Mix Examples - Some Applications of Trigonometry Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $BC = 6\, m$ એ થાંભલાની ઊંચાઈ છે અને $AB = 2\sqrt{3}\, m$ એ જમીન પરના પડછાયાની લંબાઈ છે. ધારો કે સૂર્યનો ઉન્નતકોણ $\theta$ છે.
કાટકોણ $\triangle ABC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{BC}{AB}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{6}{2\sqrt{3}}$
$\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{3}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\tan \theta = \frac{3 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી:
$\theta = 60^{\circ}$
આમ,સૂર્યનો ઉન્નતકોણ $60^{\circ}$ છે.

(A) સાચું.
આકૃતિમાં,બિંદુ $B$ ને રેખાખંડ $BC$ પર $C$ ની નજીક ખસેડવામાં આવે છે. તે અવલોકન કરવામાં આવે છે કે:
$(i)$ ખૂણો $\theta$ વધે છે (જેમ કે $\theta_{1} > \theta, \theta_{2} > \theta_{1}, \dots$) અને
(ii) પાયા $BC$ ની લંબાઈ ઘટે છે (જેમ કે $B_{1}C < BC, B_{2}C < B_{1}C, \dots$)
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AC}{BC}$.
અહીં વેધ (લંબ) $AC$ નિશ્ચિત રહે છે અને જેમ $\theta$ વધે છે તેમ પાયો $BC$ ઘટે છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{AC}{BC}$ વધે છે. આથી,જેમ $\theta$ વધે છે તેમ $\tan \theta$ નું મૂલ્ય વધે છે.

(A) સાચું.
આપણે જાણીએ છીએ કે $0^\circ < \theta < 90^\circ$ ના અંતરાલમાં જેમ $\theta$ વધે છે તેમ $\sin \theta$ વધે છે,પરંતુ $\cos \theta$ ઘટે છે.
આપણી પાસે $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ છે.
જેમ $\theta$ નું મૂલ્ય $0^\circ$ થી $90^\circ$ તરફ વધે છે,તેમ $\sin \theta$ વધે છે (અંશ વધે છે) અને $\cos \theta$ ઘટે છે (છેદ ઘટે છે).
$\tan \theta$ એ વધતી જતી કિંમત અને ઘટતી જતી કિંમતનો ગુણોત્તર હોવાથી,તે $\sin \theta$ ની તુલનામાં ઘણી ઝડપથી વધે છે,કારણ કે $\sin \theta$ ને $\frac{\sin \theta}{1}$ તરીકે જોઈ શકાય છે,જ્યાં છેદ $1$ અચળ રહે છે.
તેથી,જેમ $\theta$ વધે છે તેમ $\tan \theta$ એ $\sin \theta$ કરતા ઝડપથી વધે છે.

(B) ખોટું.
ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને પડછાયાની લંબાઈ $x$ છે. સૂર્યનો ઉત્સેધકોણ $\theta$ છે. ટાવર અને તેના પડછાયા દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે $\tan(\theta) = \frac{h}{x}$ છે.
જેમ પડછાયાની લંબાઈ $x$ વધે છે,તેમ અપૂર્ણાંક $\frac{h}{x}$ ની કિંમત ઘટે છે. કારણ કે $0^\circ < \theta < 90^\circ$ માટે $\tan(\theta)$ એ વધતું વિધેય છે,તેથી $\tan(\theta)$ માં ઘટાડો થવાનો અર્થ એ છે કે ખૂણો $\theta$ ઘટે છે. તેથી,જેમ પડછાયાની લંબાઈ વધે છે,તેમ સૂર્યનો ઉત્સેધકોણ ઘટે છે.

(B) ખોટું.
ધારો કે તળાવની સપાટીથી વાદળની ઊંચાઈ $H$ છે. તળાવમાં વાદળનું પ્રતિબિંબ તળાવની સપાટીથી $H$ જેટલી ઊંડાઈએ રચાશે.
માણસ તળાવની સપાટીથી $3 \ m$ ઊંચાઈએ પ્લેટફોર્મ પર ઊભો છે. ધારો કે અવલોકનકારની આંખનું સ્તર $O$ છે.
વાદળનો ઉત્સેધકોણ $\theta_1$ એ $\tan(\theta_1) = \frac{H - 3}{x}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $x$ એ માણસથી વાદળનું સમક્ષિતિજ અંતર છે.
પ્રતિબિંબનો અવસેધકોણ $\theta_2$ એ $\tan(\theta_2) = \frac{H + 3}{x}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $H - 3 \neq H + 3$ હોવાથી,ઉત્સેધકોણ $\theta_1$ એ અવસેધકોણ $\theta_2$ જેટલો નથી.

(FALSE) ખોટું.
$Case-I$: ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને પાયાથી અંતર $BC = x \ m$ છે.
$\triangle ABC$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{AC}{BC} = \frac{h}{x}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x} \implies h = \frac{x}{\sqrt{3}}$ ... $(i)$
$Case-II$: આપેલી શરત મુજબ,ટાવરની ઊંચાઈ બમણી કરવામાં આવે છે,એટલે કે $h' = 2h$.
ધારો કે નવો ઉત્સેધકોણ $\theta$ છે.
નવા ત્રિકોણમાં,$\tan \theta = \frac{h'}{x} = \frac{2h}{x}$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $h = \frac{x}{\sqrt{3}}$ મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{2(x/\sqrt{3})}{x} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \approx 1.732$,અને $\tan \theta \approx 1.1547 < 1.732$ હોવાથી,$\theta < 60^{\circ}$ થાય.
આમ,ઉત્સેધકોણ બમણો થતો નથી.

