Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Gujarati

(B) $3d_{z^2}$ કક્ષક માટે:
$1$. મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ એ સહગુણક દ્વારા દર્શાવેલ છે,તેથી $n = 3$.
$2$. $d$-કક્ષક માટે,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $\ell = 2$.
$3$. $d_{z^2}$ માટે ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m = 0$ છે.
$4$. સ્પિન ક્વોન્ટમ આંક $s$ કોઈપણ ઇલેક્ટ્રોન માટે $+\frac{1}{2}$ અથવા $-\frac{1}{2}$ હોઈ શકે છે.
આમ,સાચા મૂલ્યો $n = 3, \ell = 2, m = 0, s = +\frac{1}{2} \text{ અથવા } -\frac{1}{2}$ છે.

(A) આર્ગોન $(Z = 18)$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6$ છે.
$p$-ઓર્બિટલ માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l = 1$ છે,તેથી મેગ્નેટિક ક્વોન્ટમ નંબર $m_{\ell}$ ની કિંમતો $-1, 0, +1$ હોઈ શકે છે.
$2p^6$ સબશેલમાં,$2p_x$ ઓર્બિટલમાં $2$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે (જ્યાં $m_{\ell} = 1$ અથવા $-1$ હોઈ શકે છે).
$3p^6$ સબશેલમાં પણ,$3p_x$ ઓર્બિટલમાં $2$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
આમ,$m_{\ell} = 1$ ધરાવતા કુલ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $2 + 2 = 4$ છે.

(B) $Br$ (પરમાણુ ક્રમાંક $35$) ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar]\, 3d^{10}\,4s^2\,4p^5$ છે.
$Br^{-}$ એ $Br$ માં એક ઇલેક્ટ્રોન ઉમેરવાથી બને છે,તેથી $Br^{-}$ ની રચના $[Ar]\, 3d^{10}\,4s^2\,4p^6$ છે.
$Br^{+2}$ એ તટસ્થ $Br$ પરમાણુમાંથી બે ઇલેક્ટ્રોન દૂર કરવાથી બને છે. ઇલેક્ટ્રોન સૌથી બહારની કક્ષા ($4p$ કક્ષક) માંથી દૂર થાય છે.
$Br^{+2}$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar]\, 3d^{10}\,4s^2\,4p^3$ છે.
પરમાણુ ક્રમાંક $33$ ધરાવતું તત્વ આર્સેનિક $(As)$ છે,જેની ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar]\, 3d^{10}\,4s^2\,4p^3$ છે.
તેથી,$Br^{+2}$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $As$ જેવી જ છે.

(D) બેરિયમ $(Z = 56)$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Xe] \, 6s^2$ છે.
આઉફબાઉના સિદ્ધાંત મુજબ,$6s$ પછી કક્ષકો ભરાવાનો ક્રમ $(n+l)$ ના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે.
ઉર્જા સ્તરોનો ક્રમ $6s < 4f < 5d < 6p < 7s$ છે.
તેથી,$6s$ કક્ષક ભરાયા પછી,ત્યારબાદ ભરાતી કક્ષકો $4f, 5d$ અને $6p$ છે.

(B) આવર્તમાં તત્વોની સંખ્યા તે આવર્તને અનુરૂપ ઓર્બિટલ્સમાં ભરી શકાય તેવા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આવર્ત $n$ માટે,ભરાતા ઓર્બિટલ્સ $ns$,$(n-2)f$,$(n-1)d$,અને $np$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા $2 + 2(2l+1) + 2(2l+1) + 6 = \frac{(n+2)^2}{2}$ છે.
આમ,મહત્તમ એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l$ નું મૂલ્ય $\frac{n}{2}$ મળે છે.

(A) જો એક કક્ષકમાં $3$ ઇલેક્ટ્રોન સમાઈ શકે,તો પેટાકોષની ક્ષમતા નીચે મુજબ બદલાશે:
$s$-પેટાકોષ ($1$ કક્ષક) = $3$ ઇલેક્ટ્રોન.
$p$-પેટાકોષ ($3$ કક્ષક) = $9$ ઇલેક્ટ્રોન.
$d$-પેટાકોષ ($5$ કક્ષક) = $15$ ઇલેક્ટ્રોન.
$f$-પેટાકોષ ($7$ કક્ષક) = $21$ ઇલેક્ટ્રોન.
$50$ પરમાણુ ક્રમાંક માટે ઇલેક્ટ્રોન ભરવાનો ક્રમ:
$1s^3, 2s^3, 2p^9, 3s^3, 3p^9, 3d^{15}, 4s^3, 4p^5$.
કુલ ઇલેક્ટ્રોન = $3 + 3 + 9 + 3 + 9 + 15 + 3 + 5 = 50$.
સંયોજકતા કોષ $4^{th}$ કોષ છે,તેથી તે $4^{th}$ આવર્તમાં આવશે.
છેલ્લો ઇલેક્ટ્રોન $p$-પેટાકોષમાં દાખલ થાય છે,તેથી તે $p$-વિભાગમાં આવશે.

