Mix Examples - Some Applications of Trigonometry Questions in Gujarati

(B) અવસેધકોણની વ્યાખ્યા મુજબ,જ્યારે વસ્તુ ક્ષિતિજ સપાટીની નીચે હોય,ત્યારે દ્રષ્ટિરેખા અને ક્ષિતિજ સપાટી વચ્ચે બનતા ખૂણાને અવસેધકોણ કહેવામાં આવે છે.
અહીં અવલોકનકાર વસ્તુને નીચેની તરફ જોઈ રહ્યો છે,તેથી વસ્તુ અવલોકનકારની આંખમાંથી પસાર થતી ક્ષિતિજ રેખાની નીચે સ્થિત હોવી જોઈએ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે ઇમારતની ઊંચાઈ $y$ છે અને પાયાથી અંતર $x$ છે. ઉત્સેધકોણ $\theta = 25^\circ$ છે.
ઇમારત,જમીન અને દ્રષ્ટિરેખા દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$\tan(\theta) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{y}{x}$.
તેથી,$\tan(25^\circ) = \frac{y}{x}$,જેનો અર્થ છે કે $y = x \cdot \tan(25^\circ)$.
$\tan(25^\circ)$ ની કિંમત આશરે $0.466$ છે,જે $1$ કરતા નાની છે $(0 < \tan(25^\circ) < 1)$,
તેથી $y = x \cdot (0.466)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $y < x$,એટલે કે $x > y$.

(B) બનેલા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ઇમારતની ઊંચાઈ $y$ (સામેની બાજુ) છે અને પાયાથી અંતર $x$ (પાસેની બાજુ) છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા,$\tan(70^\circ) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{y}{x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(45^\circ) = 1$.
ટેન્જન્ટ વિધેય $(0^\circ, 90^\circ)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય હોવાથી,અને $70^\circ > 45^\circ$ હોવાથી,$\tan(70^\circ) > \tan(45^\circ)$ થાય.
તેથી,$\tan(70^\circ) > 1$.
ગુણોત્તર મૂકતા,$\frac{y}{x} > 1$.
$x$ અને $y$ લંબાઈ હોવાથી (ધન મૂલ્યો),બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા આપણને $y > x$ મળે,જે $x < y$ ને સમાન છે.

(B) ધારો કે દીવાલ $AB$ છે અને જમીન $BC$ છે. નિસરણી $AC$ છે.
આપેલ છે કે નિસરણીના નીચેના છેડાનું દીવાલના પાયાથી અંતર $BC = a \ m$ છે.
નિસરણી દ્વારા જમીન સાથે બનતો ખૂણો $\angle C = \theta$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં:
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan \theta = \frac{AB}{a}$
તેથી,નિસરણી દીવાલ પર જે ઊંચાઈએ પહોંચે છે તે $AB = a \tan \theta \ m$ છે.

(D) ધારો કે $AB$ એ $x \ m$ ઊંચી ઇમારત છે અને $C$ એ જમીન પર રહેલા બાળકની સ્થિતિ છે.
ટોચ $A$ થી બાળક $C$ નો અવસેધકોણ $\theta$ છે.
$A$ આગળની સમક્ષિતિજ રેખા જમીન $BC$ ને સમાંતર હોવાથી,$C$ થી $A$ નો ઉત્સેધકોણ પણ $\theta$ થશે (યુગ્મકોણ).
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં:
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan \theta = \frac{x}{BC}$
તેથી,$BC = \frac{x}{\tan \theta} = x \cot \theta \ m$.
આમ,ઇમારતના પાયાથી બાળકની અંતર $x \cot \theta \ m$ છે.

(A) ધારો કે $AB$ એ વીજળીના થાંભલાની ઊંચાઈ છે અને $AC$ એ કેબલની લંબાઈ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,ઉત્સેધકોણ $\angle C = 30^{\circ}$ છે.
કર્ણની લંબાઈ $AC = 20 \, m$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 30^{\circ} = \frac{AB}{AC}$
$\frac{1}{2} = \frac{AB}{20}$
$AB = \frac{20}{2} = 10 \, m$.
આમ,વીજળીના થાંભલાની ઊંચાઈ $10 \, m$ છે.

