Real gases and Vander waal’s equation Questions in Gujarati

(C) આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો અને વાયુના અણુઓના કદને કારણે વાસ્તવિક વાયુઓ આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલિત થાય છે.
ગતિજ આણ્વિય સિદ્ધાંત મુજબ,વાસ્તવિક વાયુઓ ત્યારે આદર્શ વર્તણૂકની નજીક પહોંચે છે જ્યારે આંતરઆણ્વિય બળો નગણ્ય હોય અને અણુઓનું કદ કુલ કદની સરખામણીમાં અવગણ્ય હોય.
આ પરિસ્થિતિઓ $low$ દબાણ અને $high$ તાપમાને પ્રાપ્ત થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) સંકોચન અવયવ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \frac{PV}{nRT}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $P = 50 \ atm$,$V = 0.35 \ L$,$n = 1 \ mol$,$T = 300 \ K$ અને વાયુ અચળાંક $R = 0.0821 \ L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$Z = \frac{50 \times 0.35}{1 \times 0.0821 \times 300}$
$Z = \frac{17.5}{24.63}$
$Z \approx 0.71$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણમાં,આપણે આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ અને અણુઓ દ્વારા રોકાયેલ કદને અવગણીએ છીએ. જો કે,વાસ્તવિક વાયુ સમીકરણ આ બંનેને ધ્યાનમાં લે છે. પરિમાણ $a$ એ આંતરઆણ્વીય આકર્ષણનું માપ છે અને પરિમાણ $b$ એ અણુઓ દ્વારા રોકાયેલ કદનું માપ છે. ખાસ કરીને,જો એક વાયુ અણુનું કદ $v$ હોય,તો $b = 4vN_A$ થાય. તેથી,$b$ એ વાયુના અણુઓના મોલર કદ કરતા ચાર ગણું છે.

(D) વાસ્તવિક વાયુઓ આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળો અને વાયુના અણુઓના કદને કારણે આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલન દર્શાવે છે.
આ વિચલન નીચા તાપમાને અને ઊંચા દબાણે સૌથી વધુ હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,સૌથી નીચું તાપમાન $(-13\,^{\circ}C)$ અને સૌથી ઊંચું દબાણ $(2\, atm)$ ધરાવતી સ્થિતિમાં આદર્શ વર્તણૂકથી મહત્તમ વિચલન જોવા મળશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $1$ મોલ વાયુ માટે વાન્ડર વાલ્સનું સમીકરણ: $\left(P + \frac{a}{V^2}\right)(V - b) = RT$ છે.
ઊંચા દબાણે,કદ $V$ ઓછું હોવાથી દબાણ સુધારણા પદ $\frac{a}{V^2}$ ને $P$ ની સાપેક્ષમાં અવગણી શકાય છે.
પરંતુ,કદ સુધારણા પદ $b$ નોંધપાત્ર રહે છે.
આથી,સમીકરણ $P(V - b) = RT$ બને છે.
વિસ્તરણ કરતા,$PV - Pb = RT$ મળે છે,જે $PV = RT + Pb$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $(P + \frac{a}{V^2})V = RT$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $PV + \frac{a}{V} = RT$.
બંને બાજુને $RT$ વડે ભાગતા: $\frac{PV}{RT} + \frac{a}{RTV} = 1$.
કારણ કે સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{PV}{RT}$ છે,તેથી $Z$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $Z + \frac{a}{RTV} = 1$.
$Z$ માટે ગોઠવતા: $Z = 1 - \frac{a}{RTV}$.

(C) આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલન સંકોચનીયતા અવયવ $Z$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$Z$ ને $Z = \frac{PV}{nRT}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આદર્શ વાયુ માટે,$PV = nRT,$ તેથી $Z = 1.$
જ્યારે $Z > 1$ હોય,ત્યારે વાયુ આદર્શ વર્તણૂકથી ધન વિચલન દર્શાવે છે.
આ સૂચવે છે કે વાયુ આદર્શ વર્તણૂક કરતા ઓછો સંકોચનીય છે,એટલે કે વાસ્તવિક વાયુઓને આદર્શ વાયુઓની તુલનામાં સંકોચવા મુશ્કેલ છે.