(A) સાચું.
$Case-I$: ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને તેના પાયાથી અવલોકન બિંદુનું અંતર $x$ છે.
$\triangle ABC$ માં,$\tan \theta_1 = \frac{h}{x}$,જે સૂચવે છે કે $\theta_1 = \tan^{-1}(\frac{h}{x})$ ... $(i)$
$Case-II$: હવે,ટાવરની ઊંચાઈમાં $10 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવી ઊંચાઈ $h' = h + 0.1h = 1.1h = \frac{11h}{10}$ થાય.
તેવી જ રીતે,અવલોકન બિંદુનું અંતર પણ $10 \%$ વધે છે,તેથી નવું અંતર $x' = x + 0.1x = 1.1x = \frac{11x}{10}$ થાય.
નવા ત્રિકોણમાં,$\tan \theta_2 = \frac{h'}{x'} = \frac{1.1h}{1.1x} = \frac{h}{x}$ મળે.
આમ,$\theta_2 = \tan^{-1}(\frac{h}{x})$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને $\theta_1 = \theta_2$ મળે છે.
તેથી,ઉત્સેધકોણ બદલાતો નથી.

(A) ધારો કે $\overline{AC}$ એ નિસરણી છે અને $\overline{AB}$ એ દીવાલ છે.
અહીં $AB = 3 \, m$,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\angle C = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
$\triangle ABC$ માં,
$\sin C = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{AB}{AC}$
$\sin 30^{\circ} = \frac{3}{AC}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\frac{1}{2} = \frac{3}{AC}$
$AC = 3 \times 2 = 6 \, m$.
આમ,નિસરણીની લંબાઈ $6 \, m$ છે.

(B) ધારો કે $\overline{AB}$ એ ઇમારત છે અને $C$ એ જમીન પર ઉભેલા માણસનું સ્થાન છે.
આપેલ છે કે અંતર $BC = 10 \, m$ છે.
ટોચ $A$ થી માણસ $C$ નો અવસેધકોણ $45^{\circ}$ છે.
દ્રષ્ટિરેખા જમીનને સમાંતર હોવાથી,$C$ થી $A$ નો ઉત્સેધકોણ એ અવસેધકોણ જેટલો જ થાય,તેથી $\angle ACB = 45^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં:
$\tan(C) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan(45^{\circ}) = \frac{AB}{10}$
કારણ કે $\tan(45^{\circ}) = 1$,તેથી:
$1 = \frac{AB}{10}$
$AB = 10 \, m$.
આમ,ઇમારતની ઊંચાઈ $10 \, m$ છે.

(C) ધારો કે $\overline{AB}$ એ થાંભલો છે અને $\overline{AC}$ એ જમીન પરના બિંદુ $C$ સાથે જોડાયેલ તાર છે.
આપેલ છે: $AC = 7 \, m$,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને $m\angle C = 30^{\circ}$.
$\Delta ABC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\sin C = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{AB}{AC}$
$\sin 30^{\circ} = \frac{AB}{7}$
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\frac{1}{2} = \frac{AB}{7}$
$AB = \frac{7}{2} = 3.5 \, m$.
આમ,થાંભલાની ઊંચાઈ $3.5 \, m$ છે.

(D) ધારો કે $AB$ ટાવર છે અને $C$ જમીન પરનો પથ્થર છે.
આપેલ છે કે ટાવરની ઊંચાઈ $AB = 30 \, m$ છે.
ટોચ $A$ થી પથ્થર $C$ નો અવસેધકોણ $45^{\circ}$ છે.
$A$ માંથી પસાર થતી સમક્ષિતિજ રેખા જમીન $BC$ ને સમાંતર હોવાથી,$C$ થી $A$ નો ઉત્સેધકોણ અવસેધકોણ જેટલો જ થાય,તેથી $\angle ACB = 45^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan(45^{\circ}) = 1$ હોવાથી:
$1 = \frac{30}{BC}$
$BC = 30 \, m$.
આમ,પથ્થર અને ટાવર વચ્ચેનું અંતર $30 \, m$ છે.

(A) આકૃતિ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સૂર્યનો ઉત્સેધકોણ એ ટાવરના પડછાયાના અંતિમ બિંદુથી ટાવરની ટોચનો ઉત્સેધકોણ છે.
અહીં,$AB$ એ ટાવર છે અને $BC$ એ તેનો પડછાયો છે.
આપેલ છે,$AB = 30 \ m$,$\angle B = 90^\circ$ અને $\angle C = 45^\circ$.
$\Delta ABC$ માં,$\tan C = \frac{AB}{BC}$.
$\tan 45^\circ = \frac{30}{BC}$.
$1 = \frac{30}{BC}$.
$BC = 30 \ m$.
આમ,ટાવરના પડછાયાની લંબાઈ $30 \ m$ છે.

(B) ધારો કે $\overline{AB}$ એ ઉભો થાંભલો છે અને $C$ એ અવલોકન બિંદુ છે.
આપેલ છે કે થાંભલાના પાયાથી અંતર $BC = 20\, m$ છે અને ઉત્સેધકોણ $\angle C = 60^\circ$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,જ્યાં $\angle B = 90^\circ$ છે:
$\tan C = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan 60^\circ = \frac{AB}{20}$
કારણ કે $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$:
$\sqrt{3} = \frac{AB}{20}$
$AB = 20 \times \sqrt{3}$
$AB = 20 \times 1.732 = 34.64\, m$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,થાંભલાની ઊંચાઈ $34.6\, m$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\overline{AB}$ એ ટાવર છે અને $C$ એ વસ્તુ છે.
આપેલ છે કે ટાવરના પાયાથી વસ્તુનું અંતર $BC = 30 \ m$ છે.
ટોચ $A$ થી વસ્તુ $C$ નો અવસેધકોણ $45^\circ$ છે,તેથી $\angle XAC = 45^\circ$.
દ્રષ્ટિરેખા જમીનને સમાંતર હોવાથી,$\angle ACB = \angle XAC = 45^\circ$ (યુગ્મકોણ).
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,જ્યાં $\angle B = 90^\circ$:
$\tan(C) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan(45^\circ) = \frac{AB}{30}$
કારણ કે $\tan(45^\circ) = 1$,તેથી:
$1 = \frac{AB}{30}$
$AB = 30 \ m$.
આમ,ટાવરની ઊંચાઈ $30 \ m$ છે.