(B) ધારો કે $AB$ એ થાંભલાની ઊંચાઈ છે અને $BC$ એ થાંભલાના પાયાથી પથ્થરનું અંતર છે.
આપેલ છે કે,$BC = 10 \, m$ અને અવસેધકોણ $60^{\circ}$ છે.
અવસેધકોણ એ ઉત્સેધકોણ જેટલો હોવાથી,પથ્થરથી થાંભલાની ટોચનો ઉત્સેધકોણ $\angle C = 60^{\circ}$ થશે.
$\triangle ABC$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC}$.
$\sqrt{3} = \frac{AB}{10}$.
$AB = 10 \times \sqrt{3}$.
અહીં $\sqrt{3} = 1.73$ આપેલ છે,તેથી $AB = 10 \times 1.73 = 17.3 \, m$.
આમ,થાંભલાની ઊંચાઈ $17.3 \, m$ છે.

(C) ધારો કે લાઈટહાઉસની ઊંચાઈ $h$ છે. ધારો કે $A$ અને $B$ હોડીઓનું લાઈટહાઉસના પાયાથી અંતર અનુક્રમે $d_A$ અને $d_B$ છે.
આપેલા અવસેધકોણ પરથી,હોડીઓથી લાઈટહાઉસની ટોચના ઉત્સેધકોણ અનુક્રમે $25^{\circ}$ અને $40^{\circ}$ થશે.
ટેન્જન્ટ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\tan(25^{\circ}) = \frac{h}{d_A}$ અને $\tan(40^{\circ}) = \frac{h}{d_B}$.
કારણ કે $\tan(40^{\circ}) > \tan(25^{\circ})$,તેથી $\frac{h}{d_B} > \frac{h}{d_A}$ થાય.
આથી,$d_A > d_B$. આમ,હોડી $A$ નું લાઈટહાઉસથી અંતર હોડી $B$ કરતા વધારે છે.

(C) ધારો કે $X$ એ બિલ્ડિંગ $PQ$ ની ઊંચાઈ છે અને $Y$ એ બિલ્ડિંગ $SR$ ની ઊંચાઈ છે. ધારો કે $QR$ એ બે બિલ્ડિંગના પાયા વચ્ચેનું અંતર છે.
કાટકોણ $\Delta SQR$ માં,$\tan(45^{\circ}) = \frac{SR}{QR} = \frac{Y}{QR}$.
કારણ કે $\tan(45^{\circ}) = 1$,તેથી $Y = QR$ મળે છે.
કાટકોણ $\Delta PQR$ માં,$\tan(65^{\circ}) = \frac{PQ}{QR} = \frac{X}{QR}$.
કારણ કે $\tan(65^{\circ}) > 1$,તેથી $\frac{X}{QR} > 1$,જેનો અર્થ છે કે $X > QR$.
$Y = QR$ અને $X > QR$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $X > Y$.
તેથી,બિલ્ડિંગ $X$ ની ઊંચાઈ બિલ્ડિંગ $Y$ ની ઊંચાઈ કરતા વધારે છે.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$30^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુનું માપ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $30^{\circ}$ ની સામેની બાજુ $= \text{કર્ણ} \times \sin(30^{\circ})$ છે.
અહીં કર્ણ $= 12$ અને $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ આપેલ છે.
તેથી,ખૂણાની સામેની બાજુનું માપ $12 \times \frac{1}{2} = 6$ થાય.

(B) ધારો કે એક કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ છે જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ અને $\angle C = 60^{\circ}$ છે.
આ ત્રિકોણમાં,$\angle C$ ની સામેની બાજુ $AB$ છે અને કર્ણ $AC$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sin 60^{\circ} = \frac{AB}{AC}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{AC}$
આમ,$AB = \frac{\sqrt{3}}{2} AC$.
તેથી,$60^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુનું માપ કર્ણના માપના $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ગણું થાય છે.