(D) -કક્ષકોના સમૂહમાં,કક્ષકોને તેમની અક્ષોની સાપેક્ષ દિશાના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
$1$. $d_{xy}, d_{yz},$ અને $d_{zx}$ કક્ષકોના લોબ્સ અક્ષોની વચ્ચે હોય છે.
$2$. $d_{x^2-y^2}$ અને $d_{z^2}$ કક્ષકોના લોબ્સ અક્ષો પર હોય છે.
તેથી,અક્ષો પર આવેલી બે કક્ષકો $d_{x^2-y^2}$ અને $d_{z^2}$ છે.

(B) બહુ-ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $(n + l)$ ના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
આ નિયમ મુજબ,જે કક્ષક માટે $(n + l)$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય તેની ઉર્જા ઓછી હોય છે.
જો $(n + l)$ ના મૂલ્યો સમાન હોય,તો જે કક્ષક માટે $n$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય તેની ઉર્જા ઓછી હોય છે.
દરેક વિકલ્પ માટે $(n + l)$ ની ગણતરી:
$A: n = 3, l = 2 \implies n + l = 5$
$B: n = 4, l = 0 \implies n + l = 4$
$C: n = 4, l = 1 \implies n + l = 5$
$D: n = 5, l = 0 \implies n + l = 5$
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $B$ માટે $(n + l)$ નું મૂલ્ય સૌથી ઓછું $(4)$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ માં રહેલો ઇલેક્ટ્રોન સૌથી ઓછી ઉર્જા ધરાવે છે.

(D) $(n + \ell)$ ના નિયમ મુજબ:
$1$. જે કક્ષક માટે $(n + \ell)$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય તેની ઉર્જા ઓછી હોય છે.
$2$. જો બે કક્ષકો માટે $(n + \ell)$ નું મૂલ્ય સમાન હોય,તો જે કક્ષક માટે $n$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય તેની ઉર્જા ઓછી હોય છે.
વિધાન $D$ ખોટું છે કારણ કે જો $(n + \ell)$ સમાન હોય,તો ઊંચા $n$ મૂલ્ય ધરાવતી કક્ષકની ઉર્જા વધારે હોય છે,ઓછી નહીં.

(B) Niobium $(Z = 41)$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના: $[Kr] 4d^4 5s^1$ અથવા $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^{10}, 4s^2, 4p^6, 4d^4, 5s^1$ છે.
$m = -1$ માટે,આપણે તે કક્ષકોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાં ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m = -1$ હોઈ શકે:
$2p$ સબશેલ $(2p_y)$: $2$ ઇલેક્ટ્રોન
$3p$ સબશેલ $(3p_y)$: $2$ ઇલેક્ટ્રોન
$3d$ સબશેલ ($3d_{xy}$ અથવા $3d_{yz}$): $2$ ઇલેક્ટ્રોન
$4p$ સબશેલ $(4p_y)$: $2$ ઇલેક્ટ્રોન
$4d$ સબશેલ ($4d_{xy}$ અથવા $4d_{yz}$): $4d$ માં $4$ ઇલેક્ટ્રોનની ગોઠવણીના આધારે $0$ થી $1$ ઇલેક્ટ્રોન.
આમ,કુલ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $2 + 2 + 2 + 2 + (0 \text{ થી } 1) = 8$ અથવા $9$ થશે.

(B) પેરામેગ્નેટિઝમ નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક પરમાણુની ભૂમિ અવસ્થામાં અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા જોઈએ છીએ:
$1. \text{ઓક્સિજન } (O): 1s^2 2s^2 2p^4$. $2p$ સબશેલમાં $2$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન છે.
$2. \text{નાઇટ્રોજન } (N): 1s^2 2s^2 2p^3$. $2p$ સબશેલમાં $3$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન છે.
$3. \text{એલ્યુમિનિયમ } (Al): [Ne] 3s^2 3p^1$. $3p$ સબશેલમાં $1$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન છે.
$4. \text{કેલ્શિયમ } (Ca): [Ar] 4s^2$. બધા ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મિત છે,તેથી તે ડાયામેગ્નેટિક ($0$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન) છે.
અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યાની સરખામણી કરતા: $N (3) > O (2) > Al (1) > Ca (0)$.
તેથી,પેરામેગ્નેટિઝમનો સાચો ઘટતો ક્રમ $N > O > Al > Ca$ છે.

