IIT JEE 1967 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$ છે.
$r(x + q) + r(x + p) = (x + p)(x + q)$ વડે ગુણતા,$x^2 + x(p + q - 2r) + (pq - rp - rq) = 0$ મળે છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $-\alpha$ છે. બીજનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,$x$ નો સહગુણક શૂન્ય થાય:
$p + q - 2r = 0 \implies r = \frac{p + q}{2}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha(-\alpha) = -\alpha^2 = pq - r(p + q)$ છે.
$r = \frac{p + q}{2}$ મૂકતા:
$-\alpha^2 = pq - \frac{p + q}{2}(p + q) = pq - \frac{(p + q)^2}{2} = -\frac{p^2 + q^2}{2}$.

(A) આપણે સંચયનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: $^{n}C_{x} = ^{n}C_{y}$ નો અર્થ છે કે કાં તો $x = y$ અથવા $x + y = n$.
આપેલ છે: $^{15}C_{3r} = ^{15}C_{r+3}$.
કિસ્સો $1$: $3r = r + 3$ $\Rightarrow 2r = 3$ $\Rightarrow r = 1.5$ (પૂર્ણાંક નથી,તેથી અસ્વીકાર્ય).
કિસ્સો $2$: $3r + (r + 3) = 15$ $\Rightarrow 4r + 3 = 15$ $\Rightarrow 4r = 12$ $\Rightarrow r = 3$.
આમ,$r$ ની કિંમત $3$ છે.

(A) $\left( ax - \frac{1}{bx^2} \right)^{11}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{11}C_r (ax)^{11-r} (-\frac{1}{bx^2})^r$ છે.
$T_{r+1} = ^{11}C_r a^{11-r} (-1)^r b^{-r} x^{11-3r}$
$x^{-7}$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,$x$ નો ઘાતાંક $-7$ લઈએ:
$11 - 3r = -7$
$3r = 18 \Rightarrow r = 6$
$r = 6$ મૂકતા,સહગુણક $= ^{11}C_6 a^{11-6} (-1)^6 b^{-6} = 462 \frac{a^5}{b^6}$.

(B) આપણને $\tan A = -\frac{1}{2}$ અને $\tan B = -\frac{1}{3}$ આપેલ છે.
બે ખૂણાઓના સરવાળા માટે ટેન્જન્ટનું સૂત્ર વાપરતા:
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
કિંમતો મૂકતા:
$\tan(A + B) = \frac{-\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 - (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{3})}$
$\tan(A + B) = \frac{-\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = -1$
કારણ કે $\tan(A + B) = -1$ અને આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1,$
તેથી $A + B = \frac{3\pi}{4}.$

(C) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ટાવરથી પ્રથમ બિંદુનું અંતર $x$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\tan(60^\circ) = \frac{h}{OA}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{OA}$ $\Rightarrow OA = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{OB}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20 + OA}$ $\Rightarrow 20 + OA = h\sqrt{3}$.
$OA = \frac{h}{\sqrt{3}}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$20 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$
$20 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}}$
$20 = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = h \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$
$h = \frac{20 \times \sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, m$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(2, -1)$ અને $C(1, 3)$ છે.
$1$. $A$ માંથી $BC$ પરના વેધનું સમીકરણ શોધો:
$BC$ નો ઢાળ = $\frac{3 - (-1)}{1 - 2} = \frac{4}{-1} = -4$.
વેધ $AD$ નો ઢાળ $BC$ ના ઢાળનો વ્યસ્ત વિરોધી એટલે કે $\frac{1}{4}$ થશે.
$A(0, 0)$ માંથી પસાર થતા $AD$ નું સમીકરણ $y - 0 = \frac{1}{4}(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 4y = 0$ થાય ..... $(i)$.
$2$. $B$ માંથી $AC$ પરના વેધનું સમીકરણ શોધો:
$AC$ નો ઢાળ = $\frac{3 - 0}{1 - 0} = 3$.
વેધ $BE$ નો ઢાળ $AC$ ના ઢાળનો વ્યસ્ત વિરોધી એટલે કે $-\frac{1}{3}$ થશે.
$B(2, -1)$ માંથી પસાર થતા $BE$ નું સમીકરણ $y - (-1) = -\frac{1}{3}(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3(y + 1) = -(x - 2)$ $\Rightarrow 3y + 3 = -x + 2$ $\Rightarrow x + 3y + 1 = 0$ થાય ..... $(ii)$.
$3$. સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ નો ઉકેલ મેળવો:
$(i)$ પરથી,$x = 4y$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$4y + 3y + 1 = 0$ $\Rightarrow 7y = -1$ $\Rightarrow y = -\frac{1}{7}$.
તેથી $x = 4(-\frac{1}{7}) = -\frac{4}{7}$.
આમ,લંબકેન્દ્ર $\left( -\frac{4}{7}, -\frac{1}{7} \right)$ છે.

(C) વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બિંદુ $A$ ના યામ $\left( \frac{3k - 5}{k + 1}, \frac{5k + 1}{k + 1} \right)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $B = (1, 5)$ અને $C = (7, -2)$,ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} \left| \frac{3k - 5}{k + 1}(5 - (-2)) + 1(-2 - \frac{5k + 1}{k + 1}) + 7(\frac{5k + 1}{k + 1} - 5) \right| = 2$.
$\frac{1}{2} \left| \frac{7(3k - 5) - (2k + 2 + 5k + 1) + 7(5k + 1 - 5k - 5)}{k + 1} \right| = 2$.
$\frac{1}{2} \left| \frac{21k - 35 - 7k - 3 - 28}{k + 1} \right| = 2$.
$|14k - 66| = 4|k + 1|$.
કિસ્સો $1$: $14k - 66 = 4k + 4$ $\Rightarrow 10k = 70$ $\Rightarrow k = 7$.
કિસ્સો $2$: $14k - 66 = -4k - 4$ $\Rightarrow 18k = 62$ $\Rightarrow k = 31/9$.