(C) $1$ મોલ વાયુ માટે વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ $\left(P + \frac{a}{V_m^2}\right)(V_m - b) = RT$ છે.
ઊંચા દબાણે,મોલર કદ $V_m$ નાનું હોય છે,જેના કારણે $\frac{a}{V_m^2}$ પદ $P$ ની સરખામણીમાં અવગણ્ય બને છે.
આમ,સમીકરણ $P(V_m - b) = RT$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા $PV_m - Pb = RT$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $PV_m = RT + Pb$ થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) વાસ્તવિક વાયુઓ ઓછા દબાણ અને મોટા કદની સ્થિતિમાં આદર્શ વર્તણૂક દર્શાવે છે,કારણ કે આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો નગણ્ય બની જાય છે અને વાયુના અણુઓનું કદ પાત્રના કુલ કદની સરખામણીમાં નગણ્ય બની જાય છે.
$Boyle$ ના તાપમાને,આંતરઆણ્વિય બળો અને આણ્વિય કદની અસરો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જેનાથી આદર્શ વર્તણૂક જોવા મળે છે.
જોકે,ખૂબ જ ઓછા તાપમાને,વાયુના અણુઓની ગતિજ ઉર્જા ઘટે છે,જેનાથી આંતરઆણ્વિય બળો પ્રબળ બને છે,જે વાસ્તવિક વાયુઓને આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલિત કરે છે.
તેથી,ખૂબ જ ઓછા તાપમાને વાસ્તવિક વાયુઓ આદર્શ વર્તણૂક દર્શાવે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(A) એક મોલ વાસ્તવિક વાયુ માટે,વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$
ખૂબ જ ઊંચા દબાણે,કદ $V$ નાનું હોય છે,તેથી પદ $\frac{a}{V^2}$ એ $P$ ની સરખામણીમાં અવગણ્ય બને છે.
આમ,સમીકરણ આ રીતે સરળ બને છે:
$P(V - b) = RT$
$PV - Pb = RT$
$PV = RT + Pb$
બંને બાજુને $RT$ વડે ભાગતા:
$\frac{PV}{RT} = 1 + \frac{Pb}{RT}$
સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{PV}{RT}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$Z = 1 + \frac{Pb}{RT}$

(C) જ્યારે ગતિજ આણ્વિય સિદ્ધાંતની ધારણાઓ માન્ય ન રહે ત્યારે વાયુ આદર્શ વર્તનથી વિચલન દર્શાવે છે.
$high$ દબાણે,વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલ કદ પાત્રના કુલ કદની સરખામણીમાં નોંધપાત્ર બને છે.
$low$ તાપમાને,અણુઓની ગતિજ ઉર્જા ઘટે છે,જેનાથી આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો નોંધપાત્ર બને છે.
તેથી,$high$ દબાણ અને $low$ તાપમાને,વાયુ તેના આદર્શ વર્તનથી સૌથી વધુ વિચલન દર્શાવે છે.

(A) વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ $\left( P + \frac{n^2a}{V^2} \right)(V - nb) = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓછા દબાણે,કદ $V$ ખૂબ મોટું હોય છે,જેના કારણે સુધારાનું પદ $\frac{n^2a}{V^2}$ એ $P$ ની સરખામણીમાં અવગણ્ય બને છે.
ઊંચા તાપમાને,કદ $V$ પણ મોટું હોય છે,જેના કારણે સુધારાનું પદ $nb$ એ $V$ ની સરખામણીમાં અવગણ્ય બને છે.
આ પરિસ્થિતિઓમાં,સમીકરણ $PV = nRT$ માં સરળ બને છે,જે આદર્શ વાયુ સમીકરણ છે.

(B) સંકોચનીયતા અવયવ $Z$ ને $Z = \frac{PV}{nRT}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
દબાણ માટે ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P = \frac{ZnRT}{V}$ મળે છે.
અચળ તાપમાન $T$ અને સમાન મોલ સંખ્યા $n$ પર,દબાણ $P$ એ $\frac{Z}{V}$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $P \propto \frac{Z}{V}$.
આપેલ છે કે $V_A = 2V_B$ અને $Z_A = 3Z_B$.
દબાણનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P_A}{P_B} = \frac{Z_A}{Z_B} \times \frac{V_B}{V_A} = \left( \frac{3}{1} \right) \times \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2}$.
તેથી,$2P_A = 3P_B$.

