IIT JEE 1967 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया समीकरण $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$ है।
$r(x + q) + r(x + p) = (x + p)(x + q)$ से गुणा करने पर,$x^2 + x(p + q - 2r) + (pq - rp - rq) = 0$ प्राप्त होता है।
माना मूल $\alpha$ और $-\alpha$ हैं। मूलों का योग शून्य होने के कारण,$x$ का गुणांक शून्य होगा:
$p + q - 2r = 0 \implies r = \frac{p + q}{2}$.
मूलों का गुणनफल $\alpha(-\alpha) = -\alpha^2 = pq - r(p + q)$ है।
$r = \frac{p + q}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-\alpha^2 = pq - \frac{p + q}{2}(p + q) = pq - \frac{(p + q)^2}{2} = -\frac{p^2 + q^2}{2}$.

(A) हम संचय का गुणधर्म जानते हैं: $^{n}C_{x} = ^{n}C_{y}$ का अर्थ है कि या तो $x = y$ या $x + y = n$ है।
दिया गया है: $^{15}C_{3r} = ^{15}C_{r+3}$।
स्थिति $1$: $3r = r + 3$ $\Rightarrow 2r = 3$ $\Rightarrow r = 1.5$ (पूर्णांक नहीं है,इसलिए अस्वीकार्य)।
स्थिति $2$: $3r + (r + 3) = 15$ $\Rightarrow 4r + 3 = 15$ $\Rightarrow 4r = 12$ $\Rightarrow r = 3$।
अतः,$r$ का मान $3$ है।

(A) $\left( ax - \frac{1}{bx^2} \right)^{11}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^{11}C_r (ax)^{11-r} (-\frac{1}{bx^2})^r$ है।
$T_{r+1} = ^{11}C_r a^{11-r} (-1)^r b^{-r} x^{11-3r}$
$x^{-7}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$x$ का घातांक $-7$ लेते हैं:
$11 - 3r = -7$
$3r = 18 \Rightarrow r = 6$
$r = 6$ रखने पर,गुणांक $= ^{11}C_6 a^{11-6} (-1)^6 b^{-6} = 462 \frac{a^5}{b^6}$.

(B) हमें $\tan A = -\frac{1}{2}$ और $\tan B = -\frac{1}{3}$ दिया गया है।
दो कोणों के योग के लिए टेंजेंट का सूत्र उपयोग करने पर:
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
मान रखने पर:
$\tan(A + B) = \frac{-\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 - (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{3})}$
$\tan(A + B) = \frac{-\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = -1$
चूंकि $\tan(A + B) = -1$ और हम जानते हैं कि $\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1,$
अतः $A + B = \frac{3\pi}{4}.$

(C) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और मीनार से पहले बिंदु की दूरी $x$ है।
समकोण त्रिभुज से,हमारे पास है:
$\tan(60^\circ) = \frac{h}{OA}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{OA}$ $\Rightarrow OA = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{OB}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20 + OA}$ $\Rightarrow 20 + OA = h\sqrt{3}$.
$OA = \frac{h}{\sqrt{3}}$ को समीकरण में रखने पर:
$20 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$
$20 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}}$
$20 = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = h \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$
$h = \frac{20 \times \sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, m$.

(B) माना शीर्ष $A(0, 0)$,$B(2, -1)$ और $C(1, 3)$ हैं।
$1$. $A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात करें:
$BC$ की ढाल = $\frac{3 - (-1)}{1 - 2} = \frac{4}{-1} = -4$.
शीर्षलंब $AD$ की ढाल $BC$ की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होगी,जो $\frac{1}{4}$ है।
$A(0, 0)$ से गुजरने वाले $AD$ का समीकरण $y - 0 = \frac{1}{4}(x - 0)$ है,जो $x - 4y = 0$ के रूप में सरल होता है ..... $(i)$.
$2$. $B$ से $AC$ पर खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात करें:
$AC$ की ढाल = $\frac{3 - 0}{1 - 0} = 3$.
शीर्षलंब $BE$ की ढाल $AC$ की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होगी,जो $-\frac{1}{3}$ है।
$B(2, -1)$ से गुजरने वाले $BE$ का समीकरण $y - (-1) = -\frac{1}{3}(x - 2)$ है,जो $3(y + 1) = -(x - 2)$ $\Rightarrow 3y + 3 = -x + 2$ $\Rightarrow x + 3y + 1 = 0$ के रूप में सरल होता है ..... $(ii)$.
$3$. समीकरणों $(i)$ और $(ii)$ को हल करें:
$(i)$ से,$x = 4y$. इस मान को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करें:
$4y + 3y + 1 = 0$ $\Rightarrow 7y = -1$ $\Rightarrow y = -\frac{1}{7}$.
अतः $x = 4(-\frac{1}{7}) = -\frac{4}{7}$.
इस प्रकार,लंबकेंद्र $\left( -\frac{4}{7}, -\frac{1}{7} \right)$ है।

(C) विभाजन सूत्र का उपयोग करके बिंदु $A$ के निर्देशांक $\left( \frac{3k - 5}{k + 1}, \frac{5k + 1}{k + 1} \right)$ हैं।
दिया है $B = (1, 5)$ और $C = (7, -2)$,त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 2$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} \left| \frac{3k - 5}{k + 1}(5 - (-2)) + 1(-2 - \frac{5k + 1}{k + 1}) + 7(\frac{5k + 1}{k + 1} - 5) \right| = 2$.
$\frac{1}{2} \left| \frac{7(3k - 5) - (2k + 2 + 5k + 1) + 7(5k + 1 - 5k - 5)}{k + 1} \right| = 2$.
$\frac{1}{2} \left| \frac{21k - 35 - 7k - 3 - 28}{k + 1} \right| = 2$.
$|14k - 66| = 4|k + 1|$.
स्थिति $1$: $14k - 66 = 4k + 4$ $\Rightarrow 10k = 70$ $\Rightarrow k = 7$.
स्थिति $2$: $14k - 66 = -4k - 4$ $\Rightarrow 18k = 62$ $\Rightarrow k = 31/9$.