IIT JEE 1997 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U$ का मान $U = -\frac{GMm}{r}$ होता है।
कुल ऊर्जा $E_0$ गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ का योग है,जो $E_0 = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$ है।
$U$ और $E_0$ के व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $U = 2 \times (-\frac{GMm}{2r}) = 2 E_0$ है।
अतः,उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $2 E_0$ है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ दाब है,$V$ आयतन है,$\mu$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ तापमान है।
चूंकि पात्र समान हैं,इसलिए आयतन $V$ नियत है। $R$ भी एक नियतांक है।
अतः,$P \propto \mu T$.
प्रथम पात्र के लिए ($O_2$ युक्त): $P_1 = P$,$\mu_1 = 1$,$T_1 = T$.
द्वितीय पात्र के लिए ($He$ युक्त): $P_2 = ?$,$\mu_2 = 1$,$T_2 = 2T$.
अनुपात लेने पर: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{\mu_2 T_2}{\mu_1 T_1}$.
मान रखने पर: $\frac{P_2}{P} = \frac{1 \times 2T}{1 \times T} = 2$.
इस प्रकार,$P_2 = 2P$.

(C) आदर्श गैस के अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{3}{2} k_B T$
जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि स्थानांतरण गतिज ऊर्जा केवल गैस के तापमान $T$ पर निर्भर करती है।
यह गैस की प्रकृति (अर्थात मोलर द्रव्यमान) पर निर्भर नहीं करती है।
चूंकि ${O_2}$ और ${N_2}$ दोनों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए उनकी औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा समान होगी।
अतः,$E_{N_2} = E_{O_2} = 0.048 \; eV$।

(A) गैस के अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है। अतः,$E \propto T$.
यहाँ $T_1 = 300 \, K$ और $T_2 = 600 \, K$ दिया गया है,इसलिए अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{600}{300} = 2$ है।
अतः,$E_2 = 2 \times E_1 = 2 \times 6.21 \times 10^{-21} \, J = 12.42 \times 10^{-21} \, J$.
$r.m.s.$ गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है। अतः,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
इसलिए,$\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{600}{300}} = \sqrt{2} \approx 1.414$.
$(v_{rms})_2 = 1.414 \times 484 \, m/s \approx 684 \, m/s$.
अतः,सही मान $12.42 \times 10^{-21} \, J$ और $684 \, m/s$ हैं।

(B) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ और कृष्णिका के परम तापमान $(T)$ का गुणनफल नियत रहता है।
$\lambda_{\max} T = b$ (नियत)
अतः,$T \propto \frac{1}{\lambda_{\max}}$.
माना सूर्य के लिए तापमान और अधिकतम तरंगदैर्ध्य $T_S$ और $\lambda_S$ हैं,तथा उत्तर तारे के लिए $T_N$ और $\lambda_N$ हैं।
दिया गया है: $\lambda_S = 510\;nm$ और $\lambda_N = 350\;nm$.
सतह के तापमान का अनुपात:
$\frac{T_S}{T_N} = \frac{\lambda_N}{\lambda_S} = \frac{350}{510} \approx 0.686$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.69$ प्राप्त होता है।

(D) कृष्णिका द्वारा विकीर्ण शक्ति स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $P = A\sigma T^4$,जहाँ $A = 4\pi r^2$ सतह का क्षेत्रफल है।
अतः,$P \propto r^2 T^4$.
प्रारंभिक स्थिति: $P_1 = 440\;W$,$r_1 = 24\;cm$,$T_1 = 500\;K$.
अंतिम स्थिति के लिए: $r_2 = r_1 / 2 = 12\;cm$ और $T_2 = 2T_1 = 1000\;K$.
समानुपातिक अनुपात का उपयोग करने पर:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{P_2}{440} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{2}{1} \right)^4$
$\frac{P_2}{440} = \frac{1}{4} \times 16 = 4$
$P_2 = 440 \times 4 = 1760\;W$.