(C) વાયુનું ક્રાંતિક તાપમાન $(T_c)$ સૂત્ર $T_c = \frac{8a}{27Rb}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી વધુ $T_c$ ધરાવતો વાયુ શોધવા માટે,આપણે દરેક વાયુ માટે $\frac{a}{b}$ ગુણોત્તરની ગણતરી કરવી પડશે:
$Ar: \frac{1.3}{3.2} \approx 0.406$
$Ne: \frac{0.2}{1.7} \approx 0.118$
$Kr: \frac{5.1}{1.0} = 5.1$
$Xe: \frac{4.1}{5.0} = 0.82$
કારણ કે $Kr$ નો $\frac{a}{b}$ ગુણોત્તર સૌથી વધુ છે,તેથી તેનું ક્રાંતિક તાપમાન સૌથી વધુ હશે.

(C) આપેલ અવસ્થા સમીકરણ $P(V - b) = RT$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $PV - Pb = RT$ મળે છે.
$RT$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{PV}{RT} - \frac{Pb}{RT} = 1$ મળે છે.
સંકોચન અવયવ $Z = \frac{PV}{RT}$ હોવાથી,સમીકરણ $Z = 1 + \frac{Pb}{RT}$ બને છે.
આ દર્શાવે છે કે $Z$ એ $P$ સાથે $\frac{b}{RT}$ ના ઢાળ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
તેથી,જે વાયુ માટે વાન ડર વાલ્સ અચળાંક $b$ નું મૂલ્ય સૌથી વધુ હશે,તે $Z$ વિરુદ્ધ $P$ ના આલેખમાં સૌથી વધુ તીવ્ર વધારો દર્શાવશે.
$b$ નું મૂલ્ય વાયુના અણુઓના કદ પર આધાર રાખે છે,જેનો ક્રમ $Ne < Ar < Kr < Xe$ છે.
આમ,$Xe$ પાસે $b$ નું સૌથી મોટું મૂલ્ય છે અને તે સૌથી વધુ તીવ્ર વધારો દર્શાવશે.

(D) અચળાંક $a$ આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળનું મૂલ્ય દર્શાવે છે. $a$ નું ઊંચું મૂલ્ય મજબૂત આકર્ષણ સૂચવે છે,જે અણુઓને નજીક લાવે છે,પરિણામે ઓછું કદ રોકાય છે.
વાયુ $A$ અને $C$ માટે,$b$ સમાન છે $(0.05196)$. $a_A (642.32) > a_C (431.91)$ હોવાથી,વાયુ $A$ માં આકર્ષણ બળ વધુ છે અને તે વાયુ $C$ કરતા ઓછું કદ રોકે છે. આમ,વાયુ $C$ એ વાયુ $A$ કરતા વધુ કદ રોકે છે.
વાયુ $B$ અને $D$ માટે,$a$ સમાન છે $(155.21)$. અચળાંક $b$ એ મોલ દીઠ બાકાત કદ દર્શાવે છે. $b$ નું નાનું મૂલ્ય એટલે કે અણુઓ ઓછી જગ્યા રોકે છે,જે વાયુને વધુ સંકોચનીય બનાવે છે.
$b_B (0.04136) < b_D (0.4382)$ હોવાથી,વાયુ $B$ એ વાયુ $D$ કરતા વધુ સંકોચનીય છે.

(B) $1 \ mol$ વાયુ માટે વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ $(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$ છે.
ઓછા દબાણે,કદ $V$ ખૂબ મોટું હોય છે,તેથી $V - b \approx V$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(P + \frac{a}{V^2})V = RT$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $PV + \frac{a}{V} = RT$.
પુનઃગોઠવણી કરતા: $PV = RT - \frac{a}{V}$ મળે છે.