(C) ત્રણ $2p$ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા તત્વની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2 \, 2s^2 \, 2p^3$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો સરવાળો: $2 + 2 + 3 = 7$.
$7$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતું તત્વ નાઇટ્રોજન $(N)$ છે.

(D) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન તેની ધરા અવસ્થા કરતા ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતી કક્ષકમાં જાય ત્યારે તેને ઉત્તેજિત અવસ્થા કહેવાય છે.
વિકલ્પ $D$ માં,ઇલેક્ટ્રોન રચના $1s^2 2s^2 2p^5 3s^1$ એ નિયોન પરમાણુ $(1s^2 2s^2 2p^6)$ ની ઉત્તેજિત અવસ્થા દર્શાવે છે.
અહીં,$2p$ કક્ષકનો એક ઇલેક્ટ્રોન $3s$ કક્ષકમાં ગયો છે,જે ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર છે.

(C) સાચો જવાબ $(c)$ છે.
$Cr$ $(Z=24)$: ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^5 4s^1$ છે. પાંચેય $d$-કક્ષકો $(d_{xy}, d_{yz}, d_{zx}, d_{x^2-y^2}, d_{z^2})$ માં $1$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
$Fe^{3+}$ $(Z=26)$: ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^5$ છે. પાંચેય $d$-કક્ષકોમાં $1$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
$Cu^{+}$ $(Z=29)$: ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^{10}$ છે. પાંચેય $d$-કક્ષકોમાં $2$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
તેથી,$Cu^{+}$ માં $d_{xy}$ કક્ષકમાં $2$ ઇલેક્ટ્રોન છે,જે આપેલા વિકલ્પોમાં મહત્તમ છે.

(C) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન નીચી ઉર્જા ધરાવતી કક્ષકમાંથી ઊંચી ઉર્જા ધરાવતી કક્ષકમાં જાય છે,ત્યારે પરમાણુ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં હોય છે,જે આઉફબાઉના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
$1s^2, 2s^2 2p^2, 3s^1$ રચનામાં,$7$ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા પરમાણુ માટે ભૂમિ અવસ્થા $1s^2, 2s^2 2p^3$ હોવી જોઈએ.
અહીં એક ઇલેક્ટ્રોન $2p$ કક્ષકમાંથી $3s$ કક્ષકમાં ગયો હોવાથી,આ ઉત્તેજિત અવસ્થા દર્શાવે છે.

(C) $Ca$ $(Z = 20)$ ની $Aufbau$ સિદ્ધાંત મુજબની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2$ છે.
$Aufbau$ સિદ્ધાંત મુજબ,$4s$ કક્ષક તેની ઓછી ઉર્જાને કારણે $3d$ કક્ષક પહેલા ભરાય છે.
જો $Aufbau$ સિદ્ધાંતનું પાલન ન કરવામાં આવ્યું હોત,તો $3d$ કક્ષક $4s$ કક્ષક પહેલા ભરાઈ હોત.
તે કિસ્સામાં,$Ca$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^2$ હોત.
છેલ્લો ઇલેક્ટ્રોન $3d$ કક્ષકમાં પ્રવેશતો હોવાથી,આ તત્વ $d-$બ્લોકમાં મૂકવામાં આવ્યું હોત.

(A) $4p$ પેટાકોષમાં મહત્તમ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $3$ છે,જે $4p^3$ ઇલેક્ટ્રોન રચના દર્શાવે છે.
આ તત્વની ઇલેક્ટ્રોન રચના $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 4s^2, 3d^{10}, 4p^3$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો સરવાળો કરતા: $2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 3 = 33$.
તેથી,પરમાણુ ક્રમાંક $33$ છે.

(D) ફોસ્ફાઇડ આયન $P^{3-}$ છે. ફોસ્ફરસનો પરમાણુ ક્રમાંક $15$ છે. તેથી,$P^{3-}$ માં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $15 + 3 = 18$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા:
$N^{3-} = 7 + 3 = 10$ ઇલેક્ટ્રોન.
$F^- = 9 + 1 = 10$ ઇલેક્ટ્રોન.
$Na^+ = 11 - 1 = 10$ ઇલેક્ટ્રોન.
$Cl^- = 17 + 1 = 18$ ઇલેક્ટ્રોન.
આમ,ફોસ્ફાઇડ આયન $(P^{3-})$ માં ક્લોરાઇડ આયન $(Cl^-)$ જેટલા જ ઇલેક્ટ્રોન છે.

