Real gases and Vander waal’s equation Questions in Gujarati

(B) વાયુઓના ગતિજ આણ્વીય સિદ્ધાંત મુજબ,એક ધારણા એ છે કે વાયુના અણુઓ વચ્ચે કોઈ આંતર-આણ્વીય આકર્ષણ બળો હોતા નથી. જોકે,વાસ્તવિક વાયુઓમાં,આ બળો નહિવત હોતા નથી,જે આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલનનું કારણ બને છે.

(B) વાન ડર વાલ્સ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\left( P + \frac{an^2}{V^2} \right) (V - nb) = nRT$
આપેલ છે: $a = 3.592 \, atm \, L^2 \, mol^{-2}$,$b = 0.0427 \, L \, mol^{-1}$,$V = 1 \, L$,$n = 5 \, mol$,$T = 273 + 47 = 320 \, K$,$R = 0.0821 \, L \, atm \, K^{-1} \, mol^{-1}$
કિંમતો મૂકતા: $\left( P + \frac{3.592 \times 5^2}{1^2} \right) (1 - 5 \times 0.0427) = 5 \times 0.0821 \times 320$
$\left( P + 89.8 \right) (0.7865) = 131.36$
$P + 89.8 = \frac{131.36}{0.7865} \approx 167.02$
$P = 167.02 - 89.8 = 77.22 \, atm$
આમ,દબાણ આશરે $77.2 \, atm$ છે.

(B) સંકોચનીયતા અવયવ (Compressibility factor),$Z = \frac{PV}{nRT}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $Z = \frac{40 \times 0.4}{1 \times 0.0821 \times 300} = 0.65$.
અહીં $Z < 1$ હોવાથી,વાયુ આદર્શ વર્તણૂકની અપેક્ષા કરતા વધુ સંકોચનીય છે.

(A) સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{PV}{nRT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$STP$ પર,$P = 1 \, atm$,$T = 273 \, K$,$V = 50 \, L$ અને $n = 2 \, mol$ છે.
$R = 0.0821 \, L \, atm \, K^{-1} \, mol^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Z = \frac{1 \times 50}{2 \times 273 \times 0.0821} \approx 1.115$.
અહીં $Z > 1$ હોવાથી,વાયુ આદર્શ વર્તણૂકથી ધન વિચલન દર્શાવે છે.

(C) વાનડરવાલ્સ અચળાંક $'a'$ એ વાયુના અણુઓ વચ્ચેના આંતર-આણ્વીય આકર્ષણ બળોનું માપ દર્શાવે છે.
$NH_3$ એ ધ્રુવીય અણુ છે અને તેમાં પ્રબળ આંતર-આણ્વીય હાઇડ્રોજન બંધ જોવા મળે છે.
આ પ્રબળ આકર્ષણ બળોને કારણે,આપેલા વિકલ્પોમાંથી $NH_3$ માટે $'a'$ નું મૂલ્ય સૌથી વધુ હોય છે.

(C) વાનડરવાલ્સ અચળાંક $b$ એ વાયુના અણુઓના મોલ દીઠ બાકાત કદ (excluded volume) દર્શાવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર અણુ માટે,એક અણુનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
બે અણુઓની જોડી માટે બાકાત કદ એ $2r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું કદ છે,જે $\frac{4}{3}\pi (2r)^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$ થાય છે.
અણુ દીઠ બાકાત કદ આના કરતા અડધું એટલે કે $4 \times \frac{4}{3}\pi r^3$ થાય છે.
તેથી,$1 \ \text{mole}$ વાયુ ($N_A$ અણુઓ) માટે,અચળાંક $b = 4 \times \left( \frac{4}{3}\pi r^3 \right) N_A$ થાય છે.

(B) $n$ મોલ વાસ્તવિક વાયુ માટે વાનડરવાલ્સ સમીકરણ $(P + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$ છે.
$1$ મોલ વાયુ માટે,તે $(P + \frac{a}{V_m^2})(V_m - b) = RT$ થાય છે.
અહીં,પદ $\frac{a}{V_m^2}$ એ દબાણ સુધારણા ફેક્ટર છે,જે વાયુના અણુઓ વચ્ચેના આંતર આણ્વીય આકર્ષણ બળોને દર્શાવે છે.
તેથી,આંતર આણ્વીય બળો માટેનું પદ $P + \frac{a}{V_m^2}$ છે.