(D) ધારો કે $B$ એ ઇમારતનો પાયો છે,$C$ એ પ્રથમ માળ છે અને $A$ એ પંદરમો માળ છે. ધારો કે $P$ એ અવલોકન બિંદુ છે જ્યાં $BP = 50 \ m$ છે.
$\Delta CBP$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\angle CPB = 30^{\circ}$ છે.
$\tan 30^{\circ} = \frac{CB}{BP}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{CB}{50}$
$CB = \frac{50}{\sqrt{3}} = \frac{50 \times 1.732}{3} \approx 28.87 \ m$.
$\Delta ABP$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\angle APB = 60^{\circ}$ છે.
$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BP}$
$\sqrt{3} = \frac{AB}{50}$
$AB = 50 \times \sqrt{3} = 50 \times 1.732 = 86.6 \ m$.
પ્રથમ માળ અને પંદરમા માળ વચ્ચેનું અંતર $AC = AB - CB$ છે.
$AC = 86.6 - 28.87 = 57.73 \ m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $57.5 \ m$ છે.

(N/A) ધારો કે $\overline{PM}$ એ ઝાડ છે અને $\overline{OM}$ એ નદીની પહોળાઈ છે. $O$ અને $A$ એ અવલોકન બિંદુઓ છે.
આપેલ છે: $OA = 40 \ m$,$m\angle A = 30^{\circ}$,$m\angle O = 60^{\circ}$ અને $m\angle M = 90^{\circ}$.
ધારો કે $OM = x \ m$ અને $PM = h \ m$.
તેથી,$MA = OM + OA = (x + 40) \ m$.
$\Delta PMO$ માં,$m\angle M = 90^{\circ}$.
$\tan O = \frac{PM}{OM} \implies \tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies h = \sqrt{3}x \quad ...(1)$
$\Delta PMA$ માં,$m\angle M = 90^{\circ}$.
$\tan A = \frac{PM}{AM} \implies \tan 30^{\circ} = \frac{h}{x + 40} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + 40} \implies h = \frac{x + 40}{\sqrt{3}} \quad ...(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી:
$\sqrt{3}x = \frac{x + 40}{\sqrt{3}} \implies 3x = x + 40 \implies 2x = 40 \implies x = 20 \ m$.
હવે,$h = \sqrt{3} \times 20 = 20\sqrt{3} \approx 20 \times 1.732 = 34.64 \ m$.
આમ,નદીની પહોળાઈ $20 \ m$ છે અને ઝાડની ઊંચાઈ $34.64 \ m$ છે.

(B) ધારો કે $\overline{AB}$ એ $40 \, m$ ઊંચી ઇમારત છે. ધારો કે $C$ અને $D$ એ ગતિશીલ કારના બે સ્થાન છે.
આકૃતિ પરથી,$AB = 40 \, m$ અને $\angle B = 90^{\circ}$.
અવસેધકોણ $\angle XAC = 45^{\circ}$ અને $\angle XAD = 30^{\circ}$ છે.
રેખા $AX$ એ $BD$ ને સમાંતર હોવાથી,યુગ્મકોણ સમાન થાય:
$\angle ACB = \angle XAC = 45^{\circ}$ અને $\angle ADB = \angle XAD = 30^{\circ}$.
કાટકોણ $\triangle ABC$ માં:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{AB}{BC} \implies 1 = \frac{40}{BC} \implies BC = 40 \, m$.
કાટકોણ $\triangle ABD$ માં:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{AB}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{40}{BD} \implies BD = 40\sqrt{3} \, m$.
$\sqrt{3} \approx 1.73$ લેતા,$BD = 40 \times 1.73 = 69.2 \, m$.
કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $CD = BD - BC$ છે.
$CD = 69.2 - 40 = 29.2 \, m$.
આમ,કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $29.2 \, m$ છે.

(C) ધારો કે $CD$ એ $150\, m$ ઊંચાઈનો ટાવર છે. ધારો કે $A$ અને $B$ એ ટાવરની પશ્ચિમ અને પૂર્વ દિશામાં આવેલા બે ઘરો છે.
$\Delta CDA$ માં,$\angle D = 90^{\circ}$ અને $\angle CAD = 45^{\circ}$.
$\tan(45^{\circ}) = \frac{CD}{AD} \implies 1 = \frac{150}{AD} \implies AD = 150\, m$.
$\Delta CDB$ માં,$\angle D = 90^{\circ}$ અને $\angle CBD = 30^{\circ}$.
$\tan(30^{\circ}) = \frac{CD}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{150}{BD} \implies BD = 150\sqrt{3} \approx 150 \times 1.73 = 259.5\, m$.
બંને ઘરો વચ્ચેનું કુલ અંતર $AB = AD + BD = 150 + 259.5 = 409.5\, m$ થાય.