(B) ક્લોરિન ($Cl$,પરમાણુ ક્રમાંક $17$) ની ઈલેક્ટ્રોન રચના $[Ne] 3s^2 3p^5$ છે.
તેથી,$3s^2 3p^5$ બાહ્યકક્ષાની ઈલેક્ટ્રોન રચના ધરાવતું તત્ત્વ $Cl$ છે.

(A) નિકલ $(Ni)$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $28$ છે. તેની ઇલેક્ટ્રોનીય રચના $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2 3d^8$ છે.
$m = 0$ માટે:
- $1s^2$: $2$ ઇલેક્ટ્રોન $(l=0, m=0)$
- $2s^2$: $2$ ઇલેક્ટ્રોન $(l=0, m=0)$
- $2p^6$: $2$ ઇલેક્ટ્રોન ($2p_z$ માટે $m=0$)
- $3s^2$: $2$ ઇલેક્ટ્રોન $(l=0, m=0)$
- $3p^6$: $2$ ઇલેક્ટ્રોન ($3p_z$ માટે $m=0$)
- $4s^2$: $2$ ઇલેક્ટ્રોન $(l=0, m=0)$
- $3d^8$: $d$-કક્ષકોમાં $m$ ના મૂલ્યો $-2, -1, 0, +1, +2$ છે. $d^8$ માટે,$8$ ઇલેક્ટ્રોન ભરતા,$d_{z^2}$ કક્ષક $(m=0)$ માં $2$ ઇલેક્ટ્રોન આવશે.
કુલ $m=0$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન $2+2+2+2+2+2+2 = 14$ થાય છે.

(A) તત્વ $A$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2, 2s^2, 2p^6$ છે.
આ રચના નિયોન $(Ne)$ પરમાણુને અનુરૂપ છે,જે એક નિષ્ક્રિય વાયુ છે.
નિષ્ક્રિય વાયુઓની સંયોજકતા કક્ષા સંપૂર્ણ ભરાયેલી હોય છે,જે તેમને રાસાયણિક રીતે નિષ્ક્રિય અને તેમના એક-પરમાણ્વીય સ્વરૂપમાં સ્થાયી બનાવે છે.
તેથી,$A$ નું સ્થાયી સ્વરૂપ $A$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) કક્ષકો તેમની અક્ષોની સાપેક્ષમાં અવકાશી ગોઠવણી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$d_{xy}$ કક્ષકના પાલીઓ $X$ અને $Y$ અક્ષની વચ્ચે હોય છે.
$d_{yz}$ કક્ષકના પાલીઓ $Y$ અને $Z$ અક્ષની વચ્ચે હોય છે.
$d_{xz}$ કક્ષકના પાલીઓ $X$ અને $Z$ અક્ષની વચ્ચે હોય છે.
$d_{x^2-y^2}$ કક્ષકના પાલીઓ $X$ અને $Y$ અક્ષની ઉપર (along) હોય છે.
$d_{z^2}$ કક્ષકના પાલીઓ $Z$ અક્ષની ઉપર હોય છે.
તેથી,$X$ અને $Y$ અક્ષની દિશામાં ગોઠવણી ધરાવતી $d$ કક્ષક $d_{x^2-y^2}$ છે.

(C) સાચો જવાબ $(C)$ છે.
કોઈ કક્ષકમાં $XY$ સમતલમાં ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના શૂન્ય હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે $XY$ સમતલ તે કક્ષક માટે નોડલ સમતલ છે.
$1$. $3p_z$ માટે,નોડલ સમતલ $XY$ સમતલ છે (કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $z$-અક્ષ પર હોય છે).
$2$. $4d_{xz}$ માટે,નોડલ સમતલો $XY$ સમતલ અને $YZ$ સમતલ છે (કારણ કે લોબ્સ $XZ$ સમતલમાં આવેલા હોય છે).
$3$. તેથી,$(4d_{xz}, 3p_z)$ જોડીમાં,બંને કક્ષકો માટે $XY$ સમતલ નોડલ સમતલ છે,જેનો અર્થ છે કે બંને માટે $XY$ સમતલમાં ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના શૂન્ય છે.

(A) સ્પિન મલ્ટિપ્લિસિટી $2S + 1$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ કુલ સ્પિન છે.
$2p^3$ માટે,$3$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન છે,તેથી $S = 3 \times (1/2) = 3/2$. મલ્ટિપ્લિસિટી $= 2(3/2) + 1 = 4$.
$2p^4$ માટે,$2$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન છે,તેથી $S = 1$. મલ્ટિપ્લિસિટી $= 2(1) + 1 = 3$.
$2p^5$ માટે,$1$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન છે,તેથી $S = 1/2$. મલ્ટિપ્લિસિટી $= 2(1/2) + 1 = 2$.
$2p^6$ માટે,$0$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન છે,તેથી $S = 0$. મલ્ટિપ્લિસિટી $= 1$.
આમ,$1s^2, 2s^2, 2p^3$ મહત્તમ સ્પિન મલ્ટિપ્લિસિટી ધરાવે છે.