(D) વાન ડર વાલ્સ સમીકરણ મુજબ: $\left( P + \frac{a}{V^2} \right) (V - b) = RT$.
ઘણા નીચા દબાણે,કદ $V$ ઘણું વધારે હોય છે.
તેથી,$\frac{a}{V^2}$ પદને અવગણી શકાય છે.
તે જ રીતે,કદ સુધારણા પદ $b$ પણ $V$ ની સરખામણીમાં અવગણી શકાય છે.
આમ,સમીકરણ $PV = RT$ માં ફેરવાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઘણા નીચા દબાણે,વાસ્તવિક વાયુ આદર્શ વાયુ જેવું વર્તન દર્શાવે છે.
તેથી,કમ્પ્રેસિબિલિટી ફેક્ટર $Z = \frac{PV}{RT} = 1$ થાય છે.

(C) કમ્પ્રેસિબિલિટી ફેક્ટર $Z = \frac{V_{real}}{V_{ideal}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$Z > 1$ હોવાથી,તે સૂચવે છે કે $V_{real} > V_{ideal}$.
$STP$ એ,આદર્શ વાયુનું મોલર કદ $V_{ideal} = 22.4 \, dm^3$ હોય છે.
તેથી,$Z > 1$ ધરાવતા વાયુ માટે,વાસ્તવિક મોલર કદ $V_m$ એ $22.4 \, dm^3$ કરતાં વધારે હોવું જોઈએ.

(A) મધ્યમ દબાણે કદ $V$ નાનું હોવાથી $\frac{a}{V^2}$ પદને અવગણી શકાતું નથી,પરંતુ '$b$' ને $V$ ની સાપેક્ષમાં અવગણી શકાય છે.
વાનડરવાલ્સ સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે: $(P + \frac{a}{V^2})V = RT$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $PV + \frac{a}{V} = RT$,જે $PV = RT - \frac{a}{V}$ માં પરિણમે છે.
$RT$ વડે ભાગતા: $\frac{PV}{RT} = 1 - \frac{a}{RTV}$,તેથી $Z = 1 - \frac{a}{RTV}$.
આમ,$Z = 1 - \frac{a}{RTV}$ હોવાથી,જેમ તાપમાન $T$ વધે છે,તેમ $\frac{a}{RTV}$ પદ ઘટે છે,જેના પરિણામે $Z$ નું મૂલ્ય $1$ ની નજીક વધે છે.

(B) ઊંચા દબાણે,કદ $V$ ખૂબ જ નાનું હોય છે. પદ $\frac{a}{V^2}$ મોટો થાય છે,પરંતુ ઊંચા દબાણ $P$ ની સરખામણીમાં તેને અવગણી શકાય છે. તેથી,વાન્ડરવાલ્સ સમીકરણ નીચે મુજબ બદલાય છે:
$P(V - b) = RT$
$PV = RT + Pb$
$\frac{PV}{RT} = 1 + \frac{Pb}{RT}$
$Z = 1 + \frac{Pb}{RT}$
અહીં $Z > 1$ હોવાથી,સંકોચનીયતા અવયવ એક કરતા વધારે હોય છે અને તાપમાન વધતા તે ઘટે છે.

(C) વાન ડર વાલ્સ સમીકરણ $(P + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$ છે.
આ સમીકરણમાં,અચળાંક $a$ એ આંતર-આણ્વીય આકર્ષણ બળોનું માપ દર્શાવે છે,જ્યારે અચળાંક $b$ એ બાકાત રાખેલ કદ અથવા વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલ કદ દર્શાવે છે.

(B) આદર્શ વર્તણૂકથી દબાણમાં વિચલન થવાનું મુખ્ય કારણ અણુઓ વચ્ચે રહેલા આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળો છે.
જો આપણે માત્ર દબાણ સુધારાને ધ્યાનમાં લઈએ,તો વાન ડર વાલ્સ સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$\left(P + \frac{an^2}{V^2}\right)V = nRT$
$PV + \frac{an^2}{V} = nRT$
આથી,$PV < nRT$ અથવા $\frac{PV}{nRT} < 1$ થાય છે.

(D) $n$ મોલ વાસ્તવિક વાયુ માટે વાન ડર વાલ્સ સમીકરણ આ મુજબ છે: $\left( P + \frac{n^2a}{V^2} \right) (V - nb) = nRT$
અહીં,$P$ એ દબાણ છે,$V$ એ કદ છે,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે,અને $a$ તથા $b$ એ વાન ડર વાલ્સ અચળાંકો છે.

