GUJCET 2014 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) सही उत्तर $C$ है।
व्यावहारिक ट्रांसफार्मर में हिस्टैरिसीस हानि,एड़ी धारा हानि (eddy current loss),ताम्र हानि (copper loss) और फ्लक्स रिसाव जैसी विभिन्न ऊर्जा हानियाँ होती हैं।
इन ऊर्जा हानियों के कारण,आउटपुट पावर हमेशा इनपुट पावर से कम होती है।
इसलिए,एक व्यावहारिक ट्रांसफार्मर की दक्षता हमेशा इकाई $(1)$ से कम होती है।

(B) परिणामी धारा $I = 8 + 6 \sin \omega t$ द्वारा दी गई है।
$rms$ मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले माध्य वर्ग मान $\langle I^2 \rangle$ की गणना करते हैं।
$\langle I^2 \rangle = \langle (8 + 6 \sin \omega t)^2 \rangle$
$\langle I^2 \rangle = \langle 64 + 96 \sin \omega t + 36 \sin^2 \omega t \rangle$
पूर्ण चक्र पर औसत मानों के गुणों का उपयोग करते हुए: $\langle \sin \omega t \rangle = 0$ और $\langle \sin^2 \omega t \rangle = \frac{1}{2}$।
$\langle I^2 \rangle = 64 + 96(0) + 36(\frac{1}{2})$
$\langle I^2 \rangle = 64 + 18 = 82 \ A^2$
$I_{rms} = \sqrt{\langle I^2 \rangle} = \sqrt{82} \approx 9.05 \ A$.

(B) चूंकि दोनों तार एक ही विभव स्रोत के साथ समानांतर में जुड़े हुए हैं,इसलिए प्रत्येक तार पर विभवांतर समान होगा।
$V_1 = V_2 = 6 \ V$
ओम के नियम $V = IR$ का उपयोग करते हुए,$I_1 R_1 = I_2 R_2$,जिसका अर्थ है $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1}$।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
पदार्थ समान होने के कारण,दोनों तारों के लिए प्रतिरोधकता $\rho$ समान रहेगी।
अतः,$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho \frac{l_2}{\pi r_2^2}}{\rho \frac{l_1}{\pi r_1^2}} = \frac{l_2}{l_1} \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$।
दिया गया है कि $\frac{l_1}{l_2} = \frac{3}{4}$ और $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4}{3} \times \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{4}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{3}{1}$।
अतः,अनुपात $I_1:I_2 = 3:1$ है।

(B) नारंगी रंग के लिए कलर कोड $3$ है।
चूंकि तीन नारंगी पट्टियाँ हैं,पहली दो पट्टियाँ अंक $3$ और $3$ को दर्शाती हैं,और तीसरी पट्टी गुणक $10^3$ को दर्शाती है।
चूंकि चौथी पट्टी नहीं है,इसलिए टॉलरेंस (सहनशीलता) $\pm 20\%$ मानी जाती है।
प्रतिरोध का मान $R = (33 \times 10^3 \pm 20\%) \Omega = (33 \text{ k}\Omega \pm 20\%)$ है।
अधिकतम प्रतिरोध का मान इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
$R_{\text{max}} = 33 \text{ k}\Omega + 33 \text{ k}\Omega \text{ का } 20\%$
$R_{\text{max}} = 33000 + 0.20 \times 33000$
$R_{\text{max}} = 33000 + 6600 = 39600 \Omega$
$R_{\text{max}} = 39.6 \text{ k}\Omega$.