(C) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ છે.
અહીં $AC = 16$ (કર્ણ) અને $BC = 8$ ($\angle C$ ની પાસેની બાજુ) આપેલ છે.
કોસાઈન $(cos)$ ના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $m \angle C = 60^{\circ}$ થાય.

(D) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ છે,જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ અને $\angle C = 45^{\circ}$ છે.
$\triangle ABC$ માં,$\angle C$ ની સામેની બાજુ $AB$ છે અને કર્ણ $AC$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 45^{\circ} = \frac{AB}{AC}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{AB}{AC}$
તેથી,$AB = \frac{1}{\sqrt{2}} AC$.
આમ,$45^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુનું માપ કર્ણના માપના $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણું થાય છે.

(B) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $AB$ છે અને થાંભલાના પાયાથી બિંદુ $C$ નું અંતર $BC = x \, m$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,ઉત્સેધકોણ $\angle C = 60^{\circ}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC}$
અહીં $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ હોવાથી:
$\sqrt{3} = \frac{AB}{x}$
તેથી,$AB = \sqrt{3} x \, m$.
આમ,થાંભલાની ઊંચાઈ $\sqrt{3} x \, m$ છે.

(C) ધારો કે $AB$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે અને $BC = x \, m$ એ ટાવરના પાયાથી અવલોકન બિંદુ $C$ સુધીનું અંતર છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,ઉત્સેધકોણ $\angle C = 30^{\circ}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{x}$
તેથી,ટાવરની ઊંચાઈ $AB = \frac{x}{\sqrt{3}} \, m$ થાય.

(D) કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,આપણને કર્ણ $AC = 20$ અને ખૂણો $m\angle C = 30^\circ$ આપેલ છે.
આપણે પાસેની બાજુ $BC$ શોધવાની છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 30^\circ = \frac{BC}{AC}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{20}$
$BC = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$BC = 10\sqrt{3}$
$\sqrt{3} \approx 1.73$ લેતા:
$BC = 10 \times 1.73 = 17.3$

(D) ધારો કે $AB$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે અને $BC$ એ ટાવરના પાયાથી જમીન પરના બિંદુ $C$ સુધીનું અંતર છે.
આપેલ છે: $BC = 100 \, m$ અને ઉત્સેધકોણ $\angle C = 60^\circ$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં,
$\tan C = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan 60^\circ = \frac{AB}{100}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$,
$\sqrt{3} = \frac{AB}{100}$
$AB = 100 \times \sqrt{3}$
$AB = 100 \times 1.732 = 173.2 \, m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ટાવરની ઊંચાઈ $173 \, m$ છે.

(D) ધારો કે $AB$ એ મંદિરની ઊંચાઈ છે,જ્યાં $AB = 20 \ m$ છે.
ધારો કે $BC$ એ નદીની પહોળાઈ છે.
બિંદુ $C$ થી ટોચ $A$ નો ઉત્સેધકોણ $\angle ACB = 30^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં:
$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20}{BC}$
$BC = 20 \sqrt{3} \ m$
$\sqrt{3} \approx 1.73$ લેતા:
$BC = 20 \times 1.73 = 34.6 \ m$.
આમ,નદીની પહોળાઈ $34.6 \ m$ છે.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે. નિરીક્ષકની ઊંચાઈ $1.5\, m$ છે,તેથી ત્રિકોણની ઊંચાઈ $AE = h - 1.5$ થશે.
અહીં ટાવરથી અંતર $DE = 28.5\, m$ અને ઉત્સેધકોણ $45^\circ$ આપેલ છે.
$\triangle ADE$ માં,$\tan 45^\circ = \frac{AE}{DE}$.
$\tan 45^\circ = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{AE}{28.5}$ મળે.
તેથી,$AE = 28.5\, m$.
ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $h = AE + EB = 28.5 + 1.5 = 30\, m$ થાય.