(B) વાન ડર વાલ્સ સમીકરણ નીચે મુજબ છે: $\left( P + \frac{n^2 a}{V^2} \right) (V - nb) = nRT$
આપેલ છે: $n = 2\, \text{mol}$,$V = 5\, L$,$a = 4.17$,$b = 0.03711$,$R = 0.0821\, L\, atm\, K^{-1}\, mol^{-1}$,$T = 27 + 273 = 300\, K$.
કિંમતો મૂકતા: $\left( P + \frac{2^2 \times 4.17}{5^2} \right) (5 - 2 \times 0.03711) = 2 \times 0.0821 \times 300$
$\left( P + \frac{16.68}{25} \right) (5 - 0.07422) = 49.26$
$(P + 0.6672) \times 4.92578 = 49.26$
$P + 0.6672 = \frac{49.26}{4.92578} \approx 10.00$
$P = 10.00 - 0.6672 = 9.3328\, atm \approx 9.333\, atm$.

(D) વાસ્તવિક વાયુઓ $high \ temperatures$ (ઊંચા તાપમાન) અને $low \ pressures$ (નીચા દબાણ) પર આદર્શ વાયુ જેવું વર્તન દર્શાવે છે.

(B) આદર્શ વાયુ વર્તણૂકથી વિચલન મુખ્યત્વે આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળોના મૂલ્ય દ્વારા નક્કી થાય છે.
$NH_{3}$ એ ધ્રુવીય અણુ છે અને તે પ્રબળ દ્વિધ્રુવ-દ્વિધ્રુવ આકર્ષણ બળો ધરાવે છે,જ્યારે $CH_{4}$,$H_{2}$ અને $N_{2}$ અધ્રુવીય છે અને માત્ર નિર્બળ લંડન વિસર્જન બળો ધરાવે છે.
તેથી,$NH_{3}$ આદર્શ વાયુ વર્તણૂકથી મહત્તમ વિચલન દર્શાવે છે.

(A) અચળાંક $b$ એ બાકાત કદ દર્શાવે છે,જે અણુના કદ સાથે વધે છે. સમૂહ-$I$ માટે $b$ નો ક્રમ: $He (0.0237) < H_2 (0.0266) < O_2 (0.0318) < CO_2 (0.0427)$ છે. આમ,$I. He < H_2 < O_2 < CO_2$.
અચળાંક $a$ એ આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળોનું મૂલ્ય દર્શાવે છે. મોટા અણુઓ જેમાં વધુ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે તેમાં વાન્ડર વાલ્સ બળો મજબૂત હોય છે. સમૂહ-$II$ માટે $a$ નો ક્રમ: $CH_4 (2.25) > O_2 (1.36) > H_2 (0.244)$ છે. આમ,$II. CH_4 > O_2 > H_2$.

(D) નું મૂલ્ય એ વાયુના અણુઓ વચ્ચેના આકર્ષણ બળનું માપ છે. $a$ નું મૂલ્ય જેટલું વધારે,તેટલું વાયુના અણુઓ વચ્ચેનું આંતર-આણ્વીય આકર્ષણ બળ વધારે.
$b$ નું મૂલ્ય વાયુના અણુઓના અસરકારક કદ સાથે સંબંધિત છે. તેને બાકાત કદ (excluded volume) તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
જે વાયુઓ માટે $a$ નું મૂલ્ય વધારે અને $b$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય તે વધુ સરળતાથી પ્રવાહીમાં ફેરવી શકાય છે. તેથી $Cl_2$ માટે $a$ નું મૂલ્ય $C_2H_6$ કરતા વધારે અને $b$ નું મૂલ્ય $C_2H_6$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.

(C) વાસ્તવિક વાયુ માટે વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ $(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$ છે.
ઊંચા દબાણે,$\frac{a}{V^2}$ પદ $P$ ની સરખામણીમાં ખૂબ નાનું હોવાથી તેને અવગણી શકાય છે.
આમ,સમીકરણ $P(V - b) = RT$ માં ફેરવાય છે.
વિસ્તરણ કરતા,$PV - Pb = RT$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$PV = RT + Pb$ મળે છે.
બંને બાજુ $RT$ વડે ભાગતા,$\frac{PV}{RT} = 1 + \frac{Pb}{RT}$ મળે છે.
સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{PV}{RT}$ હોવાથી,$Z = 1 + \frac{Pb}{RT}$ થાય છે.
તેથી,ઊંચા દબાણે $Z > 1$ હોય છે.

(B) $1 \ mol$ વાયુ માટે વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$
નીચા દબાણે,કદ $V$ ખૂબ મોટું હોય છે,તેથી $V >> b$. તેથી,પદ $(V - b)$ ને $V$ તરીકે લઈ શકાય.
સમીકરણ આ મુજબ સરળ બને છે:
$(P + \frac{a}{V^2})V = RT$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$PV + \frac{a}{V} = RT$
$PV$ માટે ગોઠવતા:
$PV = RT - \frac{a}{V}$
સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{PV}{RT}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે બંને બાજુને $RT$ વડે ભાગતા:
$\frac{PV}{RT} = 1 - \frac{a}{VRT}$
આમ,$Z = 1 - \frac{a}{VRT}$.