(B) વાસ્તવિક વાયુ માટે વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ $(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$ છે.
ઊંચા દબાણે,$\frac{a}{V^2}$ પદ $P$ ની સરખામણીમાં અવગણી શકાય છે.
તેથી,સમીકરણ $P(V - b) = RT$ બને છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$PV - Pb = RT$ મળે છે.
બંને બાજુને $RT$ વડે ભાગતા,$\frac{PV}{RT} - \frac{Pb}{RT} = 1$ મળે છે.
સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{PV}{RT}$ હોવાથી,$Z - \frac{Pb}{RT} = 1$ થાય.
તેથી,$Z = 1 + \frac{Pb}{RT}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,$PV = nRT$. આપેલ છે $n = 1 \, mol$,$V = 22.4 \, L$,અને $T = 273 \, K$,તેથી આદર્શ દબાણ $P_{ideal} = \frac{nRT}{V} = \frac{1 \times 0.0821 \times 273}{22.4} \approx 1 \, atm$.
વ્યાખ્યા મુજબ,સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{PV}{nRT}$ છે.
તેથી,$P = \frac{Z \times nRT}{V} = Z \times P_{ideal}$.
જો $Z > 1$ હોય,તો $P > P_{ideal}$,જેનો અર્થ છે કે $P > 1 \, atm$.

(C) બિન-આદર્શ વાયુ માટે વાન્ડર વાલ્સનું સમીકરણ આ મુજબ છે: $(P + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$।
આ સમીકરણમાં,પદ $\frac{an^2}{V^2}$ (અથવા એક મોલ માટે $\frac{a}{V^2}$) ને દબાણ $P$ માં ઉમેરવામાં આવે છે જે વાયુના અણુઓ વચ્ચેના આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળને દર્શાવે છે।
પદ $b$ એ વાયુના અણુઓના મર્યાદિત કદને કારણે બાકાત રાખેલ કદ (excluded volume) દર્શાવે છે।

(C) આદર્શ વાયુ $PV = nRT$ સમીકરણનું પાલન કરે છે. આપણે ચકાસીશું કે કયો વિકલ્પ આ સમીકરણનું પાલન કરતું નથી,જે વાસ્તવિક વાયુ દર્શાવે છે.
$A)$ $O_2$ માટે: $PV = 1 \times 11.2 = 11.2$ અને $nRT = 0.5 \times 0.0821 \times 273 \approx 11.2$. આ આદર્શ વર્તણૂક છે.
$B)$ $H_2$ માટે: $PV = 24.63 \times 0.5 = 12.315$ અને $nRT = 0.5 \times 0.0821 \times 300 = 12.315$. આ આદર્શ વર્તણૂક છે.
$C)$ $NH_3$ માટે: $PV = 1 \times 22.4 = 22.4$ અને $nRT = 1 \times 0.0821 \times 300 = 24.63$. અહીં $PV \neq nRT$,તેથી તે વાસ્તવિક વાયુ છે.
$D)$ $CO_2$ માટે: $PV = 1 \times 5.6 = 5.6$ અને $nRT = 0.25 \times 0.0821 \times 273 \approx 5.6$. આ આદર્શ વર્તણૂક છે.

(B) $1$ મોલ વાયુ માટે વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ $\left( P + \frac{a}{V^2} \right) (V - b) = RT$ છે.
ઊંચા દબાણે,કદ $V$ નાનું હોય છે,તેથી સુધારાનું પદ $\frac{a}{V^2}$ એ $P$ ની સરખામણીમાં ખૂબ મોટું બને છે. જોકે,$(V - b)$ પદને અવગણી શકાય નહીં કારણ કે $V$ એ $b$ ની તુલનાત્મક છે.
આમ,દબાણ સુધારાનું પદ $\frac{a}{V^2}$ ને $P$ ની સાપેક્ષમાં અવગણતા,સમીકરણ $P(V - b) = RT$ બને છે.

(C) નીચા તાપમાને વાયુ થર્મોમેટ્રી માટે હિલીયમ યોગ્ય છે કારણ કે તેનું ઉત્કલનબિંદુ ખૂબ નીચું $(4.2 \ K)$ છે અને તે નીચા તાપમાને પણ લગભગ આદર્શ વાયુ જેવું વર્તન કરે છે.