(A) तार की कुल लंबाई $L = 2 \pi r = 2 \pi (2) = 4 \pi \ m$ है।
तार का कुल प्रतिरोध $R_{total} = (\text{प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध}) \times L = \frac{1}{\pi} \times 4 \pi = 4 \ \Omega$ है।
चूंकि $\angle AOB = 90^{\circ}$ है,तार दो चापों में विभाजित होता है: लघु चाप $AB$ और दीर्घ चाप $AB$।
लघु चाप की लंबाई $L_1 = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times (2 \pi r) = \frac{1}{4} \times 4 \pi = \pi \ m$ है।
लघु चाप का प्रतिरोध $R_1 = \frac{1}{\pi} \times \pi = 1 \ \Omega$ है।
दीर्घ चाप की लंबाई $L_2 = L - L_1 = 4 \pi - \pi = 3 \pi \ m$ है।
दीर्घ चाप का प्रतिरोध $R_2 = \frac{1}{\pi} \times 3 \pi = 3 \ \Omega$ है।
ये दोनों प्रतिरोध $A$ और $B$ बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_p$ के लिए,$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \ \Omega^{-1}$,इसलिए $R_p = \frac{3}{4} \ \Omega$ प्राप्त होता है।
बैटरी से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_p} = \frac{6}{3/4} = 6 \times \frac{4}{3} = 8 \ A$ है।

(A) अनंत लंबाई के सीधे समान रूप से आवेशित तार से $r$ लंबवत दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{2 k \lambda}{r}$
दिया गया है:
$E = 3 \times 10^8 \ N C^{-1}$
$r = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$
$k = 9 \times 10^9 \ N m^2 C^{-2}$
रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{E \cdot r}{2k}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{(3 \times 10^8) \times (2 \times 10^{-2})}{2 \times (9 \times 10^9)}$
$\lambda = \frac{6 \times 10^6}{18 \times 10^9}$
$\lambda = \frac{1}{3} \times 10^{-3} \ C/m$
$\lambda = 0.3333 \times 10^{-3} \ C/m = 333 \times 10^{-6} \ C/m$
$\lambda = 333 \ \mu C/m$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना $l = 10 \ cm = 0.1 \ m$ डोरी की लंबाई है। डोरियों के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
संतुलन में,प्रत्येक गोले पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,और स्थिर वैद्युत बल $F_e = \frac{kq^2}{x^2}$ हैं,जहाँ $x$ गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी है।
ज्यामिति से,$x = 2l \sin \theta = 2(0.1) \sin 30^{\circ} = 0.2 \times 0.5 = 0.1 \ m$.
बलों का वियोजन करने पर:
$T \sin \theta = F_e$
$T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{kq^2}{x^2 mg}$.
द्रव्यमान $m$ के लिए सूत्र: $m = \frac{kq^2}{x^2 g \tan \theta}$.
मान रखने पर:
$m = \frac{(9 \times 10^9) \times (2 \times 10^{-6})^2}{(0.1)^2 \times 10 \times \tan 30^{\circ}}$
$m = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}}{0.01 \times 10 \times (1/\sqrt{3})}$
$m = \frac{36 \times 10^{-3}}{0.1 \times (1/\sqrt{3})} = 36 \times 10^{-2} \times \sqrt{3} \approx 0.36 \times 1.732 = 0.6235 \ kg$.

(D) विद्युत क्षेत्र के कारण कण पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है और बल की दिशा में गति करता है,इसलिए $x$ दूरी तय करने में विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = F \cdot x = (qE) \cdot x = qEx$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी कण पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा किए गए कार्य के बराबर यानी $qEx$ होगी।

(D) कुंडली में उत्पन्न प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) फैराडे के प्रेरण के नियम द्वारा दिया जाता है: $|\varepsilon| = N \frac{|\Delta \phi|}{\Delta t}$.
यहाँ,$N = 500$,$A = 0.15 \ m^2$,$B_1 = 0.2 \ T$,$B_2 = 1.0 \ T$,और $\Delta t = 0.4 \ s$ है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र क्षेत्रफल के लंबवत है,इसलिए चुंबकीय फ्लक्स $\phi = BA$ होगा।
अतः,$|\varepsilon| = N \frac{A(B_2 - B_1)}{\Delta t}$.
मान रखने पर:
$|\varepsilon| = \frac{500 \times 0.15 \times (1.0 - 0.2)}{0.4}$.
$|\varepsilon| = \frac{500 \times 0.15 \times 0.8}{0.4}$.
$|\varepsilon| = 500 \times 0.15 \times 2 = 150 \ V$.