(B) વાસ્તવિક વાયુ માટે સંકોચનીયતા અવયવ $Z$ એ વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધન વિચલન $(Z > 1)$ ત્યારે થાય છે જ્યારે અપાકર્ષણ બળો અથવા વાયુના અણુઓનું મર્યાદિત કદ નોંધપાત્ર બને છે.
વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ $(P + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$ માં,અચળાંક $b$ એ વાયુના અણુઓનું બાકાત કદ દર્શાવે છે.
જ્યારે દબાણ ઊંચું હોય,ત્યારે વાયુના અણુઓનું કદ $(nb)$ કુલ કદ $V$ ની સાપેક્ષમાં નોંધપાત્ર બને છે,જેના પરિણામે $Z > 1$ થાય છે.
તેથી,આણ્વિક કદ ધન વિચલન પેદા કરવામાં પ્રભાવી ભૂમિકા ભજવે છે.

(A) સંકોચનીયતા અવયવ $Z$ ને $Z = \frac{PV_m}{RT}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $V_m$ એ મોલર કદ છે.
$V_m$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$V_m = \frac{ZRT}{P}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો: $Z = 1.5$,$P = 2 \ atm$,$T = 400 \ K$,અને $R = 0.08 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $V_m = \frac{1.5 \times 0.08 \times 400}{2}$.
$V_m = \frac{1.5 \times 32}{2} = 1.5 \times 16 = 24 \ L$.

(C) વાન્ડર વાલ્સ અચળાંક '$a$' એ વાયુમાં આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળોના મૂલ્યનું માપ છે.
'$a$' નું મૂલ્ય જેટલું વધારે,તેટલા આંતરઆણ્વીય બળો મજબૂત.
મજબૂત આંતરઆણ્વીય બળો વાયુને પ્રવાહીમાં ફેરવવાનું સરળ બનાવે છે.
આપેલા મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $O_2 (1.360) < N_2 (1.390) < CH_4 (2.253) < NH_3 (4.170)$.
$NH_3$ નું '$a$' મૂલ્ય સૌથી વધુ હોવાથી,તેને સૌથી સરળતાથી પ્રવાહીમાં ફેરવી શકાય છે.

(B) મોલર કદ $V_m = \frac{\text{આણ્વીય દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{27}{0.3} = 90 \ L/mol$.
સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{P V_m}{R T}$.
$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$ લેતા,$Z = \frac{1 \times 90}{0.0821 \times 750} \approx 1.46$.
અહીં $Z > 1$ હોવાથી,વાયુ $A$ આદર્શ વર્તણૂકથી ધન વિચલન દર્શાવે છે.

(D) વાસ્તવિક વાયુના $n$ મોલ માટે વાન્ડર વાલ્સનું સમીકરણ આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ માં આંતરઆણ્વીય બળો અને આણ્વીય કદ માટે સુધારો કરીને મેળવવામાં આવે છે.
દબાણ સુધારણા પદ $\frac{n^2 a}{V^2}$ છે અને કદ સુધારણા પદ $nb$ છે.
આને આદર્શ વાયુ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\left( P + \frac{n^2 a}{V^2} \right) (V - nb) = nRT$
જ્યાં:
$P$ = વાયુનું દબાણ
$V$ = વાયુનું કદ
$n$ = મોલની સંખ્યા
$a$ અને $b$ = વાન્ડર વાલ્સ અચળાંકો
$R$ = સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક
$T$ = તાપમાન

(A) સંકોચનીયતા અવયવ $Z$ ને $Z = \frac{PV}{nRT}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વાસ્તવિક વાયુઓ માટે,આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલન $Z$ વિરુદ્ધ $P$ ના આલેખમાં જોવા મળતા ઘટાડા (dip) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
વધારે ઘટાડો એ આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળોની મજબૂતી સૂચવે છે.
મજબૂત આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો ઊંચા ક્રાંતિક તાપમાન $(T_c)$ સાથે સંબંધિત છે,કારણ કે વાયુનું પ્રવાહીકરણ કરવું સરળ બને છે.
આપેલ આલેખમાં,વાયુ $D$ નો વક્ર આદર્શ વર્તણૂક $(Z=1)$ થી મહત્તમ વિચલન (સૌથી ઊંડો ઘટાડો) દર્શાવે છે.
તેથી,વાયુ $D$ માં સૌથી મજબૂત આંતરઆણ્વિય બળો છે અને તેનું ક્રાંતિક તાપમાન સૌથી વધુ છે.