(A) વાસ્તવિક વાયુઓ ઊંચા દબાણ અને નીચા તાપમાનની સ્થિતિમાં આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલિત થાય છે.
આનું કારણ એ છે કે નીચા તાપમાને અણુઓની ગતિજ ઉર્જા ઓછી હોય છે,જેનાથી આંતરઆણ્વીય બળો નોંધપાત્ર બને છે.
ઊંચા દબાણે,પાત્રના કુલ કદની સાપેક્ષમાં વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ નોંધપાત્ર બને છે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,સૌથી નીચું તાપમાન અને સૌથી ઊંચું દબાણ ધરાવતી સ્થિતિ મહત્તમ વિચલન દર્શાવશે.
$-10\, ^\circ C$ અને $5\, atm$ એ સૌથી નીચું તાપમાન અને સૌથી ઊંચું દબાણ ધરાવતું સંયોજન છે.
તેથી,વિચલન $-10\, ^\circ C$ અને $5\, atm$ પર મહત્તમ છે.

(B) આદર્શ વાયુ એ એક એવી પ્રણાલી છે જેમાં કોઈ આંતરઆણ્વીય કે આંતરપરમાણ્વીય બળો હોતા નથી.
વાસ્તવિક વાયુઓ ઊંચા તાપમાને અને નીચા દબાણે આદર્શ વાયુ જેવું વર્તન દર્શાવે છે.
તેનાથી વિપરીત,નીચા તાપમાને અને ઊંચા દબાણે,આંતરઆણ્વીય બળો નોંધપાત્ર બને છે અને વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલ કદ પાત્રના કુલ કદની સરખામણીમાં અવગણી શકાય તેવું રહેતું નથી.
તેથી,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ થી વિચલન નીચા તાપમાને અને ઊંચા દબાણે મહત્તમ હોય છે.

(A) સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{P V_m}{R T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે કે $P = 1 \, atm$ અને $T = 273 \, K$ પર $Z > 1$ છે.
આદર્શ વાયુ માટે,$STP$ પર $V_{ideal} = \frac{R T}{P} = 22.4 \, L$ થાય.
કારણ કે $Z = \frac{V_{real}}{V_{ideal}} > 1$,તેથી $V_{real} > V_{ideal}$ થાય.
આથી,$V_m > 22.4 \, L$.

(C) $1 \ mol$ વાયુ માટે વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ $(P + a/V_m^2)(V_m - b) = RT$ છે.
ઓછા દબાણે,કદ $V_m$ ખૂબ મોટું હોય છે,તેથી પદ $b$ (જે બાકાત કદ દર્શાવે છે) $V_m$ ની સરખામણીમાં અવગણ્ય બને છે,એટલે કે $(V_m - b) \approx V_m$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(P + a/V_m^2)(V_m) = RT$ મળે છે.

(A) સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{V_m}{V_{ideal}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે કે $STP$ પર $Z < 1$ છે.
$STP$ પર આદર્શ વાયુનું મોલર કદ $V_{ideal} = 22.4 \, L$ હોવાથી:
$\frac{V_m}{22.4} < 1$
તેથી,$V_m < 22.4 \, L$.

(A) $STP$ પર $1 \text{ mole}$ જળબાષ્પ $22.4 \text{ L}$ કદ રોકે છે,જેમાં અણુઓ વચ્ચેની ખાલી જગ્યાનો પણ સમાવેશ થાય છે.
અણુઓ દ્વારા રોકાયેલ વાસ્તવિક કદ એટલે $1 \text{ mole}$ પ્રવાહી પાણી $(18 \text{ g})$ નું કદ.
પાણીની ઘનતા $1 \text{ g mL}^{-1}$ હોવાથી,$18 \text{ g}$ પાણીનું કદ $18 \text{ mL}$ $(0.018 \text{ L})$ થાય.
$22.4 \text{ L}$ ની સાપેક્ષમાં ગણતરી કરતા:
$\text{Percentage} = (0.018 / 22.4) \times 100 \approx 0.08\%$.
આમ,વાસ્તવિક કદ $22.4 \text{ L}$ ના $1\%$ થી ઓછું છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નું પાલન વાસ્તવિક વાયુઓ ઊંચા તાપમાન અને નીચા દબાણની પરિસ્થિતિમાં કરે છે.
નીચા તાપમાને,વાયુના અણુઓની ગતિજ ઉર્જા ઓછી હોય છે અને આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળો નોંધપાત્ર બને છે.
ઊંચા દબાણે,વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ પાત્રના કુલ કદની સરખામણીમાં નોંધપાત્ર બને છે.
તેથી,વાસ્તવિક વાયુઓ નીચા તાપમાન અને ઊંચા દબાણે આદર્શ વર્તણૂકથી સૌથી વધુ વિચલન દર્શાવે છે.