(D) ધારો કે $\overline{AB}$ એ ટેકરી છે અને $C$ તથા $D$ એ ટેકરીની પશ્ચિમ અને પૂર્વ દિશામાં આવેલા બે ઘરો છે. આપેલ છે કે,$AB = 340 \ m$.
ટેકરીની ટોચ પરથી ઘર $C$ નો અવસેધકોણ $60^{\circ}$ અને ઘર $D$ નો અવસેધકોણ $30^{\circ}$ છે.
તેથી,ઉત્સેધકોણ $\angle ACB = 60^{\circ}$ અને $\angle ADB = 30^{\circ}$ (યુગ્મકોણ).
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,$\tan(60^{\circ}) = \frac{AB}{BC}$.
$\sqrt{3} = \frac{340}{BC} \implies BC = \frac{340}{\sqrt{3}} = \frac{340 \times 1.732}{3} \approx 196.3 \ m$.
કાટકોણ $\Delta ABD$ માં,$\tan(30^{\circ}) = \frac{AB}{BD}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{340}{BD} \implies BD = 340 \times \sqrt{3} = 340 \times 1.732 \approx 588.9 \ m$.
બંને ઘરો વચ્ચેનું કુલ અંતર $CD = BC + BD$.
$CD = 196.3 + 588.9 = 785.2 \ m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,અંતર $785.4 \ m$ છે.

(A) ધારો કે ઝાડની કુલ ઊંચાઈ $AC = 15\ m$ છે. ઝાડ જમીનથી $BC = 5\ m$ ની ઊંચાઈએ $B$ બિંદુએથી તૂટે છે.
તૂટેલો ભાગ $AB$ વળીને જમીન પર $D$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. તેથી,તૂટેલા ભાગની લંબાઈ $BD = AB = AC - BC = 15\ m - 5\ m = 10\ m$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta BCD$ માં (જ્યાં $\angle C = 90^{\circ}$),આપણી પાસે છે:
$\sin D = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{BC}{BD}$
કિંમતો મૂકતા:
$\sin D = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$D = 30^{\circ}$
આમ,ઝાડના તૂટેલા ભાગ દ્વારા જમીન સાથે બનતો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.

(B) આકૃતિમાં,$\overline{AB}$ એ ઝાડ છે અને $C$ તથા $D$ એ હોડીના બે સ્થાન દર્શાવે છે.
ધારો કે હોડીની અચળ ઝડપ $v \text{ m/min}$ છે અને હોડીને $D$ થી $B$ સુધી પહોંચતા $t \text{ min}$ સમય લાગે છે.
ધારો કે $AB = h$.
હવે,સૂત્ર મુજબ,$\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$,
$CD = 10v$ અને $BD = vt$.
હવે,$\Delta ABD$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BD}$.
$\therefore \sqrt{3} = \frac{h}{vt} \implies h = vt\sqrt{3} \quad ....(1)$
$\Delta ABC$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC}$.
$\therefore \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{vt + 10v} \implies h = \frac{vt + 10v}{\sqrt{3}} \quad ....(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા,
$vt\sqrt{3} = \frac{vt + 10v}{\sqrt{3}}$
$3vt = vt + 10v$
$2vt = 10v$
$t = 5$.
આમ,હોડીને કિનારે પહોંચતા $5$ મિનિટ લાગશે.

(C) ધારો કે $AC$ એ $100 \, m$ ઊંચી ટેકરી છે અને $ED$ એ ટાવર છે.
ધારો કે $EB$ એ $E$ થી ટેકરી $AC$ પરની સમક્ષિતિજ રેખા છે,જ્યાં $B$ એ $AC$ પર છે.
આપેલ છે: $AC = 100 \, m$,$\angle XAE = 30^{\circ}$,અને $\angle XAD = 45^{\circ}$.
$AX \parallel ED$ હોવાથી,$\angle AEB = 30^{\circ}$ અને $\angle ADC = 45^{\circ}$ (યુગ્મકોણ).
કાટકોણ $\Delta ACD$ માં,$\tan(45^{\circ}) = \frac{AC}{DC}$.
$1 = \frac{100}{DC} \implies DC = 100 \, m$.
$EDCB$ એ લંબચોરસ હોવાથી,$EB = DC = 100 \, m$ અને $BC = ED$.
કાટકોણ $\Delta ABE$ માં,$\tan(30^{\circ}) = \frac{AB}{EB}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{100} \implies AB = \frac{100}{\sqrt{3}} \approx 57.74 \, m$.
ટાવરની ઊંચાઈ $ED = BC = AC - AB = 100 - 57.74 = 42.26 \, m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ટાવરની ઊંચાઈ $42 \, m$ મળે છે.

(D) ધારો કે $\overline{AB}$ એ ઇમારત $\overline{BC}$ ની ટોચ પરનો ધ્વજદંડ છે અને $D$ એ અવલોકન બિંદુ છે.
આપેલ છે કે,$CD = 15\, m$.
$\Delta BCD$ માં,$\angle C = 90^{\circ}$ અને $\angle BDC = 45^{\circ}$.
$\tan(45^{\circ}) = \frac{BC}{CD} \implies 1 = \frac{BC}{15} \implies BC = 15\, m$.
$\Delta ACD$ માં,$\angle C = 90^{\circ}$ અને $\angle ADC = 60^{\circ}$.
$\tan(60^{\circ}) = \frac{AC}{CD} \implies \sqrt{3} = \frac{AC}{15} \implies AC = 15\sqrt{3} \approx 15 \times 1.73 = 25.95\, m$.
ધ્વજદંડની ઊંચાઈ $AB = AC - BC = 25.95 - 15 = 10.95\, m$.