(C) ઉત્સેધકોણની વ્યાખ્યા મુજબ,જ્યારે વસ્તુ અવલોકનકારની આંખના સમક્ષિતિજ સ્તરથી ઉપર હોય,ત્યારે દ્રષ્ટિ કિરણ અને સમક્ષિતિજ રેખા (ક્ષિતિજ સમાંતર કિરણ) વચ્ચે બનતા ખૂણાને ઉત્સેધકોણ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,જો ઉત્સેધકોણ બનતો હોય,તો વસ્તુ ચોક્કસપણે ક્ષિતિજ સમાંતર કિરણની ઉપર સ્થિત હોવી જોઈએ.

(C) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $h$ છે અને પડછાયાની લંબાઈ $s$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$s = \frac{1}{\sqrt{3}} h$.
ધારો કે સૂર્યનો ઉત્સેધકોણ $\theta$ છે.
થાંભલા અને તેના પડછાયા દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan(\theta) = \frac{\text{ઊંચાઈ}}{\text{પડછાયો}} = \frac{h}{s}$.
$s$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $\tan(\theta) = \frac{h}{\frac{1}{\sqrt{3}} h} = \sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$,તેથી ઉત્સેધકોણ $\theta = 60^\circ$ થાય.

(A) કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,આપણને કર્ણ $AC = 30 \text{ cm}$ અને $\angle C = 30^\circ$ આપેલ છે.
આપણે બાજુ $AB$ શોધવાની છે,જે $\angle C$ ની સામેની બાજુ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 30^\circ = \frac{AB}{AC}$
કારણ કે $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\frac{1}{2} = \frac{AB}{30}$
$AB = \frac{30}{2} = 15 \text{ cm}$.

(D) ધારો કે ટૂંકા થાંભલાની ઊંચાઈ $h$ છે અને ઊંચા થાંભલાની ઊંચાઈ $2h$ છે.
બે થાંભલાઓ વચ્ચેનું અંતર $x$ છે.
તેમના પાયાને જોડતી રેખાનું મધ્યબિંદુ અંતર $x$ ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે,જે દરેકની લંબાઈ $\frac{x}{2}$ છે.
ધારો કે મધ્યબિંદુથી ઉત્સેધકોણ $\theta$ અને $90^\circ - \theta$ છે.
ટૂંકા થાંભલા માટે: $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{h}{x/2} = \frac{2h}{x}$.
કારણ કે $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$,તેથી $\cot \theta = \frac{2h}{x}$.
ઊંચા થાંભલા માટે: $\tan \theta = \frac{2h}{x/2} = \frac{4h}{x}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $\tan \theta \cdot \cot \theta = \left(\frac{4h}{x}\right) \cdot \left(\frac{2h}{x}\right)$.
$1 = \frac{8h^2}{x^2}$.
$h^2 = \frac{x^2}{8}$.
$h = \sqrt{\frac{x^2}{8}} = \frac{x}{2\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ટાવરનો પાયો $O$ છે.
ધારો કે ટાવરથી ઘર $A$ નું અંતર $x_A$ છે અને ઘર $B$ નું અંતર $x_B$ છે.
ભૂમિતિ મુજબ,અવસેધકોણ એ ઉત્સેધકોણ જેટલો જ હોય છે.
ઘર $A$ માટે: $\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{x_A} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x_A} \implies x_A = h\sqrt{3}$.
ઘર $B$ માટે: $\tan(60^{\circ}) = \frac{h}{x_B} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x_B} \implies x_B = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
અંતરની સરખામણી કરતા,$\sqrt{3} > \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$x_A > x_B$ મળે છે.
તેથી,ઘર $B$ એ ઘર $A$ કરતા ટાવરની વધુ નજીક છે.

(B) ધારો કે ટેકરીને એક કાટકોણ ત્રિકોણ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં કર્ણ એ ટેકરી પર કાપેલું અંતર $x$ મીટર છે.
જમીન સાથેનો ઉત્સેધકોણ $\theta = 30^{\circ}$ છે.
જમીનથી પહોંચેલી ઊંચાઈ એ ખૂણાની સામેની બાજુ છે,જે $y$ મીટર છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\sin(\theta) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(30^{\circ}) = \frac{y}{x}$
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\frac{1}{2} = \frac{y}{x}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $x = 2y$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.