(C) વાસ્તવિક વાયુ નીચા દબાણ અને ઊંચા તાપમાને આદર્શ વાયુ જેવું વર્તન કરે છે.
નીચા દબાણે,વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલ કદ પાત્રના કુલ કદની સરખામણીમાં નહિવત બની જાય છે.
ઊંચા તાપમાને,વાયુના અણુઓની ગતિજ ઉર્જા વધારે હોય છે,જેના કારણે આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો નહિવત થઈ જાય છે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,$0.5 \, atm$ (સૌથી ઓછું દબાણ) અને $500 \, K$ (સૌથી ઊંચું તાપમાન) આદર્શ વર્તણૂકની સૌથી નજીકની પરિસ્થિતિ પૂરી પાડે છે.

(B) વાન્ડરવાલ્સ સમીકરણ $(P + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ વાસ્તવિક વાયુઓના આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલનને સમજાવવા માટે મેળવવામાં આવ્યું હતું.
તેમાં વાયુના અણુઓના મર્યાદિત કદ $(b)$ અને આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળો $(a)$ માટેના સુધારાનો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,તે ખાસ કરીને વાસ્તવિક વાયુઓ માટે સાચું છે.

(B) વેન્ડર વાલ્સ અચળાંક $'a'$ એ વાયુના અણુઓ વચ્ચેના આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળનું માપ છે.
$'a'$ નું મૂલ્ય જેટલું વધારે,તેટલા આંતરઆણ્વીય બળો મજબૂત અને વાયુનું પ્રવાહીકરણ કરવું તેટલું સરળ.
તેથી,$'a'$ નું મૂલ્ય સૌથી ઓછું હોય તે વાયુનું પ્રવાહીકરણ સૌથી મુશ્કેલીથી થાય.
આપેલા મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $CH_4 (2.25) > CO (1.46) > O_2 (1.36) > N_2 (1.35)$.
અહીં $N_2$ માટે $'a'$ નું મૂલ્ય સૌથી ઓછું $(1.35)$ હોવાથી,તેનું પ્રવાહીકરણ સૌથી મુશ્કેલીથી થશે.

(C) સંકોચનીયતા અવયવ $Z = PV/RT$ છે.
જ્યારે $Z > 1$ હોય,ત્યારે વાયુ આદર્શ વર્તણૂકથી ધન વિચલન દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે વાયુ આદર્શ વાયુ કરતા ઓછો દબનીય છે અને તેને દબાવવો મુશ્કેલ છે.
જ્યારે $Z = 1$ હોય,ત્યારે વાયુ આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) પાત્રની દિવાલ પર વાયુ દ્વારા લાગુ પડતું દબાણ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. વાયુના ગતિવાદ અને $van \ der \ Waals$ મોડેલ મુજબ,આ દબાણ પાત્રની દિવાલો સાથે વાયુના અણુઓની સતત અથડામણને કારણે ઉદભવે છે. ખાસ કરીને,દબાણ બે મુખ્ય પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. દિવાલ સાથે અણુઓની અથડામણની આવૃત્તિ.
$2$. દિવાલ સાથે અથડામણ વખતે અણુઓના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર,જે ન્યૂટનના બીજા નિયમ $(F = \frac{dp}{dt})$ મુજબ બળ ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,દબાણ એ અથડામણની આવૃત્તિ અને વેગમાનના સ્થાનાંતરણનું સીધું પરિણામ છે.

(B) જે તાપમાને વાસ્તવિક વાયુ દબાણની વિશાળ મર્યાદામાં આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે તેને $Boyle$ તાપમાન અથવા $Boyle$ બિંદુ $(T_B)$ કહેવામાં આવે છે.
આ તાપમાને,દબાણની વિશાળ શ્રેણી માટે સંકોચનીયતા અવયવ $Z$ એ $1$ ની નજીક રહે છે.