(A) ધારો કે $AB$ એ $510 \ m$ ઊંચો ટાવર છે. ધારો કે $C$ અને $D$ એ ટાવરની પશ્ચિમ અને પૂર્વ દિશામાં આવેલા બે ઘરો છે.
$\Delta ABC$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC} \implies \sqrt{3} = \frac{510}{BC} \implies BC = \frac{510}{\sqrt{3}} = 170\sqrt{3} \ m$.
$\Delta ABD$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{510}{BD} \implies BD = 510\sqrt{3} \ m$.
બંને ઘરો વચ્ચેનું અંતર $CD = BC + BD = 170\sqrt{3} + 510\sqrt{3} = 680\sqrt{3} \ m$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,$CD = 680 \times 1.732 = 1177.76 \ m \approx 1178.1 \ m$.
આમ,બંને ઘરો વચ્ચેનું અંતર $1178.1 \ m$ છે.

(B) ધારો કે $\overline{AB}$ એ $h \, m$ ઊંચાઈ ધરાવતી ટેકરી છે. ધારો કે $D$ એ અવલોકનનું પ્રથમ બિંદુ છે અને $C$ એ અવલોકનનું બીજું બિંદુ છે.
આપેલ છે: $DC = 30 \, m$,$\angle ADB = 30^\circ$,અને $\angle ACB = 45^\circ$.
ધારો કે $BC = x \, m$.
$\Delta ABC$ માં,$\tan 45^\circ = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{x}$.
$\tan 45^\circ = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{h}{x}$,તેથી $x = h$ $(1)$.
$\Delta ABD$ માં,$\tan 30^\circ = \frac{AB}{BD} = \frac{h}{x + 30}$.
$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + 30}$.
$x + 30 = h\sqrt{3}$.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $x = h$ ની કિંમત મૂકતા:
$h + 30 = h\sqrt{3}$.
$30 = h(\sqrt{3} - 1)$.
$h = \frac{30}{\sqrt{3} - 1} = \frac{30}{1.732 - 1} = \frac{30}{0.732} \approx 40.98 \, m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ટેકરીની ઊંચાઈ આશરે $41.10 \, m$ છે.

(C) ધારો કે $\overline{AB}$ અને $\overline{ED}$ સમાન ઊંચાઈ $h \, m$ ના બે થાંભલા છે અને $C$ એ થાંભલાઓના પાયાને જોડતા રેખાખંડ $\overline{BD}$ પરનું અવલોકન બિંદુ છે.
આપેલ છે કે $BD = 200 \, m$. ધારો કે $BC = x \, m$,તો $CD = (200 - x) \, m$.
ઉત્સેધકોણ $\angle ACB = 60^{\circ}$ અને $\angle ECD = 30^{\circ}$ છે.
$\triangle ABC$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}} \quad \dots(1)$
$\triangle EDC$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{ED}{CD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{200 - x} \implies 200 - x = \sqrt{3}h \implies x = 200 - \sqrt{3}h \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{h}{\sqrt{3}} = 200 - \sqrt{3}h$
$h = 200\sqrt{3} - 3h$
$4h = 200\sqrt{3}$
$h = 50\sqrt{3} \approx 50 \times 1.732 = 86.6 \, m$ ($\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,નજીકનો વિકલ્પ $86.5 \, m$ છે).

(N/A) ધારો કે $\overline{CD}$ એ ટાવર છે અને $A$ એ જમીનથી $h \text{ m}$ ઊંચાઈએ આવેલું નિરીક્ષણ બિંદુ છે.
ધારો કે $\overline{AE} \perp \overline{CD}$,જ્યાં $E$ એ $\overline{CD}$ પર છે.
તેથી,$\angle DAE = \alpha$,$\angle EAC = \beta$ અને $AB = h \text{ m}$.
ધારો કે $CD = x \text{ m}$ અને $BC = y \text{ m}$.
તેથી $AE = BC = y \text{ m}$ અને $CE = AB = h \text{ m}$.
વળી,$DE = DC - CE = (x - h) \text{ m}$.
$\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$.
$\therefore \tan \beta = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{y} \implies y = \frac{h}{\tan \beta} \quad \dots(1)$
$\Delta DEA$ માં,$\angle E = 90^{\circ}$.
$\therefore \tan \alpha = \frac{DE}{AE} = \frac{x - h}{y} \implies y = \frac{x - h}{\tan \alpha} \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી:
$\frac{h}{\tan \beta} = \frac{x - h}{\tan \alpha}$
$h \tan \alpha = (x - h) \tan \beta$
$h \tan \alpha = x \tan \beta - h \tan \beta$
$x \tan \beta = h \tan \alpha + h \tan \beta$
$x \tan \beta = h(\tan \alpha + \tan \beta)$
$x = \frac{h(\tan \alpha + \tan \beta)}{\tan \beta}$
આમ,ટાવરની ઊંચાઈ $\frac{h(\tan \alpha + \tan \beta)}{\tan \beta} \text{ m}$ છે.

(N/A) ધારો કે $\overline{AB}$ એ વીજળીનો થાંભલો છે અને $\overline{AC}$ એ જમીન પરના બિંદુ $C$ પર બાંધેલું કેબલ છે.
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$,$\angle C = \theta$,અને પાયો $BC = a \text{ m}$ છે.
થાંભલાની ઊંચાઈ $(AB)$ શોધવા માટે:
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\tan \theta = \frac{AB}{a}$
$AB = a \tan \theta \text{ m}$.
કેબલની લંબાઈ $(AC)$ શોધવા માટે:
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\sec \theta = \frac{\text{કર્ણ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AC}{BC}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\sec \theta = \frac{AC}{a}$
$AC = a \sec \theta \text{ m}$.
આમ,થાંભલાની ઊંચાઈ $a \tan \theta \text{ m}$ અને કેબલની લંબાઈ $a \sec \theta \text{ m}$ છે.