(A) डोरी में कण का विस्थापन $y = A\sin (kx - \omega t)$ द्वारा दिया गया है।
कण का वेग ज्ञात करने के लिए,हम विस्थापन $y$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} [A\sin (kx - \omega t)]$
$v = A \cos (kx - \omega t) \cdot (-\omega)$
$v = -A\omega \cos (kx - \omega t)$
कण का अधिकतम वेग तब होता है जब कोसाइन फलन का परिमाण $1$ होता है।
अतः,$v_{\max} = | -A\omega | = A\omega$.

(D) प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $n'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है,जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति कर रहा हो:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
दिया गया है:
स्रोत की आवृत्ति $n = 450 Hz$
ध्वनि की गति $v = 330 m/s$
स्रोत की गति $v_s = 33 m/s$
मान रखने पर:
$n' = 450 \times \left( \frac{330}{330 - 33} \right)$
$n' = 450 \times \left( \frac{330}{297} \right)$
$n' = 450 \times \frac{10}{9}$
$n' = 50 \times 10 = 500 Hz$
अतः,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $500 Hz$ है।

(D) प्लेट द्वारा $h$ ऊँचाई गिरने में लिया गया समय $t$,गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $h = 10 \, cm = 0.1 \, m$ और $g = 10 \, m/s^2$ लेने पर।
$0.1 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$,जिससे $t^2 = 0.02$,अर्थात $t = \sqrt{0.02} \, s = \frac{\sqrt{2}}{10} \, s \approx 0.1414 \, s$ प्राप्त होता है।
इस समय में,ट्यूनिंग फोर्क $n = 8$ दोलन पूरे करता है।
एक दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{t}{n} = \frac{\sqrt{0.02}}{8} \, s$ है।
आवृत्ति $f$,आवर्तकाल का व्युत्क्रम है: $f = \frac{1}{T} = \frac{8}{\sqrt{0.02}} = \frac{8}{0.1414} \approx 56.56 \, Hz$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम पूर्णांक मान $56 \, Hz$ है।

(A) विस्फोट से पहले,कण $x$-अक्ष के अनुदिश गति कर रहा था,जिसका अर्थ है कि वेग का $y$-घटक शून्य था। परिणामस्वरूप,निकाय का द्रव्यमान केंद्र $y$-दिशा में गति नहीं करेगा,इसलिए $y_{CM} = 0$ होगा।
द्रव्यमान केंद्र के सूत्र का उपयोग करते हुए: $y_{CM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0 = \frac{(m/4)(+15) + (3m/4)(y)}{m}$.
इसे सरल करने पर: $0 = \frac{15}{4} + \frac{3y}{4}$.
$y$ के लिए हल करने पर: $\frac{3y}{4} = -\frac{15}{4}$,जिससे $y = -5 \ cm$ प्राप्त होता है।

(B) मूलबिन्दु के परित: कण का कोणीय संवेग $L = r \times p$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ स्थिति सदिश है और $p$ रेखीय संवेग है।
वैकल्पिक रूप से,कोणीय संवेग का परिमाण $L = p \times d$ होता है,जहाँ $d$ मूलबिन्दु से गति की रेखा की लम्बवत् दूरी है।
यहाँ,द्रव्यमान $m$ अचर वेग $v$ से गति कर रहा है,इसलिए रेखीय संवेग $p = mv$ अचर है।
मूलबिन्दु से गति की रेखा की लम्बवत् दूरी $d$ अचर है और यह $a$ के बराबर है।
अतः,कोणीय संवेग $L = mv \times a = mva$,जो कि एक अचर मान है।