(B) दो समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला चुंबकीय बल का सूत्र है: $F/L = \frac{\mu_{0} I_{1} I_{2}}{2 \pi d}$।
$\mu_{0}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\mu_{0} = \frac{(F/L) \cdot 2 \pi d}{I_{1} I_{2}}$।
बल $(F)$ का $SI$ मात्रक न्यूटन $(N)$,लंबाई $(L)$ का मीटर $(m)$,दूरी $(d)$ का मीटर $(m)$ और धारा $(I)$ का एम्पीयर $(A)$ है।
मात्रकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\mu_{0} \text{ का मात्रक} = \frac{(N/m) \cdot m}{A \cdot A} = \frac{N}{A^{2}}$।
वैकल्पिक रूप से,चूंकि $1 \text{ टेस्ला} = 1 \text{ N}/(A \cdot m)$,इसलिए मात्रक को $T \cdot m/A$ या $Wb/(A \cdot m)$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

(A) आवृत्ति के बढ़ते क्रम (या तरंगदैर्ध्य के घटते क्रम) में विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम इस प्रकार है: रेडियो तरंगें > माइक्रोवेव > इन्फ्रारेड > दृश्य प्रकाश > पराबैंगनी > एक्स-रे > गामा किरणें।
दिया गया है:
$\lambda_{1}$ = लघु रेडियो तरंगें
$\lambda_{2}$ = एक्स-रे
$\lambda_{3}$ = पराबैंगनी तरंगें
स्पेक्ट्रम में उनके स्थानों की तुलना करने पर,तरंगदैर्ध्य का क्रम: $\lambda_{1} > \lambda_{3} > \lambda_{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही घटता क्रम $\lambda_{1}, \lambda_{3}, \lambda_{2}$ है।

(C) एक आवेशित गोले की विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ की गणना अनंत से छोटे आवेश तत्वों $dq$ को गोले की सतह पर लाने में किए गए कार्य पर विचार करके की जा सकती है।
वैकल्पिक रूप से,हम औसत विभव विधि का उपयोग कर सकते हैं।
प्रारंभ में,जब गोले पर कोई आवेश नहीं होता है,तो विभव $V_1 = 0$ होता है।
जब गोले पर कुल आवेश $Q$ होता है,तो विभव $V_2 = \frac{k Q}{R}$ होता है।
आवेशित करने की प्रक्रिया के दौरान औसत विभव $V = \frac{V_1 + V_2}{2} = \frac{0 + \frac{k Q}{R}}{2} = \frac{k Q}{2 R}$ होता है।
कुल स्थितिज ऊर्जा $U$ गोले को आवेशित करने के लिए किया गया कार्य है,जो $U = \int_0^Q V(q) dq = \int_0^Q \frac{k q}{R} dq = \frac{k}{R} \left[ \frac{q^2}{2} \right]_0^Q = \frac{1}{2} \frac{k Q^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।