(A) તત્વની ધરા અવસ્થા એ આઉફબાઉના સિદ્ધાંત,પાઉલીના અપવર્જનના સિદ્ધાંત અને હુન્ડના મહત્તમ સ્પિનના નિયમનું પાલન કરે છે.
હુન્ડના નિયમ મુજબ,સમાન શક્તિ ધરાવતી કક્ષકો (જેમ કે $p$-કક્ષકો) માં ઇલેક્ટ્રોન પહેલા એકલા અને સમાંતર સ્પિન સાથે ભરાય છે.
વિકલ્પ $A$ માં પ્રથમ બે કક્ષકો સંપૂર્ણ ભરેલી છે અને પછીની ત્રણ કક્ષકોમાં એક-એક ઇલેક્ટ્રોન સમાંતર સ્પિન સાથે છે,જે ધરા અવસ્થા દર્શાવે છે.

(B) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$(a)$ $4s$: $s$-કક્ષકો ગોળાકાર અને અદિશાકીય હોય છે,તેથી $(a) - (q)$.
$(c)$ $1s$: રેડિયલ નોડ $= n-l-1 = 1-0-1 = 0$,તેથી $(c) - (s)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) તરંગ વિધેય $\Psi_{n\ell m}$ માટે,ક્વોન્ટમ આંક $n = 3$,$\ell = 1$,અને $m = 0$ છે.
રેડિયલ નોડની સંખ્યા $= n - \ell - 1 = 3 - 1 - 1 = 1$.
એન્ગ્યુલર નોડની સંખ્યા $= \ell = 1$.
તેથી,$\Psi_{310}$ માં $1$ રેડિયલ નોડ અને $1$ એન્ગ્યુલર નોડ હોય છે.

(C) સબશેલના ઓરિએન્ટેશનની સંખ્યા ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $(m_l)$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
આપેલ એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ આંક $l$ માટે,$m_l$ ના શક્ય મૂલ્યો $-l$ થી $+l$ સુધીના હોય છે,જેમાં શૂન્યનો પણ સમાવેશ થાય છે.
આવા મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા $(2l + 1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m_l$ નું દરેક મૂલ્ય અવકાશમાં ઓર્બિટલના ચોક્કસ ઓરિએન્ટેશનને અનુરૂપ છે.

(C) $(n+l)$ ના નિયમ મુજબ,કક્ષકની ઉર્જા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $(l)$ ના સરવાળા દ્વારા નક્કી થાય છે.
$4f$ માટે: $n=4, l=3$,તેથી $n+l = 4+3 = 7$.
$5d$ માટે: $n=5, l=2$,તેથી $n+l = 5+2 = 7$.
$3s$ માટે: $n=3, l=0$,તેથી $n+l = 3+0 = 3$.
$6p$ માટે: $n=6, l=1$,તેથી $n+l = 6+1 = 7$.
અહીં $3s$ નું $(n+l)$ મૂલ્ય અન્ય કરતા અલગ હોવાથી તે અલગ પડે છે.

(D) ક્વોન્ટમ નંબર્સના સેટ માટે નીચેના નિયમોનું પાલન થવું જોઈએ:
$1$. $n$ (મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર) ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ $(1, 2, 3, \dots)$.
$2$. $l$ (એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર) ની કિંમત $0$ થી $n-1$ સુધી હોઈ શકે છે.
$3$. $m$ (ચુંબકીય ક્વોન્ટમ નંબર) ની કિંમત $-l$ થી $+l$ સુધી હોઈ શકે છે.
$4$. $s$ (સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર) માત્ર $+1/2$ અથવા $-1/2$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
- વિકલ્પ $A$: $n=1, l=1$ માન્ય નથી કારણ કે $l < n$ હોવું જોઈએ.
- વિકલ્પ $B$: $s=1$ માન્ય નથી કારણ કે $s = \pm 1/2$ હોવું જોઈએ.
- વિકલ્પ $C$: $n=3, l=0, m=-1$ માન્ય નથી કારણ કે જો $l=0$ હોય,તો $m$ માત્ર $0$ હોઈ શકે.
- વિકલ્પ $D$: $n=3, l=1, m=1, s=1/2$ તમામ શરતોનું પાલન કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $Ca$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $20$ છે.
$Aufbau$ ના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2 \, 2s^2 \, 2p^6 \, 3s^2 \, 3p^6 \, 4s^2$ છે.
જો $Aufbau$ ના નિયમનું પાલન ન કરવામાં આવે અને ઇલેક્ટ્રોન મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ ના વધતા ક્રમમાં ગોઠવાય,તો ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2 \, 2s^2 \, 2p^6 \, 3s^2 \, 3p^6 \, 3d^2$ થાય.
છેલ્લો ઇલેક્ટ્રોન $3d$ કક્ષકમાં દાખલ થતો હોવાથી,$Ca$ એ $d-$ બ્લોકનો સભ્ય બનત.

