે,બંનેમાં $(n+l) = 5$ છે. $n=3 < n=4$ હોવાથી,$(iii) < (i)$.
આમ,વધતી જતી ઉર્જાનો ક્રમ $(iv) < (ii) < (iii) < (i)$ છે.