(B) સંકોચનીયતા અવયવ $Z$ એ $Z = \frac{PV_m}{RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાસ્તવિક વાયુઓ માટે,ઓછા દબાણે,આકર્ષણ બળો પ્રભાવી હોય છે અને $Z < 1$ હોય છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ વાયુ વધુ આદર્શ રીતે વર્તે છે અને $Z$ વિરુદ્ધ $P$ ના આલેખમાં ઘટાડો (dip) ઓછો થાય છે.
આલેખ પરથી,ઘટાડાની ઊંડાઈ આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલન દર્શાવે છે. સૌથી વધુ ઘટાડો ધરાવતો વક્ર સૌથી ઓછા તાપમાનને અનુરૂપ છે અને સૌથી ઓછો ઘટાડો ધરાવતો વક્ર સૌથી વધુ તાપમાનને અનુરૂપ છે.
આમ,તાપમાનનો ક્રમ $T_1 < T_2 < T_3$ છે.
આ તમામ વક્રો ઓછા દબાણે $Z = 1.0$ ની નીચે ઘટાડો દર્શાવે છે,તેથી આ તમામ તાપમાન બોયલ તાપમાન $(T_B)$ કરતા ઓછા છે.
તેથી,સાચો ક્રમ $T_1 < T_2 < T_3 < T_B$ છે.

(A) વાસ્તવિક વાયુ માટે,ક્રાંતિક તાપમાન $T_c = \frac{8a}{27Rb}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ પરથી,$200 \ K$ પરનો આઈસોથર્મ આડો ભાગ દર્શાવે છે,જે સૂચવે છે કે $200 \ K$ એ ક્રાંતિક તાપમાન કરતા ઓછું છે $(T_c > 200 \ K)$.
$300 \ K$ પરનો આઈસોથર્મ આડો ભાગ દર્શાવતો નથી,જે સૂચવે છે કે $300 \ K$ એ ક્રાંતિક તાપમાન કરતા વધારે છે $(T_c < 300 \ K)$.
આમ,$200 < T_c < 300$.
$T_c = \frac{8a}{27Rb}$ મૂકતા,આપણને $200 < \frac{8a}{27Rb} < 300$ મળે છે.
$\frac{a}{b}$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{200 \times 27 \times R}{8} < \frac{a}{b} < \frac{300 \times 27 \times R}{8}$ મળે છે.
$R = 0.08$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $54 < \frac{a}{b} < 81$ મળે છે.

(A) $1$ મોલ આદર્શ વાયુ માટે,સમીકરણ $PV = nRT$ છે. $n = 1$ હોવાથી,$PV = RT$ મળે.
$PV$ અક્ષ પર,દબાણ $P$ એ $0$ ની નજીક પહોંચે છે. વાસ્તવિક વાયુ માટે,જેમ $P \to 0$,વાયુ આદર્શ વર્તણૂક દર્શાવે છે.
તેથી,$PV$ અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $\lim_{P \to 0} PV = nRT$ દ્વારા મળે છે.
અંતઃખંડ $20$ આપેલ છે,તેથી $20 = (1) \times R \times T$.
$T$ માટે ઉકેલતા,$T = \frac{20}{R}$ મળે છે.

(A) વાન્ડર વાલ્સ અચળાંક $a$ એ વાયુના અણુઓ વચ્ચેના આકર્ષણ બળનું મૂલ્ય દર્શાવે છે. મોટા અણુઓ અથવા જેની ધ્રુવીયતા વધુ હોય તેમનું $a$ નું મૂલ્ય સામાન્ય રીતે વધારે હોય છે.
આપેલ કોષ્ટક મુજબ:
$H_2$ માટે,$a = 0.244 \ \text{atm L}^2 \text{mol}^{-2}$
$O_2$ માટે,$a = 1.36 \ \text{atm L}^2 \text{mol}^{-2}$
$CH_4$ માટે,$a = 2.25 \ \text{atm L}^2 \text{mol}^{-2}$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વધતો ક્રમ $0.244 < 1.36 < 2.25$ છે,જે $H_2 < O_2 < CH_4$ ને અનુરૂપ છે.