(B) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है। न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए त्वरण $a = qE/m$ है।
गति के समीकरण $s = ut + (1/2)at^2$ का उपयोग करते हुए,और चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होते हैं $(u = 0)$,$t$ समय में तय की गई दूरी $s = (1/2)(qE/m)t^2$ है।
इलेक्ट्रॉन के लिए: $s = (1/2)(eE/m_e)t_1^2$.
प्रोटॉन के लिए: $s = (1/2)(eE/m_p)t_2^2$.
चूंकि दोनों के लिए दूरी $s$ समान है,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:
$(1/2)(eE/m_e)t_1^2 = (1/2)(eE/m_p)t_2^2$.
इसे सरल करने पर,हमें $t_1^2/m_e = t_2^2/m_p$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$t_2^2/t_1^2 = m_p/m_e$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें अनुपात $t_2/t_1 = (m_p/m_e)^{1/2}$ प्राप्त होता है।

(A) अनंत से बिंदु $P$ तक विद्युत क्षेत्र का रेखा समाकल उस बिंदु पर विद्युत विभव $V$ के रूप में परिभाषित होता है।
$\int_{\infty}^{P} -\vec{E} \cdot d\vec{l} = V_P - V_{\infty}$.
चूंकि अनंत पर विभव $V_{\infty} = 0$ है,इसलिए यह समाकल रिंग के केंद्र पर विभव को दर्शाता है।
$R$ त्रिज्या और $q$ कुल आवेश वाली रिंग के लिए,केंद्र पर विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $q = 1.11 \times 10^{-10}\,C$,$R = 0.5\,m$,और $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$ है।
$V = (9 \times 10^9) \times \frac{1.11 \times 10^{-10}}{0.5} = \frac{9.99 \times 10^{-1}}{0.5} = \frac{0.999}{0.5} \approx 2\,V$.

(D) एक चालक से प्रवाहित होने वाली स्थिर धारा $i$ के लिए,आवेश संरक्षण के सिद्धांत का अर्थ है कि चालक के प्रत्येक अनुप्रस्थ काट पर धारा $i$ नियत रहनी चाहिए।
धारा घनत्व $j = \frac{i}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है। चूँकि $A$ लंबाई के साथ बदलता है,इसलिए $j$ नियत नहीं है।
ओम के नियम के सूक्ष्म रूप से,$j = \sigma E$। चूँकि $j$ बदलता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E$ भी लंबाई के साथ बदलना चाहिए।
इसके अतिरिक्त,अपवाह वेग ${v_d} = \frac{j}{ne} = \frac{i}{Ane}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $A$ बदलता है,इसलिए अपवाह वेग ${v_d}$ भी नियत नहीं रहता है।
अतः,चालक की लंबाई के अनुदिश केवल धारा $i$ ही नियत रहती है।

(B) फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ और निरोधी विभव $(V_s)$ के बीच का संबंध समीकरण $K_{\max} = e V_s$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = 4 eV$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $4 eV = e V_s$।
अतः,निरोधी विभव $V_s = 4 V$ है।

(C) उत्सर्जित $X$-किरण फोटॉन की ऊर्जा संक्रमण में शामिल दो स्तरों के बीच ऊर्जा के अंतर के बराबर होती है।
$K_{\alpha}$ रेखा के लिए,संक्रमण $L$ स्तर से $K$ स्तर की ओर होता है।
ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_K - E_L = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $\lambda = 0.021 \times 10^{-9} \ m$.
$\Delta E = \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{0.021 \times 10^{-9}} \ J$.
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ से विभाजित करने पर:
$\Delta E = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{0.021 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 58928 \ eV \approx 59 \ keV$.

(D) बोर मॉडल के अनुसार,हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \; eV$ द्वारा दी जाती है।
द्वि-आयनित लिथियम परमाणु $(Li^{2+})$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
मूल अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,मूल अवस्था की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \times \frac{3^2}{1^2} \; eV = -13.6 \times 9 \; eV = -122.4 \; eV$ है।
इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा (आयनन ऊर्जा) वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था से अनंत $(E_{\infty} = 0)$ तक ले जाने के लिए आवश्यक है।
इसलिए,आयनन ऊर्जा $= E_{\infty} - E_1 = 0 - (-122.4 \; eV) = 122.4 \; eV$।