(B) વાયુઓના ગતિજ આણ્વીય સિદ્ધાંત મુજબ,આદર્શ વાયુ એવું માને છે કે વાયુના અણુઓ વચ્ચે કોઈ આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળો હોતા નથી.
જોકે,વાસ્તવિક વાયુઓમાં,અણુઓ વચ્ચે નિર્બળ આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળો (વાન ડર વાલ્સ બળો) હોય છે.
આ બળોને કારણે વાસ્તવિક વાયુઓ આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલન દર્શાવે છે,ખાસ કરીને ઊંચા દબાણ અને નીચા તાપમાને.

(B) વાન્ડરવાલ્સ સમીકરણ $(P + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$ છે.
$1 \text{ મોલ}$ વાયુ માટે,તે $(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$ બને છે.
નીચા દબાણે,કદ $V$ ખૂબ મોટું હોય છે,તેથી $V$ ની સાપેક્ષમાં $b$ અવગણી શકાય તેવું છે.
ઊંચા તાપમાને,$\frac{a}{V^2}$ પદ અવગણી શકાય તેવું બને છે કારણ કે $V$ મોટું છે.
આમ,સમીકરણ $PV = RT$ માં સરળ બને છે,જે આદર્શ વાયુ સમીકરણ છે.

(B) વાસ્તવિક વાયુ માટે વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ: $(P + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$
આપેલ છે: $n = 5 \ mol$,$V = 1 \ L$,$T = 47 + 273 = 320 \ K$,$a = 3.592 \ atm \ L^2 \ mol^{-2}$,$b = 0.0427 \ L \ mol^{-1}$,$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$
કિંમતો મૂકતા: $(P + \frac{3.592 \times 5^2}{1^2})(1 - 5 \times 0.0427) = 5 \times 0.0821 \times 320$
$(P + 89.8)(1 - 0.2135) = 131.36$
$(P + 89.8)(0.7865) = 131.36$
$P + 89.8 = \frac{131.36}{0.7865} \approx 167.02$
$P = 167.02 - 89.8 = 77.22 \ atm$
આમ,દબાણ આશરે $77.2 \ atm$ છે.

(B) સંકોચનીયતા અવયવ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \frac{PV}{nRT}$ છે.
આપેલ છે: $P = 40 \ atm$,$V = 0.4 \ L$,$n = 1 \ mol$,$R = 0.0821 \ L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$,$T = 300 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $Z = \frac{40 \times 0.4}{1 \times 0.0821 \times 300} = \frac{16}{24.63} \approx 0.65$.
અહીં $Z < 1$ હોવાથી,આકર્ષણ બળો પ્રબળ છે,જેનો અર્થ છે કે વાયુ આદર્શ વાયુ કરતા વધુ દબનીય છે.

(C) વાન્ડરવાલ્સ અચળાંક $'a'$ એ વાયુના અણુઓ વચ્ચેના આકર્ષણ બળનું પ્રમાણ દર્શાવે છે.
આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળ જેટલું વધારે,$'a'$ નું મૂલ્ય તેટલું જ વધારે હોય છે.
આપેલા વાયુઓ પૈકી,$NH_3$ એ ધ્રુવીય અણુ છે જે હાઇડ્રોજન બંધ બનાવી શકે છે,જેના પરિણામે પ્રબળ આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળ ઉદભવે છે.
તેથી,અધ્રુવીય વાયુઓ $He$,$H_2$ અને $O_2$ ની સરખામણીમાં $NH_3$ માટે $'a'$ નું મૂલ્ય સૌથી વધુ છે.

(A) વાસ્તવિક વાયુના $1 \text{ mole}$ માટે વાન્ડરવાલ્સ સમીકરણ: $(P + \frac{a}{V_m^2})(V_m - b) = RT$ છે.
આ સમીકરણમાં,પદ $\frac{a}{V_m^2}$ એ વાયુના અણુઓ વચ્ચેના આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળોને દર્શાવે છે.
પદ $(V_m - b)$ એ વાયુના અણુઓના કદને કારણે બાદ કરેલા કદને દર્શાવે છે.
તેથી,આંતરઆણ્વીય બળો માટેનું પદ $P + \frac{a}{V_m^2}$ છે.