(C) વાન્ડર વાલ્સ અચળાંક $b$ એ વાયુના અણુઓના મોલ દીઠ બાકાત કદ દર્શાવે છે.
અણુઓની જોડી માટે બાકાત કદ $4 \times \text{એક અણુનું કદ}$ છે.
$1 \ \text{મોલ}$ વાયુ માટે,$b = 4 \times N_{A} \times v$.
તેથી,અણુ દીઠ બાકાત કદ $v = \frac{b}{4 N_{A}}$ થાય છે.

(B) વાયુના ક્રાંતિક તાપમાન $(T_c)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$T_c = \frac{8a}{27Rb}$
આપેલ છે:
$a = 3.6 \ atm \ L^2 \ mol^{-2}$
$b = 40 \ mL \ mol^{-1} = 0.04 \ L \ mol^{-1}$
$R = 0.08 \ atm \ L \ K^{-1} \ mol^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$T_c = \frac{8 \times 3.6}{27 \times 0.08 \times 0.04}$
$T_c = \frac{28.8}{27 \times 0.0032}$
$T_c = \frac{28.8}{0.0864}$
$T_c = 333.33 \ K$

(C) આદર્શ વાયુના નિયમમાં એવી ધારણા કરવામાં આવે છે કે વાયુના અણુઓ વચ્ચે કોઈ આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ કે અપાકર્ષણ બળ હોતું નથી.
જોકે,વાસ્તવિક વાયુઓ (વાન ડર વાલ્સ વાયુઓ) આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળો દર્શાવે છે,જેને વાન ડર વાલ્સ બળો કહેવામાં આવે છે.
આ આકર્ષણ બળો અણુઓને પાત્રની દીવાલોથી દૂર અંદરની તરફ ખેંચે છે.
પરિણામે,અણુઓ પાત્રની દીવાલો સાથે આ આકર્ષણ બળોની ગેરહાજરી કરતા ઓછા બળથી અથડાય છે.
તેથી,વાસ્તવિક વાયુનું અવલોકિત દબાણ આદર્શ વાયુ માટે અનુમાનિત દબાણ કરતા ઓછું હોય છે.

(C) વાન ડર વાલ્સના સમીકરણને અનુસરતા વાયુ માટે,ક્રાંતિક બિંદુએ સંકોચનીયતા અવયવ $Z_c = \frac{P_c V_c}{R T_c} = \frac{(\frac{a}{27b^2}) (3b)}{R (\frac{8a}{27Rb})} = \frac{3}{8} = 0.375$ છે. આ મૂલ્ય વાન ડર વાલ્સના સમીકરણનું પાલન કરતા તમામ વાયુઓ માટે અચળ છે. તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.
ક્રાંતિક તાપમાને $(T_c)$,સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{P V_m}{R T_c}$ અચળ નથી; તે દબાણ $P$ સાથે બદલાય છે કારણ કે $T_c$ પરના આઈસોથર્મ સાથે દબાણ બદલાતા મોલર કદ $V_m$ બદલાય છે. તેથી,વિધાન $-2$ ખોટું છે.

(B) ક્રાંતિક મોલર કદ $V_c$ ની ગણતરી: $V_c = \frac{60}{0.80} = 75 \, cm^3/mol = 0.075 \, L/mol$.
વાન ડર વાલ્સ વાયુ માટે,$V_c = 3b$ હોવાથી,$b = \frac{0.075}{3} = 0.025 \, L/mol$.
ક્રાંતિક તાપમાન $T_c = \frac{8a}{27Rb}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{4 \times 10^5}{821} = \frac{8 \times a}{27 \times 0.0821 \times 0.025}$.
ગણતરી કરતા $a = 3.375 \, atm \, L^2 \, mol^{-2}$ મળે છે.

(D) $n \, \text{mole}$ વાયુ માટે વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ $\left(P + \frac{n^2 a}{V^2}\right)(V - nb) = nRT$ છે.
$1 \, \text{mole}$ $(n=1)$ માટે,સમીકરણ $\left(P + \frac{a}{V^2}\right)(V - b) = RT$ થાય છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$PV - Pb + \frac{a}{V} - \frac{ab}{V^2} = RT$ મળે છે.
નીચા દબાણે,કદ $V$ ખૂબ મોટું હોય છે,તેથી $\frac{b}{V}$ અને $\frac{ab}{V^2}$ પદો અવગણી શકાય છે.
સમીકરણ $PV + \frac{a}{V} = RT$ માં પરિણમે છે.
આખા સમીકરણને $RT$ વડે ભાગતા,$\frac{PV}{RT} + \frac{a}{VRT} = 1$ મળે છે.
સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{PV}{RT}$ હોવાથી,$Z + \frac{a}{VRT} = 1$ લખી શકાય.
તેથી,$Z = 1 - \frac{a}{VRT}$.