(C) ${}_{24}Cr$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar] 3d^5 4s^1$ છે.
આ રચના $[Ar] 3d^4 4s^2$ કરતા વધુ સ્થાયી છે,જેના બે મુખ્ય કારણો છે:
$1$. વધારે વિનિમય ઉર્જા: $3d^5$ રચના સમાંતર સ્પિન ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચે વિનિમયની વધુ શક્યતાઓ આપે છે,જે વધુ ઉર્જા મુક્ત કરે છે અને સ્થિરતા વધારે છે.
$2$. ઇલેક્ટ્રોનનું સંમિત વિતરણ: અર્ધ-પૂર્ણ $d$-પેટાકોષ $(d^5)$ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતાનું સંમિત વિતરણ પૂરું પાડે છે,જે ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું અપાકર્ષણ ઘટાડે છે અને સ્થિરતા વધારે છે.

(C) $(n + l)$ નો નિયમ (જેને આઉફબાઉનો સિદ્ધાંત પણ કહેવાય છે) જણાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન $(n + l)$ ના વધતા મૂલ્યોના ક્રમમાં કક્ષકોમાં ભરાય છે.
$La$ $(Z=57)$ માટે,ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Xe] 5d^1 6s^2$ છે. $(n + l)$ ના નિયમ મુજબ,$4f$ કક્ષક $(n=4, l=3, n+l=7)$ એ $5d$ કક્ષક $(n=5, l=2, n+l=7)$ પહેલા ભરાવી જોઈએ. પરંતુ,ઇલેક્ટ્રોન $4f$ ને બદલે $5d$ કક્ષકમાં પ્રવેશે છે.
તે જ રીતે,$Ac$ $(Z=89)$ માટે,ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Rn] 6d^1 7s^2$ છે. ઇલેક્ટ્રોન $5f$ ને બદલે $6d$ કક્ષકમાં પ્રવેશે છે.
આમ,$La$ અને $Ac$ બંને $(n + l)$ ના નિયમના અપવાદ છે.

(C) પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનનું વર્ણન કરવા માટે $4$ ક્વોન્ટમ આંકનો ઉપયોગ થાય છે:
$1$. મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ કક્ષકનું કદ અને ઉર્જા નક્કી કરે છે.
$2$. ગૌણ (કોણીય વેગમાન) ક્વોન્ટમ આંક $(l)$ કક્ષકનો આકાર નક્કી કરે છે.
$3$. ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $(m_l)$ અવકાશમાં કક્ષકની દિશા (orientation) નક્કી કરે છે.
$4$. સ્પીન ક્વોન્ટમ આંક $(m_s)$ ઇલેક્ટ્રોનનું સ્પીન દર્શાવે છે.
તેથી,પરમાણ્વીય કક્ષકની દિશા ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(A) ઉપકક્ષામાં કક્ષકોની સંખ્યા $(2l + 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક કક્ષકમાં મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાઈ શકે છે,
તેથી ઉપકક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ સંખ્યા $= 2 \times (2l + 1) = 4l + 2$.

(C) તરંગવિધેય $\Psi_{n,l,m_l}$ તરીકે આપવામાં આવે છે.
$\Psi_{310}$ ની સરખામણી $\Psi_{n,l,m_l}$ સાથે કરતા,આપણને $n = 3$,$l = 1$,અને $m_l = 0$ મળે છે.
$n = 3$ અને $l = 1$ માટે,કક્ષક $3p$ છે.
$p$-કક્ષક માટે ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m_l = 0$ એ $p_z$ કક્ષકને અનુરૂપ છે.
તેથી,$\Psi_{310}$ એ $3p_z$ કક્ષક દર્શાવે છે.

(A) $g$ કક્ષક માટે ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l = 4$ છે.
કક્ષકમાં કક્ષકોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $(2l + 1)$ છે.
$l = 4$ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
કક્ષકોની સંખ્યા $= 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9$.