(N/A) ધારો કે $AB$ એ $h$ ઊંચાઈનો ટાવર છે અને $C$ તથા $D$ એ ટાવરની એક જ બાજુએ આવેલા બે વાહનો છે,જ્યાં $C$ ટાવરની નજીક છે.
આપેલ છે કે $CD = b$. ધારો કે $BC = x$.
તેથી $BD = BC + CD = x + b$.
ટોચ $A$ થી $C$ અને $D$ ના અવસેધકોણ અનુક્રમે $\alpha$ અને $\beta$ છે.
તેથી,$\angle ACB = \alpha$ અને $\angle ADB = \beta$ (યુગ્મકોણ).
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,$\tan \alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\tan \alpha} \quad (1)$.
કાટકોણ $\Delta ABD$ માં,$\tan \beta = \frac{AB}{BD} = \frac{h}{x + b} \implies x + b = \frac{h}{\tan \beta} \implies x = \frac{h}{\tan \beta} - b \quad (2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા,$\frac{h}{\tan \alpha} = \frac{h}{\tan \beta} - b$.
પદોને ગોઠવતા: $b = \frac{h}{\tan \beta} - \frac{h}{\tan \alpha} = h \left( \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{\tan \alpha \tan \beta} \right)$.
તેથી,$h = \frac{b \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha - \tan \beta}$.

(A) ધારો કે ટેકરીની ઊંચાઈ $H = 100\, m$ છે. ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ટેકરી તથા ટાવર વચ્ચેનું અંતર $x$ છે.
ભૂમિતિ મુજબ,ટાવરના તળિયા માટે (અવસેધકોણ $45^{\circ}$):
$\tan(45^{\circ}) = \frac{H}{x} \implies 1 = \frac{100}{x} \implies x = 100\, m$.
ટાવરની ટોચ માટે (અવસેધકોણ $30^{\circ}$),ટાવરની ટોચથી ટેકરીની ઊંચાઈનો તફાવત $H - h$ છે:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{H - h}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100 - h}{100}$.
$100 - h = \frac{100}{\sqrt{3}} \implies h = 100 - \frac{100}{\sqrt{3}} = 100(1 - \frac{1}{\sqrt{3}})$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,$h = 100(1 - 0.577) = 100(0.423) = 42.3\, m$ (આશરે).

(D) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને પડછાયાની લંબાઈ $s = 90\, m$ છે.
ઉન્નતકોણ $\theta = 30^{\circ}$ છે.
ટાવર અને તેના પડછાયા દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan(\theta) = \frac{\text{ઊંચાઈ}}{\text{પડછાયાની લંબાઈ}}$.
$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{90}$.
$\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{90}$.
$h = \frac{90}{\sqrt{3}} = \frac{90 \times \sqrt{3}}{3} = 30\sqrt{3}$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,$h = 30 \times 1.732 = 51.96\, m$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઊંચાઈ $51.9\, m$ મળે છે.

(A) ધારો કે વીજળીના થાંભલાની ઊંચાઈ $h$ છે અને કેબલની લંબાઈ $l = 22\, m$ છે.
કેબલ,થાંભલો અને જમીન એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
ઉત્સેધકોણ $\theta = 30^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કેબલ કર્ણ તરીકે અને થાંભલો ખૂણા $\theta$ ની સામેની બાજુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\sin(\theta) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(30^{\circ}) = \frac{h}{22}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\frac{1}{2} = \frac{h}{22}$
$h = \frac{22}{2} = 11\, m$.
આમ,વીજળીના થાંભલાની ઊંચાઈ $11\, m$ છે.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h = 60 \, m$ છે અને બિંદુનું પાયાથી અંતર $x$ છે.
ટાવર અને જમીન દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan(60^{\circ}) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{60}{x}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\sqrt{3} = \frac{60}{x}$.
તેથી,$x = \frac{60}{\sqrt{3}} = \frac{60 \times \sqrt{3}}{3} = 20 \times \sqrt{3}$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,$x = 20 \times 1.732 = 34.64 \, m$ મળે.
દશાંશના એક સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,અંતર $34.6 \, m$ થાય.

(C) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $AB = 50 \, m$ છે અને કાર $C$ તથા ટાવરના પાયા $B$ વચ્ચેનું અંતર $x \, m$ છે.
ટોચ $A$ થી કાર $C$ નો અવસેધકોણ $30^\circ$ છે,જેનો અર્થ છે કે કારથી ટાવરની ટોચનો ઉત્સેધકોણ પણ $30^\circ$ થશે (યુગ્મકોણ).
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,$\tan(30^\circ) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{x}$.
તેથી,$x = 50 \sqrt{3}$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,$x = 50 \times 1.732 = 86.6 \, m$ મળે. સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $86.5 \, m$ છે.

(N/A) ધારો કે નિસરણીની લંબાઈ $L$ છે અને દીવાલથી અંતર $x$ છે.
આપેલ છે: દીવાલની ઊંચાઈ $h = 10 \, m$,ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$.
ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા:
$1.$ $\sin(45^{\circ}) = \frac{\text{ઊંચાઈ}}{\text{લંબાઈ}} = \frac{10}{L}$.
$\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{10}{L}$,તેથી $L = 10\sqrt{2} \approx 14.14 \, m$.
$2.$ $\tan(45^{\circ}) = \frac{\text{ઊંચાઈ}}{\text{અંતર}} = \frac{10}{x}$.
$\tan(45^{\circ}) = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{10}{x}$,તેથી $x = 10 \, m$.
આમ,નિસરણીની લંબાઈ $14.14 \, m$ છે અને દીવાલથી અંતર $10 \, m$ છે.