(B) વાન ડર વાલ્સ સમીકરણ $(P + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$ છે.
દબાણ સુધારણા પદ પરથી,$P = \frac{an^2}{V^2}$.
$a$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$a = \frac{P \cdot V^2}{n^2}$.
એકમો મૂકતા: $P$ માટે $atm$,$V$ માટે $L$,અને $n$ માટે $mol$.
તેથી,$a$ નો એકમ $\frac{atm \cdot L^2}{mol^2}$ અથવા $atm \cdot L^2 \cdot mol^{-2}$ છે.

(C) આપેલ $PV$ વિરુદ્ધ $P$ ના આલેખના આધારે:
$1$. $H_2$ અને $He$ જેવા વાયુઓ તમામ દબાણે આદર્શ વાયુ વર્તણૂકથી માત્ર ધન વિચલન દર્શાવે છે.
$2$. $CO$ અને $CH_4$ જેવા વાયુઓ ઓછા દબાણે ઋણ વિચલન (જ્યાં $PV < nRT$) અને ઊંચા દબાણે ધન વિચલન (જ્યાં $PV > nRT$) દર્શાવે છે.
$3$. તેથી,$CO$ અને $CH_4$ બંને પ્રકારના વિચલનો દર્શાવે છે.

(B) ક્રિટીકલ તાપમાન $T_{C} = \frac{8a}{27bR}$ છે.
ક્રિટીકલ દબાણ $P_{C} = \frac{a}{27b^{2}}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{T_{C}}{P_{C}} = \frac{\frac{8a}{27bR}}{\frac{a}{27b^{2}}} = \frac{8b}{R}$ થાય છે.

(B) વાસ્તવિક વાયુ માટે વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ $(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$ છે.
ઊંચા દબાણે,$\frac{a}{V^2}$ પદ $P$ ની સરખામણીમાં ખૂબ નાનું હોવાથી તેને અવગણી શકાય છે.
આમ,સમીકરણ $P(V - b) = RT$ થાય છે.
વિસ્તરણ કરતા,$PV - Pb = RT$ મળે છે.
બંને બાજુ $RT$ વડે ભાગતા,$\frac{PV}{RT} - \frac{Pb}{RT} = 1$ મળે છે.
સંકોચન અવયવ $Z = \frac{PV}{RT}$ હોવાથી,$Z - \frac{Pb}{RT} = 1$ થાય.
તેથી,$Z = 1 + \frac{Pb}{RT}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) વાન ડર વાલ્સ સમીકરણ મુજબ,અચળાંક '$a$' એ વાયુમાં આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળનું માપ દર્શાવે છે.
'$a$' નું મૂલ્ય જેટલું વધારે,તેટલું આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળ વધારે.
વધારે આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળને કારણે વાયુનું પ્રવાહીકરણ સરળ બને છે.
આપેલા મૂલ્યોની સરખામણી કરતા:
$SO_2 = 6.71$
$Cl_2 = 6.49$
$NH_3 = 4.17$
$CO_2 = 3.59$
$SO_2$ માટે '$a$' નું મૂલ્ય સૌથી વધુ હોવાથી,તેનું સૌથી સરળતાથી પ્રવાહીકરણ થઈ શકે છે.

(B) સંકોચનીયતા અવયવ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \frac{PV}{nRT}$ છે.
આપેલ છે:
$P = 40 \ atm$
$V = 0.4 \ L$
$n = 1 \ mole$
$R = 0.08 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$
$T = 300 \ K$
કિંમતો મૂકતા:
$Z = \frac{40 \times 0.4}{1 \times 0.08 \times 300} = 0.64$
અહીં $Z < 1$ હોવાથી,વાયુ આદર્શ વાયુ કરતા વધુ સંકોચનીય છે,જે દર્શાવે છે કે આકર્ષણ બળો પ્રભાવી છે.

(B) નિષ્ક્રિય વાયુઓ સ્વભાવે એકપરમાણ્વીય અને અધ્રુવીય હોય છે.
તેમની પાસે કાયમી દ્વિધ્રુવોનો અભાવ હોવાથી,તેમના પરમાણુઓ વચ્ચે હાજર એકમાત્ર આકર્ષણ બળ એ નિર્બળ લંડન ડિસ્પર્ઝન બળ છે,જેને ક્ષણિક દ્વિધ્રુવ-પ્રેરિત દ્વિધ્રુવ બળ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
આ બળો ઇલેક્ટ્રોન ઘનતામાં થતા કામચલાઉ ફેરફારને કારણે ઉદ્ભવે છે,જે એક કામચલાઉ દ્વિધ્રુવ બનાવે છે જે નજીકના પરમાણુમાં દ્વિધ્રુવને પ્રેરિત કરે છે.
તેથી,આ બળો ખૂબ જ ઓછા તાપમાને નિષ્ક્રિય વાયુઓના પ્રવાહીકરણ માટે જવાબદાર છે.