(B) $3d^5$ ઇલેક્ટ્રોન રચના માટે,અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(n)$ $5$ છે.
સ્પિન ગુણકતાનું સૂત્ર $2S + 1$ છે,જ્યાં $S = \sum s$ છે.
દરેક $5$ ઇલેક્ટ્રોન માટે સ્પિન $+1/2$ હોવાથી,કુલ સ્પિન $S = 5 \times (1/2) = 5/2$ થાય.
સ્પિન ગુણકતા $= 2(5/2) + 1 = 5 + 1 = 6$.

(C) ક્વોન્ટમ આંકના માન્ય સેટ માટે,નીચેના નિયમો સંતોષવા જોઈએ:
$1$. $n$ એ ધન પૂર્ણાંક $(1, 2, 3, \dots)$ છે.
$2$. $l$ ની કિંમત $0$ થી $n-1$ સુધી હોઈ શકે છે.
$3$. $m$ ની કિંમત $-l$ થી $+l$ (શૂન્ય સહિત) સુધી હોઈ શકે છે.
$4$. $s$ ની કિંમત માત્ર $+1/2$ અથવા $-1/2$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પ $C$ માં,$n = 4$ અને $l = 3$ છે. $m$ માટે શક્ય કિંમતો $-3$ થી $+3$ સુધીની છે. અહીં આપેલી કિંમત $m = 4$ છે,જે $l$ કરતા મોટી હોવાથી આ સેટ અમાન્ય છે.

(D) ક્વોન્ટમ આંક માટેના નિયમો નીચે મુજબ છે:
$1$. $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે $(n = 1, 2, 3, ...)$.
$2$. $l$ એ ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક છે ($l = 0$ થી $n-1$).
$3$. $m$ એ ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક છે ($m = -l$ થી $+l$ સુધી,$0$ સહિત).
$4$. $s$ એ સ્પિન ક્વોન્ટમ આંક છે ($s = +1/2$ અથવા $-1/2$).
વિકલ્પોની ચકાસણી:
- વિકલ્પ $A$: $n=4, l=0, m=0, s=-1/2$. આ સાચો સેટ છે.
- વિકલ્પ $B$: $n=3, l=2, m=-2, s=+1/2$. આ સાચો સેટ છે.
- વિકલ્પ $C$: $n=5, l=4, m=0, s=-1/2$. આ સાચો સેટ છે.
- વિકલ્પ $D$: $n=4, l=3, m=-4, s=-1/2$. અહીં,$m$ ની કિંમત $-3$ થી $+3$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ. તેથી,$m = -4$ એ ખોટો સેટ છે.

(C) કોઈપણ કક્ષકને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $(l)$ અને ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $(m)$ ની જરૂર પડે છે.
$n$ એ કક્ષકનું કદ અને ઉર્જા નક્કી કરે છે.
$l$ એ કક્ષકનો આકાર નક્કી કરે છે.
$m$ એ અવકાશમાં કક્ષકનું અભિવિન્યાસ (orientation) નક્કી કરે છે.
સ્પિન ક્વોન્ટમ આંક $(s)$ એ કક્ષકમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું ભ્રમણ દર્શાવે છે,કક્ષકને નહીં.

(D) પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનનું સ્થાન ચાર ક્વોન્ટમ આંક દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $(l)$,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $(m_l)$ અને સ્પિન ક્વોન્ટમ આંક ($s$ અથવા $m_s$).
$3d_{z^2}$ કક્ષક માટે,$n=3$ અને $l=2$ છે.
ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $(m_l)$ એ કક્ષકનું અવકાશીય સ્થાન દર્શાવે છે.
આમ,કક્ષકને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે $n, l$ અને $m$ જરૂરી છે.

(C) આપેલ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ માટે,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l$ ના મૂલ્યો $0$ થી $n-1$ સુધીના હોય છે.
$n = 5$ માટે,$l = 0, 1, 2, 3, 4$ શક્ય છે.
ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m_l$ એ $l$ પર આધાર રાખે છે અને $-l$ થી $+l$ સુધીના મૂલ્યો ધરાવે છે.
આપણે એવા ઓર્બિટલ્સ શોધવાના છે જેમાં $m_l = +2$ શક્ય હોય:
- જો $l = 2$ ($d$-ઓર્બિટલ): $m_l = -2, -1, 0, +1, +2$ (શક્ય છે)
- જો $l = 3$ ($f$-ઓર્બિટલ): $m_l = -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3$ (શક્ય છે)
- જો $l = 4$ ($g$-ઓર્બિટલ): $m_l = -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4$ (શક્ય છે)
આમ,$n = 5$ માટે,$m_l = +2$ ધરાવતા ઓર્બિટલ્સ $5d, 5f,$ અને $5g$ છે.
દરેક ઓર્બિટલમાં મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન રહી શકે છે.
કુલ ઇલેક્ટ્રોન = $3 \text{ ઓર્બિટલ્સ} \times 2 \text{ ઇલેક્ટ્રોન/ઓર્બિટલ} = 6 \text{ ઇલેક્ટ્રોન}$.