(B) ધારો કે લાઇટહાઉસની ઊંચાઈ $AB = 100\, m$ છે. ધારો કે બે હોડીઓ લાઇટહાઉસની વિરુદ્ધ બાજુએ બિંદુઓ $C$ અને $D$ પર છે.
આપેલ છે કે ટોચ $A$ થી હોડીઓ $C$ અને $D$ નો અવસેધકોણ $30^\circ$ છે,તેથી $C$ અને $D$ થી $A$ નો ઉત્સેધકોણ પણ $30^\circ$ થશે (યુગ્મકોણ).
$\triangle ABC$ માં,$\tan(30^\circ) = \frac{AB}{BC} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{BC} \implies BC = 100\sqrt{3}\, m$.
$\triangle ABD$ માં,$\tan(30^\circ) = \frac{AB}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{BD} \implies BD = 100\sqrt{3}\, m$.
બંને હોડીઓ વચ્ચેનું કુલ અંતર $CD = BC + BD = 100\sqrt{3} + 100\sqrt{3} = 200\sqrt{3}\, m$ થાય.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,અંતર $200 \times 1.732 = 346.4\, m$ મળે.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h = 300 \,m$ છે. જમીન પર બે ટ્રક બિંદુ $A$ અને $B$ પર છે અને ટાવરની ટોચ $T$ છે. અવસેધકોણ $45^{\circ}$ અને $60^{\circ}$ છે,જે ટ્રકથી ટાવરની ટોચના ઉત્સેધકોણ સમાન છે.
$\triangle TCB$ માં (જ્યાં $C$ એ ટાવરનો પાયો છે),$\tan(60^{\circ}) = \frac{TC}{CB} \implies \sqrt{3} = \frac{300}{CB} \implies CB = \frac{300}{\sqrt{3}} = 100\sqrt{3} \approx 173.2 \,m$.
$\triangle TCA$ માં,$\tan(45^{\circ}) = \frac{TC}{CA} \implies 1 = \frac{300}{CA} \implies CA = 300 \,m$.
બે ટ્રક વચ્ચેનું અંતર $AB = CA - CB = 300 - 173.2 = 126.8 \,m \approx 127 \,m$ થાય.

(N/A) ધારો કે ટેકરીની ઊંચાઈ $h$ છે અને ટાવર તથા ટેકરી વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
ટાવરના પાયાથી ટેકરીની ટોચ માટે: $\tan(45^{\circ}) = \frac{h}{d} \implies 1 = \frac{h}{d} \implies h = d$.
ટાવરની ટોચથી ટેકરીના પાયા માટે: $\tan(30^{\circ}) = \frac{100}{d} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{d} \implies d = 100\sqrt{3} \approx 173.2\, m$.
$h = d$ હોવાથી,ટેકરીની ઊંચાઈ $173.2\, m$ છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $173.2\, m$ છે.

(D) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $AB = 10 \, m$ છે અને ધ્વજદંડની ઊંચાઈ $BC = h \, m$ છે. જમીન પરના બિંદુને $D$ કહો.
$\triangle ABD$ માં,$\tan(45^{\circ}) = \frac{AB}{AD} \implies 1 = \frac{10}{AD} \implies AD = 10 \, m$.
$\triangle ACD$ માં,$\tan(60^{\circ}) = \frac{AC}{AD} = \frac{AB + BC}{AD}$.
$\sqrt{3} = \frac{10 + h}{10} \implies 10\sqrt{3} = 10 + h$.
$h = 10(\sqrt{3} - 1) \approx 10(1.732 - 1) = 10(0.732) = 7.32 \, m$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઊંચાઈ $7.3 \, m$ મળે છે.

(A) ધારો કે દીવાદાંડીની ઊંચાઈ $AB = 100 \, m$ છે. ધારો કે બે હોડીઓ $C$ અને $D$ બિંદુઓ પર છે,જ્યાં $C$ દીવાદાંડીની નજીક છે.
$\triangle ABC$ માં,$\tan(45^{\circ}) = \frac{AB}{BC} \implies 1 = \frac{100}{BC} \implies BC = 100 \, m$.
$\triangle ABD$ માં,$\tan(30^{\circ}) = \frac{AB}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{BD} \implies BD = 100\sqrt{3} \, m$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,$BD = 100 \times 1.732 = 173.2 \, m$.
બંને હોડીઓ વચ્ચેનું અંતર $CD = BD - BC = 173.2 - 100 = 73.2 \, m$ થાય.

(B) ધારો કે ઇમારતની ઊંચાઈ $H$ છે અને કારનું ઇમારતથી અંતર $x$ છે.
ઇમારતની ટોચ પરથી અવસેધકોણ $60^{\circ}$ હોવાથી,$\tan(60^{\circ}) = H/x$. આથી $H = x \sqrt{3}$ મળે.
ટોચથી $14.6 \, m$ નીચેની બારી માટે ઊંચાઈ $(H - 14.6)$ થાય. અવસેધકોણ $45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan(45^{\circ}) = (H - 14.6)/x$.
$\tan(45^{\circ}) = 1$ હોવાથી,$x = H - 14.6$,એટલે કે $H = x + 14.6$.
$H$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $x \sqrt{3} = x + 14.6$.
$x(\sqrt{3} - 1) = 14.6$.
$x = 14.6 / (1.732 - 1) = 14.6 / 0.732 \approx 19.945 \, m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,અંતર $20 \, m$ મળે છે.

(A) ધારો કે સીડીની લંબાઈ $L = 10\,m$ છે અને દીવાલથી અંતર $d = 5\,m$ છે.
ધારો કે જમીન સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે અને દીવાલ સાથેનો ખૂણો $\phi$ છે.
સીડી,દીવાલ અને જમીન દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\cos(\theta) = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી અને એક ખૂણો $90^\circ$ હોવાથી,દીવાલ સાથેનો ખૂણો $\phi = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ થશે.
આમ,સીડી દીવાલ સાથે $30^\circ$ નો અને જમીન સાથે $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.