(B) $1 \ mol$ વાયુ માટે વાન ડર વાલ્સ સમીકરણ: $(P + a/V^2)(V - b) = RT$ છે.
ઊંચા દબાણે,કદ $V$ નાનું હોય છે,જેના કારણે $P$ ની સાપેક્ષમાં $a/V^2$ પદને અવગણી શકાય છે.
તેથી,$(P + a/V^2) \approx P$.
સમીકરણ આ રીતે સરળ બને છે: $P(V - b) = RT$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $PV - Pb = RT$.
પુનઃગોઠવણી કરતા: $PV = RT + Pb$ મળે છે.

(D) આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો અને વાયુના અણુઓના કદને કારણે વાસ્તવિક વાયુઓ આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલિત થાય છે.
તાપમાન અને દબાણની પરિસ્થિતિઓને આધારે,સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{PV}{nRT}$ નું મૂલ્ય $1$ કરતા વધારે અથવા $1$ કરતા ઓછું હોઈ શકે છે.
તેથી,વાસ્તવિક વાયુ આદર્શ વાયુ કરતા વધુ કે ઓછો સંકોચનીય હોય છે.

(A) $(i)$ વાન્ડર વાલ્સ અચળાંક $'a'$ આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળોનું પ્રમાણ દર્શાવે છે. વધુ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા મોટા અણુઓ મજબૂત વાન્ડર વાલ્સ બળો દર્શાવે છે. આપેલા વાયુઓની સરખામણી કરતા,$CO_2$ નું આણ્વીય દળ અને ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા સૌથી વધુ છે,તેથી તેનું $'a'$ નું મૂલ્ય સૌથી વધુ છે.
$(ii)$ વાન્ડર વાલ્સ અચળાંક $'b'$ બાકાત કદ (excluded volume) દર્શાવે છે,જે વાયુના અણુઓના કદના પ્રમાણમાં હોય છે. આપેલા વાયુઓમાં $H_2$ સૌથી નાનો અણુ છે,તેથી તેનું $'b'$ નું મૂલ્ય સૌથી ઓછું છે.
આમ,સાચો જવાબ $(i) CO_2, (ii) H_2$ છે.

(A) વાયુના $n$ મોલ માટે વેન્ડર વાલ્સ સમીકરણ: $(P + \frac{n^2 a}{V^2})(V - nb) = nRT$ છે.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,પદ $\frac{n^2 a}{V^2}$ નો એકમ દબાણ $(P)$ ના એકમ જેટલો જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{n^2 a}{V^2}$ નો એકમ = $atm$.
એકમો મૂકતા: $\frac{(mol)^2 \cdot a}{(L)^2} = atm$.
$a$ માટે ગોઠવતા: $a = atm \cdot L^2 \cdot mol^{-2}$.
કારણ કે $1 \, L = 1 \, dm^3$,તેથી $L^2 = (dm^3)^2 = dm^6$.
આમ,$a$ નો એકમ $dm^6 \, atm \, mol^{-2}$ છે.

(B) સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{PV_m}{RT}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આદર્શ વાયુ માટે,$Z = 1$ અને $NTP$ પર $V_m = 22.4 \ L$ હોય છે.
જો $Z > 1$ હોય,તો વાયુ આદર્શ વર્તણૂકથી ધન વિચલન દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે અપાકર્ષણ બળો પ્રભાવી છે.
પરિણામે,મોલર કદ $V_m$ એ આદર્શ મોલર કદ કરતા વધારે હોય છે,એટલે કે $V_m > 22.4 \ L$ ($NTP$ પર).

(C) વાન ડર વાલ્સ અચળાંક '$a$' વાયુમાં આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળોનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
જેમ આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળો વધે છે,તેમ '$a$' નું મૂલ્ય વધે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$NH_3$ એક ધ્રુવીય અણુ છે જે હાઇડ્રોજન બંધ બનાવી શકે છે,જેના પરિણામે અધ્રુવીય વાયુઓ $H_2$,$Ne$ અને $He$ ની સરખામણીમાં તેમાં આંતરઆણ્વીય બળો વધુ મજબૂત હોય છે.
તેથી,$NH_3$ નું '$a$' મૂલ્ય સૌથી વધુ છે.