(B) मान लीजिए कि रिंगों पर आवेश $Q_1 = 10 \text{ C}$ और $Q_2 = 5 \text{ C}$ हैं। केंद्रों $O$ और $O'$ के बीच की दूरी $R$ है।
पहली रिंग के केंद्र $O$ पर विभव उसके अपने आवेश $Q_1$ और दूसरी रिंग पर आवेश $Q_2$ के कारण है:
$V_O = \frac{k Q_1}{R} + \frac{k Q_2}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{k Q_1}{R} + \frac{k Q_2}{\sqrt{2}R} = \frac{k}{R} \left( Q_1 + \frac{Q_2}{\sqrt{2}} \right)$
दूसरी रिंग के केंद्र $O'$ पर विभव उसके अपने आवेश $Q_2$ और पहली रिंग पर आवेश $Q_1$ के कारण है:
$V_{O'} = \frac{k Q_2}{R} + \frac{k Q_1}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{k Q_2}{R} + \frac{k Q_1}{\sqrt{2}R} = \frac{k}{R} \left( Q_2 + \frac{Q_1}{\sqrt{2}} \right)$
विभवांतर $\Delta V = V_O - V_{O'}$ है:
$\Delta V = \frac{k}{R} \left( Q_1 + \frac{Q_2}{\sqrt{2}} - Q_2 - \frac{Q_1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{k}{R} \left( Q_1(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) - Q_2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) \right)$
$\Delta V = \frac{k}{R} (Q_1 - Q_2) \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$Q_1 = 10 \text{ C}$,$Q_2 = 5 \text{ C}$,और $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ रखने पर:
$W = q \Delta V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R} (10 - 5) \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{5 q}{4 \pi \varepsilon_0 R} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \text{ J}$.

(B) पृथ्वी की चुंबकीय विषुवत रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{R^3}$
जहाँ $m$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिए गए मान:
$B = 0.5 \times 10^{-4} \text{ T}$
$R = 6400 \text{ km} = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m A}^{-1}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$0.5 \times 10^{-4} = 10^{-7} \times \frac{m}{(6.4 \times 10^6)^3}$
$m = \frac{0.5 \times 10^{-4} \times (6.4 \times 10^6)^3}{10^{-7}}$
$m = 0.5 \times 10^3 \times (6.4)^3 \times 10^{18}$
$m = 0.5 \times 262.144 \times 10^{21}$
$m = 131.072 \times 10^{21} = 1.31 \times 10^{23} \text{ Am}^2$
अतः,पृथ्वी का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $1.31 \times 10^{23} \text{ Am}^2$ है।

(C) अनुचुंबकीय पदार्थ के लिए क्यूरी के नियम के अनुसार,चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m$ निरपेक्ष तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\chi_m \propto \frac{1}{T}$।
दिया गया है:
$\chi_{m_1} = 1.0 \times 10^{-5}$
$T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$
$\chi_{m_2} = 1.5 \times 10^{-5}$
संबंध $\frac{\chi_{m_1}}{\chi_{m_2}} = \frac{T_2}{T_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1.0 \times 10^{-5}}{1.5 \times 10^{-5}} = \frac{T_2}{300}$
$\frac{1}{1.5} = \frac{T_2}{300}$
$T_2 = \frac{300}{1.5} = 200 \ K$
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ} C) = 200 - 273 = -73^{\circ} C$।

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति कर रहे आवेशित कण का आवर्तकाल $T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = \frac{2 \pi m}{q B}$.
चूंकि $2, \pi,$ और $B$ स्थिरांक हैं,इसलिए आवर्तकाल द्रव्यमान और आवेश के अनुपात के समानुपाती होता है: $T \propto \frac{m}{q}$.
$\alpha$-कण के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4 m_p$ और आवेश $q_{\alpha} = 2 q_p$ है,जहाँ $m_p$ और $q_p$ क्रमशः प्रोटॉन का द्रव्यमान और आवेश हैं।
अतः,आवर्तकाल का अनुपात: $\frac{T_{\alpha}}{T_p} = \frac{m_{\alpha}}{q_{\alpha}} \times \frac{q_p}{m_p}$.
मान रखने पर: $\frac{T_{\alpha}}{T_p} = \frac{4 m_p}{2 q_p} \times \frac{q_p}{m_p} = \frac{4}{2} = 2: 1$.