(C) ધારો કે ટેકરીની ઊંચાઈ $h = 300\, m$ છે અને ટેકરીથી વૃક્ષનું અંતર $d = 300\, m$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ ટેકરીની ટોચ પરથી વૃક્ષના પાયાનો અવસેધકોણ છે.
ટેકરીની ઊંચાઈ અને વૃક્ષ સુધીના અંતર દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે છે:
$\tan(\theta) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{h}{d}$
$\tan(\theta) = \frac{300}{300} = 1$
કારણ કે $\tan(45^{\circ}) = 1$ થાય છે,તેથી $\theta = 45^{\circ}$ મળે છે.
આમ,અવસેધકોણ $45^{\circ}$ છે.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને પાયાથી અંતર $d = 20\, m$ છે.
ઉત્સેધકોણ $\theta = 30^{\circ}$ છે.
ટાવર અને જમીન દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan(\theta) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}}$.
$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{20}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20}$.
$h = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20}{1.732} \approx 11.547\, m$.
દશાંશના એક સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઊંચાઈ $11.6\, m$ મળે છે.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $AB = 150\, m$ છે અને સાયકલનું સ્થાન $C$ છે.
ટોચ $A$ થી સાયકલ $C$ નો અવસેધકોણ $60^{\circ}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $C$ થી $A$ નો ઉત્સેધકોણ પણ $60^{\circ}$ થાય (યુગ્મકોણ).
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,$\tan(60^{\circ}) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{3} = \frac{150}{BC}$.
તેથી,$BC = \frac{150}{\sqrt{3}} = \frac{150\sqrt{3}}{3} = 50\sqrt{3}\, m$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,$BC \approx 50 \times 1.732 = 86.6\, m$ મળે.

(C) ધારો કે ટેકરીની ઊંચાઈ $H$ છે અને ટેકરી તથા ટાવર વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. ટાવરની ઊંચાઈ $h = 50 \, m$ આપેલ છે.
ટેકરીના પાયાથી ટાવરની ટોચનો ઉત્સેધકોણ $30^{\circ}$ છે. તેથી,$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{d} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{d} \implies d = 50\sqrt{3} \, m$.
ટેકરીની ટોચ પરથી ટાવરના પાયાનો અવસેધકોણ $60^{\circ}$ છે. તેથી,$\tan(60^{\circ}) = \frac{H}{d} \implies \sqrt{3} = \frac{H}{50\sqrt{3}}$.
$H$ માટે ઉકેલતા,$H = 50\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 50 \times 3 = 150 \, m$ મળે છે.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $AB = 50\, m$ છે. ધારો કે બે કાર $C$ અને $D$ બિંદુઓ પર છે,જેથી ટાવરની ટોચ $A$ થી $C$ નો અવસેધકોણ $30^{\circ}$ અને $D$ નો અવસેધકોણ $60^{\circ}$ છે.
$\triangle ABD$ માં,$\tan(60^{\circ}) = \frac{AB}{BD} \implies \sqrt{3} = \frac{50}{BD} \implies BD = \frac{50}{\sqrt{3}} \approx 28.87\, m$.
$\triangle ABC$ માં,$\tan(30^{\circ}) = \frac{AB}{BC} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{BC} \implies BC = 50\sqrt{3} \approx 86.60\, m$.
બંને કાર વચ્ચેનું અંતર $CD = BC - BD = 50\sqrt{3} - \frac{50}{\sqrt{3}} = 50 \left( \frac{3-1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{100}{\sqrt{3}} \approx 57.73\, m$ થાય.

(B) ધારો કે સૂર્યનો ઉન્નતકોણ $\theta$ છે.
આપેલ છે:
થાંભલાની ઊંચાઈ $(AB) = h$
પડછાયાની લંબાઈ $(BC) = \sqrt{3} h$
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં:
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{h}{\sqrt{3} h} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી:
$\theta = 30^{\circ}$
આમ,સૂર્યનો ઉન્નતકોણ $30^{\circ}$ છે.

(D) આપેલ છે કે,નિસરણીની લંબાઈ $(PQ)$ $= 15 \, m$ છે.
ધારો કે ઉભી દીવાલની ઊંચાઈ $(PR)$ $= h$ છે.
નિસરણી દીવાલ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\angle QPR = 60^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PQR$ માં,જ્યાં $\angle PRQ = 90^{\circ}$ છે:
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(60^{\circ}) = \frac{PR}{PQ}$
$\frac{1}{2} = \frac{h}{15}$
$h = \frac{15}{2} \, m = 7.5 \, m$.
આમ,દીવાલની જરૂરી ઊંચાઈ $\frac{15}{2} \, m$ છે.

(D) ધારો કે નિરીક્ષકની આંખથી ટાવરની ટોચનો ઉત્સેધકોણ $\theta$ છે.
આપેલ છે કે,ટાવરની ઊંચાઈ $AB = 22 \ m$ અને નિરીક્ષકની ઊંચાઈ $PQ = 1.5 \ m$ છે.
નિરીક્ષક અને ટાવર વચ્ચેનું અંતર $QB = PM = 20.5 \ m$ છે.
અહીં $PQ = MB = 1.5 \ m$ હોવાથી,નિરીક્ષકની આંખના સ્તરથી ઉપર ટાવરની ઊંચાઈ $AM = AB - MB$ થશે.
$AM = 22 \ m - 1.5 \ m = 20.5 \ m$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle APM$ માં,
$\tan \theta = \frac{AM}{PM} = \frac{20.5}{20.5} = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
આમ,નિરીક્ષકની આંખથી ટાવરની ટોચનો ઉત્સેધકોણ $45^{\circ}$ છે.