(C) દબનીય અવયવ $Z$ ને $Z = \frac{PV_m}{RT}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,$Z = 1$ અને $STP$ પર મોલર કદ $V_m$ એ $22.4 \ dm^3$ હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે $Z > 1$,જે દર્શાવે છે કે વાયુ આદર્શ વર્તણૂકથી ધન વિચલન દર્શાવે છે,એટલે કે અપાકર્ષણ બળો પ્રભાવી છે.
કારણ કે $Z = \frac{V_{m, real}}{V_{m, ideal}}$,જો $Z > 1$ હોય,તો $V_{m, real} > V_{m, ideal}$ થાય.
તેથી,મોલર કદ $V_m$ એ $22.4 \ dm^3$ કરતા વધારે હશે.

(C) $1 \ mol$ વાયુ માટે વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ: $\left( P + \frac{a}{V_m^2} \right) (V_m - b) = RT$ છે.
ઓછા દબાણે,કદ $V_m$ ખૂબ મોટું હોય છે,તેથી $V_m \gg b$. તેથી,$(V_m - b)$ પદને $V_m$ તરીકે લઈ શકાય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\left( P + \frac{a}{V_m^2} \right) V_m = RT$ મળે છે.

(A) એક મોલ વાયુ માટે વાન્ડર વાલ્સનું સમીકરણ $(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$ છે.
ઓછા દબાણે,કદ $V$ મોટું હોય છે,તેથી $V$ ની સરખામણીમાં $b$ અવગણી શકાય છે.
સમીકરણ $(P + \frac{a}{V^2})V = RT$ માં ફેરવાય છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $PV + \frac{a}{V} = RT$ મળે છે.
બંને બાજુને $RT$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{PV}{RT} + \frac{a}{VRT} = 1$ મળે છે.
સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{PV}{RT}$ હોવાથી,$Z + \frac{a}{VRT} = 1$ થાય.
તેથી,$Z = 1 - \frac{a}{VRT}$.

(B) $n$ મોલ વાયુ માટે વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ: $\left( P + \frac{an^2}{V^2} \right) \left( V - nb \right) = nRT$
$n = 0.5 = \frac{1}{2}$ મોલ મૂકતા:
$\left( P + \frac{a(1/2)^2}{V^2} \right) \left( V - \frac{b}{2} \right) = \frac{1}{2} RT$
$\left( P + \frac{a}{4V^2} \right) \left( V - \frac{b}{2} \right) = \frac{RT}{2}$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$\left( P + \frac{a}{4V^2} \right) \left( 2V - b \right) = RT$

(B) બોઈલનું તાપમાન એ તાપમાન છે કે જેના પર વાસ્તવિક વાયુ દબાણના નોંધપાત્ર ગાળા માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણનું પાલન કરે છે.
આ તાપમાને,સંકોચનીયતા અવયવ $Z$ નું મૂલ્ય $1$ હોય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\left[ P + \frac{a}{V^2} \right] V = RT$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $PV + \frac{a}{V} = RT$.
બંને બાજુને $RT$ વડે ભાગતા: $\frac{PV}{RT} + \frac{a}{RTV} = 1$.
સંકોચનક્ષમતા અવયવ $Z = \frac{PV}{RT}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ: $Z + \frac{a}{RTV} = 1$.
$Z$ માટે ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $Z = 1 - \frac{a}{RTV}$.

(A) વાસ્તવિક વાયુ માટે વાન ડર વાલ્સ સમીકરણ: $(P + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$ છે.
જ્યારે વાસ્તવિક વાયુ આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે,ત્યારે વિચલનો ન્યૂનતમ હોવા જોઈએ.
$1$. પદ $\frac{an^2}{V^2}$ આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળો દર્શાવે છે. જો $a$ નાનો હોય,તો આ બળો નગણ્ય છે.
$2$. પદ $nb$ અણુઓ દ્વારા રોકાયેલ કદ દર્શાવે છે. જો $b$ નાનો હોય,તો અણુઓનું કદ પાત્રના કુલ કદની સરખામણીમાં નગણ્ય છે.
તેથી,જ્યારે બંને અચળાંકો $a$ અને $b$ નાના હોય,ત્યારે વાસ્તવિક વાયુ આદર્શ વાયુ જેવું વર્તન કરે છે.

(C) વાસ્તવિક વાયુ ઓછા દબાણ અને ઊંચા તાપમાને આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે.
તેથી,વાસ્તવિક વાયુ ઊંચા દબાણ $(B)$ અને ઓછા તાપમાને $(C)$ આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલન દર્શાવે છે.