(C) કક્ષકની ઉર્જા નક્કી કરવા માટે $(n + l)$ ના મૂલ્યનો ઉપયોગ થાય છે.
$6s$ માટે: $n = 6, l = 0$,તેથી $(n + l) = 6 + 0 = 6$.
$3d$ માટે: $n = 3, l = 2$,તેથી $(n + l) = 3 + 2 = 5$.
$4f$ માટે: $n = 4, l = 3$,તેથી $(n + l) = 4 + 3 = 7$.
$5p$ માટે: $n = 5, l = 1$,તેથી $(n + l) = 5 + 1 = 6$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$4f$ માટે $(n + l)$ નું મૂલ્ય $7$ મહત્તમ છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન શોધવાનું સૂત્ર: $L = \sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2\pi}$ છે,જ્યાં $l$ એ ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક છે.
$s$ કક્ષક માટે $l$ નું મૂલ્ય $0$ હોય છે.
તેથી,$2s$ કક્ષકના ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $\sqrt{0(0+1)} \frac{h}{2\pi} = 0$ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $s$ કક્ષકો માટે જ $l = 0$ હોય છે.
આમ,$4s$ કક્ષકના ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન પણ $\sqrt{0(0+1)} \frac{h}{2\pi} = 0$ થાય છે.
તેથી,$2s$ ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $4s$ ઇલેક્ટ્રોનના કોણીય વેગમાનને સમાન છે.

(B) કક્ષકમાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $(L)$ શોધવાનું સૂત્ર: $L = \sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2\pi}$ છે.
$d$ કક્ષક માટે,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $(l)$ નું મૂલ્ય $2$ છે.
સૂત્રમાં $l = 2$ મૂકતા:
$L = \sqrt{2(2+1)} \frac{h}{2\pi} = \sqrt{6} \frac{h}{2\pi}$.
આ મૂલ્યને $\frac{\sqrt{3}h}{\sqrt{2}\pi}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે,જે વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે તરંગવિધેય $\psi(r, \theta, \phi)$ ને રેડિયલ ભાગ $R(r)$ અને કોણીય ભાગ $Y(\theta, \phi)$ માં વિભાજિત કરી શકાય છે.
રેડિયલ ભાગ $R(r)$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ અને ગૌણ (એઝિમુથલ) ક્વોન્ટમ આંક $(l)$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોનની સ્પીન ચુંબકીય ચાકમાત્રા $(\mu_s)$ નું સૂત્ર $\mu_s = \sqrt{4s(s + 1)} \text{ BM}$ છે,જ્યાં $s$ એ સ્પીન ક્વોન્ટમ આંક છે.
એક ઇલેક્ટ્રોન માટે,$s = 1/2$ હોય છે.
આ કિંમત મૂકતા,$\mu_s = \sqrt{4(1/2)(1/2 + 1)} = \sqrt{2(3/2)} = \sqrt{3} \approx 1.732 \text{ BM}$.
આને $\mu = \sqrt{n(n + 2)} \text{ BM}$ તરીકે પણ દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે.

(D) અલગ કરેલા પરમાણુમાં,પાંચેય $d$ કક્ષકો ($d_{xy}$,$d_{yz}$,$d_{zx}$,$d_{x^2-y^2}$,અને $d_{z^2}$) ડિજનરેટ હોય છે.
જોકે,તેમના આકાર સમાન હોતા નથી.
$d_{xy}$,$d_{yz}$,અને $d_{zx}$ કક્ષકો ક્લોવરલીફ (cloverleaf) આકાર ધરાવે છે (અક્ષોની વચ્ચે ચાર લોબ).
$d_{x^2-y^2}$ કક્ષક પણ ક્લોવરલીફ આકાર ધરાવે છે પરંતુ તેના લોબ અક્ષો પર હોય છે.
$d_{z^2}$ કક્ષક વિશિષ્ટ આકાર ધરાવે છે જેમાં $z$-અક્ષ પર બે લોબ અને $xy$-સમતલમાં ઇલેક્ટ્રોન ઘનતાની રીંગ હોય છે.
તેથી,$d_{x^2-y^2}$ અને $d_{z^2}$ ના આકાર અલગ છે.