(C) $N-$प्रकार के अर्धचालक में बहुसंख्यक आवेश वाहक इलेक्ट्रॉन होते हैं,न कि होल। इसलिए,यह कथन कि $N-$प्रकार के अर्धचालकों में बहुसंख्यक वाहक होल होते हैं,गलत है। अतः,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(B) फॉरवर्ड बायस्ड $P-N$ जंक्शन में,विभव प्राचीर (potential barrier) कम हो जाता है,जिससे बहुसंख्यक आवेश वाहक आसानी से जंक्शन को पार कर सकते हैं। इस प्रक्रिया को डिफ्यूजन कहा जाता है,जो धारा प्रवाह के लिए प्रमुख तंत्र बन जाता है।
रिवर्स बायस्ड $P-N$ जंक्शन में,विभव प्राचीर बढ़ जाता है,जो बहुसंख्यक आवेश वाहकों को जंक्शन पार करने से रोकता है। हालाँकि,अल्पसंख्यक आवेश वाहक अवक्षय क्षेत्र (depletion region) में मौजूद विद्युत क्षेत्र के कारण जंक्शन को पार कर सकते हैं। इस प्रक्रिया को ड्रिफ्ट कहा जाता है,जो छोटी रिवर्स सैचुरेशन धारा के लिए प्रमुख तंत्र बन जाता है।

(B) $1$. डायोड के बायसिंग का विश्लेषण करें: दिए गए परिपथ आरेख के आधार पर,$6 \, V$ की बैटरी का धनात्मक टर्मिनल डायोड $D_1$ के एनोड और डायोड $D_2$ के कैथोड से जुड़ा है।
$2$. प्रत्येक डायोड की स्थिति निर्धारित करें: डायोड $D_1$ अग्र-अभिनत (forward-biased) है,जिससे इसमें से धारा प्रवाहित हो सकती है। डायोड $D_2$ पश्च-अभिनत (reverse-biased) है,जो एक खुले परिपथ (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है,इसलिए $D_2$ वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
$3$. परिपथ का कुल प्रतिरोध ज्ञात करें: परिपथ में बैटरी,$100 \, \Omega$ का प्रतिरोधक,अग्र-अभिनत डायोड $D_1$ ($50 \, \Omega$ प्रतिरोध के साथ) और $150 \, \Omega$ का प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 50 \, \Omega + 150 \, \Omega + 100 \, \Omega = 300 \, \Omega$.
$4$. धारा की गणना करें: ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \, V}{300 \, \Omega} = 0.02 \, A$.

(B) लेंस की शक्ति $P$ को $P = \frac{100}{f(cm)}\, D$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
उत्तल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_1 = +40\, cm$ है।
अतः,शक्ति $P_1 = \frac{100}{40} = +2.5\, D$ है।
अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_2 = -25\, cm$ है।
अतः,शक्ति $P_2 = \frac{100}{-25} = -4.0\, D$ है।
संपर्क में रखे लेंसों के संयोजन की शक्ति $P = P_1 + P_2$ द्वारा दी जाती है।
$P = 2.5\, D + (-4.0\, D) = -1.5\, D$।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ होने के कारण,$mv = \sqrt{2mK}$ होता है।
अतः,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$।
यहाँ $K$ और $B$ स्थिर हैं,इसलिए $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$।
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: $m_p = m, q_p = e \Rightarrow r_p \propto \frac{\sqrt{m}}{e}$।
ड्यूटेरॉन $(d)$ के लिए: $m_d = 2m, q_d = e \Rightarrow r_d \propto \frac{\sqrt{2m}}{e} = \sqrt{2} r_p$।
अल्फा कण $(\alpha)$ के लिए: $m_{\alpha} = 4m, q_{\alpha} = 2e \Rightarrow r_{\alpha} \propto \frac{\sqrt{4m}}{2e} = \frac{2\sqrt{m}}{2e} = r_p$।
इस प्रकार,$r_{\alpha} = r_p$ और $r_d = \sqrt{2} r_p$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_{\alpha} = r_p < r_d$ संबंध सही है।