(D) $N$ फेरों और $a$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली जिसके केंद्र पर $I$ धारा बह रही है,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2a}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धाराएं परस्पर विपरीत दिशाओं में हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र दोनों छल्लों द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का अंतर है: $B = |B_1 - B_2|$.
दिया गया है: $N = 25$,$I_1 = 0.1 \text{ A}$,$a_1 = 0.5 \text{ m}$,$I_2 = 0.2 \text{ A}$,$a_2 = 2.0 \text{ m}$.
मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 N}{2} \left| \frac{I_1}{a_1} - \frac{I_2}{a_2} \right|$
$B = \frac{\mu_0 \times 25}{2} \left| \frac{0.1}{0.5} - \frac{0.2}{2.0} \right|$
$B = \frac{25 \mu_0}{2} \left| 0.2 - 0.1 \right|$
$B = \frac{25 \mu_0}{2} \times 0.1 = \frac{2.5 \mu_0}{2} = \frac{5}{4} \mu_0 \text{ T}$.

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गति कर रहे आवेशित कण का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = \frac{2 \pi m}{q B}$ द्वारा दिया जाता है।
इस व्यंजक से हम देख सकते हैं कि $T \propto \frac{m}{q}$ है।
$\alpha$-कण के लिए,द्रव्यमान $m_\alpha = 4 m_p$ और आवेश $q_\alpha = 2 q_p$ है,जहाँ $m_p$ और $q_p$ क्रमशः प्रोटॉन का द्रव्यमान और आवेश हैं।
अब,आवर्तकाल का अनुपात ज्ञात करते हैं:
$\frac{T_\alpha}{T_p} = \frac{m_\alpha}{q_\alpha} \times \frac{q_p}{m_p}$
मान रखने पर:
$\frac{T_\alpha}{T_p} = \frac{4 m_p}{2 q_p} \times \frac{q_p}{m_p} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2: 1$ है।

(B) गैल्वेनोमीटर को वोल्टमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर की कुंडली के साथ श्रेणी क्रम में एक उच्च प्रतिरोध (मल्टीप्लायर) जोड़ा जाना चाहिए।
यह सुनिश्चित करने के लिए किया जाता है कि वोल्टमीटर सर्किट से नगण्य धारा खींचे,जिससे जिन बिंदुओं के बीच विभवांतर मापा जाना है,वहां का विभवांतर बना रहे।
उपकरण का कुल प्रतिरोध बढ़ाकर,गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा को सीमित किया जाता है,जिससे यह क्षति से बचता है और उच्च वोल्टेज को मापने में सक्षम होता है।

(C) ${ }_{8}^{17}O$ से एक न्यूट्रॉन को हटाने की अभिक्रिया इस प्रकार है: ${ }_{8}^{17}O \rightarrow { }_{8}^{16}O + { }_{0}^{1}n$.
आवश्यक ऊर्जा ज्ञात करने के लिए,हम उत्पादों और अभिकारक की कुल बंधन ऊर्जा के बीच का अंतर निकालते हैं।
${ }_{8}^{17}O$ की कुल बंधन ऊर्जा = $17 \times 7.75 \text{ MeV} = 131.75 \text{ MeV}$.
${ }_{8}^{16}O$ की कुल बंधन ऊर्जा = $16 \times 7.97 \text{ MeV} = 127.52 \text{ MeV}$.
न्यूट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा कुल बंधन ऊर्जाओं का अंतर है:
$E = 131.75 \text{ MeV} - 127.52 \text{ MeV} = 4.23 \text{ MeV}$.

(B) विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ को सूत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है,जहाँ $V$ विभवांतर है और $d$ डिप्लीशन क्षेत्र की चौड़ाई है।
दिया गया है: $V = 3 \ V$ और $d = 300 \ \mathring{A} = 300 \times 10^{-8} \ cm$.
मान रखने पर:
$E = \frac{3}{300 \times 10^{-8}} \ V/cm$
$E = \frac{3}{3 \times 10^{-6}} \ V/cm$
$E = 10^{6} \ V/cm$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।